Analisis matematik semester 1 tahun. Analisis matematik

A.V. Glasco

KULIAH ANALISIS MATEMATIK

"FUNGSI DAN HAD ELEMENTARY"

Moscow, MSTU im. N.E. Bauman

§1. Simbolisme logik.

Apabila menulis ungkapan matematik, kita akan menggunakan simbol logik berikut:

	Maknanya		Maknanya
			Untuk sesiapa sahaja, untuk semua orang, untuk semua orang (dari
			Ada, ada, ada (wujud)
			Menarik, mengikuti (oleh itu)
			Setara, jika dan hanya jika,
			perlu dan mencukupi
Jadi jika A dan B ialah sebarang pernyataan, maka

			Maknanya
			A atau B (atau A atau B, atau kedua-duanya A dan B)
			Untuk sebarang x, A
			Terdapat x yang dipegang oleh A
			Dari A mengikuti B (jika A benar, maka B benar)
(implikasi)
			A bersamaan dengan B, A berlaku jika dan hanya jika B berlaku,
			untuk B adalah perlu dan mencukupi untuk A
	Komen. “A B” bermakna A cukup untuk B, dan B perlu untuk A.

Contoh. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Kadangkala kita akan menggunakan simbol khas lain: A =df B.

Ini bermakna A = B mengikut takrifan.

§2. beramai-ramai. Unsur dan bahagian set.

Konsep set adalah konsep utama, tidak ditakrifkan melalui yang lebih mudah. Perkataan: koleksi, keluarga, set adalah sinonimnya.

Contoh set: ramai pelajar dalam bilik darjah, ramai guru dalam satu jabatan, banyak kereta di tempat letak kereta, dll.

Konsep utama juga adalah konsep elemen set dan perhubungan

antara unsur-unsur set.

Contoh. N ialah satu set nombor asli, unsurnya ialah nombor 1,2,3,... Jika x dan y ialah unsur N, maka ia berada dalam salah satu hubungan berikut: x=y, x u.

Marilah kita bersetuju untuk menyatakan set dengan huruf besar: A, B, C, X, Y, …, dan elemennya dengan huruf kecil: a, b, c, x, y, …

Hubungan antara elemen atau set ditunjukkan dengan simbol yang diselitkan antara huruf. Contohnya. Biarkan A menjadi beberapa set. Kemudian hubungan a A bermaksud a ialah unsur bagi set A. Tatatanda a A bermaksud a bukan unsur A.

Satu set boleh ditentukan dalam pelbagai cara. 1. Menyenaraikan unsur-unsurnya.

Contohnya, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Menunjukkan sifat unsur. Biarkan A ialah set unsur-unsur yang mempunyai sifat p. Ini boleh ditulis sebagai: A=( a:p ) atau A=( ap ).

Sebagai contoh, tatatanda A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) bermakna A ialah set nombor nyata yang memenuhi ketaksamaan x2 -1>0.

Mari kita perkenalkan beberapa definisi penting.

Def. Satu set dipanggil terhingga jika ia terdiri daripada bilangan unsur terhingga tertentu. Jika tidak ia dipanggil infiniti.

Sebagai contoh, set pelajar dalam bilik darjah adalah terhingga, tetapi set nombor asli atau set mata di dalam segmen adalah tak terhingga.

Def. Satu set yang tidak mengandungi satu elemen dipanggil kosong dan ditetapkan.

Def. Dua set dikatakan sama jika terdiri daripada yang sama

Itu. konsep set tidak membayangkan susunan unsur tertentu. Def. Satu set X dipanggil subset bagi set Y jika mana-mana unsur set X ialah unsur set Y (dan, secara amnya, bukan sebarang

unsur set Y ialah unsur set X). Notasi yang digunakan ialah: X Y.

Sebagai contoh, set oren O ialah subset bagi set buah F: O F, dan set nombor asli N ialah subset bagi set nombor nyata R: N R.

Simbol “ ” dan “ ” dipanggil simbol kemasukan. Setiap set dianggap sebagai subset sendiri. Set kosong ialah subset bagi mana-mana set.

Def. Mana-mana subset B bukan kosong bagi set A yang tidak sama dengan A dipanggil

subset sendiri.

§ 3. Gambar rajah Euler-Venn. Operasi asas pada set.

Ia adalah mudah untuk mewakili set secara grafik, dalam bentuk kawasan di atas kapal terbang. Diandaikan bahawa titik-titik kawasan sepadan dengan unsur-unsur set. Perwakilan grafik set sedemikian dipanggil gambar rajah Euler-Venn.

Contoh. A – ramai pelajar MSTU, B – ramai pelajar dalam penonton. nasi. 1 jelas menunjukkan bahawa A B .

Gambar rajah Euler-Venn mudah digunakan untuk perwakilan visual asas operasi tetapkan. Operasi utama termasuk yang berikut.

nasi. 1. Contoh rajah Euler-Venn.

1. Persilangan A B bagi set A dan B ialah set C yang terdiri daripada semua unsur yang dimiliki serentak dengan kedua-dua set A dan B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(dalam Rajah 2, set C diwakili oleh kawasan berlorek).

nasi. 2. Persilangan set.

2. Gabungan A B bagi set A dan B ialah set C yang terdiri daripada semua unsur yang dimiliki oleh sekurang-kurangnya satu set A atau B.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(dalam Rajah 3, set C diwakili oleh kawasan berlorek).

nasi. 3. Kesatuan set.

nasi. 4. Perbezaan set.

3. Perbezaan A\B set A dan B dipanggil set C, terdiri daripada semua elemen kepunyaan set A, tetapi bukan kepunyaan set B:

A\B =( z: (z A) (z B) )

(dalam Rajah 4, set C diwakili oleh kawasan yang berlorek dengan warna kuning).

§4. Himpunan nombor nyata.

Mari kita bina satu set nombor nyata R. Untuk melakukan ini, pertimbangkan, pertama sekali, set nombor asli, yang kami takrifkan seperti berikut. Mari kita ambil nombor n=1 sebagai elemen pertama. Setiap elemen berikutnya akan diperoleh daripada yang sebelumnya dengan menambah satu:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = ( 1, 2, 3, …, n, … ).

N = ( -1, -2, -3, …, -n, … ).

Set integer Z kami mentakrifkannya sebagai gabungan tiga set: N, -N dan set yang terdiri daripada satu elemen - ​​sifar:

Kami mentakrifkan set nombor rasional sebagai set semua kemungkinan hubungan integer:

Q = ( xx = m/n; m, n Z, n 0 ).

Jelas sekali N Z Q.

Adalah diketahui bahawa setiap nombor rasional boleh ditulis sebagai pecahan berkala nyata terhingga atau pecahan berkala tak terhingga. Adakah nombor rasional cukup untuk mengukur semua kuantiti yang boleh kita temui semasa mengkaji dunia di sekeliling kita? Sudah di Greece Purba telah ditunjukkan bahawa tidak: jika kita menganggap segi tiga tegak sama kaki dengan kaki panjang satu, panjang hipotenus tidak boleh diwakili sebagai nombor rasional. Oleh itu, kita tidak boleh menghadkan diri kita kepada set nombor rasional. Ia adalah perlu untuk mengembangkan konsep nombor. Sambungan ini dicapai dengan memperkenalkan set nombor tak rasional J, yang paling mudah dianggap sebagai set semua pecahan perpuluhan tak terhingga bukan berkala.

Penyatuan set nombor rasional dan tak rasional dipanggil

set nombor nyata R: R =Q Y.

Kadang-kadang kita juga mempertimbangkan set lanjutan nombor nyata R, pemahaman

Adalah mudah untuk mewakili nombor nyata sebagai titik pada garis nombor.

Def. Paksi nombor ialah garis lurus di mana asal, skala dan arah rujukan ditunjukkan.

Surat-menyurat satu-dengan-satu diwujudkan antara nombor nyata dan titik pada paksi nombor: sebarang nombor nyata sepadan dengan satu titik pada paksi nombor dan sebaliknya.

Aksiom kesempurnaan (kesinambungan) set nombor nyata. Mana-mana set bukan kosong A= (a) R dan B= (b) R adalah sedemikian rupa sehingga bagi mana-mana a dan b ketaksamaan a ≤ b dipegang, terdapat nombor cR sedemikian rupa sehingga a ≤ c ≤ b (Rajah 5).

Rajah.5. Ilustrasi aksiom kesempurnaan set nombor nyata.

§5. Set berangka. Kejiranan.

Def. Set berangka mana-mana subset bagi set R dipanggil Set berangka yang paling penting: N, Z, Q, J, serta

segmen: (x R |a x b ),

selang: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

selang separuh: ( x R| a x b),

(x R | x b ).

Peranan terpenting dalam analisis matematik dimainkan oleh konsep kejiranan titik pada paksi nombor.

Def. -kejiranan titik x 0 ialah selang panjang 2 dengan pusat pada titik x 0 (Rajah 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

nasi. 6. Kejiranan sesuatu titik.

Def. Kejiranan titik yang tertusuk ialah kejiranan titik ini,

dari mana titik x0 itu sendiri dikecualikan (Rajah 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

nasi. 7. Kejiranan tertusuk satu titik.

Def. Belah kanan -kejiranan titik x0 dipanggil separuh selang

u (x 0 ), julat nilai: E= [-π/2,π/2 ].

nasi. 11. Graf fungsi y arcsin x.

Marilah kita memperkenalkan konsep fungsi kompleks ( gubahan pemetaan). Biarkan tiga set D, E, M diberikan dan biarkan f: D→E, g: E→M. Jelas sekali, adalah mungkin untuk membina pemetaan baharu h: D→M, dipanggil komposisi pemetaan f dan g atau fungsi kompleks (Rajah 12).

Fungsi kompleks dilambangkan seperti berikut: z =h(x)=g(f(x)) atau h = f o g.

nasi. 12. Ilustrasi konsep fungsi kompleks.

Fungsi f (x) dipanggil fungsi dalaman, dan fungsi g (y)- fungsi luaran.

1. Fungsi dalaman f(x)= x², fungsi luaran g (y) sin y. Fungsi kompleks z= g(f(x))=sin(x²)

2. Sekarang sebaliknya. Fungsi dalaman f (x)= sinx, fungsi luaran g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)

Soalan untuk peperiksaan dalam "Analisis Matematik", tahun 1, semester 1.

1. beramai-ramai. Operasi asas pada set. Ruang metrik dan aritmetik.

2. Set berangka. Set pada garis nombor: segmen, selang, separuh paksi, kejiranan.

3. Definisi set bersempadan. Sempadan atas dan bawah set nombor. Postulat tentang batas atas dan bawah set berangka.

4. Kaedah aruhan matematik. Ketaksamaan Bernoulli dan Cauchy.

5. Definisi fungsi. Graf fungsi. Fungsi genap dan ganjil. Fungsi berkala. Kaedah untuk menentukan fungsi.

6. Had ketekalan. Sifat jujukan menumpu.

7. Urutan terhad. Teorem tentang syarat yang mencukupi untuk perbezaan jujukan.

8. Definisi jujukan monotonik. Teorem Weierstrass pada jujukan monoton.

9. Nombor e.

10. Had fungsi pada satu titik. Had fungsi pada infiniti. Had berat sebelah.

11. Fungsi tak terhingga. Had jumlah, hasil darab dan hasil bagi fungsi.

12. Teorem tentang kestabilan ketaksamaan. Laluan ke had dalam ketidaksamaan. Teorem tentang tiga fungsi.

13. Yang pertama dan kedua adalah had yang indah.

14. Fungsi tak terhingga besar dan hubungannya dengan fungsi tak terhingga.

15. Perbandingan fungsi infinitesimal. Sifat-sifat infinitesimals setara. Teorem untuk menggantikan infinitesimal dengan yang setara. Kesetaraan asas.

16. Kesinambungan fungsi pada satu titik. Tindakan dengan fungsi berterusan. Kesinambungan fungsi asas asas.

17. Klasifikasi titik ketakselanjaran fungsi. Definisi mengikut kesinambungan

18. Definisi fungsi kompleks. Had fungsi kompleks. Kesinambungan fungsi kompleks. Fungsi hiperbolik

19. Kesinambungan fungsi pada segmen. Teorem Cauchy tentang lenyapnya fungsi berterusan pada selang dan pada nilai perantaraan fungsi itu.

20. Sifat fungsi berterusan pada selang waktu. Teorem Weierstrass tentang sempadan fungsi selanjar. Teorem Weierstrass mengenai nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi.

21. Definisi fungsi monotonik. Teorem Weierstrass mengenai had fungsi monoton. Teorem pada set nilai fungsi yang monotonik dan berterusan pada selang waktu.

22. Fungsi songsang. Graf bagi fungsi songsang. Teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang.

23. Fungsi trigonometri songsang dan hiperbolik.

24. Penentuan terbitan bagi suatu fungsi. Terbitan bagi fungsi asas asas.

25. Definisi fungsi boleh dibezakan. Syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk kebolehbezaan fungsi. Kesinambungan fungsi boleh dibezakan.

26. Makna geometri terbitan. Persamaan tangen dan normal kepada graf fungsi.

27. Terbitan hasil tambah, hasil darab dan hasil bagi dua fungsi

28. Terbitan bagi fungsi kompleks dan fungsi songsangnya.

29. Pembezaan logaritma. Terbitan bagi fungsi yang diberi secara parametrik.

30. Bahagian utama kenaikan fungsi. Formula linearisasi fungsi. Makna geometri pembezaan.

31. Pembezaan fungsi kompleks. Invarian bentuk pembezaan.

32. Teorem Rolle, Lagrange dan Cauchy tentang sifat-sifat fungsi boleh beza. Formula kenaikan terhingga.

33. Penggunaan derivatif kepada pendedahan ketidakpastian dalam had. Peraturan L'Hopital.

34. Definisi derivatif pesanan ke- Peraturan untuk mencari terbitan tertib ke-n. Formula Leibniz. Perbezaan pesanan yang lebih tinggi.

35. Formula Taylor dengan baki istilah dalam bentuk Peano. Istilah sisa dalam bentuk Lagrange dan Cauchy.

36. Meningkatkan dan mengurangkan fungsi. Titik melampau.

37. Kecembungan dan kelenturan fungsi. Titik infleksi.

38. Pemecahan ciri yang tidak berkesudahan. Asimtot.

39. Skema untuk membina graf fungsi.

40. Definisi antiderivatif. Sifat asas antiderivatif. Peraturan penyepaduan yang paling mudah. Jadual kamiran ringkas.

41. Pengamiran melalui perubahan pembolehubah dan formula pengamiran mengikut bahagian dalam kamiran tak tentu.

42. Mengintegrasikan ungkapan bentuk e ax cos bx dan e ax sin bx menggunakan hubungan ulangan.

	43. Penyepaduan Pecahan			menggunakan hubungan berulang.
			a 2 n

44. Kamiran tak tentu bagi fungsi rasional. Penyepaduan pecahan mudah.

45. Kamiran tak tentu bagi fungsi rasional. Penguraian pecahan wajar kepada pecahan termudah.

46. Kamiran tak tentu bagi fungsi tak rasional. Mengintegrasikan Ungkapan

	R x, m

47. Kamiran tak tentu bagi fungsi tak rasional. Penyepaduan ungkapan dalam bentuk R x , ax 2 bx c . Penggantian Euler.

48. Mengintegrasikan ungkapan bentuk

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Kamiran tak tentu bagi fungsi tak rasional. Integrasi pembezaan binomial.

50. Mengintegrasikan ungkapan trigonometri. Penggantian trigonometri sejagat.

51. Penyepaduan ungkapan trigonometri rasional dalam kes apabila kamiran dan ganjil berkenaan dengan dosa x (atau cos x) atau pun berkenaan dengan sin x dan cos x.

52. Mengintegrasikan Ungkapan sin n x cos m x dan sin nx cos mx .

53. Mengintegrasikan Ungkapan tg m x dan ctg m x .

54. Mengintegrasikan Ungkapan R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 dan R x , x 2 a 2 menggunakan penggantian trigonometri.

55. Kamiran pasti. Masalah mengira luas trapezium melengkung.

56. Jumlah kamiran. Jumlah Darboux. Teorem tentang syarat kewujudan kamiran pasti. Kelas fungsi boleh integrasi.

57. Sifat kamiran pasti. Teorem nilai min.

58. Kamiran pasti sebagai fungsi had atas. Formula Newton-Leibniz.

59. Formula untuk menukar pembolehubah dan formula untuk penyepaduan mengikut bahagian dalam kamiran pasti.

60. Aplikasi kalkulus kamiran kepada geometri. Isipadu rajah. Isipadu angka putaran.

61. Aplikasi kalkulus kamiran kepada geometri. Luas angka rata. Kawasan sektor melengkung. Panjang lengkung.

62. Takrif kamiran tak wajar jenis pertama. Formula Newton-Leibniz untuk kamiran tak wajar jenis pertama. Sifat yang paling mudah.

63. Penumpuan kamiran tak wajar jenis pertama untuk fungsi positif. Teorem perbandingan 1 dan 2.

64. Penumpuan mutlak dan bersyarat bagi kamiran tak wajar jenis pertama daripada fungsi berselang-seli. Ujian untuk penumpuan Abel dan Dirichlet.

65. Takrif kamiran tak wajar jenis kedua. Formula Newton-Leibniz untuk kamiran tak wajar jenis kedua.

66. Sambungan kamiran tak wajar jenis 1 dan 2. Kamiran tidak wajar dalam erti kata nilai prinsipal.

Kursus ini bertujuan untuk sarjana muda dan sarjana pengkhususan dalam disiplin matematik, ekonomi atau sains semula jadi, serta guru matematik sekolah menengah dan profesor universiti. Ia juga berguna untuk pelajar sekolah yang mempelajari matematik secara mendalam.

Struktur kursus adalah tradisional. Kursus ini merangkumi bahan klasik dalam analisis matematik, dipelajari pada tahun pertama universiti pada semester pertama. Bahagian "Unsur teori set dan nombor nyata", "Teori jujukan nombor", "Had dan kesinambungan fungsi", "Kebolehbezaan fungsi", "Aplikasi kebolehbezaan" akan dibentangkan. Kita akan berkenalan dengan konsep set, memberikan definisi yang ketat tentang nombor nyata dan mengkaji sifat nombor nyata. Kemudian kita akan bercakap tentang jujukan nombor dan sifatnya. Ini akan membolehkan kita mempertimbangkan konsep fungsi berangka, yang diketahui oleh pelajar sekolah, pada tahap baharu yang lebih ketat. Kami akan memperkenalkan konsep had dan kesinambungan fungsi, membincangkan sifat-sifat fungsi selanjar dan aplikasinya untuk menyelesaikan masalah.

Dalam bahagian kedua kursus, kita akan mentakrifkan derivatif dan kebolehbezaan fungsi bagi satu pembolehubah dan mengkaji sifat-sifat fungsi boleh dibezakan. Ini akan membolehkan anda mempelajari cara menyelesaikan masalah gunaan yang penting seperti pengiraan anggaran nilai fungsi dan menyelesaikan persamaan, mengira had, mengkaji sifat fungsi dan membina grafnya.

Format

Bentuk kajian ialah surat menyurat (jarak).
Kelas mingguan akan termasuk menonton kuliah video tematik dan menyelesaikan tugas ujian dengan pengesahan keputusan automatik.
Elemen penting dalam mengkaji disiplin ialah penyelesaian bebas masalah pengiraan dan masalah pembuktian. Penyelesaiannya perlu mengandungi penaakulan yang ketat dan betul secara logik yang membawa kepada jawapan yang betul (dalam kes masalah pengiraan) atau membuktikan sepenuhnya pernyataan yang diperlukan (untuk masalah teori).

Keperluan

Kursus ini direka untuk tahun pertama bujang. Pengetahuan matematik rendah di peringkat sekolah menengah (darjah 11) diperlukan.

Program kursus

Kuliah 1. Unsur-unsur teori set.
Kuliah 2. Konsep nombor nyata. Muka tepat set berangka.
Kuliah 3. Operasi aritmetik pada nombor nyata. Sifat nombor nyata.
Kuliah 4. Urutan nombor dan sifatnya.
Kuliah 5. Urutan monoton. Kriteria Cauchy untuk penumpuan jujukan.
Kuliah 6. Konsep fungsi satu pembolehubah. Had fungsi. Fungsi yang sangat kecil dan tidak terhingga besar.
Kuliah 7. Kesinambungan fungsi. Klasifikasi titik putus. Sifat tempatan dan global bagi fungsi berterusan.
Kuliah 8. Fungsi monoton. Fungsi songsang.
Kuliah 9. Fungsi asas yang paling mudah dan sifatnya: fungsi eksponen, logaritma dan kuasa.
Kuliah 10. Fungsi trigonometri dan songsang. Had yang luar biasa. Kesinambungan fungsi yang seragam.
Kuliah 11. Konsep terbitan dan pembezaan. Makna geometri terbitan. Peraturan pembezaan.
Kuliah 12. Terbitan bagi fungsi asas asas. Pembezaan fungsi.
Kuliah 13. Derivatif dan pembezaan pesanan yang lebih tinggi. Formula Leibniz. Terbitan bagi fungsi yang ditentukan secara parametrik.
Kuliah 14. Sifat asas fungsi boleh dibezakan. Teorem Rolle dan Lagrange.
Kuliah 15. Teorem Cauchy. Peraturan pertama L'Hopital untuk mendedahkan ketidakpastian.
Kuliah 16. Peraturan kedua L'Hopital untuk mendedahkan ketidakpastian. Formula Taylor dengan baki istilah dalam bentuk Peano.
Kuliah 17. Formula Taylor dengan baki istilah dalam bentuk umum, dalam bentuk Lagrange dan Cauchy. Pengembangan mengikut formula Maclaurin bagi fungsi asas utama. Aplikasi formula Taylor.
Kuliah 18. Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem. Asimtot graf fungsi. Cembung.
Kuliah 19. Titik infleksi. Skim umum penyelidikan fungsi. Contoh memplot graf.

Hasil pembelajaran

Hasil daripada penguasaan kursus, pelajar akan mendapat kefahaman tentang konsep asas analisis matematik: set, nombor, urutan dan fungsi, membiasakan diri dengan sifatnya dan belajar menggunakan sifat ini semasa menyelesaikan masalah.

Kursus ini adalah rakaman video studio separuh pertama semester pertama kuliah mengenai analisis matematik seperti yang diberikan di Universiti Akademik. Lebih daripada 4 modul, pelajar akan membiasakan diri dengan konsep asas analisis matematik: jujukan, had dan kesinambungan. Kami akan mengehadkan diri kami hanya kepada nombor nyata dan fungsi satu pembolehubah. Pembentangan akan dijalankan pada tahap yang agak rendah tanpa kemungkinan generalisasi yang tidak mengubah idea utama bukti, tetapi secara ketara merumitkan persepsi. Semua pernyataan (kecuali beberapa justifikasi formal yang membosankan pada permulaan kursus dan dalam definisi fungsi asas) akan dibuktikan dengan ketat. Rakaman video disertakan dengan sejumlah besar tugas untuk pelajar bekerja secara berdikari.

Untuk siapa kursus ini

Pelajar junior kepakaran teknikal

Pelajar mesti mempunyai penguasaan yang baik terhadap kurikulum matematik sekolah. Iaitu, anda perlu mengetahui rupa graf fungsi asas asas, mengetahui formula asas untuk fungsi trigonometri, eksponen dan logaritma, untuk janjang aritmetik dan geometri, dan juga dengan yakin boleh melakukan transformasi algebra dengan kesamaan dan ketaksamaan. Untuk beberapa masalah, anda juga perlu mengetahui sifat termudah bagi nombor rasional dan tak rasional.

Biarkan pembolehubah x n mengambil urutan nilai yang tidak terhingga

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

dan hukum perubahan pembolehubah diketahui x n, iaitu bagi setiap nombor asli n anda boleh menentukan nilai yang sesuai x n. Oleh itu diandaikan bahawa pembolehubah x n adalah fungsi daripada n:

x n = f(n)

Mari kita tentukan salah satu konsep analisis matematik yang paling penting - had jujukan, atau, apa yang sama, had pembolehubah x n, berjalan melalui urutan x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definisi. Nombor tetap a dipanggil had urutan x 1 , x 2 , ..., x n , ... . atau had pembolehubah x n, jika untuk nombor positif yang kecil sewenang-wenangnya terdapat nombor asli sedemikian N(iaitu nombor N) bahawa semua nilai pembolehubah x n, bermula dari x N, berbeza daripada a dalam nilai mutlak kurang daripada e. Definisi ini ditulis secara ringkas seperti berikut:

| x n - a |< (2)

di hadapan semua orang n  N, atau, apa yang sama,

Penentuan had Cauchy. Nombor A dipanggil had fungsi f (x) pada titik a jika fungsi ini ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik a, dengan kemungkinan pengecualian titik a itu sendiri, dan untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 supaya untuk semua keadaan x memuaskan |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Penentuan had Heine. Nombor A dipanggil had fungsi f (x) pada titik a jika fungsi ini ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik a, dengan kemungkinan pengecualian titik a itu sendiri, dan untuk sebarang jujukan sedemikian. menumpu kepada nombor a, jujukan nilai fungsi yang sepadan menumpu kepada nombor A.

Jika fungsi f (x) mempunyai had pada titik a, maka had ini adalah unik.

Nombor A 1 dipanggil had fungsi f (x) di sebelah kiri di titik a jika bagi setiap ε > 0 wujud δ >

Nombor A 2 dipanggil had fungsi f (x) di sebelah kanan pada titik a jika bagi setiap ε > 0 terdapat δ > 0 supaya ketaksamaan berlaku untuk semua

Had di sebelah kiri dilambangkan dengan had di sebelah kanan - Had ini mencirikan kelakuan fungsi di sebelah kiri dan kanan titik a. Ini sering dipanggil had sehala. Dalam penetapan had sebelah untuk x → 0, sifar pertama biasanya ditinggalkan: dan . Jadi, untuk fungsi

Jika bagi setiap ε > 0 wujud kejiranan δ bagi suatu titik sehingga untuk semua x memenuhi syarat |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, maka mereka mengatakan bahawa fungsi f (x) mempunyai had tak terhingga pada titik a:

Oleh itu, fungsi mempunyai had tak terhingga pada titik x = 0. Had bersamaan dengan +∞ dan –∞ selalunya dibezakan. Jadi,

Jika bagi setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga bagi setiap x > δ ketaksamaan |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorem kewujudan untuk supremum yang tepat

Definisi:АR mR, m ialah muka atas (bawah) А, jika аА аm (аm).

Definisi: Satu set A disempadani dari atas (dari bawah), jika wujud m sehingga aA, am (am) dipegang.

Definisi: SupA=m, jika 1) m ialah supremum A

2) m’: m’ m’ bukan supremum A

InfA = n, jika 1) n ialah infimum A

2) n’: n’>n => n’ bukan infimum A

Definisi: SupA=m ialah nombor seperti: 1)  aA am

2) >0 a  A, supaya a  a-

InfA = n ialah nombor seperti: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, supaya E a+

Teorem: Mana-mana set AR bukan kosong yang bersempadan dari atas mempunyai supremum yang tepat dan yang unik.

Bukti:

Mari bina nombor m pada garis nombor dan buktikan bahawa ini adalah tertinggi bagi A.

[m]=maks([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - sempadan atas A

Segmen [[m],[m]+1] - dibahagikan kepada 10 bahagian

m 1 =maks:aA)]

m 2 =maks,m 1:aA)]

m k =maks,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - tepi atas A

Mari kita buktikan bahawa m=[m],m 1 ...m K ialah yang tertinggi dan ia unik:

k: )