Cuma. Mengikut formula dan jelas peraturan mudah. Pada peringkat pertama

perlu persamaan yang diberikan membawa kepada pandangan standard, iaitu kepada borang:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam borang ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama. Perkara yang paling penting ialah melakukannya dengan betul

tentukan semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik.

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi . Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kita

kita gunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya berhati-hati menetapkannya

nilai a, b dan c Kami mengira ke dalam formula ini. Kita gantikan dengan mereka tanda-tanda!

Contohnya, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c = -4.

Kami menggantikan nilai dan menulis:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b Dan Dengan. Atau sebaliknya, dengan penggantian

nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Rakaman terperinci formula datang untuk menyelamatkan di sini

Dengan nombor tertentu. Jika anda mempunyai masalah dengan pengiraan, lakukannya!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Kami menerangkan segala-galanya secara terperinci, berhati-hati, tanpa kehilangan apa-apa dengan semua tanda dan kurungan:

Persamaan kuadratik selalunya kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini:

Sekarang ambil perhatian teknik praktikal, yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat.

Pelantikan pertama. Jangan malas sebelum ini menyelesaikan persamaan kuadratik bawa ke bentuk standard.

Apakah maksud ini?

Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur-campur a, b dan c.

Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Buang tolak. Bagaimana? Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh.

Tentukan sendiri. Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Oleh Teorem Vieta.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang diberikan, i.e. jika pekali

x 2 +bx+c=0,

Kemudianx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Untuk persamaan kuadratik lengkap di mana a≠1:

x 2 +bx+c=0,

bahagikan keseluruhan persamaan dengan A:

→ →

di mana x 1 Dan x 2 - punca persamaan.

Penerimaan ketiga. Jika persamaan anda mempunyai kemungkinan pecahan, - buang pecahan! gandakan

persamaan untuk penyebut biasa.

Kesimpulan. Nasihat praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kami menghapuskannya dengan mendarabkan semuanya

persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan yang sepadan

faktor.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah oleh

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Bajet perbandaran institusi pendidikan purata sekolah menengah № 11

Teks kerja disiarkan tanpa imej dan formula.
Versi penuh kerja tersedia dalam tab "Fail Kerja" dalam format PDF

Sejarah persamaan kuadratik

Babylon

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja darjah pertama, tetapi juga yang kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah, dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan sekitar 2000 SM. e. orang Babylon. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babylon, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi dalam teks ini tidak ada konsep nombor negatif Dan kaedah umum menyelesaikan persamaan kuadratik.

Yunani Purba

Menyelesaikan persamaan kuadratik juga dilakukan dalam Yunani Purba saintis seperti Diophantus, Euclid dan Heron. Diophantus Diophantus dari Alexandria ialah seorang ahli matematik Yunani kuno yang mungkin hidup pada abad ke-3 Masihi. Kerja utama Diophantus ialah "Aritmetik" dalam 13 buku. Euclid. Euclid ialah seorang ahli matematik Yunani purba, pengarang risalah teori pertama mengenai matematik yang telah diturunkan kepada kita, Heron. Heron - ahli matematik dan jurutera Yunani pertama di Greece pada abad ke-1 Masihi. memberikan cara algebra semata-mata untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

India

Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bersatu bentuk kanonik: ax2 + bх = с, а> 0. (1) Dalam persamaan (1) pekali boleh negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita. Pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa di India. Salah satu buku India lama mengatakan perkara berikut tentang pertandingan seperti itu: "Sebagaimana matahari gerhana bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga lelaki terpelajar akan mengalahkan kegemilangannya dalam perhimpunan awam dengan mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra.” Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskar.

“Sekumpulan monyet lincah

Dan dua belas di sepanjang pokok anggur, setelah makan sepuas hati saya, berseronok

Mereka mula melompat, tergantung

Bahagian lapan daripadanya adalah kuasa dua

Berapakah bilangan monyet yang ada?

Saya berseronok di kawasan lapang

Beritahu saya, dalam pek ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa penulis tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai. Bhaskar menulis persamaan yang sepadan dengan masalah sebagai x2 - 64x = - 768 dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada segi empat sama, tambah 322 kepada kedua-dua belah, kemudian memperoleh: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Persamaan kuadratik dalam Eropah XVII abad

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di sepanjang garis Al-Khorezmi di Eropah pertama kali dinyatakan dalam Kitab Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, baik dari negara-negara Islam dan dari Yunani kuno, dibezakan oleh kesempurnaan dan kejelasan persembahannya. Pengarang secara bebas membangunkan beberapa yang baru contoh algebra menyelesaikan masalah dan merupakan yang pertama di Eropah memperkenalkan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari Kitab Abakus digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII. Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam pandangan umum Viet memilikinya, tetapi Viet hanya mengenalinya akar positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Mereka mengambil kira, sebagai tambahan kepada positif, dan akar negatif. Hanya pada abad ke-17. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan lain-lain cara saintis menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

Definisi persamaan kuadratik

Persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana a, b, c ialah nombor, dipanggil kuadratik.

Pekali persamaan kuadratik

Nombor a, b, c ialah pekali bagi persamaan kuadratik a ialah pekali pertama (sebelum x²), a ≠ 0;

Manakah antara persamaan ini bukan kuadratik??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Nama	Bentuk umum persamaan	Ciri (apakah pekali)	Contoh persamaan
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - nombor selain daripada 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
tak lengkap
			x 2 - 1/5x = 0
Diberi	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Dikurangkan ialah persamaan kuadratik di mana pekali pendahuluan adalah sama dengan satu. Persamaan sedemikian boleh diperolehi dengan membahagikan keseluruhan ungkapan dengan pekali pendahulu a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Persamaan kuadratik dipanggil lengkap jika semua pekalinya adalah bukan sifar.

Persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap di mana sekurang-kurangnya satu daripada pekali, kecuali yang mendahului (sama ada pekali kedua atau sebutan bebas), adalah sama dengan sifar.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Kaedah I Formula am untuk mengira akar

Untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kapak 2 + b + c = 0 V kes am anda harus menggunakan algoritma di bawah:

Kira nilai diskriminasi persamaan kuadratik: ini adalah ungkapan untuknya D= b 2 - 4ac

Terbitan formula:

Nota: Jelas sekali bahawa formula untuk punca kepelbagaian 2 ialah kes khas formula am, yang diperoleh dengan menggantikan kesamaan D=0 ke dalamnya, dan kesimpulan tentang ketiadaan punca sebenar pada D0, dan (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Kaedah yang dibentangkan adalah universal, tetapi ia jauh dari satu-satunya. Menyelesaikan persamaan tunggal boleh didekati dalam pelbagai cara, dengan keutamaan biasanya bergantung pada penyelesai. Di samping itu, selalunya untuk tujuan ini beberapa kaedah ternyata lebih elegan, mudah, dan kurang intensif buruh daripada yang standard.

II kaedah. Punca-punca persamaan kuadratik dengan pekali genap b III kaedah. Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Kaedah IV. Menggunakan nisbah separa pekali

Terdapat kes khas persamaan kuadratik di mana pekali berada dalam hubungan antara satu sama lain, menjadikannya lebih mudah untuk diselesaikan.

Punca-punca persamaan kuadratik di mana jumlah pekali pendahulu dan sebutan bebas adalah sama dengan pekali kedua

Jika dalam persamaan kuadratik kapak 2 + bx + c = 0 jumlah pekali pertama dan sebutan bebas adalah sama dengan pekali kedua: a+b=c, maka puncanya ialah -1 dan nombornya sikap yang bertentangan jangka bebas kepada pekali pendahulu ( -c/a).

Oleh itu, sebelum menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik, anda harus menyemak kemungkinan menggunakan teorem ini kepadanya: bandingkan hasil tambah pekali pendahulu dan sebutan bebas dengan pekali kedua.

Punca-punca persamaan kuadratik yang jumlah semua pekalinya ialah sifar

Jika dalam persamaan kuadratik jumlah semua pekalinya adalah sifar, maka punca-punca persamaan tersebut ialah 1 dan nisbah sebutan bebas kepada pekali pendahulu ( c/a).

Oleh itu, sebelum menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah piawai, anda harus menyemak kebolehgunaan teorem ini kepadanya: tambah semua pekali persamaan yang diberikan dan lihat sama ada jumlah ini sama dengan sifar.

kaedah V. Memfaktorkan trinomial kuadratik kepada faktor linear

Jika trinomial adalah dalam bentuk (gaya paparan ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) entah bagaimana boleh diwakili sebagai hasil darab faktor linear (gaya paparan (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), maka kita boleh mencari punca-punca persamaan kapak 2 + bx + c = 0- mereka akan menjadi -m/k dan n/l, sememangnya, selepas semua (gaya paparan (kx+m)(lx+n)=0Panjang kiri anak panah kx+m=0cawan lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, dan setelah menyelesaikan yang ditunjukkan persamaan linear, kita dapat perkara di atas. Perhatikan bahawa trinomial kuadratik tidak selalu terurai kepada faktor linear dengan pekali nyata: ini mungkin jika persamaan yang sepadan mempunyai punca sebenar.

Mari kita pertimbangkan beberapa kes khas

Menggunakan formula jumlah kuasa dua (perbezaan).

Jika trinomial kuadratik mempunyai bentuk (gaya paparan (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , maka dengan menggunakan formula di atas kepadanya, kita boleh memfaktorkannya ke dalam faktor linear dan , oleh itu, cari akar:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Pemilihan persegi penuh jumlah (perbezaan)

Formula di atas juga digunakan menggunakan kaedah yang dipanggil "memilih kuasa dua penuh hasil tambah (perbezaan)." Berhubung dengan persamaan kuadratik di atas dengan tatatanda yang diperkenalkan sebelum ini, ini bermakna yang berikut:

Nota: kalau korang perasan formula ini bertepatan dengan yang dicadangkan dalam bahagian "Akar persamaan kuadratik terkurang", yang seterusnya, boleh diperoleh daripada formula am (1) dengan menggantikan kesamaan a=1. Fakta ini bukan hanya kebetulan: menggunakan kaedah yang diterangkan, walaupun dengan beberapa alasan tambahan, adalah mungkin untuk menyimpulkan formula am, dan juga membuktikan sifat-sifat diskriminasi.

Kaedah VI. Menggunakan teorem Vieta langsung dan songsang

Teorem langsung Vieta (lihat di bawah dalam bahagian nama yang sama) dan teorem songsangnya membolehkan anda menyelesaikan persamaan kuadratik di atas secara lisan, tanpa menggunakan pengiraan yang agak rumit menggunakan formula (1).

mengikut bertentangan dengan teorem, setiap pasangan nombor (nombor) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2 menjadi penyelesaian kepada sistem persamaan di bawah ialah punca-punca persamaan

Dalam kes umum, iaitu, untuk persamaan kuadratik tidak dikurangkan ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Teorem langsung akan membantu anda mencari nombor yang memenuhi persamaan ini secara lisan. Dengan bantuannya, anda boleh menentukan tanda-tanda akar tanpa mengetahui akar itu sendiri. Untuk melakukan ini, anda harus mengikuti peraturan:

1) jika istilah bebas adalah negatif, maka akar mempunyai tanda berbeza, dan modulus terbesar akar ialah tanda bertentangan dengan tanda pekali kedua persamaan;

2) jika istilah bebas adalah positif, maka kedua-dua punca mempunyai dengan tanda yang sama, dan ini adalah tanda yang bertentangan dengan tanda pekali kedua.

Kaedah VII. Kaedah pemindahan

Kaedah yang dipanggil "pemindahan" membolehkan anda mengurangkan penyelesaian persamaan tidak dikurangkan dan tidak boleh dikurangkan kepada bentuk persamaan dikurangkan dengan pekali integer dengan membahagikannya dengan pekali utama kepada penyelesaian persamaan terkurang dengan pekali integer. Ia adalah seperti berikut:

Seterusnya, persamaan diselesaikan secara lisan mengikut cara yang diterangkan di atas, kemudian ia kembali kepada pembolehubah asal dan mencari punca persamaan (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = kapak 1 Dan y 2 = kapak 2 .(gaya paparan y_(2)=ax_(2))

Makna geometri

Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola. Penyelesaian (akar) persamaan kuadratik ialah absis bagi titik persilangan parabola dengan paksi absis. Jika parabola diterangkan fungsi kuadratik, tidak bersilang dengan paksi-x, persamaan tidak mempunyai punca sebenar. Jika parabola memotong paksi-x pada satu titik (di puncak parabola), persamaan itu mempunyai satu punca nyata (persamaan itu juga dikatakan mempunyai dua punca bertepatan). Jika parabola bersilang dengan paksi-x pada dua titik, persamaan mempunyai dua punca nyata (lihat imej di sebelah kanan.)

Jika pekali (gaya paparan a) a positif, cabang parabola diarahkan ke atas dan sebaliknya. Jika pekali (gaya paparan b) bpositif (jika positif (gaya paparan a) a, jika negatif, sebaliknya), maka bucu parabola terletak pada separuh satah kiri dan begitu juga sebaliknya.

Aplikasi persamaan kuadratik dalam kehidupan

Persamaan kuadratik digunakan secara meluas. Ia digunakan dalam banyak pengiraan, struktur, sukan, dan juga di sekeliling kita.

Mari kita pertimbangkan dan berikan beberapa contoh aplikasi persamaan kuadratik.

Sukan. Lompat tinggi: semasa pelompat berlari untuk memukul bar berlepas sejelas mungkin dan terbang tinggi gunakan pengiraan yang melibatkan parabola.

Juga, pengiraan yang serupa diperlukan dalam melontar. Julat penerbangan sesuatu objek bergantung pada persamaan kuadratik.

Astronomi. Trajektori planet-planet boleh didapati menggunakan persamaan kuadratik.

Penerbangan kapal terbang. Pesawat berlepas adalah komponen utama penerbangan. Di sini kita mengambil pengiraan untuk rintangan rendah dan pecutan berlepas.

Persamaan kuadratik juga digunakan dalam pelbagai disiplin ekonomi, dalam program untuk memproses audio, video, vektor dan grafik raster.

Kesimpulan

Hasil daripada kerja yang dilakukan, ternyata persamaan kuadratik telah menarik minat saintis pada zaman dahulu; mereka telah pun menemuinya ketika menyelesaikan beberapa masalah dan cuba menyelesaikannya. mempertimbangkan pelbagai cara menyelesaikan persamaan kuadratik, saya membuat kesimpulan bahawa tidak semuanya mudah. Pada pendapat saya yang paling cara terbaik menyelesaikan persamaan kuadratik ialah menyelesaikan dengan formula. Formula mudah diingat, kaedah ini adalah universal. Hipotesis bahawa persamaan digunakan secara meluas dalam kehidupan dan matematik telah disahkan. Selepas mempelajari topik itu, saya belajar banyak fakta menarik O persamaan kuadratik, penggunaan, aplikasi, jenis, penyelesaiannya. Dan saya akan gembira untuk terus belajar mereka. Saya harap ini akan membantu saya mencapai kejayaan dalam peperiksaan saya.

Senarai sastera terpakai

Bahan tapak:

Wikipedia

Pelajaran terbuka.rf

Buku Panduan Matematik Rendah Vygodsky M. Ya.

Transformasi persamaan kuadratik lengkap kepada persamaan tidak lengkap kelihatan seperti ini (untuk kes \(b=0\)):

Untuk kes apabila \(c=0\) atau apabila kedua-dua pekali adalah sama dengan sifar, semuanya adalah serupa.

Sila ambil perhatian bahawa tidak ada persoalan tentang \(a\) sama dengan sifar;

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Pertama sekali, anda perlu memahami bahawa persamaan kuadratik yang tidak lengkap masih , dan oleh itu boleh diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan kuadratik biasa (melalui ). Untuk melakukan ini, kami hanya menambah komponen persamaan yang hilang dengan pekali sifar.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(3x^2-27=0\)
Penyelesaian :

		Kami mempunyai persamaan kuadratik yang tidak lengkap dengan pekali \(b=0\). Iaitu, kita boleh menulis persamaan dalam borang berikut:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Sebenarnya, ini adalah persamaan yang sama seperti pada mulanya, tetapi kini ia boleh diselesaikan sebagai satu kuadratik biasa. Mula-mula kita tulis pekali.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Mari kita cari punca-punca persamaan menggunakan rumus \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Tulis jawapan

Jawab : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(-x^2+x=0\)
Penyelesaian :

		Sekali lagi persamaan kuadratik tidak lengkap, tetapi kini sifar pekali adalah sama\(c\). Kami menulis persamaan sebagai lengkap.

Persamaan kuadratik. Diskriminasi. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Apakah persamaan kuadratik? Apakah rupanya? Dalam istilah persamaan kuadratik kata kuncinya ialah "persegi". Ini bermakna bahawa dalam persamaan Semestinya mesti ada x kuasa dua. Selain itu, persamaan mungkin (atau mungkin tidak!) mengandungi hanya X (kepada kuasa pertama) dan hanya nombor (ahli percuma). Dan tidak sepatutnya ada X kepada kuasa yang lebih besar daripada dua.

Bercakap bahasa matematik, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

Di sini a, b dan c- beberapa nombor. b dan c- sama sekali, tetapi A– apa-apa selain sifar. Contohnya:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda faham...

Dalam persamaan kuadratik di sebelah kiri ini terdapat set lengkap ahli. X kuasa dua dengan pekali A, x kepada kuasa pertama dengan pekali b Dan ahli percuma s.

Persamaan kuadratik sedemikian dipanggil penuh.

Bagaimana jika b= 0, apa yang kita dapat? Kami ada X akan hilang kepada kuasa pertama. Ini berlaku apabila didarab dengan sifar.) Ternyata, sebagai contoh:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

dll. Dan jika kedua-dua pekali b Dan c adalah sama dengan sifar, maka ia lebih mudah:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

Persamaan sedemikian di mana ada sesuatu yang hilang dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Yang agak logik.) Sila ambil perhatian bahawa x kuasa dua hadir dalam semua persamaan.

By the way, kenapa A tidak boleh sama dengan sifar? Dan anda menggantikan sebaliknya A sifar.) Kuasa dua X kami akan hilang! Persamaan akan menjadi linear. Dan penyelesaiannya berbeza sama sekali...

Itu semua jenis utama persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap.

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan. Mengikut formula dan peraturan yang jelas dan mudah. Pada peringkat pertama, adalah perlu untuk membawa persamaan yang diberikan kepada bentuk piawai, i.e. kepada borang:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam bentuk ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama.) Perkara utama ialah menentukan dengan betul semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Tetapi lebih lanjut mengenai dia di bawah. Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c Kami mengira ke dalam formula ini. Mari kita ganti dengan tanda-tanda anda sendiri! Sebagai contoh, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulisnya:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Ia sangat mudah. Dan apa, anda fikir mustahil untuk membuat kesilapan? Nah, ya, bagaimana...

Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana untuk mengelirukan?), Tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Apa yang membantu di sini ialah rakaman terperinci formula dengan nombor tertentu. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, buat itu!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa kira-kira 30 saat untuk menulis baris tambahan Dan bilangan ralat akan berkurangan secara mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampak sangat sukar untuk menulis dengan teliti. Tetapi nampaknya begitu sahaja. Cubalah. Baik, atau pilih. Apa yang lebih baik, cepat atau betul?

Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu menulis segala-galanya dengan berhati-hati. Ia akan berjaya dengan sendirinya. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini boleh diselesaikan dengan mudah dan tanpa ralat!

Tetapi, selalunya, persamaan kuadratik kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini: Adakah anda mengenalinya?) Ya! ini.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

persamaan kuadratik tidak lengkap a, b dan c.

Mereka juga boleh diselesaikan menggunakan formula umum. Anda hanya perlu memahami dengan betul apa yang mereka sama dengan di sini. Adakah anda telah memikirkannya? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; c A ? Ia tidak ada sama sekali! Ya, betul. Dalam matematik ini bermakna c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula sebaliknya c, dan kita akan berjaya. Begitu juga dengan contoh kedua. Cuma kami tidak mempunyai sifar di sini Dengan b !

, A Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang formula. Mari kita pertimbangkan yang pertama persamaan tidak lengkap

Jadi bagaimana dengan ini? Dan hakikat bahawa produk itu sama dengan sifar jika dan hanya jika mana-mana faktor sama dengan sifar! Tidak percaya saya? Okey, kemudian buat dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
tidak berkesan? itu sahaja...
Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Kedua-duanya sesuai. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada menggunakan formula am. Biar saya perhatikan, dengan cara itu, X yang mana akan menjadi yang pertama dan yang mana akan menjadi yang kedua - sama sekali tidak peduli. Ia mudah untuk menulis mengikut urutan, x 1- apa yang lebih kecil dan x 2- yang lebih besar.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Pindah 9 ke sebelah kanan. Kami mendapat:

Yang tinggal hanyalah mengekstrak akar daripada 9, dan itu sahaja. Ia akan menjadi:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan meletakkan X daripada kurungan, atau dengan hanya menggerakkan nombor ke kanan dan kemudian mengekstrak akarnya.
Sangat sukar untuk mengelirukan teknik ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan...

Diskriminasi. Formula diskriminasi.

Kata ajaib diskriminasi ! Jarang pelajar sekolah menengah tidak mendengar perkataan ini! Ungkapan "kami menyelesaikan melalui diskriminasi" menimbulkan keyakinan dan keyakinan. Kerana tidak perlu mengharapkan helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan anda tentang formula paling umum untuk penyelesaian mana-mana persamaan kuadratik:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Biasanya diskriminasi dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminasi:

D = b 2 - 4ac

Dan apakah yang luar biasa tentang ungkapan ini? Mengapa ia layak mendapat nama istimewa? apa maksud diskriminasi? Lagipun -b, atau 2a dalam formula ini mereka tidak menyebutnya secara khusus apa-apa... Surat dan huruf.

Inilah perkaranya. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini, adalah mungkin hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna akar boleh diekstrak daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau buruk adalah persoalan yang berbeza. Apa yang penting ialah apa yang diekstrak secara prinsip. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. Dua penyelesaian berbeza.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda akan mempunyai satu penyelesaian. Oleh kerana menambah atau menolak sifar dalam pengangka tidak mengubah apa-apa. Tegasnya, ini bukan satu akar, tetapi dua serupa. Tetapi, dalam versi yang dipermudahkan, adalah kebiasaan untuk dibincangkan satu penyelesaian.

3. Diskriminasi adalah negatif. Daripada nombor negatif punca kuasa dua tidak diambil. oh baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Sejujurnya, bila penyelesaian mudah persamaan kuadratik, konsep diskriminasi tidak diperlukan. Kami menggantikan nilai pekali ke dalam formula dan mengira. Segala-galanya berlaku di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan lebih banyak tugas yang sukar, tanpa ilmu makna dan formula diskriminasi tidak boleh lewat. Terutama dalam persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersepadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang anda ingat. Atau anda belajar, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana? dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Adakah anda faham itu kata kunci di sini - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Yang sama yang disebabkan oleh ketidakpedulian... Yang kemudiannya menjadi menyakitkan dan menyinggung perasaan...

Pelantikan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik dan bawa ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur-campur a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak di hadapan X kuasa dua benar-benar boleh mengganggu anda. Mudah lupa... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh. Tentukan sendiri.

Penerimaan kedua. Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1. Periksa akarnya! Mengikut teorem Vieta. Jangan takut, saya akan menerangkan semuanya! Menyemak terakhir persamaan. Itu. yang kami gunakan untuk menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1 , menyemak akar adalah mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Hasilnya mestilah ahli percuma, i.e. dalam kes kami -2. Sila ambil perhatian, bukan 2, tetapi -2! Ahli percuma dengan tanda anda

. Jika ia tidak berjaya, ini bermakna mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesilapan. b Jika ia berfungsi, anda perlu menambah akar. Semakan terakhir dan terakhir. Pekali sepatutnya Dengan bertentangan b biasa. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali
, yang berada di hadapan X, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul! Sayang sekali bahawa ini sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali a = 1.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan anda mempunyai pekali pecahan, hapuskan pecahan itu! Darabkan persamaan dengan penyebut sepunya seperti yang diterangkan dalam pelajaran "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Transformasi yang sama." Apabila bekerja dengan pecahan, ralat terus menjalar atas sebab tertentu...

Dengan cara ini, saya berjanji untuk memudahkan contoh jahat dengan banyak kelemahan. Tolonglah! Ini dia.

Untuk tidak keliru dengan tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Itu sahaja! Menyelesaikan adalah keseronokan!

Jadi, mari kita ringkaskan topik tersebut.

Petua praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kita menghapuskannya dengan mendarab keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya adalah sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah menggunakan teorem Vieta. buatlah!

Sekarang kita boleh membuat keputusan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawapan (bercelaru):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - sebarang nombor

x 1 = -3
x 2 = 3

tiada penyelesaian

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Adakah semuanya sesuai? Hebat! Persamaan kuadratik bukan sakit kepala anda. Tiga yang pertama berjaya, tetapi yang lain tidak? Maka masalahnya bukan dengan persamaan kuadratik. Masalahnya ialah transformasi persamaan yang sama. Cuba lihat pautan, ia berguna.

Tidak cukup berkesan? Atau tidak berjaya langsung? Kemudian bantu anda Seksyen 555. Di sana, semua contoh ini dipecahkan sekeping demi sekeping. Ditunjukkan utama kesilapan dalam penyelesaian. Sudah tentu, ia juga bercakap tentang penggunaan transformasi identiti dalam keputusan tersebut persamaan yang berbeza. Sangat membantu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.