Ungkapan segi empat sama. Persamaan kuadratik

Dalam pelajaran ini kita akan mengkaji sifat asas pecahan, mengetahui pecahan yang sama antara satu sama lain. Kita akan belajar untuk mengurangkan pecahan, menentukan sama ada pecahan boleh dikurangkan atau tidak, berlatih mengurangkan pecahan, dan belajar bila hendak menggunakan penguncupan dan bila tidak.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Maklumat ini tersedia untuk pengguna berdaftar

Sifat utama pecahan

Bayangkan keadaan ini.

Di meja 3 orang dan 5 buah epal Kongsi 5 epal untuk tiga. Semua orang mendapat \(\mathbf(\frac(5)(3))\) epal.

Dan di meja sebelah 3 orang dan juga 5 buah epal Setiap satu lagi \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

Secara keseluruhannya 10 buah epal 6 Manusia. Setiap \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Tetapi ia adalah perkara yang sama.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Pecahan ini adalah setara.

Anda boleh menggandakan bilangan orang dan menggandakan bilangan epal. Hasilnya akan sama.

Dalam matematik ia dirumuskan seperti ini:

Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama (tidak sama dengan 0), maka pecahan baru akan sama dengan pecahan asal..

Harta ini kadangkala dipanggil " sifat utama pecahan ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Sebagai contoh, Laluan dari bandar ke kampung - 14 km.

Kami berjalan di sepanjang jalan dan menentukan jarak yang dilalui oleh penanda kilometer. Setelah berjalan enam lajur, enam kilometer, kami faham bahawa kami telah menempuh jarak \(\mathbf(\frac(6)(14))\).

Tetapi jika kita tidak nampak tiang (mungkin tidak dipasang), kita boleh mengira laluan menggunakan tiang elektrik di sepanjang jalan. mereka 40 kepingan untuk setiap kilometer. Iaitu, secara keseluruhan 560 sepanjang jalan. Enam kilometer - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) tiang. Iaitu, kita telah lulus 240 daripada 560 tiang-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Contoh 1

Tandakan titik dengan koordinat ( 5; 7 ) pada satah koordinat XOY. Ia akan sepadan dengan pecahan \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

Sambungkan asal koordinat ke titik yang terhasil. Bina satu lagi titik yang mempunyai koordinat dua kali ganda daripada yang sebelumnya. Apakah pecahan yang anda dapat? Adakah mereka akan sama?

Penyelesaian

Pecahan pada satah koordinat boleh ditanda dengan titik. Untuk mewakili pecahan \(\mathbf(\frac(5)(7))\), tandakan titik dengan koordinat 5 sepanjang paksi Y Dan 7 sepanjang paksi X. Mari kita lukis garis lurus dari asal melalui titik kita.

Titik yang sepadan dengan pecahan \(\mathbf(\frac(10)(14))\) juga akan terletak pada baris yang sama

Ia bersamaan: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

Pecahan dan pengurangannya adalah topik lain yang bermula pada gred 5. Di sini asas tindakan ini dibentuk, dan kemudian kemahiran ini ditarik oleh benang ke dalam matematik yang lebih tinggi. Jika pelajar tidak faham, maka dia mungkin menghadapi masalah dalam algebra. Oleh itu, adalah lebih baik untuk memahami beberapa peraturan sekali dan untuk semua. Dan juga ingat satu larangan dan jangan sekali-kali melanggarnya.

Pecahan dan pengurangannya

Setiap pelajar tahu apa itu. Mana-mana dua digit yang terletak di antara garis mendatar akan segera dilihat sebagai pecahan. Walau bagaimanapun, tidak semua orang memahami bahawa mana-mana nombor boleh menjadi ia. Jika ia adalah integer, maka ia sentiasa boleh dibahagikan dengan satu, dan kemudian anda mendapat pecahan tidak wajar. Tetapi lebih lanjut mengenai itu kemudian.

Permulaan sentiasa mudah. Mula-mula anda perlu memikirkan cara mengurangkan pecahan wajar. Iaitu, seseorang yang pengangkanya kurang daripada penyebutnya. Untuk melakukan ini, anda perlu mengingati sifat asas pecahan. Ia menyatakan bahawa apabila mendarab (serta membahagi) pengangka dan penyebutnya pada masa yang sama nombor yang sama ia ternyata merupakan pecahan yang setara dengan pecahan asal.

Tindakan pembahagian yang dilakukan dalam harta ini dan mengakibatkan pengurangan. Iaitu, untuk memudahkannya sebaik mungkin. Pecahan boleh dikurangkan selagi terdapat faktor sepunya di atas dan di bawah garisan. Apabila mereka tiada lagi, pengurangan adalah mustahil. Dan mereka mengatakan bahawa pecahan ini tidak dapat dikurangkan.

Dua cara

1.Pengurangan langkah demi langkah. Ia menggunakan kaedah anggaran di mana kedua-dua nombor dibahagikan dengan faktor sepunya minimum yang diperhatikan oleh pelajar. Jika selepas penguncupan pertama jelas bahawa ini bukan penamat, maka pembahagian diteruskan. Sehingga pecahan menjadi tidak dapat dikurangkan.

2. Mencari pembahagi sepunya terbesar bagi pengangka dan penyebut. Ini adalah cara paling rasional untuk mengurangkan pecahan. Ia melibatkan penguraian pengangka dan penyebut menjadi faktor utama. Antaranya, anda perlu memilih semua yang sama. Produk mereka akan memberikan faktor sepunya terbesar di mana pecahan dikurangkan.

Kedua-dua kaedah ini adalah setara. Pelajar digalakkan untuk menguasainya dan menggunakan yang paling disukainya.

Bagaimana jika terdapat huruf dan operasi tambah dan tolak?

Bahagian pertama soalan lebih kurang jelas. Huruf boleh disingkatkan sama seperti nombor. Perkara utama ialah mereka bertindak sebagai pengganda. Tetapi ramai orang mempunyai masalah dengan yang kedua.

Penting untuk diingat! Anda hanya boleh mengurangkan nombor yang merupakan faktor. Jika ia adalah saman, ia adalah mustahil.

Untuk memahami cara mengurangkan pecahan bentuk ungkapan algebra, anda perlu mempelajari peraturannya. Pertama, nyatakan pengangka dan penyebut sebagai hasil darab. Kemudian anda boleh mengurangkan jika faktor biasa muncul. Untuk mewakilinya dalam bentuk pengganda, teknik berikut berguna:

• kumpulan;
• kurungan;
• aplikasi identiti pendaraban yang disingkatkan.

Lebih-lebih lagi, kaedah yang terakhir memungkinkan untuk segera mendapatkan syarat dalam bentuk pengganda. Oleh itu, ia hendaklah sentiasa digunakan jika corak yang diketahui kelihatan.

Tetapi ini belum lagi menakutkan, maka tugas dengan darjah dan akar muncul. Pada masa itulah anda perlu mendapatkan keberanian dan mempelajari beberapa peraturan baharu.

Ungkapan dengan ijazah

Pecahan. Pengangka dan penyebut adalah hasil kali. Ada huruf dan nombor. Dan mereka juga dinaikkan kepada kuasa, yang juga terdiri daripada istilah atau faktor. Ada sesuatu yang perlu ditakuti.

Untuk memahami cara mengurangkan pecahan dengan kuasa, anda perlu mempelajari dua perkara:

• jika eksponen mengandungi jumlah, maka ia boleh diuraikan kepada faktor, yang kuasanya akan menjadi istilah asal;
• jika perbezaan, maka dividen dan pembahagi, yang pertama akan mempunyai minuend kuasa, yang kedua akan mempunyai subtrahend.

Selepas melengkapkan langkah ini, jumlah pengganda menjadi kelihatan. Dalam contoh sedemikian tidak perlu mengira semua kuasa. Ia cukup untuk mengurangkan darjah dengan eksponen dan asas yang sama.

Untuk akhirnya menguasai cara mengurangkan pecahan dengan kuasa, anda memerlukan banyak latihan. Selepas beberapa contoh yang serupa, tindakan akan dilakukan secara automatik.

Bagaimana jika ungkapan itu mengandungi akar?

Ia juga boleh dipendekkan. Hanya sekali lagi, mengikut peraturan. Lebih-lebih lagi, semua yang diterangkan di atas adalah benar. Secara umum, jika persoalannya ialah bagaimana untuk mengurangkan pecahan dengan akar, maka anda perlu membahagikan.

hidup ungkapan yang tidak rasional juga boleh dibahagikan. Iaitu, jika pengangka dan penyebut adalah pengganda yang sama, disertakan di bawah tanda akar, maka ia boleh disingkatkan dengan selamat. Ini akan memudahkan ungkapan dan menyelesaikan tugas.

Jika, selepas pengurangan, ketidakrasionalan kekal di bawah garis pecahan, maka anda perlu menyingkirkannya. Dengan kata lain, darabkan pengangka dan penyebut dengannya. Jika faktor biasa muncul selepas operasi ini, ia perlu dikurangkan semula.

Itu mungkin semua tentang cara mengurangkan pecahan. Terdapat beberapa peraturan, tetapi hanya satu larangan. Jangan sekali-kali memendekkan istilah!

Kalkulator dalam talian berfungsi pengurangan pecahan algebra mengikut peraturan pecahan pengurangan: menggantikan pecahan asal pecahan sama, tetapi dengan pengangka dan penyebut yang lebih kecil, i.e. pembahagian serentak pengangka dan penyebut pecahan dengan terbesar sepunya mereka pembahagi biasa(NOD). Kalkulator juga dipaparkan penyelesaian terperinci, yang akan membantu anda memahami urutan pengurangan.

Diberi:

Penyelesaian:

Melakukan pengurangan pecahan

menyemak sama ada pengurangan boleh dilakukan pecahan algebra

1) Penentuan pembahagi sepunya terbesar (GCD) pengangka dan penyebut pecahan

menentukan pembahagi sepunya (GCD) terbesar bagi pengangka dan penyebut pecahan algebra

2) Mengurangkan pengangka dan penyebut pecahan

mengurangkan pengangka dan penyebut pecahan algebra

3) Memilih keseluruhan bahagian pecahan

mengasingkan seluruh bahagian pecahan algebra

4) Menukar pecahan algebra kepada pecahan perpuluhan

menukarkan pecahan algebra kepada perpuluhan

Bantuan untuk pembangunan laman web projek

Pelawat Tapak yang dihormati.
Jika anda tidak dapat menjumpai apa yang anda cari, pastikan anda menulis mengenainya dalam ulasan, perkara yang hilang pada masa ini di tapak. Ini akan membantu kami memahami ke arah mana kami perlu bergerak lebih jauh, dan pelawat lain tidak lama lagi akan dapat menerima bahan yang diperlukan.
Jika tapak tersebut ternyata berguna kepada anda, dermakan tapak tersebut kepada projek tersebut hanya 2₽ dan kita akan tahu bahawa kita sedang menuju ke arah yang betul.

Terima kasih kerana sudi singgah!

I. Prosedur untuk mengurangkan pecahan algebra menggunakan kalkulator dalam talian:

1. Untuk mengurangkan pecahan algebra, masukkan nilai pengangka dan penyebut pecahan dalam medan yang sesuai. Jika pecahan bercampur, maka isikan juga medan yang sepadan dengan keseluruhan bahagian pecahan itu. Jika pecahan itu mudah, maka biarkan seluruh medan bahagian kosong.
2. Untuk menetapkan pecahan negatif, letakkan tanda tolak pada keseluruhan bahagian pecahan itu.
3. Bergantung pada pecahan algebra yang ditentukan, urutan tindakan berikut dilakukan secara automatik:

• menentukan pembahagi sepunya (GCD) terbesar bagi pengangka dan penyebut pecahan;
• mengurangkan pengangka dan penyebut pecahan dengan gcd;
• menyerlahkan keseluruhan bahagian pecahan, jika pengangka pecahan akhir lebih besar daripada penyebutnya.
• menukarkan pecahan algebra akhir kepada pecahan perpuluhan dibundarkan kepada perseratus terdekat.

Pengurangan boleh mengakibatkan pecahan tidak wajar. Dalam kes ini, final pecahan wajar akan ditonjolkan keseluruhan bahagian dan pecahan yang terhasil akan ditukar kepada pecahan wajar.

II. Untuk rujukan:

Pecahan ialah nombor yang terdiri daripada satu atau lebih bahagian (pecahan) unit. Pecahan biasa (pecahan mudah) ditulis sebagai dua nombor (pembilang pecahan dan penyebut pecahan) dipisahkan oleh bar mendatar (bar pecahan) yang menunjukkan tanda bahagi. Pengangka pecahan ialah nombor di atas garis pecahan. Pengangka menunjukkan berapa banyak bahagian yang diambil daripada keseluruhan. Penyebut pecahan ialah nombor di bawah garis pecahan. Penyebut menunjukkan berapa banyak bahagian yang sama keseluruhan dibahagikan kepada. Pecahan mudah ialah pecahan yang tidak mempunyai bahagian keseluruhan. Pecahan mudah boleh menjadi wajar atau tidak wajar. pecahan wajar - pecahan yang pengangkanya kurang daripada penyebut, jadi pecahan wajar sentiasa kurang daripada satu. Contoh pecahan wajar: 8/7, 11/19, 16/17. Pecahan tak wajar ialah pecahan di mana pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya, jadi pecahan tak wajar sentiasa lebih besar daripada atau sama dengan satu. Contoh pecahan tak wajar

: 7/6, 8/7, 13/13.

1. pecahan bercampur ialah nombor yang mengandungi nombor bulat dan pecahan wajar, dan menunjukkan hasil tambah nombor bulat itu dan pecahan wajar. Mana-mana pecahan bercampur boleh ditukar kepada pecahan tak wajar pecahan mudah , . Contoh pecahan bercampur , : 1¼, 2½, 4¾..
2. III. Nota:

Blok data sumber diserlahkan

kuning

blok pengiraan perantaraan diperuntukkan

biru

blok penyelesaian diserlahkan dengan warna hijau

Untuk menambah, menolak, mendarab dan membahagi pecahan biasa atau bercampur, gunakan kalkulator pecahan dalam talian dengan penyelesaian terperinci.

Mari kita fahami apakah pengurangan pecahan, mengapa dan bagaimana untuk mengurangkan pecahan, kita akan memberikan peraturan untuk mengurangkan pecahan dan contoh penggunaannya. Yandex.RTB R-A-339285-1 Apakah "pecahan pengurangan"

Kurangkan pecahan

Dalam contoh sebelumnya, kita mengurangkan pecahan 6 24 dengan 2, menghasilkan pecahan 3 12. Adalah mudah untuk melihat bahawa pecahan ini boleh dikurangkan lagi. Biasanya, matlamat mengurangkan pecahan adalah untuk berakhir dengan pecahan tidak boleh dikurangkan. Bagaimana untuk mengurangkan pecahan kepada bentuk tidak boleh dikurangkan?

Ini boleh dilakukan dengan mengurangkan pengangka dan penyebut dengan faktor sepunya terbesar (GCD). Kemudian, dengan harta pembahagi sepunya terbesar, pengangka dan penyebut akan menjadi saling nombor perdana, dan pecahan itu tidak boleh dikurangkan.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Mengurangkan pecahan kepada bentuk tidak boleh dikurangkan

Untuk mengurangkan pecahan kepada bentuk tidak boleh dikurangkan, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebutnya dengan gcdnya.

Mari kita kembali kepada pecahan 6 24 daripada contoh pertama dan bawa ke bentuk yang tidak boleh dikurangkan. Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 6 dan 24 ialah 6. Mari kita kurangkan pecahan:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Mengurangkan pecahan adalah mudah untuk digunakan supaya tidak berfungsi dengan nombor yang besar. Secara umum, terdapat peraturan yang tidak dinyatakan dalam matematik: jika anda boleh memudahkan sebarang ungkapan, maka anda perlu melakukannya. Mengurangkan pecahan paling kerap bermakna mengurangkannya kepada bentuk tidak boleh dikurangkan, dan bukan hanya mengurangkannya dengan pembahagi sepunya pengangka dan penyebut.

Peraturan untuk mengurangkan pecahan

Untuk mengurangkan pecahan, hanya ingat peraturan, yang terdiri daripada dua langkah.

Peraturan untuk mengurangkan pecahan

Untuk mengurangkan pecahan yang anda perlukan:

1. Cari gcd pengangka dan penyebut.
2. Bahagikan pengangka dan penyebut dengan gcd mereka.

Mari lihat contoh praktikal.

Contoh 1. Mari kita kurangkan pecahan.

Diberi pecahan 182 195. Mari kita pendekkan.

Mari cari gcd bagi pengangka dan penyebut. Untuk tujuan ini dalam dalam kes ini Ia adalah paling mudah untuk menggunakan algoritma Euclidean.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Bahagikan pengangka dan penyebut dengan 13. Kami mendapat:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

sedia. Kami telah memperoleh pecahan tidak boleh dikurangkan yang sama dengan pecahan asal.

Bagaimana lagi anda boleh mengurangkan pecahan? Dalam sesetengah kes, adalah mudah untuk memfaktorkan pengangka dan penyebut ke dalam faktor mudah, dan kemudian dari bahagian atas dan bahagian bawah pecahan, keluarkan semua faktor sepunya.

Contoh 2. Kurangkan pecahan

Diberi pecahan 360 2940. Mari kita pendekkan.

Untuk melakukan ini, bayangkan pecahan asal dalam bentuk:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Mari kita buang faktor sepunya dalam pengangka dan penyebut, menghasilkan:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Akhir sekali, mari kita lihat cara lain untuk mengurangkan pecahan. Ini adalah apa yang dipanggil pengurangan berurutan. Menggunakan kaedah ini, pengurangan dijalankan dalam beberapa peringkat, di mana setiap pecahan dikurangkan oleh beberapa faktor sepunya yang jelas.

Contoh 3. Kurangkan pecahan

Mari kita kurangkan pecahan 2000 4400.

Segera jelas bahawa pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya 100. Kami mengurangkan pecahan sebanyak 100 dan mendapat:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Kami mengurangkan hasil yang terhasil sekali lagi sebanyak 2 dan memperoleh pecahan yang tidak boleh dikurangkan:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter