Persamaan kuadratik yang mudah. Persamaan diskriminasi dalam matematik

Kami terus mengkaji topik itu " menyelesaikan persamaan" Kami telah membiasakan diri dengan persamaan linear dan beralih kepada membiasakan diri dengan persamaan kuadratik.

Mula-mula kita akan melihat apakah persamaan kuadratik dan bagaimana ia ditulis pandangan umum, dan berikan definisi yang berkaitan. Selepas ini, kami akan menggunakan contoh untuk mengkaji secara terperinci bagaimana masalah yang tidak lengkap diselesaikan. persamaan kuadratik. Seterusnya, kita akan beralih kepada menyelesaikan persamaan lengkap, mendapatkan formula punca, berkenalan dengan diskriminasi persamaan kuadratik, dan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh biasa. Akhir sekali, mari kita mengesan hubungan antara akar dan pekali.

Navigasi halaman.

Apakah persamaan kuadratik? Jenis mereka

Mula-mula anda perlu memahami dengan jelas apa itu persamaan kuadratik. Oleh itu, adalah logik untuk memulakan perbualan tentang persamaan kuadratik dengan definisi persamaan kuadratik, serta definisi yang berkaitan. Selepas ini, anda boleh mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadratik: dikurangkan dan tidak dikurangkan, serta lengkap dan persamaan tidak lengkap.

Definisi dan contoh persamaan kuadratik

Definisi.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk a x 2 +b x+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ialah bukan sifar.

Katakan segera bahawa persamaan kuadratik sering dipanggil persamaan darjah kedua. Ini disebabkan oleh fakta bahawa persamaan kuadratik adalah persamaan algebra ijazah kedua.

Takrifan yang dinyatakan membolehkan kita memberikan contoh persamaan kuadratik. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, dsb. Ini adalah persamaan kuadratik.

Definisi.

Nombor a, b dan c dipanggil pekali persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dan pekali a dipanggil pertama, atau tertinggi, atau pekali x 2, b ialah pekali kedua, atau pekali x, dan c ialah sebutan bebas .

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik dalam bentuk 5 x 2 −2 x −3=0, di sini pekali pendahulu ialah 5, pekali kedua bersamaan dengan −2, dan sebutan bebas adalah sama dengan -3. Ambil perhatian bahawa apabila pekali b dan/atau c adalah negatif, seperti dalam contoh yang diberikan, maka bentuk pendek menulis persamaan kuadratik dalam bentuk 5 x 2 −2 x−3=0, dan bukan 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Perlu diingat bahawa apabila pekali a dan/atau b adalah sama dengan 1 atau -1, maka ia biasanya tidak hadir secara eksplisit dalam persamaan kuadratik, yang disebabkan oleh keanehan penulisan sedemikian. Contohnya, dalam persamaan kuadratik y 2 −y+3=0 pekali pendahulu ialah satu, dan pekali y adalah sama dengan -1.

Persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang

Bergantung pada nilai pekali utama, persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang dibezakan. Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Persamaan kuadratik di mana pekali pendahuluan ialah 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Jika tidak, persamaan kuadratik ialah tidak disentuh.

mengikut takrifan ini, persamaan kuadratik x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, dsb. – diberikan, dalam setiap daripada mereka pekali pertama sama dengan satu. A 5 x 2 −x−1=0, dsb. - persamaan kuadratik tidak dikurangkan, pekali utamanya berbeza daripada 1.

Daripada mana-mana persamaan kuadratik yang tidak dikurangkan, dengan membahagikan kedua-dua belah dengan pekali pendahulu, anda boleh pergi ke yang dikurangkan. Tindakan ini ialah penjelmaan setara, iaitu, persamaan kuadratik terkurang yang diperoleh dengan cara ini mempunyai punca yang sama seperti persamaan kuadratik tak terkurang asal, atau, seperti itu, tidak mempunyai punca.

Mari kita lihat contoh bagaimana peralihan daripada persamaan kuadratik tidak dikurangkan kepada persamaan dikurangkan dilakukan.

Contoh.

Daripada persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, pergi ke persamaan kuadratik terkurang yang sepadan.

Penyelesaian.

Kita hanya perlu membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan pekali utama 3, ia bukan sifar, jadi kita boleh melakukan tindakan ini. Kami mempunyai (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, yang sama, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dan kemudian (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, dari mana . Ini adalah bagaimana kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang, yang bersamaan dengan yang asal.

Jawapan:

Persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap

Takrif persamaan kuadratik mengandungi keadaan a≠0. Keadaan ini perlu supaya persamaan a x 2 + b x + c = 0 adalah kuadratik, kerana apabila a = 0 ia sebenarnya menjadi persamaan linear bentuk b x + c = 0.

Bagi pekali b dan c, ia boleh sama dengan sifar, secara individu dan bersama. Dalam kes ini, persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0 dipanggil tidak lengkap, jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali b, c adalah sama dengan sifar.

Seterusnya

Definisi.

Persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan di mana semua pekali adalah berbeza daripada sifar.

Nama sedemikian tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas daripada perbincangan berikut.

Jika pekali b ialah sifar, maka persamaan kuadratik mengambil bentuk a·x 2 +0·x+c=0, dan ia bersamaan dengan persamaan a·x 2 +c=0. Jika c=0, iaitu persamaan kuadratik mempunyai bentuk a·x 2 +b·x+0=0, maka ia boleh ditulis semula sebagai a·x 2 +b·x=0. Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapat persamaan kuadratik a·x 2 =0. Persamaan yang terhasil berbeza daripada persamaan kuadratik lengkap kerana bahagian kirinya tidak mengandungi sama ada sebutan dengan pembolehubah x, atau sebutan bebas, atau kedua-duanya. Oleh itu nama mereka - persamaan kuadratik tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan −2 x 2 −5 x+0.2=0 ialah contoh persamaan kuadratik lengkap, dan x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Daripada maklumat dalam perenggan sebelum ini ia berikutan bahawa terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

a·x 2 =0, pekali b=0 dan c=0 sepadan dengannya;
a x 2 +c=0 apabila b=0 ;
dan a·x 2 +b·x=0 apabila c=0.

Mari kita periksa mengikut urutan bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap bagi setiap jenis ini diselesaikan.

a x 2 =0

Mari kita mulakan dengan menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap di mana pekali b dan c adalah sama dengan sifar, iaitu, dengan persamaan bentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh daripada yang asal dengan membahagikan kedua-dua bahagian dengan nombor bukan sifar a. Jelas sekali, punca persamaan x 2 =0 ialah sifar, kerana 0 2 =0. Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang dijelaskan oleh fakta bahawa bagi mana-mana nombor bukan sifar p ketaksamaan p 2 >0 berlaku, yang bermaksud bahawa untuk p≠0 kesamaan p 2 =0 tidak pernah dicapai.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 =0 mempunyai punca tunggal x=0.

Sebagai contoh, kami memberikan penyelesaian kepada persamaan kuadratik tidak lengkap −4 x 2 =0. Ia bersamaan dengan persamaan x 2 =0, punca tunggalnya ialah x=0, oleh itu, persamaan asal mempunyai sifar punca tunggal.

Penyelesaian ringkas dalam kes ini boleh ditulis seperti berikut:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan di mana pekali b ialah sifar dan c≠0, iaitu persamaan bentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahawa memindahkan sebutan dari satu sisi persamaan ke yang lain dengan tanda bertentangan, serta membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar, memberikan persamaan yang setara. Oleh itu, kita boleh melaksanakan perkara berikut transformasi yang setara persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0 :

bergerak dari ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan a x 2 =−c,
dan bahagikan kedua-dua belah dengan a, kita dapat .

Persamaan yang terhasil membolehkan kita membuat kesimpulan tentang puncanya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ungkapan boleh menjadi negatif (contohnya, jika a=1 dan c=2, maka ) atau positif (contohnya, jika a=−2 dan c=6, maka ), ia tidak sama dengan sifar , kerana mengikut keadaan c≠0. Kami akan menganalisis secara berasingan kes dan.

Jika , maka persamaan itu tidak mempunyai punca. Pernyataan ini berikutan fakta bahawa kuasa dua mana-mana nombor ialah nombor bukan negatif. Ia berikutan daripada ini bahawa apabila , maka untuk sebarang nombor p kesamaan tidak boleh benar.

Jika , maka keadaan dengan punca-punca persamaan adalah berbeza. Dalam kes ini, jika kita ingat tentang , maka punca persamaan serta-merta menjadi jelas; Sangat mudah untuk meneka bahawa nombor itu juga merupakan punca persamaan, sememangnya, . Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang boleh ditunjukkan, sebagai contoh, dengan percanggahan. Jom buat ini.

Mari kita nyatakan punca-punca persamaan yang baru diumumkan sebagai x 1 dan −x 1 . Katakan persamaan itu mempunyai satu lagi punca x 2, berbeza daripada punca yang ditunjukkan x 1 dan −x 1. Adalah diketahui bahawa menggantikan puncanya kepada persamaan dan bukannya x menjadikan persamaan itu menjadi kesamaan berangka yang betul. Untuk x 1 dan −x 1 kita ada , dan untuk x 2 kita ada . Sifat kesamaan berangka membolehkan kita melakukan penolakan sebutan demi sebutan bagi kesamaan berangka yang betul, jadi penolakan bahagian yang sepadan bagi kesamaan itu menghasilkan x 1 2 −x 2 2 =0. Sifat operasi dengan nombor membolehkan kita menulis semula kesamaan yang terhasil sebagai (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Kita tahu bahawa hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya sama dengan sifar. Oleh itu, daripada kesamaan yang terhasil ia mengikuti bahawa x 1 −x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0, iaitu sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 =−x 1. Jadi kita sampai kepada percanggahan, kerana pada mulanya kita mengatakan bahawa punca persamaan x 2 adalah berbeza daripada x 1 dan −x 1. Ini membuktikan bahawa persamaan tidak mempunyai punca selain dan .

Mari kita ringkaskan maklumat dalam perenggan ini. Persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0 adalah bersamaan dengan persamaan yang

tidak mempunyai akar jika ,
mempunyai dua punca dan , jika .

Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0.

Mari kita mulakan dengan persamaan kuadratik 9 x 2 +7=0. Selepas memindahkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan, ia akan mengambil bentuk 9 x 2 =−7. Membahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan 9, kita tiba di . Oleh kerana bahagian kanan mempunyai nombor negatif, persamaan ini tidak mempunyai punca, oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap asal 9 x 2 +7 = 0 tidak mempunyai punca.

Mari kita selesaikan satu lagi persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0. Kami memindahkan sembilan ke sebelah kanan: −x 2 =−9. Sekarang kita bahagikan kedua-dua belah dengan -1, kita dapat x 2 =9. Di sebelah kanan ialah nombor positif, daripada mana kami membuat kesimpulan bahawa atau . Kemudian kita tuliskan jawapan akhir: persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0 mempunyai dua punca x=3 atau x=−3.

a x 2 +b x=0

Ia kekal untuk memikirkan penyelesaiannya jenis terakhir persamaan kuadratik tidak lengkap untuk c=0. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk a x 2 + b x = 0 membolehkan anda menyelesaikannya kaedah pemfaktoran. Jelas sekali, kita boleh, terletak di sebelah kiri persamaan, yang cukup untuk mengambil faktor sepunya x daripada kurungan. Ini membolehkan kita beralih daripada persamaan kuadratik tidak lengkap asal kepada persamaan setara daripada bentuk x·(a·x+b)=0 . Dan persamaan ini bersamaan dengan satu set dua persamaan x=0 dan a·x+b=0, yang kedua adalah linear dan mempunyai punca x=−b/a.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 +b·x=0 mempunyai dua punca x=0 dan x=−b/a.

Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis penyelesaian kepada contoh tertentu.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Mengambil x daripada kurungan memberikan persamaan . Ia bersamaan dengan dua persamaan x=0 dan . Kami menyelesaikan persamaan linear yang terhasil: , dan melaksanakan pembahagian nombor bercampur pada pecahan sepunya, kita dapati. Oleh itu, punca-punca persamaan asal ialah x=0 dan .

Selepas mendapat amalan yang diperlukan, penyelesaian kepada persamaan tersebut boleh ditulis secara ringkas:

Jawapan:

x=0 , .

Diskriminasi, formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, terdapat formula punca. Mari kita menulisnya formula untuk punca-punca persamaan kuadratik: , Di mana D=b 2 −4 a c- kononnya diskriminasi bagi persamaan kuadratik. Entri itu pada dasarnya bermaksud bahawa .

Adalah berguna untuk mengetahui bagaimana formula punca diperoleh dan bagaimana ia digunakan dalam mencari punca persamaan kuadratik. Mari kita fikirkan perkara ini.

Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik

Mari kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Mari lakukan beberapa transformasi yang setara:

Kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan nombor bukan sifar a, menghasilkan persamaan kuadratik berikut.
Sekarang pilih petak lengkap di sebelah kirinya: . Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk .
Pada peringkat ini, adalah mungkin untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan, kita ada .
Dan mari juga mengubah ungkapan di sebelah kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan yang setara dengan persamaan kuadratik asal a·x 2 +b·x+c=0.

Kami telah menyelesaikan persamaan yang serupa dalam bentuk dalam perenggan sebelumnya, apabila kami meneliti. Ini membolehkan kita membuat kesimpulan berikut mengenai punca-punca persamaan:

jika , maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian sebenar;
jika , maka persamaan itu mempunyai bentuk , oleh itu, , yang daripadanya satu-satunya puncanya kelihatan;
jika , maka atau , yang sama dengan atau , iaitu persamaan mempunyai dua punca.

Oleh itu, kehadiran atau ketiadaan punca persamaan, dan oleh itu persamaan kuadratik asal, bergantung pada tanda ungkapan di sebelah kanan. Sebaliknya, tanda ungkapan ini ditentukan oleh tanda pengangka, kerana penyebut 4·a 2 sentiasa positif, iaitu, dengan tanda ungkapan b 2 −4·a·c. Ungkapan ini b 2 −4 a c dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik dan ditetapkan oleh surat itu D. Dari sini intipati diskriminasi adalah jelas - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka membuat kesimpulan sama ada persamaan kuadratik mempunyai punca sebenar, dan jika ya, apakah nombor mereka - satu atau dua.

Mari kita kembali kepada persamaan dan tulis semula menggunakan tatatanda diskriminasi: . Dan kami membuat kesimpulan:

jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jika D=0, maka persamaan ini mempunyai punca tunggal;
akhirnya, jika D>0, maka persamaan itu mempunyai dua punca atau, yang boleh ditulis semula dalam bentuk atau, dan selepas mengembang dan mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa kita terima.

Jadi kami memperoleh formula untuk punca persamaan kuadratik, ia kelihatan seperti , di mana diskriminasi D dikira oleh formula D=b 2 −4·a·c.

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminasi positif, anda boleh mengira kedua-dua punca sebenar persamaan kuadratik. Apabila diskriminasi adalah sifar, kedua-dua formula memberikan nilai punca yang sama, sepadan dengan penyelesaian unik kepada persamaan kuadratik. Dan dengan diskriminasi negatif, apabila cuba menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita berhadapan dengan mengekstrak punca kuasa dua nombor negatif, yang membawa kita di luar skop dan kurikulum sekolah. Dengan diskriminasi negatif, persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar, tetapi mempunyai pasangan konjugat kompleks akar, yang boleh didapati menggunakan formula akar yang sama yang kami perolehi.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan rumus punca

Dalam amalan, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, anda boleh segera menggunakan formula akar untuk mengira nilainya. Tetapi ini lebih berkaitan dengan mencari akar yang kompleks.

Walau bagaimanapun, dalam kursus sekolah algebra biasanya kita bercakap tentang bukan tentang kompleks, tetapi tentang punca sebenar persamaan kuadratik. Dalam kes ini, adalah dinasihatkan, sebelum menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, terlebih dahulu mencari diskriminasi, pastikan ia bukan negatif (jika tidak, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan itu tidak mempunyai punca sebenar), dan hanya kemudian mengira nilai akar.

Alasan di atas membolehkan kita menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0, anda perlu:

menggunakan formula diskriminasi D=b 2 −4·a·c, hitung nilainya;
membuat kesimpulan bahawa persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar jika diskriminasi adalah negatif;
hitung satu-satunya punca persamaan menggunakan formula jika D=0;
cari dua punca nyata bagi persamaan kuadratik menggunakan formula punca jika diskriminasinya positif.

Di sini kami hanya ambil perhatian bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, anda juga boleh menggunakan formula itu akan memberikan nilai yang sama seperti .

Anda boleh beralih kepada contoh menggunakan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Mari kita pertimbangkan penyelesaian kepada tiga persamaan kuadratik dengan diskriminasi positif, negatif dan sifar. Setelah menangani penyelesaian mereka, dengan analogi adalah mungkin untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lain. Mari kita mulakan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan x 2 +2·x−6=0.

Penyelesaian.

Dalam kes ini, kita mempunyai pekali persamaan kuadratik berikut: a=1, b=2 dan c=−6. Menurut algoritma, pertama anda perlu mengira diskriminasi; untuk melakukan ini, kami menggantikan a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Sejak 28>0, iaitu diskriminasi lebih besar daripada sifar, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar, kami dapat, di sini anda boleh memudahkan ungkapan yang terhasil dengan melakukan menggerakkan pengganda melebihi tanda akar diikuti dengan pengurangan pecahan:

Jawapan:

Mari kita beralih kepada contoh tipikal seterusnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Penyelesaian.

Kita mulakan dengan mencari diskriminasi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai punca tunggal, yang kita dapati sebagai , iaitu,

Jawapan:

x=3.5.

Ia kekal untuk mempertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5·y 2 +6·y+2=0.

Penyelesaian.

Berikut ialah pekali bagi persamaan kuadratik: a=5, b=6 dan c=2. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminasi adalah negatif, oleh itu, persamaan kuadratik ini tidak mempunyai punca sebenar.

Jika anda perlu menentukan akar kompleks, kemudian gunakan formula yang terkenal punca persamaan kuadratik, dan melakukan tindakan dengan nombor kompleks :

Jawapan:

tiada akar sebenar, akar kompleks ialah: .

Mari kita perhatikan sekali lagi bahawa jika diskriminasi persamaan kuadratik adalah negatif, maka di sekolah mereka biasanya segera menulis jawapan di mana mereka menunjukkan bahawa tidak ada punca sebenar, dan punca kompleks tidak dijumpai.

Formula akar untuk pekali kedua genap

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, di mana D=b 2 −4·a·c membolehkan anda memperoleh formula bentuk yang lebih padat, membolehkan anda menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali genap untuk x (atau hanya dengan pekali yang mempunyai bentuk 2·n, sebagai contoh, atau 14· ln5=2·7·ln5 ). Mari kita bawa dia keluar.

Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk a x 2 +2 n x+c=0. Mari cari puncanya menggunakan formula yang kita tahu. Untuk melakukan ini, kami mengira diskriminasi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dan kemudian kami menggunakan formula akar:

Mari kita nyatakan ungkapan n 2 −a c sebagai D 1 (kadangkala ia dilambangkan D "). Kemudian formula untuk punca-punca persamaan kuadratik yang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 n akan mengambil bentuk , dengan D 1 =n 2 −a·c.

Adalah mudah untuk melihat bahawa D=4·D 1, atau D 1 =D/4. Dalam erti kata lain, D 1 ialah bahagian keempat diskriminasi. Jelas bahawa tanda D 1 adalah sama dengan tanda D . Iaitu, tanda D 1 juga merupakan penunjuk kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan kuadratik.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2·n, anda perlukan

Kira D 1 =n 2 −a·c ;
Jika D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya punca persamaan menggunakan formula;
Jika D 1 >0, maka cari dua punca nyata menggunakan rumus.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan contoh menggunakan formula akar yang diperolehi dalam perenggan ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Penyelesaian.

Pekali kedua persamaan ini boleh diwakili sebagai 2·(−3) . Iaitu, anda boleh menulis semula persamaan kuadratik asal dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, di sini a=5, n=−3 dan c=−32, dan hitung bahagian keempat daripada diskriminasi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Oleh kerana nilainya positif, persamaan mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar yang sesuai:

Ambil perhatian bahawa adalah mungkin untuk menggunakan formula biasa untuk punca-punca persamaan kuadratik, tetapi dalam kes ini lebih banyak kerja pengiraan perlu dilakukan.

Jawapan:

Mempermudahkan bentuk persamaan kuadratik

Kadang-kadang, sebelum mula mengira punca persamaan kuadratik menggunakan formula, tidak ada salahnya untuk bertanya soalan: "Adakah mungkin untuk memudahkan bentuk persamaan ini?" Setuju bahawa dari segi pengiraan adalah lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 daripada 1100 x 2 −400 x−600=0.

Lazimnya, memudahkan bentuk persamaan kuadratik dicapai dengan mendarab atau membahagi kedua-dua belah dengan nombor tertentu. Sebagai contoh, dalam perenggan sebelumnya adalah mungkin untuk memudahkan persamaan 1100 x 2 −400 x −600=0 dengan membahagikan kedua-dua belah dengan 100.

Penjelmaan yang serupa dilakukan dengan persamaan kuadratik, pekalinya bukan . Dalam kes ini, kita biasanya membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nilai mutlak pekalinya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. nilai mutlak pekalinya: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Membahagikan kedua-dua belah persamaan kuadratik asal dengan 6, kita sampai pada persamaan kuadratik setara 2 x 2 −7 x+8=0.

Dan mendarab kedua-dua belah persamaan kuadratik biasanya dilakukan untuk menyingkirkan kemungkinan pecahan. Dalam kes ini, pendaraban dijalankan oleh penyebut pekalinya. Sebagai contoh, jika kedua-dua belah persamaan kuadratik didarab dengan LCM(6, 3, 1)=6, maka ia akan mengambil bentuk yang lebih mudah x 2 +4·x−18=0.

Sebagai kesimpulan daripada perkara ini, kita perhatikan bahawa mereka hampir selalu menyingkirkan tolak pada pekali tertinggi persamaan kuadratik dengan menukar tanda-tanda semua sebutan, yang sepadan dengan mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah dengan -1. Sebagai contoh, biasanya seseorang bergerak dari persamaan kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 kepada penyelesaian 2 x 2 +3 x−7=0 .

Hubungan antara punca dan pekali persamaan kuadratik

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik menyatakan punca-punca persamaan melalui pekalinya. Berdasarkan formula akar, anda boleh mendapatkan hubungan lain antara akar dan pekali.

Formula yang paling terkenal dan terpakai daripada teorem Vieta adalah dalam bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadratik yang diberikan, jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Sebagai contoh, dengan melihat bentuk persamaan kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kita boleh dengan serta-merta mengatakan bahawa jumlah puncanya adalah sama dengan 7/3, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama dengan 22 /3.

Dengan menggunakan formula yang telah ditulis, anda boleh mendapatkan beberapa sambungan lain antara punca dan pekali persamaan kuadratik. Sebagai contoh, anda boleh menyatakan jumlah kuasa dua punca persamaan kuadratik melalui pekalinya: .

Rujukan.

Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. darjah 8. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 atau x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Setelah belajar menyelesaikan persamaan darjah pertama, sudah tentu, anda ingin bekerja dengan orang lain, khususnya, dengan persamaan darjah kedua, yang sebaliknya dipanggil kuadratik.

Persamaan kuadratik ialah persamaan seperti ax² + bx + c = 0, di mana pembolehubah ialah x, nombornya ialah a, b, c, di mana a tidak sama dengan sifar.

Jika dalam persamaan kuadratik satu atau pekali lain (c atau b) adalah sama dengan sifar, maka persamaan ini akan diklasifikasikan sebagai persamaan kuadratik tidak lengkap.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jika pelajar setakat ini hanya dapat menyelesaikan persamaan darjah pertama? Pertimbangkan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis yang berbeza dan cara mudah untuk menyelesaikannya.

a) Jika pekali c bersamaan dengan 0, dan pekali b tidak sama dengan sifar, maka ax ² + bx + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, anda perlu mengetahui formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, yang terdiri daripada memfaktorkan bahagian kirinya dan kemudian menggunakan syarat bahawa hasil darab adalah sama dengan sifar.

Sebagai contoh, 5x² - 20x = 0. Kami memfaktorkan bahagian kiri persamaan, sambil melakukan perkara biasa operasi matematik: mengalihkan jumlah faktor daripada kurungan

5x (x - 4) = 0

Kami menggunakan syarat bahawa produk adalah sama dengan sifar.

5 x = 0 atau x - 4 = 0

Jawapannya ialah: punca pertama ialah 0; punca kedua ialah 4.

b) Jika b = 0, dan sebutan bebas tidak sama dengan sifar, maka persamaan ax ² + 0x + c = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + c = 0. Persamaan diselesaikan dalam dua cara : a) dengan memfaktorkan polinomial persamaan di sebelah kiri ; b) menggunakan sifat punca kuasa dua aritmetik. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan menggunakan salah satu kaedah, contohnya:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Jawapannya ialah: punca pertama ialah 5/2; punca kedua adalah sama dengan - 5/2.

c) Jika b bersamaan dengan 0 dan c bersamaan dengan 0, maka ax ² + 0 + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² = 0. Dalam persamaan x akan sama dengan 0.

Seperti yang anda lihat, persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh mempunyai tidak lebih daripada dua punca.

Topik ini mungkin kelihatan sukar pada mulanya kerana ramai yang tidak begitu formula mudah. Bukan sahaja persamaan kuadratik itu sendiri mempunyai tatatanda yang panjang, tetapi punca juga ditemui melalui diskriminasi. Secara keseluruhan, tiga formula baru diperolehi. Tidak begitu mudah untuk diingati. Ini hanya mungkin selepas menyelesaikan persamaan sedemikian dengan kerap. Kemudian semua formula akan diingati sendiri.

Pandangan umum persamaan kuadratik

Di sini kami mencadangkan rakaman eksplisit mereka, apabila paling banyak darjat tinggi ditulis dahulu, dan kemudian dalam susunan menurun. Selalunya terdapat situasi apabila terma tidak konsisten. Maka adalah lebih baik untuk menulis semula persamaan dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah.

Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Mereka dibentangkan dalam jadual di bawah.

Jika kita menerima tatatanda ini, semua persamaan kuadratik dikurangkan kepada tatatanda berikut.

Selain itu, pekali a ≠ 0. Biarkan formula ini ditetapkan sebagai nombor satu.

Apabila persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak punca yang akan ada dalam jawapan. Kerana satu daripada tiga pilihan sentiasa mungkin:

penyelesaiannya akan mempunyai dua akar;
jawapannya ialah satu nombor;
persamaan itu tidak akan mempunyai punca sama sekali.

Dan sehingga keputusan dimuktamadkan, sukar untuk memahami pilihan mana yang akan muncul dalam kes tertentu.

Jenis-jenis rakaman persamaan kuadratik

Mungkin terdapat entri yang berbeza dalam tugasan. Mereka tidak akan sentiasa kelihatan seperti formula persamaan kuadratik am. Kadangkala ia akan kehilangan beberapa istilah. Apa yang ditulis di atas adalah persamaan lengkap. Jika anda mengalih keluar penggal kedua atau ketiga di dalamnya, anda mendapat sesuatu yang lain. Rekod ini juga dipanggil persamaan kuadratik, hanya tidak lengkap.

Selain itu, hanya istilah dengan pekali "b" dan "c" boleh hilang. Nombor "a" tidak boleh sama dengan sifar dalam apa jua keadaan. Kerana dalam kes ini formula bertukar menjadi persamaan linear. Rumus untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah seperti berikut:

Jadi, hanya terdapat dua jenis; sebagai tambahan kepada yang lengkap, terdapat juga persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Biarkan formula pertama menjadi nombor dua, dan yang kedua - tiga.

Diskriminasi dan pergantungan bilangan akar pada nilainya

Anda perlu mengetahui nombor ini untuk mengira punca-punca persamaan. Ia sentiasa boleh dikira, tidak kira apa formula persamaan kuadratik itu. Untuk mengira diskriminasi, anda perlu menggunakan kesamaan yang ditulis di bawah, yang akan mempunyai nombor empat.

Selepas menggantikan nilai pekali ke dalam formula ini, anda boleh mendapatkan nombor dengan tanda yang berbeza. Jika jawapannya ya, maka jawapan kepada persamaan ialah dua pelbagai akar. Pada nombor negatif punca-punca persamaan kuadratik akan hilang. Jika sama dengan sifar, hanya ada satu jawapan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap?

Malah, pertimbangan isu ini telah pun bermula. Kerana pertama anda perlu mencari diskriminasi. Selepas ditentukan bahawa terdapat punca persamaan kuadratik, dan bilangannya diketahui, anda perlu menggunakan formula untuk pembolehubah. Sekiranya terdapat dua akar, maka anda perlu menggunakan formula berikut.

Oleh kerana ia mengandungi tanda "±", akan ada dua makna. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua ialah diskriminasi. Oleh itu, formula boleh ditulis semula secara berbeza.

Formula nombor lima. Daripada rekod yang sama adalah jelas bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, maka kedua-dua punca akan mengambil nilai yang sama.

Jika menyelesaikan persamaan kuadratik belum lagi diusahakan, maka adalah lebih baik untuk menuliskan nilai semua pekali sebelum menggunakan formula diskriminasi dan pembolehubah. Nanti detik ini tidak akan menyebabkan kesukaran. Tetapi pada awalnya terdapat kekeliruan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap?

Segala-galanya lebih mudah di sini. Tidak ada keperluan untuk formula tambahan. Dan mereka yang telah ditulis untuk diskriminasi dan yang tidak diketahui tidak akan diperlukan.

Pertama, mari kita lihat persamaan nombor dua yang tidak lengkap. Dalam kesamaan ini, adalah perlu untuk mengeluarkan kuantiti yang tidak diketahui daripada kurungan dan menyelesaikan persamaan linear, yang akan kekal dalam kurungan. Jawapannya akan mempunyai dua punca. Yang pertama semestinya sama dengan sifar, kerana terdapat pengganda yang terdiri daripada pembolehubah itu sendiri. Yang kedua akan diperolehi dengan menyelesaikan persamaan linear.

Persamaan nombor tiga yang tidak lengkap diselesaikan dengan memindahkan nombor dari sebelah kiri kesamaan ke kanan. Kemudian anda perlu membahagikan dengan pekali menghadap yang tidak diketahui. Yang tinggal hanyalah mengekstrak punca kuasa dua dan ingat untuk menulisnya dua kali dengan tanda yang bertentangan.

Di bawah ialah beberapa tindakan yang akan membantu anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis kesamaan yang bertukar menjadi persamaan kuadratik. Mereka akan membantu pelajar untuk mengelakkan kesilapan kerana tidak mengambil perhatian. Kelemahan ini boleh menyebabkan gred yang lemah apabila mempelajari topik yang meluas "Persamaan Kuadratik (Gred 8)." Selepas itu, tindakan ini tidak perlu dilakukan secara berterusan. Kerana kemahiran yang stabil akan muncul.

Mula-mula anda perlu menulis persamaan dalam bentuk piawai. Iaitu, pertama istilah dengan darjah terbesar pembolehubah, dan kemudian - tanpa ijazah, dan terakhir - hanya nombor.

Jika tolak muncul sebelum pekali "a", ia boleh merumitkan kerja untuk pemula yang mempelajari persamaan kuadratik. Lebih baik membuangnya. Untuk tujuan ini, semua kesaksamaan mesti didarab dengan "-1". Ini bermakna semua istilah akan menukar tanda kepada sebaliknya.

Adalah disyorkan untuk menyingkirkan pecahan dengan cara yang sama. Cukup darab persamaan dengan faktor yang sesuai supaya penyebutnya dibatalkan.

Contoh

Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berikut:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 − 7x = 0. Ia tidak lengkap, oleh itu ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula nombor dua.

Selepas mengeluarkannya daripada kurungan, ternyata: x (x - 7) = 0.

Punca pertama mengambil nilai: x 1 = 0. Punca kedua akan didapati daripada persamaan linear: x - 7 = 0. Mudah untuk melihat bahawa x 2 = 7.

Persamaan kedua: 5x 2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula ketiga.

Selepas memindahkan 30 ke sebelah kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang anda perlu bahagikan dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawapannya ialah nombor: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Persamaan ketiga: 15 − 2х − x 2 = 0. Di sini dan seterusnya, menyelesaikan persamaan kuadratik akan bermula dengan penulisan semula dalam pandangan standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Kini tiba masanya untuk menggunakan yang kedua nasihat yang berguna dan darabkan semuanya dengan tolak satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 = 0. Menggunakan formula keempat, anda perlu mengira diskriminasi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ia adalah nombor positif. Daripada apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan itu mempunyai dua punca. Mereka perlu dikira menggunakan formula kelima. Ternyata x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 = 3, x 2 = - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x = 0 diubah menjadi ini: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminasinya adalah sama dengan nilai ini: -23. Oleh kerana nombor ini negatif, jawapan kepada tugas ini ialah entri berikut: "Tiada akar."

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 hendaklah ditulis semula seperti berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Selepas menggunakan formula untuk diskriminasi, nombor sifar diperoleh. Ini bermakna ia akan mempunyai satu punca, iaitu: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Persamaan keenam (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) memerlukan penjelmaan, yang terdiri daripada membawa istilah yang serupa, sebelum membuka kurungan. Di tempat yang pertama akan terdapat ungkapan berikut: x 2 + 2x + 1. Selepas kesamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Selepas sebutan yang serupa dikira, persamaan akan mengambil bentuk: x 2 - x = 0. Ia telah menjadi tidak lengkap . Sesuatu yang serupa dengan ini telah dibincangkan lebih tinggi sedikit. Akar ini akan menjadi nombor 0 dan 1.

Adalah diketahui bahawa ia adalah versi tertentu kesamaan ax 2 + bx + c = o, di mana a, b dan c adalah pekali nyata untuk x tidak diketahui, dan di mana a ≠ o, dan b dan c akan menjadi sifar - serentak atau secara berasingan. Contohnya, c = o, b ≠ o atau sebaliknya. Kami hampir teringat definisi persamaan kuadratik.

Trinomial darjah kedua ialah sifar. Pekali pertamanya a ≠ o, b dan c boleh mengambil sebarang nilai. Nilai pembolehubah x kemudiannya ialah apabila penggantian mengubahnya menjadi kesamaan berangka yang betul. Mari kita fokus pada punca sebenar, walaupun persamaan juga boleh menjadi penyelesaian Adalah lazim untuk memanggil persamaan lengkap di mana tiada satu pun pekali adalah sama dengan o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Mari kita selesaikan satu contoh. 2x 2 -9x-5 = oh, kita dapati
D = 81+40 = 121,
D adalah positif, yang bermaksud terdapat punca, x 1 = (9+√121):4 = 5, dan x 2 kedua = (9-√121):4 = -o.5. Menyemak akan membantu memastikan ia betul.

Berikut ialah penyelesaian langkah demi langkah kepada persamaan kuadratik

Menggunakan diskriminasi, anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan di sebelah kiri yang diketahui trinomial kuadratik untuk ≠ o. Dalam contoh kita. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Mari kita pertimbangkan apakah persamaan tidak lengkap darjah kedua

ax 2 +in = o. Sebutan bebas, pekali c pada x 0, adalah sama dengan sifar di sini, dalam ≠ o.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis ini? Mari kita ambil x keluar dari kurungan. Mari kita ingat apabila hasil darab dua faktor bersamaan dengan sifar.
x(ax+b) = o, ini boleh jadi apabila x = o atau apabila ax+b = o.
Setelah menyelesaikan ke-2 kita mempunyai x = -в/а.
Akibatnya, kita mempunyai punca x 1 = 0, mengikut pengiraan x 2 = -b/a.
Sekarang pekali x adalah sama dengan o, dan c tidak sama (≠) o.
x 2 +c = o. Mari kita gerakkan c ke sebelah kanan kesamaan, kita dapat x 2 = -с. Persamaan ini hanya mempunyai punca sebenar apabila -c ialah nombor positif (c ‹ o),
x 1 kemudiannya sama dengan √(-c), masing-masing, x 2 ialah -√(-c). Jika tidak, persamaan itu tidak mempunyai punca sama sekali.
Pilihan terakhir: b = c = o, iaitu, ax 2 = o. Sememangnya, persamaan mudah sedemikian mempunyai satu punca, x = o.

Kes khas

Kami melihat cara menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, dan sekarang mari kita ambil sebarang jenis.

Dalam persamaan kuadratik lengkap, pekali kedua bagi x ialah nombor genap.
Biarkan k = o.5b. Kami mempunyai formula untuk mengira diskriminasi dan punca.
D/4 = k 2 - ac, punca dikira sebagai x 1,2 = (-k±√(D/4))/a untuk D › o.
x = -k/a pada D = o.
Tiada akar untuk D ‹ o.
Terdapat persamaan kuadratik, apabila pekali x kuasa dua adalah sama dengan 1, ia biasanya ditulis x 2 + рх + q = o. Semua formula di atas digunakan untuk mereka, tetapi pengiraannya agak mudah.
Contoh, x 2 -4x-9 = 0. Kira D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
Di samping itu, ia adalah mudah untuk digunakan pada yang diberikan Ia mengatakan bahawa jumlah punca persamaan adalah sama dengan -p, pekali kedua dengan tolak (bermaksud. tanda bertentangan), dan hasil darab akar-akar yang sama ini akan sama dengan q, sebutan bebas. Lihat betapa mudahnya untuk menentukan punca persamaan ini secara lisan. Untuk pekali tidak dikurangkan (untuk semua pekali tidak sama dengan sifar), teorem ini terpakai seperti berikut: jumlah x 1 + x 2 adalah sama dengan -b/a, hasil darab x 1 · x 2 adalah sama dengan c/a.

Jumlah bagi sebutan bebas c dan pekali pertama a adalah sama dengan pekali b. Dalam keadaan ini, persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu punca (mudah dibuktikan), yang pertama semestinya sama dengan -1, dan yang kedua -c/a, jika wujud. Anda boleh menyemak sendiri cara menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Ia tidak boleh menjadi lebih mudah. Pekali mungkin berada dalam hubungan tertentu antara satu sama lain

x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
Jumlah semua pekali adalah sama dengan o.
Punca-punca persamaan tersebut ialah 1 dan c/a. Contoh, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Terdapat beberapa cara lain untuk menyelesaikan pelbagai persamaan darjah kedua. Di sini, sebagai contoh, ialah kaedah untuk mengekstrak daripada polinomial tertentu persegi penuh. Kaedah grafik beberapa. Apabila anda sering berurusan dengan contoh sedemikian, anda akan belajar untuk "klik" mereka seperti benih, kerana semua kaedah datang ke fikiran secara automatik.

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Diskriminasi membolehkan anda menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik menggunakan formula am, yang kelihatan seperti ini:

Formula diskriminasi bergantung pada tahap polinomial. Formula di atas sesuai untuk menyelesaikan persamaan kuadratik jenis berikut:

Yang diskriminasi telah sifat berikut perkara yang anda perlu tahu:

* "D" ialah 0 apabila polinomial mempunyai berbilang punca ( akar yang sama);

* "D" ialah polinomial simetri berkenaan dengan akar polinomial dan oleh itu polinomial dalam pekalinya; lebih-lebih lagi, pekali polinomial ini adalah integer tanpa mengira lanjutan di mana akar diambil.

Katakan kita diberi persamaan kuadratik dalam bentuk berikut:

1 persamaan

Mengikut formula yang kami ada:

Oleh kerana \, persamaan mempunyai 2 punca. Mari kita tentukan mereka:

Di manakah saya boleh menyelesaikan persamaan menggunakan penyelesai dalam talian yang diskriminasi?

Anda boleh menyelesaikan persamaan di laman web kami https://site. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mengetahui cara menyelesaikan persamaan di laman web kami Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.