Biarkan L- ruang linear sewenang-wenangnya, a i Î L adalah unsur-unsurnya (vektor).

Definisi 3.3.1. Ungkapan , dimana , - nombor nyata arbitrari, dipanggil gabungan linear vektor a 1 , a 2 ,…, a n.

Jika vektor R = , kemudian mereka berkata begitu R terurai menjadi vektor a 1 , a 2 ,…, a n.

Definisi 3.3.2. Gabungan linear vektor dipanggil bukan remeh, jika di antara nombor terdapat sekurang-kurangnya satu selain sifar. Jika tidak, gabungan linear dipanggil remeh.

Definisi 3.3.3 . Vektor a 1 , a 2 ,…, a n dipanggil bersandar linear jika wujud gabungan linear bukan remeh antaranya

= 0 .

Definisi 3.3.4. Vektor a 1 ,a 2 ,…, a n dipanggil bebas linear jika kesamaan = 0 mungkin hanya jika semua nombor l 1, l 2,…, l n serentak adalah sifar.

Ambil perhatian bahawa mana-mana unsur bukan sifar a 1 boleh dianggap sebagai sistem bebas linear, kerana kesamaan l a 1 = 0 mungkin hanya di bawah keadaan l= 0.

Teorem 3.3.1. Keadaan yang perlu dan mencukupi untuk kebergantungan linear a 1 , a 2 ,…, a n adalah kemungkinan untuk menguraikan sekurang-kurangnya satu daripada unsur-unsur ini kepada yang lain.

Bukti. Keperluan. Biarkan unsur a 1 , a 2 ,…, a n bergantung secara linear. Maksudnya begitu = 0 , dan sekurang-kurangnya satu daripada nombor l 1, l 2,…, l n berbeza dengan sifar. Biarkan untuk kepastian l 1 ¹ 0. Kemudian

iaitu unsur a 1 diuraikan kepada unsur a 2 , a 3 , …, a n.

Kecukupan. Biarkan unsur a 1 diuraikan kepada unsur a 2 , a 3 , …, a n, iaitu a 1 = . Kemudian = 0 , oleh itu, terdapat gabungan linear bukan remeh bagi vektor a 1 , a 2 ,…, a n sama dengan 0 , jadi mereka bergantung secara linear .

Teorem 3.3.2. Jika sekurang-kurangnya satu daripada unsur a 1 , a 2 ,…, a n sifar, maka vektor ini bergantung secara linear.

Bukti . Biarkan a n= 0 , maka = 0 , yang bermaksud pergantungan linear bagi elemen yang ditunjukkan.

Teorem 3.3.3. Jika antara n vektor sebarang p (m.s< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Bukti. Biarkan, untuk kepastian, unsur-unsur a 1 , a 2 ,…, a hlm bergantung secara linear. Ini bermakna terdapat gabungan linear bukan remeh seperti itu = 0 . Kesamaan yang ditunjukkan akan dikekalkan jika kita menambah elemen pada kedua-dua bahagiannya. Kemudian + = 0 , manakala sekurang-kurangnya satu daripada nombor l 1, l 2,…, lp berbeza dengan sifar. Oleh itu, vektor a 1 , a 2 ,…, a n adalah bergantung secara linear.

Akibat 3.3.1. Jika n unsur adalah bebas linear, maka mana-mana k daripadanya adalah bebas linear (k< n).

Teorem 3.3.4. Jika vektor a 1 , a 2 ,…, a n- 1 adalah bebas linear, dan unsur-unsur a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n adalah bersandar secara linear, kemudian vektor a n boleh diuraikan menjadi vektor a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Bukti. Oleh kerana dengan syarat a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n adalah bergantung secara linear, maka wujud gabungan linear bukan remeh daripadanya = 0 , dan (jika tidak, vektor a 1 , a 2 ,…, a n- satu). Tetapi kemudian vektor

,

Q.E.D.

Tugasan 1. Ketahui sama ada sistem vektor adalah bebas linear. Sistem vektor akan ditakrifkan oleh matriks sistem, lajur yang terdiri daripada koordinat vektor.

.

Keputusan. Biarkan gabungan linear sama dengan sifar. Setelah menulis kesamaan ini dalam koordinat, kami memperoleh sistem persamaan berikut:

.

Sistem persamaan sedemikian dipanggil segi tiga. Dia ada satu-satunya penyelesaian. . Oleh itu vektor adalah bebas secara linear.

Tugasan 2. Ketahui sama ada sistem vektor adalah bebas linear.

.

Keputusan. vektor adalah bebas secara linear (lihat Masalah 1). Mari kita buktikan bahawa vektor ialah gabungan linear bagi vektor . Pekali pengembangan vektor ditentukan daripada sistem persamaan

.

Sistem ini, seperti segi tiga, mempunyai penyelesaian yang unik.

Oleh itu, sistem vektor bergantung secara linear.

Komen. Matriks seperti dalam masalah 1 dipanggil segi tiga , dan dalam masalah 2 – melangkah segi tiga . Persoalan kebergantungan linear sistem vektor mudah diselesaikan jika matriks yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah segi tiga berperingkat. Jika matriks tidak mempunyai bentuk khas, maka gunakan transformasi rentetan asas , mengekalkan hubungan linear antara lajur, ia boleh dikurangkan kepada bentuk segi tiga bertingkat.

Transformasi rentetan asas matriks (EPS) dipanggil operasi berikut pada matriks:

1) pilih atur garisan;

2) mendarab rentetan dengan nombor bukan sifar;

3) menambah rentetan rentetan lain, didarab dengan nombor arbitrari.

Tugasan 3. Cari subsistem bebas linear maksimum dan hitung pangkat sistem vektor

.

Keputusan. Mari kita kurangkan matriks sistem dengan bantuan EPS kepada bentuk segi tiga berperingkat. Untuk menerangkan prosedur, garis dengan nombor matriks yang akan diubah akan dilambangkan dengan simbol . Lajur selepas anak panah menunjukkan tindakan yang perlu dilakukan pada baris matriks yang ditukar untuk mendapatkan baris matriks baharu.

.

Jelas sekali, dua lajur pertama bagi matriks yang terhasil adalah bebas secara linear, lajur ketiga ialah gabungan linearnya, dan lajur keempat tidak bergantung pada dua yang pertama. vektor dipanggil asas. Mereka membentuk subsistem bebas linear maksimum bagi sistem , dan pangkat sistem ialah tiga.

Asas, koordinat

Tugasan 4. Cari asas dan koordinat vektor dalam asas ini pada set vektor geometri yang koordinatnya memenuhi syarat .

Keputusan. Set ialah satah yang melalui asalan. Asas sembarangan pada satah terdiri daripada dua vektor bukan kolinear. Koordinat vektor dalam asas yang dipilih ditentukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang sepadan.

Terdapat satu lagi cara untuk menyelesaikan masalah ini, apabila anda boleh mencari asas dengan koordinat.

Koordinat ruang bukan koordinat pada satah, kerana ia berkaitan dengan hubungan , iaitu mereka tidak berdikari. Pembolehubah bebas dan (ia dipanggil bebas) secara unik menentukan vektor pada satah dan, oleh itu, ia boleh dipilih sebagai koordinat dalam . Kemudian asas terdiri daripada vektor yang terletak di dalam dan sepadan dengan set pembolehubah bebas dan , itu dia .

Tugasan 5. Cari asas dan koordinat bagi vektor dalam asas ini pada set semua vektor dalam ruang , yang koordinat ganjilnya adalah sama antara satu sama lain.

Keputusan. Kami memilih, seperti dalam masalah sebelumnya, koordinat dalam ruang .

Kerana , kemudian pembolehubah bebas mentakrifkan vektor secara unik daripada dan, oleh itu, adalah koordinat. Asas yang sepadan terdiri daripada vektor .

Tugasan 6. Cari asas dan koordinat vektor dalam asas ini pada set semua matriks bentuk , di mana adalah nombor arbitrari.

Keputusan. Setiap matriks daripada boleh diwakili secara unik sebagai:

Hubungan ini ialah pengembangan vektor dari segi asas
dengan koordinat .

Tugasan 7. Cari dimensi dan asas rentang linear sistem vektor

.

Keputusan. Menggunakan EPS, kami menukar matriks daripada koordinat vektor sistem kepada bentuk segi tiga berperingkat.

.

lajur daripada matriks terakhir adalah bebas linear, dan lajur dinyatakan secara linear melalui mereka. Oleh itu vektor membentuk asas , dan .

Komen. Asas dalam dipilih secara samar-samar. Contohnya, vektor juga menjadi asas .

Diperkenalkan oleh kami operasi linear pada vektor memungkinkan untuk mencipta ungkapan yang berbeza untuk kuantiti vektor dan mengubahnya menggunakan sifat yang ditetapkan untuk operasi ini.

Berdasarkan set vektor yang diberikan a 1 , ..., dan n , anda boleh mengarang ungkapan bentuk

di mana a 1 , ..., dan n ialah nombor nyata arbitrari. Ungkapan ini dipanggil gabungan linear vektor a 1 , ..., a n . Nombor α i , i = 1, n , ialah pekali gabungan linear. Set vektor juga dipanggil sistem vektor.

Sehubungan dengan konsep gabungan linear vektor yang diperkenalkan, masalah timbul untuk menerangkan set vektor yang boleh ditulis sebagai gabungan linear sistem vektor yang diberikan a 1 , ..., a n . Di samping itu, soalan mengenai keadaan di mana terdapat perwakilan vektor dalam bentuk gabungan linear, dan tentang keunikan perwakilan sedemikian, adalah semula jadi.

Definisi 2.1. Vektor a 1 , ..., dan n dipanggil bergantung secara linear, jika terdapat set pekali sedemikian α 1 , ... , α n itu

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

dan sekurang-kurangnya satu daripada pekali ini adalah bukan sifar. Jika set pekali yang ditentukan tidak wujud, maka vektor dipanggil bebas linear.

Jika α 1 = ... = α n = 0, maka, jelas sekali, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Dengan ini, kita boleh mengatakan ini: vektor a 1 , ..., dan n adalah bebas secara linear jika ia mengikuti daripada kesamaan (2.2) bahawa semua pekali α 1 , ... , α n adalah sama dengan sifar.

Teorem berikut menerangkan mengapa konsep baru dipanggil istilah "bergantung" (atau "kemerdekaan"), dan memberikan kriteria mudah untuk pergantungan linear.

Teorem 2.1. Agar vektor a 1 , ..., dan n , n > 1, bersandar secara linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa salah satu daripadanya ialah gabungan linear dari yang lain.

◄ Keperluan. Andaikan bahawa vektor a 1 , ..., dan n adalah bersandar secara linear. Menurut definisi 2.1 pergantungan linear, dalam kesamaan (2.2) terdapat sekurang-kurangnya satu pekali bukan sifar di sebelah kiri, contohnya α 1 . Meninggalkan penggal pertama di sebelah kiri kesaksamaan, kami memindahkan selebihnya ke sebelah kanan, menukar tanda mereka seperti biasa. Membahagikan kesamaan yang terhasil dengan α 1 , kita dapat

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

mereka. perwakilan vektor a 1 sebagai gabungan linear bagi baki vektor a 2 , ..., dan n .

Kecukupan. Mari, sebagai contoh, vektor pertama a 1 boleh diwakili sebagai gabungan linear bagi vektor yang tinggal: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Memindahkan semua istilah dari sebelah kanan ke kiri, kita mendapat 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. gabungan linear vektor a 1 , ..., dan n dengan pekali α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , sama dengan vektor sifar. Dalam kombinasi linear ini, tidak semua pekali adalah sama dengan sifar. Menurut definisi 2.1, vektor a 1 , ..., dan n adalah bersandar secara linear.

Takrifan dan kriteria pergantungan linear dirumuskan sedemikian rupa sehingga ia membayangkan kehadiran dua atau lebih vektor. Walau bagaimanapun, seseorang juga boleh bercakap tentang pergantungan linear bagi satu vektor. Untuk merealisasikan kemungkinan ini, bukannya "vektor bergantung secara linear" kita perlu mengatakan "sistem vektor adalah bergantung secara linear". Adalah mudah untuk melihat bahawa ungkapan "sistem satu vektor adalah bergantung secara linear" bermakna bahawa vektor tunggal ini adalah sifar (hanya terdapat satu pekali dalam gabungan linear, dan ia mestilah tidak sama dengan sifar).

Konsep pergantungan linear mempunyai tafsiran geometri yang mudah. Tafsiran ini dijelaskan oleh tiga pernyataan berikut.

Teorem 2.2. Dua vektor bergantung secara linear jika dan hanya jika ia kolinear.

◄ Jika vektor a dan b adalah bersandar secara linear, maka salah satu daripadanya, contohnya a, dinyatakan melalui yang lain, i.e. a = λb untuk beberapa nombor nyata λ. Mengikut definisi 1.7 berfungsi vektor dengan nombor, vektor a dan b ialah kolinear.

Sekarang biarkan vektor a dan b adalah kolinear. Jika kedua-duanya adalah sifar, maka jelaslah bahawa ia bergantung secara linear, kerana sebarang kombinasi linear daripadanya adalah sama dengan vektor sifar. Biarkan satu daripada vektor ini tidak sama dengan 0, contohnya vektor b. Nyatakan dengan λ nisbah panjang vektor: λ = |а|/|b|. Vektor kolinear boleh satu arah atau arah bertentangan. Dalam kes kedua, kita menukar tanda λ. Kemudian, menyemak Definisi 1.7, kita melihat bahawa a = λb. Menurut Teorem 2.1, vektor a dan b adalah bersandar secara linear.

Catatan 2.1. Dalam kes dua vektor, dengan mengambil kira kriteria pergantungan linear, teorem yang terbukti boleh dirumuskan semula seperti berikut: dua vektor adalah kolinear jika dan hanya jika salah satu daripadanya diwakili sebagai hasil darab yang lain dengan nombor. Ini adalah kriteria yang mudah untuk kolineariti dua vektor.

Teorem 2.3. Tiga vektor bergantung secara linear jika dan hanya jika mereka coplanar.

◄ Jika tiga vektor a, b, c bersandar secara linear, maka, menurut Teorem 2.1, salah satu daripadanya, sebagai contoh a, ialah gabungan linear yang lain: a = βb + γc. Mari kita gabungkan asal-usul vektor b dan c pada titik A. Kemudian vektor βb, γc akan mempunyai asalan sepunya di titik A dan segi empat selari memerintah jumlah mereka, mereka. vektor a, akan menjadi vektor dengan permulaan A dan tamat, yang merupakan bucu segi empat selari yang dibina pada vektor hasil tambah. Oleh itu, semua vektor terletak pada satah yang sama, iaitu, ia adalah koplanar.

Biarkan vektor a, b, c adalah koplanar. Jika salah satu daripada vektor ini adalah sifar, maka jelas bahawa ia akan menjadi gabungan linear yang lain. Ia cukup untuk mengambil semua pekali gabungan linear sama dengan sifar. Oleh itu, kita boleh menganggap bahawa ketiga-tiga vektor bukan sifar. Serasi mulakan vektor-vektor ini pada titik sepunya O. Biarkan hujungnya, masing-masing, titik A, B, C (Rajah 2.1). Lukis garisan melalui titik C selari dengan garisan yang melalui pasangan titik O, A dan O, B. Menandakan titik persilangan sebagai A" dan B", kita memperoleh segi empat selari OA"CB", oleh itu, OC" = OA" + OB " . Vektor OA" dan vektor bukan sifar a= OA adalah kolinear, dan oleh itu yang pertama daripada mereka boleh diperoleh dengan mendarab kedua dengan nombor nyata α:OA" = αOA. Begitu juga, OB" = βOB , β ∈ R. Hasilnya, kita memperoleh bahawa OC" = α OA + βOB , iaitu vektor c ialah gabungan linear bagi vektor a dan b. Menurut Teorem 2.1, vektor a, b, c adalah bersandar secara linear.

Teorem 2.4. Mana-mana empat vektor adalah bergantung secara linear.

◄ Buktinya mengikut skema yang sama seperti dalam Teorem 2.3. Pertimbangkan empat vektor arbitrari a, b, c dan d. Jika salah satu daripada empat vektor adalah sifar, atau terdapat dua vektor kolinear di antara mereka, atau tiga daripada empat vektor adalah koplanar, maka empat vektor ini adalah bersandar secara linear. Sebagai contoh, jika vektor a dan b adalah kolinear, maka kita boleh menyusun gabungan linearnya αa + βb = 0 dengan pekali bukan sifar, dan kemudian menambah dua vektor yang tinggal pada gabungan ini, dengan mengambil sifar sebagai pekali. Kami mendapat gabungan linear empat vektor bersamaan dengan 0, di mana terdapat pekali bukan sifar.

Oleh itu, kita boleh mengandaikan bahawa antara empat vektor yang dipilih tidak ada yang nol, tiada dua adalah kolinear, dan tiada tiga adalah koplanar. Kami memilih titik O sebagai permulaan biasa mereka. Kemudian hujung vektor a, b, c, d akan menjadi beberapa titik A, B, C, D (Rajah 2.2). Melalui titik D kita lukis tiga satah selari dengan satah ОВС, OCA, OAB, dan biarkan A", B", С" menjadi titik persilangan satah ini dengan garis OA, OB, OS, masing-masing. Kami mendapat selari. OA"C"B"C" B"DA", dan vektor a, b, c terletak pada tepinya yang keluar dari bucu O. Oleh kerana segiempat OC"DC" ialah segiempat selari, maka OD = OC" + OC " . Sebaliknya, segmen OS" ialah segiempat selari pepenjuru OA"C"B", jadi OC" = OA" + OB" , dan OD = OA" + OB" + OC" .

Perlu diingat bahawa pasangan vektor OA ≠ 0 dan OA" , OB ≠ 0 dan OB" , OC ≠ 0 dan OC" adalah kolinear, dan, oleh itu, kita boleh memilih pekali α, β, γ supaya OA" = αOA , OB" = βOB dan OC" = γOC . Akhirnya, kita dapat OD = αOA + βOB + γOC . Akibatnya, vektor OD dinyatakan dalam sebutan tiga vektor yang tinggal, dan keempat-empat vektor, menurut Teorem 2.1, adalah bergantung secara linear.

Sistem vektor dipanggil bergantung secara linear, jika terdapat nombor sedemikian , di antaranya sekurang-kurangnya satu berbeza daripada sifar, bahawa kesamaan https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Jika kesamaan ini hanya berlaku jika semua , maka sistem vektor dipanggil bebas linear.

Teorem. Sistem vektor akan bergantung secara linear jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada vektornya ialah gabungan linear yang lain.

Contoh 1 Polinomial ialah gabungan linear polinomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomial membentuk sistem bebas linear, kerana https polinomial: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Contoh 2 Sistem matriks , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> adalah bebas linear, kerana gabungan linear adalah sama dengan matriks sifar hanya dalam apabila https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> bergantung secara linear.

Keputusan.

Karang gabungan linear vektor ini https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Dengan menyamakan koordinat vektor yang sama dengan nama yang sama, kami mendapat https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Akhirnya kita dapat

dan

Sistem ini mempunyai penyelesaian remeh yang unik, jadi gabungan linear vektor ini adalah sifar hanya jika semua pekali adalah sifar. Oleh itu, sistem vektor ini adalah bebas linear.

Contoh 4 Vektor adalah bebas linear. Apakah yang akan menjadi sistem vektor

a).;

b).?

Keputusan.

a). Susun gabungan linear dan samakannya dengan sifar

Menggunakan sifat operasi dengan vektor dalam ruang linear, kami menulis semula kesamaan terakhir dalam bentuk

Memandangkan vektor adalah bebas linear, pekali untuk mestilah sama dengan sifar, iaitu..gif" width="12" height="23 src=">

Sistem persamaan yang terhasil mempunyai penyelesaian remeh yang unik .

Sejak kesamarataan (*) dilaksanakan hanya di https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – bebas linear;

b). Karang kesamaan https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Menggunakan alasan yang sama, kita dapat

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss, kita perolehi

atau

Sistem terakhir mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Oleh itu, terdapat bukan- sifar set pekali yang kesamaan (**) . Oleh itu, sistem vektor adalah bergantung secara linear.

Contoh 5 Sistem vektor adalah bebas linear dan sistem vektor bergantung secara linear..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Dalam kesamarataan (***) . Sesungguhnya, untuk , sistem akan bergantung secara linear.

Daripada perhubungan (***) kita mendapatkan atau Menandakan .

Dapatkan

Tugas untuk penyelesaian bebas (dalam bilik darjah)

1. Sistem yang mengandungi vektor sifar adalah bergantung secara linear.

2. Sistem vektor tunggal a, adalah bergantung secara linear jika dan hanya jika, a=0.

3. Sistem yang terdiri daripada dua vektor adalah bersandar secara linear jika dan hanya jika vektor adalah berkadar (iaitu, satu daripadanya diperoleh daripada yang lain dengan mendarab dengan nombor).

4. Jika vektor ditambah kepada sistem bersandar linear, maka sistem bersandar linear diperoleh.

5. Jika vektor dialih keluar daripada sistem bebas linear, maka sistem vektor yang terhasil adalah bebas linear.

6. Jika sistem S bebas linear, tetapi menjadi bergantung secara linear apabila vektor ditambah b, kemudian vektor b dinyatakan secara linear dari segi vektor sistem S.

c). Sistem matriks , , dalam ruang matriks tertib kedua.

10. Biarkan sistem vektor a,b,c ruang vektor adalah bebas secara linear. Buktikan kebebasan linear sistem vektor berikut:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nombor sewenang-wenangnya

c).a+b, a+c, b+c.

11. Biarkan a,b,c ialah tiga vektor dalam satah yang boleh digunakan untuk membentuk segi tiga. Adakah vektor ini bergantung secara linear?

12. Diberi dua vektor a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Ambil dua lagi vektor 4D a3 dana4 supaya sistem a1,a2,a3,a4 adalah bebas secara linear .

Kebergantungan linear dan kebebasan linear bagi vektor.
Asas vektor. Sistem koordinat Affine

Terdapat troli dengan coklat di khalayak, dan hari ini setiap pelawat akan mendapat pasangan manis - geometri analitik dengan algebra linear. Artikel ini akan menyentuh dua bahagian matematik yang lebih tinggi sekali gus, dan kita akan melihat bagaimana ia bergaul dalam satu pembalut. Rehat, makan Twix! ... sial, baik, berdebat bukan-bukan. Walaupun okay, saya tidak akan skor, akhirnya, perlu ada sikap positif untuk belajar.

Kebergantungan linear bagi vektor, kebebasan linear bagi vektor, asas vektor dan istilah lain bukan sahaja mempunyai tafsiran geometri, tetapi, di atas semua, makna algebra. Konsep "vektor" dari sudut pandangan algebra linear adalah jauh daripada selalunya vektor "biasa" yang boleh kita gambarkan pada satah atau di angkasa. Anda tidak perlu melihat jauh untuk mendapatkan bukti, cuba lukis vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca, yang mana saya baru sahaja pergi ke Gismeteo: - suhu dan tekanan atmosfera, masing-masing. Contoh, tentu saja, tidak betul dari sudut pandangan sifat ruang vektor, tetapi, bagaimanapun, tiada siapa yang melarang memformalkan parameter ini sebagai vektor. Nafas musim luruh...

Tidak, saya tidak akan membosankan anda dengan teori, ruang vektor linear, tugasnya ialah faham definisi dan teorem. Istilah baharu (bergantung linear, bebas, gabungan linear, asas, dll.) boleh digunakan untuk semua vektor dari sudut algebra, tetapi contoh akan diberikan secara geometri. Oleh itu, semuanya mudah, boleh diakses dan visual. Sebagai tambahan kepada masalah geometri analitik, kami juga akan mempertimbangkan beberapa tugas tipikal algebra. Untuk menguasai bahan, adalah dinasihatkan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka dan Bagaimana untuk mengira penentu?

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor satah.
Dasar satah dan sistem koordinat affine

Pertimbangkan satah meja komputer anda (hanya meja, meja sisi katil, lantai, siling, apa sahaja yang anda suka). Tugas itu akan terdiri daripada tindakan berikut:

1) Pilih asas satah. Secara kasarnya, permukaan meja mempunyai panjang dan lebar, jadi secara intuitif jelas bahawa dua vektor diperlukan untuk membina asas. Satu vektor jelas tidak mencukupi, tiga vektor terlalu banyak.

2) Berdasarkan asas yang dipilih tetapkan sistem koordinat(grid koordinat) untuk menetapkan koordinat kepada semua item di atas meja.

Jangan terkejut, pada mulanya penjelasan akan di jari. Lebih-lebih lagi, pada anda. Sila letak jari telunjuk tangan kiri di tepi meja supaya dia melihat monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang letak jari kelingking tangan kanan di pinggir meja dengan cara yang sama - supaya ia diarahkan pada skrin monitor. Ini akan menjadi vektor. Senyum, awak nampak hebat! Apa yang boleh dikatakan tentang vektor? Vektor Data kolinear, yang bermaksud secara linear dinyatakan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , di manakah nombor bukan sifar.

Anda boleh melihat gambar tindakan ini dalam pelajaran. Vektor untuk boneka, di mana saya menerangkan peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor.

Adakah jari anda akan menetapkan asas pada satah meja komputer? Jelas sekali tidak. Vektor kolinear bergerak ke sana ke mari bersendirian arah, manakala satah mempunyai panjang dan lebar.

Vektor sedemikian dipanggil bergantung secara linear.

Rujukan: Perkataan "linear", "linear" menunjukkan fakta bahawa tiada kuasa dua, kubus, kuasa lain, logaritma, sinus, dsb. dalam persamaan matematik, ungkapan. Terdapat hanya ungkapan linear (darjah 1) dan kebergantungan.

Dua vektor satah bergantung secara linear jika dan hanya jika ia adalah kolinear.

Silangkan jari anda di atas meja supaya terdapat sebarang sudut di antara mereka kecuali 0 atau 180 darjah. Dua vektor satahsecara linear bukan adalah bergantung jika dan hanya jika ia bukan kolinear. Jadi, asas diterima. Tidak perlu malu bahawa asasnya ternyata "serong" dengan vektor tidak tegak dengan pelbagai panjang. Tidak lama lagi kita akan melihat bahawa bukan sahaja sudut 90 darjah sesuai untuk pembinaannya, dan bukan sahaja vektor unit yang sama panjang

mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara diperluas dari segi asas:
, di manakah nombor nyata . Nombor dipanggil koordinat vektor dalam asas ini.

Mereka juga berkata demikian vektordibentangkan dalam borang gabungan linear vektor asas. Iaitu, ungkapan itu dipanggil penguraian vektorasas atau gabungan linear vektor asas.

Sebagai contoh, seseorang boleh mengatakan bahawa vektor dikembangkan dalam asas ortonormal satah, atau seseorang boleh mengatakan bahawa ia diwakili sebagai gabungan linear vektor.

Jom rumuskan definisi asas secara rasmi: asas kapal terbang ialah sepasang vektor bebas linear (bukan kolinear), , di mana mana-mana vektor satah ialah gabungan linear bagi vektor asas.

Perkara penting dalam definisi ialah fakta bahawa vektor diambil dalam susunan tertentu. pangkalan Ini adalah dua pangkalan yang sama sekali berbeza! Seperti yang mereka katakan, jari kelingking tangan kiri tidak boleh digerakkan ke tempat jari kelingking tangan kanan.

Kami mengetahui asasnya, tetapi ia tidak mencukupi untuk menetapkan grid koordinat dan menetapkan koordinat kepada setiap item di meja komputer anda. Kenapa tak cukup? Vektor adalah percuma dan berkeliaran di seluruh pesawat. Jadi bagaimana anda menetapkan koordinat kepada titik-titik kecil meja kotor yang tinggal dari hujung minggu yang liar? Titik permulaan diperlukan. Dan titik rujukan sedemikian adalah titik yang biasa kepada semua orang - asal usul koordinat. Memahami sistem koordinat:

Saya akan mulakan dengan sistem "sekolah". Sudah dalam pelajaran pengenalan Vektor untuk boneka Saya menyerlahkan beberapa perbezaan antara sistem koordinat segi empat tepat dan asas ortonormal. Berikut adalah gambar standard:

Apabila bercakap tentang sistem koordinat segi empat tepat, maka selalunya ia bermaksud asal, koordinat paksi dan skala di sepanjang paksi. Cuba taip "sistem koordinat segi empat tepat" dalam enjin carian, dan anda akan melihat bahawa banyak sumber akan memberitahu anda tentang paksi koordinat yang biasa dari gred 5-6 dan cara merancang titik pada satah.

Sebaliknya, seseorang mendapat tanggapan bahawa sistem koordinat segi empat tepat boleh ditakrifkan dengan baik dari segi asas ortonormal. Dan ia hampir. Kata-katanya seperti ini:

asal usul, dan ortonormal set asas Sistem koordinat Cartesan satah . Iaitu, sistem koordinat segi empat tepat pasti ditakrifkan oleh satu titik dan dua unit vektor ortogon. Itulah sebabnya, anda melihat lukisan yang saya berikan di atas - dalam masalah geometri, kedua-dua vektor dan paksi koordinat sering (tetapi jauh dari selalu) dilukis.

Saya rasa semua orang faham bahawa dengan bantuan titik (asal) dan asas ortonormal SEBARANG TITIK pesawat dan SEBARANG VEKTOR pesawat koordinat boleh diberikan. Secara kiasan, "segala-galanya di dalam pesawat boleh dinomborkan."

Adakah vektor koordinat mestilah unit? Tidak, mereka boleh mempunyai panjang bukan sifar sewenang-wenangnya. Pertimbangkan satu titik dan dua vektor ortogon dengan panjang bukan sifar arbitrari:

Asas sedemikian dipanggil ortogon. Asal koordinat dengan vektor mentakrifkan grid koordinat, dan mana-mana titik satah, mana-mana vektor mempunyai koordinat sendiri dalam asas yang diberikan. Sebagai contoh, atau. Kesulitan yang jelas ialah vektor koordinat secara umum mempunyai panjang yang berbeza selain daripada kesatuan. Jika panjangnya sama dengan satu, maka asas ortonormal biasa diperolehi.

! Nota : dalam asas ortogon, serta di bawah dalam pangkalan afin pada satah dan ruang, unit di sepanjang paksi dianggap BERSYARAT. Sebagai contoh, satu unit pada absis mengandungi 4 cm, satu unit pada ordinat mengandungi 2 cm. Maklumat ini cukup untuk menukar koordinat "tidak standard" kepada "sentimeter biasa kami" jika perlu.

Dan soalan kedua, yang sebenarnya telah dijawab - adakah sudut antara vektor asas semestinya sama dengan 90 darjah? Tidak! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor asas mestilah hanya bukan kolinear. Oleh itu, sudut boleh menjadi apa-apa kecuali 0 dan 180 darjah.

Satu titik di kapal terbang dipanggil asal usul, dan bukan kolinear vektor, , set sistem koordinat affine pesawat :

Kadangkala sistem koordinat ini dipanggil serong sistem. Titik dan vektor ditunjukkan sebagai contoh dalam lukisan:

Seperti yang anda fahami, sistem koordinat affine adalah kurang mudah, formula untuk panjang vektor dan segmen, yang kami pertimbangkan dalam bahagian kedua pelajaran, tidak berfungsi di dalamnya. Vektor untuk boneka, banyak formula lazat berkaitan dengan hasil darab skalar bagi vektor. Tetapi peraturan untuk menambah vektor dan mendarabkan vektor dengan nombor adalah sah, formula untuk membahagikan segmen dalam hal ini, serta beberapa jenis masalah lain yang akan kami pertimbangkan tidak lama lagi.

Dan kesimpulannya ialah kes tertentu yang paling mudah bagi sistem koordinat affine ialah sistem segi empat tepat Cartesian. Oleh itu, dia, miliknya, paling kerap perlu dilihat. ... Walau bagaimanapun, segala-galanya dalam kehidupan ini adalah relatif - terdapat banyak situasi di mana ia sesuai untuk mempunyai serong (atau yang lain, sebagai contoh, polar) sistem koordinat. Ya, dan humanoid sistem sedemikian mungkin terasa =)

Mari kita beralih ke bahagian praktikal. Semua masalah dalam pelajaran ini adalah sah untuk sistem koordinat segi empat tepat dan untuk kes afin am. Tidak ada yang rumit di sini, semua bahan tersedia walaupun untuk budak sekolah.

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor satah?

Perkara biasa. Untuk dua vektor satah adalah kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa koordinat masing-masing adalah berkadar.Pada asasnya, ini ialah penghalusan koordinat demi koordinat bagi perhubungan yang jelas .

Contoh 1

a) Periksa sama ada vektor adalah kolinear .
b) Adakah vektor membentuk asas? ?

Keputusan:
a) Ketahui sama ada wujud untuk vektor pekali perkadaran, supaya kesamaan dipenuhi:

Saya pasti akan memberitahu anda tentang versi "foppish" aplikasi peraturan ini, yang berfungsi dengan baik dalam amalan. Ideanya adalah untuk segera membuat perkadaran dan melihat sama ada ia betul:

Mari kita buat perkadaran daripada nisbah koordinat vektor yang sepadan:

Kami memendekkan:
, oleh itu koordinat yang sepadan adalah berkadar, oleh itu,

Hubungan itu boleh dibuat dan sebaliknya, ini adalah pilihan yang setara:

Untuk ujian kendiri, seseorang boleh menggunakan fakta bahawa vektor kolinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. Dalam kes ini, terdapat persamaan . Kesahihannya boleh disemak dengan mudah melalui operasi asas dengan vektor:

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Kami memeriksa vektor untuk keselarasan . Mari buat sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , daripada persamaan kedua ia mengikuti bahawa , yang bermaksud, sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, koordinat vektor yang sepadan adalah tidak berkadar.

Pengeluaran: vektor adalah bebas linear dan membentuk asas.

Versi ringkas penyelesaian kelihatan seperti ini:

Susun perkadaran daripada koordinat vektor yang sepadan :
, oleh itu, vektor ini bebas secara linear dan membentuk asas.

Biasanya penyemak tidak menolak pilihan ini, tetapi masalah timbul dalam kes di mana beberapa koordinat bersamaan dengan sifar. seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana untuk bekerja melalui perkadaran di sini? (Sungguh, anda tidak boleh membahagi dengan sifar). Atas sebab inilah saya memanggil penyelesaian yang dipermudahkan "foppish".

Jawapan: a) , b) bentuk.

Contoh kreatif kecil untuk penyelesaian bebas:

Contoh 2

Pada nilai berapa vektor parameter akan menjadi kolinear?

Dalam larutan sampel, parameter ditemui melalui perkadaran.

Terdapat cara algebra yang elegan untuk menyemak vektor untuk keselarasan. Mari kita sistematikkan pengetahuan kita dan hanya menambahnya sebagai titik kelima:

Bagi dua vektor satah, pernyataan berikut adalah setara:

2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan kolinear;

+ 5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah bukan sifar.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut adalah setara:
1) vektor bergantung secara linear;
2) vektor tidak membentuk asas;
3) vektor adalah kolinear;
4) vektor boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
+ 5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah sama dengan sifar.

Saya sangat-sangat berharap bahawa pada masa ini anda sudah memahami semua terma dan kenyataan yang telah ditemui.

Mari kita lihat lebih dekat pada perkara baharu, kelima: dua vektor satah adalah kolinear jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar:. Untuk menggunakan ciri ini, sudah tentu, anda perlu boleh cari penentu.

Kami akan membuat keputusan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Kirakan penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor :
, jadi vektor ini adalah kolinear.

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Mari kita mengira penentu yang terdiri daripada koordinat vektor :
, maka vektor adalah bebas linear dan membentuk asas.

Jawapan: a) , b) bentuk.

Ia kelihatan lebih padat dan lebih cantik daripada penyelesaian dengan perkadaran.

Dengan bantuan bahan yang dipertimbangkan, adalah mungkin untuk menubuhkan bukan sahaja kolinearitas vektor, tetapi juga untuk membuktikan keselarian segmen, garis lurus. Pertimbangkan beberapa masalah dengan bentuk geometri tertentu.

Contoh 3

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa sisi empat ialah segi empat selari.

Bukti: Tidak perlu membina lukisan dalam masalah itu, kerana penyelesaiannya adalah analitikal semata-mata. Ingat takrif segiempat selari:
segi empat selari Segiempat dipanggil, di mana sisi bertentangan adalah selari berpasangan.

Oleh itu, adalah perlu untuk membuktikan:
1) keselarian sisi bertentangan dan;
2) keselarian sisi bertentangan dan .

Kami buktikan:

1) Cari vektor:

2) Cari vektor:

Hasilnya ialah vektor yang sama ("mengikut sekolah" - vektor yang sama). Kolineariti agak jelas, tetapi lebih baik untuk membuat keputusan dengan betul, dengan susunannya. Kirakan penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor:
, jadi vektor ini adalah kolinear, dan .

Pengeluaran: Sisi bertentangan bagi segiempat adalah selari berpasangan, jadi ia adalah segiempat selari mengikut takrifan. Q.E.D.

Angka yang lebih baik dan berbeza:

Contoh 4

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa sisi empat ialah trapezium.

Untuk rumusan bukti yang lebih ketat, lebih baik, sudah tentu, untuk mendapatkan definisi trapezoid, tetapi cukup untuk mengingati rupanya.

Ini adalah tugas untuk keputusan bebas. Penyelesaian lengkap pada akhir pelajaran.

Dan kini tiba masanya untuk perlahan-lahan bergerak dari pesawat ke angkasa:

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor ruang?

Peraturannya sangat serupa. Untuk dua vektor ruang menjadi kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa koordinat sepadannya berkadar dengan.

Contoh 5

Ketahui sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:

a) ;
b)
dalam)

Keputusan:
a) Semak sama ada terdapat pekali perkadaran untuk koordinat vektor yang sepadan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud vektor bukan kolinear.

"Diringkaskan" dibuat dengan menyemak perkadaran. Dalam kes ini:
– koordinat yang sepadan tidak berkadar, yang bermaksud bahawa vektor tidak kolinear.

Jawapan: vektor bukan kolinear.

b-c) Ini adalah mata untuk keputusan bebas. Cubalah dalam dua cara.

Terdapat kaedah untuk menyemak vektor spatial untuk keselarasan dan melalui penentu tertib ketiga, kaedah ini diliputi dalam artikel Hasil silang vektor.

Begitu juga dengan kes satah, alat yang dipertimbangkan boleh digunakan untuk mengkaji keselarian segmen dan garisan ruang.

Selamat datang ke bahagian kedua:

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor ruang tiga dimensi.
Sistem koordinat asas ruang dan affine

Banyak ketetapan yang telah kami pertimbangkan di dalam pesawat juga akan sah untuk ruang angkasa. Saya cuba meminimumkan ringkasan teori, kerana bahagian terbesar maklumat telah dikunyah. Walau bagaimanapun, saya mengesyorkan agar anda membaca dengan teliti bahagian pengenalan, kerana istilah dan konsep baharu akan muncul.

Sekarang, bukannya satah meja komputer, mari kita periksa ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat asasnya. Seseorang kini berada di dalam rumah, seseorang berada di luar rumah, tetapi dalam apa jua keadaan, kita tidak boleh lari daripada tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh itu, tiga vektor spatial diperlukan untuk membina asas. Satu atau dua vektor tidak mencukupi, yang keempat adalah berlebihan.

Dan sekali lagi kami memanaskan pada jari. Sila angkat tangan anda dan bentangkan ke arah yang berbeza ibu jari, telunjuk dan jari tengah. Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeza, mempunyai panjang yang berbeza dan mempunyai sudut yang berbeza antara mereka. Tahniah, asas ruang tiga dimensi sudah siap! By the way, anda tidak perlu menunjukkan perkara ini kepada guru, tidak kira bagaimana anda memutar jari anda, tetapi anda tidak boleh lari daripada definisi =)

Seterusnya, kami bertanya satu soalan penting, sama ada mana-mana tiga vektor membentuk asas ruang tiga dimensi? Sila tekan tiga jari dengan kuat pada bahagian atas meja komputer. Apa yang berlaku? Tiga vektor terletak dalam satah yang sama, dan, secara kasarnya, kami telah kehilangan salah satu ukuran - ketinggian. Vektor tersebut adalah coplanar dan, agak jelas, asas ruang tiga dimensi tidak dicipta.

Perlu diingatkan bahawa vektor coplanar tidak perlu terletak dalam satah yang sama, mereka boleh berada dalam satah selari (jangan lakukan ini dengan jari anda, hanya Salvador Dali yang terkeluar seperti itu =)).

Definisi: vektor dipanggil coplanar jika wujud satah yang selari dengannya. Di sini adalah logik untuk menambah bahawa jika satah sedemikian tidak wujud, maka vektor tidak akan menjadi koplanar.

Tiga vektor koplanar sentiasa bergantung secara linear, iaitu, mereka dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. Untuk kesederhanaan, sekali lagi bayangkan bahawa mereka terletak dalam satah yang sama. Pertama, vektor bukan sahaja koplanar, tetapi juga boleh menjadi kolinear, maka sebarang vektor boleh dinyatakan melalui mana-mana vektor. Dalam kes kedua, jika, sebagai contoh, vektor bukan kolinear, maka vektor ketiga dinyatakan melaluinya dengan cara yang unik: (dan mengapa mudah diteka dari bahan bahagian sebelumnya).

Begitu juga sebaliknya: tiga vektor bukan koplanar sentiasa bebas linear, iaitu, mereka sama sekali tidak dinyatakan melalui satu sama lain. Dan, jelas sekali, hanya vektor sedemikian boleh membentuk asas ruang tiga dimensi.

Definisi: Asas ruang tiga dimensi dipanggil tiga kali ganda vektor bebas linear (bukan koplanar), diambil mengikut susunan tertentu, manakala sebarang vektor ruang satu-satunya cara mengembang dalam asas yang diberikan , di manakah koordinat vektor dalam asas yang diberikan

Sebagai peringatan, anda juga boleh mengatakan bahawa vektor diwakili sebagai gabungan linear vektor asas.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang sama seperti untuk kes satah, satu titik dan mana-mana tiga vektor bebas linear adalah mencukupi:

asal usul, dan bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan tertentu, set sistem koordinat affine bagi ruang tiga dimensi :

Sudah tentu, grid koordinat adalah "serong" dan menyusahkan, tetapi, bagaimanapun, sistem koordinat yang dibina membolehkan kita pasti tentukan koordinat mana-mana vektor dan koordinat mana-mana titik dalam ruang. Sama seperti pesawat, dalam sistem koordinat affine ruang, beberapa formula yang telah saya nyatakan tidak akan berfungsi.

Kes khas yang paling biasa dan mudah untuk sistem koordinat affine, seperti yang semua orang boleh meneka, ialah sistem koordinat ruang segi empat tepat:

titik dalam ruang dipanggil asal usul, dan ortonormal set asas Sistem koordinat Cartesan ruang . gambar biasa:

Sebelum meneruskan tugas praktikal, kami menyusun semula maklumat:

Bagi tiga vektor ruang, pernyataan berikut adalah setara:
1) vektor adalah bebas linear;
2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan coplanar;
4) vektor tidak boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah berbeza daripada sifar.

Kenyataan bertentangan, saya fikir, boleh difahami.

Kebergantungan linear / kebebasan vektor ruang secara tradisional disemak menggunakan penentu (item 5). Tugas praktikal yang selebihnya akan bersifat algebra yang jelas. Sudah tiba masanya untuk menggantung kayu geometri pada paku dan menggunakan kayu besbol algebra linear:

Tiga vektor ruang adalah koplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar: .

Saya menarik perhatian anda kepada nuansa teknikal yang kecil: koordinat vektor boleh ditulis bukan sahaja dalam lajur, tetapi juga dalam baris (nilai penentu tidak akan berubah dari ini - lihat sifat penentu). Tetapi ia lebih baik dalam lajur, kerana ia lebih bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa masalah praktikal.

Bagi pembaca yang terlupa sedikit kaedah untuk mengira penentu, atau mungkin mereka tidak berorientasikan sama sekali, saya mengesyorkan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana untuk mengira penentu?

Contoh 6

Semak sama ada vektor berikut membentuk asas ruang tiga dimensi:

Keputusan: Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian datang kepada pengiraan penentu.

a) Kira penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor (penentu dikembangkan pada baris pertama):

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bebas secara linear (bukan coplanar) dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

Jawab: vektor ini membentuk asas

b) Ini adalah titik untuk keputusan bebas. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Terdapat juga tugas kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter apakah vektor akan menjadi koplanar?

Keputusan: Vektor adalah coplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar:

Pada asasnya, ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan dengan penentu. Kami terbang ke sifar seperti layang-layang ke jerboas - paling menguntungkan untuk membuka penentu di baris kedua dan segera menyingkirkan tolak:

Kami menjalankan penyederhanaan selanjutnya dan mengurangkan perkara itu kepada persamaan linear termudah:

Jawab: pada

Ia adalah mudah untuk menyemak di sini, untuk ini anda perlu menggantikan nilai yang terhasil ke dalam penentu asal dan pastikan bahawa dengan membukanya semula.

Kesimpulannya, mari kita pertimbangkan satu lagi masalah tipikal, yang lebih bersifat algebra dan secara tradisinya termasuk dalam perjalanan algebra linear. Ia adalah perkara biasa sehingga ia memerlukan topik yang berasingan:

Buktikan bahawa 3 vektor membentuk asas bagi ruang tiga dimensi
dan cari koordinat bagi vektor ke-4 dalam asas yang diberi

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas ruang tiga dimensi dan cari koordinat vektor dalam asas ini.

Keputusan: Kita uruskan dulu syaratnya. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang anda lihat, mereka sudah mempunyai koordinat dalam beberapa asas. Apa asasnya - kami tidak berminat. Dan perkara berikut adalah menarik: tiga vektor mungkin membentuk asas baharu. Dan langkah pertama adalah sama sekali dengan penyelesaian Contoh 6, adalah perlu untuk memeriksa sama ada vektor benar-benar bebas linear:

Kirakan penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor:

, maka vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

! Penting : koordinat vektor semestinya menulis ke dalam lajur penentu, bukan rentetan. Jika tidak, akan berlaku kekeliruan dalam algoritma penyelesaian selanjutnya.