Definisi: Titik x0 dipanggil titik maksimum tempatan (atau minimum) fungsi, jika dalam beberapa kejiranan titik x0 fungsi mengambil nilai terbesar (atau terkecil), i.e. untuk semua х dari beberapa kejiranan titik x0 keadaan f(x) f(x0) (atau f(x) f(x0)) dipenuhi.

Titik tinggi atau rendah tempatan digabungkan nama yang selalu digunakan- titik ekstrem tempatan fungsi.

Ambil perhatian bahawa pada titik ekstrem tempatan, fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum hanya di beberapa kawasan setempat. Terdapat kes apabila, mengikut nilai уmaxуmin .

Kriteria yang diperlukan untuk kewujudan ekstrem tempatan sesuatu fungsi

Teorem . Jika fungsi selanjar y = f(x) mempunyai ekstrem tempatan pada titik x0, maka pada ketika ini terbitan pertama adalah sama ada sifar atau tidak wujud, i.e. ekstrem tempatan berlaku pada titik kritikal jenis pertama.

Pada titik ekstrem tempatan, sama ada tangen adalah selari dengan paksi 0x, atau terdapat dua tangen (lihat rajah). Ambil perhatian bahawa titik kritikal adalah syarat yang perlu tetapi tidak mencukupi untuk ekstrem tempatan. Ekstrem tempatan berlaku hanya pada titik kritikal jenis pertama, tetapi tidak semua titik kritikal mempunyai ekstrem tempatan.

Contohnya: parabola padu y = x3, mempunyai titik genting x0=0, di mana terbitan y/(0)=0, tetapi titik genting x0=0 bukanlah titik ekstrem, tetapi terdapat titik infleksi di dalamnya (lihat di bawah).

Kriteria yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem tempatan sesuatu fungsi

Teorem . Jika, apabila hujah melepasi titik kritikal jenis pertama, dari kiri ke kanan, terbitan pertama y / (x)

menukar tanda daripada “+” kepada “-”, maka fungsi berterusan y(x) pada titik kritikal ini mempunyai maksimum tempatan;

menukar tanda daripada “-” kepada “+”, maka fungsi berterusan y(x) mempunyai minimum setempat pada titik kritikal ini

tidak menukar tanda, maka tiada ekstrem tempatan pada titik kritikal ini, terdapat titik infleksi.

Untuk maksimum tempatan, kawasan fungsi meningkat (y/0) digantikan dengan kawasan fungsi menurun (y/0). Untuk minimum tempatan, kawasan fungsi menurun (y/0) digantikan dengan luas fungsi meningkat (y/0).

Contoh: Menyiasat fungsi y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 untuk monotonicity, extremum dan bina graf bagi fungsi tersebut.

Mari kita cari titik genting jenis pertama dengan mentakrifkan terbitan (y/) dan menyamakannya dengan sifar: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Kami akan membuat keputusan trinomial segi empat sama menggunakan diskriminasi:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Mari kita bahagikan paksi berangka dengan titik genting kepada 3 kawasan dan tentukan tanda terbitan (y/) di dalamnya. Berdasarkan tanda-tanda ini, kita dapati kawasan monotonisitas (kenaikan dan penurunan) fungsi, dan dengan menukar tanda-tanda, kita menentukan titik ekstrem tempatan (maksimum dan minimum).

Hasil kajian dibentangkan dalam bentuk jadual, dari mana kesimpulan berikut boleh dibuat:

• 1. Pada selang y /(-10) 0, fungsi meningkat secara monoton (tanda derivatif y dianggarkan daripada titik kawalan x = -10 yang diambil dalam selang ini);
• 2. Pada selang (-5; -1) y /(-2) 0, fungsi menurun secara monoton (tanda derivatif y dianggarkan daripada titik kawalan x = -2 yang diambil dalam selang ini);
• 3. Pada selang y /(0) 0, fungsi meningkat secara monoton (tanda derivatif y dianggarkan daripada titik kawalan x = 0 yang diambil dalam selang ini);
• 4. Apabila melalui titik kritikal x1k \u003d -5, derivatif bertukar tanda daripada "+" kepada "-", oleh itu titik ini ialah titik maksimum tempatan
• (ymaks(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Apabila melalui titik kritikal x2k \u003d -1, derivatif bertukar tanda dari "-" kepada "+", oleh itu titik ini ialah titik minimum setempat
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Kami akan membina graf berdasarkan hasil kajian dengan penglibatan pengiraan tambahan nilai-nilai fungsi di titik kawalan:

bangunan sistem segi empat tepat Koordinat oksi;

tunjukkan koordinat mata maksimum (-5; 16) dan minimum (-1; -16);

untuk memperhalusi graf, kami mengira nilai fungsi pada titik kawalan, memilihnya di sebelah kiri dan kanan titik maksimum dan minimum dan di dalam selang tengah, contohnya: y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) dan (0;-9) - titik kawalan yang dikira, yang diplot untuk membina graf;

kami menunjukkan graf dalam bentuk lengkung dengan bonjolan ke atas pada titik maksimum dan bonjolan ke bawah pada titik minimum dan melalui titik kawalan yang dikira.

MATA MAKSIMUM DAN MINIMUM

mata yang mengambil yang terbesar atau nilai terkecil pada domain definisi; mata sedemikian dipanggil juga mata maksimum mutlak atau minimum mutlak. Jika f ditakrifkan pada topologi ruang X, kemudian titik x 0 dipanggil titik maksimum tempatan (minimum tempatan), jika titik sedemikian wujud x 0, bahawa untuk sekatan fungsi yang sedang dipertimbangkan untuk kejiranan ini, intinya x 0 ialah titik maksimum (minimum) mutlak. Bezakan titik maksimum ketat dan tidak ketat (mini m u m a) (kedua-dua mutlak dan tempatan). Sebagai contoh, satu titik dipanggil titik maksimum tempatan yang tidak ketat (ketat) bagi fungsi f, jika wujud kejiranan titik tersebut x 0, yang berlaku untuk semua (masing-masing, f(x) x0). )/

Untuk fungsi yang ditakrifkan pada domain dimensi terhingga, dari segi kalkulus pembezaan, terdapat syarat dan kriteria untuk titik tertentu menjadi titik maksimum (minimum) setempat. Biarkan fungsi f ditakrifkan dalam kejiranan tertentu kotak x 0 paksi sebenar. Sekiranya x 0 - titik maksimum tempatan tidak ketat (minimum) dan pada ketika ini wujud f"( x0), maka ia sama dengan sifar.

Jika fungsi yang diberi f boleh dibezakan dalam kejiranan suatu titik x 0 , kecuali, mungkin, untuk titik ini sendiri, di mana ia berterusan, dan terbitan f" pada setiap sisi titik x0 mengekalkan tanda yang berterusan di kawasan kejiranan ini, kemudian untuk x0 ialah titik maksimum tempatan yang ketat (minimum tempatan), adalah perlu dan mencukupi bahawa derivatif berubah menandakan daripada tambah kepada tolak, iaitu, bahawa f "(x)> 0 pada x<.x0 dan f"(x)<0 при x>x0(masing-masing dari tolak hingga tambah: f"(X) <0 pada x<x0 dan f"(x)>0 apabila x>x 0). Walau bagaimanapun, bukan untuk setiap fungsi yang boleh dibezakan dalam kejiranan sesuatu titik x 0 , seseorang boleh bercakap tentang perubahan dalam tanda terbitan pada ketika ini. . "

Jika fungsi f mempunyai pada titik x 0 t derivatif, lebih-lebih lagi, untuk x 0 ialah titik maksimum tempatan yang ketat, adalah perlu dan mencukupi bahawa τ adalah genap dan f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Biarkan fungsi f( x 1 ..., x hlm] ditakrifkan dalam kejiranan n-dimensi bagi suatu titik dan boleh dibezakan pada titik ini. Jika x (0) ialah titik maksimum (minimum) tempatan yang tidak ketat, maka fungsi f pada titik ini adalah sama dengan sifar. Keadaan ini bersamaan dengan kesamaan kepada sifar pada titik ini bagi semua terbitan separa tertib pertama bagi fungsi f. Jika suatu fungsi mempunyai terbitan separa selanjar ke-2 pada x(0) , semua terbitan pertamanya lenyap pada x(0) dan pembezaan tertib ke-2 pada x(0) ialah bentuk kuadratik negatif (positif), maka x(0) ialah a titik maksimum tempatan yang ketat (minimum). Syarat dikenali untuk M. dan M. T. fungsi boleh dibezakan, apabila sekatan tertentu dikenakan ke atas perubahan dalam hujah: persamaan kekangan dipenuhi. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk maksimum (minimum) fungsi sebenar, yang mempunyai lebih daripada struktur kompleks, dipelajari dalam cabang khas matematik: contohnya, dalam analisis cembung, pengaturcaraan matematik (lihat juga Memaksimumkan dan pengecilan fungsi). Fungsi M. dan m.t. yang ditakrifkan pada manifold dikaji dalam kalkulus variasi secara umum, dan M. dan m.t. untuk fungsi yang ditakrifkan pada ruang fungsi, iaitu, untuk fungsi, dalam kalkulus variasi. Terdapat juga pelbagai kaedah dapatan anggaran berangka M. dan m. t.

Menyala.: I l dan n V. A., Poznya kepada E. G., Asas analisis matematik, ed. ke-3, bahagian 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Ensiklopedia matematik. - M.: Ensiklopedia Soviet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apa "MATA MAKSIMUM DAN MINIMUM" dalam kamus lain:

Prinsip maksimum Pontryagin diskret untuk proses kawalan masa diskret. Untuk proses sedemikian, M. p. mungkin tidak berpuas hati, walaupun untuk analog berterusannya, yang diperoleh dengan menggantikan operator perbezaan terhingga dengan satu pembezaan ... ... Ensiklopedia Matematik

Teorem menyatakan salah satu daripada sifat asas modul analisis. fungsi. Biarkan f(z) menjadi fungsi analitik atau holomorfik biasa bagi pembolehubah p-kompleks dalam domain D bagi ruang nombor kompleks selain pemalar, M. m. s. dalam ... ... Ensiklopedia Matematik

Nilai terbesar dan, dengan itu, nilai terkecil fungsi yang mengambil nilai sebenar. Titik domain definisi fungsi yang dipersoalkan, di mana ia mengambil maksimum atau minimum, dipanggil. masing-masing titik maksimum atau titik minimum ... ... Ensiklopedia Matematik

Lihat Maksimum dan minimum fungsi, Maksimum dan minimum titik... Ensiklopedia Matematik

Maknanya fungsi berterusan, iaitu maksimum atau minimum (lihat Mata maksimum dan minimum). Istilah LE... Ensiklopedia Matematik

Penunjuk- (Penunjuk) Penunjuknya ialah Sistem informasi, bahan, peranti, peranti yang memaparkan perubahan dalam mana-mana parameter Penunjuk carta pasaran mata wang Forex, apakah itu dan di mana ia boleh dimuat turun? Penerangan tentang penunjuk MACD, ... ... Ensiklopedia pelabur

Istilah ini mempunyai makna lain, lihat Extreme (makna). Extremum (Latin extremum extreme) dalam matematik ialah maksimum atau nilai minimum berfungsi pada set tertentu. Titik di mana ekstrem dicapai ialah ... ... Wikipedia

Kalkulus pembezaan bahagian analisis matematik yang mengkaji konsep derivatif dan pembezaan dan bagaimana ia boleh digunakan untuk kajian fungsi. Kandungan 1 Kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah ... Wikipedia

Lemniscate dan muslihatnya Lemniscate Bernoulli ialah lengkung algebra satah. Ditakrifkan sebagai tempat geometri mata, produk ... Wikipedia

Perbezaan- (Divergence) Divergence sebagai penunjuk Strategi perdagangan dengan MACD divergence Kandungan Kandungan Bahagian 1. pada. Bahagian 2. Divergence bagaimana. Divergence adalah istilah yang digunakan dalam ekonomi untuk merujuk kepada pergerakan sepanjang divergen ... ... Ensiklopedia pelabur

Perubahan fungsi dalam titik tertentu dan ditakrifkan sebagai had kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, yang cenderung kepada sifar. Untuk mencarinya, gunakan jadual derivatif. Sebagai contoh, terbitan bagi fungsi y = x3 akan sama dengan y’ = x2.

Samakan derivatif ini kepada sifar (dalam kes ini x2=0).

Cari nilai pembolehubah yang diberi. Ini akan menjadi nilai yang derivatif ini akan sama dengan 0. Untuk melakukan ini, gantikan nombor arbitrari dalam ungkapan dan bukannya x, di mana keseluruhan ungkapan akan menjadi sifar. Sebagai contoh:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Gunakan nilai yang diperolehi pada garis koordinat dan hitung tanda terbitan bagi setiap satu yang diperoleh. Titik ditanda pada garis koordinat, yang diambil sebagai asal. Untuk mengira nilai dalam selang, gantikan nilai arbitrari yang sepadan dengan kriteria. Sebagai contoh, untuk fungsi sebelumnya sehingga selang -1, anda boleh memilih nilai -2. Untuk -1 hingga 1, anda boleh memilih 0, dan untuk nilai lebih daripada 1, pilih 2. Gantikan nombor ini dalam derivatif dan ketahui tanda terbitan. Dalam kes ini, terbitan dengan x = -2 akan sama dengan -0.24, i.e. negatif dan akan terdapat tanda tolak pada selang ini. Jika x=0, maka nilainya akan sama dengan 2, dan tanda diletakkan pada selang ini. Jika x=1, maka terbitan juga akan sama dengan -0.24 dan tolak diletakkan.

Jika, apabila melalui titik pada garis koordinat, derivatif menukar tandanya dari tolak kepada tambah, maka ini adalah titik minimum, dan jika dari tambah kepada tolak, maka ini adalah titik maksimum.

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Untuk mencari derivatif, terdapat perkhidmatan dalam talian yang mengira nilai yang dikehendaki dan keluarkan hasilnya. Di tapak sedemikian, anda boleh menemui terbitan sehingga 5 pesanan.

Sumber:

• Salah satu perkhidmatan untuk mengira derivatif
• titik maksimum fungsi

Titik maksimum fungsi bersama dengan titik minimum dipanggil titik ekstrem. Pada titik ini, fungsi mengubah tingkah lakunya. Keterlaluan ditentukan pada terhad selang berangka dan sentiasa tempatan.

Arahan

Proses mencari ekstrema tempatan dipanggil fungsi dan dilakukan dengan menganalisis terbitan pertama dan kedua bagi fungsi tersebut. Sebelum memulakan kajian, pastikan itu selang yang ditentukan nilai hujah kepunyaan nilai yang dibenarkan. Sebagai contoh, untuk fungsi F=1/x, nilai argumen x=0 adalah tidak sah. Atau untuk fungsi Y=tg(x), argumen tidak boleh mempunyai nilai x=90°.

Pastikan fungsi Y boleh dibezakan pada semua segmen yang diberikan. Cari terbitan pertama bagi Y". Jelas sekali, sebelum mencapai titik maksimum tempatan, fungsi meningkat, dan apabila melalui maksimum, fungsi menjadi berkurangan. Derivatif pertama dengan cara tersendiri makna fizikal mencirikan kadar perubahan fungsi. Selagi fungsi meningkat, kadar proses ini adalah nilai positif. Apabila melalui maksimum tempatan, fungsi mula berkurangan, dan kadar proses menukar fungsi menjadi negatif. Peralihan kadar perubahan fungsi melalui sifar berlaku pada titik maksimum tempatan.

>> Keterlaluan

Fungsi extremum

Definisi extremum

Fungsi y = f(x) dipanggil semakin meningkat (amaran) dalam beberapa selang jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Jika fungsi boleh beza y \u003d f (x) pada segmen meningkat (berkurang), maka derivatifnya pada segmen ini f " (x )> 0

(f"(x)< 0).

titik x kira-kira dipanggil titik maksimum tempatan (minimum) bagi fungsi f (x ) jika terdapat kejiranan titik itu x o, untuk semua titik di mana ketaksamaan f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Mata maksimum dan minimum dipanggil titik melampau, dan nilai fungsi pada titik ini adalah melampau.

titik melampau

Syarat yang diperlukan untuk ekstrem . Jika titik x kira-kira ialah titik ekstrem bagi fungsi f (x), kemudian sama ada f " (x o ) = 0, atau f(x o ) tidak wujud. Titik sedemikian dipanggil kritikal, di mana fungsi itu sendiri ditakrifkan pada titik kritikal. Ekstrema fungsi harus dicari di antara titik kritikalnya.

Pertama keadaan yang mencukupi. biarlah x kira-kira - titik kritikal. jika f" (x ) apabila melalui titik itu x kira-kira menukar tanda tambah kepada tolak, kemudian pada titik x o fungsi mempunyai maksimum, jika tidak, ia mempunyai minimum. Jika derivatif tidak berubah tanda apabila melalui titik kritikal, maka pada titik x kira-kira tidak ada yang melampau.

Syarat kedua mencukupi. Biarkan fungsi f(x) mempunyai
f" (x ) di sekitar titik itu x kira-kira dan terbitan kedua pada titik yang sangat x o. jika f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o ialah titik minimum (maksimum) tempatan bagi fungsi f(x). Jika =0, ​​maka seseorang mesti sama ada menggunakan syarat mencukupi pertama, atau melibatkan yang lebih tinggi.

Pada segmen, fungsi y \u003d f (x) boleh mencapai nilai terkecil atau terbesar sama ada pada titik kritikal atau di hujung segmen.

Contoh 3.22.

Penyelesaian. Kerana f " (

Tugas untuk mencari ekstrem fungsi

Contoh 3.23. a

Penyelesaian. x dan y y
0 ≤ x≤
> 0, manakala x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi persegi. unit).

Contoh 3.24. p ≈

Penyelesaian. hlm
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22.Cari ekstrem bagi fungsi f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Penyelesaian. Kerana f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), maka titik kritikal fungsi x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d 3. Titik ekstrem hanya boleh berada pada titik ini mata. Oleh kerana apabila melalui titik x 1 \u003d 2, derivatif berubah tanda dari tambah kepada tolak, maka pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum. Apabila melalui titik x 2 \u003d 3, derivatif berubah tanda dari tolak ke tambah, oleh itu, pada titik x 2 \u003d 3, fungsi mempunyai minimum. Mengira nilai fungsi dalam mata
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita dapati ekstrem fungsi: maksimum f (2) = 14 dan minimum f (3) = 13.

Contoh 3.23.Ia adalah perlu untuk membina kawasan segi empat tepat berhampiran dinding batu supaya ia dipagari dengan dawai pada tiga sisi, dan bersebelahan dengan dinding di sisi keempat. Untuk ini ada a meter linear grid. Pada nisbah aspek apakah tapak tersebut mempunyai keluasan terbesar?

Penyelesaian.Nyatakan sisi tapak melalui x dan y. Luas tapak adalah sama dengan S = xy. biarlah y ialah panjang sisi yang bersebelahan dengan dinding. Kemudian, mengikut syarat, kesamaan 2x + y = mesti dipegang. Oleh itu y = a - 2x dan S = x (a - 2x), di mana
0 ≤ x≤ a /2 (panjang dan lebar pad tidak boleh negatif). S "= a - 4x, a - 4x = 0 untuk x = a/4, dari mana
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kerana ia x = a /4 ialah satu-satunya titik kritikal, mari kita periksa sama ada tanda derivatif berubah apabila melalui titik ini. Untuk x a /4 S "> 0, manakala x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (persegi. unit). Oleh kerana S berterusan dan nilainya pada hujung S(0) dan S(a /2) adalah sama dengan sifar, maka nilai yang didapati akan nilai tertinggi fungsi. Oleh itu, nisbah aspek yang paling baik bagi tapak di bawah keadaan masalah yang diberikan ialah y = 2x.

Contoh 3.24.Ia dikehendaki membuat tangki silinder tertutup dengan kapasiti V=16 p ≈ 50 m 3. Apakah ukuran tangki yang sepatutnya (jejari R dan ketinggian H) untuk menggunakan jumlah bahan yang paling sedikit untuk pembuatannya?

Penyelesaian.Segi empat permukaan penuh silinder ialah S = 2 hlm R(R+H). Kita tahu isipadu silinder V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Jadi S(R) = 2 hlm (R2+16/R). Kami mencari terbitan fungsi ini:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 untuk R 3 = 8, oleh itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dikatakan bahawa $f$ telah maksimum tempatan pada titik $x_(0) \dalam E$ jika wujud kejiranan $U$ daripada titik $x_(0)$ supaya untuk semua $x \dalam U$ ketaksamaan $f\kiri(x\kanan) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Maksimum tempatan dipanggil tegas , jika kejiranan $U$ boleh dipilih dengan cara yang untuk semua $x \dalam U$ berbeza daripada $x_(0)$ terdapat $f\kiri(x\kanan)< f\left(x_{0}\right)$.

Definisi
Biarkan $f$ menjadi fungsi sebenar pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dikatakan bahawa $f$ telah minimum tempatan pada titik $x_(0) \dalam E$ jika wujud kejiranan $U$ daripada titik $x_(0)$ supaya untuk semua $x \dalam U$ ketaksamaan $f\kiri(x\kanan) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Minimum tempatan dikatakan ketat jika kejiranan $U$ boleh dipilih supaya untuk semua $x \dalam U$ berbeza daripada $x_(0)$ $f\kiri(x\kanan) > f\kiri(x_ ( 0)\kanan)$.

Ekstrem tempatan menggabungkan konsep minimum tempatan dan maksimum tempatan.

Teorem ( syarat yang perlu ekstrem bagi fungsi boleh dibezakan)
Biarkan $f$ menjadi fungsi sebenar pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jika pada titik $x_(0) \dalam E$ fungsi $f$ mempunyai ekstrem tempatan pada titik ini juga, maka $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Kesamaan kepada pembezaan sifar adalah bersamaan dengan fakta bahawa semua adalah sama dengan sifar, i.e. $$\displaystyle\frac(\sebahagian f)(\sebahagian x_(i))\kiri(x_(0)\kanan)=0.$$

Dalam kes satu dimensi, ini ialah . Nyatakan $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, dengan $h$ ialah vektor sewenang-wenangnya. Fungsi $\phi$ ditakrifkan untuk nilai modulo yang cukup kecil iaitu $t$. Selain itu, berkenaan dengan , ia boleh dibezakan, dan $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Biarkan $f$ mempunyai maksimum tempatan pada x $0$. Oleh itu, fungsi $\phi$ pada $t = 0$ mempunyai maksimum tempatan dan, mengikut teorem Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Jadi, kami mendapat $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ adalah sama dengan sifar pada mana-mana vektor $h$.

Definisi
Titik di mana pembezaan adalah sama dengan sifar, i.e. yang mana semua terbitan separa adalah sama dengan sifar dipanggil pegun. titik kritikal fungsi $f$ ialah titik di mana $f$ tidak boleh dibezakan, atau sama dengan sifar. Jika titik itu pegun, maka ia belum lagi menunjukkan bahawa fungsi itu mempunyai ekstrem pada ketika ini.

Contoh 1
Biarkan $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Kemudian $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, supaya $\left(0,0\right)$ ialah titik pegun, tetapi pada ketika ini fungsi tidak mempunyai extremum. Memang, $f \left(0,0\right) = 0$, tetapi mudah untuk melihat bahawa dalam mana-mana kejiranan titik $\left(0,0\right)$ fungsi mengambil kedua-dua nilai positif dan negatif.

Contoh 2
Fungsi $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ mempunyai asal koordinat sebagai titik pegun, tetapi jelas bahawa tiada ekstrem pada ketika ini.

Teorem (syarat yang mencukupi untuk ekstrem).
Biarkan fungsi $f$ dua kali boleh dibezakan secara berterusan pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Biarkan $x_(0) \dalam E$ menjadi titik pegun dan $$\gaya paparan Q_(x_(0)) \kiri(h\kanan) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian x_(i) \sebahagian x_(j)) \kiri(x_(0)\kanan)h^(i)h^(j).$ $ Kemudian

1. jika $Q_(x_(0))$ ialah , maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ mempunyai ekstrem tempatan, iaitu, minimum jika bentuk itu pasti positif dan maksimum jika bentuk itu negatif-pasti;
2. jika bentuk kuadratik$Q_(x_(0))$ tidak ditentukan, maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ tidak mempunyai ekstrem.

Mari kita gunakan pengembangan mengikut formula Taylor (12.7 ms 292) . Dengan mengambil kira bahawa derivatif separa tertib pertama pada titik $x_(0)$ adalah sama dengan sifar, kita mendapat $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ sebahagian x_(j)) \kiri(x_(0)+\theta h\kanan)h^(i)h^(j),$$ di mana $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, dan $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ untuk $h \rightarrow 0$, kemudian bahagian kanan adalah positif untuk mana-mana vektor $h$ dengan panjang yang cukup kecil.
Oleh itu, kami telah membuat kesimpulan bahawa dalam beberapa kejiranan titik $x_(0)$ ketaksamaan $f \kiri(x\kanan) >f \kiri(x_(0)\kanan)$ dipenuhi jika hanya $ x \neq x_ (0)$ (kami meletakkan $x=x_(0)+h$\kanan). Ini bermakna bahawa pada titik $x_(0)$ fungsi mempunyai minimum tempatan yang ketat, dan dengan itu bahagian pertama teorem kami terbukti.
Katakan sekarang bahawa $Q_(x_(0))$ ialah bentuk tak tentu. Kemudian terdapat vektor $h_(1)$, $h_(2)$ sehingga $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \kiri(h_(2)\kanan)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Kemudian kita dapat $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \kiri(th_(1)\kanan) \kanan] = \frac(1)(2) t^(2) \ kiri[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\kanan) \kanan].$$ Untuk $t>0$ yang cukup kecil, sebelah kanan ialah positif. Ini bermakna dalam mana-mana kejiranan titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai $f \left(x\right)$ lebih besar daripada $f \left(x_(0)\right)$.
Begitu juga, kita memperoleh bahawa dalam mana-mana kejiranan titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai kurang daripada $f \left(x_(0)\kanan)$. Ini, bersama-sama dengan yang sebelumnya, bermakna bahawa fungsi $f$ tidak mempunyai ekstrem pada titik $x_(0)$.

Pertimbangkan kes istimewa teorem ini untuk fungsi $f \left(x,y\right)$ dua pembolehubah yang ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik $\left(x_(0),y_(0)\kanan)$ dan mempunyai derivatif separa berterusan daripada pesanan pertama dan kedua. Biarkan $\left(x_(0),y_(0)\kanan)$ menjadi titik pegun dan biarkan $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \kiri(x_(0) ,y_(0)\kanan), a_(12)=\frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian x \sebahagian y) \kiri(x_( 0) , y_(0)\kanan), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Kemudian teorem sebelumnya mengambil bentuk berikut.

Teorem
Biarkan $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Kemudian:

1. jika $\Delta>0$, maka fungsi $f$ mempunyai ekstrem tempatan pada titik $\left(x_(0),y_(0)\right)$, iaitu, minimum jika $a_(11)> 0$ , dan maksimum jika $a_(11)<0$;
2. jika $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Contoh penyelesaian masalah

Algoritma untuk mencari ekstrem bagi fungsi banyak pembolehubah:

1. Kami mencari titik pegun;
2. Kami mencari pembezaan susunan ke-2 di semua titik pegun
3. Menggunakan keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi beberapa pembolehubah, kami menganggap pembezaan tertib kedua pada setiap titik pegun

1. Siasat fungsi ke ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Penyelesaian

   Cari terbitan separa bagi tertib pertama: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Karang dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Daripada persamaan ke-2, kami menyatakan $x=4 \cdot y^(2)$ — gantikan ke dalam persamaan 1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Hasilnya, 2 titik pegun diperoleh:
   1) $y=0 \Anak panah kanan x = 0, M_(1) = \kiri(0, 0\kanan)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \kiri(\frac(1)(2), 1\kanan)$
   Mari kita semak pemenuhan syarat ekstrem yang mencukupi:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Untuk titik $M_(1)= \kiri(0,0\kanan)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Untuk mata $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, jadi terdapat ekstrem pada titik $M_(2)$, dan sejak $A_(2)>0 $, maka ini adalah minimum.
   Jawapan: Titik $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ ialah titik minimum bagi fungsi $f$.
   

2. Siasat fungsi bagi ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Penyelesaian

   Cari titik pegun: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Karang dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Anak panah kanan \begin(huruf)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(huruf besar) \Anak panah kanan \begin(huruf) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \kiri(-1, 2\kanan)$ ialah titik pegun.
   Mari kita semak pemenuhan syarat ekstrem yang mencukupi: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Jawapan: tidak ada extrema.
   

Had masa: 0

Navigasi (nombor kerja sahaja)

0 daripada 4 tugasan selesai

Maklumat

Ambil kuiz ini untuk menguji pengetahuan anda tentang topik yang baru anda baca, Local Extrema of Functions of Many Variable.

Anda telah pun mengambil ujian sebelum ini. Anda tidak boleh menjalankannya lagi.

Ujian sedang dimuatkan...

Anda mesti log masuk atau mendaftar untuk memulakan ujian.

Anda mesti melengkapkan ujian berikut untuk memulakan ujian ini:

keputusan

Jawapan betul: 0 daripada 4

Masa kamu:

Masa sudah tamat

Anda mendapat 0 daripada 0 mata (0 )

Markah anda telah direkodkan pada papan pendahulu

1. Dengan jawapan
2. Daftar keluar

Tugasan 1 daripada 4

1 .

Bilangan mata: 1

Siasat fungsi $f$ untuk ekstrem: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

dengan betul


Tidak betul


1. Tugasan 2 daripada 4

   2 .

   Bilangan mata: 1

   Adakah fungsi $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$