Bulatan sinus dan kosinus dengan tanda. bulatan trigonometri

Jika anda sudah biasa dengan bulatan trigonometri , dan anda hanya mahu menyegarkan semula elemen individu dalam ingatan anda, atau anda benar-benar tidak sabar, maka inilah, :

Di sini kami akan menganalisis segala-galanya secara terperinci langkah demi langkah.

Bulatan trigonometri bukanlah satu kemewahan, tetapi satu keperluan

Trigonometri banyak yang dikaitkan dengan belukar yang tidak dapat dilalui. Tiba-tiba, begitu banyak nilai fungsi trigonometri bertimbun, begitu banyak formula ... Tetapi, pada mulanya, ia tidak berjaya, dan ... seterusnya dan seterusnya ... salah faham semata-mata .. .

Adalah sangat penting untuk tidak melambaikan tangan anda nilai fungsi trigonometri, - mereka berkata, anda sentiasa boleh melihat taji dengan jadual nilai.

Jika anda sentiasa melihat jadual dengan nilai-nilai formula trigonometri, mari buang tabiat ini!

Akan menyelamatkan kita! Anda akan bekerja dengannya beberapa kali, dan kemudian ia akan muncul di kepala anda sendiri. Mengapa ia lebih baik daripada meja? Ya, dalam jadual anda akan menemui bilangan nilai yang terhad, tetapi pada bulatan - SEMUANYA!

Sebagai contoh, katakan, melihat jadual nilai piawai formula trigonometri , yang merupakan sinus bagi, katakan, 300 darjah, atau -45.

Tidak mungkin? .. anda boleh, sudah tentu, menyambung formula pengurangan... Dan melihat bulatan trigonometri, anda boleh menjawab soalan sedemikian dengan mudah. Dan tidak lama lagi anda akan tahu bagaimana!

Dan apabila menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan tanpa bulatan trigonometri - tiada tempat sama sekali.

Pengenalan kepada bulatan trigonometri

Jom ikut tertib.

Pertama, tuliskan siri nombor berikut:

Dan sekarang ini:

Dan akhirnya yang ini:

Sudah tentu, ia adalah jelas bahawa, sebenarnya, di tempat pertama adalah, di tempat kedua adalah, dan di yang terakhir -. Iaitu, kita akan lebih berminat dengan rantaian .

Tetapi betapa indahnya ternyata! Dalam kes ini, kami akan memulihkan "tangga yang indah" ini.

Dan mengapa kita memerlukannya?

Rantaian ini ialah nilai utama sinus dan kosinus pada suku pertama.

Mari kita lukis bulatan jejari unit dalam sistem koordinat segi empat tepat (iaitu, kita mengambil sebarang jejari sepanjang panjang, dan mengisytiharkan panjangnya sebagai unit).

Dari rasuk "0-Start", kami ketepikan ke arah sudut anak panah (lihat Rajah).

Kami mendapat mata yang sepadan pada bulatan. Jadi, jika kita menayangkan mata pada setiap paksi, maka kita akan mendapat nilai yang tepat dari rantai di atas.

Mengapa begitu, anda bertanya?

Jangan kita pisahkan semuanya. Pertimbangkan prinsip, yang akan membolehkan anda menghadapi situasi lain yang serupa.

Segitiga AOB ialah segi tiga tegak dengan . Dan kita tahu bahawa bertentangan dengan sudut terletak satu kaki dua kali lebih kecil daripada hipotenus (hipotenus kita = jejari bulatan, iaitu, 1).

Oleh itu, AB= (dan dengan itu OM=). Dan dengan teorem Pythagoras

Saya harap ada yang jelas sekarang.

Jadi titik B akan sepadan dengan nilai, dan titik M akan sepadan dengan nilai

Begitu juga dengan selebihnya nilai suku pertama.

Seperti yang anda faham, paksi yang biasa kepada kita (lembu) ialah paksi kosinus, dan paksi (oy) - paksi sinus . nanti.

Di sebelah kiri sifar pada paksi kosinus (di bawah sifar pada paksi sinus) sudah tentu akan ada nilai negatif.

Jadi, inilah dia, YANG MAHA KUASA, tanpanya tiada dalam trigonometri.

Tetapi bagaimana untuk menggunakan bulatan trigonometri, kita akan bercakap.

Apakah bulatan unit. Bulatan unit ialah bulatan dengan jejari 1 dan berpusat pada asalan. Ingat bahawa persamaan bulatan kelihatan seperti x 2 + y 2 =1. Bulatan sedemikian boleh digunakan untuk mencari beberapa hubungan trigonometri "khas", serta dalam pembinaan imej grafik. Dengan bantuannya dan garisan yang disertakan di dalamnya, seseorang juga boleh menganggarkan nilai berangka fungsi trigonometri.

Menghafal 6 nisbah trigonometri. ingat itu

sinθ=bertentangan/hipotenus
cosθ=bersebelahan/hipotenus
tgθ=kaki bertentangan/kaki bersebelahan
cosecθ=1/sin
secθ=1/cos
ctgθ=1/tg.

Apakah radian. Radian adalah salah satu ukuran untuk menentukan magnitud sesuatu sudut. Satu radian ialah nilai sudut antara dua jejari yang dilukis supaya panjang lengkok di antaranya adalah sama dengan nilai jejari. Ambil perhatian bahawa saiz dan lokasi bulatan tidak memainkan sebarang peranan. Anda juga harus tahu berapa jumlah radian untuk bulatan penuh (360 darjah). Ingat bahawa lilitan bulatan ialah 2πr, iaitu 2π kali panjang jejari. Oleh kerana, mengikut takrifan, 1 radian ialah sudut antara hujung lengkok yang panjangnya sama dengan jejari, terdapat sudut yang sama dengan 2π radian dalam bulatan penuh.

Tahu cara menukar radian kepada darjah. Bulatan penuh mengandungi 2π radian, atau 360 darjah. Dengan cara ini:

2π radian = 360 darjah
1 radian=(360/2π) darjah
1 radian=(180/π) darjah
360 darjah=2π radian
1 darjah=(2π/360) radian
1 darjah=(π/180) radian

Belajar sudut "istimewa". Sudut dalam radian ini ialah π/6, π/3, π/4, π/2, π dan hasil darab kuantiti ini (contohnya, 5π/6)

Mempelajari dan menghafal makna fungsi trigonometri untuk sudut khas. Untuk menentukan magnitudnya, anda mesti melihat bulatan unit. Fikirkan segmen yang diketahui panjangnya disertakan dalam bulatan unit. Titik pada bulatan sepadan dengan bilangan radian dalam sudut yang terbentuk. Contohnya, sudut π/2 sepadan dengan titik pada bulatan, jejarinya membentuk sudut π/2 dengan jejari mengufuk positif. Untuk mencari nilai fungsi trigonometri mana-mana sudut, koordinat titik yang sepadan dengan sudut ini ditentukan. Hipotenus sentiasa sama dengan satu, kerana ia adalah jejari bulatan, dan oleh kerana sebarang nombor dibahagikan dengan 1 adalah sama dengan dirinya sendiri, dan kaki bertentangan adalah sama dengan panjang sepanjang paksi Oy, maka nilai bagi sinus mana-mana sudut ialah koordinat-y bagi titik-titik yang sepadan pada bulatan. Nilai kosinus boleh didapati dengan cara yang sama. Kosinus adalah sama dengan panjang kaki bersebelahan dibahagikan dengan panjang hipotenus; kerana yang terakhir adalah sama dengan satu, dan panjang kaki yang bersebelahan adalah sama dengan koordinat-x bagi titik pada bulatan, maka kosinus adalah sama dengan nilai koordinat ini. Mencari tangen adalah sedikit lebih rumit. Tangen bagi sudut segi tiga tepat adalah sama dengan kaki bertentangan dibahagikan dengan kaki bersebelahan. Dalam kes ini, tidak seperti yang sebelumnya, hasil bagi bukanlah pemalar, jadi pengiraan agak rumit. Ingat bahawa panjang kaki bertentangan adalah sama dengan koordinat y, dan kaki bersebelahan adalah sama dengan koordinat x titik pada bulatan unit; menggantikan nilai-nilai ini, kita mendapat bahawa tangen adalah sama dengan y / x. Dengan membahagikan 1 dengan nilai yang terdapat di atas, seseorang boleh mencari fungsi trigonometri songsang yang sepadan dengan mudah. Oleh itu, adalah mungkin untuk mengira semua fungsi trigonometri utama:

sinθ=y
cosθ=x
tgθ=y/x
cosec=1/y
saat=1/x
ctg=x/y

Cari dan ingat nilai enam fungsi trigonometri untuk sudut yang terletak pada paksi koordinat, iaitu sudut yang merupakan gandaan π/2, seperti 0, π/2, π, 3π/2, 2π, dsb. e. Untuk titik bulatan yang terletak pada paksi koordinat, ini tidak menimbulkan sebarang masalah. Jika titik terletak pada paksi-x, sinus ialah sifar dan kosinus ialah 1 atau -1, bergantung pada arah. Jika titik terletak pada paksi Oy, sinus akan sama dengan 1 atau -1, dan kosinus akan menjadi 0.

Cari dan hafal nilai 6 fungsi trigonometri untuk sudut khas π/6. Guna sudut π/6 pada bulatan unit. Anda tahu cara mencari panjang semua sisi segitiga tegak khas (dengan sudut 30-60-90 dan 45-45-90) memandangkan panjang salah satu sisi, dan kerana π/6=30 darjah, segitiga ini ialah salah satu kes khas. Baginya, seperti yang anda ingat, kaki pendek adalah sama dengan 1/2 hipotenus, iaitu, koordinat y ialah 1/2, dan kaki panjang adalah √3 kali lebih panjang daripada yang pendek, iaitu, ia adalah. sama dengan (√3)/2, jadi koordinat x ialah ( √3)/2. Oleh itu, kita mendapat titik pada bulatan unit dengan koordinat berikut: ((√3)/2,1/2). Dengan menggunakan persamaan di atas, kita dapati:

sinπ/6=1/2
cosπ/6=(√3)/2
tanπ/6=1/(√3)
cosecπ/6=2
saatπ/6=2/(√3)
ctgπ/6=√3

Cari dan hafal nilai 6 fungsi trigonometri untuk sudut khas π/3. Sudut π/3 diwakili pada bulatan dengan titik yang koordinat-xnya sama dengan koordinat-y bagi sudut π/6 dan koordinat-ynya adalah sama dengan koordinat-x untuk sudut tersebut. Oleh itu, titik mempunyai koordinat (1/2, √3/2). Hasilnya, kami mendapat:

sinπ/3=(√3)/2
cosπ/3=1/2
tgπ/3=√3
cosecπ/3=2/(√3)
saatπ/3=2
ctgπ/3=1/(√3)

Cari dan hafal nilai 6 fungsi trigonometri untuk sudut khas π/4. Panjang hipotenus segi tiga tegak dengan sudut 45-45-90 adalah berkaitan dengan panjang kakinya sebagai √2 hingga 1, dan nilai koordinat titik pada bulatan unit juga akan dikaitkan. Akibatnya, kami mempunyai:

sinπ/4=1/(√2)
cosπ/4=1/(√2)
tgπ/4=1
cosecπ/4=√2
saatπ/4=√2
ctgπ/4=1

Tentukan sama ada nilai fungsi itu positif atau negatif. Semua sudut kepunyaan keluarga yang sama memberikan nilai mutlak fungsi trigonometri yang sama, tetapi nilai ini mungkin berbeza dalam tanda (satu positif, satu lagi negatif).

Jika sudut berada dalam sukuan pertama, semua fungsi trigonometri adalah positif.
Untuk sudut dalam sukuan kedua, semua fungsi kecuali sin dan cosec adalah negatif.
Dalam kuadran ketiga, nilai semua fungsi, kecuali untuk tg dan ctg, adalah kurang daripada sifar.
Dalam kuadran keempat, semua fungsi, kecuali cos dan sec, mempunyai nilai negatif.

Pada abad kelima SM, ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal ialah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih laju daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa Achilles berlari jarak ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan berterusan selama-lamanya, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kesemua mereka, dalam satu cara atau yang lain, menganggap aporias Zeno. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan pada masa ini, komuniti saintifik masih belum berjaya mencapai pendapat umum tentang intipati paradoks ... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baru terlibat dalam kajian isu ; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima secara universal untuk masalah itu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa itu penipuan.

Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada nilai kepada. Peralihan ini membayangkan penggunaan dan bukannya pemalar. Setakat yang saya faham, radas matematik untuk menggunakan unit ukuran berubah sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Penggunaan logik biasa membawa kita ke dalam perangkap. Kami, dengan inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada timbal balik. Dari sudut fizikal, ia kelihatan seperti masa semakin perlahan untuk berhenti sepenuhnya ketika Achilles mengejar kura-kura itu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh memintas kura-kura itu.

Jika kita putar logik yang biasa kita lakukan, semuanya akan menjadi pada tempatnya. Achilles berlari pada kelajuan tetap. Setiap segmen laluan berikutnya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat memintas kura-kura."

Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? Kekal dalam unit masa yang tetap dan jangan beralih kepada nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, ia kelihatan seperti ini:

Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.

Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ini bukan penyelesaian lengkap untuk masalah itu. Pernyataan Einstein tentang ketidakbolehtahanan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami masih belum mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.

Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:

Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.

Dalam aporia ini, paradoks logik diatasi dengan sangat mudah - sudah cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang terletak pada titik yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah pergerakan. Terdapat satu lagi perkara yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya, adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan kereta, dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza diperlukan, tetapi ia tidak boleh digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang berbeza di angkasa pada masa yang sama, tetapi anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (secara semula jadi, anda masih memerlukan data tambahan untuk pengiraan, trigonometri akan membantu anda). Apa yang saya ingin nyatakan khususnya ialah dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah dua perkara berbeza yang tidak boleh dikelirukan kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penerokaan.

Rabu, 4 Julai 2018

Sangat baik perbezaan antara set dan multiset diterangkan dalam Wikipedia. Kita tengok.

Seperti yang anda lihat, "set tidak boleh mempunyai dua elemen yang sama", tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset". Makhluk yang munasabah tidak akan pernah memahami logik yang tidak masuk akal seperti itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, di mana fikiran tidak hadir dari perkataan "sepenuhnya." Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, menyampaikan idea tidak masuk akal mereka kepada kami.

Pada suatu masa dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa ujian jambatan itu. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.

Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah", atau lebih tepat "matematik mengkaji konsep abstrak", terdapat satu tali pusat yang menghubungkannya dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Marilah kita mengaplikasikan teori set matematik kepada ahli matematik itu sendiri.

Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira keseluruhan jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberikan ahli matematik "set gaji matematik"nya. Kami menerangkan matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.

Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "anda boleh menerapkannya kepada orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Selanjutnya, jaminan akan bermula bahawa terdapat nombor wang kertas yang berbeza pada wang kertas denominasi yang sama, yang bermaksud bahawa ia tidak boleh dianggap sebagai unsur yang sama. Nah, kami mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan panik mengingati fizik: syiling yang berbeza mempunyai jumlah kotoran yang berbeza, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap syiling adalah unik ...

Dan sekarang saya mempunyai soalan yang paling menarik: di manakah sempadan yang melampaui elemen multiset bertukar menjadi elemen set dan sebaliknya? Garis sedemikian tidak wujud - semuanya ditentukan oleh bomoh, sains di sini tidak dekat.

Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan keluasan padang yang sama. Luas bidang adalah sama, yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita mengambil kira nama stadium yang sama, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset pada masa yang sama. Betul ke? Dan di sini ahli matematik-bomoh-shuller mengeluarkan trump ace dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.

Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, sudah cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan menunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."

Ahad, 18 Mac 2018

Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi mereka adalah bomoh untuk itu, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.

Adakah anda perlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah Digit Nombor". Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang membolehkan anda mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor ialah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis nombor, dan dalam bahasa matematik, tugasnya berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya secara asas.

Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, katakan kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.

1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor kepada simbol grafik nombor. Ini bukan operasi matematik.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor berasingan. Memotong gambar bukan operasi matematik.

3. Tukar aksara grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.

4. Tambahkan nombor yang terhasil. Sekarang itu matematik.

Jumlah digit bagi nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" daripada bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.

Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor itu. Jadi, dalam sistem nombor yang berbeza, jumlah digit bagi nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. Dengan sejumlah besar 12345, saya tidak mahu menipu kepala saya, pertimbangkan nombor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Jom tengok hasilnya.

Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza, jumlah digit bagi nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia seperti mencari luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter akan memberi anda hasil yang berbeza sama sekali.

Sifar dalam semua sistem nombor kelihatan sama dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta bahawa . Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah ia ditandakan dalam matematik sebagai yang bukan nombor? Apa, bagi ahli matematik, tiada apa-apa selain nombor yang wujud? Untuk bomoh, saya boleh membenarkan ini, tetapi untuk saintis, tidak. Realiti bukan hanya tentang angka.

Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza dengan kuantiti yang sama membawa kepada keputusan yang berbeza selepas membandingkannya, maka ini tiada kaitan dengan matematik.

Apakah itu matematik sebenar? Ini adalah apabila keputusan tindakan matematik tidak bergantung pada nilai nombor, unit ukuran yang digunakan dan pada siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini tandas wanita?
- Wanita muda! Ini adalah makmal untuk mengkaji kekudusan jiwa-jiwa yang tidak terbatas semasa kenaikan ke syurga! Nimbus di atas dan anak panah ke atas. Tandas apa lagi?

Perempuan... Halo di atas dan anak panah ke bawah adalah lelaki.

Jika anda mempunyai karya seni reka bentuk yang berkelip di hadapan mata anda beberapa kali sehari,

Maka tidak hairanlah anda tiba-tiba menemui ikon pelik di dalam kereta anda:

Secara peribadi, saya berusaha untuk melihat tolak empat darjah pada orang yang membuang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda tolak, nombor empat, penunjuk darjah). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fizik. Dia hanya mempunyai stereotaip arka persepsi imej grafik. Dan ahli matematik mengajar kita ini sepanjang masa. Berikut adalah contoh.

1A bukan "tolak empat darjah" atau "satu a". Ini ialah "lelaki buang air besar" atau nombor "dua puluh enam" dalam sistem nombor heksadesimal. Mereka yang sentiasa bekerja dalam sistem nombor ini secara automatik menganggap nombor dan huruf sebagai satu simbol grafik.

Jadual nilai fungsi trigonometri

Catatan. Jadual nilai untuk fungsi trigonometri ini menggunakan tanda √ untuk menandakan punca kuasa dua. Untuk menandakan pecahan - simbol "/".

lihat juga bahan berguna:

Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri, cari di persimpangan garis yang menunjukkan fungsi trigonometri. Sebagai contoh, sinus 30 darjah - kami sedang mencari lajur dengan tajuk dosa (sinus) dan kami dapati persimpangan lajur jadual ini dengan garis "30 darjah", di persimpangan mereka kita membaca hasilnya - satu kedua. Begitu juga, kita dapati kosinus 60 darjah, sinus 60 darjah (sekali lagi, di persimpangan lajur sin (sinus) dan baris 60 darjah, kita dapati nilai sin 60 = √3/2), dsb. Dengan cara yang sama, nilai sinus, kosinus dan tangen sudut "popular" lain dijumpai.

Sinus pi, kosinus pi, tangen pi dan sudut lain dalam radian

Jadual kosinus, sinus dan tangen di bawah juga sesuai untuk mencari nilai fungsi trigonometri yang hujahnya diberikan dalam radian. Untuk melakukan ini, gunakan lajur kedua nilai sudut. Terima kasih kepada ini, anda boleh menukar nilai sudut popular daripada darjah kepada radian. Sebagai contoh, mari kita cari sudut 60 darjah dalam baris pertama dan baca nilainya dalam radian di bawahnya. 60 darjah sama dengan π/3 radian.

Nombor pi secara unik menyatakan pergantungan lilitan bulatan pada ukuran darjah sudut. Jadi radian pi sama dengan 180 darjah.

Sebarang nombor yang dinyatakan dalam sebutan pi (radian) boleh dengan mudah ditukar kepada darjah dengan menggantikan nombor pi (π) dengan 180.

Contoh:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
oleh itu, sinus pi adalah sama dengan sinus 180 darjah dan sama dengan sifar.

2. pi kosinus.
cos π = cos 180 = -1
oleh itu, kosinus pi adalah sama dengan kosinus 180 darjah dan sama dengan tolak satu.

3. Pi tangen
tg π = tg 180 = 0
oleh itu, tangen pi adalah sama dengan tangen 180 darjah dan sama dengan sifar.

Jadual nilai sinus, kosinus, tangen untuk sudut 0 - 360 darjah (nilai kerap)

sudut α (darjah)	sudut α dalam radian (melalui pi)	dosa (resdung)	cos (kosinus)	tg (tangen)	ctg (kotangen)	sec (bahagian)	sebab (coseant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Jika dalam jadual nilai fungsi trigonometri, bukannya nilai fungsi, sengkang ditunjukkan (tangen (tg) 90 darjah, kotangen (ctg) 180 darjah), maka untuk nilai tertentu ukuran darjah sudut, fungsi tidak mempunyai nilai yang pasti. Jika tiada sempang, sel itu kosong, jadi kami belum lagi memasukkan nilai yang dikehendaki. Kami berminat dengan permintaan pengguna yang datang kepada kami dan menambah jadual dengan nilai baharu, walaupun pada hakikatnya data semasa tentang nilai kosinus, sinus dan tangen bagi nilai sudut yang paling biasa sudah cukup untuk menyelesaikan kebanyakan masalah.

Jadual nilai fungsi trigonometri sin, cos, tg untuk sudut yang paling popular
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 darjah
(nilai berangka "mengikut jadual Bradis")

nilai sudut α (darjah)	nilai sudut α dalam radian	dosa (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangen)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

Dalam artikel ini, kami akan menganalisis dengan terperinci definisi bulatan berangka, mengetahui sifat utamanya dan menyusun nombor 1,2,3, dsb. Mengenai cara menandakan nombor lain pada bulatan (contohnya, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) memahami .

Bulatan nombor panggil bulatan jejari unit, titik yang sepadan dengan disusun mengikut peraturan berikut:

1) Asal berada di titik paling kanan bulatan;

2) lawan jam - arah positif; mengikut arah jam - negatif;

3) Jika kita memplot jarak \(t\) pada bulatan dalam arah positif, maka kita akan sampai ke titik dengan nilai \(t\);

4) Jika kita memplot jarak \(t\) pada bulatan dalam arah negatif, maka kita akan sampai ke titik dengan nilai \(–t\).

Mengapakah bulatan dipanggil nombor?
Kerana ia mempunyai nombor di atasnya. Dalam hal ini, bulatan adalah serupa dengan paksi nombor - pada bulatan, serta pada paksi, untuk setiap nombor terdapat titik tertentu.

Mengapa tahu apa itu bulatan nombor?
Dengan bantuan bulatan berangka, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan. Oleh itu, untuk mengetahui trigonometri dan lulus peperiksaan dengan 60+ mata, adalah penting untuk memahami apa itu bulatan nombor dan cara meletakkan titik di atasnya.

Apakah maksud perkataan "... jejari unit ..." dalam definisi?
Ini bermakna jejari bulatan ini ialah \(1\). Dan jika kita membina bulatan sedemikian berpusat pada asal, maka ia akan bersilang dengan paksi pada titik \(1\) dan \(-1\).

Ia tidak perlu menariknya kecil, anda boleh menukar "saiz" bahagian di sepanjang paksi, maka gambar akan menjadi lebih besar (lihat di bawah).

Mengapa jejari tepat satu? Ia lebih mudah, kerana dalam kes ini, apabila mengira lilitan menggunakan formula \(l=2πR\), kita dapat:

Panjang bulatan nombor ialah \(2π\) atau lebih kurang \(6,28\).

Dan apakah maksud "... titik yang sepadan dengan nombor nyata"?
Seperti yang dinyatakan di atas, pada bulatan nombor untuk sebarang nombor nyata, pasti akan ada "tempat"nya - titik yang sepadan dengan nombor ini.

Mengapa menentukan asal dan arah pada bulatan nombor?
Tujuan utama bulatan nombor adalah untuk menentukan titiknya secara unik untuk setiap nombor. Tetapi bagaimana anda boleh menentukan di mana untuk menamatkan jika anda tidak tahu dari mana untuk mengira dan ke mana untuk bergerak?

Di sini adalah penting untuk tidak mengelirukan asal pada garis koordinat dan pada bulatan nombor - ini adalah dua sistem rujukan yang berbeza! Juga, jangan mengelirukan \(1\) pada paksi \(x\) dan \(0\) pada bulatan - ini adalah titik pada objek yang berbeza.

Apakah mata yang sepadan dengan nombor \(1\), \(2\), dll?

Ingat, kami mengandaikan bahawa jejari bulatan nombor ialah \(1\)? Ini akan menjadi segmen tunggal kami (dengan analogi dengan paksi nombor), yang akan kami letakkan pada bulatan.

Untuk menandakan titik pada bulatan nombor yang sepadan dengan nombor 1, anda perlu bergerak dari 0 pada jarak yang sama dengan jejari ke arah positif.

Untuk menandakan titik pada bulatan yang sepadan dengan nombor \(2\), anda perlu menempuh jarak yang sama dengan dua jejari dari asal, supaya \(3\) ialah jarak yang sama dengan tiga jejari, dsb.

Melihat gambar ini, anda mungkin mempunyai 2 soalan:
1. Apakah yang akan berlaku apabila bulatan "berakhir" (iaitu kita membuat bulatan penuh)?
Jawapan: jom ke pusingan kedua! Dan apabila yang kedua selesai, kita akan pergi ke yang ketiga dan seterusnya. Oleh itu, bilangan nombor yang tidak terhingga boleh digunakan pada bulatan.

2. Di manakah nombor negatif?
Jawapan: di sana! Mereka juga boleh disusun, mengira dari sifar bilangan jejari yang diperlukan, tetapi kini dalam arah negatif.

Malangnya, sukar untuk menetapkan integer pada bulatan nombor. Ini disebabkan oleh fakta bahawa panjang bulatan berangka tidak akan menjadi integer: \ (2π \). Dan di tempat yang paling mudah (di titik persimpangan dengan paksi) juga tidak akan ada integer, tetapi pecahan