varians jangkaan matematik. Untuk mencapai hasil yang positif, ia sama pentingnya

Tugasan 1. Kebarangkalian percambahan biji gandum ialah 0.9. Apakah kebarangkalian bahawa daripada empat biji benih yang disemai, sekurang-kurangnya tiga akan bercambah?

Penyelesaian. Biarkan acara itu TAPI- daripada 4 biji, sekurang-kurangnya 3 biji akan bercambah; peristiwa AT- daripada 4 biji, 3 biji akan bercambah; peristiwa DARI 4 biji akan bercambah daripada 4 biji. Mengikut teorem penambahan kebarangkalian

Kebarangkalian
dan
ditentukan oleh formula Bernoulli yang digunakan dalam kes seterusnya. Biarkan siri ini berjalan P ujian bebas, bagi setiap satu yang kebarangkalian kejadian itu berlaku adalah tetap dan sama dengan R, dan kebarangkalian peristiwa ini tidak berlaku adalah sama dengan
. Kemudian kebarangkalian bahawa peristiwa itu TAPI dalam P ujian akan muncul dengan tepat kali, dikira dengan formula Bernoulli

,

di mana
- bilangan gabungan bagi P unsur oleh . Kemudian

Kebarangkalian yang diingini

Tugasan 2. Kebarangkalian percambahan biji gandum ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa daripada 400 biji benih yang disemai, 350 biji benih akan bercambah.

Penyelesaian. Kira kebarangkalian yang diperlukan
mengikut formula Bernoulli adalah sukar kerana kerumitan pengiraan. Oleh itu, kami menggunakan formula anggaran yang menyatakan teorem Laplace tempatan:

,

di mana
dan
.

Daripada pernyataan masalah. Kemudian

.

Daripada jadual 1 aplikasi kami dapati . Kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan

Tugasan 3. Antara biji gandum, 0.02% daripada rumpai. Apakah kebarangkalian bahawa pemilihan rawak 10,000 biji akan mendedahkan 6 biji rumpai?

Penyelesaian. Penggunaan teorem Laplace tempatan kerana kebarangkalian yang rendah
membawa kepada sisihan ketara kebarangkalian daripada nilai yang tepat
. Oleh itu, untuk nilai kecil R untuk mengira
gunakan formula Poisson asimptotik

, dimana .

Formula ini digunakan apabila
, dan yang kurang R dan banyak lagi P, lebih tepat hasilnya.

Mengikut tugas
;
. Kemudian

Tugasan 4. Peratusan percambahan biji gandum ialah 90%. Cari kebarangkalian bahawa daripada 500 biji benih yang disemai, daripada 400 hingga 440 biji benih akan bercambah.

Penyelesaian. Jika kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku TAPI dalam setiap P ujian adalah malar dan sama dengan R, maka kebarangkalian
bahawa peristiwa itu TAPI dalam ujian sedemikian akan ada sekurang-kurangnya sekali dan tidak lagi masa ditentukan oleh teorem kamiran Laplace dengan formula berikut:

, di mana

,
.

Fungsi
dipanggil fungsi Laplace. Lampiran (Jadual 2) memberikan nilai fungsi ini untuk
. Pada
fungsi
. Pada nilai negatif X disebabkan oleh keganjilan fungsi Laplace
. Menggunakan fungsi Laplace, kami mempunyai:

Mengikut tugas. Menggunakan formula di atas, kita dapati
dan :

Tugasan 5. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret diberikan X:

2. Cari: 1) jangkaan matematik; 2) penyebaran; 3) sisihan piawai.

Penyelesaian. 1) Jika undang-undang pengagihan adalah diskret pembolehubah rawak diberikan mengikut jadual

2. Di mana nilai pembolehubah rawak x diberikan dalam baris pertama, dan kebarangkalian nilai ini diberikan dalam baris kedua, maka jangkaan matematik dikira oleh formula

2) Penyerakan
pembolehubah rawak diskret X dipanggil jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripadanya jangkaan matematik, iaitu

Nilai ini mencirikan purata nilai jangkaan bagi sisihan kuasa dua X daripada
. Daripada formula terakhir yang kita ada

penyebaran
boleh didapati dengan cara lain, berdasarkan sifat berikut: varians
adalah sama dengan perbezaan antara jangkaan matematik kuasa dua pembolehubah rawak X dan kuasa dua jangkaan matematiknya
, itu dia

Untuk mengira
kita menyusun hukum taburan kuantiti berikut
:

3) Untuk mencirikan serakan nilai kemungkinan pembolehubah rawak di sekeliling nilai minnya, sisihan piawai diperkenalkan
pembolehubah rawak X, sama dengan punca kuasa dua varians
, itu dia

.

Daripada formula ini kita ada:

Tugasan 6. Pembolehubah rawak berterusan X diberikan oleh fungsi taburan kamiran

Cari: 1) fungsi taburan pembezaan
; 2) jangkaan matematik
; 3) penyebaran
.

Penyelesaian. 1) Fungsi pengagihan pembezaan
pembolehubah rawak berterusan X dipanggil terbitan bagi fungsi taburan kamiran
, itu dia

.

Fungsi pembezaan yang dikehendaki mempunyai bentuk berikut:

2) Jika pembolehubah rawak berterusan X diberikan oleh fungsi
, maka jangkaan matematiknya ditentukan oleh formula

Sejak fungsi
di
dan pada
sama dengan sifar, maka dari formula terakhir yang kita ada

.

3) Penyerakan
tentukan dengan formula

Tugasan 7. Panjang bahagian ialah pembolehubah rawak taburan normal dengan jangkaan matematik 40 mm dan sisihan piawai 3 mm. Cari: 1) kebarangkalian bahawa panjang bahagian arbitrari adalah lebih daripada 34 mm dan kurang daripada 43 mm; 2) kebarangkalian bahawa panjang bahagian menyimpang daripada jangkaan matematiknya tidak lebih daripada 1.5 mm.

Penyelesaian. 1) Biarkan X- panjang bahagian. Jika pembolehubah rawak X diberi fungsi pembezaan
, maka kebarangkalian bahawa X akan mengambil nilai kepunyaan segmen
, ditentukan oleh formula

.

Kebarangkalian untuk memenuhi ketidaksamaan yang ketat
ditentukan oleh formula yang sama. Jika pembolehubah rawak X diedarkan oleh undang-undang biasa, kemudian

, (1)

di mana
ialah fungsi Laplace,
.

Dalam tugas. Kemudian

2) Dengan keadaan masalah , di mana
. Menggantikan kepada (1) , kita ada

. (2)

Daripada formula (2) kita ada.

Konsep jangkaan matematik boleh dipertimbangkan dengan menggunakan contoh membaling dadu. Dengan setiap lontaran, mata yang digugurkan direkodkan. Nilai semula jadi dalam julat 1 - 6 digunakan untuk menyatakannya.

Selepas beberapa lontaran, dengan bantuan pengiraan mudah, anda boleh mencari purata nilai aritmetik jatuh mata.

Selain menjatuhkan mana-mana nilai julat, nilai ini akan menjadi rawak.

Dan jika anda menambah bilangan lontaran beberapa kali? Pada kuantiti yang besar lontaran, min aritmetik mata akan menghampiri nombor tertentu, yang dalam teori kebarangkalian dipanggil jangkaan matematik.

Jadi, jangkaan matematik difahami sebagai nilai purata pembolehubah rawak. Penunjuk ini juga boleh dibentangkan sebagai jumlah wajaran nilai kemungkinan.

Konsep ini mempunyai beberapa sinonim:

• bermakna;
• nilai purata;
• penunjuk arah aliran pusat;
• detik pertama.

Dalam erti kata lain, ia tidak lebih daripada nombor di mana nilai pembolehubah rawak diedarkan.

AT pelbagai bidang Aktiviti manusia pendekatan untuk memahami jangkaan matematik akan agak berbeza.

Ia boleh dilihat sebagai:

• faedah purata yang diterima daripada penerimaan keputusan, dalam kes apabila keputusan sedemikian dipertimbangkan dari sudut pandangan teori bilangan besar;
• jumlah keuntungan atau kerugian yang mungkin (teori perjudian), dikira secara purata untuk setiap kadar. Dalam slanga, ia berbunyi seperti "kelebihan pemain" (positif untuk pemain) atau "kelebihan kasino" (negatif untuk pemain);
• peratusan keuntungan yang diterima daripada kemenangan.

Jangkaan matematik tidak wajib untuk semua pembolehubah rawak. Ia tidak hadir bagi mereka yang mempunyai percanggahan dalam jumlah atau kamiran yang sepadan.

Sifat Jangkaan

Seperti mana-mana parameter statistik, jangkaan matematik mempunyai sifat berikut:

Formula asas untuk jangkaan matematik

Pengiraan jangkaan matematik boleh dilakukan untuk pembolehubah rawak yang dicirikan oleh kedua-dua kesinambungan (formula A) dan diskret (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, dengan xi ialah nilai pembolehubah rawak, pi ialah kebarangkalian:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, dengan f(x) ialah ketumpatan kebarangkalian yang diberikan.

Contoh pengiraan jangkaan matematik

Contoh A.

Adakah mungkin untuk mengetahui ketinggian purata gnome dalam kisah dongeng tentang Snow White. Adalah diketahui bahawa setiap 7 gnome mempunyai ketinggian tertentu: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 dan 0.81 m.

Algoritma pengiraan agak mudah:

• cari jumlah semua nilai penunjuk pertumbuhan (pembolehubah rawak):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Jumlah yang terhasil dibahagikan dengan bilangan gnome:
  6,31:7=0,90.

Oleh itu, ketinggian purata gnome dalam kisah dongeng ialah 90 cm. Dengan kata lain, ini adalah jangkaan matematik pertumbuhan gnome.

Formula kerja - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

Pelaksanaan praktikal jangkaan matematik

Pengiraan penunjuk statistik jangkaan matematik digunakan dalam pelbagai bidang aktiviti amali. Pertama sekali kita bercakap tentang kawasan komersial. Sesungguhnya, pengenalan penunjuk ini oleh Huygens dikaitkan dengan penentuan peluang yang boleh menguntungkan, atau, sebaliknya, tidak menguntungkan, untuk beberapa peristiwa.

Parameter ini digunakan secara meluas untuk penilaian risiko, terutamanya apabila melibatkan pelaburan kewangan.
Jadi, dalam perniagaan, pengiraan jangkaan matematik bertindak sebagai kaedah untuk menilai risiko semasa mengira harga.

Juga, penunjuk ini boleh digunakan apabila mengira keberkesanan langkah-langkah tertentu, contohnya, mengenai perlindungan buruh. Terima kasih kepadanya, anda boleh mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku.

Satu lagi bidang penggunaan parameter ini ialah pengurusan. Ia juga boleh dikira semasa kawalan kualiti produk. Contohnya, menggunakan tikar. jangkaan boleh dikira nombor yang mungkin pengeluaran bahagian yang rosak.

Jangkaan matematik juga ternyata amat diperlukan semasa menjalankan pemprosesan statistik diterima semasa kajian saintifik keputusan. Ia juga membolehkan anda mengira kebarangkalian hasil yang diingini atau tidak diingini bagi sesuatu eksperimen atau kajian, bergantung pada tahap pencapaian matlamat. Lagipun, pencapaiannya boleh dikaitkan dengan keuntungan dan keuntungan, dan bukan pencapaiannya - sebagai kerugian atau kerugian.

Menggunakan Jangkaan Matematik dalam Forex

Aplikasi praktikal parameter statistik ini adalah mungkin apabila menjalankan urus niaga dalam pasaran pertukaran asing. Ia boleh digunakan untuk menganalisis kejayaan urus niaga perdagangan. Selain itu, peningkatan dalam nilai jangkaan menunjukkan peningkatan dalam kejayaan mereka.

Ia juga penting untuk diingat bahawa jangkaan matematik tidak boleh dianggap sebagai satu-satunya parameter statistik yang digunakan untuk menganalisis prestasi pedagang. Penggunaan beberapa parameter statistik bersama-sama dengan nilai purata meningkatkan ketepatan analisis pada masa-masa tertentu.

Parameter ini telah membuktikan dirinya dengan baik dalam memantau pemerhatian akaun dagangan. Terima kasih kepadanya, penilaian pantas kerja yang dijalankan pada akaun deposit dijalankan. Dalam kes di mana aktiviti peniaga berjaya dan dia mengelakkan kerugian, tidak disyorkan untuk menggunakan hanya pengiraan jangkaan matematik. Dalam kes ini, risiko tidak diambil kira, yang mengurangkan keberkesanan analisis.

Kajian taktik peniaga yang dijalankan menunjukkan bahawa:

• yang paling berkesan ialah taktik berdasarkan input rawak;
• yang paling kurang berkesan ialah taktik berdasarkan input berstruktur.

Untuk mencapai hasil yang positif, sama pentingnya:

• taktik pengurusan wang;
• strategi keluar.

Menggunakan penunjuk seperti jangkaan matematik, kita boleh mengandaikan apa yang akan menjadi untung atau rugi apabila melabur 1 dolar. Adalah diketahui bahawa penunjuk ini, dikira untuk semua permainan yang diamalkan di kasino, memihak kepada institusi. Inilah yang membolehkan anda menjana wang. Dalam kes siri permainan yang panjang, kebarangkalian kehilangan wang oleh pelanggan meningkat dengan ketara.

Permainan pemain profesional terhad kepada tempoh masa yang kecil, yang meningkatkan peluang untuk menang dan mengurangkan risiko kalah. Corak yang sama diperhatikan dalam prestasi operasi pelaburan.

Seorang pelabur boleh memperoleh jumlah yang besar dengan jangkaan dan hasil yang positif sebilangan besar transaksi dalam tempoh masa yang singkat.

Jangkaan boleh dianggap sebagai perbezaan antara peratusan keuntungan (PW) kali keuntungan purata (AW) dan kebarangkalian kerugian (PL) kali ganda kerugian purata (AL).

Sebagai contoh, pertimbangkan perkara berikut: kedudukan - 12.5 ribu dolar, portfolio - 100 ribu dolar, risiko setiap deposit - 1%. Keuntungan urus niaga adalah 40% daripada kes dengan purata keuntungan sebanyak 20%. Sekiranya berlaku kerugian, purata kerugian ialah 5%. Mengira jangkaan matematik untuk perdagangan memberikan nilai $625.

Pembolehubah rawak, sebagai tambahan kepada undang-undang pengedaran, juga boleh diterangkan ciri berangka .

jangkaan matematik M (x) pembolehubah rawak dipanggil nilai puratanya.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret dikira dengan formula

di mana – nilai pembolehubah rawak, p saya- kebarangkalian mereka.

Pertimbangkan sifat jangkaan matematik:

1. Jangkaan matematik bagi pemalar adalah sama dengan pemalar itu sendiri

2. Jika pembolehubah rawak didarab dengan nombor k tertentu, maka jangkaan matematik akan didarab dengan nombor yang sama

M (kx) = kM (x)

3. Jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematiknya

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Untuk pembolehubah rawak bebas x 1 , x 2 , … x n jangkaan matematik hasil darab adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Mari kita hitung jangkaan matematik untuk pembolehubah rawak dari Contoh 11.

M(x) == .

Contoh 12. Biarkan pembolehubah rawak x 1 , x 2 diberikan oleh hukum taburan, masing-masing:

x 1 Jadual 2

x 2 Jadual 3

Kira M (x 1) dan M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 \u003d 0

Jangkaan matematik kedua-dua pembolehubah rawak adalah sama - ia sama dengan sifar. Walau bagaimanapun, pengedaran mereka berbeza. Jika nilai x 1 berbeza sedikit daripada jangkaan matematiknya, maka nilai x 2 berbeza secara besar-besaran daripada jangkaan matematiknya, dan kebarangkalian penyelewengan tersebut tidaklah kecil. Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa adalah mustahil untuk menentukan daripada nilai purata apa sisihan daripadanya berlaku kedua-dua naik dan turun. Jadi dengan yang sama purata Kerpasan tahunan di dua lokaliti tidak boleh dikatakan sama baik untuk kerja pertanian. Begitu juga dari segi purata upah tidak boleh menilai graviti tertentu pekerja bergaji tinggi dan rendah. Oleh itu, ia diperkenalkan ciri berangka – penyebaran D(x) , yang mencirikan tahap sisihan pembolehubah rawak daripada nilai minnya:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Serakan ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematik. Untuk pembolehubah rawak diskret, varians dikira dengan formula:

D(x)= = (3)

Ia mengikuti daripada takrif varians bahawa D (x) 0.

Sifat serakan:

1. Serakan pemalar ialah sifar

2. Jika pembolehubah rawak didarab dengan beberapa nombor k, maka varians didarab dengan kuasa dua nombor ini

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Untuk pembolehubah rawak bebas berpasangan x 1 , x 2 , … x n varians hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah varians.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Mari kita hitung varians untuk pembolehubah rawak dari Contoh 11.

Jangkaan matematik M (x) = 1. Oleh itu, mengikut formula (3) kita ada:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Ambil perhatian bahawa lebih mudah untuk mengira varians jika kita menggunakan sifat 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Mari kita hitung varians untuk pembolehubah rawak x 1 , x 2 daripada Contoh 12 menggunakan formula ini. Jangkaan matematik kedua-dua pembolehubah rawak adalah sama dengan sifar.

D (x 1) \u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.0001 0.003d

D (x 2) \u003d (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Semakin hampir nilai serakan kepada sifar, semakin kecil sebaran pembolehubah rawak berbanding nilai min.

Nilai itu dipanggil sisihan piawai. Fesyen rawak x jenis diskret Md ialah nilai pembolehubah rawak, yang sepadan dengan kebarangkalian tertinggi.

Fesyen rawak x jenis berterusan Md, dipanggil nombor sebenar, ditakrifkan sebagai titik maksimum ketumpatan taburan kebarangkalian f(x).

Median pembolehubah rawak x jenis berterusan Mn ialah nombor nyata yang memenuhi persamaan

Teori kebarangkalian - bahagian khas matematik, yang hanya dipelajari oleh pelajar institusi pengajian tinggi. Adakah anda suka pengiraan dan formula? Adakah anda tidak takut dengan prospek berkenalan dengan taburan normal, entropi ensembel, jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak diskret? Kemudian subjek ini akan sangat menarik minat anda. Mari kita lihat beberapa yang paling penting konsep asas cabang ilmu ini.

Mari kita ingat asasnya

Walaupun anda paling ingat konsep mudah teori kebarangkalian, jangan abaikan perenggan pertama artikel. Hakikatnya ialah tanpa pemahaman yang jelas tentang asas, anda tidak akan dapat bekerja dengan formula yang dibincangkan di bawah.

Jadi ada beberapa peristiwa rawak, beberapa percubaan. Hasil daripada tindakan yang dilakukan, kita boleh memperoleh beberapa hasil - sesetengah daripadanya lebih biasa, yang lain kurang biasa. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil yang sebenarnya diterima daripada satu jenis kepada jumlah nombor mungkin. Hanya mengetahui definisi klasik daripada konsep ini, anda boleh mula mengkaji jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak berterusan.

Purata

Semasa di sekolah, dalam pelajaran matematik, anda mula bekerja dengan min aritmetik. Konsep ini digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian, dan oleh itu ia tidak boleh diabaikan. Perkara utama untuk kita masa ini ialah kita akan menemuinya dalam formula untuk jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak.

Kami mempunyai urutan nombor dan ingin mencari min aritmetik. Apa yang diperlukan daripada kita ialah menjumlahkan semua yang ada dan bahagikan dengan bilangan unsur dalam urutan itu. Biarkan kita mempunyai nombor dari 1 hingga 9. Jumlah unsur akan menjadi 45, dan kita akan membahagikan nilai ini dengan 9. Jawapan: - 5.

Penyerakan

bercakap bahasa saintifik, varians ialah persegi tengah sisihan nilai ciri yang diperoleh daripada min aritmetik. Satu dilambangkan dengan huruf Latin besar D. Apakah yang diperlukan untuk mengiranya? Bagi setiap elemen jujukan, kami mengira perbezaan antara nombor yang tersedia dan min aritmetik dan kuasa duakannya. Akan ada nilai yang sama banyaknya dengan hasil untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Seterusnya, kami meringkaskan semua yang diterima dan bahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan. Jika kita mempunyai lima hasil yang mungkin, maka bahagikan dengan lima.

Varians juga mempunyai sifat yang perlu anda ingat untuk menerapkannya semasa menyelesaikan masalah. Sebagai contoh, jika pembolehubah rawak dinaikkan sebanyak X kali, varians meningkat sebanyak X kali kuasa dua (iaitu, X*X). Ia tidak pernah kurang daripada sifar dan tidak bergantung pada peralihan nilai oleh nilai yang sama atas atau bawah. Juga, untuk percubaan bebas, varians jumlah adalah sama dengan jumlah varians.

Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians pembolehubah rawak diskret dan jangkaan matematik.

Katakan kita menjalankan 21 eksperimen dan mendapat 7 hasil yang berbeza. Kami memerhati setiap daripada mereka, masing-masing, 1,2,2,3,4,4 dan 5 kali. Apakah yang akan menjadi varians?

Pertama, kita mengira min aritmetik: jumlah unsur, sudah tentu, ialah 21. Kita bahagikannya dengan 7, mendapat 3. Sekarang kita tolak 3 daripada setiap nombor dalam urutan asal, kuasa duakan setiap nilai, dan tambah hasilnya bersama-sama . Ternyata 12. Sekarang tinggal untuk kita membahagikan nombor dengan bilangan elemen, dan, nampaknya, itu sahaja. Tetapi ada tangkapan! Mari kita bincangkannya.

Pergantungan kepada bilangan eksperimen

Ternyata apabila mengira varians, penyebut boleh menjadi salah satu daripada dua nombor: sama ada N atau N-1. Di sini N ialah bilangan eksperimen yang dilakukan atau bilangan unsur dalam jujukan (yang pada asasnya adalah perkara yang sama). Bergantung pada apa?

Jika bilangan ujian diukur dalam ratusan, maka kita mesti meletakkan N dalam penyebut. Jika dalam unit, maka N-1. Para saintis memutuskan untuk melukis sempadan secara simbolik: hari ini ia berjalan di sepanjang nombor 30. Jika kita menjalankan kurang daripada 30 eksperimen, maka kita akan membahagikan jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.

Satu tugas

Mari kita kembali kepada contoh menyelesaikan masalah varians dan jangkaan. Kami mendapat nombor perantaraan 12, yang perlu dibahagikan dengan N atau N-1. Memandangkan kami menjalankan 21 eksperimen, iaitu kurang daripada 30, kami akan memilih pilihan kedua. Jadi jawapannya ialah: varians ialah 12/2 = 2.

Nilai yang dijangkakan

Mari kita beralih kepada konsep kedua, yang mesti kita pertimbangkan dalam artikel ini. Jangkaan matematik adalah hasil daripada menambah semua hasil yang mungkin didarab dengan kebarangkalian yang sepadan. Adalah penting untuk memahami bahawa nilai yang diperolehi, serta hasil pengiraan varians, diperolehi sekali sahaja untuk keseluruhan tugas, tidak kira berapa banyak hasil yang dipertimbangkan.

Formula jangkaan matematik agak mudah: kita ambil hasilnya, darab dengan kebarangkaliannya, tambah yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dsb. Segala yang berkaitan dengan konsep ini mudah dikira. Sebagai contoh, jumlah jangkaan matematik adalah sama dengan jangkaan matematik jumlah itu. Perkara yang sama berlaku untuk kerja. begitu operasi mudah jauh dari setiap kuantiti dalam teori kebarangkalian membolehkan kita memenuhinya. Mari kita ambil tugas dan hitung nilai dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Di samping itu, kami terganggu oleh teori - sudah tiba masanya untuk berlatih.

Satu lagi contoh

Kami menjalankan 50 percubaan dan mendapat 10 jenis hasil - nombor dari 0 hingga 9 - muncul dalam pelbagai peratusan. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingat bahawa untuk mendapatkan kebarangkalian, anda perlu membahagikan nilai peratusan dengan 100. Oleh itu, kita mendapat 0.02; 0.1 dsb. Mari kita kemukakan contoh penyelesaian masalah bagi varians pembolehubah rawak dan jangkaan matematik.

Kami mengira min aritmetik menggunakan formula yang kami ingat sekolah rendah: 50/10 = 5.

Sekarang mari kita terjemahkan kebarangkalian kepada bilangan hasil "sebahagian" untuk menjadikannya lebih mudah untuk dikira. Kami mendapat 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Tolak min aritmetik daripada setiap nilai yang diperoleh, selepas itu kita kuasa duakan setiap keputusan yang diperolehi. Lihat cara melakukan ini dengan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Selanjutnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lain, lakukan sendiri operasi ini. Jika anda melakukan segala-galanya dengan betul, maka selepas menambah semua anda mendapat 90.

Mari kita teruskan mengira varians dan min dengan membahagikan 90 dengan N. Mengapa kita memilih N dan bukan N-1? Betul, kerana bilangan eksperimen yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kami mendapat penyebaran. Jika anda mendapat nombor yang berbeza, jangan putus asa. Kemungkinan besar, anda membuat kesilapan cetek dalam pengiraan. Semak semula apa yang anda tulis, dan pasti semuanya akan sesuai.

Akhir sekali, mari kita ingat semula formula jangkaan matematik. Kami tidak akan memberikan semua pengiraan, kami hanya akan menulis jawapan yang boleh anda semak selepas menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Nilai yang dijangkakan ialah 5.48. Kami hanya ingat bagaimana untuk menjalankan operasi, menggunakan contoh elemen pertama: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... dan seterusnya. Seperti yang anda lihat, kami hanya mendarabkan nilai hasil dengan kebarangkaliannya.

penyelewengan

Konsep lain yang berkait rapat dengan serakan dan jangkaan matematik ialah sisihan piawai. Ia ditandakan sama ada dengan huruf Latin sd, atau huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan bagaimana nilai menyimpang secara purata daripada ciri pusat. Untuk mencari nilainya, anda perlu mengira Punca kuasa dua daripada penyebaran.

Jika anda membuat graf taburan normal dan ingin melihatnya secara langsung sisihan piawai, ini boleh dilakukan dalam beberapa langkah. Ambil separuh daripada imej ke kiri atau kanan mod (nilai pusat), lukiskan serenjang dengan paksi mendatar supaya kawasan angka yang terhasil adalah sama. Nilai segmen antara tengah taburan dan unjuran yang terhasil pada paksi mendatar akan menjadi sisihan piawai.

Perisian

Seperti yang dapat dilihat daripada huraian formula dan contoh yang dikemukakan, mengira varians dan jangkaan matematik bukanlah prosedur yang paling mudah dari sudut aritmetik. Untuk tidak membuang masa, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di lebih tinggi institusi pendidikan- ia dipanggil "R". Ia mempunyai fungsi yang membolehkan anda mengira nilai untuk banyak konsep daripada statistik dan teori kebarangkalian.

Sebagai contoh, anda mentakrifkan vektor nilai. Ini dilakukan seperti berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Akhirnya

Serakan dan jangkaan matematik adalah sukar untuk mengira apa-apa pada masa hadapan. Dalam kursus utama kuliah di universiti, mereka dianggap sudah dalam bulan pertama mempelajari subjek tersebut. Justru kerana kurangnya pemahaman tentang konsep mudah ini dan ketidakupayaan untuk mengiranya menyebabkan ramai pelajar serta-merta mula ketinggalan dalam program dan kemudiannya menerima gred yang lemah pada akhir sesi, yang menyebabkan mereka tidak mendapat biasiswa.

Berlatih sekurang-kurangnya satu minggu selama setengah jam sehari, menyelesaikan tugas yang serupa dengan yang dibentangkan dalam artikel ini. Kemudian, pada mana-mana ujian teori kebarangkalian, anda akan menghadapi contoh tanpa petua dan helaian curang.

Jangkaan matematik adalah, definisi

Mat menunggu adalah salah satu konsep yang paling penting dalam statistik matematik dan teori kebarangkalian, mencirikan taburan nilai atau kebarangkalian pembolehubah rawak. Biasanya dinyatakan sebagai purata wajaran semua parameter yang mungkin bagi pembolehubah rawak. Ia digunakan secara meluas dalam analisis teknikal, kajian siri nombor, kajian proses berterusan dan jangka panjang. Ia penting dalam menilai risiko, meramal penunjuk harga apabila berdagang dalam pasaran kewangan, dan digunakan dalam pembangunan strategi dan kaedah taktik permainan dalam teori perjudian.

Checkmate menunggu- ini adalah nilai min pembolehubah rawak, taburan kebarangkalian pembolehubah rawak dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian.

Mat menunggu adalah ukuran nilai min pembolehubah rawak dalam teori kebarangkalian. Jangkaan matematik pembolehubah rawak x dilambangkan M(x).

Jangkaan matematik (min populasi) ialah

Mat menunggu adalah

Mat menunggu adalah dalam teori kebarangkalian, purata wajaran semua nilai yang mungkin yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak ini.

Mat menunggu adalah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dengan kebarangkalian nilai ini.

Jangkaan matematik (min populasi) ialah

Mat menunggu adalah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam rangka teori bilangan besar dan jarak jauh.

Mat menunggu adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang boleh diperoleh atau hilang oleh spekulator, secara purata, untuk setiap pertaruhan. Dalam bahasa perjudian spekulator ini kadangkala dipanggil "kelebihan spekulator” (jika ia positif untuk spekulator) atau “house edge” (jika ia negatif untuk spekulator).

Jangkaan matematik (min populasi) ialah

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Laman web. Wenn Sie diese Laman web weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. okey