Definisi dan formula gerakan melengkung. Ringkasan pelajaran "Pergerakan rectilinear dan curvilinear

Topik ini akan memberi tumpuan kepada jenis pergerakan yang lebih kompleks − CURVILINEAR. Betapa mudahnya untuk meneka curvilinear ialah pergerakan yang trajektorinya ialah garis melengkung. Dan, oleh kerana gerakan ini lebih rumit daripada rectilinear, maka untuk penerangannya tidak lagi cukup kuantiti fizik yang disenaraikan dalam bab sebelumnya.

Untuk penerangan matematik gerakan melengkung, terdapat 2 kumpulan kuantiti: linear dan sudut.

NILAI LINEAR.

1. bergerak. Dalam Bahagian 1.1, kami tidak menyatakan perbezaan antara konsep

Rajah 1.3 laluan (jarak) dan konsep anjakan,

kerana dalam gerakan rectilinear ini

perbezaan tidak memainkan peranan asas, dan

Nilai-nilai ini dilambangkan dengan huruf yang sama

melolong S. Tetapi apabila berurusan dengan gerakan melengkung,

isu ini perlu dijelaskan. Jadi apa jalannya

(atau jarak)? - Ini ialah panjang trajektori

pergerakan. Iaitu, jika anda mengesan trajektori

pergerakan badan dan ukurnya (dalam meter, kilometer, dll.), anda akan mendapat nilai yang dipanggil laluan (atau jarak) S(lihat rajah 1.3). Oleh itu, laluan adalah nilai skalar, yang hanya dicirikan oleh nombor.

Rajah.1.4 Dan sesaran ialah jarak terpendek antara

titik permulaan laluan dan titik akhir laluan. Dan kerana

pergerakan mempunyai hala tuju yang ketat dari awal

Jalan ke penghujungnya, maka ia adalah kuantiti vektor

dan dicirikan bukan sahaja oleh nilai berangka, tetapi juga

arah (rajah 1.3). Ia adalah mudah untuk meneka bahawa jika

badan bergerak di sepanjang laluan tertutup, kemudian ke

apabila ia kembali ke kedudukan asalnya, anjakan akan sama dengan sifar (lihat Rajah 1.4).

2 . Kelajuan talian. Dalam bahagian 1.1, kami memberikan takrifan kuantiti ini, dan ia kekal sah, walaupun pada masa itu kami tidak menyatakan bahawa kelajuan ini adalah linear. Apakah arah vektor halaju linear? Mari kita beralih kepada Rajah 1.5. Berikut adalah serpihan

lintasan lengkung badan. Mana-mana garisan melengkung ialah sambungan antara lengkok bulatan yang berbeza. Rajah 1.5 menunjukkan hanya dua daripadanya: bulatan (O 1, r 1) dan bulatan (O 2, r 2). Pada saat laluan badan di sepanjang lengkok bulatan ini, pusatnya menjadi pusat putaran sementara dengan jejari sama dengan jejari bulatan ini.

Vektor yang dilukis dari pusat putaran ke titik di mana jasad berada pada masa ini dipanggil vektor jejari. Dalam Rajah.1.5, vektor jejari diwakili oleh vektor dan . Angka ini juga menunjukkan vektor halaju linear: vektor halaju linear sentiasa diarahkan secara tangen ke trajektori dalam arah gerakan. Oleh itu, sudut antara vektor dan vektor jejari yang dilukis ke titik tertentu trajektori sentiasa 90°. Jika badan bergerak pada kelajuan linear yang berterusan, maka modul vektor tidak akan berubah, manakala arahnya berubah sepanjang masa bergantung pada bentuk trajektori. Dalam kes yang ditunjukkan dalam Rajah 1.5, pergerakan dijalankan dengan kelajuan linear berubah-ubah, jadi modul vektor berubah. Tetapi, kerana arah vektor sentiasa berubah semasa gerakan melengkung, kesimpulan yang sangat penting berikut dari ini:

Pergerakan lengkung sentiasa mempunyai pecutan! (Walaupun pergerakan dilakukan pada kelajuan linear yang tetap.) Selain itu, pecutan yang dimaksudkan dalam kes ini, dalam apa yang berikut kita akan panggil pecutan linear.

3 . Pecutan linear. Biar saya ingatkan anda bahawa pecutan berlaku apabila kelajuan berubah. Sehubungan itu, pecutan linear muncul dalam kes perubahan dalam kelajuan linear. Dan kelajuan linear semasa gerakan curvilinear boleh mengubah kedua-dua modulo dan arah. Oleh itu, pecutan linear penuh diuraikan kepada dua komponen, satu daripadanya mempengaruhi arah vektor, dan yang kedua mempengaruhi modulusnya. Pertimbangkan pecutan ini (Rajah 1.6). Dalam angka ini

nasi. 1.6

O

jasad ditunjukkan bergerak di sepanjang laluan bulat dengan pusat putaran di titik O.

Pecutan yang mengubah arah vektor dipanggil biasa dan dilambangkan. Ia dipanggil normal kerana ia diarahkan berserenjang (biasa) ke tangen, i.e. sepanjang jejari ke tengah selekoh . Ia juga dipanggil pecutan sentripetal.

Pecutan yang mengubah modulus vektor dipanggil tangensial dan dilambangkan. Ia terletak pada tangen dan boleh diarahkan kedua-dua arah vektor dan bertentangan dengannya. :

Jika kelajuan talian meningkat, kemudian > 0 dan vektornya adalah kodirectional;

Jika kelajuan talian berkurangan, maka< 0 и их вектора противоположно

diarahkan.

Oleh itu, kedua-dua pecutan ini sentiasa membentuk sudut tegak (90º) antara satu sama lain dan merupakan komponen daripada jumlah pecutan linear, i.e. jumlah pecutan linear ialah jumlah vektor bagi pecutan normal dan tangen:

Saya perhatikan bahawa dalam kes ini kita bercakap tentang jumlah vektor, tetapi tidak mengenai jumlah skalar. Untuk mencari nilai berangka, mengetahui dan , adalah perlu untuk menggunakan teorem Pythagoras (persegi segi tiga hipotenus segi tiga secara berangka sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki segi tiga ini):

(1.8).

Ini bermakna:

(1.9).

Dengan formula apa yang perlu dikira dan dipertimbangkan sedikit kemudian.

NILAI SUDUT.

1 . Sudut putaran φ . Dalam gerakan melengkung, badan bukan sahaja mengembara beberapa laluan dan membuat beberapa pergerakan, tetapi juga berputar melalui sudut tertentu (lihat Rajah 1.7 (a)). Oleh itu, untuk menerangkan pergerakan sedemikian, kuantiti diperkenalkan, yang dipanggil sudut putaran, dilambangkan dengan huruf Yunani φ (baca "fi"). Dalam sistem SI, sudut putaran diukur dalam radian (ditandakan "rad"). Biar saya ingatkan anda bahawa satu pusingan penuh adalah sama dengan 2π radian, dan nombor π ialah pemalar: π ≈ 3.14. dalam rajah. 1.7 (a) menunjukkan trajektori jasad di sepanjang bulatan jejari r dengan pusat di titik O. Sudut putaran itu sendiri ialah sudut antara vektor jejari jasad pada beberapa saat.

2 . Halaju sudut ω – ini ialah nilai yang menunjukkan bagaimana sudut putaran berubah setiap unit masa. (ω - Huruf Yunani, baca "omega".) Dalam rajah. 1.7 (b) menunjukkan kedudukan titik bahan yang bergerak di sepanjang laluan bulat dengan pusat di titik O, pada selang masa Δt . Jika sudut di mana badan berputar semasa selang ini adalah sama, maka halaju sudut adalah malar, dan pergerakan ini boleh dianggap seragam. Dan jika sudut putaran berbeza, maka pergerakannya tidak sekata. Dan, kerana halaju sudut menunjukkan berapa banyak radian

badan berpusing dalam satu saat, maka unit ukurannya ialah radian sesaat

(ditandakan dengan " rad/s »).

nasi. 1.7

a). b). Δt

Δt

Δt

O φ O Δt

3 . Pecutan sudut ε ialah nilai yang menunjukkan bagaimana ia berubah setiap unit masa. Dan sejak pecutan sudut ε muncul apabila halaju sudut berubah ω , maka kita boleh membuat kesimpulan bahawa pecutan sudut berlaku hanya dalam kes gerakan lengkung yang tidak seragam. Unit pecutan sudut ialah " rad/s 2 ” (radian sesaat kuasa dua).

Oleh itu, jadual 1.1 boleh ditambah dengan tiga lagi nilai:

Jadual 1.2

№	kuantiti fizikal	penentuan kuantiti	penetapan kuantiti	unit
1.	laluan	ialah jarak yang dilalui oleh jasad semasa pergerakannya	S	m (meter)
2.	kelajuan	ialah jarak yang dilalui oleh jasad dalam satu unit masa (cth. 1 saat)	υ	m/s (meter sesaat)
3.	pecutan	ialah jumlah di mana kelajuan badan berubah setiap unit masa	a	m/s 2 (meter sesaat kuasa dua)
4.	masa		t	s (kedua)
5.	sudut putaran	ialah sudut di mana badan berputar dalam proses gerakan melengkung	φ	rad (radian)
6.	halaju sudut	ialah sudut yang badan berputar setiap unit masa (contohnya, dalam 1 saat.)	ω	rad/s (radian sesaat)
7.	pecutan sudut	ialah jumlah perubahan halaju sudut setiap unit masa	ε	rad/s 2 (radian sesaat kuasa dua)

Kini anda boleh pergi terus ke pertimbangan semua jenis gerakan melengkung, dan terdapat hanya tiga daripadanya.

Dengan bantuan pelajaran ini, anda akan dapat mempelajari secara bebas topik "Pergerakan Rectilinear dan Curvilinear. Pergerakan jasad dalam bulatan dengan halaju modulo malar. Pertama, kita mencirikan gerakan rectilinear dan curvilinear dengan mempertimbangkan bagaimana, dalam jenis gerakan ini, vektor halaju dan daya yang dikenakan pada badan adalah berkaitan. Seterusnya, kami mempertimbangkan kes khas apabila badan bergerak sepanjang bulatan dengan kelajuan modulo malar.

Dalam pelajaran sebelumnya, kami mempertimbangkan isu yang berkaitan dengan hukum graviti universal. Topik pelajaran hari ini berkait rapat dengan undang-undang ini, kita akan beralih kepada gerakan seragam badan dalam bulatan.

Tadi kita cakap macam tu lalu lintas - ini ialah perubahan kedudukan jasad di angkasa berbanding jasad lain dari semasa ke semasa. Pergerakan dan arah pergerakan dicirikan, antara lain, dengan kelajuan. Perubahan dalam kelajuan dan jenis pergerakan itu sendiri dikaitkan dengan tindakan daya. Jika daya bertindak ke atas jasad, maka jasad itu menukar kelajuannya.

Jika daya diarahkan selari dengan pergerakan badan, maka pergerakan sedemikian akan berlaku terus terang(Rajah 1).

nasi. 1. Pergerakan rectilinear

melengkung akan berlaku pergerakan sedemikian apabila kelajuan jasad dan daya yang dikenakan pada jasad ini diarahkan secara relatif antara satu sama lain pada sudut tertentu (Rajah 2). Dalam kes ini, kelajuan akan berubah arah.

nasi. 2. Pergerakan melengkung

Jadi, pada gerakan rectilinear vektor halaju diarahkan ke arah yang sama dengan daya yang dikenakan pada jasad itu. TAPI gerakan melengkung adalah pergerakan sedemikian apabila vektor halaju dan daya yang dikenakan pada jasad terletak pada beberapa sudut antara satu sama lain.

Pertimbangkan kes khas gerakan melengkung, apabila badan bergerak dalam bulatan dengan kelajuan malar dalam nilai mutlak. Apabila jasad bergerak dalam bulatan pada kelajuan tetap, hanya arah kelajuan berubah. Modulo ia kekal malar, tetapi arah halaju berubah. Perubahan kelajuan sedemikian membawa kepada kehadiran pecutan dalam badan, yang dipanggil sentripetal.

nasi. 6. Pergerakan sepanjang laluan melengkung

Jika trajektori pergerakan badan adalah lengkung, maka ia boleh diwakili sebagai satu set gerakan di sepanjang lengkok bulatan, seperti ditunjukkan dalam Rajah. 6.

Pada rajah. 7 menunjukkan bagaimana arah vektor halaju berubah. Kelajuan semasa pergerakan sedemikian diarahkan secara tangen ke bulatan di sepanjang lengkok yang badan itu bergerak. Oleh itu, hala tujunya sentiasa berubah. Walaupun kelajuan modulo kekal malar, perubahan dalam kelajuan membawa kepada pecutan:

Dalam kes ini pecutan akan dihalakan ke arah pusat bulatan. Itulah sebabnya ia dipanggil sentripetal.

Mengapakah pecutan sentripetal dihalakan ke arah pusat?

Ingat bahawa jika jasad bergerak di sepanjang laluan melengkung, maka halajunya adalah tangen. Halaju ialah kuantiti vektor. Vektor mempunyai nilai berangka dan arah. Kelajuan badan bergerak secara berterusan berubah arah. Iaitu, perbezaan kelajuan pada titik masa yang berbeza tidak akan sama dengan sifar (), berbeza dengan gerakan seragam rectilinear.

Jadi, kita mempunyai perubahan dalam kelajuan dalam tempoh masa tertentu. Kaitan dengan ialah pecutan. Kami sampai pada kesimpulan bahawa, walaupun kelajuan tidak berubah dalam nilai mutlak, jasad yang melakukan gerakan seragam dalam bulatan mempunyai pecutan.

Ke mana pecutan ini diarahkan? Pertimbangkan Rajah. 3. Sesetengah badan bergerak secara melengkung (dalam lengkok). Kelajuan jasad pada titik 1 dan 2 adalah tangen. Badan bergerak secara seragam, iaitu, modul halaju adalah sama: , tetapi arah halaju tidak bertepatan.

nasi. 3. Pergerakan badan dalam bulatan

Tolak kelajuan daripada dan dapatkan vektor . Untuk melakukan ini, anda perlu menyambungkan permulaan kedua-dua vektor. Secara selari, kami memindahkan vektor ke permulaan vektor . Kami membina segi tiga. Bahagian ketiga segi tiga akan menjadi vektor perbezaan halaju (Rajah 4).

nasi. 4. Vektor beza halaju

Vektor dihalakan ke arah bulatan.

Pertimbangkan segitiga yang dibentuk oleh vektor halaju dan vektor beza (Rajah 5).

nasi. 5. Segi tiga yang dibentuk oleh vektor halaju

Segitiga ini adalah sama kaki (modul halaju adalah sama). Jadi sudut di tapak adalah sama. Mari kita tulis persamaan untuk jumlah sudut segitiga:

Ketahui di mana pecutan diarahkan pada titik tertentu trajektori. Untuk melakukan ini, kita mula membawa titik 2 lebih dekat dengan titik 1. Dengan ketekunan yang tidak terhad, sudut akan cenderung kepada 0, dan sudut - kepada. Sudut antara vektor perubahan halaju dan vektor halaju itu sendiri ialah . Kelajuan diarahkan secara tangen, dan vektor perubahan halaju diarahkan ke arah pusat bulatan. Ini bermakna pecutan juga dihalakan ke arah pusat bulatan. Itulah sebabnya pecutan ini dipanggil sentripetal.

Bagaimana untuk mencari pecutan sentripetal?

Pertimbangkan trajektori di mana badan bergerak. Dalam kes ini, ini ialah lengkok bulatan (Rajah 8).

nasi. 8. Pergerakan badan dalam bulatan

Rajah menunjukkan dua segi tiga: segitiga yang dibentuk oleh halaju, dan segitiga yang dibentuk oleh jejari dan vektor sesaran. Jika titik 1 dan 2 adalah sangat hampir, maka vektor anjakan akan sama dengan vektor laluan. Kedua-dua segi tiga adalah sama kaki dengan sudut bucu yang sama. Jadi segi tiga adalah serupa. Ini bermakna bahawa sisi yang sepadan bagi segi tiga berada dalam nisbah yang sama:

Sesaran adalah sama dengan hasil darab kelajuan dan masa: . Menggantikan formula ini, anda boleh mendapatkan ungkapan berikut untuk pecutan sentripetal:

Halaju sudut dilambangkan dengan huruf Yunani omega (ω), ia menunjukkan pada sudut mana badan berputar setiap unit masa (Rajah 9). Ini adalah magnitud arka, dalam darjah, yang dilalui oleh badan dalam beberapa waktu.

nasi. 9. Kelajuan sudut

Ambil perhatian bahawa jika jasad tegar berputar, maka halaju sudut bagi mana-mana titik pada jasad ini akan menjadi nilai tetap. Titik itu lebih dekat dengan pusat putaran atau lebih jauh - tidak mengapa, iaitu, ia tidak bergantung pada jejari.

Unit ukuran dalam kes ini ialah sama ada darjah sesaat (), atau radian sesaat (). Selalunya perkataan "radian" tidak ditulis, tetapi hanya ditulis. Sebagai contoh, mari kita cari apakah halaju sudut Bumi. Bumi membuat putaran penuh dalam satu jam, dan dalam kes ini kita boleh mengatakan bahawa halaju sudut adalah sama dengan:

Juga perhatikan hubungan antara halaju sudut dan linear:

Kelajuan linear adalah berkadar terus dengan jejari. Lebih besar jejari, lebih besar kelajuan linear. Oleh itu, bergerak menjauhi pusat putaran, kami meningkatkan kelajuan linear kami.

Perlu diingatkan bahawa gerakan dalam bulatan pada kelajuan tetap adalah kes gerakan khas. Walau bagaimanapun, gerakan bulat juga boleh menjadi tidak sekata. Kelajuan boleh berubah bukan sahaja dalam arah dan kekal sama dalam nilai mutlak, tetapi juga berubah dalam nilainya, iaitu, sebagai tambahan kepada perubahan arah, terdapat juga perubahan dalam modul kelajuan. Dalam kes ini, kita bercakap tentang apa yang dipanggil gerakan bulat dipercepatkan.

Apakah radian?

Terdapat dua unit untuk mengukur sudut: darjah dan radian. Dalam fizik, sebagai peraturan, ukuran radian sudut adalah yang utama.

Mari kita bina sudut pusat, yang bergantung pada lengkok panjang.

Konsep kelajuan dan pecutan secara semula jadi digeneralisasikan kepada kes pergerakan titik bahan sepanjang lintasan curvilinear. Kedudukan titik bergerak pada trajektori diberikan oleh vektor jejari r ditarik ke titik ini dari beberapa titik tetap O, sebagai contoh, asal (Rajah 1.2). Biarkan pada masa ini t titik material berada dalam kedudukan M dengan vektor jejari r = r (t). Selepas masa yang singkat D t, ia akan bergerak ke kedudukan M 1 dengan jejari - vektor r 1 = r (t+ D t). Jejari - vektor titik bahan akan menerima kenaikan yang ditentukan oleh perbezaan geometri D r = r 1 - r . Kelajuan purata dari masa ke masa D t dipanggil kuantiti

Arah kelajuan purata V Rabu perlawanan dengan arah vektor D r .

Purata had laju di D t® 0, iaitu terbitan bagi jejari - vektor r pada masa

(1.9)

dipanggil benar atau segera kelajuan titik bahan. vektor V diarahkan secara tangensial ke trajektori titik bergerak.

pecutan a dipanggil vektor sama dengan terbitan pertama bagi vektor halaju V atau terbitan kedua jejari - vektor r pada masa:

(1.10)

(1.11)

Perhatikan analogi rasmi berikut antara halaju dan pecutan. Dari titik tetap O 1 sewenang-wenangnya kita akan memplotkan vektor halaju V titik bergerak pada setiap masa yang mungkin (Rajah 1.3).

Akhir vektor V dipanggil titik kelajuan. Lokus titik halaju ialah lengkung yang dipanggil hodograf kelajuan. Apabila titik material menerangkan trajektori, titik kelajuan yang sepadan dengannya bergerak di sepanjang hodograf.

nasi. 1.2 berbeza daripada rajah. 1.3 hanya dengan sebutan. Jejari - Vektor r digantikan dengan vektor halaju V , titik bahan - ke titik halaju, trajektori - ke hodograf. Operasi matematik pada vektor r apabila mencari kelajuan dan melebihi vektor V apabila mendapati pecutan adalah sama sepenuhnya.

Kelajuan V diarahkan sepanjang laluan tangen. sebab tu pecutana akan dihalakan secara tangen ke hodograf halaju. Boleh dikatakan begitu pecutan ialah kelajuan pergerakan titik kelajuan tinggi di sepanjang hodograf. Akibatnya,

Bergantung kepada bentuk trajektori, pergerakan dibahagikan kepada rectilinear dan curvilinear. Dalam dunia nyata, kita paling kerap berurusan dengan gerakan melengkung, apabila trajektori ialah garis melengkung. Contoh pergerakan sedemikian ialah lintasan jasad yang dilemparkan pada sudut ke ufuk, pergerakan Bumi mengelilingi Matahari, pergerakan planet, hujung jarum jam pada dail, dsb.

Rajah 1. Trajektori dan anjakan dalam gerakan melengkung

Definisi

Gerakan lengkung ialah gerakan yang trajektorinya ialah garis lengkung (contohnya, bulatan, elips, hiperbola, parabola). Apabila bergerak di sepanjang trajektori lengkung, vektor anjakan $\overrightarrow(s)$ diarahkan sepanjang kord (Rajah 1), dan l ialah panjang trajektori. Kelajuan serta-merta jasad (iaitu, kelajuan jasad pada titik tertentu dalam trajektori) diarahkan secara tangen pada titik tersebut dalam trajektori di mana jasad bergerak berada pada masa ini (Rajah 2).

Rajah 2. Halaju segera semasa gerakan melengkung

Walau bagaimanapun, pendekatan berikut adalah lebih mudah. Anda boleh bayangkan pergerakan ini sebagai gabungan beberapa pergerakan di sepanjang lengkok bulatan (lihat Rajah 4.). Sekatan sedemikian akan menjadi lebih sedikit daripada dalam kes sebelumnya, sebagai tambahan, pergerakan sepanjang bulatan itu sendiri melengkung.

Rajah 4. Membahagikan gerakan melengkung kepada gerakan di sepanjang lengkok bulatan

Kesimpulan

Untuk menerangkan gerakan melengkung, seseorang mesti belajar untuk menerangkan gerakan sepanjang bulatan, dan kemudian mewakili gerakan sewenang-wenangnya sebagai satu set gerakan sepanjang lengkok bulatan.

Tugas mengkaji gerakan lengkung titik material adalah untuk menyusun persamaan kinematik yang menerangkan gerakan ini dan membenarkan, mengikut syarat awal yang diberikan, untuk menentukan semua ciri gerakan ini.