Klasifikasi pemodelan matematik. pemodelan matematik

1. Model ekonomi dan matematik dikelaskan atas sebab yang berbeza.

Mengikut tujuan, mereka dibahagikan kepada:

Teori dan analitikal - dalam kajian sifat dan corak umum;

Gunaan - dalam menyelesaikan masalah ekonomi tertentu (model analisis ekonomi, ramalan, pengurusan).

Model ekonomi dan matematik boleh digunakan dalam kajian pelbagai aspek pengeluaran dan bahagian individunya.

Mengikut isu substantif yang dikaji oleh proses ekonomi, model ekonomi dan matematik dibahagikan kepada:

Model pengeluaran secara umum dan subsistemnya - industri, wilayah, dsb.;

Kompleks model pengeluaran, penggunaan, pembentukan dan pengagihan pendapatan, sumber buruh, harga, hubungan kewangan, dsb.

Selaras dengan klasifikasi umum model matematik, ia dibahagikan kepada:

berfungsi;

Struktural;

Struktur dan berfungsi.

Penggunaan model struktur dalam penyelidikan di peringkat ekonomi adalah wajar oleh interkoneksi subsistem. Lazim dalam kes ini ialah model hubungan antara sektor.

Model fungsional digunakan secara meluas dalam bidang peraturan ekonomi. Lazim dalam kes ini ialah model tingkah laku pengguna dari segi hubungan komoditi-wang.

Satu dan objek yang sama boleh dibentangkan dalam bentuk kedua-dua model struktur dan berfungsi pada masa yang sama. Jadi, sebagai contoh, model struktur digunakan untuk merancang sistem industri yang berasingan, dan model berfungsi digunakan pada peringkat ekonomi.

2. Perbezaan antara model deskriptif dan normatif didedahkan apabila mempertimbangkan struktur dan sifat penggunaannya.

Model deskriptif memberikan jawapan kepada soalan: "Bagaimana ini berlaku?" atau "Bagaimana ini berkemungkinan besar untuk berkembang lagi?", iaitu, mereka menerangkan fakta yang diperhatikan atau meramalkan kemungkinan sebarang fakta.

Tujuan pendekatan deskriptif ialah pengenalpastian empirikal pelbagai kebergantungan dalam ekonomi. Ini mungkin penubuhan corak statistik tingkah laku ekonomi kumpulan sosial, kajian kemungkinan cara pembangunan mana-mana proses di bawah keadaan yang tidak berubah atau tanpa pengaruh luar, dan kajian lain. Contoh di sini ialah model permintaan pengguna yang dibina berdasarkan pemprosesan data statistik.

Model normatif diiktiraf untuk menjawab soalan: "Bagaimanakah seharusnya?", iaitu, ia membayangkan aktiviti yang bertujuan. Contoh biasa ialah model perancangan optimum.

Model ekonomi-matematik boleh menjadi deskriptif dan normatif. Oleh itu, model keseimbangan antara sektor adalah deskriptif jika ia digunakan untuk menganalisis perkadaran tempoh lalu, dan normatif apabila mengira pilihan seimbang untuk pembangunan ekonomi.

3. Tanda-tanda model deskriptif dan normatif digabungkan jika model normatif struktur kompleks menggabungkan blok berasingan yang merupakan model deskriptif persendirian. Oleh itu, model intersectoral mungkin termasuk fungsi permintaan pengguna yang mencerminkan tingkah laku pengguna apabila pendapatan berubah.

Pendekatan deskriptif digunakan secara meluas dalam pemodelan simulasi.

Mengikut sifat penemuan hubungan sebab-akibat, terdapat model dan model penentuan tegar yang merangkumi unsur rawak dan ketidakpastian. Adalah perlu untuk membezakan antara ketidakpastian berdasarkan hukum teori kebarangkalian dan ketidakpastian yang melampaui penggunaan undang-undang ini. Ketidakpastian jenis kedua menyebabkan masalah besar dalam pemodelan.

4. Mengikut cara mencerminkan faktor masa, model ekonomi dan matematik dibahagikan kepada:

statik;

Dinamik.

Dalam model statik, semua undang-undang ekonomi merujuk kepada satu saat atau tempoh masa.

Model dinamik mencirikan perubahan dari semasa ke semasa.

Mengikut tempoh tempoh masa, model ramalan dan perancangan jangka pendek (sehingga setahun), jangka sederhana (sehingga 5 tahun), jangka panjang (5 tahun atau lebih) dibezakan. Aliran masa dalam model ekonomi dan matematik boleh berubah sama ada secara berterusan atau diskret.

Model fenomena ekonomi berbeza dalam bentuk kebergantungan matematik.

Kelas model linear adalah paling mudah untuk analisis dan pengiraan. Tetapi terdapat kebergantungan berikut dalam ekonomi, yang tidak linear:

Kecekapan penggunaan sumber sambil meningkatkan pengeluaran;

Perubahan dalam permintaan dan penggunaan penduduk dengan peningkatan dalam pengeluaran;

Perubahan dalam permintaan dan penggunaan penduduk dengan pertumbuhan pendapatan, dsb.

Mengikut nisbah pembolehubah eksogen dan endogen yang termasuk dalam model, ia boleh dibahagikan kepada terbuka dan tertutup.

Model mesti mengandungi sekurang-kurangnya satu pembolehubah endogen, jadi tidak ada model terbuka sepenuhnya. Model yang tidak termasuk pembolehubah eksogen (tertutup) sangat jarang berlaku - pembinaannya memerlukan pengabstrakan lengkap dari "persekitaran", iaitu, kekasaran serius sistem ekonomi sebenar yang sentiasa mempunyai sambungan luar.

Pada asasnya, model berbeza dalam tahap keterbukaan (ketertutupan).

Untuk model peringkat perniagaan, pembahagian kepada adalah penting. diagregatkan dan terperinci.

Bergantung pada sama ada model ekonomi termasuk faktor dan keadaan spatial atau tidak termasuk, model spatial dan titik dibezakan.

Dengan pertumbuhan pencapaian dalam penyelidikan ekonomi dan matematik, masalah mengklasifikasikan model yang digunakan menjadi lebih rumit. Seiring dengan kemunculan jenis model baharu (terutamanya jenis campuran) dan alasan baharu untuk pengelasannya, proses menyepadukan model pelbagai jenis ke dalam pembinaan model yang lebih kompleks sedang berlaku.

Pertimbangkan konsep: “Model. Klasifikasi model ”dari sudut pandangan saintifik.

Pengelasan

Pada masa ini, terdapat pembahagian mereka kepada kumpulan yang berasingan. Bergantung pada tujuan yang dimaksudkan, klasifikasi model ekonomi dan matematik berikut adalah tersirat:

• jenis teori dan analitik yang dikaitkan dengan kajian ciri dan corak umum;
• model gunaan bertujuan untuk menyelesaikan masalah ekonomi tertentu. Ini termasuk model ramalan, analisis ekonomi, pengurusan.

Klasifikasi model ekonomi dan matematik juga berkaitan dengan skop aplikasi praktikalnya.

Bergantung pada kandungan masalah, model tersebut dibahagikan kepada kumpulan:

• model pengeluaran secara umum;
• pilihan individu untuk wilayah, subsistem, industri;
• kompleks model penggunaan, pengeluaran, pengedaran dan pembentukan sumber buruh, pendapatan, hubungan kewangan.

Pengelasan model kumpulan ini membayangkan peruntukan subsistem struktur.

Apabila menjalankan penyelidikan di peringkat ekonomi, model struktur dijelaskan oleh hubungan subsistem individu. Model sistem intersectoral boleh dibezakan sebagai pilihan biasa.

Pilihan fungsional digunakan untuk peraturan ekonomi hubungan komoditi-wang. Satu dan objek yang sama boleh dibentangkan dalam bentuk fungsi, bentuk struktur pada masa yang sama.

Penggunaan model struktur dalam penyelidikan di peringkat ekonomi adalah wajar oleh interkoneksi subsistem. Lazim dalam kes ini ialah model hubungan antara sektor.

Model fungsional digunakan secara meluas dalam bidang peraturan ekonomi. Lazim dalam kes ini ialah model tingkah laku pengguna dari segi hubungan komoditi-wang.

Perbezaan antara model

Mari analisa model yang berbeza. Klasifikasi model yang digunakan pada masa ini dalam ekonomi melibatkan peruntukan pilihan normatif dan deskriptif. Menggunakan model deskriptif, adalah mungkin untuk menerangkan fakta yang dianalisis, untuk meramalkan kemungkinan kewujudan fakta tertentu.

Tujuan kempen deskriptif

Ia melibatkan pengenalpastian empirikal pelbagai kebergantungan dalam ekonomi moden. Sebagai contoh, keteraturan statistik pelbagai kumpulan sosial ditubuhkan, kemungkinan cara untuk membangunkan proses tertentu dalam keadaan malar atau tanpa pengaruh luaran dikaji. Berdasarkan keputusan yang diperolehi semasa tinjauan sosiologi, adalah mungkin untuk membina model permintaan pengguna.

Model Kawal Selia

Dengan bantuan mereka, adalah mungkin untuk melakukan aktiviti yang bertujuan. Contohnya ialah model penjadualan optimum.

Ia boleh menjadi normatif dan deskriptif. Jika model digunakan dalam analisis perkadaran tempoh lalu, ia adalah deskriptif. Apabila mengira dengan bantuannya cara optimum pembangunan ekonomi, ia adalah normatif.

Ciri model

Pengelasan model melibatkan mengambil kira fungsi individu yang membantu menjelaskan isu kontroversi. Pendekatan deskriptif telah menemui taburan maksimumnya dalam pemodelan simulasi.

Bergantung pada sifat penemuan perhubungan sebab dan akibat, terdapat klasifikasi model kepada pilihan, termasuk elemen individu ketidakpastian dan rawak, serta model penentu yang tegar. Adalah penting untuk membezakan antara ketidakpastian, yang berdasarkan teori kebarangkalian, dan ketidakpastian, yang melampaui had undang-undang.

Pembahagian model mengikut cara mencerminkan faktor masa

Ia sepatutnya mengklasifikasikan model mengikut faktor ini kepada jenis dinamik dan statik. Model statik melibatkan pertimbangan semua ketetapan dalam tempoh masa tertentu. Pilihan dinamik dicirikan oleh perubahan dari semasa ke semasa. Bergantung pada tempoh penggunaan, klasifikasi model kepada pilihan berikut dibenarkan:

• jangka pendek, tempohnya tidak melebihi satu tahun;
• jangka sederhana, dikira untuk tempoh satu hingga lima tahun;
• jangka panjang, dikira untuk tempoh lebih daripada lima tahun.

Bergantung pada spesifikasi projek, ia dibenarkan membuat perubahan dalam proses penggunaan model.

Mengikut bentuk kebergantungan matematik

Asas untuk klasifikasi model ialah bentuk kebergantungan matematik yang dipilih untuk kerja. Mereka terutamanya menggunakan kelas model linear untuk pengiraan dan analisis. Pertimbangkan jenis model ekonomi. Klasifikasi model jenis ini membantu untuk mengkaji perubahan dalam penggunaan dan permintaan penduduk sekiranya berlaku peningkatan dalam pendapatan material mereka. Di samping itu, ia menganalisis perubahan dalam keperluan penduduk sekiranya berlaku peningkatan dalam pengeluaran, dan menilai keberkesanan penggunaan sumber dalam situasi tertentu.

Bergantung pada nisbah pembolehubah endogen dan eksogen yang termasuk dalam model, klasifikasi model jenis ini kepada sistem tertutup dan terbuka digunakan.

Mana-mana model mesti memasukkan sekurang-kurangnya satu pembolehubah endogen, dan oleh itu adalah sangat bermasalah untuk mencari sistem terbuka sepenuhnya. Model yang tidak termasuk pembolehubah eksogen (varian tertutup) juga boleh dikatakan jarang berlaku. Untuk mencipta varian sedemikian, adalah perlu untuk abstrak sepenuhnya dari alam sekitar, untuk membolehkan sistem ekonomi sebenar yang mempunyai hubungan luar yang serius.

Apabila pencapaian penyelidikan matematik dan ekonomi meningkat, klasifikasi model dan sistem menjadi lebih rumit. Pada masa ini, jenis campuran digunakan, serta reka bentuk model yang kompleks. Klasifikasi bersatu model maklumat belum lagi diwujudkan. Pada masa yang sama, kira-kira sepuluh parameter boleh diperhatikan, mengikut mana jenis model diselaraskan.

Jenis model

Model monografik atau lisan melibatkan penerangan tentang proses atau fenomena. Selalunya kita bercakap tentang peraturan, undang-undang, teorem, atau gabungan beberapa parameter.

Model grafik dilukis dalam bentuk lukisan, peta geografi, gambar. Sebagai contoh, hubungan antara permintaan pengguna dan kos produk boleh diwakili menggunakan paksi koordinat. Graf dengan jelas menunjukkan hubungan antara dua kuantiti.

Model sebenar atau fizikal dicipta untuk objek yang belum wujud dalam realiti.

Darjah pengagregatan objek

Terdapat klasifikasi model maklumat berdasarkan ini kepada:

• tempatan, dengan bantuan analisis dan ramalan penunjuk tertentu pembangunan industri dijalankan;
• pada mikroekonomi, bertujuan untuk analisis serius struktur pengeluaran;
• makroekonomi, berdasarkan kajian ekonomi.

Terdapat juga klasifikasi berasingan model pengurusan untuk jenis makroekonomi. Mereka dibahagikan kepada pilihan satu, dua, pelbagai sektor.

Bergantung pada tujuan penciptaan dan penggunaan, pilihan berikut dibezakan:

• deterministik, mempunyai hasil yang boleh difahami secara unik;
• stokastik, yang melibatkan hasil kebarangkalian.

Dalam ekonomi moden, model keseimbangan dibezakan, yang mencerminkan keperluan untuk memadankan asas sumber dan aplikasinya. Ia ditulis dalam bentuk matriks catur segi empat sama.

Terdapat juga jenis ekonometrik, untuk penilaian kaedah statistik matematik yang digunakan. Model sedemikian menyatakan perkembangan petunjuk utama sistem ekonomi yang dicipta melalui trend (trend) yang panjang. Mereka mendapat permintaan dalam analisis dan ramalan situasi ekonomi tertentu yang berkaitan dengan maklumat statistik sebenar.

Model pengoptimuman membolehkan untuk memilih varian optimum pengeluaran, penggunaan atau pengagihan sumber daripada pelbagai pilihan alternatif (mungkin). Penggunaan sumber yang terhad dalam keadaan sedemikian akan menjadi cara yang paling berkesan untuk mencapai matlamat.

Anggapkan penyertaan dalam projek itu bukan sahaja pakar, tetapi juga perisian khusus, komputer. Pangkalan data pakar yang dihasilkan bertujuan untuk menyelesaikan satu atau lebih tugas dengan mensimulasikan aktiviti manusia.

Model rangkaian ialah satu set operasi dan peristiwa yang saling berkaitan dalam masa. Selalunya, model sedemikian bertujuan untuk pelaksanaan kerja dalam urutan sedemikian untuk mencapai masa minimum untuk projek itu.

Bergantung pada jenis radas matematik yang dipilih, model dibezakan:

• matriks;
• korelasi-regresif;
• rangkaian;
• pengurusan inventori;
• perkhidmatan massa.

Peringkat pemodelan ekonomi dan matematik

Proses ini bertujuan, ia tertakluk kepada program tindakan logik tertentu. Antara peringkat utama mencipta model sedemikian ialah:

• perumusan masalah ekonomi dan analisis kualitatifnya;
• pembangunan model matematik;
• penyediaan maklumat awal;
• penyelesaian berangka;
• analisis keputusan yang diperolehi, penggunaannya.

Apabila menimbulkan masalah ekonomi, adalah perlu untuk merumuskan dengan jelas intipati masalah, perhatikan ciri dan parameter penting objek yang dimodelkan, menganalisis hubungan elemen individu untuk menjelaskan perkembangan dan tingkah laku objek yang sedang dipertimbangkan.

Apabila membangunkan model matematik, hubungan antara persamaan, ketaksamaan dan fungsi didedahkan. Pertama sekali, jenis model ditentukan, kemungkinan penggunaannya dalam masalah tertentu dianalisis, dan senarai parameter dan pembolehubah tertentu dibentuk. Apabila mempertimbangkan objek yang kompleks, model multidimensi dibina supaya masing-masing mencirikan aspek individu objek.

Kesimpulan

Pada masa ini, tiada konsep model yang berasingan. Klasifikasi model adalah bersyarat, tetapi ini tidak mengurangkan kaitannya.

Pengiraan keadaan tegasan-terikan bagi rasuk

Disembahkan oleh pelajar gr. 6-Sm-1 Melnikov R.V.

Ketua Semenov A.A.

St Petersburg

Pengenalan………………………………………………………………………………………………………….2

1. Pengelasan model matematik………………………………………………………………3

2. Kaedah Ritz…………………………………………………………………………………………..5

3. Pengiraan keadaan tegasan-terikan bagi rasuk………….…….7

3.1. Pengiraan masalah keanjalan-linear untuk rasuk keluli……………………..7

3.2. Pengiraan masalah keanjalan tak linear untuk rasuk keluli……….………..9

3.3. Pengiraan masalah keanjalan linear bagi rasuk konkrit………….…….12

3.4. Pengiraan masalah rayapan bagi rasuk konkrit……………………………….13

Kesimpulan………………………………………………………………………………..……………………….15

Senarai literatur terpakai……………………………………………………………….16

pengenalan

Dengan kemunculan komputer elektronik, kaedah baru telah dibangunkan untuk kajian teoritis proses yang kompleks, i.e. kajian masalah sains semula jadi dengan cara matematik pengiraan.

Intipati eksperimen pengiraan adalah untuk menyusun model matematik proses atau fenomena yang dikaji, iaitu beberapa persamaan matematik, kemudian algoritma pengiraan dibangunkan untuk menyelesaikan persamaan ini, program komputer disusun dan pilihan khusus untuk keadaan objek dikira apabila parameter yang dimasukkan dalam persamaan berubah. Itu. asas untuk mengkaji pelbagai objek ialah pembinaan model matematik fungsinya.

Tujuan kerja kursus adalah pembangunan model matematik ubah bentuk unsur-unsur struktur bangunan, pembinaan metodologi untuk mengkaji keadaan terikan-tekanan keluli dan rasuk konkrit.

Klasifikasi model matematik

Model matematik ialah perwakilan matematik realiti, salah satu varian model sebagai sistem, kajian yang membolehkan mendapatkan maklumat tentang beberapa sistem lain.

Proses membina dan mengkaji model matematik dipanggil pemodelan matematik.

Model matematik boleh dikelaskan mengikut beberapa ciri utama.

1. Model statik dan dinamik

Model dipanggil statik jika nilai output bergantung pada nilai input pada masa yang sama. Dalam model dinamik, nilai output mungkin bergantung pada keseluruhan proses input yang lalu. Bagi model dinamik, subjek kajian ialah perubahan dalam objek yang dikaji dalam masa.

2. Model deterministik dan probabilistik.

Jika model matematik termasuk pembolehubah rawak yang mematuhi undang-undang statistik, maka ia dipanggil probabilistik atau stokastik. Model matematik yang tidak mengandungi komponen rawak dipanggil deterministik.

3. Model diskret dan berterusan.

Nilai boleh terdiri daripada dua jenis - diskret, iaitu, mengambil nilai individu, membenarkan penomboran semula jadi, dan berterusan, mengambil semua nilai dari selang waktu tertentu. Kes bercampur juga mungkin, sebagai contoh, apabila nilai berkelakuan sebagai satu diskret pada satu selang, dan berterusan pada selang yang lain. Begitu juga, model matematik boleh sama ada diskret, atau berterusan, atau bercampur. Adalah perlu untuk mengambil kira kemungkinan menggunakan sama ada peranti diskret atau berterusan dalam pembinaan model matematik dan kaedah kajiannya.

4. Model linear dan bukan linear.

Kebergantungan linear bagi satu kuantiti dengan kuantiti yang lain ialah perkadaran kenaikannya, iaitu pergantungan bentuk y=ax+b, dari mana kita mendapat △y=a△x. Begitu juga, konsep model linear juga ditakrifkan. Jika model dianggap sebagai penukar, yang mana setiap input sepadan dengan beberapa output. Kemudian model itu dipanggil linear jika prinsip superposisi berpuas hati di dalamnya, i.e. apabila menambah input, output ditambah, apabila mendarab input dengan sebarang nombor, output didarab dengan nombor yang sama. Menggunakan prinsip superposisi, tidak sukar, setelah menemui penyelesaian dalam apa jua keadaan, untuk membina penyelesaian dalam situasi yang lebih umum. Oleh itu, sifat kualitatif kes umum boleh dinilai oleh sifat-sifat yang tertentu - perbezaan antara kedua-dua penyelesaian hanya kuantitatif.

Salah satu sifat terpenting model matematik ialah kesejagatannya. Intipatinya terletak pada fakta bahawa model matematik yang sama boleh menerangkan proses yang sama sekali berbeza dalam alam semula jadi, i.e. teknik dan kaedah yang sama untuk membina dan mengkaji model matematik sesuai untuk pelbagai masalah.

Walau bagaimanapun, penyelesaian masalah tersebut memerlukan penyepaduan sistem kompleks persamaan pembezaan separa dan dikaitkan dengan kesukaran matematik yang ketara. Oleh itu, apabila menyelesaikan masalah langsung, kaedah anggaran sering digunakan, contohnya, kaedah langsung masalah variasi (kaedah Ritz), serta kaedah unsur terhingga.

Kaedah Ritz

Kaedah Ritz ialah kaedah langsung untuk mencari penyelesaian anggaran kepada masalah nilai sempadan dalam kalkulus variasi.

Kaedah ini memperuntukkan pemilihan fungsi ujian, yang harus meminimumkan fungsi tertentu, dalam bentuk superposisi fungsi yang diketahui yang memenuhi syarat sempadan. Dalam kes ini, masalah dikurangkan kepada mencari pekali superposisi yang tidak diketahui. Operator spatial dalam persamaan operator yang menerangkan masalah nilai sempadan mestilah linear, simetri, dan pasti positif.

Kaedah Ritz membolehkan seseorang mencari fungsi anjakan yang tidak diketahui daripada keadaan minimum jumlah fungsi tenaga terikan.

Pertimbangkan fungsi tenaga:

Ia diperlukan untuk mencari minimum fungsi (3.1), iaitu, untuk mencari fungsi u(x, y), v(x, y) , w(x, y), diberikan di sesetengah kawasan D= {0 ≤ x≤ a; 0 ≤ y≤ b) memenuhi beberapa syarat sempadan homogen pada sempadan Γ, di mana fungsi (1) mempunyai nilai minimum. Kami akan mencari penyelesaian anggaran masalah dalam bentuk:

u(x,y)=u N = ,

v(x,y)=v N = ,

w(x,y)=w N= .

Untuk mengelakkan dua indeks, kami mewakili pergerakan sebagai:

Di sini U(saya), V(saya), W(saya) ialah parameter berangka yang tidak diketahui; X 1(saya), X 2(saya), X 3(saya) dikenali sebagai fungsi menghampiri pembolehubah x, memuaskan di x= 0, x= a syarat sempadan yang diberikan; Y 1(saya), Y 2(saya), Y 3(saya) dikenali sebagai fungsi menghampiri pembolehubah y, memuaskan di y= 0, y= b syarat sempadan yang diberikan. Fungsi X 1(saya) − X 3(saya) , Y 1(saya) − Y 3(saya) dipanggil fungsi asas.

Menggantikan (2) kepada (1) dan menyepadukan daripada fungsi yang diketahui, kami mengurangkan fungsi (1) kepada fungsi:

J=J(U(I),V(I),W(I)) (3)

parameter U(saya), V(saya), W(saya), saya=1,…,N.

Untuk fungsi (3.3) mempunyai minimum, terbitan separanya berkenaan dengan pembolehubah U(l),V(l),W(l), l=1,.., N mesti hilang:

Sistem (4) ialah sistem persamaan algebra linear, yang boleh diselesaikan menggunakan kaedah Gauss. Menemui nilai parameter U(saya), V(saya), W(saya) digantikan kepada pengembangan (2) dan kami memperoleh penyelesaian anggaran masalah yang ditimbulkan. Kewujudan minimum fungsi jumlah tenaga terikan unsur-unsur struktur bangunan (rod, plat, shell) telah dibuktikan.

Model matematik ialah penyederhanaan situasi sebenar dan merupakan objek abstrak yang diterangkan secara formal, kajian yang boleh dilakukan melalui pelbagai kaedah matematik.

Pertimbangkan klasifikasi model matematik.

Model matematik dibahagikan kepada:

1. Bergantung pada sifat sifat objek yang dipaparkan:

· berfungsi;

· struktur.

Model matematik berfungsi direka bentuk untuk memaparkan maklumat, fizikal, proses temporal yang berlaku dalam peralatan pengendalian, dalam perjalanan proses teknologi, dsb.

Dengan cara ini, model berfungsi- memaparkan proses objek berfungsi. Mereka biasanya mengambil bentuk sistem persamaan.

Model struktur- boleh dalam bentuk matriks, graf, senarai vektor dan menyatakan kedudukan relatif unsur dalam ruang. Model ini biasanya digunakan dalam kes di mana masalah sintesis struktur boleh ditetapkan dan diselesaikan, mengabstraksikan daripada proses fizikal dalam objek. Mereka mencerminkan sifat struktur objek yang direka.

Untuk mendapatkan perwakilan statik objek yang dimodelkan, sekumpulan kaedah boleh digunakan, dipanggil model skematik - ini adalah kaedah analisis, termasuk perwakilan grafik operasi sistem. Contohnya, carta alir, rajah, rajah operasi pelbagai fungsi dan carta alir.

2. Mengikut kaedah mendapatkan model matematik berfungsi:

· teori;

· rasmi;

· empirikal.

Teori diperolehi berdasarkan kajian undang-undang fizik. Struktur persamaan dan parameter model mempunyai tafsiran fizikal tertentu.

Rasmi diperoleh berdasarkan manifestasi sifat objek yang dimodelkan dalam persekitaran luaran, i.e. menganggap objek sebagai "kotak hitam" sibernetik.

Pendekatan teori memungkinkan untuk mendapatkan model yang lebih universal, sah untuk julat parameter luaran yang lebih luas.

Rasmi - adalah lebih tepat pada titik dalam ruang parameter di mana pengukuran diambil.

Model matematik empirikal dicipta sebagai hasil daripada eksperimen (mengkaji manifestasi luaran sifat sesuatu objek dengan mengukur parameternya pada input dan output) dan memproses keputusannya menggunakan kaedah statistik matematik.

3. Bergantung kepada kelinearan dan ketaklinieran persamaan:

· linear;

· bukan linear.

4. Bergantung pada set domain dan nilai pembolehubah model, terdapat:

· berterusan

· diskret (domain definisi dan nilai adalah berterusan);

· berterusan-diskrit (domain definisi adalah berterusan, dan domain nilai adalah diskret). Model ini kadang-kadang dipanggil terkuantisasi;

· diskret-berterusan (domain definisi adalah diskret, dan domain nilai adalah berterusan). Model ini dipanggil diskret;

· digital (domain definisi dan nilai adalah diskret)

5. Mengikut bentuk pautan antara output, parameter dalaman dan luaran:

· algoritma;

· analitikal;

· berangka.

algoritma dipanggil model yang dibentangkan dalam bentuk algoritma yang menerangkan urutan operasi yang ditafsirkan dengan jelas yang dilakukan untuk mendapatkan hasil yang diingini.

Model matematik algoritma menyatakan hubungan antara parameter keluaran dengan input dan parameter dalaman dalam bentuk algoritma.

Model matematik analitikal perihalan formal seperti objek (fenomena, proses) dipanggil, yang merupakan ungkapan matematik eksplisit parameter output sebagai fungsi input dan parameter dalaman.

Pemodelan analitik adalah berdasarkan penerangan tidak langsung tentang objek yang dimodelkan menggunakan satu set formula matematik. Bahasa penerangan analitik mengandungi kumpulan utama elemen semantik berikut: kriteria (kriteria), tidak diketahui, data, operasi matematik, sekatan. Ciri yang paling ketara bagi model analitik ialah model tersebut tidak serupa secara struktur dengan objek yang dimodelkan. Persamaan struktur di sini bermaksud korespondensi satu-dengan-satu elemen dan pautan model dengan elemen dan pautan objek yang dimodelkan. Model analisis termasuk model yang dibina berdasarkan radas pengaturcaraan matematik, korelasi, analisis regresi. Model analisis sentiasa merupakan konstruk yang boleh dianalisis dan diselesaikan secara matematik. Jadi, jika radas pengaturcaraan matematik digunakan, maka model pada asasnya terdiri daripada fungsi objektif dan sistem sekatan ke atas pembolehubah. Fungsi objektif, sebagai peraturan, menyatakan ciri objek (sistem) yang perlu dikira atau dioptimumkan. Khususnya, ia boleh menjadi prestasi sistem teknologi. Pembolehubah menyatakan ciri teknikal objek (sistem), termasuk pembolehubah, sekatan - nilai had yang dibenarkan.

Model analisis ialah alat yang berkesan untuk menyelesaikan masalah mengoptimumkan proses yang berlaku dalam sistem teknologi, serta mengoptimumkan dan mengira ciri-ciri sistem teknologi itu sendiri.

Perkara penting ialah dimensi model analisis tertentu. Selalunya untuk sistem teknologi sebenar (talian automatik, sistem pengeluaran fleksibel), dimensi model analisis mereka adalah sangat besar sehingga mendapatkan penyelesaian optimum ternyata sangat sukar dari sudut pengiraan. Untuk meningkatkan kecekapan pengiraan dalam kes ini, pelbagai teknik digunakan. Salah satunya adalah berkaitan dengan pembahagian masalah berdimensi tinggi kepada subtugasan berdimensi lebih kecil supaya penyelesaian autonomi submasalah dalam urutan tertentu memberi penyelesaian kepada masalah utama. Dalam kes ini, masalah timbul dalam mengatur interaksi subtugas, yang tidak selalunya mudah. Teknik lain melibatkan mengurangkan ketepatan pengiraan, yang mana mungkin untuk mengurangkan masa untuk menyelesaikan masalah.

Model analisis boleh disiasat dengan kaedah berikut:

· analitikal, apabila mereka berusaha untuk mendapatkan dalam bentuk umum kebergantungan untuk ciri-ciri yang dikehendaki;

· berangka, apabila mereka berusaha untuk mendapatkan keputusan berangka dengan data awal tertentu;

· kualitatif, apabila, mempunyai penyelesaian dalam bentuk eksplisit, anda boleh menemui beberapa sifat penyelesaian (anggarkan kestabilan penyelesaian).

Walau bagaimanapun, pemodelan analisis memberikan hasil yang baik dalam kes sistem yang agak mudah. Dalam kes sistem yang kompleks, sama ada penyederhanaan yang ketara bagi model asal diperlukan untuk mengkaji sekurang-kurangnya sifat umum sistem. Ini membolehkan anda mendapatkan hasil anggaran, dan untuk menentukan anggaran yang lebih tepat, gunakan kaedah lain, contohnya, pemodelan simulasi.

Model berangka dicirikan oleh pergantungan bentuk sedemikian yang membenarkan hanya penyelesaian yang diperoleh melalui kaedah berangka untuk keadaan awal tertentu dan parameter kuantitatif model.

6. Bergantung kepada sama ada persamaan model mengambil kira inersia proses dalam objek atau tidak mengambil kira:

· dinamik atau model inersia(ditulis sebagai persamaan pembezaan atau integro-pembezaan atau sistem persamaan) ;

· statik atau model bukan inersia(ditulis sebagai persamaan algebra atau sistem persamaan algebra).

7. Bergantung pada kehadiran atau ketiadaan ketidakpastian dan jenis ketidakpastian, model tersebut ialah:

· deterministik e (tiada ketidakpastian);

· stokastik (terdapat ketidakpastian dalam bentuk pembolehubah rawak atau proses yang diterangkan oleh kaedah statistik dalam bentuk undang-undang atau fungsi taburan, serta ciri berangka);

· kabur (untuk menerangkan ketidakpastian, radas bagi teori set kabur digunakan);

· digabungkan (terdapat ketidakpastian kedua-dua jenis).

Dalam kes umum, jenis model matematik bergantung bukan sahaja pada sifat objek sebenar, tetapi juga pada tugas yang ia dicipta, dan ketepatan penyelesaian yang diperlukan.

Jenis utama model yang dibentangkan dalam Rajah 2.5.

Pertimbangkan klasifikasi model matematik yang lain. Pengelasan ini adalah berdasarkan konsep kebolehkawalan objek kawalan. Kami akan membahagikan semua MM secara bersyarat kepada empat kumpulan.1. Model ramalan (model pengiraan tanpa kawalan). Mereka boleh dibahagikan kepada statik dan dinamik.Tujuan utama model ini: mengetahui keadaan awal dan maklumat tentang kelakuan di sempadan, untuk membuat ramalan tentang kelakuan sistem dalam masa dan ruang. Model sedemikian juga boleh menjadi stokastik.Sebagai peraturan, model ramalan diterangkan oleh persamaan algebra, transendental, pembezaan, kamiran, integro-pembezaan dan ketaksamaan. Contohnya ialah model taburan haba, medan elektrik, kinetik kimia, hidrodinamik, aerodinamik, dsb. 2. Model pengoptimuman. Model-model ini juga boleh dibahagikan kepada statik dan dinamik. Model statik digunakan pada peringkat reka bentuk pelbagai sistem teknologi. Dinamik - kedua-duanya pada tahap reka bentuk dan, terutamanya, untuk kawalan optimum pelbagai proses - teknologi, ekonomi, dll. Terdapat dua arah dalam masalah pengoptimuman. Yang pertama termasuk tugas deterministik. Semua maklumat input di dalamnya boleh ditentukan sepenuhnya. Arah kedua merujuk kepada proses stokastik. Dalam tugasan ini, beberapa parameter adalah rawak atau mengandungi unsur ketidakpastian. Banyak masalah pengoptimuman untuk peranti automatik, contohnya, mengandungi parameter dalam bentuk hingar rawak dengan beberapa ciri kebarangkalian.Kaedah untuk mencari ekstrem fungsi banyak pembolehubah dengan pelbagai sekatan sering dipanggil kaedah pengaturcaraan matematik. Masalah pengaturcaraan matematik adalah salah satu masalah pengoptimuman yang penting. Dalam pengaturcaraan matematik, bahagian utama berikut dibezakan.· Pengaturcaraan linear . Fungsi objektif adalah linear, dan set di mana ekstrem fungsi objektif dicari diberikan oleh sistem kesamaan linear dan ketaksamaan.· Pengaturcaraan bukan linear . Fungsi objektif ialah kekangan bukan linear dan bukan linear.· Pengaturcaraan cembung . Fungsi objektif ialah set cembung dan cembung di mana masalah ekstrem diselesaikan.· Pengaturcaraan kuadratik . Fungsi objektif adalah kuadratik dan kekangan adalah linear.· Tugas berbilang ekstrem. Masalah di mana fungsi objektif mempunyai beberapa ekstrem tempatan. Tugas sebegini nampaknya sangat bermasalah.· Pengaturcaraan integer. Dalam masalah sedemikian, keadaan integer dikenakan ke atas pembolehubah.

nasi. 4.8. Klasifikasi model matematik

Sebagai peraturan, kaedah analisis klasik untuk mencari ekstrem fungsi beberapa pembolehubah tidak boleh digunakan untuk masalah pengaturcaraan matematik. Model teori kawalan optimum adalah salah satu yang paling penting dalam model pengoptimuman. Teori matematik kawalan optimum merujuk kepada salah satu teori yang mempunyai aplikasi praktikal yang penting, terutamanya untuk kawalan optimum proses. Terdapat tiga jenis model matematik bagi teori kawalan optimum.· Model diskret kawalan optimum. Secara tradisinya, model sedemikian dipanggil model pengaturcaraan dinamik, kerana kaedah utama untuk menyelesaikan masalah tersebut ialah kaedah pengaturcaraan dinamik Bellman.· Model berterusan kawalan optimum sistem dengan parameter terkumpul (diterangkan oleh persamaan dalam derivatif biasa).· Model berterusan kawalan optimum untuk sistem dengan parameter teragih (diterangkan oleh persamaan pembezaan separa).3. Model sibernetik (permainan). Model sibernetik digunakan untuk menganalisis situasi konflik. Diandaikan bahawa proses dinamik ditentukan oleh beberapa subjek yang mempunyai beberapa parameter kawalan yang boleh digunakan. Seluruh kumpulan subjek dengan minat mereka sendiri dikaitkan dengan sistem sibernetik. 4. Simulasi . Jenis model di atas tidak merangkumi sejumlah besar situasi yang berbeza, yang boleh diformalkan sepenuhnya. Untuk mengkaji proses sedemikian, perlu memasukkan pautan "biologi" yang berfungsi, seseorang, ke dalam model matematik. Dalam situasi sedemikian, simulasi digunakan, serta kaedah kepakaran dan prosedur maklumat.

Pemodelan, konsep umum

Tugas pemodelan ialah kajian objek atau proses kompleks pada model fizikal atau matematiknya. Tujuan pemodelan adalah untuk mencari penyelesaian teknikal yang optimum (terbaik mengikut beberapa kriteria). Jenis pemodelan:

Ø fizikal;

Ø matematik;

Ø grafik (geometrik).

Apabila pemodelan, sifat terpenting sistem yang sedang dikaji digantikan dengan ketat, tetapi dipermudahkan berhubung dengan fenomena semula jadi asal, formulasi saintifik - model. Model ini memberikan kemungkinan penerangan yang tepat dan ramalan kelakuan sistem, tetapi hanya dalam kawasan aplikasi yang sangat terhad - manakala penyederhanaan awal berdasarkan model yang dibina adalah sah.

Sebagai contoh, apabila mensimulasikan penerbangan satelit mengelilingi Bumi, dindingnya boleh dianggap benar-benar pepejal, dan apabila mensimulasikan perlanggaran satelit yang sama dengan mikrometeorit, malah besi superhard boleh digambarkan dengan ketepatan yang sangat tinggi sebagai cecair tak boleh mampat yang ideal. . Ini adalah ciri paradoks pemodelan - ketepatannya, dihidupkan oleh asas yang tidak tepat, dengan anggaran intipatinya, hanya sesuai dalam bidang fenomena tertentu, model sistem sebenar.

Proses dan struktur berfungsi sistem boleh diterangkan melalui pemodelan matematik. Pemodelan matematik ialah proses mencipta model matematik dan bertindak ke atasnya untuk mendapatkan maklumat tentang sistem sebenar. Model matematik ialah satu set objek matematik dan hubungan di antara mereka yang mencerminkan sifat terpenting sistem dengan secukupnya. Objek matematik - nombor, pembolehubah, matriks, dsb. Hubungan antara objek matematik - persamaan, ketaksamaan, dsb. Sebarang pengiraan saintifik dan teknikal adalah jenis pemodelan matematik khusus.

Sistem ialah satu set elemen yang secara semula jadi berhubung antara satu sama lain, membentuk satu integriti, menunjukkan hubungan antara mereka dan tujuan berfungsi. Sifat-sifat sistem berbeza daripada jumlah sifat unsur-unsurnya. Contoh: Mesin ¹ å (bahagian + pemasangan); Manusia ¹ å (otak + hati + tulang belakang).

Klasifikasi model matematik

Mengikut kaedah analisis, model matematik dibahagikan kepada analitikal, algoritma dan simulasi.

Model analisis boleh:

1) kualitatif, apabila sifat pergantungan parameter output pada parameter input, kewujudan penyelesaian, dll. ditentukan. Sebagai contoh, adakah daya pemotongan akan meningkat atau berkurangan dengan peningkatan kelajuan, adakah mungkin untuk bergerak pada kelajuan yang lebih besar daripada kelajuan cahaya, dsb. Pembinaan model sedemikian adalah langkah yang perlu dalam kajian sistem yang kompleks.

2) model mengira (analitik) ialah hubungan matematik yang jelas antara ciri input, dalaman dan output sistem. Model sedemikian sentiasa diutamakan, kerana ia adalah yang paling berkesan dalam menganalisis undang-undang fungsi sistem, pengoptimuman, dsb. Malangnya, tidak selalu mungkin untuk mendapatkannya dan hanya dengan penyederhanaan sistem yang sedang dikaji. Sebagai tambahan kepada model pengiraan (analitik) yang dibina berdasarkan pemahaman proses yang berlaku dalam sistem, ini juga boleh menjadi model yang dibina berdasarkan analisis hasil eksperimen dengan "kotak hitam". Contohnya ialah pergantungan daya pemotongan pada kelajuan, suapan dan kedalaman potong.

3) berangka, apabila nilai berangka parameter output diperoleh untuk nilai input yang diberikan. Contohnya ialah pengiraan unsur terhingga. Model berangka adalah universal, tetapi ia hanya memberikan hasil separa, yang mana sukar untuk membuat kesimpulan umum.

Model algoritma dipersembahkan dalam bentuk algoritma pengiraan. Tidak seperti model analisis, kemajuan pengiraan bergantung pada keputusan pertengahan.

Pemodelan simulasi adalah berdasarkan penerangan langsung tentang objek yang dimodelkan. Apabila membina model simulasi, undang-undang fungsi setiap elemen secara berasingan dan hubungan antara mereka diterangkan. Tidak seperti analisis, ia dicirikan oleh persamaan struktur antara objek dan model. Selalunya, pemodelan simulasi digunakan dalam kajian proses rawak yang kompleks. Sebagai contoh, kosong diberikan kepada input model garis automatik (AL), yang dimensinya mempunyai sebaran rawak. Pada masa yang sama, model pemprosesan pada setiap mesin AL adalah sensitif kepada dimensi sebenar bahan kerja. Selepas "pemprosesan" maya ratusan ribu kosong, adalah mungkin untuk mencari gabungan keadaan di mana AL akan berhenti dan mengelakkannya walaupun semasa reka bentuk.

Mengikut sifat fungsi dan jenis parameter sistem, model matematik juga dibahagikan kepada

berterusan dan diskret;

statik dan dinamik;

deterministik dan stokastik (kebarangkalian).

Dalam sistem berterusan, parameter berubah secara beransur-ansur, dalam sistem diskret - secara tiba-tiba, impulsif. Sebagai contoh, dalam model alat memusing, haus sentiasa meningkat, dan kerosakan (cipratan sisipan) berlaku serta-merta - secara diskret.

Dalam model statik, semua parameter yang disertakan dalam model mempunyai nilai malar, dan parameter yang dikira pada output sistem berubah serentak dengan perubahan dalam parameter pada input. Model sedemikian menggambarkan sistem dengan transien yang cepat mereput.

Model dinamik mengambil kira inersia sistem. Akibatnya, perubahan dalam parameter output ketinggalan daripada perubahan dalam input. Model sedemikian lebih tepat menggambarkan sistem sebenar, tetapi lebih sukar untuk dilaksanakan.

Keluaran sistem deterministik ditentukan secara unik oleh input dan keadaan semasanya. Kemungkinan perubahan rawak dalam parameter sistem atau parameter input diabaikan. Dalam sistem stokastik, sebaliknya, sifat kebarangkalian perubahan dalam parameter sistem, yang mengambil nilai rawak mengikut beberapa undang-undang pengedaran, diambil kira.