Persamaan linear dengan tiga tidak diketahui. Menyelesaikan persamaan dengan tiga perkara yang tidak diketahui dalam matematik

Sistem persamaan linear ialah satu set beberapa yang dipertimbangkan bersama persamaan linear.

Sistem boleh mempunyai sebarang bilangan persamaan dengan bilangan yang tidak diketahui.

Penyelesaian kepada sistem persamaan ialah satu set nilai yang tidak diketahui yang memenuhi semua persamaan sistem, iaitu, mengubahnya menjadi identiti.

Sistem yang mempunyai penyelesaian dipanggil konsisten; jika tidak, ia dipanggil tidak konsisten.

Pelbagai kaedah digunakan untuk menyelesaikan sistem.

biarlah
(bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui).

Kaedah Cramer

Mari kita pertimbangkan penyelesaiannya sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:

(7)

Untuk mencari yang tidak diketahui
Mari gunakan formula Cramer:

(8)

di mana - penentu sistem, unsur-unsurnya adalah pekali yang tidak diketahui:

diperoleh dengan menggantikan lajur pertama penentu ruangan ahli percuma:

Begitu juga:

;
.

Contoh 1. Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer:

Penyelesaian: Mari kita gunakan formula (8):

;

Jawapan:
.

Untuk sebarang sistem persamaan linear dengan yang tidak diketahui boleh dinyatakan:

Penyelesaian matriks

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan sistem (7) bagi tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui menggunakan kaedah matriks.

Dengan menggunakan peraturan pendaraban matriks, sistem persamaan ini boleh ditulis sebagai:
, Di mana

Biarkan matriks tidak merosot, i.e.
. Mendarab kedua-dua belah persamaan matriks di sebelah kiri dengan matriks
, songsangan matriks , kita mendapatkan:
.

Mempertimbangkan itu
, kita ada

(9)

Contoh 2. Selesaikan sistem menggunakan kaedah matriks:

Penyelesaian: Mari kita perkenalkan matriks:

- daripada pekali yang tidak diketahui;

- ruangan ahli percuma.

Kemudian sistem boleh ditulis sebagai persamaan matriks:
.

Mari gunakan formula (9). Mari cari matriks songsang
mengikut formula (6):

;

Oleh itu,

mendapat:

Jawapan:
.

Kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui (kaedah Gauss)

Idea utama kaedah yang digunakan adalah untuk menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan. Mari kita terangkan maksud kaedah ini pada sistem tiga persamaan dengan tiga perkara yang tidak diketahui:

Mari kita anggap itu
(Jika
, maka kita menukar susunan persamaan, memilih sebagai persamaan pertama yang di mana pekali pada tidak sama dengan sifar).

Langkah pertama: a) bahagikan persamaan
pada
; b) darab persamaan yang terhasil dengan
dan tolak daripada
; c) kemudian darab hasilnya dengan
dan tolak daripada
. Hasil daripada langkah pertama kita akan mempunyai sistem:

Langkah kedua: kita berurusan dengan persamaan
Dan
betul-betul sama dengan persamaan
.

Akibatnya, sistem asal diubah menjadi bentuk yang dipanggil langkah demi langkah:

Daripada sistem yang diubah, semua yang tidak diketahui ditentukan secara berurutan tanpa kesukaran.

Komen. Dalam amalan, adalah lebih mudah untuk mengurangkan kepada bentuk langkah demi langkah bukan sistem persamaan itu sendiri, tetapi matriks pekali, tidak diketahui dan istilah bebas.

Contoh 3. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:

Kami akan menulis peralihan dari satu matriks ke yang lain menggunakan tanda kesetaraan ~.

~
~
~
~

~
.

Menggunakan matriks yang terhasil, kami menulis sistem yang diubah:

Jawapan:
.

Nota: Jika sistem mempunyai penyelesaian yang unik, maka sistem langkah dikurangkan kepada satu segi tiga, iaitu, kepada satu di mana persamaan terakhir akan mengandungi satu yang tidak diketahui. Dalam kes sistem yang tidak pasti, iaitu sistem yang bilangannya tidak diketahui lebih banyak nombor persamaan bebas linear, tidak akan ada sistem segi tiga, kerana persamaan terakhir akan mengandungi lebih daripada satu yang tidak diketahui (sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga). Apabila sistem tidak konsisten, maka, selepas mengurangkannya kepada bentuk berperingkat, ia akan mengandungi sekurang-kurangnya satu nilai bentuk
, iaitu persamaan di mana semua yang tidak diketahui mempunyai pekali sifar, dan bahagian kanan adalah berbeza daripada sifar (sistem tidak mempunyai penyelesaian). Kaedah Gauss boleh digunakan untuk sistem persamaan linear arbitrari (untuk mana-mana
Dan ).

Teorem kewujudan untuk penyelesaian kepada sistem persamaan linear

Apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gaussian, jawapan kepada soalan sama ada sistem ini serasi atau tidak konsisten boleh diberikan hanya pada penghujung pengiraan. Walau bagaimanapun, selalunya penting untuk menyelesaikan persoalan keserasian atau ketidakserasian sistem persamaan tanpa mencari penyelesaian sendiri. Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Kronecker-Capelli berikut.

Biar sistem diberikan
persamaan linear dengan tidak diketahui:

(10)

Agar sistem (10) konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks sistem

adalah sama dengan pangkat matriks lanjutannya

Lebih-lebih lagi, jika
, maka sistem (10) mempunyai penyelesaian yang unik; jika
, maka sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Pertimbangkan sistem homogen (semua sebutan bebas adalah sama dengan sifar) persamaan linear:

Sistem ini sentiasa konsisten kerana ia mempunyai penyelesaian sifar.

Teorem berikut memberikan keadaan di mana sistem juga mempunyai penyelesaian selain sifar.

Terema. Untuk sistem homogen persamaan garis mempunyai penyelesaian sifar, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentunya adalah sama dengan sifar:

Justeru, jika
, maka penyelesaiannya adalah satu-satunya. Jika
, maka terdapat bilangan tak terhingga bagi penyelesaian bukan sifar yang lain. Mari kita nyatakan salah satu cara untuk mencari penyelesaian bagi sistem homogen bagi tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui dalam kes itu.
.

Boleh dibuktikan sekiranya
, dan persamaan pertama dan kedua adalah tidak seimbang (bebas linear), maka persamaan ketiga adalah akibat daripada dua yang pertama. Penyelesaian sistem homogen bagi tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui dikurangkan kepada penyelesaian dua persamaan dengan tiga tidak diketahui. Apa yang dipanggil tidak diketahui percuma muncul, yang mana nilai sewenang-wenangnya boleh diberikan.

Contoh 4. Cari semua penyelesaian sistem:

Penyelesaian. Penentu sistem ini

Oleh itu, sistem mempunyai penyelesaian sifar. Anda boleh perhatikan bahawa dua persamaan pertama, sebagai contoh, tidak berkadar, oleh itu, ia adalah bebas secara linear. Yang ketiga adalah akibat daripada dua yang pertama (ternyata jika anda menambah dua kali kedua pada persamaan pertama). Menolaknya, kami memperoleh sistem dua persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Dengan mengandaikan, sebagai contoh,
, kita mendapatkan

Menyelesaikan sistem dua persamaan linear, kami ungkapkan Dan melalui :
. Oleh itu, penyelesaian kepada sistem boleh ditulis sebagai:
, Di mana - nombor sewenang-wenangnya.

Contoh 5. Cari semua penyelesaian sistem:

Penyelesaian. Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam sistem ini hanya terdapat satu persamaan bebas (dua yang lain adalah berkadar dengannya). Sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui telah dikurangkan kepada satu persamaan dengan tiga tidak diketahui. Dua yang tidak diketahui percuma muncul. Mencari, sebagai contoh, daripada persamaan pertama
untuk sewenang-wenangnya Dan , kami memperoleh penyelesaian kepada sistem ini. Bentuk umum penyelesaian boleh ditulis, di mana Dan - nombor sewenang-wenangnya.

Soalan ujian kendiri

Rumuskan peraturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tidak diketahui.

Apakah intipati kaedah matriks penyelesaian sistem?

Apakah kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?

Nyatakan teorem Kronecker-Capelli.

Merumuskan syarat yang perlu dan mencukupi untuk kewujudan penyelesaian bukan sifar kepada sistem persamaan linear homogen.

Contoh untuk penyelesaian diri

Cari semua penyelesaian sistem:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Tentukan pada nilai apa Dan sistem persamaan

a) mempunyai penyelesaian yang unik;

b) tidak mempunyai penyelesaian;

c) mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

16.
; 17.
;

Cari semua penyelesaian sistem homogen berikut:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Jawapan kepada contoh

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- nombor sewenang-wenangnya.

6.
, Di mana - nombor sewenang-wenangnya.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Di mana - nombor sewenang-wenangnya.

12. , di mana Dan - nombor sewenang-wenangnya.

13.
; 14.
di mana Dan - nombor sewenang-wenangnya.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., di mana - nombor sewenang-wenangnya.

21. , di mana - nombor sewenang-wenangnya.

22. , di mana - nombor sewenang-wenangnya.

23. , di mana Dan - nombor sewenang-wenangnya.

Kami menyusun penentu utama untuk sistem

dan mengiranya.

Kemudian kami menyusun penentu tambahan

dan mengira mereka.

Mengikut peraturan Cramer, penyelesaian kepada sistem didapati menggunakan formula

;
;
, Jika

Mari kita kira:

Menggunakan formula Cramer kami dapati:

Jawapan: (1; 2; 3)

Mari kita kira:

Sejak penentu utama
, dan sekurang-kurangnya satu tambahan tidak sama dengan sifar (dalam kes kami
), maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Mari kita kira:

Oleh kerana semua penentu adalah sama dengan sifar, sistem mempunyai set tak terhingga penyelesaian yang boleh didapati seperti ini

Selesaikan sistem sendiri:

A)
b)

Jawapan: a) (1; 2; 5) b) ;;

Pelajaran praktikal No. 3 mengenai topik:

Hasil darab titik dua vektor dan penggunaannya

1. Jika diberi
Dan
, Itu produk skalar kita dapati dengan formula:

∙

2. Jika, maka hasil darab skalar bagi kedua-dua vektor ini didapati dengan formula

1. Diberi dua vektor
Dan

Kami mendapati produk skalar mereka seperti berikut:

2. Dua vektor diberikan:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Produk skalar didapati seperti ini:

3.
,

3.1 Mencari kerja daya malar pada keratan lurus laluan

1) Di bawah pengaruh daya 15 N, jasad itu bergerak dalam garis lurus sejauh 2 meter. Sudut antara daya dan arah pergerakan =60 0. Kira kerja yang dilakukan oleh daya untuk menggerakkan jasad.

Diberi:

Penyelesaian:

2) Diberi:

Penyelesaian:

3) Sebuah jasad bergerak dari titik M(1; 2; 3) ke titik N(5; 4; 6) di bawah pengaruh daya 60 N. Sudut antara arah daya dan vektor sesaran =45 0. Kira kerja yang dilakukan oleh daya ini.

Penyelesaian: cari vektor anjakan

Mencari modul vektor anjakan:

Mengikut formula
mencari pekerjaan:

3.2 Menentukan keortogonan dua vektor

Dua vektor adalah ortogon jika
, itu dia

kerana

- bukan ortogon

–ortogon

3) Tentukan pada apa  vektor
Dan
saling ortogon.

Kerana
, Itu
, Bermaksud

Tentukan sendiri:

. Cari produk skalar mereka.

b) Kira berapa banyak kerja yang dihasilkan oleh daya itu
, jika titik aplikasinya, bergerak secara rectilinear, telah berpindah dari titik M (5; -6; 1) ke titik N (1; -2; 3)

c) Tentukan sama ada vektor adalah ortogon
Dan

Jawapan: a) 1 b) 16 c) ya

3.3 Mencari sudut antara vektor

. Cari .

Kita dapati

gantikan ke dalam formula:

1). Diberi ialah bucu bagi segi tiga A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Cari sudut di bucu A.

Mari kita masukkan ke dalam formula:

Tentukan sendiri:

Diberi ialah bucu bagi segi tiga A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). takrifkan sudut dalaman di bahagian atas A.

Jawapan: 90 o

Pelajaran praktikal No. 4 mengenai topik:

PRODUK VEKTOR DUA VEKTOR DAN APLIKASINYA.

Formula untuk mencari hasil silang dua vektor:

kelihatan seperti

1) Cari modulus hasil vektor:

Mari kita susun penentu dan hitungkannya (menggunakan peraturan Sarrus atau teorem mengenai pengembangan penentu ke dalam unsur baris pertama).

Kaedah pertama: mengikut peraturan Sarrus

Kaedah 2: kembangkan penentu ke dalam elemen baris pertama.

2) Cari modulus hasil vektor:

4.1. PENGIRAAN LUAS SEBUAH SELARI YANG DIBINA ATAS DUA VEKTOR.

1) Kira luas segi empat selari yang dibina pada vektor

2). Cari hasil vektor dan modulusnya

4.2. MENGIRA LUAS SEGITIGA

Contoh: diberikan ialah bucu bagi segi tiga A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Kira luas segi tiga itu.

Mula-mula, mari kita cari koordinat dua vektor yang berpunca daripada bucu yang sama.

Mari cari produk vektor mereka

4.3. PENENTUAN KOLINEARITI DUA VEKTOR

Jika vektor
Dan
adalah kolinear, maka

, iaitu koordinat bagi vektor mestilah berkadar.

a) Vektor yang diberi::
,
.

Mereka adalah kolinear kerana
Dan

selepas mengurangkan setiap pecahan kita mendapat nisbah

b) Vektor yang diberi:

.

Mereka tidak kolinear kerana
atau

Tentukan sendiri:

a) Apakah nilai m dan n bagi vektor
kolinear?

Jawapan:
;

b) Cari hasil vektor dan modulusnya
,
.

Jawapan:
,
.

Pelajaran praktikal No. 5 mengenai topik:

GARIS LURUS DI PESAWAT

Masalah No. 1. Cari persamaan garis yang melalui titik A(-2; 3) selari dengan garis

1. Cari kecerunan garisan itu
.

ialah persamaan garis lurus dengan pekali sudut dan koordinat awal (
). sebab tu
.

2. Oleh kerana garis MN dan AC adalah selari, pekali sudutnya adalah sama, i.e.
.

3. Untuk mencari persamaan garis lurus AC, kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui titik dengan pekali sudut tertentu:

. Dalam formula ini sebaliknya Dan gantikan koordinat titik A(-2; 3), sebaliknya Mari kita gantikan - 3. Hasil daripada penggantian kita dapat:

Jawapan:

Tugasan No. 2. Cari persamaan garis yang melalui titik K(1; –2) selari dengan garis itu.

1. Mari cari cerun garisan.

Ini ialah persamaan umum garis, yang dalam Pandangan umum diberikan oleh formula. Membandingkan persamaan, kita dapati bahawa A = 2, B = –3. Kecerunan garis lurus yang diberikan oleh persamaan ditemui oleh formula
. Menggantikan A = 2 dan B = –3 ke dalam formula ini, kita dapat cerun langsung MN. Jadi,
.

2. Oleh kerana garis MN dan KS adalah selari, pekali sudutnya adalah sama:
.

3. Untuk mencari persamaan garis lurus KS, kita menggunakan formula untuk persamaan garis lurus yang melalui titik dengan pekali sudut tertentu.
. Dalam formula ini sebaliknya Dan mari kita gantikan koordinat titik K(–2; 3), bukannya

Masalah No. 3. Cari persamaan garis yang melalui titik K(–1; –3) berserenjang dengan garis itu.

1. ialah persamaan am bagi garis lurus, yang dalam bentuk am diberikan oleh formula.

dan kita dapati bahawa A = 3, B = 4.

Kecerunan garis lurus yang diberikan oleh persamaan didapati dengan formula:
. Menggantikan A = 3 dan B = 4 ke dalam formula ini, kita memperoleh kecerunan garis lurus MN:
.

2. Oleh kerana garis MN dan KD adalah berserenjang, pekali sudutnya adalah berkadar songsang dan bertentangan dalam tanda:

3. Untuk mencari persamaan garis lurus KD, kita menggunakan formula bagi persamaan garis lurus yang melalui titik dengan pekali sudut tertentu.

. Dalam formula ini sebaliknya Dan gantikan koordinat titik K(–1;–3), sebaliknya mari kita ganti Hasil daripada penggantian kita mendapat:

Tentukan sendiri:

1. Cari persamaan garis yang melalui titik K(–4; 1) selari dengan garis
.

Jawapan:
.

2. Cari persamaan garis yang melalui titik K(5; –2) selari dengan garis
.

3. Cari persamaan garis yang melalui titik K(–2, –6) berserenjang dengan garis
.

4. Cari persamaan garis yang melalui titik K(7; –2) berserenjang dengan garis
.

Jawapan:
.

5. Cari persamaan serenjang yang dijatuhkan dari titik K(–6; 7) ke garis lurus
.

Selepas pengarang laman web itu dapat mengajar botnya untuk menyelesaikan persamaan Diophantine linear dengan dua pembolehubah, timbul keinginan untuk mengajar bot menyelesaikan persamaan yang serupa, tetapi dengan tiga yang tidak diketahui. Saya terpaksa terjun ke dalam buku.

Setelah muncul dari sana dua bulan kemudian, penulis menyedari bahawa dia tidak memahami apa-apa. Ahli matematik yang sangat pintar menulis algoritma untuk mendapatkan formula dengan cara yang begitu canggih sehingga saya malu sebagai manusia. Saya sedih, tetapi saya masih menemui pemikiran yang berguna dalam keluasan buku, dan dari pemikiran ini muncul pemahaman tentang cara menyelesaikan persamaan Diophantine dengan tiga perkara yang tidak diketahui.

Jadi untuk semua orang yang bukan ahli matematik, tetapi ingin menjadi seorang :)

Persamaan Diophantine dengan tiga tidak diketahui kelihatan seperti ini

di manakah integer

Jika kita fikirkan tentang apa keputusan bersama mungkin untuk orang yang tidak dikenali, perkara yang paling cetek kelihatan seperti ini

Mari kita gantikan penyelesaian am kita ke dalam persamaan

Apa gunanya ini, pembaca yang tidak sabar akan bertanya? Tetapi apa, mari kumpulkan semuanya mengikut yang tidak diketahui, kita dapat

Lihat, di sebelah kanan ada sesuatu nombor tetap, ditetapkan dengan huruf d

Ini bermakna ia tidak bergantung pada t (ia juga pembolehubah, anda tidak pernah tahu nilai yang ingin diperolehi), yang bermaksud

Adalah logik untuk menganggap bahawa ia tidak bergantung pada z sama ada, yang bermaksud

tetapi ia secara langsung bergantung pada nilai malar A 3 dan B 3, iaitu

Apa yang telah kita lalui? Dan kami mendapat tiga persamaan Diophantine klasik biasa dengan dua yang tidak diketahui, yang boleh kita selesaikan dengan mudah dan semula jadi.

Cuba buat keputusan?

Dalam baris pertama enjin carian Saya dapati persamaan ini

Persamaan pertama akan menjadi seperti ini

akarnya

Mari kita hapuskan sifar, mengambil k=-1 sebagai contoh. (Anda boleh mengambil 2 atau 100 atau -3 jika anda mahu) keputusan terakhir ia tidak akan menjejaskan.

Menyelesaikan persamaan kedua

dan akarnya

di sini biarkan k=0 (kerana X dan Y tidak bertepatan walaupun pada nilai sifar)

DAN sepertiga terakhir persamaan

Akar di sini adalah seperti ini

Marilah kita menggantikan semua nilai yang dijumpai ke dalam bentuk umum

Itu sahaja!

Sila ambil perhatian bahawa segala-galanya diselesaikan dengan sangat mudah dan telus! Pastinya guru dan pelajar yang berkebolehan akan menggunakan teknik ini, kerana pengarang bot menemuinya dalam buku.

Contoh lain, sudah diselesaikan menggunakan bot.

Tambahan: Apabila anda menyelesaikan persamaan yang serupa menggunakan bot, anda mungkin menghadapi hakikat bahawa bot akan memberi anda ralat meminta anda menukar pembolehubah untuk percubaan lain untuk menyelesaikan persamaan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa semasa pengiraan perantaraan, persamaan yang tidak dapat diselesaikan diperolehi

Sebagai contoh

Apabila cuba menyelesaikan persamaan

dalam kes kita

kita akan mendapat ralat, kerana untuk sebarang nilai, bahagian kiri akan sentiasa (!!) nombor genap, dan di sebelah kanan kita nampak ganjil.

Tetapi ini tidak bermakna bahawa persamaan asal tidak dapat diselesaikan. Ia cukup untuk menukar istilah dalam susunan yang berbeza, contohnya seperti ini

dan kita dapat jawapannya

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui tidak mempunyai penyelesaian dalam semua kes, walaupun sejumlah besar persamaan. Sebagai peraturan, sistem jenis ini diselesaikan menggunakan kaedah penggantian atau menggunakan kaedah Cramer. Kaedah kedua memungkinkan untuk menentukan pada peringkat pertama sama ada sistem mempunyai penyelesaian.

Kiranya kita diberi sistem seterusnya daripada tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

\[\left\(\begin(matriks) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(matriks)\kanan.\]

Ia adalah mungkin untuk menyelesaikan ini sistem heterogen linear persamaan algebra Ax = B menggunakan kaedah Cramer:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Penentu sistem \ tidak sama dengan sifar. Mari kita cari penentu tambahan \ jika mereka tidak sama dengan sifar, maka tidak ada penyelesaian, jika mereka sama, maka terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Sistem 3 persamaan linear dengan 3 tidak diketahui, penentunya bukan sifar, sentiasa konsisten dan mempunyai penyelesaian unik, dikira dengan formula:

Jawapan: mendapat penyelesaian

\[\left\(\begin(matriks) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(matriks)\kanan.\]

Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan dengan tiga perkara yang tidak diketahui dalam talian?

Anda boleh menyelesaikan persamaan di laman web kami https://site. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di tapak web kami. Dan jika anda masih mempunyai soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.

Sistem tiga persamaan linear dalam tiga tidak diketahui

Persamaan linear (persamaan darjah pertama) dengan dua yang tidak diketahui

Definisi 1. Persamaan linear (persamaan darjah pertama) dengan dua yang tidak diketahui x dan y namakan persamaan bentuk

Penyelesaian . Mari kita nyatakan daripada kesamaan (2) pembolehubah y melalui pembolehubah x:

Daripada formula (3) ia mengikuti bahawa penyelesaian kepada persamaan (2) adalah semua pasangan nombor dalam bentuk

di mana x ialah sebarang nombor.

Catatan. Seperti yang dapat dilihat daripada penyelesaian kepada Contoh 1, persamaan (2) mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, adalah penting untuk diperhatikan bukan sebarang pasangan nombor (x; y) ialah penyelesaian kepada persamaan ini. Untuk mendapatkan sebarang penyelesaian kepada persamaan (2), nombor x boleh diambil sebagai sebarang, dan nombor y kemudiannya boleh dikira menggunakan formula (3).

Sistem dua persamaan linear dalam dua tidak diketahui

Definisi 3. Sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui x dan y memanggil sistem persamaan bentuk

di mana a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 – nombor yang diberi.

Definisi 4. Dalam sistem persamaan (4) nombor a 1 , b 1 , a 2 , b 2 dipanggil , dan nombor c 1 , c 2 – ahli percuma.

Definisi 5. Dengan menyelesaikan sistem persamaan (4) panggil sepasang nombor ( x; y), yang merupakan penyelesaian kepada kedua-dua satu dan persamaan sistem yang lain (4).

Definisi 6. Dua sistem persamaan dipanggil setara (setara), jika semua penyelesaian sistem persamaan pertama adalah penyelesaian sistem kedua, dan semua penyelesaian sistem kedua adalah penyelesaian sistem pertama.

Kesetaraan sistem persamaan ditunjukkan menggunakan simbol ""

Sistem persamaan linear diselesaikan menggunakan , yang akan kita gambarkan dengan contoh.

Contoh 2. Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian . Untuk menyelesaikan sistem (5) hapuskan yang tidak diketahui daripada persamaan kedua sistem X .

Untuk tujuan ini, kita mula-mula menukar sistem (5) kepada bentuk di mana pekali untuk x tidak diketahui dalam persamaan pertama dan kedua sistem menjadi sama.

Jika persamaan pertama sistem (5) didarab dengan pekali pada x dalam persamaan kedua (nombor 7), dan persamaan kedua didarab dengan pekali pada x dalam persamaan pertama (nombor 2), maka sistem (5) akan mengambil borang

Sekarang mari kita lakukan transformasi berikut pada sistem (6):

daripada persamaan kedua kita tolak persamaan pertama dan gantikan persamaan kedua sistem dengan perbezaan yang terhasil.

Akibatnya, sistem (6) diubah menjadi sistem yang setara

Daripada persamaan kedua kita dapati y= 3, dan menggantikan nilai ini ke dalam persamaan pertama, kita dapat

Jawapan . (-2 ; 3) .

Contoh 3. Cari semua nilai parameter p yang mana sistem persamaannya

A) mempunyai penyelesaian yang unik;

b) mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga;

V) tidak mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian . Menyatakan x melalui y daripada persamaan kedua sistem (7) dan menggantikan ungkapan yang terhasil daripada x ke dalam persamaan pertama sistem (7), kita perolehi

Mari kita kaji penyelesaian kepada sistem (8) bergantung pada nilai parameter p. Untuk melakukan ini, mula-mula pertimbangkan persamaan pertama sistem (8):

y (2 - hlm) (2 + hlm) = 2 + hlm

(9)

Jika , maka persamaan (9) mempunyai penyelesaian yang unik

Oleh itu, dalam kes apabila , sistem (7) mempunyai penyelesaian yang unik

Jika hlm= - 2, maka persamaan (9) mengambil bentuk

dan penyelesaiannya ialah sebarang nombor . Oleh itu, penyelesaian kepada sistem (7) ialah set tak terhingga semua orang pasangan nombor

di mana y ialah sebarang nombor.

Jika hlm= 2, maka persamaan (9) mengambil bentuk

dan tidak mempunyai penyelesaian, yang membayangkan sistem itu (7) tidak mempunyai penyelesaian.

Sistem tiga persamaan linear dalam tiga tidak diketahui

Definisi 7. Sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui x, y dan z memanggil sistem persamaan yang mempunyai bentuk

di mana a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 – nombor yang diberi.

Definisi 8. Dalam sistem persamaan (10) nombor a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 dipanggil pekali untuk yang tidak diketahui, dan nombor d 1 , d 2 , d 3 – ahli percuma.

Definisi 9. Dengan menyelesaikan sistem persamaan (10) namakan tiga nombor (x; y ; z) , apabila menggantikannya ke dalam setiap tiga persamaan sistem (10), kesamaan yang betul diperolehi.

Contoh 4. Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian . Kami akan menyelesaikan sistem (11) menggunakan kaedah penghapusan berurutan tidak diketahui.

Untuk melakukan ini dahulu kami mengecualikan yang tidak diketahui daripada persamaan kedua dan ketiga sistem y dengan melakukan transformasi berikut pada sistem (11):

Kami akan membiarkan persamaan pertama sistem tidak berubah;
kepada persamaan kedua kita tambahkan persamaan pertama dan gantikan persamaan kedua sistem dengan jumlah yang terhasil;
daripada persamaan ketiga kita tolak persamaan pertama dan gantikan persamaan ketiga sistem dengan perbezaan yang terhasil.

Akibatnya, sistem (11) diubah menjadi sistem yang setara

Sekarang hapuskan yang tidak diketahui daripada persamaan ketiga sistem x dengan melakukan transformasi berikut pada sistem (12):

Kami akan membiarkan persamaan pertama dan kedua sistem tidak berubah;
daripada persamaan ketiga kita tolak persamaan kedua dan gantikan persamaan ketiga sistem dengan perbezaan yang terhasil.

Akibatnya, sistem (12) diubah menjadi sistem yang setara

Daripada sistem (13) kami temui secara konsisten

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Jawapan . (1; 2; -2) .

Contoh 5. Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian . Ambil perhatian bahawa daripada sistem ini seseorang boleh mendapatkan kemudahan akibat, menambah ketiga-tiga persamaan sistem: