Kamiran lengkung jenis pertama sepanjang kontur tertutup. MA

Masalah jisim lengkung. Biarkan pada setiap titik lengkung bahan licin sekeping L: (AB) ketumpatannya ditentukan. Tentukan jisim lengkung.

Mari kita meneruskan dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan semasa menentukan jisim kawasan rata ( kamiran berganda) dan badan spatial (kamiran tiga kali ganda).

1. Kami menyusun pembahagian kawasan-arka L kepada unsur - arka asas supaya unsur-unsur ini tidak mempunyai persamaan titik dalaman Dan
(syarat A )

2. Mari kita tandai "titik bertanda" M i pada elemen partition dan hitung nilai fungsi di dalamnya

3. Mari bina hasil tambah kamiran
, Di mana - panjang lengkok (biasanya tatatanda yang sama diperkenalkan untuk lengkok dan panjangnya). Ini ialah nilai anggaran untuk jisim lengkung. Penyederhanaan adalah bahawa kita menganggap ketumpatan arka adalah malar pada setiap elemen dan mengambil bilangan unsur yang terhingga.

Bergerak ke had yang disediakan
(keadaan B ), kita memperoleh kamiran lengkung jenis pertama sebagai had jumlah kamiran:

.

Teorem kewujudan 10 .

Biarkan fungsi
adalah selanjar pada lengkok licin sekeping L 11. Kemudian kamiran baris jenis pertama wujud sebagai had jumlah kamiran.

Komen. Had ini tidak bergantung kepada

kaedah untuk memilih partition, selagi syarat A dipenuhi

memilih "titik bertanda" pada elemen partition,

kaedah menapis partition, asalkan syarat B dipenuhi

Sifat kamiran lengkung jenis pertama.

1. Kelinearan a) sifat superposisi

b) sifat kehomogenan
.

Bukti. Mari kita tuliskan jumlah kamiran untuk kamiran di sebelah kiri kesamaan. Oleh kerana jumlah kamiran mempunyai bilangan sebutan terhingga, kami beralih kepada jumlah kamiran untuk bahagian kanan kesamaan. Kemudian kita lulus ke had, dengan teorem pada laluan ke had dalam kesamaan yang kita perolehi hasil yang diingini.

2. Penambahan. Jika
, Itu
=
+

Bukti. Marilah kita memilih partition bagi rantau L supaya tiada unsur partition (pada mulanya dan semasa menapis partition) mengandungi kedua-dua elemen L 1 dan elemen L 2 pada masa yang sama. Ini boleh dilakukan menggunakan teorem kewujudan (remark to theorem). Seterusnya, pembuktian dilakukan melalui jumlah integral, seperti dalam perenggan 1.

3.
.Di sini – panjang lengkok .

4. Jika pada lengkok ketidaksamaan berpuas hati, maka

Bukti. Mari kita tuliskan ketaksamaan untuk jumlah kamiran dan teruskan ke had.

Perhatikan bahawa, khususnya, adalah mungkin

5. Teorem anggaran.

Jika pemalar wujud
, sesuatu

Bukti. Mengintegrasikan ketidaksamaan
(harta 4), kita dapat
. Dengan sifat 1 pemalar
boleh dikeluarkan dari bawah kamiran. Menggunakan sifat 3, kami memperoleh hasil yang diingini.

6. Teorem nilai min(nilai kamiran).

Ada satu perkara
, Apa

Bukti. Sejak fungsi
berterusan pada tertutup set terhad, maka infimumnya wujud
dan tepi atas
. Ketaksamaan berpuas hati. Membahagikan kedua-dua belah dengan L, kita dapat
. Tetapi nombor
tertutup di antara bahagian bawah dan tepi atas fungsi. Sejak fungsi
adalah selanjar pada set berbatas tertutup L, kemudian pada satu ketika
fungsi mesti menerima nilai ini. Oleh itu,
.

Kuliah 5 Kamiran lengkung jenis pertama dan kedua, sifatnya..

Masalah jisim lengkung. Kamiran lengkung jenis pertama.

Masalah jisim lengkung. Biarkan pada setiap titik lengkung bahan licin sekeping L: (AB) ketumpatannya ditentukan. Tentukan jisim lengkung.

Marilah kita meneruskan dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan semasa menentukan jisim kawasan rata (kamiran berganda) dan jasad ruang (kamiran tiga).

1. Kami menyusun pembahagian kawasan arka L kepada unsur - arka asas supaya unsur-unsur ini tidak mempunyai titik dalaman yang sama dan( syarat A )

3. Bina jumlah kamiran , di mana adalah panjang lengkok (biasanya tatatanda yang sama diperkenalkan untuk lengkok dan panjangnya). Ini ialah nilai anggaran untuk jisim lengkung. Penyederhanaan adalah bahawa kita menganggap ketumpatan arka adalah malar pada setiap elemen dan mengambil bilangan unsur yang terhingga.

Bergerak ke had yang disediakan (keadaan B ), kita memperoleh kamiran lengkung jenis pertama sebagai had jumlah kamiran:

.

Teorem kewujudan.

Biarkan fungsi itu berterusan pada lengkok licin sekeping L. Kemudian kamiran garis jenis pertama wujud sebagai had jumlah kamiran.

Komen. Had ini tidak bergantung kepada

Sifat kamiran lengkung jenis pertama.

1. Kelinearan
a) sifat superposisi

b) sifat kehomogenan .

Bukti. Mari kita tuliskan jumlah kamiran untuk kamiran di sebelah kiri kesamaan. Oleh kerana jumlah kamiran mempunyai bilangan sebutan terhingga, kami beralih kepada jumlah kamiran untuk bahagian kanan kesamaan. Kemudian kita lulus ke had, menggunakan teorem pada laluan ke had dalam kesamaan, kita memperoleh hasil yang diingini.

2. Penambahan.
Jika , Itu = +

3. Berikut ialah panjang lengkok.

4. Jika ketaksamaan itu dipenuhi pada lengkok, maka

Bukti. Mari kita tuliskan ketaksamaan untuk jumlah kamiran dan teruskan ke had.

Perhatikan bahawa, khususnya, adalah mungkin

5. Teorem anggaran.

Jika terdapat pemalar itu, maka

Bukti. Mengintegrasikan ketidaksamaan (harta 4), kita dapat . Dengan sifat 1, pemalar boleh dikeluarkan daripada kamiran. Menggunakan sifat 3, kami memperoleh hasil yang diingini.

6. Teorem nilai min(nilai kamiran).

Ada satu perkara , Apa

Bukti. Oleh kerana fungsi itu berterusan pada set sempadan tertutup, maka infimumnya wujud dan tepi atas . Ketaksamaan berpuas hati. Membahagikan kedua-dua belah dengan L, kita dapat . Tetapi nombor tertutup di antara sempadan bawah dan atas fungsi. Oleh kerana fungsi adalah berterusan pada set terhad tertutup L, maka pada satu ketika fungsi mesti mengambil nilai ini. Oleh itu, .

Pengiraan kamiran lengkung jenis pertama.

Mari kita parameterkan lengkok L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Biarkan t 0 sepadan dengan titik A, dan t 1 sepadan dengan titik B. Kemudian kamiran garis jenis pertama berkurangan kepada kamiran pasti (- formula yang diketahui dari semester 1 untuk mengira pembezaan panjang lengkok):

Contoh. Kira jisim satu pusingan heliks homogen (ketumpatan sama dengan k): .

Kamiran lengkung jenis ke-2.

Masalah kerja paksaan.

Berapa banyak kerja yang dihasilkan oleh daya?F(M) apabila menggerakkan titikMsepanjang lengkokAB? Jika lengkok AB ialah segmen garis lurus, dan daya adalah malar dalam magnitud dan arah apabila menggerakkan titik M sepanjang lengkok AB, maka kerja boleh dikira menggunakan formula , di mana adalah sudut antara vektor. DALAM kes am formula ini boleh digunakan untuk membina jumlah kamiran, dengan mengandaikan daya malar pada unsur lengkok yang cukup kecil panjangnya. Daripada panjang elemen kecil arka, anda boleh mengambil panjang kord menyarikanya, kerana kuantiti ini adalah kuantiti tak terhingga bersamaan di bawah keadaan (semester pertama).

1. Kami menyusun pembahagian lengkok rantau AB kepada unsur - lengkok asas supaya unsur-unsur ini tidak mempunyai titik dalaman sepunya dan( syarat A )

2. Mari kita tandai "titik bertanda" M i pada elemen partition dan hitung nilai fungsi di dalamnya

3. Mari bina hasil tambah kamiran , di manakah vektor diarahkan di sepanjang kord yang menyamankan -arc .

4. Melangkah ke had yang disediakan (keadaan B ), kita memperoleh kamiran lengkung jenis kedua sebagai had jumlah kamiran (dan kerja daya):

. Selalunya dilambangkan

Teorem kewujudan.

Biarkan fungsi vektor selanjar pada lengkok licin sekeping L. Kemudian kamiran lengkung jenis kedua wujud sebagai had jumlah kamiran.

.

Komen. Had ini tidak bergantung kepada

Kaedah untuk memilih partition, asalkan syarat A dipenuhi

Memilih "titik bertanda" pada elemen partition,

Kaedah untuk menapis partition, selagi syarat B dipenuhi

Sifat kamiran lengkung jenis ke-2.

1. Kelinearan
a) sifat superposisi

b) sifat kehomogenan .

Bukti. Mari kita tuliskan jumlah kamiran untuk kamiran di sebelah kiri kesamaan. Oleh kerana dalam jumlah kamiran bilangan sebutan adalah terhingga, menggunakan sifat produk titik, mari kita beralih kepada jumlah kamiran untuk bahagian kanan kesamaan. Kemudian kita lulus ke had, menggunakan teorem pada laluan ke had dalam kesamaan, kita memperoleh hasil yang diingini.

2. Penambahan.
Jika , Itu = + .

Bukti. Marilah kita memilih partition bagi rantau L supaya tiada unsur partition (pada mulanya dan apabila menapis partition) serentak mengandungi kedua-dua elemen L 1 dan elemen L 2 . Ini boleh dilakukan menggunakan teorem kewujudan (remark to theorem). Seterusnya, pembuktian dilakukan melalui jumlah integral, seperti dalam perenggan 1.

3. Kebolehorientasikan.

= -

Bukti. Kamiran di atas lengkok –L, i.e. dalam arah negatif melintasi lengkok terdapat had jumlah kamiran yang mana terdapat () sebaliknya. Mengambil "tolak" daripada hasil skalar dan daripada jumlah nombor terhingga terma, melepasi had, kami memperoleh hasil yang diperlukan.

Minimum teori

Kamiran lengkung dan permukaan sering dijumpai dalam fizik. Mereka datang dalam dua jenis, yang pertama dibincangkan di sini. ini
jenis kamiran dibina mengikut skim umum, yang dengannya kamiran pasti, dua dan tiga diperkenalkan. Mari kita ingat secara ringkas rajah ini.
Terdapat beberapa objek di mana penyepaduan dijalankan (satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi). Objek ini dipecahkan kepada bahagian kecil,
satu mata dipilih dalam setiap bahagian. Pada setiap titik ini, nilai integrand dikira dan didarab dengan ukuran bahagian itu
kepunyaan titik yang diberikan(panjang segmen, kawasan atau isipadu kawasan separa). Kemudian semua produk tersebut dijumlahkan dan hadnya dipenuhi
peralihan kepada memecahkan objek kepada bahagian yang sangat kecil. Had yang terhasil dipanggil kamiran.

1. Takrif kamiran lengkung jenis pertama

Mari kita pertimbangkan fungsi yang ditakrifkan pada lengkung. Lengkung diandaikan boleh diperbetulkan. Mari kita ingat apa maksudnya, secara kasarnya,
bahawa garis putus dengan pautan kecil yang sewenang-wenangnya boleh ditulis ke dalam lengkung, dan dalam had ia tidak terhingga bilangan yang besar pautan, panjang garis putus harus kekal
muktamad. Lengkung dibahagikan kepada lengkok separa panjang dan satu titik dipilih pada setiap lengkok. Sebuah karya sedang disusun
penjumlahan dijalankan ke atas semua lengkok separa . Kemudian laluan ke had dijalankan dengan kecenderungan panjang yang paling besar
daripada lengkok separa kepada sifar. Had ialah kamiran lengkung jenis pertama
.
Satu ciri penting bagi kamiran ini, yang secara langsung mengikut takrifnya, ialah kebebasannya daripada arah integrasi, i.e.
.

2. Takrif kamiran permukaan jenis pertama

Pertimbangkan fungsi yang ditakrifkan pada permukaan licin atau sekeping. Permukaan dibahagikan kepada kawasan separa
dengan kawasan, satu titik dipilih dalam setiap kawasan tersebut. Sebuah karya sedang disusun , penjumlahan dijalankan
ke atas semua kawasan separa . Kemudian laluan ke had dijalankan dengan kecenderungan diameter terbesar daripada semua separa
kawasan kepada sifar. Had ialah kamiran permukaan jenis pertama
.

3. Pengiraan kamiran lengkung jenis pertama

Kaedah untuk mengira kamiran lengkung jenis pertama sudah boleh dilihat dari notasi formalnya, tetapi sebenarnya mengikuti terus dari
takrifan. Kamiran dikurangkan kepada satu yang pasti; anda hanya perlu menulis kebezaan lengkok lengkok di mana penyepaduan dijalankan.
Mari kita mulakan dengan kes mudah pengamiran sepanjang lengkung satah yang diberi persamaan eksplisit. Dalam kes ini, pembezaan arka
.
Kemudian perubahan pembolehubah dilakukan dalam integrand, dan kamiran mengambil bentuk
,
di mana segmen sepadan dengan perubahan dalam pembolehubah di sepanjang bahagian lengkung di mana penyepaduan dijalankan.

Selalunya lengkung ditentukan secara parametrik, i.e. persamaan bentuk Kemudian pembezaan arka
.
Formula ini sangat wajar. Pada asasnya, ini adalah teorem Pythagoras. Perbezaan lengkok sebenarnya ialah panjang bahagian terhingga lengkung.
Jika lengkungnya licin, maka bahagian infinitesimalnya boleh dianggap rectilinear. Untuk garis lurus kita mempunyai hubungan
.
Agar ia dapat dijalankan untuk lengkok kecil lengkung, seseorang harus bergerak dari kenaikan terhingga kepada pembezaan:
.
Jika lengkung ditentukan secara parametrik, maka pembezaan hanya dikira:
dll.
Oleh itu, selepas menukar pembolehubah dalam integrand, kamiran lengkung dikira seperti berikut:
,
di mana bahagian lengkung di mana penyepaduan dijalankan sepadan dengan segmen perubahan parameter.

Keadaan ini agak rumit dalam kes apabila lengkung dinyatakan dalam koordinat lengkung. Isu ini biasanya dibincangkan dalam rangka kerja pembezaan
geometri. Mari kita berikan formula untuk mengira kamiran sepanjang lengkung yang diberikan koordinat kutub persamaan:
.
Kami juga akan memberikan rasional untuk pembezaan arka dalam koordinat kutub. Perbincangan terperinci tentang pembinaan grid sistem kutub koordinat
cm . Mari kita pilih lengkok kecil lengkung yang terletak berhubung dengan garis koordinat seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 1. Disebabkan kecik semua yang dipaparkan
arka sekali lagi kita boleh menggunakan teorem Pythagoras dan menulis:
.
Dari sini mengikuti ungkapan yang diingini untuk pembezaan arka.

Dengan suci titik teori Dari perspektif visual, cukup sekadar memahami bahawa kamiran lengkung jenis pertama mesti dikurangkan kepada kes tertentu -
kepada kamiran yang pasti. Sesungguhnya, dengan membuat perubahan yang ditentukan oleh parameterisasi lengkung di mana kamiran dikira, kami mewujudkan
pemetaan satu dengan satu antara bahagian lengkung yang diberikan dan segmen perubahan parameter. Dan ini adalah pengurangan kepada kamiran
sepanjang garis lurus bertepatan dengan paksi koordinat- kamiran yang pasti.

4. Pengiraan kamiran permukaan jenis pertama

Selepas perkara sebelumnya, perlu jelas bahawa salah satu bahagian utama pengiraan kamiran permukaan jenis pertama ialah menulis elemen permukaan,
di mana integrasi dilakukan. Sekali lagi, mari kita mulakan dengan kes mudah permukaan yang ditakrifkan oleh persamaan eksplisit. Kemudian
.
Penggantian dibuat dalam kamiran dan kamiran permukaan dikurangkan kepada dua kali ganda:
,
di manakah kawasan satah di mana bahagian permukaan di mana penyepaduan dijalankan diunjurkan.

Walau bagaimanapun, selalunya mustahil untuk menentukan permukaan dengan persamaan eksplisit, dan kemudian ia ditakrifkan secara parametrik, i.e. persamaan bentuk
.
Unsur permukaan dalam kes ini ditulis lebih rumit:
.
Kamiran permukaan boleh ditulis dengan sewajarnya:
,
di mana adalah kawasan perubahan parameter yang sepadan dengan bahagian permukaan yang mana penyepaduan dijalankan.

5. Makna fizikal kamiran lengkung dan permukaan jenis pertama

Kamiran yang dibincangkan mempunyai sangat mudah dan intuitif makna fizikal. Biarkan terdapat beberapa lengkung yang ketumpatan linearnya tidak
malar, dan merupakan fungsi titik . Mari kita cari jisim lengkung ini. Mari pecahkan lengkung kepada banyak elemen kecil,
di mana ketumpatannya boleh dianggap malar. Jika panjang sekeping kecil lengkung adalah sama dengan , maka jisimnya
, di manakah mana-mana titik bahagian lengkung yang dipilih (mana-mana, kerana ketumpatan berada dalam
bahagian ini diandaikan sebagai malar). Oleh itu, jisim keseluruhan lengkung diperoleh dengan menjumlahkan jisim bahagian individunya:
.
Untuk kesamaan menjadi tepat, seseorang mesti pergi ke had membahagikan lengkung kepada bahagian yang sangat kecil, tetapi ini adalah kamiran lengkung jenis pertama.

Persoalan jumlah cas lengkung diselesaikan dengan cara yang sama jika ketumpatan cas linear diketahui .

Hujah-hujah ini boleh dipindahkan dengan mudah kepada kes permukaan yang tidak seragam dengan ketumpatan permukaan caj . Kemudian
cas permukaan ialah kamiran permukaan jenis pertama
.

Nota. Formula rumit untuk elemen permukaan yang ditakrifkan secara parametrik adalah menyusahkan untuk diingati. Ungkapan lain diperoleh dalam geometri pembezaan,
ia menggunakan apa yang dipanggil pertama bentuk kuadratik permukaan.

Contoh pengiraan kamiran lengkung jenis pertama

Contoh 1. Kamiran sepanjang garis.
Kira kamiran

sepanjang ruas garis yang melalui titik dan .

Pertama, kita tulis persamaan garis lurus di mana penyepaduan dijalankan: . Mari cari ungkapan untuk:
.
Kami mengira integral:

Contoh 2. Kamiran sepanjang lengkung dalam satah.
Kira kamiran

sepanjang lengkok parabola dari satu titik ke satu titik.

Setpoints dan membolehkan anda menyatakan pembolehubah daripada persamaan parabola: .

Kami mengira integral:
.

Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk menjalankan pengiraan dengan cara lain, mengambil kesempatan daripada fakta bahawa lengkung diberikan oleh persamaan yang diselesaikan berkenaan dengan pembolehubah.
Jika kita mengambil pembolehubah sebagai parameter, ini akan membawa kepada perubahan kecil ungkapan untuk pembezaan arka:
.
Oleh itu, integral akan berubah sedikit:
.
Kamiran ini mudah dikira dengan menggantikan pembolehubah di bawah pembezaan. Hasilnya adalah kamiran yang sama seperti dalam kaedah pengiraan pertama.

Contoh 3. Kamiran sepanjang lengkung dalam satah (menggunakan parameterisasi).
Kira kamiran

sepanjang bahagian atas bulatan .

Anda boleh, tentu saja, menyatakan salah satu pembolehubah daripada persamaan bulatan, dan kemudian menjalankan pengiraan yang lain dengan cara standard. Tetapi anda juga boleh menggunakan
spesifikasi lengkung parametrik. Seperti yang anda ketahui, bulatan boleh ditakrifkan dengan persamaan. Separuh bulatan atas
sepadan dengan perubahan dalam parameter dalam . Mari kita hitung perbezaan arka:
.
Oleh itu,

Contoh 4. Kamiran sepanjang lengkung pada satah yang ditentukan dalam koordinat kutub.
Kira kamiran

sepanjang lobus kanan lemniscate .

Lukisan di atas menunjukkan lemniscate. Integrasi mesti dilakukan di sepanjang lobus kanannya. Mari kita cari pembezaan lengkok untuk lengkung :
.
Langkah seterusnya ialah menentukan had pengamiran ke atas sudut kutub. Adalah jelas bahawa ketidaksamaan mesti dipenuhi, dan oleh itu
.
Kami mengira integral:

Contoh 5. Kamiran sepanjang lengkung dalam ruang.
Kira kamiran

sepanjang pusingan heliks sepadan dengan had perubahan parameter