Koordinat pada satah koordinat. Pelajaran video “Satah koordinat

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 atau x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Setelah belajar menyelesaikan persamaan darjah pertama, sudah tentu, anda ingin bekerja dengan orang lain, khususnya, dengan persamaan darjah kedua, yang sebaliknya dipanggil kuadratik.

Persamaan kuadratik ialah persamaan seperti ax² + bx + c = 0, di mana pembolehubah ialah x, nombornya ialah a, b, c, di mana a tidak sama dengan sifar.

Jika dalam persamaan kuadratik satu atau pekali lain (c atau b) adalah sama dengan sifar, maka persamaan ini akan diklasifikasikan sebagai persamaan kuadratik tidak lengkap.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jika pelajar setakat ini hanya dapat menyelesaikan persamaan darjah pertama? Pertimbangkan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis yang berbeza dan cara mudah untuk menyelesaikannya.

a) Jika pekali c bersamaan dengan 0, dan pekali b tidak sama dengan sifar, maka ax ² + bx + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, anda perlu mengetahui formula untuk menyelesaikan yang tidak lengkap persamaan kuadratik, yang terdiri daripada pemfaktoran sebelah kirinya dan kemudian menggunakan syarat bahawa produk itu sama dengan sifar.

Sebagai contoh, 5x² - 20x = 0. Kami memfaktorkan bahagian kiri persamaan, sambil melakukan perkara biasa operasi matematik: mengalihkan jumlah faktor daripada kurungan

5x (x - 4) = 0

Kami menggunakan syarat bahawa produk adalah sama dengan sifar.

5 x = 0 atau x - 4 = 0

Jawapannya ialah: punca pertama ialah 0; punca kedua ialah 4.

b) Jika b = 0, dan sebutan bebas tidak sama dengan sifar, maka persamaan ax ² + 0x + c = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + c = 0. Persamaan diselesaikan dalam dua cara : a) dengan memfaktorkan polinomial persamaan di sebelah kiri ; b) menggunakan sifat aritmetik punca kuasa dua. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan menggunakan salah satu kaedah, contohnya:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Jawapannya ialah: punca pertama ialah 5/2; punca kedua adalah sama dengan - 5/2.

c) Jika b bersamaan dengan 0 dan c bersamaan dengan 0, maka ax ² + 0 + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² = 0. Dalam persamaan x akan sama dengan 0.

Seperti yang anda lihat, persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh mempunyai tidak lebih daripada dua punca.

Persamaan kuadratik - mudah untuk diselesaikan! *Selepas ini dirujuk sebagai “KU”. Kawan-kawan, nampaknya tidak ada yang lebih mudah dalam matematik daripada menyelesaikan persamaan sedemikian. Tetapi sesuatu memberitahu saya bahawa ramai orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tera atas permintaan Yandex berikan setiap bulan. Inilah yang berlaku, lihat:

Apakah maksudnya? Ini bermakna kira-kira 70,000 orang setiap bulan sedang mencari maklumat ini, apakah kaitan musim panas ini dengannya, dan apa yang akan berlaku di kalangan tahun akademik— akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak menghairankan, kerana lelaki dan perempuan yang lulus dari sekolah lama dahulu dan sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu sedang mencari maklumat ini, dan pelajar sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Walaupun terdapat banyak tapak yang memberitahu anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk turut menyumbang dan menerbitkan bahan tersebut. Pertama, saya mahu pelawat datang ke tapak saya berdasarkan permintaan ini; kedua, dalam artikel lain, apabila topik "KU" muncul, saya akan memberikan pautan kepada artikel ini; ketiga, saya akan memberitahu anda lebih sedikit tentang penyelesaiannya daripada yang biasanya dinyatakan di tapak lain. Mari mulakan! Kandungan artikel:

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

di mana pekali a,bdan c ialah nombor arbitrari, dengan a≠0.

DALAM kursus sekolah bahan diberikan borang berikut– persamaan dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Mempunyai satu punca sahaja.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu diperhatikan terutamanya di sini bahawa mereka tidak mempunyai akar sebenar

Bagaimanakah akar dikira? Cuma!

Kami mengira diskriminasi. Di bawah perkataan "mengerikan" ini terdapat formula yang sangat mudah:

Rumus akar adalah seperti berikut:

*Anda perlu mengetahui formula ini dengan hati.

Anda boleh segera menulis dan menyelesaikan:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

2. Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaan:

Dalam hal ini, apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, kursus sekolah mengatakan bahawa satu akar diperolehi, di sini ia sama dengan sembilan. Semuanya betul, memang begitu, tetapi...

Idea ini agak tidak betul. Sebenarnya, terdapat dua akar. Ya, ya, jangan terkejut, ternyata dua akar yang sama, dan untuk menjadi tepat secara matematik, jawapannya harus mengandungi dua punca:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tetapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah anda boleh menulisnya dan mengatakan bahawa terdapat satu akar.

Sekarang contoh seterusnya:

Seperti yang kita tahu, punca nombor negatif tidak boleh diambil, jadi penyelesaian dalam dalam kes ini Tidak.

Itulah keseluruhan proses keputusan.

Fungsi kuadratik.

Ini menunjukkan rupa penyelesaian secara geometri. Ini amat penting untuk difahami (pada masa hadapan, dalam salah satu artikel kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik).

Ini adalah fungsi borang:

di mana x dan y ialah pembolehubah

a, b, c – nombor yang diberi, dengan ≠ 0

Graf ialah parabola:

Iaitu, ternyata bahawa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan "y" sama dengan sifar, kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi x. Terdapat dua daripada perkara ini (diskriminan adalah positif), satu (diskriminan adalah sifar) dan tiada (diskriminasi adalah negatif). Butiran tentang fungsi kuadratik awak boleh tengok artikel oleh Inna Feldman.

Mari lihat contoh:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawapan: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ia adalah mungkin untuk segera meninggalkan dan sebelah kanan bahagikan persamaan dengan 2, iaitu, permudahkan. Pengiraan akan lebih mudah.

Contoh 2: buat keputusan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami mendapati bahawa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Ia dibenarkan untuk menulis x = 11 dalam jawapan.

Jawapan: x = 11

Contoh 3: buat keputusan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminasi adalah negatif, tiada penyelesaian dalam nombor nyata.

Jawapan: tiada penyelesaian

Diskriminasi adalah negatif. Ada penyelesaiannya!

Di sini kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan dalam kes apabila diskriminasi negatif diperolehi. Adakah anda tahu apa-apa tentang nombor kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara terperinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apakah peranan dan keperluan khusus mereka dalam matematik ini adalah topik untuk artikel berasingan yang besar.

Konsep nombor kompleks.

Sedikit teori.

Nombor kompleks z ialah nombor bagi bentuk

z = a + bi

di mana a dan b berada nombor nyata, i ialah unit khayalan yang dipanggil.

a+bi – ini adalah NOMBOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Unit khayalan adalah sama dengan punca tolak satu:

Sekarang pertimbangkan persamaan:

Kami mendapat dua akar konjugat.

Persamaan kuadratik tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kes khas, ini adalah apabila pekali "b" atau "c" bersamaan dengan sifar (atau kedua-duanya sama dengan sifar). Mereka boleh diselesaikan dengan mudah tanpa sebarang diskriminasi.

Kes 1. Pekali b = 0.

Persamaan menjadi:

Mari kita ubah:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kes 2. Pekali c = 0.

Persamaan menjadi:

Mari kita ubah dan pemfaktoran:

*Produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kes 3. Pekali b = 0 dan c = 0.

Di sini adalah jelas bahawa penyelesaian kepada persamaan akan sentiasa x = 0.

Sifat berguna dan corak pekali.

Terdapat sifat yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pekali yang besar.

Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a + b+ c = 0, Itu

- jika bagi pekali persamaan Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a+ s =b, Itu

Ciri-ciri ini membantu membuat keputusan jenis tertentu persamaan

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah kemungkinan ialah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, yang bermaksud

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Kesaksamaan dipegang a+ s =b, Bermakna

Keteraturan pekali.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” adalah secara berangka sama dengan pekali"a", maka akarnya adalah sama

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 – bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Pers. ax 2 + bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali "a", maka akarnya adalah sama

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 – bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali c secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorem Vieta.

Teorem Vieta dinamakan sempena yang terkenal ahli matematik Perancis Francois Vieta. Menggunakan teorem Vieta, kita boleh menyatakan jumlah dan hasil darab punca KU sewenang-wenangnya dari segi pekalinya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara keseluruhan, nombor 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah akar. Dengan kemahiran tertentu, menggunakan teorem yang dibentangkan, anda boleh menyelesaikan banyak persamaan kuadratik secara lisan serta-merta.

Teorem Vieta, sebagai tambahan. adalah mudah kerana selepas menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara biasa (melalui diskriminasi), punca yang terhasil boleh disemak. Saya mengesyorkan melakukan ini sentiasa.

KAEDAH PENGANGKUTAN

Dengan kaedah ini, pekali "a" didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila anda boleh mencari punca persamaan dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.

Jika A± b+c≠ 0, maka teknik pemindahan digunakan, contohnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Menggunakan teorem Vieta dalam persamaan (2), adalah mudah untuk menentukan bahawa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang terhasil mesti dibahagikan dengan 2 (memandangkan kedua-duanya "dilemparkan" daripada x 2), kita dapat

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Apakah rasionalnya? Lihat apa yang berlaku.

Diskriminasi persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika anda melihat punca-punca persamaan, anda hanya mendapat penyebut yang berbeza, dan hasilnya bergantung tepat pada pekali x 2:

Yang kedua (diubah suai) mempunyai akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh itu, kami membahagikan hasilnya dengan 2.

*Jika kita gulung tiga, kita akan bahagikan hasilnya dengan 3, dsb.

Jawapan: x 1 = 5 x 2 = 0.5

Sq. ur-ie dan Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Saya akan memberitahu anda secara ringkas tentang kepentingannya - ANDA MESTI BOLEH MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berfikir, anda perlu mengetahui formula akar dan diskriminasi dengan hati. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu datang untuk menyelesaikan persamaan kuadratik (termasuk geometri).

Sesuatu yang patut diberi perhatian!

1. Bentuk penulisan persamaan boleh "tersirat". Sebagai contoh, entri berikut mungkin:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standard (supaya tidak keliru semasa menyelesaikan).

2. Ingat bahawa x ialah kuantiti yang tidak diketahui dan ia boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

Lagi dengan cara yang mudah. Untuk melakukan ini, letakkan z daripada kurungan. Anda akan mendapat: z(аz + b) = 0. Faktor boleh ditulis: z=0 dan аz + b = 0, kerana kedua-duanya boleh menghasilkan sifar. Dalam notasi az + b = 0, kita gerakkan yang kedua ke kanan dengan tanda yang berbeza. Dari sini kita dapat z1 = 0 dan z2 = -b/a. Ini adalah akar asal.

Jika ada persamaan tidak lengkap daripada bentuk az² + с = 0, dalam kes ini didapati dengan hanya memindahkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan. Tukar juga tandanya. Hasilnya ialah az² = -с. Ungkapkan z² = -c/a. Ambil akar dan tulis dua penyelesaian - positif dan nilai negatif punca kuasa dua.

Sila ambil perhatian

Apabila terdapat dalam Persamaan. kemungkinan pecahan darab keseluruhan persamaan dengan faktor yang sesuai untuk menghapuskan pecahan.

Pengetahuan tentang cara menyelesaikan persamaan kuadratik adalah perlu untuk kedua-dua pelajar sekolah dan pelajar kadang-kadang ini juga boleh membantu orang dewasa dalam kehidupan biasa. Terdapat beberapa kaedah tertentu keputusan.

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Persamaan kuadratik bentuk a*x^2+b*x+c=0. Pekali x ialah pembolehubah yang dikehendaki, a, b, c ialah pekali berangka. Ingat bahawa tanda “+” boleh bertukar kepada tanda “-”.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, perlu menggunakan teorem Vieta atau mencari diskriminasi. Kaedah yang paling biasa adalah untuk mencari diskriminasi, kerana untuk beberapa nilai a, b, c tidak mungkin untuk menggunakan teorem Vieta.

Untuk mencari diskriminasi (D), anda perlu menulis formula D=b^2 - 4*a*c. Nilai D boleh lebih besar daripada, kurang daripada, atau sama dengan sifar. Jika D lebih besar atau kurang daripada sifar, maka akan ada dua punca, jika D = 0, maka hanya satu punca yang tinggal dengan lebih tepat, kita boleh mengatakan bahawa D dalam kes ini mempunyai dua punca yang setara. Gantikan pekali a, b, c yang diketahui ke dalam formula dan hitung nilainya.

Selepas anda menemui diskriminasi, gunakan formula untuk mencari x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, dengan sqrt ialah fungsi yang bermaksud mengambil punca kuasa dua bagi nombor yang diberi. Selepas mengira ungkapan ini, anda akan menemui dua punca persamaan anda, selepas itu persamaan dianggap diselesaikan.

Jika D kurang daripada sifar, maka ia masih mempunyai punca. Di sekolah bahagian ini praktikal tidak dipelajari. Pelajar universiti harus sedar apa yang sedang muncul nombor negatif di bawah akar. Mereka menyingkirkannya dengan menyerlahkan bahagian khayalan, iaitu, -1 di bawah akar sentiasa sama dengan unsur khayalan "i", yang didarabkan dengan punca dengan nombor positif yang sama. Sebagai contoh, jika D=sqrt(-20), selepas penjelmaan kita mendapat D=sqrt(20)*i. Selepas penjelmaan ini, penyelesaian persamaan dikurangkan kepada penemuan punca yang sama seperti yang diterangkan di atas.

Teorem Vieta terdiri daripada memilih nilai x(1) dan x(2). Dua digunakan persamaan yang sama: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Dan sangat perkara penting ialah tanda di hadapan pekali b, ingat bahawa tanda ini bertentangan dengan tanda dalam persamaan. Pada pandangan pertama, nampaknya pengiraan x(1) dan x(2) adalah sangat mudah, tetapi apabila menyelesaikan, anda akan berhadapan dengan hakikat bahawa anda perlu memilih nombor.

Elemen penyelesaian persamaan kuadratik

Mengikut peraturan matematik, sesetengahnya boleh difaktorkan: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jika anda berjaya mengubah persamaan kuadratik ini dengan cara yang sama menggunakan formula matematik, maka jangan ragu untuk tulis jawapan. x(1) dan x(2) akan sama dengan pekali bersebelahan dalam kurungan, tetapi dengan tanda yang bertentangan.

Juga, jangan lupa tentang persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Anda mungkin kehilangan beberapa istilah jika ya, maka semua pekalinya adalah sama dengan sifar. Jika tiada apa-apa di hadapan x^2 atau x, maka pekali a dan b adalah sama dengan 1.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Bajet perbandaran institusi pendidikan purata sekolah menengah № 11

Teks kerja disiarkan tanpa imej dan formula.
Versi penuh kerja tersedia dalam tab "Fail Kerja" dalam format PDF

Sejarah persamaan kuadratik

Babylon

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja darjah pertama, tetapi juga yang kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah, dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan sekitar 2000 SM. e. orang Babylon. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylon, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi dalam teks ini tidak ada konsep nombor negatif dan kaedah umum menyelesaikan persamaan kuadratik.

Yunani Purba

Menyelesaikan persamaan kuadratik juga dilakukan dalam Yunani Purba saintis seperti Diophantus, Euclid dan Heron. Diophantus Diophantus dari Alexandria ialah seorang ahli matematik Yunani kuno yang mungkin hidup pada abad ke-3 Masihi. Kerja utama Diophantus ialah "Aritmetik" dalam 13 buku. Euclid. Euclid ialah seorang ahli matematik Yunani purba, pengarang risalah teori pertama mengenai matematik yang telah diturunkan kepada kita, Heron. Heron - ahli matematik dan jurutera Yunani pertama di Greece pada abad ke-1 Masihi. memberikan cara algebra semata-mata untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

India

Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bersatu bentuk kanonik: ax2 + bх = с, а> 0. (1) Dalam persamaan (1) pekali boleh negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita. Pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa di India. Salah satu buku lama India mengatakan perkara berikut tentang pertandingan seperti itu: "Sebagaimana matahari gerhana bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga lelaki terpelajar akan mengalahkan kegemilangannya dalam perhimpunan awam dengan mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra.” Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskar.

“Sekumpulan monyet lincah

Dan dua belas di sepanjang pokok anggur, setelah makan sepuas hati saya, berseronok

Mereka mula melompat, tergantung

Bahagian lapan daripadanya adalah kuasa dua

Berapakah bilangan monyet yang ada?

Saya berseronok di kawasan lapang

Beritahu saya, dalam pek ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa penulis tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai. Bhaskar menulis persamaan yang sepadan dengan masalah sebagai x2 - 64x = - 768 dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada segi empat sama, tambah 322 kepada kedua-dua belah, kemudian memperoleh: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Persamaan kuadratik dalam Eropah XVII abad

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di sepanjang garis Al-Khorezmi di Eropah pertama kali dinyatakan dalam Kitab Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, baik dari negara-negara Islam dan dari Yunani kuno, dibezakan oleh kesempurnaan dan kejelasan persembahannya. Pengarang secara bebas membangunkan beberapa yang baru contoh algebra menyelesaikan masalah dan merupakan yang pertama di Eropah memperkenalkan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari Kitab Abakus digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII. Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam pandangan umum Viet memilikinya, tetapi Viet hanya mengenalinya akar positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Mereka mengambil kira, sebagai tambahan kepada positif, dan akar negatif. Hanya pada abad ke-17. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan lain-lain cara saintis menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

Definisi persamaan kuadratik

Persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana a, b, c ialah nombor, dipanggil kuadratik.

Pekali persamaan kuadratik

Nombor a, b, c ialah pekali bagi persamaan kuadratik a ialah pekali pertama (sebelum x²), a ≠ 0;

Manakah antara persamaan ini bukan kuadratik??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Nama	Bentuk umum persamaan	Ciri (apakah pekali)	Contoh persamaan
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - nombor selain daripada 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
tak lengkap
			x 2 - 1/5x = 0
Diberi	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Dikurangkan ialah persamaan kuadratik di mana pekali pendahulunya ialah sama dengan satu. Persamaan sedemikian boleh diperolehi dengan membahagikan keseluruhan ungkapan dengan pekali pendahulu a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Persamaan kuadratik dipanggil lengkap jika semua pekalinya adalah bukan sifar.

Persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap di mana sekurang-kurangnya satu daripada pekali, kecuali yang mendahului (sama ada pekali kedua atau sebutan bebas), adalah sama dengan sifar.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Kaedah I Formula am untuk mengira akar

Untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kapak 2 + b + c = 0 V kes am anda harus menggunakan algoritma di bawah:

Kira nilai diskriminasi persamaan kuadratik: ini adalah ungkapan untuknya D= b 2 - 4ac

Terbitan formula:

Nota: Jelas sekali bahawa formula untuk punca kepelbagaian 2 ialah kes khas formula am, yang diperoleh dengan menggantikan kesamaan D=0 ke dalamnya, dan kesimpulan tentang ketiadaan punca sebenar pada D0, dan (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Kaedah yang dibentangkan adalah universal, tetapi ia jauh dari satu-satunya. Menyelesaikan persamaan tunggal boleh didekati dalam pelbagai cara, dengan keutamaan biasanya bergantung pada penyelesai. Di samping itu, selalunya untuk tujuan ini beberapa kaedah ternyata lebih elegan, mudah, dan kurang intensif buruh daripada yang standard.

II kaedah. Punca-punca persamaan kuadratik dengan pekali genap b III kaedah. Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Kaedah IV. Menggunakan nisbah separa pekali

Terdapat kes khas persamaan kuadratik di mana pekali berada dalam hubungan antara satu sama lain, menjadikannya lebih mudah untuk diselesaikan.

Punca-punca persamaan kuadratik di mana jumlah pekali pendahulu dan sebutan bebas adalah sama dengan pekali kedua

Jika dalam persamaan kuadratik kapak 2 + bx + c = 0 jumlah pekali pertama dan sebutan bebas adalah sama dengan pekali kedua: a+b=c, maka puncanya ialah -1 dan nombornya sikap yang bertentangan jangka bebas kepada pekali pendahulu ( -c/a).

Oleh itu, sebelum menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik, anda harus menyemak kemungkinan menggunakan teorem ini kepadanya: bandingkan hasil tambah pekali pendahulu dan sebutan bebas dengan pekali kedua.

Punca-punca persamaan kuadratik yang jumlah semua pekalinya ialah sifar

Jika dalam persamaan kuadratik jumlah semua pekalinya adalah sifar, maka punca-punca persamaan tersebut ialah 1 dan nisbah sebutan bebas kepada pekali pendahulu ( c/a).

Oleh itu, sebelum menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah piawai, anda harus menyemak kebolehgunaan teorem ini kepadanya: tambah semua pekali persamaan yang diberikan dan lihat sama ada jumlah ini sama dengan sifar.

kaedah V. Memfaktorkan trinomial kuadratik kepada faktor linear

Jika trinomial adalah dalam bentuk (gaya paparan ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) entah bagaimana boleh diwakili sebagai hasil darab faktor linear (gaya paparan (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), maka kita boleh mencari punca-punca persamaan kapak 2 + bx + c = 0- mereka akan menjadi -m/k dan n/l, sememangnya, selepas semua (gaya paparan (kx+m)(lx+n)=0Panjang kiri anak panah kx+m=0cawan lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, dan setelah menyelesaikan yang ditunjukkan persamaan linear, kita dapat perkara di atas. Perhatikan bahawa trinomial kuadratik tidak selalu terurai kepada faktor linear dengan pekali nyata: ini mungkin jika persamaan yang sepadan mempunyai punca sebenar.

Mari kita pertimbangkan beberapa kes khas

Menggunakan formula jumlah kuasa dua (perbezaan).

Jika trinomial kuadratik mempunyai bentuk (gaya paparan (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , maka dengan menggunakan formula di atas kepadanya, kita boleh memfaktorkannya ke dalam faktor linear dan , oleh itu, cari akar:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Pemilihan persegi penuh jumlah (perbezaan)

Formula di atas juga digunakan menggunakan kaedah yang dipanggil "memilih kuasa dua penuh hasil tambah (perbezaan)." Berhubung dengan persamaan kuadratik di atas dengan tatatanda yang diperkenalkan sebelum ini, ini bermakna yang berikut:

Nota: kalau korang perasan formula ini bertepatan dengan yang dicadangkan dalam bahagian "Akar persamaan kuadratik terkurang", yang seterusnya, boleh diperoleh daripada formula am (1) dengan menggantikan kesamaan a=1. Fakta ini bukan hanya kebetulan: menggunakan kaedah yang diterangkan, walaupun dengan beberapa alasan tambahan, adalah mungkin untuk menyimpulkan formula am, dan juga membuktikan sifat-sifat diskriminasi.

Kaedah VI. Menggunakan teorem Vieta langsung dan songsang

Teorem langsung Vieta (lihat di bawah dalam bahagian nama yang sama) dan teorem songsangnya membolehkan anda menyelesaikan persamaan kuadratik di atas secara lisan, tanpa menggunakan pengiraan yang agak rumit menggunakan formula (1).

mengikut bertentangan dengan teorem, setiap pasangan nombor (nombor) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2 menjadi penyelesaian kepada sistem persamaan di bawah ialah punca-punca persamaan

Dalam kes umum, iaitu, untuk persamaan kuadratik tidak dikurangkan ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Teorem langsung akan membantu anda mencari nombor yang memenuhi persamaan ini secara lisan. Dengan bantuannya, anda boleh menentukan tanda-tanda akar tanpa mengetahui akar itu sendiri. Untuk melakukan ini, anda harus mengikuti peraturan:

1) jika istilah bebas adalah negatif, maka akar mempunyai tanda berbeza, dan modulo terbesar akar ialah tanda tanda bertentangan pekali kedua persamaan;

2) jika istilah bebas adalah positif, maka kedua-dua punca mempunyai dengan tanda yang sama, dan ini adalah tanda yang bertentangan dengan tanda pekali kedua.

Kaedah VII. Kaedah pemindahan

Kaedah yang dipanggil "pemindahan" membolehkan anda mengurangkan penyelesaian persamaan tidak dikurangkan dan tidak boleh dikurangkan kepada bentuk persamaan dikurangkan dengan pekali integer dengan membahagikannya dengan pekali utama kepada penyelesaian persamaan terkurang dengan pekali integer. Ia adalah seperti berikut:

Seterusnya, persamaan diselesaikan secara lisan mengikut cara yang diterangkan di atas, kemudian ia kembali kepada pembolehubah asal dan mencari punca persamaan (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = kapak 1 Dan y 2 = kapak 2 .(gaya paparan y_(2)=ax_(2))

Makna geometri

Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola. Penyelesaian (akar) persamaan kuadratik ialah absis bagi titik persilangan parabola dengan paksi absis. Jika parabola diterangkan fungsi kuadratik, tidak bersilang dengan paksi-x, persamaan tidak mempunyai punca sebenar. Jika parabola memotong paksi-x pada satu titik (di puncak parabola), persamaan itu mempunyai satu punca nyata (persamaan itu juga dikatakan mempunyai dua punca bertepatan). Jika parabola bersilang dengan paksi-x pada dua titik, persamaan mempunyai dua punca nyata (lihat imej di sebelah kanan.)

Jika pekali (gaya paparan a) a positif, cabang parabola diarahkan ke atas dan sebaliknya. Jika pekali (gaya paparan b) bpositif (jika positif (gaya paparan a) a, jika negatif, sebaliknya), maka bucu parabola terletak pada separuh satah kiri dan begitu juga sebaliknya.

Aplikasi persamaan kuadratik dalam kehidupan

Persamaan kuadratik digunakan secara meluas. Ia digunakan dalam banyak pengiraan, struktur, sukan, dan juga di sekeliling kita.

Mari kita pertimbangkan dan berikan beberapa contoh aplikasi persamaan kuadratik.

Sukan. Lompat tinggi: semasa pelompat larian untuk memukul bar berlepas sejelas mungkin dan terbang tinggi gunakan pengiraan yang melibatkan parabola.

Juga, pengiraan yang serupa diperlukan dalam melontar. Julat penerbangan sesuatu objek bergantung pada persamaan kuadratik.

Astronomi. Trajektori planet-planet boleh didapati menggunakan persamaan kuadratik.

Penerbangan kapal terbang. Pesawat berlepas adalah komponen utama penerbangan. Di sini kita mengambil pengiraan untuk rintangan rendah dan pecutan berlepas.

Persamaan kuadratik juga digunakan dalam pelbagai disiplin ekonomi, dalam program untuk memproses audio, video, vektor dan grafik raster.

Kesimpulan

Hasil daripada kerja yang dilakukan, ternyata persamaan kuadratik telah menarik minat saintis pada zaman dahulu; mereka telah pun menemuinya ketika menyelesaikan beberapa masalah dan cuba menyelesaikannya. Memandangkan pelbagai cara menyelesaikan persamaan kuadratik, saya membuat kesimpulan bahawa tidak semuanya mudah. Pada pendapat saya yang paling cara terbaik menyelesaikan persamaan kuadratik ialah menyelesaikan dengan formula. Formula mudah diingat, kaedah ini adalah universal. Hipotesis bahawa persamaan digunakan secara meluas dalam kehidupan dan matematik telah disahkan. Selepas mempelajari topik itu, saya belajar banyak fakta menarik tentang persamaan kuadratik, penggunaannya, aplikasi, jenis, penyelesaian. Dan saya akan gembira untuk terus belajar mereka. Saya harap ini akan membantu saya mencapai kejayaan dalam peperiksaan saya.

Senarai sastera terpakai

Bahan tapak:

Wikipedia

Pelajaran terbuka.rf

Buku Panduan Matematik Rendah Vygodsky M. Ya.

Saya harap, setelah belajar artikel ini, anda akan belajar mencari punca bagi persamaan kuadratik lengkap.

Menggunakan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap."

Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita perlu mengira diskriminasi D.

D = b 2 – 4ac.

Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi ialah nombor negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi nombor positif(D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Contohnya. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawapan: – 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial pandangan standard

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).

Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx dan kemudian ahli percuma Dengan.

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang dan persamaan kuadratik dengan pekali genap dalam sebutan kedua, anda boleh menggunakan formula lain. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik lengkap sebutan kedua mempunyai pekali genap (b = 2k), maka anda boleh menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 adalah sama dengan satu dan persamaan itu mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaan

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3

Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini ialah nombor genap, iaitu, b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari kita cuba menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah rajah D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang.
persamaan rajah 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang anda lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula yang berbeza, kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik yang lengkap.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.