Persamaan kuasa dua logaritma. Peralihan kepada asas baharu

Logaritma nombor positif b kepada asas a (a>0, a tidak sama dengan 1) ialah nombor c supaya a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Ambil perhatian bahawa logaritma nombor bukan positif tidak ditakrifkan. Di samping itu, asas logaritma mestilah nombor positif, yang tidak sama dengan 1. Sebagai contoh, jika kita kuasa dua -2, kita mendapat nombor 4, tetapi ini tidak bermakna logaritma asas -2 bagi 4 ialah 2.

Identiti logaritma asas

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Adalah penting bahawa domain definisi bahagian kanan dan kiri formula ini adalah berbeza. Bahagian kiri hanya ditakrifkan untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Bahagian kanan ditakrifkan untuk mana-mana b, tetapi tidak bergantung pada a sama sekali. Oleh itu, aplikasi "identiti" logaritma asas dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan boleh membawa kepada perubahan dalam DPV.

Dua akibat yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Sesungguhnya, apabila menaikkan nombor a kepada kuasa pertama, kita mendapat nombor yang sama, dan apabila menaikkannya kepada kuasa sifar, kita mendapat satu.

Logaritma hasil darab dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memberi amaran kepada pelajar sekolah terhadap penggunaan formula ini yang tidak bertimbang rasa semasa menyelesaikan persamaan logaritma dan ketidaksamaan. Apabila ia digunakan "dari kiri ke kanan", ODZ mengecil, dan apabila bergerak dari jumlah atau perbezaan logaritma ke logaritma hasil atau hasil, ODZ mengembang.

Sesungguhnya, ungkapan log a (f (x) g (x)) ditakrifkan dalam dua kes: apabila kedua-dua fungsi adalah positif atau apabila f(x) dan g(x) kedua-duanya kurang daripada sifar.

Mengubah ungkapan ini kepada log jumlah a f (x) + log a g (x) , kita terpaksa mengehadkan diri kita hanya kepada kes apabila f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan kawasan nilai yang dibenarkan, dan ini secara kategorinya tidak boleh diterima, kerana ia boleh menyebabkan kehilangan penyelesaian. Masalah yang sama wujud untuk formula (6).

Darjah boleh diambil daripada tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta ketepatan. Pertimbangkan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bahagian kiri kesamaan jelas ditakrifkan untuk semua nilai f(x) kecuali sifar. Bahagian kanan hanya untuk f(x)>0! Mengambil kuasa daripada logaritma, kami sekali lagi mengecilkan ODZ. Prosedur sebaliknya membawa kepada pengembangan julat nilai yang boleh diterima. Semua kenyataan ini terpakai bukan sahaja untuk darjah 2, tetapi untuk mana-mana walaupun ijazah.

Formula untuk berpindah ke pangkalan baharu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kes yang jarang berlaku apabila ODZ tidak berubah semasa penukaran. Jika anda telah memilih asas c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), formula untuk berpindah ke pangkalan baharu adalah selamat.

Jika kita memilih nombor b sebagai asas c baru, kita mendapat satu yang penting kes istimewa formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh mudah dengan logaritma

Contoh 1 Kira: lg2 + lg50.
Penyelesaian. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Kami menggunakan formula untuk jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma perpuluhan.

Contoh 2 Kira: lg125/lg5.
Penyelesaian. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan formula peralihan asas baharu (8).

Jadual rumus berkaitan logaritma

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan ditukar dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat asas.

Peraturan ini mesti diketahui - tiada masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Penambahan dan penolakan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

log a x+log a y= log a (x · y);
log a x−log a y= log a (x : y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya ialah logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah - alasan yang sama. Jika pangkalannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana asas logaritma adalah sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi, asasnya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dianggap secara berasingan. Tetapi selepas transformasi nombor yang agak normal ternyata. Berdasarkan fakta ini, ramai kertas ujian. Ya, kawalan - ungkapan yang serupa dalam semua kesungguhan (kadangkala - hampir tiada perubahan) ditawarkan semasa peperiksaan.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika terdapat ijazah dalam asas atau hujah logaritma? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Ia adalah mudah untuk melihatnya peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. anda boleh memasukkan nombor sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah mengikut formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:
[Kapsyen gambar]

Perhatikan bahawa penyebutnya ialah logaritma yang asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kami ada:

[Kapsyen gambar]

Saya fikir untuk contoh terakhir penjelasan diperlukan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk darjah dan mengeluarkan penunjuk - mereka mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mempunyai nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Menurut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika asasnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan ke pangkalan baharu datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma log a x. Kemudian untuk sebarang nombor c seperti itu c> 0 dan c≠ 1, kesamaan adalah benar:
[Kapsyen gambar]
Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapatkan:
[Kapsyen gambar]

Ia mengikuti dari formula kedua bahawa adalah mungkin untuk menukar asas dan hujah logaritma, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma adalah dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam bentuk biasa ungkapan berangka. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara ini:

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma adalah eksponen tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita balikkan logaritma kedua:

[Kapsyen gambar]

Oleh kerana produk tidak berubah daripada pilih atur faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian memikirkan logaritma.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tuliskannya dan singkirkan penunjuk:

[Kapsyen gambar]

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

[Kapsyen gambar]

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian ia diperlukan untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen kepada hujah. Nombor n boleh menjadi apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Ia dipanggil identiti logaritma asas.

Memang apa akan jadi kalau nombor b naikkan kuasa supaya b setakat ini memberikan nombor a? Betul: ini adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang "menggantung" di atasnya.

Seperti formula penukaran asas baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:
[Kapsyen gambar]

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - baru sahaja mengeluarkan petak dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

[Kapsyen gambar]

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari peperiksaan :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang sukar untuk dipanggil sifat - sebaliknya, ini adalah akibat daripada definisi logaritma. Mereka sentiasa ditemui dalam masalah dan, yang mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

log a a= 1 ialah unit logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a dari pangkalan ini sendiri adalah sama dengan satu.
log a 1 = 0 ialah sifar logaritma. Pangkalan a boleh jadi apa-apa, tetapi jika hujahnya adalah satu, logaritmanya adalah sifar! kerana a 0 = 1 adalah akibat langsung daripada definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

\(a^(b)=c\) \(\Anak panah kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan dengan lebih mudah. Contohnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan darjat, yang mana \(2\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Daripada ini jelas bahawa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:	\(\log_(5)(25)=2\)	kerana \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	kerana \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	kerana \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Hujah dan asas logaritma

Mana-mana logaritma mempunyai "anatomi" berikut:

Hujah logaritma biasanya ditulis pada tahapnya, dan pangkalan ditulis dalam subskrip lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dua puluh lima hingga asas lima."

Bagaimana untuk mengira logaritma?

Untuk mengira logaritma, anda perlu menjawab soalan: sejauh manakah asas harus dibangkitkan untuk mendapatkan hujah?

Sebagai contoh, hitung logaritma: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Apakah kuasa yang mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas sekali yang kedua. Itulah sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Pada kuasa apakah \(\sqrt(5)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan tahap apakah yang menjadikan sebarang nombor sebagai unit? Sifar, sudah tentu!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Apakah kuasa \(\sqrt(7)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Dalam yang pertama - sebarang nombor dalam darjah pertama adalah sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Kepada kuasa apakah \(3\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Daripada kita tahu apa itu darjah pecahan, yang bermaksud Punca kuasa dua ialah darjah \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Kira logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Penyelesaian :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan ia sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Anak panah kiri\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apakah pautan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, kerana kedua-dua nombor boleh diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri, kami menggunakan sifat darjah: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Asas adalah sama, kita meneruskan ke persamaan penunjuk
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Darab kedua-dua belah persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Punca yang terhasil ialah nilai logaritma

Jawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapakah logaritma dicipta?

Untuk memahami perkara ini, mari kita selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Hanya padankan \(x\) untuk membuat kesamaan berfungsi. Sudah tentu, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\). Apakah sama dengan x? Itulah maksudnya.

Yang paling cerdik akan berkata: "X kurang sedikit daripada dua." Bagaimana sebenarnya nombor ini ditulis? Untuk menjawab soalan ini, mereka datang dengan logaritma. Terima kasih kepadanya, jawapan di sini boleh ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahawa \(\log_(3)(8)\), serta sebarang logaritma hanyalah nombor. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi ia pendek. Kerana jika kita ingin menulisnya dalam bentuk pecahan perpuluhan, maka ia akan kelihatan seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Penyelesaian :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak boleh dikurangkan kepada tapak yang sama. Jadi di sini anda tidak boleh melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Anak panah kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Balikkan persamaan supaya x berada di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Gerakkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan ia seperti nombor biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bahagikan persamaan dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Inilah punca kami. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi jawapannya tidak dipilih.

Jawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma perpuluhan dan semula jadi

Seperti yang dinyatakan dalam takrifan logaritma, asasnya boleh menjadi sebarang nombor positif kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua asas yang mungkin, terdapat dua yang sering berlaku sehingga notasi pendek khas dicipta untuk logaritma dengannya:

Logaritma asli: logaritma yang asasnya ialah nombor Euler \(e\) (sama dengan lebih kurang \(2.7182818…\)), dan logaritma ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu dia, \(\ln(a)\) adalah sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma perpuluhan: Logaritma yang asasnya ialah 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu dia, \(\lg(a)\) adalah sama dengan \(\log_(10)(a)\), dengan \(a\) ialah beberapa nombor.

Identiti logaritma asas

Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satu daripadanya dipanggil "Identiti logaritma asas" dan kelihatan seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Sifat ini mengikuti terus dari definisi. Mari lihat bagaimana formula ini terhasil.

Mari kita ingat nota ringkas definisi logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Iaitu, \(b\) adalah sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita boleh menulis \(\log_(a)(c)\) dan bukannya \(b\) dalam formula \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiti logaritma utama.

Anda boleh mencari selebihnya sifat logaritma. Dengan bantuan mereka, anda boleh memudahkan dan mengira nilai ungkapan dengan logaritma, yang sukar untuk dikira secara langsung.

Contoh : Cari nilai ungkapan \(36^(\log_(6)(5))\)

Penyelesaian :

Jawab : \(25\)

Bagaimana untuk menulis nombor sebagai logaritma?

Seperti yang dinyatakan di atas, sebarang logaritma hanyalah nombor. Sebaliknya juga benar: sebarang nombor boleh ditulis sebagai logaritma. Sebagai contoh, kita tahu bahawa \(\log_(2)(4)\) adalah sama dengan dua. Kemudian anda boleh menulis \(\log_(2)(4)\) dan bukannya dua.

Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi anda juga boleh menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dsb. Iaitu, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Oleh itu, jika kita perlu, kita boleh menulis kedua-duanya sebagai logaritma dengan mana-mana asas di mana-mana sahaja (walaupun dalam persamaan, walaupun dalam ungkapan, walaupun dalam ketaksamaan) - kita hanya menulis asas kuasa dua sebagai hujah.

Ia sama dengan tiga kali ganda - ia boleh ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis pangkalan dalam kubus sebagai hujah:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan tolak satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dan dengan satu pertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Sebarang nombor \(a\) boleh diwakili sebagai logaritma dengan asas \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Cari nilai ungkapan \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Penyelesaian :

Jawab : \(1\)

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b * a c = a b + c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudiannya, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual penunjuk integer. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana ia diperlukan untuk memudahkan pendaraban yang rumit kepada penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Bahasa yang mudah dan mudah diakses.

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu, logaritma sebarang nombor bukan negatif (iaitu, sebarang positif) "b" mengikut asasnya "a" dianggap kuasa "c ", yang mana perlu untuk menaikkan asas "a", supaya pada akhirnya mendapat nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari ijazah sedemikian sehingga dari 2 hingga ijazah yang diperlukan anda mendapat 8. Setelah melakukan beberapa pengiraan dalam fikiran anda, kami mendapat nombor 3! Dan memang betul, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan nombor 8 dalam jawapannya.

Varieti logaritma

Bagi kebanyakan pelajar dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya, logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Ada tiga jenis tertentu ungkapan logaritma:

Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
Logaritma sebarang nombor b kepada asas a>1.

Setiap daripada mereka diputuskan dengan cara yang standard, yang merangkumi pemudahan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, seseorang harus mengingati sifat mereka dan susunan tindakan dalam keputusan mereka.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-had yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan benar. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca darjah genap daripada nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturannya sendiri, berikutan anda boleh belajar cara bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

asas "a" mestilah sentiasa Di atas sifar, dan pada masa yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
jika a > 0, kemudian a b > 0, ternyata "c" mestilah lebih besar daripada sifar.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, tugas itu diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, anda perlu memilih kuasa sedemikian, menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini sebagai satu logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu kepada mencari tahap di mana asas logaritma mesti dimasukkan untuk mendapatkan nombor yang diberikan.

Untuk menentukan nilai ijazah yang tidak diketahui dengan tepat, anda mesti belajar cara bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun, untuk nilai yang besar anda memerlukan jadual darjah. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak memahami apa-apa dalam kompleks topik matematik. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c, yang mana nombor a dinaikkan. Di persimpangan dalam sel, nilai nombor ditentukan, yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling sebenar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata dalam keadaan tertentu, eksponen ialah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai persamaan logaritma. Contohnya, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai logaritma 81 hingga asas 3, iaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif, peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan penyelesaian persamaan sedikit lebih rendah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.

Ungkapan bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki dalam asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih spesifik nilai berangka, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan, kedua-dua julat nilai yang boleh diterima dan titik ketakselanjaran fungsi ini ditentukan. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif untuk mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan kemudian, mari kita menganalisis terlebih dahulu setiap sifat dengan lebih terperinci.

Identiti asas kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia hanya terpakai jika a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini, prasyaratnya ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , kemudian a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kami mendapat bahawa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat darjah ), dan seterusnya mengikut takrifan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorem dalam bentuk formula memperoleh pandangan seterusnya: log a q b n = n/q log a b.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma". Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik terletak pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika anda menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;

tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem telah terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah logaritma yang paling biasa ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Mereka terdapat dalam hampir semua buku masalah, dan juga termasuk dalam bahagian wajib peperiksaan dalam matematik. Untuk kemasukan ke universiti atau lulus peperiksaan kemasukan dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan masalah tersebut dengan betul.

Malangnya, satu rancangan atau skim untuk ditangani dan ditentukan nilai yang tidak diketahui tiada logaritma, walau bagaimanapun, peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau dikurangkan kepada Pandangan umum. Permudahkan panjang ungkapan logaritma Anda boleh, jika anda menggunakan sifat mereka dengan betul. Jom kenali mereka segera.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, adalah perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita ada sebelum kita: contoh ungkapan mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa anda perlu menentukan sejauh mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma semula jadi perlu memohon identiti logaritma atau harta benda mereka. Mari kita lihat penyelesaian dengan contoh. masalah logaritma jenis yang berbeza.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem utama pada logaritma.

Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan di mana ia perlu untuk dikembangkan sangat penting nombor b dengan lebih faktor utama. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat darjah logaritma, kami berjaya menyelesaikan pada pandangan pertama ungkapan yang kompleks dan tidak dapat diselesaikan. Ia hanya perlu untuk memfaktorkan asas dan kemudian mengambil nilai eksponen daripada tanda logaritma.

Tugasan daripada peperiksaan

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam peperiksaan ( peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah menengah). Biasanya tugasan ini hadir bukan sahaja di bahagian A (yang paling mudah bahagian ujian peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling sukar dan besar). Peperiksaan membayangkan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".

Contoh dan penyelesaian masalah diambil dari rasmi GUNAKAN pilihan. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan itu, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4 , oleh itu 2x = 17; x = 8.5.

Semua logaritma sebaiknya diturunkan kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila mengeluarkan eksponen eksponen ungkapan, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai asasnya, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.

Ramai pelajar terjebak pada persamaan seperti ini. Pada masa yang sama, tugas itu sendiri tidak bermakna rumit - cukup hanya untuk melakukan penggantian pembolehubah yang kompeten, yang mana anda harus belajar cara mengasingkan ekspresi stabil.

Sebagai tambahan kepada pelajaran ini, anda akan menemui kerja bebas yang agak besar, yang terdiri daripada dua pilihan dengan 6 tugas setiap satu.

Kaedah pengelompokan

Hari ini kita akan menganalisis dua persamaan logaritma, salah satunya tidak dapat diselesaikan "sepanjang" dan memerlukan transformasi khas, dan yang kedua ... bagaimanapun, saya tidak akan memberitahu semuanya sekaligus. Tonton video, muat turun kerja bebas - dan pelajari cara menyelesaikan masalah yang rumit.

Jadi, kumpulkan dan ambil faktor sepunya daripada kurungan. Di samping itu, saya akan memberitahu anda apakah perangkap yang dibawa oleh domain definisi logaritma, dan bagaimana kenyataan kecil mengenai domain definisi boleh mengubah kedua-dua akar dan keseluruhan penyelesaian dengan ketara.

Mari kita mulakan dengan kumpulan. Kita perlu menyelesaikan persamaan logaritma berikut:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Pertama sekali, kita ambil perhatian bahawa x 2 − 3x boleh difaktorkan:

log 2 x (x − 3)

Kemudian kita ingat formula yang indah:

log a fg = log a f + log a g

Hanya nota ringkas: formula yang diberikan berfungsi dengan baik apabila a, f dan g ialah nombor biasa. Tetapi apabila terdapat fungsi sebagai gantinya, ungkapan ini tidak lagi mempunyai hak yang sama. Bayangkan situasi hipotesis ini:

f< 0; g < 0

Dalam kes ini, produk fg akan menjadi positif, oleh itu, log a ( fg ) akan wujud, tetapi log a f dan log a g tidak akan wujud secara berasingan, dan kita tidak boleh melakukan transformasi sedemikian.

mengabaikan fakta ini akan membawa kepada penyempitan domain definisi dan, akibatnya, kehilangan akar. Oleh itu, sebelum melakukan transformasi sedemikian, adalah perlu untuk memastikan terlebih dahulu bahawa fungsi f dan g adalah positif.

Dalam kes kami, semuanya mudah. Oleh kerana terdapat log fungsi 2 x dalam persamaan asal, maka x > 0 (lagipun, pembolehubah x berada dalam hujah). Terdapat juga log 2 (x − 3), jadi x − 3 > 0.

Oleh itu, dalam log fungsi 2 x (x − 3) setiap faktor akan lebih besar daripada sifar. Oleh itu, kita boleh menguraikan produk dengan selamat kepada jumlah:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Pada pandangan pertama, nampaknya ia tidak menjadi lebih mudah. Sebaliknya: bilangan syarat hanya meningkat! Untuk memahami cara meneruskan lagi, kami memperkenalkan pembolehubah baharu:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

Dan sekarang kita kumpulkan penggal ketiga dengan yang pertama:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Ambil perhatian bahawa kedua-dua kurungan pertama dan kedua mengandungi b − 1 (dalam kes kedua, anda perlu mengeluarkan "tolak" daripada kurungan). Mari kita faktorkan pembinaan kita:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

Dan sekarang kita ingat peraturan indah kita: produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Mari kita ingat apa itu b dan a. Kami mendapat dua persamaan logaritma mudah di mana yang tinggal hanyalah untuk menyingkirkan tanda-tanda log dan menyamakan hujah:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Kami mendapat dua punca, tetapi ini bukan penyelesaian kepada persamaan logaritma asal, tetapi hanya calon untuk jawapannya. Sekarang mari kita semak domain. Untuk hujah pertama:

x > 0

Kedua-dua akar memenuhi keperluan pertama. Mari kita beralih kepada hujah kedua:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Tetapi di sini sudah x = 2 tidak memuaskan hati kami, tetapi x = 5 sesuai dengan kami dengan baik. Oleh itu, satu-satunya jawapan ialah x = 5.

Kami meneruskan ke persamaan logaritma kedua. Pada pandangan pertama, ia lebih mudah. Walau bagaimanapun, dalam proses menyelesaikannya, kami akan mempertimbangkan perkara halus yang berkaitan dengan domain definisi, kejahilan yang sangat merumitkan kehidupan pelajar baru.

log 0.7 (x 2 - 6x + 2) = log 0.7 (7 - 2x)

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma. Anda tidak perlu menukar apa-apa - walaupun asasnya adalah sama. Oleh itu, kami hanya menyamakan hujah:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Di hadapan kita adalah persamaan kuadratik, ia mudah diselesaikan dengan formula Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Tetapi akar-akar ini bukanlah jawapan yang pasti lagi. Ia adalah perlu untuk mencari domain definisi, kerana terdapat dua logaritma dalam persamaan asal, i.e. adalah amat perlu untuk mengambil kira domain definisi.

Jadi, mari kita tulis domain definisi. Di satu pihak, hujah logaritma pertama mestilah lebih besar daripada sifar:

x 2 − 6x + 2 > 0

Sebaliknya, hujah kedua juga mestilah lebih besar daripada sifar:

7 − 2x > 0

Keperluan ini mesti dipenuhi pada masa yang sama. Dan di sini yang paling menarik bermula. Sudah tentu, kita boleh menyelesaikan setiap ketaksamaan ini, kemudian memotongnya dan mencari domain bagi keseluruhan persamaan. Tetapi mengapa membuat hidup begitu sukar untuk diri sendiri?

Mari kita perhatikan satu kehalusan. Menghilangkan tanda log, kami menyamakan hujah. Ini menunjukkan bahawa keperluan x 2 − 6x + 2 > 0 dan 7 − 2x > 0 adalah setara. Akibatnya, salah satu daripada dua ketaksamaan boleh dipalang. Mari kita memotong yang paling sukar, dan meninggalkan ketaksamaan linear biasa untuk diri kita sendiri:

-2x > -7

x< 3,5

Oleh kerana kami membahagikan kedua-dua bahagian nombor negatif, tanda ketidaksamaan telah berubah.

Jadi kami menemui ODZ tanpa sebarang ketaksamaan kuasa dua, diskriminasi dan persimpangan. Kini ia tetap hanya untuk memilih akar yang terletak pada selang ini. Jelas sekali, hanya x = −1 akan sesuai dengan kita, kerana x = 5 > 3.5.

Anda boleh menulis jawapan: x = 1 ialah satu-satunya penyelesaian kepada persamaan logaritma asal.

Kesimpulan daripada persamaan logaritma ini adalah seperti berikut:

Jangan takut untuk memfaktorkan logaritma, dan kemudian memfaktorkan hasil tambah logaritma. Walau bagaimanapun, ingat bahawa dengan memecahkan produk kepada jumlah dua logaritma, anda dengan itu menyempitkan domain definisi. Oleh itu, sebelum melakukan penukaran sedemikian, pastikan anda menyemak apakah keperluan skop. Selalunya, tiada masalah timbul, tetapi tidak ada salahnya untuk bermain selamat sekali lagi.
Menghilangkan bentuk kanonik cuba mengoptimumkan pengiraan. Khususnya, jika kita dikehendaki bahawa f > 0 dan g > 0, tetapi dalam persamaan itu sendiri f = g , maka kita dengan berani memotong salah satu ketaksamaan, hanya meninggalkan yang paling mudah untuk diri kita sendiri. Dalam kes ini, domain definisi dan jawapan tidak akan terjejas dalam apa jua cara, tetapi jumlah pengiraan akan dikurangkan dengan ketara.

Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin ceritakan tentang kumpulan itu. :)

Kesilapan biasa dalam menyelesaikan

Hari ini kita akan menganalisis dua persamaan logaritma tipikal yang ramai pelajar tersandung. Pada contoh persamaan ini, kita akan melihat apakah kesilapan yang paling kerap dilakukan dalam proses menyelesaikan dan mengubah ungkapan asal.

Persamaan pecahan-rasional dengan logaritma

Perlu diperhatikan dengan segera bahawa ini adalah jenis persamaan yang agak berbahaya, di mana pecahan dengan logaritma di suatu tempat dalam penyebut tidak selalu hadir dengan serta-merta. Walau bagaimanapun, dalam proses transformasi, pecahan sedemikian semestinya akan timbul.

Pada masa yang sama, berhati-hati: dalam proses transformasi, domain awal takrifan logaritma boleh berubah dengan ketara!

Kita beralih kepada persamaan logaritma yang lebih tegar yang mengandungi pecahan dan asas pembolehubah. Untuk satu pelajaran pendek mempunyai lebih banyak masa, saya tidak akan memberitahu teori asas. Mari kita terus ke tugasan:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Melihat persamaan ini, seseorang akan bertanya: “Apa kaitannya persamaan rasional pecahan? Di manakah pecahan dalam persamaan ini? Jangan tergesa-gesa dan melihat dengan lebih dekat setiap penggal.

Sebutan pertama: 4 log 25 (x − 1). Asas logaritma ialah nombor, tetapi hujahnya ialah fungsi x . Kami belum boleh berbuat apa-apa tentang perkara ini. Teruskan.

Sebutan seterusnya ialah log 3 27. Ingat bahawa 27 = 3 3 . Oleh itu, kita boleh menulis semula keseluruhan logaritma seperti berikut:

log 3 27 = 3 3 = 3

Jadi penggal kedua hanya tiga. Sebutan ketiga: 2 log x − 1 5. Tidak semuanya mudah di sini sama ada: asas ialah fungsi, hujah ialah nombor biasa. Saya mencadangkan untuk membalikkan keseluruhan logaritma mengikut formula berikut:

log a b = 1/log b a

Penjelmaan sedemikian hanya boleh dilakukan jika b ≠ 1. Jika tidak, logaritma yang akan diperolehi dalam penyebut pecahan kedua tidak akan wujud. Dalam kes kami, b = 5, jadi semuanya baik-baik saja:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Mari kita tulis semula persamaan asal dengan mengambil kira penjelmaan yang diperoleh:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Kami mempunyai log 5 (x − 1) dalam penyebut pecahan, dan log 25 (x − 1) dalam sebutan pertama. Tetapi 25 \u003d 5 2, jadi kami mengeluarkan persegi dari pangkal logaritma mengikut peraturan:

Dengan kata lain, eksponen di pangkal logaritma menjadi pecahan di hadapan. Dan ungkapan itu akan ditulis semula seperti ini:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Kami mempunyai persamaan yang panjang dengan sekumpulan logaritma yang sama. Mari perkenalkan pembolehubah baharu:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Tetapi ini sudah menjadi persamaan pecahan-rasional, yang diselesaikan dengan cara algebra gred 8-9. Pertama, mari kita pecahkan kepada dua:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Petak tepat adalah dalam kurungan. Mari kita gulungkannya:

(t − 1) 2 /t = 0

Pecahan adalah sifar apabila pengangkanya adalah sifar dan penyebutnya adalah bukan sifar. Jangan lupa fakta ini:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Mari kita ingat apa itu t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Kami menyingkirkan tanda log, menyamakan hujah mereka, dan kami mendapat:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Semua. Masalah selesai. Tetapi mari kita kembali kepada persamaan asal dan ingat bahawa terdapat dua logaritma dengan pembolehubah x sekaligus. Oleh itu, anda perlu menulis domain definisi. Memandangkan x − 1 berada dalam hujah logaritma, ungkapan ini mestilah lebih besar daripada sifar:

x − 1 > 0

Sebaliknya, x − 1 yang sama juga terdapat dalam pangkalan, jadi ia mesti berbeza daripada satu:

x − 1 ≠ 1

Oleh itu kami membuat kesimpulan:

x > 1; x ≠ 2

Keperluan ini mesti dipenuhi pada masa yang sama. Nilai x = 6 memenuhi kedua-dua keperluan, begitu juga x = 6 keputusan terakhir persamaan logaritma.

Mari kita beralih kepada tugas kedua:

Sekali lagi, jangan tergesa-gesa melihat setiap istilah:

log 4 (x + 1) - terdapat empat di pangkalan. Nombor biasa, dan anda tidak boleh menyentuhnya. Tetapi dalam kali terakhir kami tersandung pada segi empat tepat di pangkalan, yang perlu dikeluarkan dari bawah tanda logaritma. Mari kita lakukan perkara yang sama sekarang:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Caranya ialah kita sudah mempunyai logaritma dengan pembolehubah x , walaupun dalam asas - ia adalah songsang logaritma yang baru kita temui:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Sebutan seterusnya ialah log 2 8. Ini adalah pemalar, kerana kedua-dua hujah dan asas ialah nombor biasa. Mari cari nilai:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan logaritma terakhir:

Sekarang mari kita tulis semula persamaan asal:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Mari kita bawa segala-galanya kepada penyebut yang sama:

Di hadapan kita sekali lagi persamaan pecahan-rasional. Mari perkenalkan pembolehubah baharu:

t = log 2 (x + 1)

Mari kita tulis semula persamaan dengan mengambil kira pembolehubah baharu:

Berhati-hati: pada langkah ini, saya menukar syarat. Pengangka pecahan ialah kuasa dua selisih:

Seperti kali terakhir, pecahan adalah sifar apabila pengangkanya adalah sifar dan penyebutnya adalah bukan sifar:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Kami mendapat satu punca yang memenuhi semua keperluan, jadi kami kembali ke pembolehubah x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Itu sahaja, kami telah menyelesaikan persamaan. Tetapi kerana terdapat beberapa logaritma dalam persamaan asal, adalah perlu untuk menulis domain definisi.

Jadi, ungkapan x + 1 adalah dalam hujah logaritma. Oleh itu, x + 1 > 0. Sebaliknya, x + 1 juga terdapat dalam tapak, i.e. x + 1 ≠ 1. Jumlah:

0 ≠ x > −1

Adakah akar yang ditemui memenuhi keperluan ini? Tidak dinafikan. Oleh itu, x = 15 ialah penyelesaian kepada persamaan logaritma asal.

Akhir sekali, saya ingin mengatakan perkara berikut: jika anda melihat persamaan dan memahami bahawa anda perlu menyelesaikan sesuatu yang kompleks dan tidak standard, cuba serlahkan struktur yang stabil, yang kemudiannya akan dilambangkan dengan pembolehubah lain. Jika sesetengah istilah tidak mengandungi pembolehubah x sama sekali, ia selalunya boleh dikira dengan mudah.

Itu sahaja yang saya ingin bincangkan hari ini. Saya harap pelajaran ini akan membantu anda dalam menyelesaikan persamaan logaritma kompleks. Tonton tutorial video lain, muat turun dan selesaikan kerja bebas dan jumpa lagi dalam video seterusnya!