Hasil darab titik bagi vektor

Kami terus berurusan dengan vektor. Pada pelajaran pertama Vektor untuk boneka Kami melihat konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor dan masalah paling mudah dengan vektor. Jika anda datang ke halaman ini buat kali pertama dari enjin carian, saya amat mengesyorkan membaca artikel pengenalan di atas, kerana untuk menguasai bahan anda perlu biasa dengan istilah dan notasi yang saya gunakan, mempunyai pengetahuan asas tentang vektor dan dapat menyelesaikan masalah asas. Pelajaran ini adalah kesinambungan logik topik, dan di dalamnya saya akan menganalisis secara terperinci tugas-tugas tipikal yang menggunakan produk skalar vektor. Ini adalah aktiviti yang SANGAT PENTING.. Cuba untuk tidak melangkau contoh; mereka datang dengan bonus berguna - latihan akan membantu anda menyatukan bahan yang telah anda bincangkan dan menjadi lebih baik dalam menyelesaikan masalah biasa dalam geometri analitik.

Penambahan vektor, pendaraban vektor dengan nombor.... Adalah naif untuk berfikir bahawa ahli matematik tidak menghasilkan sesuatu yang lain. Sebagai tambahan kepada tindakan yang telah dibincangkan, terdapat beberapa operasi lain dengan vektor, iaitu: hasil darab titik bagi vektor, produk vektor bagi vektor Dan hasil campuran vektor. Hasil darab skalar bagi vektor sudah biasa kepada kita dari sekolah; dua produk lain secara tradisinya tergolong dalam kursus matematik yang lebih tinggi. Topiknya mudah, algoritma untuk menyelesaikan banyak masalah adalah mudah dan boleh difahami. Satu-satu nya. Terdapat jumlah maklumat yang baik, jadi adalah tidak diingini untuk cuba menguasai dan menyelesaikan SEGALANYA SEKALI. Ini benar terutamanya untuk dummies; percayalah, penulis sama sekali tidak mahu berasa seperti Chikatilo dari matematik. Nah, bukan dari matematik, sudah tentu, sama ada =) Pelajar yang lebih bersedia boleh menggunakan bahan secara selektif, dalam erti kata tertentu, "mendapatkan" pengetahuan yang hilang, untuk anda saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Akhirnya mari kita buka pintu dan saksikan dengan penuh semangat apa yang berlaku apabila dua vektor bertemu antara satu sama lain...

Takrif hasil darab skalar bagi vektor.
Sifat produk skalar. Tugas biasa

Konsep produk titik

Pertama tentang sudut antara vektor. Saya rasa semua orang secara intuitif memahami sudut antara vektor, tetapi untuk kes, sedikit lebih terperinci. Mari kita pertimbangkan vektor bukan sifar percuma dan . Jika anda merancang vektor-vektor ini dari titik sewenang-wenangnya, anda akan mendapat gambaran yang ramai telah bayangkan secara mental:

Saya akui, di sini saya gambarkan situasi itu hanya pada tahap kefahaman. Jika anda memerlukan definisi sudut yang ketat antara vektor, sila rujuk buku teks; untuk masalah praktikal, pada dasarnya, kami tidak memerlukannya. Juga DI SINI DAN DI SINI saya akan mengabaikan vektor sifar di tempat kerana kepentingan praktikalnya yang rendah. Saya membuat tempahan khusus untuk pelawat tapak lanjutan yang mungkin mencela saya kerana ketidaklengkapan teori beberapa kenyataan berikutnya.

boleh mengambil nilai dari 0 hingga 180 darjah (0 hingga radian), termasuk. Secara analitikal, fakta ini ditulis dalam bentuk ketaksamaan berganda: atau (dalam radian).

Dalam kesusasteraan, simbol sudut sering dilangkau dan ditulis secara ringkas.

Definisi: Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah NOMBOR yang sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya:

Sekarang ini adalah definisi yang agak ketat.

Kami memberi tumpuan kepada maklumat penting:

Jawatan: hasil kali skalar ditandakan dengan atau hanya.

Hasil operasi ialah NUMBER: Vektor didarab dengan vektor, dan hasilnya ialah nombor. Sesungguhnya, jika panjang vektor ialah nombor, kosinus sudut ialah nombor, maka hasil darabnya juga akan menjadi nombor.

Hanya beberapa contoh pemanasan badan:

Contoh 1

Penyelesaian: Kami menggunakan formula . Dalam kes ini:

Jawapan:

Nilai kosinus boleh didapati dalam jadual trigonometri. Saya mengesyorkan mencetaknya - ia akan diperlukan di hampir semua bahagian menara dan akan diperlukan berkali-kali.

Dari sudut pandangan matematik semata-mata, produk skalar tidak berdimensi, iaitu, hasilnya, dalam kes ini, hanyalah nombor dan itu sahaja. Dari sudut pandangan masalah fizik, produk skalar sentiasa mempunyai makna fizikal tertentu, iaitu, selepas hasil satu atau satu lagi unit fizikal mesti ditunjukkan. Contoh kanonik mengira kerja daya boleh didapati dalam mana-mana buku teks (rumusnya betul-betul produk skalar). Kerja daya diukur dalam Joule, oleh itu, jawapan akan ditulis dengan agak khusus, contohnya, .

Contoh 2

Cari jika , dan sudut antara vektor adalah sama dengan .

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, jawapannya ada di akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai produk titik

Dalam Contoh 1 produk skalar ternyata positif, dan dalam Contoh 2 ia ternyata negatif. Mari kita ketahui apakah tanda produk skalar bergantung. Mari lihat formula kami: . Panjang vektor bukan sifar sentiasa positif: , jadi tanda hanya boleh bergantung pada nilai kosinus.

Catatan: Untuk lebih memahami maklumat di bawah, adalah lebih baik untuk mengkaji graf kosinus dalam manual Graf fungsi dan sifat. Lihat bagaimana kosinus berkelakuan pada segmen.

Seperti yang telah dinyatakan, sudut antara vektor boleh berbeza-beza dalam , dan kes berikut adalah mungkin:

1) Jika sudut antara vektor pedas: (dari 0 hingga 90 darjah), kemudian , Dan produk titik akan menjadi positif diarahkan bersama, maka sudut di antara mereka dianggap sifar, dan hasil skalar juga akan menjadi positif. Oleh kerana , formula memudahkan: .

2) Jika sudut antara vektor tumpul: (dari 90 hingga 180 darjah), kemudian , dan selaras dengan itu, produk titik adalah negatif: . Kes khas: jika vektor arah bertentangan, maka sudut di antara mereka dianggap diperluaskan: (180 darjah). Hasil kali skalar juga negatif, kerana

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah akut. Sebagai alternatif, vektor adalah arah bersama.

2) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah tumpul. Sebagai alternatif, vektor berada dalam arah yang bertentangan.

Tetapi kes ketiga sangat menarik:

3) Jika sudut antara vektor lurus: (90 darjah), kemudian hasil skalar ialah sifar: . Sebaliknya juga benar: jika , maka . Pernyataan tersebut boleh dirumuskan secara ringkas seperti berikut: Hasil darab skalar bagi dua vektor adalah sifar jika dan hanya jika vektor itu ortogon. Notasi matematik pendek:

! Catatan : Mari kita ulangi asas logik matematik: Ikon akibat logik dua sisi biasanya dibaca "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika". Seperti yang anda lihat, anak panah diarahkan ke kedua-dua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari itu mengikuti ini." Sebenarnya, apakah perbezaan daripada ikon ikut sehala? Ikon menyatakan itu sahaja, bahawa "dari ini mengikuti ini", dan bukan fakta bahawa sebaliknya adalah benar. Contohnya: , tetapi bukan setiap haiwan adalah harimau kumbang, jadi dalam kes ini anda tidak boleh menggunakan ikon. Pada masa yang sama, bukannya ikon boleh gunakan ikon sebelah. Sebagai contoh, semasa menyelesaikan masalah, kami mendapati bahawa kami membuat kesimpulan bahawa vektor adalah ortogon: - entri sedemikian akan betul, dan lebih sesuai daripada .

Kes ketiga mempunyai kepentingan praktikal yang besar, kerana ia membolehkan anda menyemak sama ada vektor adalah ortogon atau tidak. Kami akan menyelesaikan masalah ini dalam bahagian kedua pelajaran.

Sifat produk titik

Mari kita kembali kepada situasi apabila dua vektor diarahkan bersama. Dalam kes ini, sudut di antara mereka ialah sifar, , dan formula produk skalar mengambil bentuk: .

Apakah yang berlaku jika vektor didarab dengan sendiri? Adalah jelas bahawa vektor adalah sejajar dengan dirinya sendiri, jadi kami menggunakan formula yang dipermudahkan di atas:

Nombor dipanggil segi empat sama skalar vektor, dan dilambangkan sebagai .

Oleh itu, kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan kuasa dua panjang vektor yang diberikan:

Daripada kesamaan ini kita boleh mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor:

Setakat ini nampaknya tidak jelas, tetapi objektif pelajaran akan meletakkan segala-galanya pada tempatnya. Untuk menyelesaikan masalah yang kita perlukan juga sifat produk titik.

Untuk vektor arbitrari dan sebarang nombor, sifat berikut adalah benar:

1) – komutatif atau komutatif undang-undang produk skalar.

2) – pengedaran atau pengedaran undang-undang produk skalar. Secara mudah, anda boleh membuka kurungan.

3) – berpersatuan atau berpersatuan undang-undang produk skalar. Pemalar boleh diperoleh daripada hasil skalar.

Selalunya, semua jenis harta benda (yang juga perlu dibuktikan!) dianggap oleh pelajar sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu dihafal dan selamat dilupakan sejurus selepas peperiksaan. Nampaknya apa yang penting di sini, semua orang sudah tahu dari gred pertama bahawa penyusunan semula faktor tidak mengubah produk: . Saya mesti memberi amaran kepada anda bahawa dalam matematik yang lebih tinggi adalah mudah untuk mengacaukan keadaan dengan pendekatan sedemikian. Jadi, sebagai contoh, sifat komutatif tidak benar untuk matriks algebra. Ia juga tidak benar untuk produk vektor bagi vektor. Oleh itu, sekurang-kurangnya, adalah lebih baik untuk mendalami mana-mana sifat yang anda temui dalam kursus matematik yang lebih tinggi untuk memahami apa yang boleh dilakukan dan apa yang tidak boleh dilakukan.

Contoh 3

.

Penyelesaian: Pertama, mari kita jelaskan keadaan dengan vektor. Apakah ini pula? Jumlah vektor ialah vektor yang jelas, yang dilambangkan dengan . Tafsiran geometri tindakan dengan vektor boleh didapati dalam artikel Vektor untuk boneka. Pasli yang sama dengan vektor ialah jumlah vektor dan .

Jadi, mengikut syarat, perlu mencari hasil skalar. Secara teori, anda perlu menggunakan formula kerja , tetapi masalahnya ialah kita tidak tahu panjang vektor dan sudut di antara mereka. Tetapi syarat memberikan parameter yang sama untuk vektor, jadi kami akan mengambil laluan yang berbeza:

(1) Gantikan ungkapan vektor.

(2) Kami membuka kurungan mengikut peraturan untuk mendarab polinomial; pemusing lidah yang kesat boleh didapati dalam artikel Nombor kompleks atau Mengintegrasikan Fungsi Pecahan-Rasional. Saya tidak akan mengulangi diri saya sendiri =) Dengan cara ini, sifat pengedaran produk skalar membolehkan kita membuka kurungan. Kita ada hak.

(3) Dalam sebutan pertama dan terakhir kita padat menulis kuasa dua skalar vektor: . Dalam istilah kedua kami menggunakan kebolehtukaran produk skalar: .

(4) Kami mengemukakan istilah yang serupa: .

(5) Dalam istilah pertama kita menggunakan formula kuasa dua skalar, yang telah disebutkan tidak lama dahulu. Dalam penggal terakhir, oleh itu, perkara yang sama berfungsi: . Kami mengembangkan istilah kedua mengikut formula standard .

(6) Gantikan syarat ini , dan BERHATI-HATI melaksanakan pengiraan akhir.

Jawapan:

Nilai negatif hasil skalar menyatakan fakta bahawa sudut antara vektor adalah tumpul.

Masalahnya adalah tipikal, berikut adalah contoh untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 4

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan jika diketahui bahawa .

Kini satu lagi tugas biasa, hanya untuk formula baharu untuk panjang vektor. Notasi di sini akan menjadi sedikit bertindih, jadi untuk kejelasan saya akan menulis semula dengan huruf yang berbeza:

Contoh 5

Cari panjang vektor jika .

Penyelesaian akan menjadi seperti berikut:

(1) Kami membekalkan ungkapan untuk vektor .

(2) Kami menggunakan formula panjang: , dan keseluruhan ungkapan ve bertindak sebagai vektor "ve".

(3) Kami menggunakan formula sekolah untuk kuasa dua jumlah. Perhatikan cara ia berfungsi di sini dengan cara yang ingin tahu: – sebenarnya, ia adalah kuasa dua perbezaan, dan, sebenarnya, begitulah keadaannya. Mereka yang mahu boleh menyusun semula vektor: - perkara yang sama berlaku, sehingga penyusunan semula terma.

(4) Perkara berikut sudah biasa daripada dua masalah sebelumnya.

Jawapan:

Oleh kerana kita bercakap tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - "unit".

Contoh 6

Cari panjang vektor jika .

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Kami terus memerah perkara yang berguna daripada produk titik. Mari lihat semula formula kami . Menggunakan peraturan perkadaran, kami menetapkan semula panjang vektor kepada penyebut di sebelah kiri:

Mari kita tukar bahagian:

Apakah maksud formula ini? Jika panjang dua vektor dan hasil skalarnya diketahui, maka kita boleh mengira kosinus sudut antara vektor ini, dan, akibatnya, sudut itu sendiri.

Adakah produk titik adalah nombor? Nombor. Adakah nombor panjang vektor? Nombor. Ini bermakna pecahan juga adalah nombor. Dan jika kosinus sudut itu diketahui: , kemudian menggunakan fungsi songsang adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri: .

Contoh 7

Cari sudut antara vektor dan jika diketahui bahawa .

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Pada peringkat akhir pengiraan, teknik teknikal digunakan - menghapuskan ketidakrasionalan dalam penyebut. Untuk menghapuskan ketidakrasionalan, saya mendarabkan pengangka dan penyebut dengan .

Jadi kalau , Itu:

Nilai fungsi trigonometri songsang boleh didapati dengan jadual trigonometri. Walaupun ini jarang berlaku. Dalam masalah geometri analitik, lebih kerap beberapa beruang kekok seperti , dan nilai sudut perlu dicari lebih kurang menggunakan kalkulator. Sebenarnya, kita akan melihat gambar sedemikian lebih daripada sekali.

Jawapan:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - radian dan darjah. Secara peribadi, untuk "menyelesaikan semua soalan" dengan jelas, saya lebih suka menunjukkan kedua-duanya (kecuali syaratnya, sudah tentu, memerlukan pembentangan jawapan hanya dalam radian atau hanya dalam darjah).

Kini anda boleh mengatasi tugas yang lebih kompleks secara bebas:

Contoh 7*

Diberikan ialah panjang vektor dan sudut di antaranya. Cari sudut antara vektor, .

Tugas itu tidak begitu sukar kerana ia adalah pelbagai langkah.
Mari lihat algoritma penyelesaian:

1) Mengikut keadaan, anda perlu mencari sudut antara vektor dan , jadi anda perlu menggunakan formula .

2) Cari hasil kali skalar (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Cari panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Pengakhiran penyelesaian bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita tahu nombor , yang bermaksud mudah untuk mencari sudut itu sendiri:

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bahagian kedua pelajaran dikhaskan untuk produk skalar yang sama. Koordinat. Ia akan menjadi lebih mudah daripada bahagian pertama.

Hasil darab titik bagi vektor,
diberikan oleh koordinat dalam asas ortonormal

Jawapan:

Tidak perlu dikatakan, berurusan dengan koordinat adalah lebih menyenangkan.

Contoh 14

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan jika

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Di sini anda boleh menggunakan persekutuan operasi, iaitu, jangan dikira , tetapi segera ambil tiga kali ganda di luar produk skalar dan darabkannya dengan terakhir. Penyelesaian dan jawapan ada di akhir pelajaran.

Di penghujung bahagian, contoh provokatif untuk mengira panjang vektor:

Contoh 15

Cari panjang vektor , Jika

Penyelesaian: Kaedah bahagian sebelumnya mencadangkan dirinya semula: tetapi ada cara lain:

Mari cari vektor:

Dan panjangnya mengikut formula remeh :

Produk dot tidak relevan di sini sama sekali!

Ia juga tidak berguna apabila mengira panjang vektor:
Berhenti. Bukankah kita patut mengambil kesempatan daripada sifat jelas panjang vektor? Apakah yang anda boleh katakan tentang panjang vektor? Vektor ini adalah 5 kali lebih panjang daripada vektor. Arahnya bertentangan, tetapi ini tidak penting, kerana kita bercakap tentang panjang. Jelas sekali, panjang vektor adalah sama dengan produk modul nombor setiap panjang vektor:
– tanda modulus "makan" kemungkinan tolak nombor itu.

Oleh itu:

Jawapan:

Formula untuk kosinus sudut antara vektor yang ditentukan oleh koordinat

Sekarang kita mempunyai maklumat lengkap untuk menggunakan formula yang diperoleh sebelum ini untuk kosinus sudut antara vektor nyatakan melalui koordinat vektor:

Kosinus sudut antara vektor satah dan , dinyatakan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:
.

Kosinus sudut antara vektor ruang, dinyatakan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Contoh 16

Diberi tiga bucu bagi sebuah segitiga. Cari (sudut bucu).

Penyelesaian: Mengikut syarat, lukisan tidak diperlukan, tetapi masih:

Sudut yang diperlukan ditandakan dengan arka hijau. Marilah kita segera ingat penetapan sekolah sudut: – perhatian khusus kepada purata huruf - ini adalah puncak sudut yang kita perlukan. Untuk ringkasnya, anda juga boleh menulis secara ringkas .

Daripada lukisan itu agak jelas bahawa sudut segi tiga bertepatan dengan sudut antara vektor dan, dengan kata lain: .

Adalah dinasihatkan untuk mempelajari cara melakukan analisis secara mental.

Mari cari vektor:

Mari kita mengira hasil skalar:

Dan panjang vektor:

Kosinus sudut:

Ini betul-betul urutan menyelesaikan tugas yang saya cadangkan untuk dummies. Pembaca yang lebih maju boleh menulis pengiraan "dalam satu baris":

Berikut ialah contoh nilai kosinus "buruk". Nilai yang terhasil tidak muktamad, jadi tidak ada gunanya untuk menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut.

Mari cari sudut itu sendiri:

Jika anda melihat lukisan itu, hasilnya agak masuk akal. Untuk menyemak, sudut juga boleh diukur dengan protraktor. Jangan rosakkan penutup monitor =)

Jawapan:

Dalam jawapan kita tidak lupa itu ditanya tentang sudut segitiga(dan bukan tentang sudut antara vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawapan yang tepat: dan nilai anggaran sudut: , ditemui menggunakan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati proses itu boleh mengira sudut dan mengesahkan kesahihan kesamaan kanonik

Contoh 17

Segitiga ditakrifkan dalam ruang dengan koordinat bucunya. Cari sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran

Bahagian akhir pendek akan ditumpukan kepada unjuran, yang juga melibatkan produk skalar:

Unjuran vektor pada vektor. Unjuran vektor pada paksi koordinat.
Kosinus arah bagi vektor

Pertimbangkan vektor dan:

Mari kita unjurkan vektor pada vektor; untuk melakukan ini, dari awal dan akhir vektor kita tinggalkan serenjang kepada vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan bahawa sinar cahaya jatuh secara berserenjang pada vektor. Kemudian segmen (garis merah) akan menjadi "bayangan" vektor. Dalam kes ini, unjuran vektor pada vektor ialah PANJANG segmen. Iaitu, PROJECTION ADALAH NOMBOR.

NUMBER ini dilambangkan seperti berikut: , “vektor besar” menandakan vektor YANG projek, "vektor subskrip kecil" menandakan vektor HIDUP yang diunjurkan.

Entri itu sendiri berbunyi seperti ini: "unjuran vektor "a" ke vektor "be"."

Apakah yang berlaku jika vektor "be" adalah "terlalu pendek"? Kami melukis garis lurus yang mengandungi vektor "be". Dan vektor "a" akan diunjurkan sudah ke arah vektor "menjadi", hanya - kepada garis lurus yang mengandungi vektor "be". Perkara yang sama akan berlaku jika vektor "a" ditangguhkan dalam kerajaan ketiga puluh - ia masih akan mudah diunjurkan ke garis lurus yang mengandungi vektor "be".

Jika sudut antara vektor pedas(seperti dalam gambar), kemudian

Jika vektor ortogon, maka (unjuran ialah titik yang dimensinya dianggap sifar).

Jika sudut antara vektor tumpul(dalam rajah, susun semula anak panah vektor secara mental), kemudian (panjang yang sama, tetapi diambil dengan tanda tolak).

Mari kita plot vektor ini dari satu titik:

Jelas sekali, apabila vektor bergerak, unjurannya tidak berubah

Hasil darab skalar bagi vektor (selepas ini dirujuk sebagai SP). Rakan-rakan yang dikasihi! Peperiksaan matematik termasuk sekumpulan masalah mengenai penyelesaian vektor. Kami telah mempertimbangkan beberapa masalah. Anda boleh melihatnya dalam kategori "Vektor". Secara umum, teori vektor tidak rumit, perkara utama adalah mengkajinya secara konsisten. Pengiraan dan operasi dengan vektor dalam kursus matematik sekolah adalah mudah, formulanya tidak rumit. Lihatlah. Dalam artikel ini kita akan menganalisis masalah pada SP vektor (termasuk dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu). Sekarang "perendaman" dalam teori:

H Untuk mencari koordinat vektor, anda perlu menolak daripada koordinat penghujungnyakoordinat yang sepadan dengan asalnya

Dan selanjutnya:

*Panjang vektor (modulus) ditentukan seperti berikut:

Formula ini mesti diingat!!!

Mari tunjukkan sudut antara vektor:

Jelas bahawa ia boleh berbeza dari 0 hingga 180 0(atau dalam radian dari 0 hingga Pi).

Kita boleh membuat beberapa kesimpulan tentang tanda produk skalar. Panjang vektor mempunyai nilai positif, ini jelas. Ini bermakna tanda hasil kali skalar bergantung kepada nilai kosinus sudut antara vektor.

Kes yang mungkin:

1. Jika sudut antara vektor adalah akut (dari 0 0 hingga 90 0), maka kosinus sudut akan mempunyai nilai positif.

2. Jika sudut antara vektor adalah tumpul (dari 90 0 hingga 180 0), maka kosinus sudut tersebut akan mempunyai nilai negatif.

*Pada sifar darjah, iaitu, apabila vektor mempunyai arah yang sama, kosinus adalah sama dengan satu dan, dengan itu, hasilnya akan positif.

Pada 180 o, iaitu, apabila vektor mempunyai arah yang bertentangan, kosinus adalah sama dengan tolak satu,dan dengan itu hasilnya akan menjadi negatif.

Sekarang TITIK PENTING!

Pada 90 o, iaitu, apabila vektor berserenjang antara satu sama lain, kosinus adalah sama dengan sifar, dan oleh itu SP adalah sama dengan sifar. Fakta ini (akibat, kesimpulan) digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah di mana kita bercakap tentang kedudukan relatif vektor, termasuk dalam masalah yang termasuk dalam bank terbuka tugas matematik.

Mari kita rumuskan pernyataan: hasil kali skalar adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika vektor ini terletak pada garis serenjang.

Jadi, formula untuk vektor SP:

Jika koordinat vektor atau koordinat titik permulaan dan penghujungnya diketahui, maka kita sentiasa boleh mencari sudut antara vektor:

Mari kita pertimbangkan tugas:

27724 Cari hasil darab skalar bagi vektor a dan b.

Kita boleh mencari hasil kali skalar bagi vektor menggunakan salah satu daripada dua formula:

Sudut antara vektor tidak diketahui, tetapi kita boleh mencari koordinat vektor dengan mudah dan kemudian menggunakan formula pertama. Oleh kerana asal-usul kedua-dua vektor bertepatan dengan asal koordinat, koordinat vektor ini adalah sama dengan koordinat hujungnya, iaitu

Bagaimana untuk mencari koordinat vektor diterangkan dalam.

Kami mengira:

Jawapan: 40

Mari cari koordinat vektor dan gunakan formula:

Untuk mencari koordinat vektor, adalah perlu untuk menolak koordinat yang sepadan permulaannya daripada koordinat penghujung vektor, yang bermaksud

Kami mengira hasil skalar:

Jawapan: 40

Cari sudut antara vektor a dan b. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Biarkan koordinat vektor mempunyai bentuk:

Untuk mencari sudut antara vektor, kami menggunakan formula untuk hasil darab skalar bagi vektor:

Kosinus sudut antara vektor:

Oleh itu:

Koordinat vektor ini adalah sama:

Mari kita gantikannya ke dalam formula:

Sudut antara vektor ialah 45 darjah.

Jawapan: 45

Oleh itu, panjang vektor dikira sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya
. Panjang vektor n-dimensi dikira sama
. Jika kita ingat bahawa setiap koordinat vektor adalah perbezaan antara koordinat akhir dan permulaan, maka kita memperoleh formula untuk panjang segmen, i.e. Jarak Euclidean antara titik.

Produk skalar dua vektor pada satah ialah hasil darab panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya:
. Ia boleh dibuktikan bahawa hasil darab skalar dua vektor = (x 1, x 2) dan = (y 1 , y 2) adalah sama dengan jumlah hasil darab koordinat yang sepadan bagi vektor ini:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

Dalam ruang dimensi-n, hasil darab skalar bagi vektor X= (x 1, x 2,...,x n) dan Y= (y 1, y 2,...,y n) ditakrifkan sebagai hasil tambah daripada koordinat sepadannya: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operasi mendarab vektor dengan satu sama lain adalah serupa dengan mendarab matriks baris dengan matriks lajur. Kami menekankan bahawa hasilnya akan menjadi nombor, bukan vektor.

Hasil darab skalar bagi vektor mempunyai sifat berikut (aksiom):

1) Sifat komutatif: X*Y=Y*X.

2) Sifat pengagihan berkenaan dengan penambahan: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Untuk sebarang nombor nyata 
.

4)
, ifX bukan vektor sifar;
ifX ialah vektor sifar.

Ruang vektor linear di mana hasil darab skalar vektor diberikan yang memenuhi empat aksiom sepadan dipanggil vektor linear Euclideanangkasa lepas.

Adalah mudah untuk melihat bahawa apabila kita mendarab mana-mana vektor dengan sendirinya, kita mendapat kuasa dua panjangnya. Jadi ia berbeza panjang vektor boleh ditakrifkan sebagai punca kuasa dua bagi kuasa dua skalarnya:.

Panjang vektor mempunyai sifat berikut:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, di mana ialah nombor nyata;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Ketaksamaan Cauchy-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( ketaksamaan segi tiga).

Sudut  antara vektor dalam ruang dimensi-n ditentukan berdasarkan konsep hasil berskala. Malah, jika
, Itu
. Pecahan ini tidak lebih daripada satu (mengikut ketaksamaan Cauchy-Bunyakovsky), jadi dari sini kita boleh mencari .

Kedua-dua vektor itu dipanggil ortogon atau berserenjang, jika hasil skalar mereka adalah sama dengan sifar. Daripada takrifan hasil kali skalar ia mengikuti bahawa vektor sifar adalah ortogon kepada mana-mana vektor. Jika kedua-dua vektor ortogon bukan sifar, maka cos= 0, iaitu=/2 = 90 o.

Mari kita lihat semula pada Rajah 7.4. Ia boleh dilihat daripada rajah bahawa kosinus sudut kecondongan vektor ke paksi mengufuk boleh dikira sebagai
, dan kosinus sudutkecondongan vektor kepada paksi mencancang adalah sebagai
. Nombor ini biasanya dipanggil kosinus arah. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa jumlah kuasa dua kosinus arah sentiasa sama dengan satu: cos 2 +cos 2 = 1. Begitu juga, konsep kosinus arah boleh diperkenalkan untuk ruang dimensi yang lebih tinggi.

Asas ruang vektor

Untuk vektor, kita boleh menentukan konsep gabungan linear,pergantungan linear Dan kemerdekaan serupa dengan cara konsep ini diperkenalkan untuk baris matriks. Ia juga benar bahawa jika vektor bergantung secara linear, maka sekurang-kurangnya satu daripadanya boleh dinyatakan secara linear dalam sebutan yang lain (iaitu, ia adalah gabungan linear daripadanya). Sebaliknya juga benar: jika salah satu vektor adalah gabungan linear dari yang lain, maka semua vektor ini bersama-sama adalah bergantung secara linear.

Ambil perhatian bahawa jika antara vektor a l , a 2 ,...a m terdapat vektor sifar, maka set vektor ini semestinya bersandar secara linear. Malah, kita dapat l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 jika, sebagai contoh, kita menyamakan pekali j pada vektor sifar kepada satu, dan semua pekali lain kepada sifar. Dalam kes ini, tidak semua pekali akan sama dengan sifar ( j ≠ 0).

Di samping itu, jika sebahagian daripada vektor daripada set vektor adalah bersandar secara linear, maka semua vektor ini adalah bersandar secara linear. Malah, jika sesetengah vektor memberikan vektor sifar dalam kombinasi linearnya dengan pekali yang kedua-duanya bukan sifar, maka vektor selebihnya didarab dengan pekali sifar boleh ditambah kepada jumlah produk ini, dan ia akan tetap menjadi vektor sifar.

Bagaimana untuk menentukan sama ada vektor bergantung secara linear?

Sebagai contoh, mari kita ambil tiga vektor: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) dan a 3 = (3, 1, 4, 3). Mari buat matriks daripada mereka, di mana ia akan menjadi lajur:

Kemudian persoalan pergantungan linear akan dikurangkan untuk menentukan pangkat matriks ini. Jika ternyata sama dengan tiga, maka ketiga-tiga lajur adalah bebas linear, dan jika ternyata kurang, maka ini akan menunjukkan pergantungan linear vektor.

Memandangkan pangkatnya ialah 2, vektor adalah bergantung secara linear.

Ambil perhatian bahawa penyelesaian kepada masalah itu juga boleh bermula dengan penaakulan yang berdasarkan takrifan kebebasan linear. Iaitu, cipta persamaan vektor  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, yang akan mengambil bentuk l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Kemudian kita mendapat sistem persamaan:

Menyelesaikan sistem ini menggunakan kaedah Gaussian akan dikurangkan untuk mendapatkan matriks langkah yang sama, hanya ia akan mempunyai satu lajur lagi - istilah bebas. Kesemuanya akan menjadi sifar, kerana transformasi linear sifar tidak boleh membawa kepada hasil yang berbeza. Sistem persamaan yang diubah akan mengambil bentuk:

Penyelesaian kepada sistem ini ialah (-с;-с; с), dengan с ialah nombor arbitrari; contohnya, (-1;-1;1). Ini bermakna jika kita mengambil  l = -1; 2 =-1 dan 3 = 1, maka l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, i.e. vektor sebenarnya bergantung secara linear.

Daripada contoh yang diselesaikan, ia menjadi jelas bahawa jika kita mengambil bilangan vektor yang lebih besar daripada dimensi ruang, maka ia semestinya akan bergantung secara linear. Malah, jika kita mengambil lima vektor dalam contoh ini, kita akan mendapat matriks 4 x 5, yang pangkatnya tidak boleh lebih daripada empat. Itu. bilangan maksimum lajur bebas linear masih tidak boleh lebih daripada empat. Dua, tiga atau empat vektor empat dimensi boleh bebas secara linear, tetapi lima atau lebih tidak boleh. Akibatnya, tidak lebih daripada dua vektor boleh bebas secara linear pada satah. Mana-mana tiga vektor dalam ruang dua dimensi adalah bergantung secara linear. Dalam ruang tiga dimensi, mana-mana empat (atau lebih) vektor sentiasa bergantung secara linear. Dan sebagainya.

sebab tu dimensi ruang boleh ditakrifkan sebagai bilangan maksimum vektor bebas linear yang boleh berada di dalamnya.

Satu set n vektor bebas linear bagi ruang n-dimensi R dipanggil asas ruang ini.

Teorem. Setiap vektor ruang linear boleh diwakili sebagai gabungan linear vektor asas, dan dengan cara yang unik.

Bukti. Biarkan vektor e l , e 2 ,...e n membentuk ruang dimensi asas R. Mari kita buktikan bahawa mana-mana vektor X ialah gabungan linear bagi vektor-vektor ini. Oleh kerana, bersama-sama dengan vektor X, bilangan vektor akan menjadi (n +1), vektor (n +1) ini akan bergantung secara linear, i.e. terdapat nombor l , 2 ,..., n ,, tidak serentak sama dengan sifar, supaya

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Dalam kes ini, 0, kerana jika tidak, kita akan mendapat l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, di mana tidak semua pekali l , 2 ,..., n adalah sama dengan sifar. Ini bermakna bahawa vektor asas akan bergantung secara linear. Oleh itu, kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan pertama dengan:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

di mana x j = -( j /),
.

Sekarang kita membuktikan bahawa perwakilan sedemikian dalam bentuk gabungan linear adalah unik. Mari kita anggap sebaliknya, i.e. bahawa terdapat perwakilan lain:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Mari kita tolak daripadanya istilah demi istilah ungkapan yang diperoleh sebelumnya:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Oleh kerana vektor asas adalah bebas linear, kita memperoleh bahawa (y j - x j) = 0,
, iaitu y j = x j . Jadi ungkapan itu ternyata sama. Teorem telah terbukti.

Ungkapan X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n dipanggil penguraian vektor X berdasarkan e l, e 2,...e n, dan nombor x l, x 2,...x n - koordinat vektor x relatif kepada asas ini, atau dalam asas ini.

Ia boleh dibuktikan bahawa jika vektor nnonsifar bagi ruang Euclidean berdimensi-n adalah ortogonal berpasangan, maka ia membentuk asas. Malah, mari kita darab kedua-dua belah kesamaan l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 dengan sebarang vektor e i. Kita dapat  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 untuk  i.

Vektor e l , e 2 ,...e n bentuk ruang Euclidean n-dimensi asas ortonormal, jika vektor ini adalah ortogonal berpasangan dan norma setiap daripadanya adalah sama dengan satu, i.e. jika e i *e j = 0 untuk i≠j и |е i | = 1 untuki.

Teorem (tiada bukti). Dalam setiap ruang Euclidean n-dimensi terdapat asas ortonormal.

Contoh asas ortonormal ialah sistem n vektor unit e i , yang mana komponen ke-i adalah sama dengan satu dan komponen yang tinggal adalah sama dengan sifar. Setiap vektor tersebut dipanggil ort. Sebagai contoh, vektor vektor (1, 0, 0), (0, 1, 0) dan (0, 0, 1) membentuk asas ruang tiga dimensi.