Titik matematik adalah besar. Titik kritikal (matematik)

Istilah ini mempunyai makna lain, lihat titik. Satu set mata pada satah

titik- objek abstrak dalam ruang yang tidak mempunyai sebarang ciri yang boleh diukur (objek sifar dimensi). Intinya adalah salah satu konsep asas dalam matematik.

Titik dalam geometri Euclidean

Euclid mendefinisikan titik sebagai "objek tanpa bahagian". Dalam aksioma moden geometri Euclidean, titik adalah konsep utama, hanya diberikan oleh senarai sifatnya - aksiom.

Dalam sistem koordinat yang dipilih, mana-mana titik ruang Euclidean dua dimensi boleh diwakili sebagai pasangan tertib ( x; y) nombor nyata. Begitu juga, titik n-ruang Euclidean berdimensi (serta vektor atau ruang affine) boleh diwakili sebagai tupel ( a 1 , a 2 , … , a n) daripada n nombor.

Pautan

• titik(Bahasa Inggeris) di laman web PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Tuding pada laman web Wolfram MathWorld.

point ialah:

titik titik kata nama, dan., guna Selalunya Morfologi: (tidak) apa? titik, apa? titik, (melihat apa yang? titik, bagaimana? titik, tentang apa? tentang perkara itu; pl. apa? titik, (tidak) apa? mata, apa? mata, (melihat apa yang? titik, bagaimana? titik, tentang apa? tentang mata 1. titik- ini adalah bintik bulat kecil, kesan daripada sentuhan dengan sesuatu yang tajam atau tulisan.

Corak titik. | Titik tusukan. | Bandar pada peta ditunjukkan dengan titik kecil dan seseorang hanya boleh meneka tentang kehadiran jalan pintasan.

2. titik- ini adalah sesuatu yang sangat kecil, kurang kelihatan kerana keterpencilan atau atas sebab lain.

Titik di kaki langit. | Apabila bola menghampiri ufuk di bahagian barat langit, ia mula perlahan-lahan mengecil saiznya sehingga ia berubah menjadi titik.

3. titik- tanda baca yang diletakkan di hujung ayat atau semasa menyingkat perkataan.

Letakkan satu titik. | Jangan lupa letak titik di hujung ayat

4. Dalam matematik, geometri dan fizik titik ialah unit yang mempunyai kedudukan dalam ruang, sempadan segmen garisan.

mata matematik.

5. titik menamakan tempat tertentu di angkasa, di atas tanah atau di permukaan sesuatu.

titik penempatan. | Titik kesakitan.

6. titik namakan tempat di mana sesuatu terletak atau dijalankan, nod tertentu dalam sistem atau rangkaian mana-mana titik.

Setiap outlet mesti mempunyai tandanya sendiri.

7. titik mereka memanggil had perkembangan sesuatu, tahap atau saat tertentu dalam pembangunan.

Nai titik tertinggi. | titik dalam pembangunan. | Keadaan telah mencapai tahap kritikal. | Ini adalah titik tertinggi manifestasi kuasa rohani manusia.

8. titik dipanggil had suhu di mana penjelmaan bahan daripada satu keadaan pengagregatan ke dalam yang lain.

Takat didih. | Titik beku. | Takat lebur. | Bagaimana lebih tinggi semakin rendah takat didih air.

9. Titik bertitik (;) dipanggil tanda baca yang digunakan untuk memisahkan biasa, lebih bahagian bebas ayat majmuk.

AT Bahasa Inggeris boleh dikatakan tanda baca yang sama digunakan seperti dalam bahasa Rusia: titik, koma, koma bernoktah, sempang, apostrof, kurungan, elipsis, interogatif dan tanda seru, tanda sempang.

10. Apabila mereka bercakap tentang sudut pandangan, bermaksud pendapat seseorang tentang masalah tertentu, melihat sesuatu.

Kurang popular sekarang ialah satu lagi sudut pandangan, yang sebelum ini hampir diiktiraf secara universal. | Tiada siapa yang berkongsi pandangan ini hari ini.

11. Jika orang dikatakan mempunyai titik perhubungan jadi mereka mempunyai kepentingan bersama.

Kita mungkin boleh mencari titik persamaan.

12. Jika sesuatu dikatakan titik ke titik, bermakna padanan yang betul-betul tepat.

Titik ke titik di tempat yang ditunjukkan, terdapat sebuah kereta berwarna kopi.

13. Jika seseorang itu dikatakan sampai ke titik, yang bermaksud bahawa dia telah mencapai had yang melampau dalam manifestasi beberapa kualiti negatif.

Kami telah sampai ke tahap! Anda tidak boleh hidup seperti ini lagi! | Anda tidak boleh memberitahunya bahawa perkhidmatan rahsia telah sampai ke tahap di bawah kepimpinannya yang bijak.

14. Jika seseorang mengakhiri dalam sesetengah perniagaan, ini bermakna dia menghentikannya.

Kemudian dia kembali dari penghijrahan ke tanah airnya, ke Rusia, ke Kesatuan Soviet, dan ini menamatkan semua pencarian dan pemikirannya.

15. Jika seseorang titikkan "dan"(atau atas i), yang bermaksud bahawa dia membawa perkara itu kepada kesimpulan logiknya, tidak meninggalkan apa-apa yang tidak dapat dikatakan.

Mari kita dot the i's. Saya tidak tahu apa-apa tentang inisiatif anda.

16. Jika seseorang mencecah satu mata, yang bermaksud bahawa dia menumpukan semua kekuatannya untuk mencapai satu matlamat.

Itulah sebabnya imejnya sangat berbeza; dia sentiasa mencapai satu mata, tidak pernah terpengaruh dengan butiran kecil. | Dia sangat memahami tugas perniagaannya dan dengan sengaja mencapai satu mata.

17. Jika seseorang terkena tempat, yang bermaksud bahawa dia berkata atau melakukan dengan tepat apa yang diperlukan, menekanya.

Surat pertama yang datang ke pusingan seterusnya pertandingan mengejutkan editor - dalam salah satu pilihan yang disenaraikan, pembaca kami segera mencapai sasaran!

titik adj.

Akupresur.

Kamus penjelasan bahasa Rusia Dmitriev. D.V. Dmitriev. 2003.

titik

titik Boleh bermaksud:

Wiktionary mempunyai artikel "titik"

• Titik ialah objek abstrak dalam ruang yang tidak mempunyai sebarang ciri yang boleh diukur selain daripada koordinat.
• Noktah ialah tanda diakritik yang boleh diletakkan di atas, di bawah, atau di tengah-tengah surat.
• Titik - unit ukuran jarak dalam bahasa Rusia dan sistem Inggeris langkah-langkah.
• Titik ialah salah satu perwakilan pemisah perpuluhan.
• Dot (teknologi rangkaian) - penetapan domain akar dalam hierarki domain rangkaian global.
• Tochka - rangkaian kedai elektronik dan hiburan
• Tochka - album kumpulan "Leningrad"
• Point - Filem Rusia tahun 2006 berdasarkan kisah dengan nama yang sama oleh Grigory Ryazhsky
• Dot ialah album studio kedua oleh penyanyi rap Sten.
• Tochka ialah sistem peluru berpandu bahagian.
• Tochka - Jurnal Belia dan Subbudaya Krasnoyarsk.
• Tochka ialah sebuah kelab dan tempat konsert di Moscow.
• Titik adalah salah satu aksara dalam kod Morse.
• Intinya ialah tempat tugas tempur.
• Titik (pemprosesan) - proses pemesinan, berpusing, mengasah.
• POINT - Program maklumat dan analisis di NTV.
• Tochka ialah sebuah kumpulan rock dari bandar Norilsk, ditubuhkan pada tahun 2012.

Toponim

Kazakhstan

• titik- sehingga 1992, nama kampung Bayash Utepov di daerah Ulan di wilayah Kazakhstan Timur.

Rusia

• Tochka ialah sebuah kampung di daerah Sheksninsky di wilayah Vologda.
• Tochka ialah sebuah kampung di daerah Volotovsky di wilayah Novgorod.
• Tochka ialah sebuah kampung di daerah Lopatinsky di wilayah Penza.

Bolehkah anda memberikan definisi konsep tersebut sebagai titik dan garis?

Sekolah dan universiti kami tidak mempunyai definisi ini, walaupun pada pendapat saya adalah penting (saya tidak tahu bagaimana ini berlaku di negara lain). Kita boleh mentakrifkan konsep ini sebagai "berjaya dan tidak berjaya" dan mempertimbangkan sama ada ini berguna untuk perkembangan pemikiran.

ahli gusti

Pelik, tetapi kami diberi definisi titik. Ini adalah objek abstrak (konvensyen) yang terletak di angkasa, yang tidak mempunyai dimensi. Ini adalah perkara pertama yang dibelasah dalam kepala kita di sekolah - titik tidak mempunyai dimensi, ia adalah objek "dimensi sifar". Konsep bersyarat, seperti segala-galanya dalam geometri.

Garis lurus adalah lebih sukar. Pertama sekali, ia adalah garisan. Kedua, ia adalah satu set titik yang terletak di angkasa dengan cara tertentu. Dalam sangat takrifan mudah ia adalah garis yang ditakrifkan oleh dua titik yang dilaluinya.

Medivh

Titik ialah sejenis objek abstrak. Titik mempunyai koordinat tetapi tiada jisim atau dimensi. Dalam geometri, segala-galanya bermula tepat dari satu titik, ini adalah permulaan semua angka lain.(Dalam tulisan, by the way, juga, tanpa titik tidak akan ada permulaan perkataan). Garis lurus ialah jarak antara dua titik.

Leonid Kutny

Anda boleh menentukan apa sahaja dan apa sahaja. Tetapi ada persoalan: adakah definisi ini "berfungsi" dalam sains tertentu? Berdasarkan apa yang kita ada, tidak masuk akal untuk menentukan titik, garis dan satah. Saya sangat menyukai kenyataan Arthur. Saya ingin menambah bahawa titik mempunyai banyak sifat: ia tidak mempunyai panjang, lebar, tinggi, tiada jisim dan berat, dsb. Tetapi sifat utama sesuatu titik ialah ia jelas menunjukkan lokasi sesuatu objek, objek di atas satah, di angkasa. Itulah sebabnya kita memerlukan titik! Tetapi, pembaca yang bijak akan berkata bahawa kemudian buku, kerusi, jam tangan dan lain-lain boleh diambil sebagai titik. Betul sekali! Oleh itu, tidak masuk akal untuk menentukan sesuatu perkara. Yang benar, L.A. Kutniy

Garis lurus merupakan salah satu konsep asas geometri.

Noktah adalah tanda baca dalam penulisan dalam banyak bahasa.

Juga, titik adalah salah satu simbol kod Morse

Begitu banyak definisi :D

Takrifan titik, garis, satah telah saya berikan pada akhir 80-an dan awal 90-an abad ke-20. Saya berikan pautan:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

Jilid 328 halaman menerangkan dalam aspek yang sama sekali baru intipati kognitif konsep-konsep ini, yang dijelaskan berdasarkan pandangan dunia fizikal sebenar dan rasa saya wujud, yang bermaksud "Saya" wujud, sama seperti Alam Semesta itu sendiri. Saya milik wujud.

Semua yang tertulis dalam kerja ini disahkan oleh pengetahuan manusia tentang alam semula jadi dan sifat-sifatnya yang telah lama ditemui dan masih dikaji masa ini masa. Matematik telah menjadi begitu kompleks untuk difahami dan difahami untuk mengaplikasikan imej abstraknya kepada amalan penemuan teknologi. Setelah mendedahkan Asas, yang merupakan prinsip asas, adalah mungkin untuk menerangkan walaupun kepada pelajar sekolah rendah sebab yang mendasari kewujudan alam semesta. Baca dan dekatilah Kebenaran. Berani, dunia di mana kita wujud terbuka di hadapan anda dalam cahaya baru.

Adakah terdapat definisi konsep "titik" dalam matematik, geometri.

Mikhail Levin

"konsep yang tidak dapat ditentukan" adalah definisi?

Malah, ketidakpastian konsep yang memungkinkan untuk mengaplikasikan matematik kepada objek yang berbeza.

Seorang ahli matematik juga boleh berkata "dengan titik saya maksudkan satah Euclidean, dengan satah - titik Euclidean" - semak semua aksiom dan dapatkan geometri baru atau teorem baru.

Maksudnya ialah untuk mentakrifkan istilah A, anda perlu menggunakan istilah B. Untuk mentakrifkan B, anda memerlukan istilah C. Dan seterusnya ad infinitum. Dan untuk diselamatkan daripada infiniti ini, seseorang perlu menerima beberapa istilah tanpa definisi dan membina definisi lain padanya. ©

Grigory Piven

Dalam matematik Piven Grigory, titik ialah bahagian ruang yang secara abstrak (dicerminkan) diambil sebagai segmen panjang minimum bersamaan dengan 1, yang digunakan untuk mengukur bahagian lain ruang. Oleh itu, seseorang memilih skala titik untuk kemudahan, untuk proses pengukuran yang produktif: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. tahun. dan lain-lain.

SEKOLAH MKOOST SANATORIUM - SEKOLAH BERASRAMA

titik dan angka geometri.

Penyelidikan matematik.

Dilengkapkan oleh: Anatoly Vasiliev, pelajar gred 3

Pengurus kerja:

Dubovaya Natalya Leonidovna,

Guru sekolah rendah.

Tommot, 2013

1. Anotasi ringkas. ................................................... . ...................2
2. Anotasi. ................................................... . ................................3
3. Artikel penyelidikan. ................................................... . .....................6
4. Pengeluaran................................................. ...................................................7

Bibliografi.

Anotasi ringkas.

Kertas kerja membincangkan titik dan bentuk geometri: garis, sinar, segmen, sudut, segi tiga, segi empat, bulatan dan bulatan, serta peranan titik dalam komposisi dan pembinaan angka-angka ini.

Anotasi.

Tujuan kajian:ketahui apa yang dimaksudkan dengan konsep titik dan bentuk geometri yang terdiri daripada: garis lurus, sinar, sudut, segi empat, segi tiga, bulatan.

Objek kajian:titik dan definisi bentuk geometri: garis, sinar, sudut, segi empat, segi tiga, bulatan.

Subjek kajian:titik dan bentuk geometri: garis lurus, sinar, sudut, segi empat, segi tiga, bulatan.

Hipotesis penyelidikan:titik - satu-satunya angka geometri, dan semua yang lain terdiri daripada banyak mata.

Objektif kajian:

1. bahan kajian mengenai topik: "Bentuk titik dan geometri: garis lurus, sinar, sudut, segi empat, segi tiga, bulatan.";
2. cari takrifan titik, garis lurus, segi empat, segi tiga, sudut, sinar, bulatan;
3. membentangkan analisis dan refleksi mereka tentang topik tersebut;
4. membentangkan pembentangan berdasarkan kertas kajian ini.

Kaedah penyelidikan:kajian kesusasteraan, kerja dengan kamus, analisis kajian, kesimpulan.

Artikel penyelidikan.

Matematik timbul pada zaman dahulu daripada keperluan praktikal manusia. Tiada siapa yang akan berhujah tentang kuno matematik, tetapi ada pendapat lain tentang apa yang mendorong orang untuk melakukannya. Menurutnya, matematik, serta puisi, lukisan, muzik, teater dan seni secara umum, dihidupkan oleh keperluan rohani manusia, keinginannya, mungkin belum sepenuhnya direalisasikan, untuk pengetahuan dan keindahan.

Pernahkah anda berfikir tentang apa itu titik dan apakah bentuk geometri?

Pada pandangan pertama, semuanya jelas di sini: titik adalah titik, garis lurus adalah garis lurus, apa yang tidak dapat difahami di sini? Nah, sama, bagaimana untuk menerangkan ini kepada seseorang yang tidak tahu sama sekali dan, lebih-lebih lagi, memahami segala-galanya secara literal? Adakah semudah itu? Ternyata tidak sama sekali!

Dalam pelajaran buruh, apabila kita mempelajari teknik isothread, saya mempunyai andaian bahawa semua bentuk geometri terdiri daripada titik. Untuk topik inilah saya memutuskan untuk mendedikasikan kerja penyelidikan saya.

"Saya tahu bahawa saya tidak tahu apa-apa," kata Socrates, dan cuba mencari tahu melalui dialog dengan lawan bicara apa sebenarnya yang dia tahu. Oleh itu, saya memutuskan untuk mengetahui terlebih dahulu apa yang saya tahu tentang bentuk geometri.

Jadi, mari kita lihat definisi bentuk geometri yang ditunjukkan oleh topik kerja penyelidikan saya.

1. titik - ini adalah tanda, jejak dari sentuhan, suntikan dengan sesuatu yang tajam; speck bulat kecil, speck; sesuatu yang sangat kecil, hampir tidak kelihatan. Titik ialah angka geometri asas

1. baris- ia adalah banyak mata. Jika asas untuk membina geometri ialah konsep jarak antara titik dalam ruang, maka garis lurus boleh ditakrifkan sebagai garis di mana jarak antara dua titik adalah yang paling pendek. Langsung - terdapat garisan yang terletak sama dengan semua titiknya. Istilah "garisan" berasal dari bahasa Latin linum - "linen, benang linen".

_________________________________________________

1. Ray ialah sebahagian daripada garis yang terdiri daripada semua titik garis ini yang terletak pada satu sisi titik yang diberikan.

1. Bahagian ialah bahagian garisan yang terdiri daripada semua titik garis ini yang terletak di antara dua titik tertentu di atasnya.

1. sudut- ini ialah rajah yang terdiri daripada titik puncak sudut dan dua garis separuh berbeza yang menurun dari titik ini, sisi sudut.

1. segi empat- ini ialah angka yang terdiri daripada empat titik dan empat segmen yang menghubungkannya secara bersiri.

1. Segi tiga - angka yang terdiri daripada tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, disambungkan oleh segmen.

1. Bulatan -

Bulatan ialah rajah yang terdiri daripada semua titik satah yang sama jaraknya dari titik tertentu. talian tertutup mengelilingi bulatan.

PENGELUARAN.

Konsep titik dan garis lurus terdapat dalam kehidupan kita di mana-mana dan di mana-mana. Contohnya, jika anda melihat ke dalam bahasa Rusia, maka titik ialah tanda baca (.) yang memisahkan ayat lengkap. Juga dalam bahasa Rusia terdapat tanda baca seperti titik koma, kolon, elipsis.

Dalam fizik, titik - nilai tertentu kuantiti.

Dalam geografi, titik dianggap sebagai tempat tertentu di angkasa.

Dalam biologi, ini adalah titik pertumbuhan tumbuhan.

Dalam kimia - takat beku, takat didih, takat lebur.

Dalam muzik, titik adalah tanda yang merupakan salah satu elemen asas notasi muzik.

Dalam matematik, titik ialah angka geometri asas; persilangan dua garis, sempadan segmen garis, permulaan sinar, dsb.

Untuk membina mana-mana angka, kita memerlukan titik. Berdasarkan definisi garis lurus,BARISAN ADALAH BANYAK MATA, dan daripada takrifan, kita tahu bahawa mana-mana rajah dibina menggunakan titik dan garis, oleh itu semua rajah terdiri daripada titik.

Dalam hidup kita, titik adalah lencana suntikan, bintik kecil.

Kerja penyelidikan saya membawa kepada kesimpulan bahawa titik itu adalah satu-satunya angka geometri. Segala-galanya bermula dengan satu titik dan berakhir dengannya, dan belum diketahui pembukaannya yang akan menjadi permulaan.

kesusasteraan:

1 .Aksenova M.D. Ensiklopedia untuk kanak-kanak. T.11. - Matematik, M .: Avanta +, 1999. P. 575.

2 .Atanasyan L.S., geometri, 7-9: buku teks untuk institusi pendidikan/ ed ke-12. - M.: Pencerahan, 2002. Pp. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., geometri, 10-11: buku teks untuk institusi pendidikan / edisi ke-15, tambah. - M.: Pendidikan, 2006. Hlm.5-7.

4 .Vinogradov I.M., ensiklopedia matematik / M.: ensiklopedia Soviet. ms 410, 722.

5 .Evgenyeva A.P. Kamus bahasa Rusia. - M.: Pencerahan, 1984.

6 .Kabardin O.F. Fizik: bahan rujukan. - M.: Pendidikan, 1991.

7 .Kramer G. Kaedah matematik statistik, diterjemahkan daripada bahasa Inggeris, ed. ke-2, M., 1975.

8 .Lapatuhin M.S. Sekolah kamus Bahasa Rusia. - M.: Pendidikan, 1981.

9 .Prokhorov A.M. Kamus ensiklopedia besar. - M.: Pendidikan, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Kamus Ensiklopedia Matematik. - M.: Pendidikan, 1998.

11 .Savin A.P. Kamus ensiklopedia ahli matematik muda. - M.: Pedagogi, 1985, hlm.69.

12 .Sharygin I.F. geometri visual. - M.: Pendidikan, 1995.

Konsep titik kritikal boleh digeneralisasikan kepada kes pemetaan boleh dibezakan, dan kepada kes pemetaan boleh dibezakan bagi manifold arbitrari. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Dalam kes ini, takrifan titik kritikal ialah kedudukan matriks Jacobian bagi pemetaan f (\gaya paparan f) ia adalah kurang daripada nilai maksimum yang mungkin sama dengan .

Titik kritikal fungsi dan pemetaan dimainkan peranan penting dalam bidang matematik seperti persamaan pembezaan, kalkulus variasi, teori kestabilan, dan dalam mekanik dan fizik. Kajian titik kritikal pemetaan licin adalah salah satu persoalan utama dalam teori malapetaka. Pengertian titik kritikal juga digeneralisasikan kepada kes fungsi yang ditakrifkan pada ruang fungsi dimensi tak terhingga. Pencarian titik kritikal bagi fungsi tersebut ialah bahagian penting kalkulus variasi. Titik kritikal fungsi (yang seterusnya, adalah fungsi) dipanggil keterlaluan.

Definisi formal

kritikal(atau istimewa atau pegun) titik pemetaan boleh dibezakan secara berterusan f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) satu titik dipanggil di mana pembezaan pemetaan ini f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\sebahagian f)(\sebahagian x))) adalah merosot transformasi linear ruang tangen yang sepadan T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) dan T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), iaitu dimensi imej penjelmaan f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) kurang min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Dalam tatatanda koordinat untuk n = m (\gaya paparan n=m) ini bermakna jacobian adalah penentu matriks jacobi pemetaan f (\gaya paparan f), terdiri daripada semua terbitan separa ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\sebahagian f_(j))(\sebahagian x_(i))))- lenyap pada satu titik. Ruang dan R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) dalam definisi ini boleh digantikan dengan varieti N n (\displaystyle N^(n)) dan M m (\gaya paparan M^(m)) dimensi yang sama.

Teorem Sard

Nilai paparan pada titik kritikal dipanggilnya kritikal. Menurut teorem Sard, set nilai kritikal mana-mana pemetaan yang cukup lancar f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) mempunyai sifar ukuran Lebesgue (walaupun boleh terdapat sebarang bilangan titik kritikal, contohnya, untuk pemetaan yang sama, sebarang titik adalah kritikal).

Pemetaan pangkat berterusan

Jika di sekitar titik x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) pangkat pemetaan boleh dibezakan secara berterusan f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) adalah sama dengan nombor yang sama r (\displaystyle r), kemudian di sekitar titik ini x 0 (\displaystyle x_(0)) terdapat koordinat tempatan berpusat di x 0 (\displaystyle x_(0)), dan dalam kejiranan imejnya - mata y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- terdapat koordinat tempatan (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) berpusat pada f (\gaya paparan f) diberikan oleh hubungan:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

Khususnya, jika r = n = m (\gaya paparan r=n=m), maka terdapat koordinat tempatan (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) berpusat pada x 0 (\displaystyle x_(0)) dan koordinat tempatan (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) berpusat pada y 0 (\displaystyle y_(0)), supaya mereka memaparkan f (\gaya paparan f) adalah sama.

sedang berlaku m = 1

Bila takrifan ini bermakna bahawa kecerunan ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) lenyap pada ketika ini.

Mari kita anggap bahawa fungsi f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) mempunyai kelas kelancaran sekurang-kurangnya C 3 (\displaystyle C^(3)). Titik kritikal fungsi f dipanggil tidak merosot, jika ia mengandungi Hessian | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) berbeza dengan sifar. Dalam kejiranan titik kritikal tidak merosot, terdapat koordinat di mana fungsi itu f mempunyai bentuk normal kuadratik (lemma Morse).

Generalisasi semula jadi lemma Morse untuk titik kritikal yang merosot ialah Teorem Toujron: dalam kejiranan titik kritikal yang merosot fungsi f, boleh dibezakan bilangan kali tak terhingga () kepelbagaian terhingga µ (\displaystyle \mu ) terdapat sistem koordinat di mana fungsi lancar mempunyai bentuk polinomial darjah μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(sebagai P μ + 1 (x) (\gaya paparan P_(\mu +1)(x)) seseorang boleh mengambil polinomial Taylor bagi fungsi itu f (x) (\gaya paparan f(x)) pada satu titik dalam koordinat asal) .

Pada m = 1 (\gaya paparan m=1) masuk akal untuk bertanya tentang maksimum dan minimum fungsi. Menurut kenyataan terkenal itu analisis matematik, fungsi boleh dibezakan secara berterusan f (\gaya paparan f), ditakrifkan dalam keseluruhan ruang R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) atau dalam subset terbukanya, boleh mencapai maksimum tempatan(minimum) hanya pada titik kritikal, dan jika titik tidak merosot, maka matriks (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\sebahagian ^(2)f)(\sebahagian x_(i)\sebahagian x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) mestilah negatif (positif) pasti di dalamnya. Yang terakhir juga keadaan yang mencukupi maksimum tempatan (masing-masing, minimum).

sedang berlaku n = m = 2

Bila n=m=2 kita ada pemetaan f satah ke atas satah (atau manifold dua dimensi ke manifold dua dimensi yang lain). Mari kita anggap bahawa paparan f boleh dibezakan bilangan kali yang tidak terhingga ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Dalam kes ini, titik kritikal tipikal pemetaan f ialah penentu matriks Jacobian sama dengan sifar, tetapi pangkatnya sama dengan 1, dan oleh itu pembezaan pemetaan f mempunyai kernel satu dimensi pada titik tersebut. Keadaan tipikal kedua ialah dalam kejiranan titik yang dipertimbangkan pada satah imej songsang, set titik kritikal membentuk lengkung biasa S, dan pada hampir semua titik lengkung S teras ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) tidak mempedulikan S, manakala titik di mana perkara ini tidak berlaku adalah diasingkan dan kesenjangan padanya adalah dari urutan pertama. Titik kritikal jenis pertama dipanggil titik lipatan, dan jenis kedua titik himpunan. Lipatan dan lipatan ialah satu-satunya jenis singulariti pemetaan satah ke satah yang stabil berkenaan dengan gangguan kecil: di bawah gangguan kecil, titik lipatan dan lipatan bergerak sedikit sahaja bersama dengan ubah bentuk lengkung S, tetapi jangan lenyap, jangan merosot, dan jangan berpecah kepada singulariti lain.

Lihat juga: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Selama dua setengah milenium, matematik telah menggunakan abstraksi titik tanpa dimensi, yang bercanggah bukan sahaja akal, tetapi juga pengetahuan tentang dunia sekeliling, yang diperolehi oleh sains seperti fizik, kimia, mekanik kuantum dan informatika.

Tidak seperti abstraksi lain, abstraksi titik matematik tidak berdimensi tidak mengidealkan realiti, memudahkan kognisinya, tetapi sengaja memutarbelitkannya, memberikan makna yang bertentangan, yang, khususnya, menjadikannya pada asasnya mustahil untuk memahami dan mengkaji ruang dimensi yang lebih tinggi!

Penggunaan abstraksi titik tanpa dimensi dalam matematik boleh dibandingkan dengan penggunaan asas unit kewangan dengan kos sifar. Nasib baik, ekonomi tidak memikirkan perkara ini.

Mari kita buktikan kemustahilan abstraksi titik tanpa dimensi.

Teorem. Titik matematik adalah besar.

Bukti.

Sejak dalam matematik

Saiz_mata = 0,

Untuk segmen panjang terhingga (bukan sifar), kita ada

Saiz_segmen = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Saiz sifar segmen yang diperoleh, sebagai jujukan titik konstituennya, bercanggah dengan keadaan panjang terhingga segmen. Di samping itu, saiz titik sifar adalah tidak masuk akal kerana jumlah sifar tidak bergantung pada bilangan istilah, iaitu bilangan titik "sifar" dalam segmen tidak mempengaruhi saiz segmen.

Oleh itu, andaian asal tentang saiz sifar titik matematik adalah SALAH.

Oleh itu, boleh dikatakan bahawa titik matematik mempunyai saiz bukan sifar (terhingga). Oleh kerana titik bukan sahaja milik segmen, tetapi juga ruang di mana segmen itu terletak, ia mempunyai dimensi ruang, iaitu, titik matematik adalah volumetrik. Q.E.D.

Akibat.

Bukti di atas, dijalankan dengan bantuan radas matematik kumpulan junior tadika menanamkan kebanggaan dalam kebijaksanaan para imam dan pakar "ratu segala ilmu", yang berjaya membawa melalui beribu tahun dan memelihara untuk anak cucu dalam bentuk asalnya khayalan kuno manusia.

Ulasan

Alexander yang dihormati! Saya tidak kuat dalam matematik, tetapi mungkin ANDA boleh memberitahu saya di mana dan oleh siapa dinyatakan bahawa titik itu sama dengan sifar? Perkara lain ialah ia mempunyai nilai yang sangat kecil, sehingga konvensyen, tetapi tidak sifar sama sekali. Oleh itu, mana-mana segmen boleh dianggap sifar, kerana terdapat segmen lain yang mengandungi set tak terhingga segmen awal, secara kasarnya. Mungkin kita tidak boleh mengelirukan matematik dan fizik. Matematik adalah sains tentang makhluk, fizik adalah tentang yang sedia ada. Yang ikhlas.

Saya menyebut Achilles dua kali secara terperinci dan berkali-kali secara serentak:
"Mengapa Achilles tidak akan mengejar kura-kura itu"
"Achilles dan kura-kura - paradoks dalam kiub"

Mungkin satu penyelesaian kepada paradoks Zeno ialah ruang adalah diskret dan masa adalah berterusan. Dia menganggap, seperti yang mungkin untuk anda, bahawa kedua-duanya adalah diskret. Badan boleh kekal pada satu titik di angkasa untuk beberapa waktu. Tetapi ia tidak boleh berada di tempat yang berbeza pada masa yang sama pada masa yang sama. Ini semua, sudah tentu, amatur, seperti keseluruhan dialog kami. Yang ikhlas.
By the way, jika titik ialah 3D, apakah dimensinya?

Kebijaksanaan masa mengikuti, sebagai contoh, dari aporia "Anak Panah". "Secara serentak tinggal di tempat yang berbeza" hanya boleh menjadi elektron di kalangan ahli fizik yang, pada dasarnya, tidak memahami dan tidak menerima sama ada struktur eter atau struktur 4 ruang dimensi. Saya tidak tahu mana-mana contoh lain fenomena ini. Saya tidak melihat "amaturisme" dalam perbualan kami. Sebaliknya, segala-galanya sangat mudah: titik sama ada tidak berdimensi atau mempunyai saiz; kesinambungan dan infiniti sama ada wujud atau tidak. Yang ketiga tidak diberikan - sama ada BENAR atau SALAH! Asas ahli matematik, malangnya, dibina di atas dogma palsu, diterima daripada kejahilan 2500 tahun dahulu.

Saiz mata bergantung pada keadaan masalah yang sedang diselesaikan dan pada ketepatan yang diperlukan. Sebagai contoh, jika gear direka untuk jam tangan, maka ketepatan boleh dihadkan oleh saiz atom, iaitu lapan tempat perpuluhan. Atom itu sendiri di sini akan menjadi analog fizikal titik matematik. Anda mungkin memerlukan ketepatan 16 aksara di suatu tempat; maka peranan titik akan dimainkan oleh zarah eter. Ambil perhatian bahawa perbincangan tentang ketepatan yang dikatakan "tak terhingga" dalam amalan bertukar menjadi karut liar, atau, secara ringkasnya, tidak masuk akal.

Saya masih tidak faham: adakah perkara itu wujud? Jika ia wujud secara objektif, oleh itu ia mempunyai nilai fizikal tertentu, jika ia wujud secara subjektif, dalam bentuk abstraksi fikiran kita, maka ia mempunyai nilai matematik. Sifar tidak mempunyai APA-APA, ia tidak wujud, ini adalah definisi abstrak Ketidakwujudan dalam matematik atau kekosongan dalam fizik. Intinya tidak wujud dengan sendirinya di luar hubungan. Sebaik sahaja titik kedua muncul, segmen muncul - Sesuatu, dsb. Topik ini boleh dikembangkan tanpa henti. dengan uv.

Nampaknya saya yang saya bawa contoh yang baik, tetapi mungkin tidak cukup terperinci. Secara objektif, terdapat Dunia yang dikenali oleh sains, dan pada masa sekarang mengenali terutamanya kaedah matematik. Matematik mengenali dunia dengan membina model matematik. Untuk membina model ini, abstraksi matematik asas terlibat, khususnya, seperti: titik, garis, kesinambungan, infiniti. Abstraksi ini adalah asas kerana ia tidak lagi boleh dipecahkan dan dipermudahkan lagi. Setiap abstraksi asas boleh sama ada mencukupi realiti objektif(benar) atau tidak (salah). Semua abstraksi di atas pada mulanya palsu, kerana ia bercanggah dengan pengetahuan terkini tentang dunia sebenar. Oleh itu, abstraksi ini menghalang pemahaman yang betul dunia sebenar. Seseorang entah bagaimana boleh bersabar dengan ini semasa sains sedang mengkaji dunia 3 dimensi. Walau bagaimanapun, abstraksi titik tanpa dimensi dan kesinambungan menjadikan semua dunia dimensi yang lebih tinggi tidak dapat diketahui pada dasarnya!

Bata alam semesta - titik - tidak boleh menjadi kekosongan. Semua orang tahu bahawa tiada apa yang datang dari kekosongan. Ahli fizik, mengisytiharkan eter tidak wujud, memenuhi dunia dengan kekosongan. Saya percaya bahawa matematik dengan titik kosongnya mendorong mereka kepada kebodohan ini. Saya tidak bercakap tentang titik-atom dunia yang berdimensi lebih tinggi daripada 4D. Jadi, untuk setiap dimensi, peranan titik matematik yang tidak boleh dibahagikan (bersyarat) dimainkan oleh (bersyarat) atom tidak boleh dibahagikan dunia ini (angkasa, jirim). Untuk 3D - atom fizikal, untuk 4D - zarah eter, untuk 5D - atom astral, untuk 6D - atom mental, dan sebagainya. Yang ikhlas,

Jadi, bagaimanapun, bata alam semesta mempunyai beberapa nilai mutlak? Dan apakah yang ia mewakili, pada pendapat anda, dalam dunia halus atau mental. Saya takut untuk bertanya tentang dunia itu sendiri. Dengan minat...

Zarah eter (ini bukan atom!) ialah pasangan elektron-positron, di mana zarah itu sendiri berputar secara relatif antara satu sama lain pada kelajuan cahaya. Ini menerangkan sepenuhnya struktur semua nukleon, perambatan ayunan elektromagnet dan semua kesan yang dipanggil vakum fizikal. Struktur atom pemikiran tidak diketahui oleh sesiapa pun. Terdapat hanya bukti bahawa SEMUA yang paling dunia yang lebih tinggi bahan, iaitu, mereka mempunyai atom mereka sendiri. Terserah kepada perkara Yang Mutlak. Anda menjadi ironik, walaupun. Adakah lubang cacing dan dentuman besar Adakah anda rasa ia lebih dipercayai?

Apa yang ironinya di sini, cuma sedikit terkejut selepas maklumat yang begitu banyak. Saya, tidak seperti anda, bukan seorang profesional dan saya merasa sukar untuk mengatakan apa-apa tentang lima atau enam dimensi ruang. Saya semua tentang titik penderitaan kami ... Setakat yang saya faham, anda menentang kesinambungan material, dan intinya ialah anda mempunyai atom "demokratik" yang benar-benar wujud. "Bata Alam Semesta". Mungkin saya lalai, tetapi masih, jangan teragak-agak untuk mengulangi strukturnya, parameter fizikal, dimensi, dll.
Dan juga jawab, adakah unit itu wujud dengan sendirinya, oleh itu, di luar sebarang hubungan? Terima kasih.