Dalam lukisan tiga unjuran, kedalaman titik AA 2 diunjurkan tanpa herotan pada satah P 1 dan P 2 (Rajah 62, a). Keadaan ini membolehkan kita membina unjuran ketiga - hadapan titik TAPI sepanjang mendatarnya A 1 dan frontal A 2 unjuran (Rajah 62, dalam). Untuk melakukan ini, melalui unjuran hadapan titik, anda perlu melukis garis komunikasi mendatar A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Kemudian, di mana-mana sahaja pada lukisan, lukiskan paksi unjuran П 2 / П 3 _|_ A 2 A 3, mengukur kedalaman f titik pada mengufuk medan unjuran dan ketepikannya di sepanjang garis komunikasi mendatar dari paksi unjuran P 2 /P 3 . Dapatkan unjuran profil A 3 mata TAPI.

Oleh itu, dalam lukisan kompleks yang terdiri daripada tiga unjuran ortogon bagi satu titik, dua unjuran berada pada garis komunikasi yang sama; talian komunikasi adalah berserenjang dengan paksi unjuran yang sepadan; dua unjuran titik menentukan sepenuhnya kedudukan unjuran ketiganya.

Perlu diingatkan bahawa dalam lukisan kompleks, sebagai peraturan, satah unjuran tidak terhad dan kedudukannya ditetapkan oleh paksi (Rajah 62, c). Dalam kes di mana keadaan masalah tidak memerlukan ini

Ternyata unjuran mata boleh diberikan tanpa menggambarkan paksi (Rajah 63, a, b). Sistem sedemikian dipanggil tidak berasas. Talian komunikasi juga boleh dilukis dengan jurang (Rajah 63, b).

62.gif

Imej:

63.gif

Imej:

34. Kedudukan titik dalam ruang sudut tiga dimensi

§ 34. Kedudukan titik dalam ruang sudut tiga dimensi

Lokasi unjuran titik dalam lukisan kompleks bergantung kepada kedudukan titik dalam ruang sudut tiga dimensi. Mari kita pertimbangkan beberapa kes:

• titik itu terletak di angkasa (lihat Rajah 62). Dalam kes ini, ia mempunyai kedalaman, ketinggian dan keluasan;
• titik terletak pada satah unjuran P 1- ia tidak mempunyai ketinggian, P 2 - tiada kedalaman, Pz - tiada keluasan;
• titik terletak pada paksi unjuran, P 2 / P 1 tidak mempunyai kedalaman dan ketinggian, P 2 / P 3 - tidak mempunyai kedalaman dan latitud dan P 1 / P 3 tidak mempunyai ketinggian dan latitud.

35. Mata bertanding

§ 35. Mata bertanding

Dua titik di angkasa boleh terletak dengan cara yang berbeza. Dalam kes tertentu, ia boleh dikesan supaya unjuran mereka pada beberapa satah unjuran bertepatan. Titik sedemikian dipanggil bertanding. Pada rajah. 64, a lukisan kompleks mata diberikan TAPI dan AT. Mereka terletak supaya unjuran mereka bertepatan pada pesawat P 1 [A 1 \u003d= B 1]. Titik sedemikian dipanggil bersaing secara mendatar. Jika unjuran mata A dan B bertepatan di dalam kapal terbang

P 2(Gamb. 64, b) mereka dipanggil bersaing secara hadapan. Dan jika unjuran mata TAPI dan AT bertepatan pada satah P 3 [A 3 \u003d= B 3] (Rajah 64, c), mereka dipanggil profil kompetitif.

Mata yang bersaing menentukan keterlihatan dalam lukisan. Mata yang bersaing secara mendatar akan melihat mata yang mempunyai ketinggian yang lebih tinggi, yang bersaing secara hadapan - yang mempunyai kedalaman yang lebih, dan yang bersaing dengan profil - yang mempunyai lebih latitud.

64.gif

Imej:

36. Menggantikan satah unjuran

§ 36. Penggantian satah unjuran

Ciri-ciri lukisan tiga unjuran titik membolehkan untuk membina yang ketiga pada satah unjuran lain, yang diperkenalkan dan bukannya yang diberikan, menggunakan unjuran mendatar dan hadapannya.

Pada rajah. 65 a menunjukkan titik TAPI dan unjurannya - mendatar A 1 dan bahagian hadapan A 2 . Mengikut keadaan masalah, adalah perlu untuk menggantikan pesawat П 2 . Mari kita tentukan satah unjuran baharu P 4 dan letakkannya secara berserenjang P 1. Di persimpangan kapal terbang P 1 dan P 4 kita mendapat paksi baru P 1 / P 4 . Unjuran titik baharu A 4 akan ditempatkan pada talian komunikasi yang melalui satu titik A 1 dan berserenjang dengan paksi P 1 / P 4 .

Sejak kapal terbang baru P 4 menggantikan satah unjuran hadapan P 2 , ketinggian titik TAPI digambarkan sama dalam saiz penuh dan pada satah P 2 dan pada satah P 4 .

Keadaan ini membolehkan kita menentukan kedudukan unjuran A 4 , dalam sistem kapal terbang P 1 _|_ P 4(Gamb. 65, b) pada lukisan kompleks. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengukur ketinggian titik pada satah yang diganti

sti unjuran P 2, letakkannya pada saluran komunikasi baharu dari paksi unjuran baharu - dan unjuran baharu titik A 4 akan dibina.

Jika satah unjuran baharu diperkenalkan dan bukannya satah unjuran mendatar, iaitu P 4 _ | _ P 2 (Rajah 66, a), maka dalam sistem pesawat baharu, unjuran titik baharu akan berada pada talian komunikasi yang sama dengan unjuran hadapan, dan A 2 A 4 _|_. Dalam kes ini, kedalaman titik adalah sama pada satah P 1, dan dalam kapal terbang P 4 . Atas dasar ini mereka membina A 4(Gamb. 66, b) pada talian komunikasi A 2 A 4 pada jarak sedemikian dari paksi baru P 1 / P 4 pada apa A 1 terletak dari paksi P 2 / P 1.

Seperti yang telah dinyatakan, pembinaan unjuran tambahan baharu sentiasa dikaitkan dengan tugas-tugas tertentu. Pada masa hadapan, beberapa masalah metrik dan kedudukan yang diselesaikan menggunakan kaedah menggantikan satah unjuran akan dipertimbangkan. Dalam tugas di mana pengenalan satu satah tambahan tidak akan memberikan hasil yang diingini, satah tambahan lain diperkenalkan, yang dilambangkan dengan P 5 . Ia diletakkan berserenjang dengan satah P 4 yang telah diperkenalkan (Rajah 67, a), iaitu P 5 P 4 dan menghasilkan binaan yang serupa dengan yang dipertimbangkan sebelum ini. Kini jarak diukur pada detik yang digantikan dari satah unjuran utama (dalam Rajah 67, b di permukaan P 1) dan mendepositkannya pada talian komunikasi baharu A 4 A 5, daripada paksi unjuran baharu P 5 /P 4 . Dalam sistem baru pesawat P 4 P 5, lukisan dua unjuran baru diperoleh, yang terdiri daripada unjuran ortogon A 4 dan A 5 , dihubungkan dengan talian komunikasi

Radas unjuran

Radas unjuran (Rajah 1) termasuk tiga satah unjuran:

π 1 - satah unjuran mendatar;

π 2 - satah unjuran hadapan;

π 3– satah profil unjuran .

Satah unjuran adalah saling berserenjang ( π 1^ π 2^ π 3), dan garis persilangan mereka membentuk paksi:

Persimpangan kapal terbang π 1 dan π 2 membentuk paksi 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Persimpangan kapal terbang π 1 dan π 3 membentuk paksi 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Persimpangan kapal terbang π 2 dan π 3 membentuk paksi 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Titik persilangan paksi (ОХ∩OY∩OZ=0) dianggap sebagai titik rujukan (titik 0).

Oleh kerana satah dan paksi saling berserenjang, radas sedemikian adalah serupa dengan sistem koordinat Cartes.

Satah unjuran membahagikan seluruh ruang kepada lapan oktan (dalam Rajah 1 ia ditunjukkan dengan angka Rom). Satah unjuran dianggap legap dan penonton sentiasa masuk saya oktana ke.

Unjuran ortogon dengan pusat unjuran S1, S2 dan S3 masing-masing untuk satah unjuran mendatar, hadapan dan profil.

TAPI.

Dari pusat unjuran S1, S2 dan S3 memancarkan rasuk keluar l 1, l 2 dan l 3 TAPI

- A 1 TAPI;

- A 2 – unjuran hadapan mata TAPI;

- A 3– unjuran profil titik TAPI.

Titik dalam ruang dicirikan oleh koordinatnya A(x,y,z). mata A x, A y dan Az masing-masing pada paksi 0X, 0Y dan 0Z tunjukkan koordinat x, y dan z mata TAPI. Pada rajah. 1 memberikan semua sebutan yang diperlukan dan menunjukkan hubungan antara titik TAPI ruang, unjuran dan koordinatnya.

rajah titik

Untuk merancang titik TAPI(Rajah 2), dalam radas unjuran (Rajah 1) satah π 1 A 1 0X π 2. Kemudian kapal terbang π 3 dengan unjuran titik A 3, putar lawan jam di sekeliling paksi 0Z, sehingga ia bertepatan dengan kapal terbang π 2. Arah putaran satah π 2 dan π 3 ditunjukkan dalam rajah. 1 anak panah. Pada masa yang sama, langsung A 1 A x dan A 2 A x 0X berserenjang A 1 A 2, dan garis lurus A 2 A x dan A 3 A x akan terletak sama dengan paksi 0Z berserenjang A 2 A 3. Garisan ini akan dirujuk sebagai menegak dan mendatar talian sambungan.

Perlu diingatkan bahawa semasa peralihan dari radas unjuran ke gambar rajah, objek yang diunjurkan hilang, tetapi semua maklumat tentang bentuknya, dimensi geometri dan kedudukannya di ruang angkasa dipelihara.

TAPI(x A , y A , z Ax A , y A dan z A dalam urutan berikut (Rajah 2). Urutan ini dipanggil teknik plot titik.

1. Kapak dilukis secara ortogon OX, OY dan oz.

2. Pada paksi OX x A mata TAPI dan dapatkan kedudukan titik A x.

3. Melalui titik A x berserenjang dengan paksi OX

A x mengikut arah paksi OY nilai berangka koordinat ditangguhkan y A mata TAPI A 1 pada plot.

A x mengikut arah paksi oz nilai berangka koordinat ditangguhkan z A mata TAPI A 2 pada plot.

6. Melalui titik A 2 selari dengan paksi OX satu garisan melintang dilukis. Persilangan garis ini dan paksi oz akan memberikan kedudukan titik A z.

7. Pada garis mendatar dari titik A z mengikut arah paksi OY nilai berangka koordinat ditangguhkan y A mata TAPI dan kedudukan unjuran profil titik ditentukan A 3 pada plot.

Ciri titik

Semua titik ruang dibahagikan kepada titik kedudukan peribadi dan umum.

Mata kedudukan peribadi. Titik kepunyaan radas unjuran dipanggil titik kedudukan tertentu. Ini termasuk titik kepunyaan satah unjuran, paksi, asal dan pusat unjuran. Ciri ciri titik kedudukan peribadi ialah:

Metamatematik - satu, dua atau semua nilai berangka koordinat adalah sama dengan sifar dan (atau) infiniti;

Pada rajah - dua atau semua unjuran titik terletak pada paksi dan (atau) terletak pada infiniti.

Mata dalam kedudukan umum. Titik dalam kedudukan umum termasuk mata yang bukan milik radas unjuran. Contohnya, dot TAPI dalam rajah. 1 dan 2.

Dalam kes umum, nilai berangka koordinat titik mencirikan jaraknya dari satah unjuran: koordinat X dari kapal terbang π 3; menyelaras y dari kapal terbang π 2; menyelaras z dari kapal terbang π 1. Perlu diingatkan bahawa tanda-tanda pada nilai berangka koordinat menunjukkan arah penyingkiran titik dari satah unjuran. Bergantung pada gabungan tanda untuk nilai berangka koordinat titik, ia bergantung pada oktana mana ia terletak.

Kaedah Dua Imej

Dalam amalan, sebagai tambahan kepada kaedah unjuran penuh, kaedah dua imej digunakan. Ia berbeza kerana unjuran ketiga objek dikecualikan dalam kaedah ini. Untuk mendapatkan radas unjuran bagi kaedah dua imej, satah unjuran profil dengan pusat unjurannya dikecualikan daripada radas unjuran penuh (Rajah 3). Di samping itu, pada paksi 0X asal ditetapkan (titik 0 ) dan daripadanya berserenjang dengan paksi 0X dalam satah unjuran π 1 dan π 2 menghabiskan paksi 0Y dan 0Z masing-masing.

Dalam radas ini, keseluruhan ruang dibahagikan kepada empat sukuan. Pada rajah. 3 ditandakan dengan angka Rom.

Satah unjuran dianggap legap, dan penonton sentiasa masuk saya kuadran ke.

Pertimbangkan pengendalian peranti menggunakan contoh mengunjurkan titik TAPI.

Dari pusat unjuran S1 dan S2 memancarkan rasuk keluar l 1 dan l 2. Sinar ini melalui titik TAPI dan bersilang dengan satah unjuran membentuk unjurannya:

- A 1- unjuran mendatar sesuatu titik TAPI;

- A 2– unjuran hadapan titik TAPI.

Untuk merancang titik TAPI(Rajah 4), dalam radas unjuran (Rajah 3) satah π 1 dengan unjuran titik yang terhasil A 1 berputar mengikut arah jam mengelilingi paksi 0X, sehingga ia bertepatan dengan kapal terbang π 2. Arah putaran satah π 1 ditunjukkan dalam rajah. 3 anak panah. Pada masa yang sama, hanya satu titik kekal pada rajah titik yang diperolehi dengan kaedah dua imej. menegak talian komunikasi A 1 A 2.

Dalam praktiknya, merancang titik TAPI(x A , y A , z A) dijalankan mengikut nilai berangka koordinatnya x A , y A dan z A dalam urutan berikut (Rajah 4).

1. Satu paksi dilukis OX dan asal ditetapkan (titik 0 ).

2. Pada paksi OX nilai berangka koordinat ditangguhkan x A mata TAPI dan dapatkan kedudukan titik A x.

3. Melalui titik A x berserenjang dengan paksi OX satu garisan menegak dilukis.

4. Pada garis menegak dari titik A x mengikut arah paksi OY nilai berangka koordinat ditangguhkan y A mata TAPI dan kedudukan unjuran mendatar titik ditentukan A 1 OY tidak diplot, tetapi nilai positifnya diandaikan berada di bawah paksi OX, manakala yang negatif lebih tinggi.

5. Pada garis menegak dari titik A x mengikut arah paksi oz nilai berangka koordinat ditangguhkan z A mata TAPI dan kedudukan unjuran hadapan titik ditentukan A 2 pada plot. Perlu diingatkan bahawa pada rajah paksi oz tidak dilukis, tetapi diandaikan bahawa nilai positifnya terletak di atas paksi OX, manakala yang negatif adalah lebih rendah.

Mata bertanding

Titik pada sinar unjuran yang sama dipanggil titik bersaing. Mereka mempunyai unjuran biasa ke arah rasuk unjuran, i.e. unjuran mereka bertepatan sama. Ciri ciri mata yang bersaing pada rajah adalah kebetulan yang sama bagi unjuran mereka dengan nama yang sama. Persaingan terletak pada keterlihatan unjuran ini berbanding dengan pemerhati. Dalam erti kata lain, dalam ruang untuk pemerhati, salah satu titik kelihatan, yang lain tidak. Dan, dengan itu, dalam lukisan: salah satu unjuran mata yang bersaing kelihatan, dan unjuran titik lain tidak dapat dilihat.

Pada model unjuran spatial (Rajah 5) daripada dua titik yang bersaing TAPI dan AT titik yang kelihatan TAPI atas dua alasan yang saling melengkapi. Mengikut rantai S 1 →A→B titik TAPI lebih dekat kepada pemerhati daripada satu titik AT. Dan, dengan itu, lebih jauh dari satah unjuran π 1(mereka. z A > z A).

nasi. 5 Rajah.6

Jika titik itu sendiri kelihatan A, maka unjurannya juga kelihatan A 1. Berhubung dengan unjuran yang bertepatan dengannya B1. Untuk kejelasan dan, jika perlu, pada rajah, unjuran mata yang tidak kelihatan biasanya disertakan dalam kurungan.

Keluarkan titik pada model TAPI dan AT. Unjuran serentak mereka pada pesawat akan kekal π 1 dan unjuran berasingan - hidup π 2. Kami meninggalkan unjuran hadapan pemerhati (⇩) secara bersyarat, terletak di tengah unjuran S1. Kemudian di sepanjang rangkaian imej ⇩ → A2 → B2 ia akan menjadi mungkin untuk menilai itu z A > z B dan titik itu sendiri boleh dilihat TAPI dan unjurannya A 1.

Begitu juga, pertimbangkan mata yang bersaing DARI dan D nampaknya relatif kepada satah π 2 . Sejak rasuk unjuran biasa bagi mata ini l 2 selari dengan paksi 0Y, maka tanda keterlihatan mata yang bersaing DARI dan D ditentukan oleh ketidaksamaan yC > yD. Oleh itu, intinya D ditutup dengan titik DARI dan, dengan itu, unjuran titik D2 akan diliputi oleh unjuran titik Dari 2 di permukaan π 2.

Mari kita pertimbangkan bagaimana keterlihatan mata bersaing ditentukan dalam lukisan kompleks (Rajah 6).

Mengikut unjuran padanan A 1≡DALAM 1 mata itu sendiri TAPI dan AT berada pada rasuk unjuran yang sama selari dengan paksi 0Z. Jadi koordinat perlu dibandingkan z A dan z B titik-titik ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan satah unjuran hadapan dengan imej titik berasingan. AT kes ini z A > z B. Ia berikutan daripada ini bahawa unjuran boleh dilihat A 1.

mata C dan D dalam lukisan kompleks yang sedang dipertimbangkan (Rajah 6) juga berada pada rasuk unjuran yang sama, tetapi hanya selari dengan paksi 0Y. Oleh itu, daripada perbandingan yC > yD kami membuat kesimpulan bahawa unjuran C 2 boleh dilihat.

Peraturan Am . Keterlihatan untuk unjuran bertepatan mata bersaing ditentukan dengan membandingkan koordinat titik-titik ini ke arah rasuk unjuran biasa. Kelihatan ialah unjuran titik yang koordinat ini lebih besar. Dalam kes ini, perbandingan koordinat dilakukan pada satah unjuran dengan imej mata yang berasingan.

Dalam artikel ini, kami akan menemui jawapan kepada soalan tentang cara membuat unjuran titik pada satah dan cara menentukan koordinat unjuran ini. Dalam bahagian teori, kita akan bergantung pada konsep unjuran. Kami akan memberikan definisi istilah, mengiringi maklumat dengan ilustrasi. Mari kita satukan pengetahuan yang diperoleh dengan menyelesaikan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Unjuran, jenis unjuran

Untuk kemudahan pertimbangan angka spatial, lukisan yang menggambarkan angka ini digunakan.

Definisi 1

Unjuran rajah ke atas satah- lukisan rajah ruang.

Jelas sekali, terdapat beberapa peraturan yang digunakan untuk membina unjuran.

Definisi 2

unjuran- proses membina lukisan rajah ruang pada satah menggunakan peraturan pembinaan.

Satah unjuran ialah satah di mana imej itu dibina.

Penggunaan peraturan tertentu menentukan jenis unjuran: pusat atau selari.

kes istimewa unjuran selari adalah unjuran serenjang atau ortogon: dalam geometri, ia digunakan terutamanya. Atas sebab ini, kata sifat "serenjang" itu sendiri sering ditinggalkan dalam ucapan: dalam geometri mereka hanya mengatakan "unjuran angka" dan bermaksud dengan ini pembinaan unjuran dengan kaedah unjuran serenjang. Dalam kes-kes khas, sudah tentu, sebaliknya boleh ditetapkan.

Kami perhatikan fakta bahawa unjuran angka ke atas satah, sebenarnya, unjuran semua titik angka ini. Oleh itu, untuk dapat mengkaji rajah spatial dalam lukisan, adalah perlu untuk mendapatkan kemahiran asas mengunjurkan satu titik ke atas satah. Apa yang akan kita bincangkan di bawah.

Ingat bahawa selalunya dalam geometri, bercakap tentang unjuran pada satah, ia bermaksud penggunaan unjuran serenjang.

Kami akan membuat binaan yang membolehkan kami memperoleh definisi unjuran titik pada satah.

Katakan ruang tiga dimensi diberikan, dan di dalamnya - satah α dan titik M 1 yang bukan milik satah α. Mari kita melukis titik yang diberikan M 1 lurus a berserenjang dengan satah α yang diberi. Titik persilangan garis a dan satah α akan dilambangkan sebagai H 1 , dengan pembinaan ia akan berfungsi sebagai tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M 1 ke satah α.

Jika titik M 2 diberikan, kepunyaan satah α tertentu, maka M 2 akan berfungsi sebagai unjuran dirinya ke atas satah α.

Definisi 3

ialah sama ada titik itu sendiri (jika ia tergolong dalam satah tertentu), atau tapak serenjang dijatuhkan dari titik tertentu ke satah tertentu.

Mencari koordinat unjuran titik pada satah, contoh

Biarkan dalam ruang tiga dimensi diberi: sistem koordinat segi empat tepat O x y z, satah α, titik M 1 (x 1, y 1, z 1) . Ia adalah perlu untuk mencari koordinat unjuran titik M 1 pada satah tertentu.

Penyelesaiannya jelas mengikut definisi di atas tentang unjuran titik ke atas satah.

Kami menandakan unjuran titik M 1 pada satah α sebagai H 1 . Mengikut definisi, H 1 ialah titik persilangan satah α yang diberi dan garis a melalui titik M 1 (berserenjang dengan satah). Itu. koordinat unjuran titik M 1 yang kita perlukan ialah koordinat titik persilangan garis a dan satah α.

Oleh itu, untuk mencari koordinat unjuran titik ke atas satah, adalah perlu:

Dapatkan persamaan satah α (sekiranya ia tidak ditetapkan). Artikel tentang jenis persamaan satah akan membantu anda di sini;

Tentukan persamaan garis a yang melalui titik M 1 dan berserenjang dengan satah α (kaji topik persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu berserenjang dengan satah tertentu);

Cari koordinat titik persilangan garis a dan satah α (artikel - mencari koordinat titik persilangan satah dan garis). Data yang diperolehi akan menjadi koordinat unjuran titik M 1 ke atas satah α yang kita perlukan.

Mari kita pertimbangkan teori mengenai contoh praktikal.

Contoh 1

Tentukan koordinat unjuran titik M 1 (- 2, 4, 4) pada satah 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Penyelesaian

Seperti yang dapat kita lihat, persamaan satah diberikan kepada kita, i.e. tidak perlu mengarangnya.

Mari kita tulis persamaan kanonik bagi garis lurus a yang melalui titik M 1 dan berserenjang dengan satah yang diberi. Untuk tujuan ini, kami menentukan koordinat vektor arah garis lurus a. Oleh kerana garis a adalah berserenjang dengan satah yang diberi, maka vektor arah garis a ialah vektor normal satah 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Dengan cara ini, a → = (2 , - 3 , 1) – vektor arah garis a .

Sekarang kita menyusun persamaan kanonik garis lurus dalam ruang yang melalui titik M 1 (- 2, 4, 4) dan mempunyai vektor arah a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Untuk mencari koordinat yang dikehendaki, langkah seterusnya ialah menentukan koordinat titik persilangan garis x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 dan satah 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Untuk tujuan ini, kami beralih dari persamaan kanonik kepada persamaan dua satah bersilang:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Mari kita buat sistem persamaan:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Dan selesaikannya menggunakan kaedah Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z ∆ 140 - 28 = 5

Oleh itu, koordinat yang dikehendaki bagi titik M 1 tertentu pada satah α tertentu ialah: (0, 1, 5) .

Jawapan: (0 , 1 , 5) .

Contoh 2

AT sistem segi empat tepat koordinat O x y z ruang tiga dimensi diberi mata A (0, 0, 2); Dalam (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) dan M 1 (-1, -2, 5). Ia adalah perlu untuk mencari koordinat unjuran M 1 pada satah A B C

Penyelesaian

Pertama sekali, kita menulis persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Mari kita tulis persamaan parametrik garis lurus a, yang akan melalui titik M 1 berserenjang dengan satah A B C. Satah x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 mempunyai vektor normal dengan koordinat (1, - 2, 2), i.e. vektor a → = (1 , - 2 , 2) – vektor arah garis a .

Sekarang, dengan mempunyai koordinat titik garis M 1 dan koordinat vektor arah garis ini, kami menulis persamaan parametrik garisan dalam ruang:

Kemudian kita tentukan koordinat titik persilangan satah x - 2 y + 2 z - 4 = 0 dan garis

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Untuk melakukan ini, kita gantikan ke dalam persamaan satah:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Sekarang, dengan menggunakan persamaan parametrik x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, kita dapati nilai pembolehubah x, y dan z pada λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Oleh itu, unjuran titik M 1 ke atas satah A B C akan mempunyai koordinat (- 2, 0, 3) .

Jawapan: (- 2 , 0 , 3) .

Marilah kita memikirkan secara berasingan tentang persoalan mencari koordinat unjuran titik pada satah koordinat dan satah yang selari dengan satah koordinat.

Biarkan titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan koordinat satah O x y , O x z dan O y z diberi. Koordinat unjuran titik ini pada satah ini masing-masing adalah: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) dan (0 , y 1 , z 1) . Pertimbangkan juga satah selari dengan satah koordinat yang diberikan:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Dan unjuran titik M 1 yang diberikan pada satah ini akan menjadi titik dengan koordinat x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 dan - D A , y 1 , z 1 .

Mari kita tunjukkan bagaimana keputusan ini diperolehi.

Sebagai contoh, mari kita takrifkan unjuran titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada satah A x + D = 0. Selebihnya kes adalah serupa.

Satah yang diberi adalah selari dengan satah koordinat O y z dan i → = (1 , 0 , 0) ialah vektor biasa. Vektor yang sama berfungsi sebagai vektor arah garis lurus yang berserenjang dengan satah O y z . Kemudian persamaan parametrik garis lurus yang dilukis melalui titik M 1 dan berserenjang dengan satah tertentu akan kelihatan seperti:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Cari koordinat titik persilangan garis ini dan satah yang diberi. Mula-mula kita gantikan ke dalam persamaan A x + D = 0 kesamaan: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 dan dapatkan: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x satu

Kemudian kita mengira koordinat yang dikehendaki menggunakan persamaan parametrik garis lurus untuk λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Iaitu, unjuran titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada satah akan menjadi titik dengan koordinat - D A , y 1 , z 1 .

Contoh 2

Ia adalah perlu untuk menentukan koordinat unjuran titik M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pada satah koordinat O x y dan ke atas satah 2 y - 3 = 0 .

Penyelesaian

Satah koordinat O x y akan sepadan dengan yang tidak lengkap persamaan am satah z = 0 . Unjuran titik M 1 pada satah z \u003d 0 akan mempunyai koordinat (- 6, 0, 0) .

Persamaan satah 2 y - 3 = 0 boleh ditulis sebagai y = 3 2 2 . Sekarang tulis sahaja koordinat unjuran titik M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pada satah y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Jawapan:(- 6 , 0 , 0) dan - 6 , 3 2 2 , 1 2

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Unjuran SATU TITIK PADA DUA SATAH Unjuran

Pembentukan segmen garis lurus AA 1 boleh diwakili sebagai hasil daripada titik A yang bergerak dalam mana-mana satah H (Rajah 84, a), dan pembentukan satah boleh diwakili sebagai anjakan segmen garis lurus AB ( Rajah 84, b).

Titik - utama unsur geometri garisan dan permukaan, maka kajian unjuran segi empat tepat sesuatu objek bermula dengan pembinaan unjuran segi empat tepat bagi sesuatu titik.

Dalam ruang sudut dihedral yang dibentuk oleh dua satah berserenjang - satah hadapan (menegak) unjuran V dan satah mendatar unjuran H, kita letakkan titik A (Rajah 85, a).

Garis persilangan satah unjuran ialah garis lurus, yang dipanggil paksi unjuran dan dilambangkan dengan huruf x.

Satah V ditunjukkan di sini sebagai segi empat tepat, dan satah H sebagai segi empat selari. Sisi condong bagi segi empat selari ini biasanya dilukis pada sudut 45° ke sisi mengufuknya. Panjang sisi condong diambil sama dengan 0.5 daripada panjang sebenar.

Dari titik A, serenjang diturunkan pada satah V dan H. Titik a "dan a persilangan serenjang dengan satah unjuran V dan H ialah unjuran segi empat tepat titik A. Rajah Aaa x a "dalam ruang ialah segi empat tepat. Sisi aa segi empat tepat ini dalam imej visual dikurangkan sebanyak 2 kali ganda.

Mari kita menjajarkan satah H dengan satah V dengan memutarkan V di sekeliling garis persilangan satah x. Hasilnya ialah lukisan kompleks titik A (Rajah 85, b)

Untuk memudahkan lukisan kompleks, sempadan satah unjuran V dan H tidak ditunjukkan (Rajah 85, c).

Serenjang yang dilukis dari titik A ke satah unjuran dipanggil garis unjuran, dan tapak garis unjuran ini - titik a dan a "dipanggil unjuran titik A: a" ialah unjuran hadapan titik A, a ialah unjuran mendatar bagi titik A.

Garis a "a dipanggil garis menegak sambungan unjuran.

Lokasi unjuran titik pada lukisan kompleks bergantung pada kedudukan titik ini dalam ruang.

Jika titik A terletak pada satah unjuran mendatar H (Rajah 86, a), maka unjuran mendatarnya a bertepatan dengan titik yang diberikan, dan unjuran hadapan a " terletak pada paksi. Apabila titik B terletak pada unjuran hadapan satah V, unjuran hadapannya bertepatan dengan titik ini, dan unjuran mendatar terletak pada paksi-x. Unjuran mendatar dan hadapan bagi titik C tertentu, terletak pada paksi-x, bertepatan dengan titik ini. Lukisan kompleks titik A , B dan C ditunjukkan dalam Rajah 86, b.

Unjuran SATU TITIK PADA TIGA SATAH Unjuran

Dalam kes di mana adalah mustahil untuk membayangkan bentuk objek daripada dua unjuran, ia diunjurkan ke tiga satah unjuran. Dalam kes ini, satah profil unjuran W diperkenalkan, berserenjang dengan satah V dan H. Satu perwakilan visual sistem tiga satah unjuran diberikan dalam rajah. 87 a.

Tepi sudut trihedral (persilangan satah unjuran) dipanggil paksi unjuran dan dilambangkan dengan x, y dan z. Persilangan paksi unjuran dipanggil permulaan paksi unjuran dan dilambangkan dengan huruf O. Mari kita lepaskan serenjang dari titik A ke satah unjuran W dan, menandakan pangkal serenjang dengan huruf a, kita perolehi unjuran profil titik A.

Untuk mendapatkan lukisan kompleks, titik A bagi satah H dan W dijajarkan dengan satah V, memutarkannya mengelilingi paksi Ox dan Oz. Lukisan kompleks titik A ditunjukkan dalam rajah. 87b dan c.

Segmen garis unjuran dari titik A ke satah unjuran dipanggil koordinat titik A dan dilambangkan: x A, y A dan z A.

Sebagai contoh, koordinat z A bagi titik A, sama dengan segmen a "a x (Rajah 88, a dan b), ialah jarak dari titik A ke satah unjuran mendatar H. Koordinat di titik A, sama dengan segmen aa x, ialah jarak dari titik A ke satah hadapan unjuran V. Koordinat x A sama dengan segmen aa y ialah jarak dari titik A ke satah profil unjuran W.

Oleh itu, jarak antara unjuran titik dan paksi unjuran menentukan koordinat titik dan merupakan kunci untuk membaca lukisan kompleksnya. Dengan dua unjuran titik, ketiga-tiga koordinat titik boleh ditentukan.

Jika koordinat titik A diberikan (contohnya, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm dan z A \u003d 25 mm), maka tiga unjuran titik ini boleh dibina.

Untuk melakukan ini, dari asal koordinat O ke arah paksi Oz, koordinat z A diletakkan dan koordinat y A diletakkan. segmen sama dengan koordinat x A. Titik yang terhasil a "dan a adalah unjuran hadapan dan mendatar bagi titik A.

Menurut dua unjuran a "dan satu titik A, unjuran profilnya boleh dibina dalam tiga cara:

1) dari asalan O, sebuah lengkok tambahan dilukis dengan jejari Oa y sama dengan koordinat (Rajah 87, b dan c), dari titik yang diperolehi a y1 lukis garis lurus selari dengan paksi Oz, dan letakkan a segmen sama dengan z A;

2) dari titik a y, garis lurus tambahan dilukis pada sudut 45 ° ke paksi Oy (Rajah 88, a), titik a y1 diperolehi, dsb.;

3) dari asal O, lukis garis lurus tambahan pada sudut 45 ° ke paksi Oy (Rajah 88, b), dapatkan titik a y1, dsb.

Kaedah unjuran adalah asas kepada teori pembinaan lukisan imej dalam grafik kejuruteraan. Selalunya ia digunakan apabila perlu untuk mencari imej badan dalam bentuk unjurannya pada satah atau untuk mendapatkan data mengenai kedudukannya di angkasa.

Arahan

• Dalam ruang berbilang dimensi, sebarang imej objek pada satah boleh diperoleh menggunakan unjuran. Walau bagaimanapun, seseorang tidak seharusnya menilai bentuk geometri badan atau bentuk imej paling mudah dalam geometri berdasarkan satu unjuran titik. Paling maklumat penuh tentang imej badan geometri memberikan beberapa unjuran titik. Mengapa menggunakan unjuran mata badan dalam sekurang-kurangnya dua satah.
• Sebagai contoh, anda perlu membina unjuran titik A. Untuk melakukan ini, letakkan dua satah berserenjang antara satu sama lain. Satu adalah mendatar, memanggilnya mendatar kapal terbang dan menandakan semua unjuran unsur dengan indeks 1. Kedua - secara menegak. Namakannya, masing-masing, depan kapal terbang, dan tetapkan indeks 2 kepada unjuran unsur. Pertimbangkan kedua-dua satah ini sebagai tak terhingga dan legap. Garisan persimpangan mereka menjadi paksi koordinat OX.
• Kemudian terima sebagai fakta bahawa ruang antara satah unjuran dibahagikan secara bersyarat kepada suku. Anda berada di kuadran pertama dan anda hanya melihat garis dan titik yang berada di kawasan sudut dihedral itu.
• Intipati proses unjuran adalah untuk melepasi sinar melalui titik tertentu sehingga sinar bertemu dengan kapal terbang unjuran. Kaedah ini dipanggil kaedah unjuran ortogon. Menurutnya, turunkan serenjang dari titik A ke satah mendatar dan hadapan. Tapak serenjang ini hanya akan menjadi unjuran mendatar titik A1 atau unjuran hadapan titik A2. Dengan cara ini anda akan mendapat kedudukan titik itu dalam ruang kapal terbang yang diberi unjuran.