Cerita asal usul persamaan kuadratik. d) Persamaan kuadratik di Eropah abad XIII-XVII

Dari sejarah kejadian persamaan kuadratik

Algebra timbul berkaitan dengan menyelesaikan pelbagai masalah menggunakan persamaan. Biasanya, masalah memerlukan mencari satu atau lebih yang tidak diketahui, sambil mengetahui keputusan beberapa tindakan yang dilakukan pada kuantiti yang dikehendaki dan diberikan. Masalah sedemikian datang kepada menyelesaikan satu atau satu sistem beberapa persamaan, untuk mencari yang diperlukan menggunakan operasi algebra pada kuantiti tertentu. Algebra mengkaji sifat umum operasi pada kuantiti.

Beberapa teknik algebra untuk menyelesaikan persamaan linear dan kuadratik telah diketahui 4000 tahun dahulu dalam Babylon Purba.

Persamaan kuadratik di Babylon Purba

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua, walaupun pada zaman dahulu, disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan dengan kerja penggalian yang bersifat ketenteraan, juga seperti perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Orang Babylon dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dibentangkan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk tentang bagaimana ia ditemui. Walaupun tahap tinggi perkembangan algebra di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Aritmetik Diophantus tidak mengandungi pembentangan sistematik algebra, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan membina persamaan darjah yang berbeza.

Semasa mengarang persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Masalah 2. "Cari dua nombor, mengetahui bahawa jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96."

Diophantus beralasan seperti berikut: dari syarat-syarat masalah ia mengikuti bahawa nombor yang diperlukan tidak sama, kerana jika mereka sama, maka produk mereka akan sama bukan dengan 96, tetapi dengan 100. Oleh itu, salah satu daripada mereka akan lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, iaitu 10 + x. Yang lain adalah kurang, iaitu 10 - x. Perbezaan antara mereka adalah 2x. Oleh itu persamaan:

(10+x)(10-x) =96,

Oleh itu x = 2. Satu daripada nombor yang diperlukan ialah 12, satu lagi ialah 8. Penyelesaian x = - 2 tidak wujud untuk Diophantus, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika anda menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, anda boleh mendapatkan penyelesaian kepada persamaan:

Adalah jelas bahawa dengan memilih separuh perbezaan nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, Diophantus memudahkan penyelesaian; dia berjaya mengurangkan masalah kepada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Persamaan Kuadratik di India

Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am penyelesaian persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

ax2 + bx = c, a>

Dalam persamaan (1), pekali mungkin juga negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita.

Pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa di India. Salah satu buku India lama mengatakan perkara berikut tentang pertandingan seperti itu: "Sebagaimana matahari gerhana bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga lelaki terpelajar akan gerhana kemuliaan dalam perhimpunan rakyat, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra.” Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskar.

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa penulis tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai.

Persamaan yang sepadan dengan masalah 3 ialah:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada kuasa dua, tambah 322 pada kedua-dua belah, kemudian memperoleh:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Persamaan kuadratik Al-Khawarizmi

Risalah algebra Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linear dan kuadratik. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan punca," iaitu ax2 = bx.

2) “Petak sama dengan nombor,” iaitu ax2 = c.

3) "Akar-akar adalah sama dengan nombor," iaitu ax = c.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," iaitu ax2 + c = bx.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor," iaitu ax2 + bx = c.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua," iaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi, yang mengelak daripada pengambilan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini ialah tambah, bukan boleh tolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menggariskan penyelesaian persamaan di atas, menggunakan teknik al-jabr dan al-mukabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama, Al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sehingga abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana dalam praktikal tertentu ia tidak penting dalam tugas. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap Al-Khwarizmi secara separa contoh berangka membentangkan peraturan penyelesaian dan kemudian bukti geometrinya.

Mari kita beri contoh.

Masalah 4. “Kuasa dua dan nombor 21 adalah bersamaan dengan 10 punca. Cari punca” (bermaksud punca persamaan x2 + 21 = 10x).

Penyelesaian: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendiri, tolak 21 daripada hasil darab, yang tinggal ialah 4. Ambil punca daripada 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5, anda dapat 3, ini akan menjadi akar yang anda cari. Atau tambah 2 hingga 5, yang memberikan 7, ini juga akar.

Risalah Al-Khorezmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, yang secara sistematik menetapkan klasifikasi persamaan kuadratik dan memberikan formula untuk penyelesaiannya.

Persamaan kuadratik di EropahXII- XVIIV.

Bentuk untuk menyelesaikan persamaan kuadratik mengikut model Al-Khwarizmi di Eropah mula-mula dinyatakan dalam "Book of the Abacus," yang ditulis pada tahun 1202. Ahli matematik Itali Leonard Fibonacci. Pengarang secara bebas membangunkan beberapa yang baru contoh algebra menyelesaikan masalah dan merupakan yang pertama di Eropah memperkenalkan nombor negatif.

Buku ini menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah daripada buku ini digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-14-17. Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal x2 + bх = с untuk semua kemungkinan kombinasi tanda dan pekali b, c telah dirumuskan di Eropah pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam pandangan umum Viet memilikinya, tetapi Viet hanya mengenalinya akar positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. mengambil kira, sebagai tambahan kepada positif, dan akar negatif. Hanya pada abad ke-17. terima kasih kepada karya Girard, Descartes, Newton dan lain-lain cara saintis menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden..

asal usul kaedah algebra penyelesaian kepada masalah praktikal berkaitan sains dunia purba. Seperti yang diketahui dari sejarah matematik, sebahagian besar masalah matematik yang diselesaikan oleh jurutulis dan kalkulator Mesir, Sumeria, dan Babylonia (abad XX-VI SM) adalah bersifat pengiraan. Walau bagaimanapun, walaupun begitu, dari semasa ke semasa, masalah timbul di mana nilai kuantiti yang dikehendaki ditentukan oleh syarat tidak langsung tertentu yang memerlukan, pada pendapat kami titik moden penglihatan, merangka persamaan atau sistem persamaan. Pada mulanya, kaedah aritmetik digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Selepas itu, permulaan konsep algebra mula terbentuk. Sebagai contoh, kalkulator Babylon dapat menyelesaikan masalah yang boleh dikurangkan dari sudut pandangan klasifikasi moden kepada persamaan darjah kedua. Kaedah penyelesaian telah dibuat masalah perkataan, yang kemudiannya menjadi asas untuk mengasingkan komponen algebra dan kajian bebasnya.

Kajian ini dijalankan dalam era lain, pertama oleh ahli matematik Arab (abad VI-X AD), yang mengenal pasti tindakan ciri yang mana persamaan dikurangkan kepada pandangan standard membawa istilah yang serupa, memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan ke yang lain dengan perubahan tanda. Dan kemudian oleh ahli matematik Eropah Zaman Renaissance, yang, sebagai hasil pencarian yang panjang, mencipta bahasa algebra moden, penggunaan huruf, pengenalan simbol untuk operasi aritmetik, kurungan, dll. Pada giliran ke-16- abad ke-17. algebra sebagai bahagian tertentu dalam matematik, dengan subjek, kaedah dan bidang aplikasinya sendiri, telah pun dibentuk. Perkembangan selanjutnya, sehingga zaman kita, terdiri daripada menambah baik kaedah, meluaskan skop aplikasi, menjelaskan konsep dan kaitannya dengan konsep cabang matematik yang lain.

Jadi, memandangkan kepentingan dan keluasan bahan yang dikaitkan dengan konsep persamaan, kajiannya dalam kaedah moden matematik dikaitkan dengan tiga bidang utama asal dan fungsinya.

Untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik, anda perlu tahu:

formula untuk mencari diskriminasi;

· formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik;

· algoritma untuk menyelesaikan persamaan jenis ini.

· menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap;

· menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap;

· menyelesaikan persamaan kuadratik yang diberikan;

· cari ralat dalam persamaan yang diselesaikan dan betulkan;

· buat pemeriksaan.

Penyelesaian bagi setiap persamaan terdiri daripada dua bahagian utama:

· penjelmaan persamaan ini kepada yang paling mudah;

· menyelesaikan persamaan mengikut peraturan yang diketahui, formula atau algoritma.

Generalisasi kaedah aktiviti pelajar apabila menyelesaikan persamaan kuadratik berlaku secara beransur-ansur. Peringkat berikut boleh dibezakan apabila mengkaji topik "Persamaan Kuadratik":

Peringkat I – “Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap.”

Peringkat II – “Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap.”

Peringkat III - "Menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang."

Pada peringkat pertama, persamaan kuadratik tidak lengkap dipertimbangkan. Oleh kerana pada mulanya ahli matematik belajar menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, kerana untuk ini mereka tidak perlu, seperti yang mereka katakan, mencipta apa-apa. Ini adalah persamaan bentuk: ax2 = 0, ax2 + c = 0, dengan c≠ 0, ax2 + bx = 0, dengan b ≠ 0. Pertimbangkan untuk menyelesaikan beberapa persamaan ini:

1. Jika ax2 = 0. Persamaan jenis ini diselesaikan menggunakan algoritma:

1) cari x2;

2) cari x.

Sebagai contoh, 5x2 = 0. Membahagi kedua-dua belah persamaan dengan 5 memberikan: x2 = 0, dari mana x = 0.

2. Jika ax2 + c = 0, c≠ 0 Persamaan jenis ini diselesaikan menggunakan algoritma:

1) alihkan istilah ke sebelah kanan;

2) cari semua nombor yang kuasa duanya sama dengan nombor c.

Sebagai contoh, x2 - 5 = 0, Persamaan ini bersamaan dengan persamaan x2 = 5. Oleh itu, kita perlu mencari semua nombor yang kuasa duanya sama dengan nombor 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> dan tidak mempunyai punca lain.

3. Jika ax2 + bx = 0, b ≠ 0. Persamaan jenis ini diselesaikan menggunakan algoritma:

1) alihkan faktor sepunya daripada kurungan;

2) cari x1, x2.

Sebagai contoh, x2 - 3x = 0. Mari kita tulis semula persamaan x2 - 3x = 0 dalam bentuk x (x - 3) = 0. Persamaan ini jelas mempunyai punca x1 = 0, x2 = 3. Ia tidak mempunyai punca lain, kerana jika dalam Jika anda menggantikan sebarang nombor selain sifar dan 3 dan bukannya x, maka di sebelah kiri persamaan x (x – 3) = 0 anda mendapat nombor yang tidak sama dengan sifar.

Jadi, contoh-contoh ini menunjukkan bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan:

1) jika persamaan mempunyai bentuk ax2 = 0, maka ia mempunyai satu punca x = 0;

2) jika persamaan mempunyai bentuk ax2 + bx = 0, maka kaedah pemfaktoran digunakan: x (ax + b) = 0; ini bermakna sama ada x = 0 atau ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> Dalam kes apabila -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, iaitu - = m, dengan m>0, persamaan x2 = m mempunyai dua punca

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (dalam kes ini notasi yang lebih pendek = dibenarkan.

Oleh itu, persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh mempunyai dua punca, satu punca, atau tiada punca.

Pada peringkat kedua, peralihan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap dijalankan. Ini adalah persamaan bentuk ax2 + bx + c = 0, di mana a, b, c diberi nombor, dan ≠ 0, x adalah tidak diketahui.

Mana-mana persamaan kuadratik lengkap boleh ditukar kepada bentuk , untuk menentukan bilangan punca persamaan kuadratik dan mencari punca-punca ini. Sedang dipertimbangkan kes berikut penyelesaian untuk melengkapkan persamaan kuadratik: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Jika D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Contohnya, 2x2 + 4x + 7 = 0. Penyelesaian: di sini a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Sejak D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 mempunyai satu punca, yang ditemui oleh formula.

Contohnya, 4x – 20x + 25 = 0. Penyelesaian: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Oleh kerana D = 0, maka persamaan yang diberikan mempunyai satu akar. Akar ini didapati menggunakan formula ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Algoritma disusun untuk menyelesaikan persamaan bentuk ax2 + bx + c = 0.

1. Kirakan diskriminasi D menggunakan formula D = b2 – 4ac.

2. Jika D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Jika D = 0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca, yang ditemui oleh formula

4..gif" width="101" height="45">.

Algoritma ini adalah universal; ia boleh digunakan untuk kedua-dua persamaan kuadratik tidak lengkap dan lengkap. Walau bagaimanapun, persamaan kuadratik yang tidak lengkap biasanya tidak diselesaikan menggunakan algoritma ini.

Ahli matematik adalah orang yang praktikal, ekonomi, jadi mereka menggunakan formula: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, mempunyai tanda yang sama dengan D..gif" width="89" height="49"> maka persamaan (3) mempunyai dua punca ;

2) jika persamaan itu mempunyai dua punca bertepatan;

3) jika persamaan itu tidak mempunyai punca.

Satu perkara penting dalam kajian persamaan kuadratik ialah pertimbangan teorem Vieta, yang menyatakan kewujudan hubungan antara punca dan pekali persamaan kuadratik terkurang.

Teorem Vieta. Jumlah punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan adalah sama dengan pekali kedua yang diambil daripada tanda bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Dengan kata lain, jika x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan x2 + px + q = 0, maka

Formula ini dipanggil formula Vieta sebagai penghormatan kepada ahli matematik Perancis F. Vieta (), yang memperkenalkan sistem simbol algebra, membangunkan asas algebra asas. Dia adalah salah seorang yang pertama menunjukkan nombor dengan huruf, yang secara signifikan mengembangkan teori persamaan.

Sebagai contoh, persamaan yang diberi x2 - 7x +10 = 0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darab ialah 10. Dapat dilihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua yang diambil. dengan tanda yang berlawanan, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Teorem itu juga benar: bertentangan dengan teorem Vieta.

Teorem songsang kepada teorem Vieta. Jika rumus (5) sah untuk nombor x1, x2, p, q, maka x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan x2 + px + q = 0.

Teorem Vieta dan sebaliknya sering digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah.

Contohnya. Mari kita tulis persamaan kuadratik berikut yang puncanya ialah nombor 1 dan -3.

Mengikut formula Vieta

– p = x1 + x2 = - 2,

Oleh itu, persamaan yang diperlukan mempunyai bentuk x2 + 2x – 3 = 0.

Kesukaran untuk menguasai teorem Vieta adalah disebabkan oleh beberapa keadaan. Pertama sekali, adalah perlu untuk mengambil kira perbezaan antara teorem langsung dan songsang. Teorem langsung Vieta memberikan persamaan kuadratik dan puncanya; dalam songsang hanya terdapat dua nombor, dan persamaan kuadratik muncul pada kesimpulan teorem. Pelajar sering membuat kesilapan untuk mendasarkan penaakulan mereka pada rujukan yang salah kepada teorem langsung atau terbalik Vieta.

Sebagai contoh, apabila mencari punca persamaan kuadratik melalui pemilihan, anda perlu merujuk kepada teorem Vieta songsang, dan bukan kepada yang langsung, seperti yang sering dilakukan oleh pelajar. Untuk melanjutkan teorem Vieta kepada kes diskriminasi sifar, kita harus bersetuju bahawa dalam kes ini persamaan kuadratik mempunyai dua akar yang sama. Kemudahan perjanjian sedemikian menjadi jelas apabila kita mengembangkan trinomial kuadratik oleh pengganda.

Sejarah perkembangan penyelesaian kepada persamaan kuadratik

Aristotle

D.I.Mendeleev

Cari sisi medan berbentuk segi empat tepat jika luasnya 12 , A

Mari kita pertimbangkan masalah ini.

Biarkan x ialah panjang medan, kemudian lebarnya,
– kawasannya.
Mari kita buat persamaan kuadratik:
Papirus memberikan peraturan untuk menyelesaikannya: "Bahagi 12 dengan."
12: .
Jadi, .
"Panjang bidang ialah 4," papirus menyatakan.

Persamaan kuadratik terkurang
mana ada nombor nyata.

Dalam salah satu masalah Babylon, ia juga perlu untuk menentukan panjang medan segi empat tepat (mari kita nyatakan) dan lebarnya ().

Menambah panjang dan dua lebar medan segi empat tepat, anda mendapat 14, dan luas medan ialah 24. Cari sisinya.

Mari kita buat sistem persamaan:

Dari sini kita mendapat persamaan kuadratik.

Untuk menyelesaikannya, kami menambah nombor tertentu pada ungkapan,

untuk mendapatkan segi empat tepat:

Oleh itu, .

Sebenarnya persamaan kuadratik

Mempunyai dua akar:

DIOPHAN
Seorang ahli matematik Yunani kuno yang kononnya hidup pada abad ke-3 SM. e. Pengarang "Aritmetik" - buku yang didedikasikan untuk menyelesaikan persamaan algebra.
Pada masa kini, "Persamaan Diophantine" biasanya bermaksud persamaan dengan pekali integer, yang penyelesaiannya mesti ditemui di kalangan integer. Diophantus juga merupakan salah seorang yang pertama membangunkan tatatanda matematik.

Cari dua nombor dengan mengetahui jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96.

Satu daripada nombor akan menjadi lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, iaitu, 10+, manakala yang lain akan kurang, iaitu, 10-.

Oleh itu persamaan ()()=96

Mari kita kemukakan salah satu masalah yang terkenal

Bhaskara, ahli matematik India abad ke-12:

Sekawan monyet lincah

Makan sepuas-puasnya, saya berasa seronok.

Bahagian lapan daripadanya adalah kuasa dua

Saya berseronok di kawasan lapang.

Dan dua belas di sepanjang pokok anggur...

Mereka mula melompat, tergantung...

Berapakah bilangan monyet yang ada?

Beritahu saya, dalam pek ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu bahawa punca persamaan kuadratik adalah dua nilai.
Penyelesaian yang sepadan dengan persamaan

Bhaskara menulis dalam bentuk dan, untuk melengkapkan ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, kita tambahkan 32 2 pada kedua ruas, mendapatkan

“AL-JEBR” – PEMULIHAN – AL-KHWAZMI MEMANGGIL OPERASI MENGECUALIKAN ISTILAH NEGATIF DARI KEDUA-DUA BAHAGIAN PERSAMAAN DENGAN MENAMBAH ISTILAH SAMA, TETAPI BERLAWAN DI TANDA.

“AL-MUQABALAH” – KONTRASTISI – PENGURANGAN ISTILAH SERUPA DALAM BAHAGIAN-BAHAGIAN PERSAMAAN.

PERATURAN "AL-JEBR"

APABILA MENYELESAIKAN PERSAMAAN

JIKA DALAM BAHAGIAN SATU,

TAK KIRA APA

AKAN BERTEMU AHLI NEGATIF,

KAMI KEDUA-DUA BAHAGIAN

KAMI AKAN MEMBERIKAN AHLI YANG SAMA,

HANYA DENGAN TANDA LAIN,

DAN KAMI AKAN MENEMUI KEPUTUSAN YANG POSITIF.

1) kuasa dua sama dengan punca, iaitu;

2) petak sama dengan nombor, iaitu;

3) punca adalah sama dengan nombor, iaitu;

4) kuasa dua dan nombor adalah sama dengan punca, iaitu;

5) kuasa dua dan punca adalah sama dengan nombor, iaitu;

6) punca dan nombor adalah sama dengan kuasa dua, i.e.

Tugasan . Kuasa dua dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca. Cari akarnya.

Penyelesaian. Bahagikan bilangan akar kepada separuh - anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya,

Tolak 21 daripada hasil darab, tinggalkan 4.

Ambil punca 4 dan anda mendapat 2.

Tolak 2 daripada 5 - anda mendapat 3, ini akan menjadi punca yang dikehendaki. Atau tambahkannya kepada 5, yang memberikan 7, ini juga akar.

Fibonacci dilahirkan dalam bahasa Itali pusat membeli belah bandar Pisa, mungkin pada tahun 1170-an. . Pada tahun 1192 beliau telah dilantik untuk mewakili koloni perdagangan Pisan di Afrika Utara. Atas permintaan bapanya, dia berpindah ke Algeria dan belajar matematik di sana. Pada tahun 1200, Leonardo kembali ke Pisa dan mula menulis karya pertamanya, The Book of Abacus. [ . Menurut ahli sejarah matematik A.P. Yushkevich Buku Abakus "meningkat dengan ketara di atas kesusasteraan aritmetik-algebra Eropah pada abad ke-12-14 dengan kepelbagaian dan kekuatan kaedah, kekayaan masalah, bukti pembentangan... Ahli matematik seterusnya secara meluas menarik daripadanya kedua-dua masalah dan kaedah. untuk menyelesaikannya ».

Mari kita plot fungsi

Graf ialah parabola, yang cawangannya diarahkan ke atas, kerana

2) Koordinat bucu parabola

W. Sawyer bercakap :

“Ia selalunya lebih berguna untuk pelajar algebra untuk menyelesaikan masalah yang sama dalam tiga dalam pelbagai cara daripada menyelesaikan tiga atau empat masalah yang berbeza. Menyelesaikan satu masalah pelbagai kaedah, anda boleh mengetahui melalui perbandingan yang mana satu lebih pendek dan lebih cekap. Beginilah pengalaman dibangunkan.”

"Kota adalah perpaduan yang tidak sama"

Aristotle

"Nombor yang dinyatakan sebagai tanda perpuluhan boleh dibaca oleh orang Jerman, Rusia, Arab dan Yankee secara sama rata."

Daripada sejarah persamaan kuadratik Pengarang: Pelajar kelas “A” ke-9 Svetlana Radchenko Penyelia: Alabugina I.A. guru matematik MBOU "Sekolah Menengah No. 5 Guryevsk" Wilayah Kemerovo Bidang pembentangan subjek: matematik Dibuat untuk membantu guru Jumlah 20 slaid Isi Pengenalan…………………………………………………… …………… ……………3 Daripada sejarah kemunculan persamaan kuadratik Persamaan kuadratik di Babylon Purba………………………………….4 Persamaan kuadratik di India……………… …………………… ………5 Persamaan kuadratik dalam Al-Khwarizmi……………………6 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik……………………………… 7 Persamaan kuadratik di Eropah Xll – XVll abad………………………………8 3. Persamaan kuadratik hari ini………………………………………………………………… … .10 Metodologi untuk mengkaji persamaan kuadratik…………………………………………11 10 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik………………………………….12 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap…… …… ………………13 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap………………………………..14 Menyelesaikan persamaan kuadratik yang diberi …………………………………15 4. Aplikasi amali persamaan kuadratik untuk menyelesaikan masalah gunaan………………………………………………………………………………………….16 5. Kesimpulan. ……………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Senarai rujukan yang digunakan…………………… ………………… …………….19 2 Pengenalan Pertimbangkan sebagai tidak gembira pada hari itu atau jam di mana anda tidak mempelajari sesuatu yang baru, tidak menambah apa-apa kepada pendidikan anda. Jan Amos Comenius 3 Persamaan kuadratik adalah asas di mana bangunan agung algebra terletak. Ia digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen, logaritma, tidak rasional dan transendental. Persamaan kuadratik menduduki tempat utama dalam kursus algebra sekolah. tempat terkemuka. Banyak masa dalam kursus matematik sekolah ditumpukan untuk belajar mereka. Pada asasnya, persamaan kuadratik berfungsi untuk tujuan praktikal tertentu. Kebanyakan masalah tentang bentuk ruang dan hubungan kuantitatif dunia sebenar datang kepada keputusan pelbagai jenis persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Dengan menguasai cara untuk menyelesaikannya, orang ramai mencari jawapan kepada pelbagai soalan daripada sains dan teknologi. Dari sejarah kemunculan persamaan kuadratik Babylon Purba: sudah kira-kira 2000 tahun SM, orang Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Kaedah dikenali untuk menyelesaikan kedua-dua persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap. Sebagai contoh, di Babylon Purba, persamaan kuadratik berikut telah diselesaikan: 4 India Masalah yang diselesaikan menggunakan persamaan kuadratik ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang ditulis oleh ahli astronomi dan ahli matematik India Aryabhatta pada 499 Masihi. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta, menggariskan peraturan universal untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanoniknya: ax2+bx=c; Selain itu, diandaikan bahawa semua pekali di dalamnya, kecuali "a," boleh menjadi negatif. Peraturan yang dirumuskan oleh saintis pada asasnya bertepatan dengan peraturan moden. 5 Persamaan kuadratik dalam Al-Khorezmi: Dalam risalah algebra Al-Khorezmi, klasifikasi persamaan linear dan kuadratik diberikan. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut: "Petak sama dengan punca," i.e. ax2 = bx.; “Petak sama dengan nombor,” iaitu ax2 = c; "Akar adalah sama dengan nombor," iaitu ax = c; "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," i.e. ax2 + c = bx; “Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor,” iaitu ax2 + bx = c; "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua," iaitu bx + c = ax2. 6 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik: Salah seorang ahli matematik Yunani kuno yang paling unik ialah Diophantus dari Alexandria. Tahun lahir mahupun tarikh kematian Diophantus masih belum dijelaskan; Adalah dipercayai bahawa dia hidup pada abad ke-3. AD Daripada karya Diophantus, yang paling penting ialah Aritmetik, di mana 13 buah buku hanya 6 yang terselamat sehingga hari ini. Aritmetik Diophantus tidak mengandungi pembentangan algebra yang sistematik, tetapi ia mengandungi beberapa masalah, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan membina persamaan pelbagai darjah. Semasa mengarang persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian. 7 Persamaan kuadratik di Eropah pada abad ke-12-17: Ahli matematik Itali Leonard Fibonacci secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru untuk menyelesaikan masalah dan merupakan yang pertama di Eropah yang memperkenalkan nombor negatif. Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal x2 + bх = с untuk semua kemungkinan kombinasi tanda dan pekali b, c telah dirumuskan di Eropah pada tahun 1544 oleh Michael Stiefel. 8 Francois Viet Ahli matematik Perancis F. Viet (1540-1603), memperkenalkan sistem simbol algebra, membangunkan asas algebra asas. Dia adalah salah seorang yang pertama menunjukkan nombor dengan huruf, yang secara signifikan mengembangkan teori persamaan. Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum boleh didapati daripada Vieth, tetapi Vieth hanya mengiktiraf punca positif. 9 Persamaan kuadratik hari ini Keupayaan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berfungsi sebagai asas untuk menyelesaikan persamaan lain dan sistemnya. Pembelajaran untuk menyelesaikan persamaan bermula dengan jenis termudah mereka, dan program menentukan pengumpulan beransur-ansur kedua-dua jenis mereka dan "dana" yang serupa dan transformasi yang setara, dengan bantuannya anda boleh mengurangkan persamaan arbitrari kepada yang paling mudah. Proses membangunkan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan dalam kursus sekolah algebra. Dalam kursus matematik sekolah menengah, pelajar berhadapan dengan kelas persamaan, sistem, atau kelas baharu kajian yang mendalam persamaan yang sudah diketahui 10 Metodologi untuk mengkaji persamaan kuadratik Dengan permulaan mempelajari kursus algebra sistematik, perhatian utama diberikan kepada kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik, yang menjadi objek kajian khas. Topik ini dicirikan oleh kedalaman pembentangan yang hebat dan kekayaan hubungan yang diwujudkan dengan bantuannya dalam pengajaran, dan kesahihan logik pembentangan. Oleh itu, ia menduduki kedudukan luar biasa dalam garis persamaan dan ketaksamaan. Satu perkara penting dalam kajian persamaan kuadratik ialah pertimbangan teorem Vieta, yang menyatakan kewujudan hubungan antara punca dan pekali persamaan kuadratik terkurang. Kesukaran untuk menguasai teorem Vieta adalah disebabkan oleh beberapa keadaan. Pertama sekali, adalah perlu untuk mengambil kira perbezaan antara teorem langsung dan songsang. 11 10 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik: Memfaktorkan bahagian kiri persamaan. Kaedah untuk memilih petak lengkap. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorem Vieta. Menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah “lontaran” Sifat-sifat pekali persamaan kuadratik. Penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik.< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, iaitu - = m, dengan m>0, persamaan x2 = m mempunyai dua punca Oleh itu, persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh mempunyai dua punca, satu punca, atau tiada punca. 13 Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap. Ini adalah persamaan bentuk ax2 + bx + c = 0, di mana a, b, c diberi nombor, dan ≠ 0, x adalah tidak diketahui. Mana-mana persamaan kuadratik lengkap boleh ditukar kepada bentuk untuk menentukan bilangan punca persamaan kuadratik dan mencari punca-punca ini. Kes-kes berikut untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap dipertimbangkan: D< 0, D = 0, D >0. 1. Jika D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, maka persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 mempunyai dua punca, yang ditemui oleh rumus: ; 14 Penyelesaian persamaan kuadratik terkurang Teorem F. Vieta: Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab punca adalah sama dengan sebutan bebas. Dengan kata lain, jika x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan x2 +px + q = 0, maka x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Teorem songsang kepada teorem Vieta: Jika formula (*) adalah sah untuk nombor x1, x2, p, q, maka x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan x2 + px + q = 0. 15 Aplikasi praktikal persamaan kuadratik untuk menyelesaikan masalah gunaan Bhaskar ( 1114-1185) - ahli matematik dan astronomi India terbesar abad ke-12. Beliau mengetuai balai cerap astronomi di Ujjain. Bhaskara menulis risalah "Siddhanta-shiromani" ("Mahkota Pengajaran"), terdiri daripada empat bahagian: "Lilavati" dikhaskan untuk aritmetik, "Bizhdaganita" untuk algebra, "Goladhaya" untuk sfera, dan "Granhaganita" untuk teori gerakan planet. Bhaskara memperoleh punca negatif persamaan, walaupun dia meragui kepentingannya. Dia memiliki salah satu reka bentuk terawal mesin gerakan kekal. 16 Salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskara: Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa penulis tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai. 17 Kesimpulan Perkembangan sains penyelesaian persamaan kuadratik telah melalui laluan yang panjang dan berduri. Hanya selepas karya Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes, dan Newton barulah sains menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk modennya. Kepentingan persamaan kuadratik bukan sahaja terletak pada keanggunan dan singkatnya penyelesaian masalah, walaupun ini juga sangat penting. Ia adalah sama penting bahawa hasil daripada menggunakan persamaan kuadratik semasa menyelesaikan masalah, butiran baru sering ditemui, generalisasi yang menarik boleh dibuat dan penjelasan boleh dibuat, yang dicadangkan oleh analisis formula dan hubungan yang terhasil. Mempelajari kesusasteraan dan sumber Internet yang berkaitan dengan sejarah pembangunan persamaan kuadratik, saya bertanya kepada diri sendiri: "Apakah yang mendorong saintis yang hidup dalam masa yang sukar untuk melibatkan diri dalam sains, walaupun di bawah ancaman kematian?" Mungkin, pertama sekali, ia adalah sifat ingin tahu minda manusia, yang merupakan kunci kepada perkembangan sains. Persoalan tentang hakikat Dunia, tentang tempat manusia di dunia ini menghantui pemikiran, ingin tahu, orang yang bijak sepanjang masa. Orang ramai sentiasa berusaha untuk memahami diri mereka dan tempat mereka di dunia. Lihat di dalam diri anda, mungkin rasa ingin tahu semulajadi anda menderita kerana anda telah menyerah kepada kehidupan seharian dan kemalasan? Nasib ramai saintis adalah 18 contoh untuk diikuti. Tidak semua nama terkenal dan popular. Fikirkanlah: bagaimana saya dengan orang yang rapat dengan saya? Tetapi yang paling penting ialah perasaan saya tentang diri saya, adakah saya layak dihormati? Fikirkanlah... Rujukan 1. Zvavich L.I. “Algebra gred 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ Kamus Ensiklopedia ahli matematik muda", M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev "Algebra gred 8", M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Terima kasih anda untuk perhatian 20

Daripada sejarah persamaan kuadratik.

a) Persamaan kuadratik di Babylon Purba

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan. plot tanah dan dengan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan sekitar 2000 SM. orang Babylon. Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Walaupun tahap perkembangan algebra yang tinggi di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Aritmetik Diophantus tidak mengandungi pembentangan algebra yang sistematik, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan membina persamaan pelbagai darjah.

Semasa mengarang persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Masalah 2. "Cari dua nombor, mengetahui bahawa jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96."

Diophantus beralasan seperti berikut: dari syarat-syarat masalah ia mengikuti bahawa nombor yang diperlukan tidak sama, kerana jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan sama dengan 96, tetapi kepada 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, iaitu 10 + x. Yang lain adalah kurang, iaitu 10 - x. Perbezaan antara mereka adalah 2x. Oleh itu persamaan:

(10+x)(10-x) =96,

atau

100 -x 2 = 96.

Oleh itu x = 2. Satu daripada nombor yang diperlukan ialah 12, satu lagi ialah 8. Penyelesaian x = - 2 tidak wujud untuk Diophantus, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika anda menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, anda boleh mendapatkan penyelesaian kepada persamaan:

Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menetapkan peraturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal

Oh 2 + bx = c, a > 0

Dalam persamaan, pekali kecuali A, mungkin negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita.

Pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa di India. Salah satu buku India lama mengatakan yang berikut tentang pertandingan seperti itu: "Seperti matahari mengatasi bintang-bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga seorang yang terpelajar akan menyinari kemuliaannya dalam perhimpunan awam dengan mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra." Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskar.

Tugasan 3.

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa penulis tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai.

Persamaan yang sepadan dengan masalah 3 ialah:

Bhaskara menulis dengan berselindung:

x 2 - 64x = - 768

dan, untuk melengkapkan ruas kiri persamaan ini ke persegi, tambahkan 32 2 pada kedua ruas, kemudian memperoleh:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Persamaan kuadratik oleh Al-Khorezmi

Risalah algebra Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linear dan kuadratik. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

“Petak sama dengan punca,” iaitu ax 2 = bx.
“Petak sama dengan nombor,” iaitu ax 2 = c.
"Akar-akar adalah sama dengan nombor," iaitu ax = c.
"Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," iaitu ax 2 + c = bx.
“Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor,” iaitu ax 2 + bx = c.
“Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua,” iaitu bx + c == ax 2.

Bagi Al-Khawarizmi, yang mengelakkan penggunaan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini adalah tambah dan bukan boleh ditolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menetapkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini menggunakan teknik al-jabr dan al-mukabal. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama, Al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sehingga abad ke-17, tidak mengambil kira sifar. penyelesaian, mungkin kerana dalam praktikal tertentu ia tidak penting dalam tugas. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan peraturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh berangka tertentu, dan kemudian bukti geometrinya.

Mari kita beri contoh.

Masalah 4. “Kuasa dua dan nombor 21 adalah bersamaan dengan 10 punca. Cari punca” (bermaksud punca persamaan x 2 + 21 = 10x).

Penyelesaian: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendiri, tolak 21 daripada hasil darab, yang tinggal ialah 4. Ambil punca daripada 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5, anda dapat 3, ini akan menjadi akar yang dikehendaki. Atau tambah 2 hingga 5, yang memberikan 7, ini juga akar.

Risalah Al-Khorezmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, yang secara sistematik menetapkan klasifikasi persamaan kuadratik dan memberikan formula untuk penyelesaiannya.

d) Persamaan kuadratik di Eropah pada abad ke-13-17.

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dimodelkan selepas al-Khwarizmi di Eropah pertama kali dibentangkan dalam "Book of the Abacus," yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik dari kedua-dua negara Islam dan Yunani Purba, dibezakan oleh kedua-dua kesempurnaan dan kejelasan pembentangan. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru untuk menyelesaikan masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari Book of Abacus digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16-17. dan sebahagiannya XVIII.

Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda pekali b, Dengan telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum boleh didapati daripada Vieta, tetapi Vieta hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Selain yang positif, akar negatif juga diambil kira. Hanya pada abad ke-17. Terima kasih kepada karya Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

Asal-usul kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah praktikal dikaitkan dengan sains dunia purba. Seperti yang diketahui dari sejarah matematik, sebahagian besar masalah yang bersifat matematik, diselesaikan oleh jurutulis-kalkulator Mesir, Sumeria, Babylonia (abad XX-VI SM), adalah bersifat pengiraan. Walau bagaimanapun, walaupun begitu, dari semasa ke semasa, masalah timbul di mana nilai kuantiti yang dikehendaki ditentukan oleh keadaan tidak langsung tertentu yang, dari sudut pandangan moden kita, memerlukan komposisi persamaan atau sistem persamaan. Pada mulanya, kaedah aritmetik digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Selepas itu, permulaan konsep algebra mula terbentuk. Sebagai contoh, kalkulator Babylon dapat menyelesaikan masalah yang, dari sudut pandangan klasifikasi moden, boleh dikurangkan kepada persamaan darjah kedua. Satu kaedah untuk menyelesaikan masalah perkataan telah dicipta, yang kemudiannya menjadi asas untuk mengasingkan komponen algebra dan kajian bebasnya.

Kajian ini dijalankan dalam era lain, pertama oleh ahli matematik Arab (abad VI-X AD), yang mengenal pasti tindakan ciri yang mana persamaan dibawa ke bentuk piawai: membawa istilah yang serupa, memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan perubahan tanda. Dan kemudian oleh ahli matematik Eropah Zaman Renaissance, yang, sebagai hasil pencarian yang panjang, mencipta bahasa algebra moden, penggunaan huruf, pengenalan simbol untuk operasi aritmetik, kurungan, dll. Pada giliran ke-16- abad ke-17. algebra sebagai bahagian tertentu dalam matematik, dengan subjek, kaedah dan bidang aplikasinya sendiri, telah pun dibentuk. Perkembangan selanjutnya, sehingga zaman kita, terdiri daripada menambah baik kaedah, meluaskan skop aplikasi, menjelaskan konsep dan kaitannya dengan konsep cabang matematik yang lain.

Oleh itu, memandangkan kepentingan dan keluasan bahan yang berkaitan dengan konsep persamaan, kajiannya dalam kaedah matematik moden dikaitkan dengan tiga bidang utama asal dan fungsinya.

Laman Utama > Laporan

Sekolah menengah institusi pendidikan perbandaran dinamakan sempena Pahlawan Kesatuan Soviet
Sotnikova A.T. dan Shepeleva N. G. kampung Uritskoye

Laporan mengenai topik:

"Sejarah asal usul

persamaan kuadratik"

Disediakan oleh:Izotova Yulia,
Ampleeva Elena,
Shepelev Nikolay,

Dyachenko Yuri.

Oh matematik. Selama berabad-abad anda diselubungi dengan kemuliaan,

Peneraju semua peneraju duniawi.

Anda adalah permaisuri yang agung

Tidak hairanlah Gauss membaptiskannya.

Tegas, logik, megah,

Langsing dalam penerbangan, seperti anak panah,

Kemuliaan-Mu yang tidak pudar

Selama berabad-abad, dia telah memperoleh keabadian.

Kami memuji fikiran manusia,

Karya tangan ajaibnya,

Harapan abad ini,

Ratu segala ilmu duniawi.

Kami ingin memberitahu anda hari ini

Sejarah asal usul

Perkara yang perlu diketahui oleh setiap pelajar -

Sejarah persamaan kuadratik.

Euclid, pada abad ke-3 SM e. dibawa pergi algebra geometri dalam "Prinsip" beliau keseluruhan buku kedua, di mana semua bahan yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikumpulkan.

Euclid (Eνκλειδηζ), ahli matematik Yunani kuno, pengarang risalah teori pertama mengenai matematik yang telah sampai kepada kita

Pengetahuan tentang Euclid amat terhad. Satu-satunya perkara yang boleh dianggap boleh dipercayai ialah dia aktiviti saintifik berlaku di Iskandariah pada abad ke-3 SM. e. Euclid - ahli matematik pertama sekolah Iskandariah. miliknya kerja utama"Prinsip" (dalam bentuk Latin - "Unsur") mengandungi pembentangan planimetri, stereometri dan beberapa soalan dalam teori nombor; di dalamnya dia merumuskan perkembangan terdahulu matematik Yunani dan mencipta asas perkembangan selanjutnya matematik. Bangau - Ahli matematik dan jurutera Yunani pertama di Greece pada abad ke-1 Masihi. memberikan cara algebra semata-mata untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Bangau dari Iskandariah; Bangau, abad ke-1 n. e., mekanik Yunani dan ahli matematik. Masa hidupnya tidak pasti, hanya diketahui bahawa dia memetik Archimedes (yang meninggal pada 212 SM), dan dia sendiri dipetik oleh Pappus (c. 300 AD). Pada masa ini, pendapat yang lazim ialah beliau hidup pada abad ke-1. n. e. Dia belajar geometri, mekanik, hidrostatik, optik; mencipta prototaip enjin stim dan instrumen meratakan ketepatan. Yang paling popular ialah mesin automatik seperti teater automatik, air pancut, dsb. G. menerangkan teodolit, bergantung pada undang-undang statik dan kinetik, dan memberikan penerangan tentang tuil, blok, skru, dan kenderaan tentera. Dalam optik dia merumuskan undang-undang pantulan cahaya, dalam matematik - kaedah untuk mengukur yang paling penting bentuk geometri. Karya utama G. ialah Ietrika, Pneumatik, Automatopoetik, Mekanik (Perancis; karya itu dipelihara sepenuhnya dalam bahasa Arab), Catoptics (ilmu cermin; hanya dipelihara dalam terjemahan Latin) dan lain-lain G. menggunakan pencapaian pendahulunya: Euclid, Archimedes, Strato dari Lampsacus. Gayanya ringkas dan jelas, walaupun kadangkala ia terlalu singkat atau tidak berstruktur. Minat terhadap karya G. timbul pada abad ke-3. n. e. Yunani, dan kemudian pelajar Byzantine dan Arab mengulas dan menterjemah karya beliau.

Diophantus- seorang saintis Yunani pada abad ke-3 Masihi, tanpa menggunakan geometri, menyelesaikan beberapa persamaan kuadratik secara algebra semata-mata, dan menulis persamaan itu sendiri dan penyelesaiannya dalam bentuk simbolik

"Saya akan memberitahu anda bagaimana ahli matematik Yunani Diophantus mengarang dan menyelesaikan persamaan kuadratik. Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya:Cari dua nombor dengan mengetahui jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96.

1. Ia berikutan daripada syarat masalah bahawa nombor yang diperlukan adalah tidak sama, kerana jika mereka sama, maka hasil kali mereka tidak akan menjadi 96, tetapi 100.

2. Jadi salah seorang daripada mereka akan menjadi lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, i.e. 10 + x, yang lain kurang, i.e. 10 – x.

3. Perbezaan antara mereka ialah 2x.

4. Oleh itu persamaan (10 + x) * (10 – x) = 96

100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0

5. Jawapan x = 2. Salah satu nombor yang kami cari ialah 12,
lain - 8. Penyelesaian x = - 2 tidak wujud untuk Diophantus, kerana Matematik Yunani hanya tahu nombor positif.” Diophantus tahu bagaimana membuat keputusan persamaan kompleks, menggunakan sebutan huruf untuk yang tidak diketahui, memperkenalkan simbol khas untuk pengiraan, dan menggunakan singkatan perkataan. Bhaskare – Akaria- Ahli matematik India pada abad ke-12 Masihi. dibuka kaedah umum menyelesaikan persamaan kuadratik.

Mari kita lihat salah satu masalah ahli matematik India, sebagai contoh, masalah Bhaskara:

“Sekawanan monyet sedang berseronok: satu perlapan daripada jumlah keseluruhan mereka di dataran sedang bermain-main di dalam hutan, dua belas yang tinggal menjerit di puncak bukit. Beritahu saya, ada berapa ekor monyet?”

Mengulas masalah, saya ingin mengatakan bahawa masalah itu sepadan dengan persamaan (x/8) 2 + 12 = x. Bhaskara menulis sebagai x 2 – 64x = - 768. Dengan menambah kuasa dua 32 kepada kedua-dua belah, persamaan menjadi:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

Selepas perahan punca kuasa dua kita dapat: x – 32 =16.

"DALAM dalam kes ini, kata Bhaskara, "unit negatif bahagian pertama adalah sedemikian rupa sehingga unit bahagian kedua lebih kecil daripadanya, dan oleh itu unit yang kedua boleh dianggap positif dan negatif, dan kami mendapat makna ganda tidak diketahui: 48 dan 16.”

Adalah perlu untuk membuat kesimpulan: Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai.

Ia dicadangkan untuk menyelesaikan masalah Bhaskara India kuno:

“Sepersegi seperlima daripada monyet, dikurangkan tiga, bersembunyi di dalam gua, seekor monyet memanjat pokok dan kelihatan. Berapakah bilangan monyet yang ada? Perlu diingatkan bahawa tugasan ini boleh diselesaikan asas, dikurangkan kepada persamaan kuadratik.

Al - Khorezmi - Sarjana Arab yang pada tahun 825 menulis buku "The Book of Restoration and Opposition." Ini adalah buku teks algebra pertama di dunia. Dia juga memberikan enam jenis persamaan kuadratik dan untuk setiap enam persamaan dalam bentuk lisan dirumuskan peraturan khas keputusannya. Dalam risalah Khorezmi, terdapat 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1. "Petak sama dengan akar," i.e. ah 2 = dalam.

2. "Petak sama dengan nombor," i.e. ax 2 = c.

3. "Akar adalah sama dengan nombor," i.e. ah = s.

4. "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," i.e. ax 2 + c = dalam.

5. "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor," i.e. ax 2 + inx = s.

6. "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua," i.e. dalam + c = ax 2.

Marilah kita menganalisis masalah al-Khorezmi, yang datang untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. "Kuadrat dan nombor adalah sama dengan punca." Sebagai contoh, satu kuasa dua dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca kuasa dua yang sama, i.e. persoalannya, apakah yang terbentuk daripada segi empat sama, yang, selepas menambah 21 kepadanya, menjadi sama dengan 10 punca kuasa dua yang sama?

DAN Menggunakan formula al-Khorezmi ke-4, pelajar hendaklah menulis: x 2 + 21 = 10x

Francois Viet - Ahli matematik Perancis, merumus dan membuktikan teorem pada jumlah dan hasil darab punca persamaan kuadratik terkecil.

Seni yang saya terangkan adalah baru, atau sekurang-kurangnya telah rosak oleh masa dan diputarbelitkan oleh pengaruh orang gasar, yang saya fikir perlu untuk memberikan penampilan yang sama sekali baru.

Francois Viet

Iet Francois (1540-13.12. 1603) dilahirkan di bandar Fontenay-le-Comte di wilayah Poitou, berhampiran kubu terkenal La Rochelle. Setelah menerima pendidikan undang-undang, sejak umur sembilan belas tahun dia berjaya mengamalkan undang-undang di kampung halaman. Sebagai seorang peguam, Viet menikmati kuasa dan rasa hormat di kalangan penduduk. Dia luas orang yang terpelajar. Tahu astronomi dan matematik dan segala-galanya masa lapang diberikan kepada ilmu-ilmu ini.

Keghairahan utama Vieth ialah matematik. Dia mendalami karya-karya klasik Archimedes dan Diophantus, pendahulu terdekat Cardano, Bombelli, Stevin dan lain-lain. Viet bukan sahaja mengagumi mereka, dia melihat kecacatan besar pada mereka, iaitu kesukaran untuk memahami kerana perlambangan lisan: Hampir semua tindakan dan tanda ditulis dalam kata-kata, tidak ada tanda-tanda peraturan yang mudah, hampir automatik yang kita sekarang guna. Ia adalah mustahil untuk menulis dan, oleh itu, bermula dalam bentuk umum perbandingan algebra atau mana-mana yang lain ungkapan algebra. Setiap jenis persamaan dengan pekali berangka telah diselesaikan mengikut peraturan khas. Oleh itu, adalah perlu untuk membuktikan bahawa terdapat sedemikian tindakan umum ke atas semua nombor yang tidak bergantung pada nombor ini sendiri. Viet dan pengikutnya menegaskan bahawa tidak kira sama ada nombor yang dimaksudkan ialah bilangan objek atau panjang segmen. Perkara utama ialah anda boleh melakukan operasi algebra dengan nombor ini dan, sebagai hasilnya, sekali lagi mendapatkan nombor yang sama. Ini bermakna bahawa mereka boleh ditetapkan oleh beberapa tanda abstrak. Viet melakukan perkara itu. Dia bukan sahaja memperkenalkan kalkulus literalnya, tetapi membuat penemuan baru secara asasnya, menetapkan matlamat dirinya untuk mengkaji bukan nombor, tetapi operasi ke atasnya. Kaedah rakaman ini membolehkan Viet membuat penemuan penting ketika belajar sifat am persamaan algebra. Bukan kebetulan bahawa untuk Vieta ini dipanggil "bapa" algebra, pengasas simbol huruf.

Sumber maklumat:

http :// som. fio. ru/ Sumber/ Karpuhina/2003/12/ Dipuji%20 kerja/ Konsert/ indeks1. htm

http :// muka surat. marsu. ru/ iac/ sekolah/ s4/ muka surat74. html