Derivatif terhingga. Makna mekanikal dan geometri

Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) ditakrifkan dalam selang tertentu yang mengandungi titik \(x_0\). Mari kita berikan hujah kenaikan \(\Delta x \) supaya ia tidak meninggalkan selang ini. Mari cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila bergerak dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat had kepada nisbah ini pada \(\Delta x \rightarrow 0\), maka had yang ditentukan dipanggil terbitan bagi sesuatu fungsi\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menandakan terbitan. Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi berkaitan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y = f(x).

Makna geometri terbitan adalah seperti berikut. Jika boleh melukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik dengan absis x=a, yang tidak selari dengan paksi-y, maka f(a) menyatakan kecerunan tangen. :
\(k = f"(a)\)

Oleh kerana \(k = tg(a) \), maka kesamaan \(f"(a) = tan(a) \) adalah benar.

Sekarang mari kita tafsirkan takrifan terbitan dari sudut kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x kesamaan anggaran \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \lebih kurang f"(x)\), iaitu \(\Delta y \lebih kurang f"(x) \cdot\ Delta x\). Makna bermakna kesamaan anggaran yang terhasil adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan dalam titik yang diberikan X. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2\) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x)?

1. Betulkan nilai \(x\), cari \(f(x)\)
2. Berikan hujah \(x\) kenaikan \(\Delta x\), pergi ke titik baru\(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Cipta hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada titik x.

Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).

Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan antara satu sama lain?

Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M(x; f(x)), dan, ingat, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu fungsi mesti selanjar pada titik x.

Ini adalah hujah "hands-on". Mari kita berikan alasan yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x \) dipegang. Jika dalam kesamaan ini \(\Delta x \) cenderung kepada sifar, maka \(\Delta y \) akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.

Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia berterusan pada titik itu.

Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik simpang" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika tangen tidak boleh ditarik ke graf fungsi, maka terbitan tidak wujud pada titik itu.

Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 . Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x = 0. Garis lurus sedemikian tidak mempunyai pekali sudut, yang bermaksud bahawa \(f "(0)\) tidak wujud.

Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah seseorang boleh membuat kesimpulan daripada graf fungsi bahawa ia boleh dibezakan?

Jawapan sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika adalah mungkin untuk melukis tangen pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.

Peraturan pembezaan

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, hasil tambah, hasil darab fungsi, serta "fungsi fungsi," iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C - nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivatif fungsi kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Jadual terbitan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah geometri, mekanik, fizik dan cabang pengetahuan lain, keperluan timbul menggunakan proses analisis yang sama daripada fungsi ini. y=f(x) menerima ciri baharu yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan) bagi fungsi tertentu f(x) dan ditetapkan oleh simbol

Proses yang mana daripada fungsi tertentu f(x) dapatkan ciri baharu f" (x), dipanggil pembezaan dan ia terdiri daripada tiga langkah berikut: 1) berikan hujah x kenaikan  x dan tentukan kenaikan yang sepadan bagi fungsi tersebut  y = f(x+ x) -f(x); 2) membina hubungan

3) mengira x malar dan  x0, kita dapati
, yang kami nyatakan dengan f" (x), seolah-olah menekankan bahawa fungsi yang terhasil hanya bergantung pada nilai x, di mana kita pergi ke had. Definisi: Terbitan y " =f " (x) fungsi yang diberikan y=f(x) untuk x tertentu dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah, dengan syarat kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika, sudah tentu, had ini wujud, i.e. terhingga. Oleh itu,
, atau

Ambil perhatian bahawa jika untuk beberapa nilai x, contohnya apabila x=a, sikap
di  x0 tidak cenderung had terhingga, maka dalam kes ini mereka mengatakan bahawa fungsi f(x) di x=a(atau pada titik x=a) tidak mempunyai terbitan atau tidak boleh dibezakan pada titik itu x=a.

2. Makna geometri bagi terbitan.

Pertimbangkan graf bagi fungsi y = f (x), boleh dibezakan di sekitar titik x 0

f(x)

Mari kita pertimbangkan garis lurus arbitrari yang melalui titik pada graf fungsi - titik A(x 0, f (x 0)) dan bersilang dengan graf pada satu titik B(x;f(x)). Garis (AB) sedemikian dipanggil secant. Daripada ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Sejak AC || Lembu, kemudian ALO = BAC = β (sebagai sepadan untuk selari). Tetapi ALO ialah sudut kecondongan potongan AB ke arah positif paksi Lembu. Ini bermakna tanβ = k ialah kecerunan garis lurus AB.

Sekarang kita akan mengurangkan ∆х, i.e. ∆х→ 0. Dalam kes ini, titik B akan menghampiri titik A mengikut graf, dan sekan AB akan berputar. Kedudukan mengehadkan sekan AB pada ∆x→ 0 akan menjadi garis lurus (a), dipanggil tangen kepada graf fungsi y = f (x) pada titik A.

Jika kita pergi ke had sebagai ∆x → 0 dalam kesamaan tgβ =∆y/∆x, kita dapat
ortg =f "(x 0), sejak
-sudut kecondongan tangen ke arah positif paksi Lembu
, mengikut takrifan terbitan. Tetapi tg = k ialah pekali sudut tangen, yang bermaksud k = tg = f "(x 0).

Jadi, makna geometri bagi terbitan adalah seperti berikut:

Terbitan fungsi pada titik x 0 sama dengan cerun tangen kepada graf fungsi yang dilukis pada titik dengan absis x 0 .

3. Makna fizikal terbitan.

Pertimbangkan pergerakan titik sepanjang garis lurus. Biarkan koordinat titik pada bila-bila masa x(t) diberikan. Adalah diketahui (dari kursus fizik) bahawa kelajuan purata dalam satu tempoh masa adalah sama dengan nisbah jarak yang dilalui dalam tempoh masa ini kepada masa, i.e.

Vav = ∆x/∆t. Mari kita pergi ke had dalam kesamaan terakhir sebagai ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kelajuan serta merta pada masa t 0, ∆t → 0.

dan lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (mengikut takrif terbitan).

Jadi, (t) =x"(t).

Makna fizikal terbitan adalah seperti berikut: terbitan fungsiy = f(x) pada titikx 0 ialah kadar perubahan fungsif(x) pada titikx 0

Derivatif digunakan dalam fizik untuk mencari kelajuan dengan fungsi yang diketahui koordinat lawan masa, pecutan mengikut fungsi halaju lawan masa yang diketahui.

(t) = x"(t) - kelajuan,

a(f) = "(t) - pecutan, atau

Jika hukum pergerakan titik bahan dalam bulatan diketahui, maka seseorang boleh mencari halaju sudut dan pecutan sudut semasa pergerakan putaran:

φ = φ(t) - perubahan sudut mengikut masa,

ω = φ"(t) - halaju sudut,

ε = φ"(t) - pecutan sudut, atau ε = φ"(t).

Jika hukum taburan jisim rod tidak homogen diketahui, maka ketumpatan linear rod tidak homogen boleh didapati:

m = m(x) - jisim,

x  , l - panjang rod,

p = m"(x) - ketumpatan linear.

Dengan menggunakan derivatif, masalah daripada teori keanjalan dan getaran harmonik diselesaikan. Jadi, mengikut undang-undang Hooke

F = -kx, x – koordinat pembolehubah, k – pekali keanjalan spring. Meletakkan ω 2 =k/m, kita memperoleh persamaan pembezaan bagi bandul spring x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

di mana ω = √k/√m kekerapan ayunan (l/c), k - kekakuan spring (H/m).

Persamaan dalam bentuk y" + ω 2 y = 0 dipanggil persamaan ayunan harmonik (mekanikal, elektrik, elektromagnet). Penyelesaian kepada persamaan tersebut ialah fungsi

y = Asin(ωt + φ 0) atau y = Acos(ωt + φ 0), di mana

A - amplitud ayunan, ω - frekuensi kitaran,

φ 0 - fasa permulaan.

Dalam artikel ini kami akan memberikan konsep asas di mana semua teori lanjut mengenai topik derivatif fungsi satu pembolehubah akan berdasarkan.

Laluan x ialah hujah bagi fungsi f(x) dan merupakan nombor kecil yang berbeza daripada sifar.

(baca “delta x”) dipanggil menambah hujah fungsi. Dalam rajah, garis merah menunjukkan perubahan dalam argumen daripada nilai x kepada nilai (oleh itu intipati nama "kenaikan" hujah).

Apabila beralih daripada nilai hujah kepada nilai fungsi berubah dengan sewajarnya dari kepada, dengan syarat fungsi itu monoton pada selang waktu. Perbezaan itu dipanggil kenaikan fungsi f(x), sepadan dengan kenaikan hujah ini. Dalam rajah, kenaikan fungsi ditunjukkan dengan garis biru.

Mari kita lihat konsep ini menggunakan contoh khusus.

Mari kita ambil, sebagai contoh, fungsi . Mari kita perbetulkan perkara dan pertambahan hujah. Dalam kes ini, kenaikan fungsi apabila bergerak dari ke akan sama dengan

Kenaikan negatif menunjukkan penurunan dalam fungsi pada segmen.

Ilustrasi grafik

Menentukan terbitan fungsi pada satu titik.

Biarkan fungsi f(x) ditakrifkan pada selang (a; b) dan dan menjadi titik selang ini. Terbitan bagi fungsi f(x) pada titik dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah di . Ditetapkan .

Apabila had terakhir mengambil nilai akhir tertentu, kita bercakap tentang kewujudan terbitan terhingga pada titik. Jika hadnya tidak terhingga, maka mereka berkata demikian derivatif adalah tak terhingga pada titik tertentu. Jika had tidak wujud, maka terbitan bagi fungsi pada ketika ini tidak wujud.

Fungsi f(x) dipanggil boleh dibezakan pada titik itu, apabila ia mempunyai terbitan terhingga di dalamnya.

Jika fungsi f(x) boleh dibezakan pada setiap titik selang tertentu (a; b), maka fungsi itu dipanggil boleh dibezakan pada selang ini. Oleh itu, sebarang titik x dari selang (a; b) boleh dikaitkan dengan nilai terbitan fungsi pada titik ini, iaitu, kita mempunyai peluang untuk mentakrifkan fungsi baharu, yang dipanggil terbitan bagi fungsi f(x) pada selang (a; b).

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.

Marilah kita membuat perbezaan dalam sifat konsep terbitan fungsi pada titik dan selang: terbitan fungsi pada titik ialah nombor, dan terbitan fungsi pada selang ialah fungsi.

Mari lihat ini dengan contoh untuk menjadikan gambar lebih jelas. Apabila membezakan, kita akan menggunakan definisi derivatif, iaitu, kita akan meneruskan untuk mencari had. Jika masalah timbul, kami mengesyorkan anda merujuk kepada bahagian teori.

Contoh.

Cari terbitan bagi fungsi pada titik menggunakan definisi.

Penyelesaian.

Oleh kerana kita sedang mencari terbitan fungsi pada satu titik, jawapan mesti mengandungi nombor. Mari tuliskan had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah dan gunakan formula trigonometri:

(\large\bf Terbitan fungsi)

Pertimbangkan fungsinya y=f(x), dinyatakan pada selang waktu (a, b). biarlah x- mana-mana titik tetap selang (a, b), A Δx- nombor sewenang-wenangnya supaya nilai x+Δx juga tergolong dalam selang (a, b). Nombor ini Δx dipanggil kenaikan hujah.

Definisi. Kenaikan fungsi y=f(x) pada titik x, sepadan dengan kenaikan hujah Δx, jom hubungi nombor

Δy = f(x+Δx) - f(x).

kami percaya bahawa Δx ≠ 0. Pertimbangkan pada titik tetap tertentu x nisbah kenaikan fungsi pada titik ini kepada kenaikan hujah yang sepadan Δx

Kami akan memanggil hubungan ini sebagai hubungan perbezaan. Sejak nilai x kami anggap tetap, nisbah perbezaan adalah fungsi hujah Δx. Fungsi ini ditakrifkan untuk semua nilai argumen Δx, kepunyaan beberapa kejiranan yang cukup kecil di titik itu Δx=0, kecuali titik itu sendiri Δx=0. Oleh itu, kita mempunyai hak untuk mempertimbangkan persoalan kewujudan had fungsi yang ditentukan di Δx → 0.

Definisi. Terbitan fungsi y=f(x) pada titik tetap tertentu x dipanggil had di Δx → 0 nisbah perbezaan, iaitu

Dengan syarat had ini wujud.

Jawatan. y′(x) atau f′(x).

Makna geometri terbitan: Terbitan bagi fungsi f(x) pada ketika ini x sama dengan tangen sudut antara paksi lembu dan tangen kepada graf fungsi ini pada titik yang sepadan:

f′(x 0) = \tgα.

Makna mekanikal terbitan: Terbitan laluan berkenaan dengan masa adalah sama dengan kelajuan gerakan rectilinear mata:

Persamaan tangen kepada garis y=f(x) pada titik M 0 (x 0 ,y 0) mengambil borang

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Normal kepada lengkung pada satu titik ialah serenjang dengan tangen pada titik yang sama. Jika f′(x 0)≠ 0, maka persamaan normal kepada garis y=f(x) pada titik M 0 (x 0 ,y 0) ditulis begini:

Konsep kebolehbezaan fungsi

Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan dalam selang waktu tertentu (a, b), x- beberapa nilai hujah tetap daripada selang ini, Δx- sebarang kenaikan hujah supaya nilai hujah x+Δx ∈ (a, b).

Definisi. Fungsi y=f(x) dipanggil boleh dibezakan pada titik tertentu x, jika kenaikan Δy fungsi ini pada titik x, sepadan dengan kenaikan hujah Δx, boleh diwakili dalam bentuk

Δy = A Δx +αΔx,

di mana A- beberapa nombor bebas daripada Δx, A α - fungsi hujah Δx, yang sangat kecil pada Δx→ 0.

Oleh kerana hasil darab dua fungsi yang sangat kecil αΔx adalah sangat kecil perintah tinggi, bagaimana Δx(sifat 3 fungsi infinitesimal), maka kita boleh menulis:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorem. Dalam usaha untuk fungsi y=f(x) boleh dibezakan pada titik tertentu x, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia mempunyai terbitan terhingga pada ketika ini. Di mana A=f′(x), itu dia

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operasi mencari derivatif biasanya dipanggil pembezaan.

Teorem. Jika fungsi y=f(x) x, maka ia berterusan pada ketika ini.

Komen. Daripada kesinambungan fungsi y=f(x) pada ketika ini x, secara amnya, kebolehbezaan fungsi tidak mengikut f(x) pada ketika ini. Sebagai contoh, fungsi y=|x|- berterusan pada satu titik x=0, tetapi tidak mempunyai derivatif.

Konsep fungsi pembezaan

Definisi. Pembezaan fungsi y=f(x) hasil darab derivatif fungsi ini dan kenaikan pembolehubah bebas dipanggil x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Untuk fungsi y=x kita mendapatkan dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, itu dia dx=Δx- pembezaan pembolehubah bebas adalah sama dengan kenaikan pembolehubah ini.

Dengan itu, kita boleh menulis

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Berbeza dy dan kenaikan Δy fungsi y=f(x) pada ketika ini x, kedua-duanya sepadan dengan kenaikan hujah yang sama Δx, secara amnya, tidak sama antara satu sama lain.

Makna geometri pembezaan: Pembezaan fungsi adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen kepada graf fungsi ini apabila hujah ditambah Δx.

Peraturan pembezaan

Teorem. Jika setiap satu fungsi u(x) Dan v(x) boleh dibezakan pada titik tertentu x, maka jumlah, perbezaan, hasil darab dan hasil bagi fungsi ini (bahagia dengan syarat v(x)≠ 0) juga boleh dibezakan pada ketika ini, dan formula memegang:

Pertimbangkan fungsi kompleks y=f(φ(x))≡ F(x), Di mana y=f(u), u=φ(x). Dalam kes ini u dipanggil hujah perantaraan, x - pembolehubah bebas.

Teorem. Jika y=f(u) Dan u=φ(x) ialah fungsi boleh beza bagi hujah mereka, kemudian terbitan bagi fungsi kompleks y=f(φ(x)) wujud dan sama dengan hasil darab fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan dan terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas, i.e.

Komen. Untuk fungsi kompleks yang merupakan superposisi tiga fungsi y=F(f(φ(x))), peraturan pembezaan mempunyai bentuk

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

di mana fungsinya v=φ(x), u=f(v) Dan y=F(u)- fungsi boleh dibezakan hujah mereka.

Teorem. Biarkan fungsi y=f(x) meningkat (atau berkurangan) dan berterusan dalam beberapa kejiranan titik x 0. Biarkan, sebagai tambahan, fungsi ini boleh dibezakan pada titik yang ditunjukkan x 0 dan terbitannya pada ketika ini f′(x 0) ≠ 0. Kemudian di beberapa kejiranan titik yang sepadan y 0 =f(x 0) songsang ditakrifkan untuk y=f(x) fungsi x=f -1 (y), dan yang ditunjukkan fungsi songsang boleh dibezakan pada titik yang sepadan y 0 =f(x 0) dan untuk terbitannya pada ketika ini y formula itu sah

Jadual terbitan

Invarian bentuk pembezaan pertama

Mari kita pertimbangkan pembezaan fungsi kompleks. Jika y=f(x), x=φ(t)- fungsi hujah mereka boleh dibezakan, kemudian terbitan fungsi y=f(φ(t)) dinyatakan oleh formula

y′ t = y′ x x′ t.

A-priory dy=y′ t dt, maka kita dapat

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Jadi, kami telah buktikan

Sifat invarian bentuk pembezaan pertama fungsi: seperti dalam kes apabila hujah x ialah pembolehubah bebas, dan dalam kes apabila hujah x itu sendiri ialah fungsi boleh dibezakan bagi pembolehubah baru, pembezaan dy fungsi y=f(x) adalah sama dengan terbitan fungsi ini didarab dengan pembezaan hujah dx.

Penggunaan pembezaan dalam pengiraan anggaran

Kami telah menunjukkan bahawa pembezaan dy fungsi y=f(x), secara amnya, tidak sama dengan kenaikan Δy fungsi ini. Walau bagaimanapun, sehingga fungsi infinitesi tertib kekecilan yang lebih tinggi daripada Δx, anggaran kesaksamaan adalah sah

Δy ≈ dy.

Nisbah itu dipanggil ralat relatif kesamaan kesamaan ini. Kerana Δy-dy=o(Δx), Itu ralat relatif kesamarataan ini menjadi kecil sewenang-wenangnya apabila kita berkurangan |Δх|.

Mempertimbangkan itu Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, kita mendapatkan f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx atau

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Persamaan anggaran ini membenarkan dengan ralat o(Δx) menggantikan fungsi f(x) dalam kejiranan kecil titik itu x(iaitu untuk nilai kecil Δx) fungsi linear hujah Δx, berdiri di sebelah kanan.

Derivatif pesanan lebih tinggi

Definisi. Derivatif kedua (atau derivatif tertib kedua) bagi sesuatu fungsi y=f(x) dipanggil terbitan terbitan pertamanya.

Tatatanda untuk terbitan kedua bagi suatu fungsi y=f(x):

Makna mekanikal terbitan kedua. Jika fungsi y=f(x) menerangkan hukum gerakan titik material dalam garis lurus, kemudian terbitan kedua f″(x) sama dengan pecutan titik bergerak pada saat masa x.

Derivatif ketiga dan keempat ditentukan sama.

Definisi. n derivatif ke (atau derivatif n-perintah ke-) fungsi y=f(x) dipanggil terbitan daripadanya n-1 derivatif ke:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Jawatan: y″′, y IV, y V dan lain-lain.

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.

Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif bagi fungsi termudah (dan tidak terlalu mudah) dengan mentakrifkan derivatif sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual terbitan dan peraturan pembezaan yang ditakrifkan dengan tepat muncul. . Yang pertama bekerja dalam bidang mencari derivatif ialah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, anda tidak perlu mengira had yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi anda hanya perlu menggunakan jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.

Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda perdana memecahkan fungsi mudah kepada komponen dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Derivatif selanjutnya fungsi asas kita dapati dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil, hasil tambah dan hasil adalah dalam peraturan pembezaan. Jadual terbitan dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.

Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan bagi jumlah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.

Daripada jadual derivatif kita dapati bahawa terbitan "x" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus adalah sama dengan kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami membezakan sebagai terbitan jumlah di mana sebutan kedua mempunyai faktor tetap; ia boleh diambil daripada tanda terbitan:

Jika soalan masih timbul tentang dari mana datangnya sesuatu, ia biasanya diselesaikan selepas membiasakan diri dengan jadual derivatif dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami beralih kepada mereka sekarang.

Jadual terbitan bagi fungsi mudah

1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sama dengan sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap
2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "X". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingati untuk masa yang lama
3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa.
4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1
5. Terbitan punca kuasa dua
6. Terbitan sinus
7. Terbitan kosinus
8. Terbitan tangen
9. Terbitan kotangen
10. Terbitan arcsine
11. Terbitan kosinus lengkok
12. Terbitan arkatangen
13. Terbitan arka cotangen
14. Terbitan logaritma asli
15. Terbitan bagi fungsi logaritma
16. Terbitan bagi eksponen
17. Terbitan bagi fungsi eksponen

Peraturan pembezaan

1. Terbitan daripada jumlah atau perbezaan
2. Terbitan produk
2a. Terbitan ungkapan didarab dengan faktor malar
3. Terbitan hasil bagi
4. Terbitan bagi fungsi kompleks

Peraturan 1.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu titik, maka fungsi boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan jumlah algebra derivatif fungsi ini.

Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan sebutan tetap, maka terbitan mereka adalah sama, iaitu

Peraturan 2.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika, maka produk mereka boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.

Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.

Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:

Peraturan 3.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika Dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakanu/v , dan

mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka.

Di mana untuk mencari perkara di halaman lain

Apabila mencari terbitan produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar Ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus, jadi terdapat lebih banyak contoh tentang derivatif ini dalam artikel"Terbitan hasil dan hasil bagi fungsi".

Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes faktor malar, ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. ini kesilapan tipikal, yang berlaku pada peringkat awal mempelajari derivatif, tetapi apabila mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bahagian, rata-rata pelajar tidak lagi melakukan kesilapan ini.

Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes ini dibincangkan dalam contoh 10).

Satu lagi kesilapan biasa ialah secara mekanikal menyelesaikan terbitan fungsi kompleks sebagai terbitan fungsi mudah. sebab tu terbitan bagi fungsi kompleks artikel berasingan dikhaskan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.

Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukan tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual dalam tetingkap baharu. Tindakan dengan kuasa dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada terbitan pecahan dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti , kemudian ikuti pelajaran "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca."

Jika anda mempunyai tugas seperti , maka anda akan mengambil pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah".

Contoh langkah demi langkah - cara mencari derivatif

Contoh 3. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami mentakrifkan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah tersebut mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dengan terbitan satu lagi:

Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua mempunyai tanda tolak. Dalam setiap jumlah kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "X" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 bertukar menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kita mendapatkan nilai berikut derivatif:

Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 4. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan formula untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan bagi penyebut, dan penyebut adalah kuasa dua bekas pengangka. Kita mendapatkan:

Kami telah pun menemui terbitan faktor dalam pengangka dalam contoh 2. Janganlah kita juga lupa bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada masalah yang anda perlukan untuk mencari terbitan fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan kuasa yang berterusan, seperti, sebagai contoh, , kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca" .

Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, iaitu, apabila fungsi kelihatan seperti , maka pengajaran untuk anda "Terbitan fungsi trigonometri mudah" .

Contoh 5. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat produk, salah satu faktornya ialah punca kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, terbitan yang kita kenali dalam jadual derivatif. Mengikut peraturan pembezaan produk dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua yang kita dapat:

Contoh 6. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya ialah punca kuasa dua pembolehubah bebas. Menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi, yang kami ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kami memperoleh:

Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .