Persamaan pembezaan homogen linear tertib kedua. Pembinaan penyelesaian am kepada homogen linear

Persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar mempunyai penyelesaian umum
, Di mana Dan penyelesaian separa bebas linear bagi persamaan ini.

Bentuk umum penyelesaian kepada persamaan pembezaan tertib kedua homogen dengan pekali malar
, bergantung kepada punca persamaan ciri
.

Akar ciri persamaan	Lihat penyelesaian umum
Akar Dan nyata dan berbeza
Akar == sah dan sama
Akar kompleks ,

Contoh

Cari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar:

Penyelesaian:
.

Setelah menyelesaikannya, kita akan mencari akarnya
,
sah dan berbeza. Oleh itu, penyelesaian umum ialah:
.

Penyelesaian: Mari kita buat persamaan ciri:
.

Setelah menyelesaikannya, kita akan mencari akarnya

sah dan sama. Oleh itu, penyelesaian umum ialah:
.

Penyelesaian: Mari kita buat persamaan ciri:
.

Setelah menyelesaikannya, kita akan mencari akarnya
kompleks. Oleh itu, penyelesaian umum mempunyai bentuk:.

Persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar nampak macam

di mana
. (1)

Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear mempunyai bentuk
, Di mana
– penyelesaian tertentu bagi persamaan ini, – penyelesaian umum bagi yang sepadan persamaan homogen, iaitu persamaan

Jenis penyelesaian peribadi
persamaan tak homogen(1) bergantung pada sebelah kanan
:

Sebelah kanan	Penyelesaian peribadi
– polinomial darjah	, Di mana – bilangan punca persamaan ciri sama dengan sifar.
	, Di mana = ialah punca persamaan ciri.
	di mana - nombor, sama dengan nombor akar persamaan ciri, bertepatan dengan .
	di mana – bilangan punca persamaan ciri yang bertepatan dengan .

Mari kita pertimbangkan pelbagai jenis sisi kanan bagi persamaan pembezaan tak homogen linear:

1.
, di manakah polinomial darjah . Kemudian penyelesaian tertentu
boleh dicari dalam borang
, Di mana

, A – bilangan punca persamaan ciri sama dengan sifar.

Contoh

Cari penyelesaian umum
.

Penyelesaian:

B) Oleh kerana bahagian kanan persamaan ialah polinomial darjah pertama dan tiada punca persamaan ciri
tidak sama dengan sifar (
), maka kita mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk di mana Dan – pekali tidak diketahui. Membezakan dua kali
dan menggantikan
,
Dan
ke dalam persamaan asal, kita dapati.

Menyamakan pekali pada darjah yang sama pada kedua-dua belah persamaan
,
, kami dapati
,
. Jadi, penyelesaian peribadi persamaan yang diberikan nampak macam
, dan penyelesaian amnya.

2. biarlah sebelah kanan nampak macam
, di manakah polinomial darjah . Kemudian penyelesaian tertentu
boleh dicari dalam borang
, Di mana
– polinomial yang sama darjah dengan
, A – nombor yang menunjukkan berapa kali ialah punca persamaan ciri.

Contoh

Cari penyelesaian umum
.

Penyelesaian:

A) Cari penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan
. Untuk melakukan ini, kami menulis persamaan ciri
. Mari kita cari punca-punca persamaan terakhir
. Akibatnya, penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk
.

persamaan ciri

, Di mana – pekali tidak diketahui. Membezakan dua kali
dan menggantikan
,
Dan
ke dalam persamaan asal, kita dapati. di mana
, iaitu
atau
.

Jadi, penyelesaian tertentu untuk persamaan ini mempunyai bentuk
, dan penyelesaian amnya
.

3. Biarkan bahagian kanan mempunyai borang , di mana
Dan – nombor yang diberi. Kemudian penyelesaian tertentu
boleh dicari dalam borang di mana Dan adalah pekali tidak diketahui, dan – nombor yang sama dengan bilangan punca persamaan ciri yang bertepatan dengan
. Jika dalam ungkapan fungsi
sekurang-kurangnya satu daripada fungsi disertakan
atau
, kemudian masuk
mesti sentiasa dimasukkan kedua-duanya fungsi.

Contoh

Cari penyelesaian umum.

Penyelesaian:

B) Oleh kerana bahagian kanan persamaan ialah fungsi
, maka nombor kawalan persamaan ini, ia tidak bertepatan dengan punca
persamaan ciri
. Kemudian kami mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk

di mana Dan – pekali tidak diketahui. Membezakan dua kali, kita dapat. Menggantikan
,
Dan
ke dalam persamaan asal, kita dapati

Membawa istilah yang sama, kita dapat

Kami menyamakan pekali untuk
Dan
di sebelah kanan dan kiri persamaan, masing-masing. Kami mendapat sistem
. Menyelesaikannya, kita dapati
,
.

Jadi, penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan asal mempunyai bentuk .

Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan asal mempunyai bentuk .

Persamaan

di mana dan ialah fungsi selanjar dalam selang dipanggil persamaan pembezaan linear tak homogen tertib kedua, fungsi dan pekalinya. Jika dalam selang ini, maka persamaan mengambil bentuk:

dan dipanggil persamaan pembezaan linear homogen tertib kedua. Jika persamaan (**) mempunyai pekali yang sama dan sebagai persamaan (*), maka ia dipanggil persamaan homogen sepadan dengan persamaan tidak homogen (*).

Persamaan pembezaan linear homogen tertib kedua

Biarkan dalam persamaan linear

Saya - malar nombor nyata.

Kami akan mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan dalam bentuk fungsi , di mana adalah nyata atau nombor kompleks, untuk ditentukan. Membezakan dengan , kita mendapat:

Menggantikan ke dalam persamaan pembezaan asal, kita dapat:

Oleh itu, dengan mengambil kira bahawa , kami mempunyai:

Persamaan ini dipanggil persamaan ciri bagi persamaan pembezaan linear homogen. Persamaan ciri memungkinkan untuk mencari. Ini adalah persamaan darjah kedua, jadi ia mempunyai dua punca. Mari kita nyatakan mereka dengan dan . Tiga kes mungkin:

1) Akar adalah nyata dan berbeza. Dalam kes ini, penyelesaian umum untuk persamaan adalah:

Contoh 1

2) Akar adalah nyata dan sama. Dalam kes ini, penyelesaian umum untuk persamaan adalah:

Contoh2

Adakah anda mendapati diri anda berada di halaman ini cuba menyelesaikan masalah untuk peperiksaan atau ujian? Jika anda masih tidak dapat lulus peperiksaan, lain kali buat temu janji terlebih dahulu di tapak web tentang Bantuan dalam talian dalam matematik yang lebih tinggi.

Persamaan ciri mempunyai bentuk:

Penyelesaian persamaan ciri:

Penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan asal ialah:

3) Akar kompleks. Dalam kes ini, penyelesaian umum untuk persamaan adalah:

Contoh 3

Persamaan ciri mempunyai bentuk:

Penyelesaian persamaan ciri:

Penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan asal ialah:

Persamaan pembezaan linear tak homogen tertib kedua

Sekarang mari kita pertimbangkan penyelesaian beberapa jenis persamaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar

di mana dan ialah nombor nyata malar, ialah fungsi berterusan yang diketahui dalam selang . Untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan sedemikian, adalah perlu untuk mengetahui penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen yang sepadan dan penyelesaian tertentu. Mari kita lihat beberapa kes:

Kami juga mencari penyelesaian separa bagi persamaan pembezaan dalam bentuk trinomial kuadratik:

Jika 0 ialah punca tunggal bagi persamaan ciri, maka

Jika 0 ialah punca berganda bagi persamaan ciri, maka

Keadaannya adalah serupa jika ialah polinomial darjah sewenang-wenangnya

Contoh 4

Mari kita selesaikan persamaan homogen yang sepadan.

Persamaan ciri:

Penyelesaian umum persamaan homogen:

Mari kita cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan tak homogen:

Menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam persamaan pembezaan asal, kita memperoleh:

Penyelesaian khusus yang diperlukan:

Penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan asal ialah:

Kami mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk , di mana adalah pekali yang tidak ditentukan.

Menggantikan dan ke dalam persamaan pembezaan asal, kita memperoleh identiti yang daripadanya kita dapati pekali.

Jika ialah punca bagi persamaan ciri, maka kita mencari penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan asal dalam bentuk , apabila ialah punca tunggal, dan , apabila ialah punca berganda.

Contoh 5

Persamaan ciri:

Penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen yang sepadan ialah:

Mari kita cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan tak homogen yang sepadan:

Penyelesaian umum persamaan pembezaan:

Dalam kes ini, kami mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk binomial trigonometri:

di mana dan adalah pekali yang tidak ditentukan

Menggantikan dan ke dalam persamaan pembezaan asal, kita memperoleh identiti yang daripadanya kita dapati pekali.

Persamaan ini menentukan pekali dan kecuali dalam kes bila (atau bila - punca persamaan ciri). Dalam kes kedua, kami mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan dalam bentuk:

Contoh6

Persamaan ciri:

Penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen yang sepadan ialah:

Mari kita cari penyelesaian tertentu kepada persamaan beza tak homogen

Menggantikan ke dalam persamaan pembezaan asal, kita dapat:

Penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan asal ialah:

Penumpuan siri nombor
Takrif penumpuan siri diberikan dan masalah mengkaji penumpuan dipertimbangkan secara terperinci siri nombor- ujian perbandingan, ujian penumpuan d’Alembert, ujian penumpuan Cauchy dan ujian penumpuan Cauchy kamiran⁡.

Penumpuan mutlak dan bersyarat bagi siri
Halaman tersebut membincangkan siri tanda berselang-seli, penumpuan bersyarat dan mutlaknya, ujian penumpuan Leibniz untuk siri tanda berselang-seli - mengandungi teori ringkas tentang topik dan contoh penyelesaian masalah.

Di sini kita akan menggunakan kaedah variasi pemalar Lagrange untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear. Penerangan terperinci kaedah ini untuk menyelesaikan persamaan susunan arbitrari diterangkan pada halaman
Penyelesaian persamaan pembezaan tak homogen linear tertib lebih tinggi dengan kaedah Lagrange >>>.

Contoh 1

Selesaikan persamaan pembezaan tertib kedua dengan pekali malar dengan kaedah variasi pemalar Lagrange:
(1)

Penyelesaian

Mula-mula kita selesaikan persamaan pembezaan homogen:
(2)

Ini adalah persamaan tertib kedua.

Menyelesaikan persamaan kuadratik:
.
Akar berbilang: . Sistem asas penyelesaian kepada persamaan (2) mempunyai bentuk:
(3) .
Dari sini kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan homogen (2):
(4) .

Mengubah pemalar C 1 dan C 2 .
.
Iaitu, kita menggantikan pemalar dalam (4) dengan fungsi:
(5) .

Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal (1) dalam bentuk:
.
Mencari terbitan:
(6) .
Mari kita sambungkan fungsi dan persamaan:
.

Kemudian
.
Kami mencari terbitan kedua:
(1) ;

.
Gantikan ke dalam persamaan asal (1):
(7) .
Oleh kerana dan memenuhi persamaan homogen (2), jumlah sebutan dalam setiap lajur tiga baris terakhir memberikan sifar dan persamaan sebelumnya mengambil bentuk:

Di sini.
(6) :
(7) .

Bersama-sama dengan persamaan (6) kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan fungsi dan:

Menyelesaikan sistem persamaan
.
Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7). Mari kita tulis ungkapan untuk fungsi dan:
;
.

Kami mencari derivatif mereka:

.
Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7) menggunakan kaedah Cramer. Kami mengira penentu matriks sistem:
;
.

Menggunakan formula Cramer kami dapati:
;
.
Jadi, kami mendapati derivatif fungsi:
; ; ; .

.
.

;
.

Mari kita integrasikan (lihat Kaedah untuk menyepadukan akar). Membuat penggantian

Jawab

Contoh 2
(8)

Penyelesaian

Langkah 1. Menyelesaikan persamaan homogen

Kami menyelesaikan persamaan pembezaan homogen:

(9)
Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk .

Kami menyusun persamaan ciri:
.
Persamaan ini mempunyai punca kompleks:
(10) .
Sistem asas penyelesaian yang sepadan dengan akar ini mempunyai bentuk:
(11) .

Penyelesaian umum persamaan homogen (9):

Langkah 2. Variasi pemalar - menggantikan pemalar dengan fungsi 1 dan C 2 Sekarang kita mengubah pemalar C
.
.
(12) .

Iaitu, kita menggantikan pemalar dalam (11) dengan fungsi: Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal (8) dalam bentuk: Selanjutnya, kemajuan penyelesaian adalah sama seperti dalam contoh 1. Kami tiba di
(13) :
(14) .
Oleh kerana dan memenuhi persamaan homogen (2), jumlah sebutan dalam setiap lajur tiga baris terakhir memberikan sifar dan persamaan sebelumnya mengambil bentuk:

Bersama-sama dengan persamaan (6) kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan fungsi dan:

sistem seterusnya
.
persamaan untuk menentukan fungsi dan:
;
.

Jom selesaikan sistem ini. Mari kita tuliskan ungkapan untuk fungsi dan:

.
Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7) menggunakan kaedah Cramer. Kami mengira penentu matriks sistem:
;
.

.
Daripada jadual derivatif kita dapati:
.
Mari kita sambungkan fungsi dan persamaan:
.

Kami menyelesaikan sistem persamaan (13-14) menggunakan kaedah Cramer. Penentu matriks sistem:

.

Oleh kerana , tanda modulus di bawah tanda logaritma boleh diabaikan. Darabkan pengangka dan penyebut dengan:

Penyelesaian umum kepada persamaan asal:

Institusi pendidikan "Negara Belarusia

Akademi Pertanian"

Jabatan Matematik Tinggi

Garis panduan

untuk mengkaji topik "Persamaan pembezaan linear urutan kedua" oleh pelajar fakulti perakaunan pendidikan surat-menyurat (NISPO) Gorki, 2013

Linearpersamaan pembezaan

tertib kedua dengan pemalar

pekali Persamaan pembezaan homogen linear

Persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar Dan
dipanggil persamaan bentuk
mereka. persamaan yang mengandungi fungsi yang dikehendaki dan derivatifnya hanya pada tahap pertama dan tidak mengandungi hasil keluarannya. Dalam persamaan ini
.

- beberapa nombor, dan fungsi
diberikan pada selang waktu tertentu
Jika

, (2)

pada selang waktu , maka persamaan (1) akan mengambil bentuk dan dipanggil homogen linear .

. Jika tidak, persamaan (1) dipanggil

, (3)

linear tidak homogen
Dan
- Pertimbangkan fungsi kompleks di mana
fungsi sebenar
. Jika fungsi (3) ialah penyelesaian kompleks kepada persamaan (2), maka bahagian sebenar
, dan bahagian khayalan penyelesaian secara berasingan ialah penyelesaian daripada persamaan homogen yang sama. Justeru, segala-galanya

penyelesaian menyeluruh persamaan (2) menjana dua penyelesaian sebenar kepada persamaan ini. Penyelesaian homogen

- beberapa nombor, dan fungsi persamaan linear
, Di mana mempunyai sifat: ialah penyelesaian kepada persamaan (2), kemudian fungsinya

- beberapa nombor, dan fungsi Dan DENGAN
– pemalar arbitrari juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (2);

- beberapa nombor, dan fungsi Dan terdapat penyelesaian kepada persamaan (2), kemudian fungsinya
juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (2); Dan
terdapat penyelesaian kepada persamaan (2), kemudian gabungan linearnya

Fungsi
Dan
dipanggil bergantung secara linear pada selang waktu
, jika nombor sedemikian wujud Dan
, tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, bahawa pada selang ini kesamaan

Jika kesaksamaan (4) berlaku hanya apabila
Dan
, kemudian fungsi
Dan
dipanggil bebas linear pada selang waktu
.

Contoh 1 . Fungsi
Dan
adalah bergantung secara linear, kerana
pada keseluruhan garis nombor. Dalam contoh ini
.

Contoh 2 . Fungsi
Dan
adalah bebas secara linear pada sebarang selang, kerana kesamaan
hanya mungkin dalam kes apabila
, Dan
.

Pembinaan penyelesaian am kepada homogen linear

persamaan

Untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan (2), anda perlu mencari dua daripada penyelesaian bebas linearnya Dan . Gabungan linear penyelesaian ini
, Di mana Dan
adalah pemalar arbitrari, dan akan memberikan penyelesaian umum kepada persamaan homogen linear.

Kami akan mencari penyelesaian bebas linear kepada persamaan (2) dalam bentuk

, (5)

linear tidak homogen - nombor tertentu. Kemudian
,
. Mari kita gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (2):

atau
.

Kerana
, Itu
. Jadi fungsinya
akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (2) jika akan memenuhi persamaan

. (6)

Persamaan (6) dipanggil persamaan ciri untuk persamaan (2). Persamaan ini ialah persamaan kuadratik algebra.

biarlah Dan terdapat punca-punca persamaan ini. Mereka boleh sama ada nyata dan berbeza, atau kompleks, atau nyata dan sama. Mari kita pertimbangkan kes-kes ini.

Biarkan akar Dan persamaan ciri adalah nyata dan berbeza. Maka penyelesaian kepada persamaan (2) akan menjadi fungsi
Dan
. Penyelesaian ini adalah bebas secara linear, kerana kesamaan
hanya boleh dijalankan apabila
, Dan
. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (2) mempunyai bentuk

linear tidak homogen Dan
- pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh 3
.

Penyelesaian . Persamaan ciri untuk pembezaan ini ialah
. Setelah memutuskan ini persamaan kuadratik, mari kita cari puncanya
Dan
. Fungsi
Dan
adalah penyelesaian kepada persamaan pembezaan. Penyelesaian umum bagi persamaan ini ialah
.

Nombor kompleks dipanggil ungkapan bentuk
, Di mana Dan ialah nombor nyata, dan
dipanggil unit khayalan. Jika
, kemudian nombor
dipanggil khayalan semata-mata. Jika
, kemudian nombor
dikenal pasti dengan nombor nyata .

Nombor dipanggil bahagian nyata nombor kompleks, dan - bahagian khayalan. Jika dua nombor kompleks berbeza antara satu sama lain hanya dengan tanda bahagian khayalan, maka ia dipanggil konjugat:
,
.

Contoh 4 . Selesaikan persamaan kuadratik
.

Penyelesaian . Persamaan diskriminasi
. Kemudian. Begitu juga,
. Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai punca konjugat kompleks.

Biarkan punca-punca persamaan ciri menjadi kompleks, i.e.
,
, Di mana
.
,
atau
,
Penyelesaian persamaan (2) boleh ditulis dalam bentuk

,
.

Kemudian ,. Seperti yang diketahui, jika fungsi kompleks ialah penyelesaian kepada persamaan homogen linear, maka penyelesaian kepada persamaan ini adalah kedua-dua bahagian nyata dan khayalan bagi fungsi ini. Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan (2) akan menjadi fungsi
Dan
. Sejak kesaksamaan

hanya boleh dilaksanakan jika
Dan
, maka penyelesaian ini adalah bebas linear. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (2) mempunyai bentuk

linear tidak homogen Dan
- pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh 5 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan
adalah ciri pembezaan tertentu. Mari selesaikan dan dapatkan akar yang kompleks
,
. Fungsi
Dan
adalah penyelesaian bebas linear bagi persamaan pembezaan. Penyelesaian umum untuk persamaan ini ialah:

Biarkan punca persamaan ciri adalah nyata dan sama, i.e.
. Maka penyelesaian kepada persamaan (2) ialah fungsi
Dan
. Penyelesaian ini adalah bebas secara linear, kerana ungkapan boleh sama dengan sifar hanya apabila
Dan
. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (2) mempunyai bentuk
.

Contoh 6 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan ciri
mempunyai akar yang sama
. Dalam kes ini, penyelesaian bebas linear kepada persamaan pembezaan ialah fungsi
Dan
. Penyelesaian umum mempunyai bentuk
.

Persamaan pembezaan linear tak homogen tertib kedua dengan pekali malar

dan bahagian kanan yang istimewa

Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear (1) adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian am
persamaan homogen yang sepadan dan sebarang penyelesaian tertentu
persamaan tak homogen:
.

Dalam sesetengah kes, penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen boleh didapati dengan mudah melalui bentuk sebelah kanan.
persamaan (1). Mari kita lihat kes di mana ini mungkin.

mereka. sebelah kanan persamaan tak homogen ialah polinomial darjah m. Jika
bukan punca persamaan ciri, maka penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen perlu dicari dalam bentuk polinomial darjah m, iaitu

Kemungkinan
ditentukan dalam proses mencari penyelesaian tertentu.

Jika
ialah punca persamaan ciri, maka penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen perlu dicari dalam bentuk

Contoh 7 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan homogen yang sepadan untuk persamaan ini ialah
. Persamaan cirinya
mempunyai akar
Dan
. Penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk
.

Kerana
bukan punca persamaan ciri, maka kita akan mencari penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen dalam bentuk fungsi
. Mari cari derivatif fungsi ini
,
dan gantikannya ke dalam persamaan ini:

atau . Mari kita samakan pekali untuk dan ahli percuma:
Setelah membuat keputusan sistem ini, kita dapat
,
. Kemudian penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen mempunyai bentuk
, dan penyelesaian am bagi persamaan tak homogen yang diberikan ialah hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen sepadan dan penyelesaian khusus bagi persamaan tak homogen:
.

Biarkan persamaan tak homogen mempunyai bentuk

- beberapa nombor, dan fungsi
bukan punca persamaan ciri, maka penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen perlu dicari dalam bentuk. Jika
ialah punca persamaan kepelbagaian ciri k (k=1 atau k=2), maka dalam kes ini penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen akan mempunyai bentuk .

Contoh 8 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan ciri untuk persamaan homogen yang sepadan mempunyai bentuk
. Akarnya
,
. Dalam kes ini, penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan ditulis dalam bentuk
.

Oleh kerana nombor 3 bukan punca persamaan ciri, penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen perlu dicari dalam bentuk
. Mari cari derivatif bagi pesanan pertama dan kedua:

Mari kita gantikan ke dalam persamaan pembezaan:
+ +,
+,.

Mari kita samakan pekali untuk dan ahli percuma:

Dari sini
,
. Kemudian penyelesaian tertentu untuk persamaan ini mempunyai bentuk
, dan penyelesaian umum

Kaedah Lagrange variasi pemalar arbitrari

Kaedah mempelbagaikan pemalar arbitrari boleh digunakan pada mana-mana persamaan linear tak homogen dengan pekali malar, tanpa mengira jenis bahagian sebelah kanan. Kaedah ini membolehkan anda sentiasa mencari penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen jika penyelesaian umum kepada persamaan homogen sepadan diketahui.

biarlah
Dan
adalah penyelesaian bebas linear bagi persamaan (2). Maka penyelesaian umum bagi persamaan ini ialah
, Di mana Dan
- pemalar sewenang-wenangnya. Intipati kaedah mempelbagaikan pemalar arbitrari ialah penyelesaian umum kepada persamaan (1) dicari dalam bentuk

linear tidak homogen
Dan
- fungsi baru yang tidak diketahui yang perlu dicari. Oleh kerana terdapat dua fungsi yang tidak diketahui, untuk mencarinya, dua persamaan yang mengandungi fungsi ini diperlukan. Kedua-dua persamaan ini membentuk sistem

yang merupakan sistem persamaan algebra linear berkenaan dengan
Dan
. Menyelesaikan sistem ini, kami dapati
Dan
. Mengintegrasikan kedua-dua belah kesamaan yang diperolehi, kita dapati

Dan
.

Menggantikan ungkapan ini kepada (9), kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan linear tak homogen (1).

Contoh 9 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian. Persamaan ciri bagi persamaan homogen yang sepadan dengan persamaan pembezaan yang diberikan ialah
. Akarnya kompleks
,
. Kerana
Dan
, Itu
,
, dan penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk. Kemudian kita akan mencari penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen ini dalam bentuk di mana
Dan
- fungsi yang tidak diketahui.

Sistem persamaan untuk mencari fungsi yang tidak diketahui ini mempunyai bentuk

Setelah menyelesaikan sistem ini, kami dapati
,
. Kemudian

,
. Mari kita gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam formula untuk penyelesaian umum:

Ini ialah penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan ini, diperoleh menggunakan kaedah Lagrange.

Soalan untuk mengawal diri pengetahuan

Apakah persamaan pembezaan yang dipanggil persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar?

Persamaan pembezaan linear yang manakah dipanggil homogen dan yang manakah dipanggil tidak homogen?

Apakah sifat yang dimiliki oleh persamaan homogen linear?

Apakah persamaan yang dipanggil ciri untuk persamaan pembezaan linear dan bagaimana ia diperoleh?

Dalam bentuk apakah penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar ditulis dalam kes punca berlainan persamaan ciri?

Dalam bentuk apakah penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar yang ditulis dalam kes itu akar yang sama persamaan ciri?

Dalam bentuk apakah penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar ditulis dalam kes punca kompleks persamaan ciri?

Bagaimanakah penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear ditulis?

Dalam bentuk apakah penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen linear dicari jika punca-punca persamaan ciri adalah berbeza dan tidak sama dengan sifar, dan bahagian kanan persamaan ialah polinomial darjah m?

Dalam bentuk apakah penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen linear dicari jika terdapat satu sifar di antara punca persamaan ciri dan bahagian kanan persamaan ialah polinomial darjah m?

Apakah intipati kaedah Lagrange?