Jangkaan matematik bilangan digit yang berbeza. Jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan

Jangkaan matematik ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak

Jangkaan matematik, definisi, jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret dan berterusan, selektif, jangkaan bersyarat, pengiraan, sifat, tugas, anggaran jangkaan, varians, fungsi taburan, formula, contoh pengiraan

Kembangkan kandungan

Runtuhkan kandungan

Jangkaan matematik adalah, definisi

Salah satu konsep yang paling penting dalam statistik matematik dan teori kebarangkalian, mencirikan taburan nilai atau kebarangkalian pembolehubah rawak. Biasanya dinyatakan sebagai purata wajaran semua parameter yang mungkin bagi pembolehubah rawak. Ia digunakan secara meluas dalam analisis teknikal, kajian siri nombor, kajian proses berterusan dan jangka panjang. Ia penting dalam menilai risiko, meramal penunjuk harga apabila berdagang dalam pasaran kewangan, dan digunakan dalam pembangunan strategi dan kaedah taktik permainan dalam teori perjudian.

Jangkaan matematik adalah nilai min pembolehubah rawak, taburan kebarangkalian pembolehubah rawak dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian.

Jangkaan matematik adalah ukuran nilai min pembolehubah rawak dalam teori kebarangkalian. Jangkaan matematik pembolehubah rawak x dilambangkan M(x).

Jangkaan matematik adalah

Jangkaan matematik adalah dalam teori kebarangkalian, purata wajaran semua nilai yang mungkin yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak ini.

Jangkaan matematik adalah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dengan kebarangkalian nilai ini.

Jangkaan matematik adalah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam rangka teori bilangan besar dan jarak jauh.

Jangkaan matematik adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang boleh diperoleh atau hilang oleh pemain, secara purata, untuk setiap pertaruhan. Dalam bahasa penjudi, ini kadangkala dipanggil "kelebihan pemain" (jika positif untuk pemain) atau "kepingan rumah" (jika negatif untuk pemain).

Jangkaan matematik adalah Peratusan keuntungan setiap kemenangan didarab dengan keuntungan purata tolak kebarangkalian kerugian didarab dengan kerugian purata.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak dalam teori matematik

Salah satu ciri berangka yang penting bagi pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik. Mari kita perkenalkan konsep sistem pembolehubah rawak. Pertimbangkan satu set pembolehubah rawak yang merupakan keputusan eksperimen rawak yang sama. Jika adalah salah satu nilai yang mungkin sistem, maka peristiwa itu sepadan dengan kebarangkalian tertentu yang memenuhi aksiom Kolmogorov. Fungsi yang ditakrifkan untuk sebarang kemungkinan nilai pembolehubah rawak dipanggil undang-undang pengedaran bersama. Fungsi ini membolehkan anda mengira kebarangkalian sebarang peristiwa daripada. Khususnya, hukum bersama taburan pembolehubah rawak dan, yang mengambil nilai daripada set dan, diberikan oleh kebarangkalian.

Istilah "jangkaan" diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) dan berasal daripada konsep "nilai hasil yang dijangkakan", yang pertama kali muncul pada abad ke-17 dalam teori perjudian dalam karya Blaise Pascal dan Christian Huygens . Walau bagaimanapun, pemahaman teori dan penilaian lengkap pertama konsep ini diberikan oleh Pafnuty Lvovich Chebyshev (pertengahan abad ke-19).

Hukum taburan pembolehubah berangka rawak (fungsi taburan dan siri taburan atau ketumpatan kebarangkalian) menerangkan sepenuhnya kelakuan pembolehubah rawak. Tetapi dalam beberapa masalah adalah memadai untuk mengetahui beberapa ciri berangka bagi kuantiti yang dikaji (contohnya, nilai purata dan kemungkinan sisihan daripadanya) untuk menjawab soalan yang dikemukakan. Ciri-ciri berangka utama pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik, varians, mod dan median.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab nilai yang mungkin dan kebarangkalian sepadannya. Kadangkala jangkaan matematik dipanggil purata wajaran, kerana ia lebih kurang sama dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak ke atas sejumlah besar eksperimen. Daripada definisi jangkaan matematik, ia berikutan bahawa nilainya tidak kurang daripada nilai terkecil yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan tidak lebih daripada yang terbesar. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah pembolehubah bukan rawak (malar).

Jangkaan matematik mempunyai makna fizikal yang mudah: jika jisim unit diletakkan pada garis lurus, meletakkan beberapa jisim pada beberapa titik (untuk pengedaran diskret), atau "menyapu" dengan ketumpatan tertentu (untuk pengedaran yang berterusan sepenuhnya), maka titik yang sepadan dengan jangkaan matematik akan menjadi koordinat "pusat graviti" lurus.

Nilai purata pembolehubah rawak ialah nombor tertentu, iaitu, seolah-olah, "wakil"nya dan menggantikannya dalam pengiraan anggaran kasar. Apabila kita sebut: "purata masa operasi lampu ialah 100 jam" atau "purata titik hentaman dianjakkan relatif kepada sasaran sebanyak 2 m ke kanan", kami menunjukkan dengan ini ciri berangka tertentu pembolehubah rawak yang menerangkannya. lokasi pada paksi berangka, i.e. huraian jawatan.

Daripada ciri-ciri kedudukan dalam teori kebarangkalian, peranan yang paling penting dimainkan oleh jangkaan matematik pembolehubah rawak, yang kadang-kadang dipanggil hanya nilai purata pembolehubah rawak.

Pertimbangkan pembolehubah rawak X, yang mempunyai nilai yang mungkin x1, x2, …, xn dengan kebarangkalian p1, p2, …, pn. Kita perlu mencirikan dengan beberapa nombor kedudukan nilai pembolehubah rawak pada paksi-x, dengan mengambil kira hakikat bahawa nilai-nilai ini mempunyai kebarangkalian yang berbeza. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang dipanggil "purata wajaran" nilai xi, dan setiap nilai xi semasa purata perlu diambil kira dengan "berat" berkadar dengan kebarangkalian nilai ini. Oleh itu, kita akan mengira min pembolehubah rawak X, yang akan kami nyatakan M|X|:

Purata wajaran ini dipanggil jangkaan matematik pembolehubah rawak. Oleh itu, kami memperkenalkan sebagai pertimbangan salah satu konsep teori kebarangkalian yang paling penting - konsep jangkaan matematik. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.

X disebabkan oleh pergantungan yang pelik dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak dengan sejumlah besar eksperimen. Pergantungan ini adalah jenis yang sama seperti pergantungan antara kekerapan dan kebarangkalian, iaitu: dengan sejumlah besar eksperimen, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak mendekati (menumpu dalam kebarangkalian) jangkaan matematiknya. Daripada kehadiran hubungan antara kekerapan dan kebarangkalian, seseorang boleh menyimpulkan sebagai akibat kewujudan hubungan yang serupa antara min aritmetik dan jangkaan matematik. Sesungguhnya, pertimbangkan pembolehubah rawak X, dicirikan oleh satu siri pengedaran:

Biar terhasil N eksperimen bebas, dalam setiap satunya nilai X mengambil nilai tertentu. Katakan nilai x1 muncul m1 masa, nilai x2 muncul m2 kali, makna umum xi muncul mi kali. Mari kita hitung min aritmetik bagi nilai X yang diperhatikan, yang, berbeza dengan jangkaan matematik M|X| kami akan menandakan M*|X|:

Dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen N frekuensi pi akan menghampiri (bertumpu dalam kebarangkalian) kebarangkalian yang sepadan. Oleh itu, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak M|X| dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen, ia akan mendekati (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Kaitan antara min aritmetik dan jangkaan matematik yang dirumuskan di atas membentuk kandungan salah satu bentuk hukum nombor besar.

Kita sedia maklum bahawa semua bentuk hukum nombor besar menyatakan fakta bahawa purata tertentu adalah stabil dalam sebilangan besar eksperimen. Di sini kita bercakap tentang kestabilan min aritmetik daripada satu siri cerapan dengan nilai yang sama. Dengan sebilangan kecil eksperimen, min aritmetik keputusannya adalah rawak; dengan peningkatan yang mencukupi dalam bilangan eksperimen, ia menjadi "hampir tidak rawak" dan, menstabilkan, mendekati nilai malar - jangkaan matematik.

Sifat kestabilan purata untuk sebilangan besar percubaan adalah mudah untuk disahkan secara eksperimen. Sebagai contoh, menimbang mana-mana badan di makmal pada skala yang tepat, hasil daripada menimbang kita mendapat nilai baru setiap kali; untuk mengurangkan ralat pemerhatian, kita menimbang badan beberapa kali dan menggunakan min aritmetik bagi nilai yang diperolehi. Adalah mudah untuk melihat bahawa dengan peningkatan lagi dalam bilangan eksperimen (penimbang), min aritmetik bertindak balas terhadap peningkatan ini semakin kurang, dan dengan bilangan eksperimen yang cukup besar ia boleh dikatakan berhenti berubah.

Perlu diingatkan bahawa ciri yang paling penting bagi kedudukan pembolehubah rawak - jangkaan matematik - tidak wujud untuk semua pembolehubah rawak. Adalah mungkin untuk membuat contoh pembolehubah rawak sedemikian yang jangkaan matematiknya tidak wujud, kerana jumlah atau kamiran yang sepadan menyimpang. Walau bagaimanapun, untuk amalan, kes sebegini tidak begitu menarik minat. Biasanya, pembolehubah rawak yang kita hadapi mempunyai julat nilai yang mungkin terhad dan, sudah tentu, mempunyai jangkaan.

Sebagai tambahan kepada ciri-ciri kedudukan pembolehubah rawak yang paling penting - jangkaan matematik, ciri-ciri kedudukan lain kadang-kadang digunakan dalam amalan, khususnya, mod dan median pembolehubah rawak.

Mod pembolehubah rawak ialah nilai yang paling berkemungkinan. Istilah "nilai berkemungkinan besar", secara tegasnya, terpakai hanya untuk kuantiti tidak berterusan; untuk kuantiti berterusan, mod ialah nilai di mana ketumpatan kebarangkalian adalah maksimum. Angka-angka menunjukkan mod untuk pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan, masing-masing.

Jika poligon taburan (lengkung agihan) mempunyai lebih daripada satu maksimum, taburan itu dikatakan sebagai "polimodal".

Kadang-kadang terdapat pengedaran yang mempunyai di tengah bukan maksimum, tetapi minimum. Pengagihan sedemikian dipanggil "antimodal".

Dalam kes umum, mod dan jangkaan matematik pembolehubah rawak tidak bertepatan. Dalam kes tertentu, apabila taburan adalah simetri dan modal (iaitu mempunyai mod) dan terdapat jangkaan matematik, maka ia bertepatan dengan mod dan pusat simetri taburan.

Satu lagi ciri kedudukan sering digunakan - apa yang dipanggil median pembolehubah rawak. Ciri ini biasanya digunakan hanya untuk pembolehubah rawak berterusan, walaupun ia boleh ditakrifkan secara rasmi untuk pembolehubah tak selanjar juga. Secara geometri, median ialah absis bagi titik di mana kawasan yang dibatasi oleh lengkung taburan dibelah dua.

Dalam kes taburan modal simetri, median bertepatan dengan min dan mod.

Jangkaan matematik ialah nilai purata pembolehubah rawak - ciri berangka bagi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak. Dalam cara yang paling umum, jangkaan matematik pembolehubah rawak X(w) ditakrifkan sebagai kamiran Lebesgue berkenaan dengan ukuran kebarangkalian R dalam ruang kebarangkalian asal:

Jangkaan matematik juga boleh dikira sebagai kamiran Lebesgue X dengan taburan kebarangkalian px kuantiti X:

Secara semula jadi, seseorang boleh mentakrifkan konsep pembolehubah rawak dengan jangkaan matematik yang tidak terhingga. Contoh biasa ialah masa pulang dalam beberapa jalan rawak.

Dengan bantuan jangkaan matematik, banyak ciri berangka dan fungsi taburan ditentukan (sebagai jangkaan matematik bagi fungsi sepadan pembolehubah rawak), contohnya, fungsi penjanaan, fungsi ciri, momen sebarang susunan, khususnya, serakan. , kovarians.

Jangkaan matematik adalah ciri lokasi nilai pembolehubah rawak (nilai purata taburannya). Dalam kapasiti ini, jangkaan matematik berfungsi sebagai beberapa parameter taburan "tipikal" dan peranannya adalah serupa dengan peranan momen statik - koordinat pusat graviti taburan jisim - dalam mekanik. Daripada ciri-ciri lokasi lain, dengan bantuan yang taburan diterangkan dalam istilah umum - median, mod, jangkaan matematik berbeza dalam nilai yang lebih besar yang ia dan ciri serakan yang sepadan - serakan - ada dalam teorem had teori kebarangkalian. Dengan kesempurnaan yang paling besar, makna jangkaan matematik didedahkan oleh undang-undang nombor besar (ketaksamaan Chebyshev) dan undang-undang nombor besar yang diperkukuh.

Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret

Biarkan terdapat beberapa pembolehubah rawak yang boleh mengambil salah satu daripada beberapa nilai berangka (contohnya, bilangan mata dalam gulungan dadu boleh menjadi 1, 2, 3, 4, 5, atau 6). Selalunya dalam amalan, untuk nilai sedemikian, persoalan timbul: apakah nilai yang diperlukan "secara purata" dengan sejumlah besar ujian? Apakah purata pulangan (atau kerugian) kami daripada setiap operasi berisiko?

Katakan ada sejenis loteri. Kami ingin memahami sama ada ia menguntungkan atau tidak untuk mengambil bahagian di dalamnya (atau mengambil bahagian berulang kali, secara kerap). Katakan setiap tiket keempat menang, hadiahnya ialah 300 rubel, dan harga mana-mana tiket ialah 100 rubel. Dengan jumlah penyertaan yang tidak terhingga, inilah yang berlaku. Dalam tiga perempat daripada kes, kami akan kalah, setiap tiga kerugian akan menelan belanja 300 rubel. Dalam setiap kes keempat, kami akan memenangi 200 rubel. (hadiah tolak kos), iaitu, untuk empat penyertaan, kami kehilangan purata 100 rubel, untuk satu - purata 25 rubel. Secara keseluruhan, kadar purata kerosakan kami ialah 25 rubel setiap tiket.

Kita baling dadu. Jika ia tidak menipu (tanpa mengalihkan pusat graviti, dsb.), maka berapa banyak mata yang kita akan ada secara purata pada satu masa? Oleh kerana setiap pilihan berkemungkinan sama, kami mengambil min aritmetik bodoh dan mendapat 3.5. Oleh kerana ini adalah PURATA, tidak perlu marah kerana tiada lontaran tertentu akan memberikan 3.5 mata - baiklah, kiub ini tidak mempunyai wajah dengan nombor sedemikian!

Sekarang mari kita ringkaskan contoh kita:

Mari lihat gambar di atas. Di sebelah kiri ialah jadual taburan pembolehubah rawak. Nilai X boleh mengambil salah satu daripada n nilai yang mungkin (diberikan di baris atas). Tidak boleh ada nilai lain. Di bawah setiap nilai yang mungkin, kebarangkaliannya ditandatangani di bawah. Di sebelah kanan ialah formula, di mana M(X) dipanggil jangkaan matematik. Maksud nilai ini ialah dengan bilangan percubaan yang banyak (dengan sampel yang besar), nilai purata akan cenderung kepada jangkaan yang sangat matematik ini.

Mari kita kembali kepada kiub bermain yang sama. Jangkaan matematik bilangan mata dalam lontaran ialah 3.5 (kira sendiri menggunakan formula jika anda tidak percaya). Katakan anda melemparkannya beberapa kali. 4 dan 6 jatuh. Secara purata, ternyata 5, iaitu, jauh dari 3.5. Mereka melemparkannya lagi, 3 jatuh, iaitu, secara purata (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... Entah bagaimana jauh dari jangkaan matematik. Sekarang lakukan percubaan gila - gulung kiub 1000 kali! Dan jika purata tidak betul-betul 3.5, maka ia akan hampir dengan itu.

Mari kita hitung jangkaan matematik untuk loteri yang diterangkan di atas. Jadual akan kelihatan seperti ini:

Maka jangkaan matematik adalah, seperti yang telah kami tetapkan di atas.:

Seperkara lagi ialah ia juga "di jari", tanpa formula, ia akan menjadi sukar jika terdapat lebih banyak pilihan. Baiklah, katakan terdapat 75% tiket yang hilang, 20% tiket yang menang dan 5% tiket yang menang.

Kini beberapa sifat jangkaan matematik.

Mudah untuk membuktikannya:

Pengganda berterusan boleh diambil daripada tanda jangkaan, iaitu:

Ini ialah kes khas bagi sifat lineariti jangkaan matematik.

Satu lagi akibat daripada kelinearan jangkaan matematik:

iaitu jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik pembolehubah rawak.

Biarkan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas, Kemudian:

Ini juga mudah dibuktikan) XY itu sendiri adalah pembolehubah rawak, manakala jika nilai awal boleh mengambil n Dan m nilai, masing-masing, kemudian XY boleh mengambil nilai nm. Kebarangkalian setiap nilai dikira berdasarkan fakta bahawa kebarangkalian peristiwa bebas didarab. Akibatnya, kami mendapat ini:

Jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan

Pembolehubah rawak berterusan mempunyai ciri seperti ketumpatan taburan (ketumpatan kebarangkalian). Ia, sebenarnya, mencirikan keadaan bahawa pembolehubah rawak mengambil beberapa nilai dari set nombor nyata lebih kerap, beberapa - kurang kerap. Sebagai contoh, pertimbangkan carta ini:

Di sini X- sebenarnya pembolehubah rawak, f(x)- ketumpatan pengedaran. Berdasarkan graf ini, semasa eksperimen, nilai X selalunya akan menjadi nombor yang hampir kepada sifar. peluang untuk melebihi 3 atau kurang -3 agak teori semata-mata.

Biarkan, sebagai contoh, terdapat pengedaran seragam:

Ini agak konsisten dengan pemahaman intuitif. Katakan jika kita mendapat banyak nombor nyata rawak dengan taburan seragam, setiap segmen |0; 1| , maka min aritmetik hendaklah kira-kira 0.5.

Sifat jangkaan matematik - kelinearan, dsb., terpakai untuk pembolehubah rawak diskret, juga terpakai di sini.

Hubungan jangkaan matematik dengan penunjuk statistik lain

Dalam analisis statistik, bersama-sama dengan jangkaan matematik, terdapat sistem penunjuk saling bergantung yang mencerminkan kehomogenan fenomena dan kestabilan proses. Selalunya, penunjuk variasi tidak mempunyai makna bebas dan digunakan untuk analisis data selanjutnya. Pengecualian ialah pekali variasi, yang mencirikan kehomogenan data, yang merupakan ciri statistik yang berharga.

Tahap kebolehubahan atau kestabilan proses dalam sains statistik boleh diukur menggunakan beberapa penunjuk.

Penunjuk terpenting yang mencirikan kebolehubahan pembolehubah rawak ialah Penyerakan, yang paling rapat dan secara langsung berkaitan dengan jangkaan matematik. Parameter ini digunakan secara aktif dalam jenis analisis statistik lain (ujian hipotesis, analisis hubungan sebab-akibat, dsb.). Seperti sisihan linear min, varians juga mencerminkan sejauh mana data tersebar di sekitar min.

Ia berguna untuk menterjemah bahasa tanda ke dalam bahasa perkataan. Ternyata varians ialah purata kuasa dua sisihan. Iaitu, nilai purata terlebih dahulu dikira, kemudian perbezaan antara setiap nilai asal dan purata diambil, kuasa dua, ditambah dan kemudian dibahagikan dengan bilangan nilai dalam populasi ini. Perbezaan antara nilai individu dan min mencerminkan ukuran sisihan. Ia kuasa dua untuk memastikan bahawa semua sisihan menjadi nombor positif secara eksklusif dan untuk mengelakkan pembatalan bersama sisihan positif dan negatif apabila ia dijumlahkan. Kemudian, memandangkan sisihan kuasa dua, kita hanya mengira min aritmetik. Purata - segi empat sama - sisihan. Sisihan adalah kuasa dua, dan purata dipertimbangkan. Jawapan kepada perkataan ajaib "penyebaran" hanyalah tiga perkataan.

Walau bagaimanapun, dalam bentuk tulennya, seperti, sebagai contoh, min aritmetik, atau indeks, serakan tidak digunakan. Ia adalah penunjuk tambahan dan perantaraan yang digunakan untuk jenis analisis statistik yang lain. Dia tidak mempunyai unit ukuran biasa pun. Berdasarkan formula, ini ialah kuasa dua unit data asal.

Mari kita ukur pembolehubah rawak N kali, sebagai contoh, kita mengukur kelajuan angin sepuluh kali dan ingin mencari nilai purata. Bagaimanakah nilai min berkaitan dengan fungsi taburan?

Atau kita akan membaling dadu berkali-kali. Bilangan mata yang akan jatuh pada dadu semasa setiap lontaran adalah pembolehubah rawak dan boleh mengambil sebarang nilai semula jadi dari 1 hingga 6. N ia cenderung kepada nombor yang sangat spesifik - jangkaan matematik Mx. Dalam kes ini, Mx = 3.5.

Bagaimanakah nilai ini terhasil? Biar masuk N percubaan n1 apabila 1 mata digugurkan, n2 kali - 2 mata dan seterusnya. Kemudian bilangan hasil di mana satu mata jatuh:

Begitu juga untuk keputusan apabila 2, 3, 4, 5 dan 6 mata jatuh.

Sekarang mari kita anggap bahawa kita mengetahui hukum taburan pembolehubah rawak x, iaitu, kita tahu bahawa pembolehubah rawak x boleh mengambil nilai x1, x2, ..., xk dengan kebarangkalian p1, p2, ... , pk.

Jangkaan matematik Mx bagi pembolehubah rawak x ialah:

Jangkaan matematik tidak selalunya merupakan anggaran munasabah bagi beberapa pembolehubah rawak. Jadi, untuk menganggarkan purata gaji, adalah lebih munasabah untuk menggunakan konsep median, iaitu nilai sedemikian sehingga bilangan orang yang menerima kurang daripada gaji median dan lebih, adalah sama.

Kebarangkalian p1 bahawa pembolehubah rawak x adalah kurang daripada x1/2 dan kebarangkalian p2 bahawa pembolehubah rawak x lebih besar daripada x1/2 adalah sama dan sama dengan 1/2. Median tidak ditentukan secara unik untuk semua pengedaran.

Sisihan Piawai atau Piawai dalam statistik, darjah sisihan data pemerhatian atau set daripada nilai AVERAGE dipanggil. Ditandakan dengan huruf s atau s. Sisihan piawai yang kecil menunjukkan bahawa data dikumpulkan di sekitar min, dan sisihan piawai yang besar menunjukkan bahawa data awal adalah jauh daripadanya. Sisihan piawai adalah sama dengan punca kuasa dua kuantiti yang dipanggil varians. Ia ialah purata jumlah perbezaan kuasa dua bagi data awal yang menyimpang daripada min. Sisihan piawai pembolehubah rawak ialah punca kuasa dua varians:

Contoh. Di bawah keadaan ujian apabila menembak pada sasaran, hitung varians dan sisihan piawai pembolehubah rawak:

Variasi- turun naik, kebolehubahan nilai atribut dalam unit populasi. Nilai berangka yang berasingan bagi ciri yang berlaku dalam populasi yang dikaji dipanggil varian nilai. Ketidakcukupan nilai purata untuk pencirian lengkap populasi menjadikannya perlu untuk menambah nilai purata dengan penunjuk yang memungkinkan untuk menilai tipikal purata ini dengan mengukur turun naik (variasi) sifat yang dikaji. Pekali variasi dikira dengan formula:

Variasi rentang(R) ialah perbezaan antara nilai maksimum dan minimum sifat dalam populasi yang dikaji. Penunjuk ini memberikan idea paling umum tentang turun naik sifat yang dikaji, kerana ia hanya menunjukkan perbezaan antara nilai ekstrem pilihan. Pergantungan pada nilai ekstrem atribut memberikan julat variasi watak rawak yang tidak stabil.

Sisihan linear purata ialah min aritmetik bagi sisihan mutlak (modulo) semua nilai populasi yang dianalisis daripada nilai puratanya:

Jangkaan matematik dalam teori perjudian

Jangkaan matematik adalah jumlah purata wang yang seorang penjudi boleh menang atau kalah pada pertaruhan tertentu. Ini adalah konsep yang sangat penting untuk pemain, kerana ia adalah asas kepada penilaian kebanyakan situasi permainan. Jangkaan matematik juga merupakan alat terbaik untuk menganalisis reka letak kad asas dan situasi permainan.

Katakan anda bermain syiling dengan rakan, membuat pertaruhan $1 yang sama setiap kali, tidak kira apa yang berlaku. Ekor - anda menang, kepala - anda kalah. Peluang untuk mendapatkannya adalah satu lawan satu dan anda bertaruh $1 hingga $1. Oleh itu, jangkaan matematik anda adalah sifar, kerana Secara matematik, anda tidak boleh tahu sama ada anda akan mendahului atau kalah selepas dua pusingan atau selepas 200.

Keuntungan setiap jam anda adalah sifar. Pembayaran setiap jam ialah jumlah wang yang anda jangkakan untuk menang dalam sejam. Anda boleh membalikkan syiling 500 kali dalam masa sejam, tetapi anda tidak akan menang atau kalah kerana kemungkinan anda tidak positif mahupun negatif. Jika dilihat, dari sudut pemain yang serius, sistem pertaruhan sebegitu tidaklah buruk. Tetapi ia hanya membuang masa.

Tetapi andaikan seseorang ingin bertaruh $2 melawan $1 anda dalam permainan yang sama. Kemudian anda serta-merta mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen daripada setiap pertaruhan. Kenapa 50 sen? Secara purata, anda memenangi satu pertaruhan dan kalah yang kedua. Pertaruhan dolar pertama dan kalah $1, pertaruhan kedua dan menang $2. Anda telah bertaruh $1 dua kali dan mendahului $1. Jadi setiap pertaruhan satu dolar anda memberi anda 50 sen.

Jika syiling jatuh 500 kali dalam satu jam, keuntungan setiap jam anda akan menjadi $250, kerana. secara purata, anda kehilangan $1 250 kali dan memenangi $2 250 kali. $500 tolak $250 bersamaan dengan $250, iaitu jumlah kemenangan. Ambil perhatian bahawa nilai jangkaan, iaitu jumlah yang anda menang secara purata pada satu pertaruhan, ialah 50 sen. Anda memenangi $250 dengan membuat pertaruhan satu dolar 500 kali, yang bersamaan dengan 50 sen pertaruhan anda.

Jangkaan matematik tiada kaitan dengan keputusan jangka pendek. Lawan anda, yang memutuskan untuk bertaruh $2 terhadap anda, boleh menewaskan anda pada sepuluh lambungan pertama berturut-turut, tetapi anda, dengan kelebihan pertaruhan 2-bersama-1, semuanya sama, membuat 50 sen pada setiap $1 pertaruhan di bawah mana-mana keadaan. Tidak kira sama ada anda menang atau kalah satu pertaruhan atau beberapa pertaruhan, tetapi hanya dengan syarat anda mempunyai wang tunai yang mencukupi untuk mengimbangi kos dengan mudah. Jika anda terus bertaruh dengan cara yang sama, maka dalam jangka masa yang panjang kemenangan anda akan mencapai jumlah nilai yang dijangkakan dalam gulungan individu.

Setiap kali anda membuat pertaruhan yang lebih baik (pertaruhan yang boleh menguntungkan dalam jangka masa panjang) apabila peluang memihak kepada anda, anda pasti akan memenangi sesuatu padanya, sama ada anda kalah atau tidak dalam tangan tertentu. Sebaliknya, jika anda membuat pertaruhan dengan keputusan yang lebih teruk (pertaruhan yang tidak menguntungkan dalam jangka masa panjang) apabila kemungkinan tidak memihak kepada anda, anda kehilangan sesuatu, tidak kira sama ada anda menang atau kalah dalam tangan ini.

Anda bertaruh dengan hasil terbaik jika jangkaan anda adalah positif, dan ia adalah positif jika kemungkinan memihak kepada anda. Dengan bertaruh dengan hasil yang paling teruk, anda mempunyai jangkaan negatif, yang berlaku apabila kemungkinan menentang anda. Pemain yang serius hanya bertaruh dengan keputusan terbaik, dengan yang paling teruk - mereka berlipat. Apakah maksud kemungkinan yang memihak kepada anda? Anda mungkin akan menang lebih daripada kemungkinan sebenar. Kemungkinan sebenar untuk memukul ekor adalah 1 berbanding 1, tetapi anda mendapat 2 berbanding 1 kerana nisbah pertaruhan. Dalam kes ini, kemungkinan memihak kepada anda. Anda pasti mendapat hasil terbaik dengan jangkaan positif sebanyak 50 sen setiap pertaruhan.

Berikut ialah contoh jangkaan matematik yang lebih kompleks. Rakan itu menulis nombor dari satu hingga lima dan bertaruh $5 terhadap $1 anda bahawa anda tidak akan memilih nombor itu. Adakah anda bersetuju dengan pertaruhan sedemikian? Apakah jangkaan di sini?

Secara purata, anda akan tersilap empat kali. Berdasarkan ini, kemungkinan untuk anda meneka nombornya ialah 4 berbanding 1. Kemungkinan anda akan kehilangan satu dolar dalam satu percubaan. Walau bagaimanapun, anda menang 5 berbanding 1, dengan kemungkinan tewas 4 berbanding 1. Oleh itu, kemungkinan berpihak kepada anda, anda boleh mengambil pertaruhan dan berharap untuk keputusan yang terbaik. Jika anda membuat pertaruhan ini lima kali, secara purata anda akan kehilangan empat kali $1 dan memenangi $5 sekali. Berdasarkan ini, untuk kelima-lima percubaan anda akan memperoleh $1 dengan jangkaan matematik positif sebanyak 20 sen setiap pertaruhan.

Seorang pemain yang akan menang lebih daripada pertaruhannya, seperti dalam contoh di atas, sedang menangkap peluang. Sebaliknya, dia merosakkan peluang apabila dia menjangkakan untuk menang kurang daripada yang dia pertaruhkan. Petaruh boleh mempunyai jangkaan positif atau negatif bergantung pada sama ada dia menangkap atau merosakkan peluang.

Jika anda bertaruh $50 untuk memenangi $10 dengan peluang 4 hingga 1 untuk menang, anda akan mendapat jangkaan negatif sebanyak $2, kerana secara purata, anda akan menang empat kali $10 dan kehilangan $50 sekali, yang menunjukkan bahawa kerugian setiap pertaruhan ialah $10. Tetapi jika anda bertaruh $30 untuk memenangi $10, dengan kemungkinan yang sama untuk menang 4 berbanding 1, maka dalam kes ini anda mempunyai jangkaan positif sebanyak $2, kerana anda sekali lagi menang empat kali $10 dan kehilangan $30 sekali, untuk keuntungan $10. Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa pertaruhan pertama adalah buruk dan yang kedua adalah baik.

Jangkaan matematik adalah pusat mana-mana situasi permainan. Apabila pembuat taruhan menggalakkan peminat bola sepak untuk bertaruh $11 untuk memenangi $10, mereka mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen untuk setiap $10. Jika kasino membayar walaupun wang dari talian pas Craps, maka jangkaan positif rumah itu ialah kira-kira $1.40 untuk setiap $100; permainan ini disusun supaya setiap orang yang bertaruh pada baris ini kehilangan 50.7% secara purata dan menang 49.3% pada setiap masa. Tidak dinafikan, jangkaan positif yang kelihatan minimum inilah yang membawa keuntungan besar kepada pemilik kasino di seluruh dunia. Seperti yang dikatakan pemilik kasino Vegas World Bob Stupak, "Seperseribu peratus kebarangkalian negatif dalam jarak yang cukup jauh akan memufliskan orang terkaya di dunia."

Jangkaan matematik semasa bermain poker

Permainan Poker adalah contoh yang paling ilustrasi dan ilustrasi dari segi penggunaan teori dan sifat jangkaan matematik.

Nilai Jangkaan dalam Poker ialah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam rangka teori bilangan besar dan jarak jauh. Poker yang berjaya adalah tentang sentiasa menerima pergerakan dengan jangkaan matematik yang positif.

Makna matematik jangkaan matematik semasa bermain poker terletak pada fakta bahawa kita sering menghadapi pembolehubah rawak semasa membuat keputusan (kita tidak tahu kad yang lawan ada di tangannya, kad mana yang akan datang pada pusingan pertaruhan berikutnya). Kita mesti mempertimbangkan setiap penyelesaian dari sudut pandangan teori nombor besar, yang mengatakan bahawa dengan sampel yang cukup besar, nilai purata pembolehubah rawak akan cenderung kepada jangkaan matematiknya.

Di antara formula khusus untuk mengira jangkaan matematik, yang berikut paling sesuai dalam poker:

Apabila bermain poker, jangkaan matematik boleh dikira untuk kedua-dua pertaruhan dan panggilan. Dalam kes pertama, ekuiti lipatan harus diambil kira, dalam kes kedua, kemungkinan periuk sendiri. Apabila menilai jangkaan matematik bagi langkah tertentu, perlu diingat bahawa lipatan sentiasa mempunyai jangkaan matematik sifar. Oleh itu, membuang kad akan sentiasa menjadi keputusan yang lebih menguntungkan daripada sebarang langkah negatif.

Jangkaan memberitahu anda apa yang anda boleh jangkakan (keuntungan atau kerugian) untuk setiap dolar yang anda risiko. Kasino menghasilkan wang kerana jangkaan matematik semua permainan yang diamalkan di dalamnya memihak kepada kasino. Dengan siri permainan yang cukup panjang, boleh dijangka bahawa pelanggan akan kehilangan wangnya, kerana "kebarangkalian" memihak kepada kasino. Walau bagaimanapun, pemain kasino profesional mengehadkan permainan mereka kepada tempoh masa yang singkat, dengan itu meningkatkan kemungkinan yang memihak kepada mereka. Begitu juga dengan pelaburan. Jika jangkaan anda positif, anda boleh membuat lebih banyak wang dengan membuat banyak dagangan dalam tempoh yang singkat. Jangkaan ialah peratusan keuntungan setiap kemenangan anda dikali keuntungan purata anda tolak kebarangkalian kerugian anda dikali kerugian purata anda.

Poker juga boleh dipertimbangkan dari segi jangkaan matematik. Anda boleh menganggap bahawa langkah tertentu menguntungkan, tetapi dalam beberapa kes ia mungkin bukan yang terbaik, kerana langkah lain lebih menguntungkan. Katakan anda mencapai rumah penuh dalam poker cabutan lima kad. Lawan anda bertaruh. Anda tahu bahawa jika anda naik ante, dia akan memanggil. Jadi menaikkan kelihatan seperti taktik terbaik. Tetapi jika anda menaikkan, dua pemain yang tinggal pasti akan berlipat. Tetapi jika anda memanggil pertaruhan, anda akan benar-benar yakin bahawa dua pemain lain selepas anda akan melakukan perkara yang sama. Apabila anda menaikkan pertaruhan, anda mendapat satu unit, dan hanya dengan menelefon anda mendapat dua. Jadi panggilan memberi anda nilai jangkaan positif yang lebih tinggi dan merupakan taktik terbaik.

Jangkaan matematik juga boleh memberi gambaran tentang taktik poker mana yang kurang menguntungkan dan yang mana lebih menguntungkan. Sebagai contoh, jika anda memainkan tangan tertentu dan anda fikir kerugian purata anda ialah 75 sen termasuk antes, maka anda harus memainkan tangan itu kerana ini lebih baik daripada melipat apabila ante ialah $1.

Satu lagi sebab penting untuk memahami nilai yang dijangkakan ialah ia memberikan anda ketenangan fikiran sama ada anda memenangi pertaruhan atau tidak: jika anda membuat pertaruhan yang baik atau meluangkan masa, anda akan tahu bahawa anda telah membuat atau menyimpan sejumlah wang, yang tidak dapat disimpan oleh pemain yang lemah. Ia lebih sukar untuk dilipat jika anda kecewa kerana lawan anda mempunyai tangan yang lebih baik dalam undian. Yang berkata, wang yang anda simpan dengan tidak bermain, bukannya bertaruh, ditambah kepada kemenangan semalaman atau bulanan anda.

Ingatlah bahawa jika anda bertukar tangan, lawan anda akan menghubungi anda, dan seperti yang anda akan lihat dalam artikel Teorem Asas Poker, ini hanyalah salah satu kelebihan anda. Anda harus bergembira apabila ini berlaku. Anda juga boleh belajar untuk menikmati kehilangan tangan, kerana anda tahu bahawa pemain lain dalam kasut anda akan kehilangan lebih banyak lagi.

Seperti yang dibincangkan dalam contoh permainan syiling pada permulaan, kadar pulangan setiap jam adalah berkaitan dengan jangkaan matematik, dan konsep ini amat penting untuk pemain profesional. Apabila anda akan bermain poker, anda mesti menganggarkan secara mental berapa banyak yang anda boleh menang dalam satu jam permainan. Dalam kebanyakan kes, anda perlu bergantung pada gerak hati dan pengalaman anda, tetapi anda juga boleh menggunakan beberapa pengiraan matematik. Sebagai contoh, jika anda bermain draw lowball dan anda melihat tiga pemain bertaruh $10 dan kemudian menarik dua kad, yang merupakan taktik yang sangat buruk, anda boleh mengira sendiri bahawa setiap kali mereka bertaruh $10 mereka kehilangan kira-kira $2. Setiap daripada mereka melakukan ini lapan kali sejam, yang bermaksud bahawa ketiga-tiga mereka kehilangan kira-kira $48 sejam. Anda adalah salah satu daripada empat pemain yang tinggal, yang lebih kurang sama, jadi empat pemain ini (dan anda di antara mereka) mesti berkongsi $48, dan masing-masing akan mendapat keuntungan $12 sejam. Kadar setiap jam anda dalam kes ini hanyalah bahagian anda daripada jumlah wang yang hilang oleh tiga pemain buruk setiap jam.

Dalam tempoh masa yang panjang, jumlah kemenangan pemain adalah jumlah jangkaan matematiknya dalam pengagihan berasingan. Lebih banyak anda bermain dengan jangkaan positif, lebih banyak anda menang, dan sebaliknya, lebih banyak tangan anda bermain dengan jangkaan negatif, lebih banyak anda kalah. Akibatnya, anda harus mengutamakan permainan yang boleh memaksimumkan jangkaan positif anda atau menafikan jangkaan negatif anda supaya anda boleh memaksimumkan keuntungan setiap jam anda.

Jangkaan matematik yang positif dalam strategi permainan

Jika anda tahu cara mengira kad, anda mungkin mempunyai kelebihan berbanding kasino jika mereka tidak menyedari dan menendang anda keluar. Kasino suka penjudi yang mabuk dan tidak tahan mengira kad. Kelebihannya akan membolehkan anda menang lebih banyak kali daripada yang anda kalah dari semasa ke semasa. Pengurusan wang yang baik menggunakan pengiraan jangkaan boleh membantu anda memanfaatkan kelebihan anda dan mengurangkan kerugian anda. Tanpa kelebihan, lebih baik anda memberikan wang itu untuk amal. Dalam permainan di bursa saham, kelebihan diberikan oleh sistem permainan, yang mencipta lebih banyak keuntungan daripada kerugian, perbezaan harga dan komisen. Tiada jumlah pengurusan wang akan menyelamatkan sistem permainan yang buruk.

Jangkaan positif ditakrifkan oleh nilai yang lebih besar daripada sifar. Semakin besar angka ini, semakin kuat jangkaan statistik. Jika nilainya kurang daripada sifar, maka jangkaan matematik juga akan menjadi negatif. Lebih besar modulus nilai negatif, lebih buruk keadaannya. Jika keputusan adalah sifar, maka jangkaan adalah pulang modal. Anda hanya boleh menang apabila anda mempunyai jangkaan matematik yang positif, sistem permainan yang munasabah. Bermain mengikut gerak hati membawa kepada bencana.

Jangkaan matematik dan perdagangan saham

Jangkaan matematik adalah penunjuk statistik yang dituntut secara meluas dan popular dalam perdagangan pertukaran dalam pasaran kewangan. Pertama sekali, parameter ini digunakan untuk menganalisis kejayaan perdagangan. Tidak sukar untuk meneka bahawa lebih besar nilai ini, lebih banyak sebab untuk menganggap perdagangan yang dikaji berjaya. Sudah tentu, analisis kerja peniaga tidak boleh dijalankan hanya dengan bantuan parameter ini. Walau bagaimanapun, nilai yang dikira, digabungkan dengan kaedah lain untuk menilai kualiti kerja, boleh meningkatkan ketepatan analisis dengan ketara.

Jangkaan matematik sering dikira dalam perkhidmatan pemantauan akaun dagangan, yang membolehkan anda menilai dengan cepat kerja yang dilakukan pada deposit. Sebagai pengecualian, kami boleh memetik strategi yang menggunakan "tinggal lebih lama" daripada dagangan yang rugi. Seorang peniaga mungkin bertuah untuk beberapa waktu, dan oleh itu, dalam kerjanya mungkin tidak ada kerugian sama sekali. Dalam kes ini, tidak mungkin untuk menavigasi hanya dengan jangkaan, kerana risiko yang digunakan dalam kerja tidak akan diambil kira.

Dalam dagangan di pasaran, jangkaan matematik paling kerap digunakan apabila meramalkan keuntungan strategi dagangan atau apabila meramalkan pendapatan pedagang berdasarkan statistik dagangannya sebelum ini.

Berkenaan dengan pengurusan wang, adalah sangat penting untuk memahami bahawa apabila membuat perdagangan dengan jangkaan negatif, tidak ada skim pengurusan wang yang pasti boleh membawa keuntungan yang tinggi. Jika anda terus bermain pertukaran di bawah syarat-syarat ini, maka tidak kira bagaimana anda menguruskan wang anda, anda akan kehilangan keseluruhan akaun anda, tidak kira betapa besarnya pada mulanya.

Aksiom ini bukan sahaja benar untuk permainan jangkaan negatif atau dagangan, ia juga benar untuk permainan odds genap. Oleh itu, satu-satunya kes di mana anda mempunyai peluang untuk mendapat manfaat dalam jangka panjang ialah apabila membuat tawaran dengan jangkaan matematik yang positif.

Perbezaan antara jangkaan negatif dan jangkaan positif ialah perbezaan antara hidup dan mati. Tidak kira positif atau negatif jangkaan itu; yang penting sama ada positif atau negatif. Oleh itu, sebelum mempertimbangkan pengurusan wang, anda mesti mencari permainan dengan jangkaan yang positif.

Jika anda tidak mempunyai permainan itu, maka tiada jumlah pengurusan wang di dunia akan menyelamatkan anda. Sebaliknya, jika anda mempunyai jangkaan yang positif, maka adalah mungkin, melalui pengurusan wang yang betul, untuk mengubahnya menjadi fungsi pertumbuhan eksponen. Tidak kira sekecil mana harapan positif itu! Dalam erti kata lain, tidak kira betapa menguntungkan sistem perdagangan berdasarkan satu kontrak. Jika anda mempunyai sistem yang memenangi $10 setiap kontrak pada satu dagangan (selepas yuran dan slippage), anda boleh menggunakan teknik pengurusan wang untuk menjadikannya lebih menguntungkan daripada sistem yang menunjukkan keuntungan purata $1,000 setiap dagangan (selepas potongan komisen dan gelinciran).

Apa yang penting bukanlah seberapa menguntungkan sistem itu, tetapi sejauh mana ia boleh dikatakan bahawa sistem itu akan menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum pada masa hadapan. Oleh itu, persediaan paling penting yang boleh dilakukan oleh peniaga adalah untuk memastikan bahawa sistem menunjukkan nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan.

Untuk mempunyai nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan, adalah sangat penting untuk tidak mengehadkan darjah kebebasan sistem anda. Ini dicapai bukan sahaja dengan menghapuskan atau mengurangkan bilangan parameter untuk dioptimumkan, tetapi juga dengan mengurangkan seberapa banyak peraturan sistem yang mungkin. Setiap parameter yang anda tambah, setiap peraturan yang anda buat, setiap perubahan kecil yang anda buat pada sistem mengurangkan bilangan darjah kebebasan. Sebaik-baiknya, anda ingin membina sistem yang agak primitif dan mudah yang akan sentiasa membawa keuntungan kecil dalam hampir mana-mana pasaran. Sekali lagi, adalah penting untuk anda memahami bahawa tidak kira betapa menguntungkannya sesuatu sistem, asalkan ia menguntungkan. Wang yang anda perolehi dalam perdagangan akan diperoleh melalui pengurusan wang yang berkesan.

Sistem perdagangan hanyalah alat yang memberikan anda jangkaan matematik yang positif supaya pengurusan wang boleh digunakan. Sistem yang berfungsi (menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum) dalam hanya satu atau beberapa pasaran, atau mempunyai peraturan atau parameter yang berbeza untuk pasaran yang berbeza, kemungkinan besar tidak akan berfungsi dalam masa nyata untuk masa yang lama. Masalah dengan kebanyakan pedagang yang berorientasikan teknikal ialah mereka menghabiskan terlalu banyak masa dan usaha untuk mengoptimumkan pelbagai peraturan dan parameter sistem perdagangan. Ini memberikan hasil yang bertentangan sepenuhnya. Daripada membuang tenaga dan masa komputer untuk meningkatkan keuntungan sistem perdagangan, arahkan tenaga anda untuk meningkatkan tahap kebolehpercayaan untuk mendapatkan keuntungan minimum.

Mengetahui bahawa pengurusan wang hanyalah permainan nombor yang memerlukan penggunaan jangkaan positif, seorang peniaga boleh berhenti mencari "holy grail" perdagangan saham. Sebaliknya, dia boleh mula menguji kaedah dagangannya, mengetahui bagaimana kaedah ini betul secara logik, sama ada ia memberikan jangkaan positif. Kaedah pengurusan wang yang betul digunakan untuk mana-mana, walaupun kaedah perdagangan yang sangat sederhana, akan melakukan kerja yang lain.

Mana-mana peniaga untuk berjaya dalam kerja mereka perlu menyelesaikan tiga tugas paling penting: . Untuk memastikan bahawa bilangan transaksi yang berjaya melebihi kesilapan dan salah pengiraan yang tidak dapat dielakkan; Sediakan sistem dagangan anda supaya peluang untuk mendapatkan wang sekerap mungkin; Mencapai hasil positif yang stabil daripada operasi anda.

Dan di sini, bagi kami, peniaga yang bekerja, jangkaan matematik boleh memberikan bantuan yang baik. Istilah ini dalam teori kebarangkalian adalah salah satu kunci. Dengan itu, anda boleh memberikan anggaran purata beberapa nilai rawak. Jangkaan matematik pembolehubah rawak adalah seperti pusat graviti, jika kita membayangkan semua kebarangkalian yang mungkin sebagai titik dengan jisim yang berbeza.

Berhubung dengan strategi dagangan, untuk menilai keberkesanannya, jangkaan matematik untung (atau kerugian) paling kerap digunakan. Parameter ini ditakrifkan sebagai jumlah produk tahap keuntungan dan kerugian tertentu dan kebarangkalian kejadiannya. Sebagai contoh, strategi perdagangan yang dibangunkan mengandaikan bahawa 37% daripada semua operasi akan membawa keuntungan, dan bahagian selebihnya - 63% - akan menjadi tidak menguntungkan. Pada masa yang sama, purata pendapatan daripada transaksi yang berjaya ialah $7, dan purata kerugian ialah $1.4. Mari kita mengira jangkaan matematik perdagangan menggunakan sistem berikut:

Apakah maksud nombor ini? Ia mengatakan bahawa, mengikut peraturan sistem ini, secara purata, kami akan menerima 1.708 dolar daripada setiap transaksi yang ditutup. Memandangkan skor kecekapan yang terhasil adalah lebih besar daripada sifar, sistem sedemikian boleh digunakan untuk kerja sebenar. Jika, sebagai hasil pengiraan, jangkaan matematik ternyata negatif, maka ini sudah menunjukkan kerugian purata dan perdagangan sedemikian akan membawa kepada kehancuran.

Jumlah keuntungan setiap dagangan juga boleh dinyatakan sebagai nilai relatif dalam bentuk%. Sebagai contoh:

– peratusan pendapatan setiap 1 transaksi - 5%;

– peratusan operasi dagangan yang berjaya - 62%;

– peratusan kerugian setiap 1 dagangan - 3%;

- peratusan transaksi yang tidak berjaya - 38%;

Iaitu, transaksi purata akan membawa 1.96%.

Ia adalah mungkin untuk membangunkan sistem yang, walaupun terdapat banyak kerugian perdagangan, akan memberikan hasil yang positif, sejak MO>0.

Namun, menunggu sahaja tidak cukup. Sukar untuk membuat wang jika sistem memberikan isyarat dagangan yang sangat sedikit. Dalam kes ini, keuntungannya akan setanding dengan faedah bank. Biarkan setiap operasi membawa masuk hanya 0.5 dolar secara purata, tetapi bagaimana jika sistem mengandaikan 1000 transaksi setahun? Ini akan menjadi jumlah yang sangat serius dalam masa yang agak singkat. Secara logiknya berikutan daripada ini bahawa satu lagi ciri sistem perdagangan yang baik boleh dianggap sebagai tempoh pegangan yang singkat.

Sumber dan pautan

dic.academic.ru - kamus dalam talian akademik

mathematics.ru - tapak pendidikan matematik

nsu.ru – laman web pendidikan Universiti Negeri Novosibirsk

webmath.ru ialah portal pendidikan untuk pelajar, pemohon dan pelajar sekolah.

tapak matematik pendidikan exponenta.ru

ru.tradimo.com - sekolah perdagangan dalam talian percuma

crypto.hut2.ru - sumber maklumat pelbagai disiplin

poker-wiki.ru - ensiklopedia percuma poker

sernam.ru - Perpustakaan saintifik penerbitan sains semula jadi terpilih

reshim.su - laman web SELESAIKAN tugas mengawal kerja kursus

unfx.ru – Forex di UNFX: pendidikan, isyarat dagangan, pengurusan amanah

slovopedia.com - Kamus Ensiklopedia Besar

pokermansion.3dn.ru - Panduan anda kepada dunia poker

statanaliz.info - blog maklumat "Analisis data statistik"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - analisis Forex terkini

fx-by.com - segala-galanya untuk seorang peniaga

Jangkaan dan varians matematik ialah ciri berangka yang paling biasa digunakan bagi pembolehubah rawak. Mereka mencirikan ciri pengedaran yang paling penting: kedudukan dan tahap penyebarannya. Dalam banyak masalah amalan, penerangan lengkap dan menyeluruh tentang pembolehubah rawak - hukum pengedaran - sama ada tidak boleh diperolehi sama sekali, atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kes ini, ia terhad kepada perihalan anggaran pembolehubah rawak menggunakan ciri berangka.

Jangkaan matematik sering dirujuk sebagai nilai purata pembolehubah rawak. Serakan pembolehubah rawak adalah ciri serakan, serakan pembolehubah rawak di sekeliling jangkaan matematiknya.

Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret

Mari kita mendekati konsep jangkaan matematik, mula-mula meneruskan dari tafsiran mekanikal taburan pembolehubah rawak diskret. Biarkan jisim unit diedarkan di antara titik-titik paksi-x x1 , x 2 , ..., x n, dan setiap titik bahan mempunyai jisim yang sepadan dengannya hlm1 , hlm 2 , ..., hlm n. Ia dikehendaki memilih satu titik pada paksi-x, yang mencirikan kedudukan keseluruhan sistem titik bahan, dengan mengambil kira jisimnya. Adalah wajar untuk mengambil pusat jisim sistem titik bahan sebagai titik sedemikian. Ini ialah purata wajaran pembolehubah rawak X, di mana absis setiap titik xi masuk dengan "berat" sama dengan kebarangkalian yang sepadan. Nilai min pembolehubah rawak yang diperolehi X dipanggil jangkaan matematiknya.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkalian nilai ini:

Contoh 1 Loteri menang-menang telah dianjurkan. Terdapat 1000 kemenangan, 400 daripadanya adalah 10 rubel setiap satu. 300 - 20 rubel setiap satu 200 - 100 rubel setiap satu. dan 100 - 200 rubel setiap satu. Apakah purata kemenangan bagi seseorang yang membeli satu tiket?

Penyelesaian. Kami akan mencari purata kemenangan jika jumlah keseluruhan kemenangan, yang sama dengan 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubel, dibahagikan dengan 1000 (jumlah kemenangan). Kemudian kita mendapat 50000/1000 = 50 rubel. Tetapi ungkapan untuk mengira keuntungan purata juga boleh diwakili dalam bentuk berikut:

Sebaliknya, di bawah syarat ini, jumlah kemenangan adalah pembolehubah rawak yang boleh mengambil nilai 10, 20, 100 dan 200 rubel. dengan kebarangkalian sama dengan 0.4, masing-masing; 0.3; 0.2; 0.1. Oleh itu, pulangan purata yang dijangkakan adalah sama dengan jumlah produk saiz hasil dan kebarangkalian untuk menerimanya.

Contoh 2 Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baharu. Dia akan menjual buku itu dengan harga 280 rubel, di mana 200 akan diberikan kepadanya, 50 ke kedai buku, dan 30 kepada penulis. Jadual memberikan maklumat tentang kos penerbitan buku dan kemungkinan menjual sejumlah salinan buku tersebut.

Cari keuntungan jangkaan penerbit.

Penyelesaian. Pembolehubah rawak "keuntungan" adalah sama dengan perbezaan antara pendapatan daripada jualan dan kos kos. Sebagai contoh, jika 500 salinan buku dijual, maka pendapatan daripada jualan ialah 200 * 500 = 100,000, dan kos penerbitan ialah 225,000 rubel. Oleh itu, penerbit menghadapi kerugian sebanyak 125,000 rubel. Jadual berikut meringkaskan nilai jangkaan pembolehubah rawak - keuntungan:

Nombor	Untung xi	Kebarangkalian hlmi	xi hlm i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Jumlah:		1,00	25000

Oleh itu, kami memperoleh jangkaan matematik keuntungan penerbit:

.

Contoh 3 Peluang untuk memukul dengan satu pukulan hlm= 0.2. Tentukan penggunaan cengkerang yang memberikan jangkaan matematik bilangan pukulan bersamaan dengan 5.

Penyelesaian. Daripada formula jangkaan yang sama yang telah kami gunakan setakat ini, kami nyatakan x- penggunaan cengkerang:

.

Contoh 4 Tentukan jangkaan matematik pembolehubah rawak x bilangan pukulan dengan tiga pukulan, jika kebarangkalian pukulan dengan setiap pukulan hlm = 0,4 .

Petunjuk: cari kebarangkalian nilai pembolehubah rawak dengan Formula Bernoulli .

Sifat Jangkaan

Pertimbangkan sifat jangkaan matematik.

Harta 1. Jangkaan matematik bagi nilai pemalar adalah sama dengan pemalar ini:

Harta 2. Faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan:

Harta 3. Jangkaan matematik jumlah (perbezaan) pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah (perbezaan) jangkaan matematiknya:

Harta benda 4. Jangkaan matematik hasil darab rawak adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya:

Harta 5. Jika semua nilai pembolehubah rawak X menurun (meningkat) dengan bilangan yang sama DENGAN, maka jangkaan matematiknya akan berkurangan (meningkat) dengan nombor yang sama:

Apabila anda tidak boleh dihadkan hanya kepada jangkaan matematik

Dalam kebanyakan kes, hanya jangkaan matematik tidak dapat mencirikan pembolehubah rawak dengan secukupnya.

Biarkan pembolehubah rawak X Dan Y diberikan oleh undang-undang pengedaran berikut:

Maknanya X	Kebarangkalian
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Maknanya Y	Kebarangkalian
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Jangkaan matematik bagi kuantiti ini adalah sama - sama dengan sifar:

Walau bagaimanapun, pengedaran mereka berbeza. Nilai rawak X hanya boleh mengambil nilai yang sedikit berbeza daripada jangkaan matematik, dan pembolehubah rawak Y boleh mengambil nilai yang menyimpang dengan ketara daripada jangkaan matematik. Contoh yang sama: gaji purata tidak memungkinkan untuk menilai bahagian pekerja bergaji tinggi dan rendah. Dalam erti kata lain, dengan jangkaan matematik seseorang tidak boleh menilai apa penyelewengan daripadanya, sekurang-kurangnya secara purata, mungkin. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari varians pembolehubah rawak.

Serakan pembolehubah rawak diskret

penyebaran pembolehubah rawak diskret X dipanggil jangkaan matematik bagi kuasa dua sisihan daripada jangkaan matematik:

Sisihan piawai pembolehubah rawak X ialah nilai aritmetik punca kuasa dua variansnya:

.

Contoh 5 Kira varians dan sisihan piawai pembolehubah rawak X Dan Y, yang undang-undang pengedarannya diberikan dalam jadual di atas.

Penyelesaian. Jangkaan matematik pembolehubah rawak X Dan Y, seperti yang terdapat di atas, adalah sama dengan sifar. Mengikut formula serakan untuk E(X)=E(y)=0 kita dapat:

Kemudian sisihan piawai pembolehubah rawak X Dan Y membentuk

.

Oleh itu, dengan jangkaan matematik yang sama, varians pembolehubah rawak X sangat kecil dan rawak Y- ketara. Ini adalah akibat daripada perbezaan dalam pengedaran mereka.

Contoh 6 Pelabur mempunyai 4 projek pelaburan alternatif. Jadual meringkaskan data mengenai jangkaan keuntungan dalam projek ini dengan kebarangkalian yang sepadan.

Projek 1	Projek 2	Projek 3	Projek 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Cari bagi setiap alternatif jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai.

Penyelesaian. Mari kita tunjukkan bagaimana kuantiti ini dikira untuk alternatif ke-3:

Jadual meringkaskan nilai yang ditemui untuk semua alternatif.

Semua alternatif mempunyai jangkaan matematik yang sama. Ini bermakna dalam jangka masa panjang semua orang mempunyai pendapatan yang sama. Sisihan piawai boleh ditafsirkan sebagai ukuran risiko - lebih besar ia, lebih besar risiko pelaburan. Pelabur yang tidak mahu banyak risiko akan memilih projek 1 kerana ia mempunyai sisihan piawai terkecil (0). Jika pelabur lebih suka risiko dan pulangan tinggi dalam tempoh yang singkat, maka dia akan memilih projek yang mempunyai sisihan piawai terbesar - projek 4.

Sifat Serakan

Marilah kita membentangkan sifat-sifat serakan.

Harta 1. Penyerakan nilai malar ialah sifar:

Harta 2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan dengan mengkuadratkannya:

.

Harta 3. Varians pembolehubah rawak adalah sama dengan jangkaan matematik bagi kuasa dua nilai ini, dari mana kuasa dua jangkaan matematik bagi nilai itu sendiri dikurangkan:

,

di mana .

Harta benda 4. Varians jumlah (perbezaan) pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah (perbezaan) variansnya:

Contoh 7 Adalah diketahui bahawa pembolehubah rawak diskret X hanya mengambil dua nilai: −3 dan 7. Di samping itu, jangkaan matematik diketahui: E(X) = 4 . Cari varians pembolehubah rawak diskret.

Penyelesaian. Nyatakan dengan hlm kebarangkalian pembolehubah rawak mengambil nilai x1 = −3 . Kemudian kebarangkalian nilai x2 = 7 akan menjadi 1 − hlm. Mari terbitkan persamaan untuk jangkaan matematik:

E(X) = x 1 hlm + x 2 (1 − hlm) = −3hlm + 7(1 − hlm) = 4 ,

di mana kita mendapat kebarangkalian: hlm= 0.3 dan 1 − hlm = 0,7 .

Hukum taburan pembolehubah rawak:

X	−3	7
hlm	0,3	0,7

Kami mengira varians pembolehubah rawak ini menggunakan formula daripada sifat 3 varians:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Cari sendiri jangkaan matematik pembolehubah rawak, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 8 Pembolehubah rawak diskret X hanya mengambil dua nilai. Ia mengambil nilai yang lebih besar iaitu 3 dengan kebarangkalian 0.4. Selain itu, varians pembolehubah rawak diketahui D(X) = 6 . Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak.

Contoh 9 Sebuah guci mengandungi 6 bola putih dan 4 bola hitam. 3 biji bola diambil dari urn. Bilangan bola putih di antara bola yang ditarik ialah pembolehubah rawak diskret X. Cari jangkaan dan varians matematik bagi pembolehubah rawak ini.

Penyelesaian. Nilai rawak X boleh mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Kebarangkalian yang sepadan boleh dikira daripada peraturan pendaraban kebarangkalian. Hukum taburan pembolehubah rawak:

X	0	1	2	3
hlm	1/30	3/10	1/2	1/6

Oleh itu jangkaan matematik pembolehubah rawak ini:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varians pembolehubah rawak yang diberikan ialah:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak berterusan

Untuk pembolehubah rawak berterusan, tafsiran mekanikal jangkaan matematik akan mengekalkan makna yang sama: pusat jisim untuk jisim unit yang diedarkan secara berterusan pada paksi-x dengan ketumpatan. f(x). Berbeza dengan pembolehubah rawak diskret, yang mana hujah fungsi xi berubah secara mendadak, untuk pembolehubah rawak berterusan, hujah berubah secara berterusan. Tetapi jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak berterusan juga berkaitan dengan nilai minnya.

Untuk mencari jangkaan dan varians matematik pembolehubah rawak berterusan, anda perlu mencari kamiran pasti . Jika fungsi ketumpatan pembolehubah rawak selanjar diberikan, maka ia masuk terus ke dalam integrand. Jika fungsi taburan kebarangkalian diberikan, maka dengan membezakannya, anda perlu mencari fungsi ketumpatan.

Purata aritmetik semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan dipanggilnya jangkaan matematik, dilambangkan dengan atau .

Teori kebarangkalian adalah cabang khusus matematik yang hanya dipelajari oleh pelajar institusi pengajian tinggi. Adakah anda suka pengiraan dan formula? Adakah anda tidak takut dengan prospek berkenalan dengan taburan normal, entropi ensembel, jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak diskret? Kemudian subjek ini akan sangat menarik minat anda. Mari kita berkenalan dengan beberapa konsep asas yang paling penting dalam bahagian sains ini.

Mari kita ingat asasnya

Walaupun anda masih ingat konsep paling mudah bagi teori kebarangkalian, jangan abaikan perenggan pertama artikel. Hakikatnya ialah tanpa pemahaman yang jelas tentang asas, anda tidak akan dapat bekerja dengan formula yang dibincangkan di bawah.

Jadi, terdapat beberapa peristiwa rawak, beberapa percubaan. Hasil daripada tindakan yang dilakukan, kita boleh memperoleh beberapa hasil - sesetengah daripadanya lebih biasa, yang lain kurang biasa. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil yang sebenarnya diperoleh daripada satu jenis kepada jumlah bilangan yang mungkin. Hanya mengetahui definisi klasik konsep ini, anda boleh mula mengkaji jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak berterusan.

Purata

Semasa di sekolah, dalam pelajaran matematik, anda mula bekerja dengan min aritmetik. Konsep ini digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian, dan oleh itu ia tidak boleh diabaikan. Perkara utama bagi kita pada masa ini ialah kita akan menemuinya dalam formula untuk jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak.

Kami mempunyai urutan nombor dan ingin mencari min aritmetik. Apa yang diperlukan daripada kita ialah menjumlahkan semua yang ada dan bahagikan dengan bilangan unsur dalam urutan itu. Biarkan kita mempunyai nombor dari 1 hingga 9. Jumlah unsur akan menjadi 45, dan kita akan membahagikan nilai ini dengan 9. Jawapan: - 5.

Penyerakan

Dalam istilah saintifik, varians ialah kuasa dua purata bagi sisihan nilai ciri yang diperoleh daripada min aritmetik. Satu dilambangkan dengan huruf Latin besar D. Apakah yang diperlukan untuk mengiranya? Bagi setiap elemen jujukan, kami mengira perbezaan antara nombor yang tersedia dan min aritmetik dan kuasa duakannya. Akan ada nilai yang sama banyaknya dengan hasil untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Seterusnya, kami meringkaskan semua yang diterima dan bahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan. Jika kita mempunyai lima hasil yang mungkin, maka bahagikan dengan lima.

Varians juga mempunyai sifat yang perlu anda ingat untuk menerapkannya semasa menyelesaikan masalah. Sebagai contoh, jika pembolehubah rawak dinaikkan sebanyak X kali, varians meningkat sebanyak X kali kuasa dua (iaitu, X*X). Ia tidak pernah kurang daripada sifar dan tidak bergantung pada perubahan nilai dengan nilai yang sama ke atas atau ke bawah. Juga, untuk percubaan bebas, varians jumlah adalah sama dengan jumlah varians.

Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians pembolehubah rawak diskret dan jangkaan matematik.

Katakan kita menjalankan 21 eksperimen dan mendapat 7 hasil yang berbeza. Kami memerhati setiap daripada mereka, masing-masing, 1,2,2,3,4,4 dan 5 kali. Apakah yang akan menjadi varians?

Pertama, kita mengira min aritmetik: jumlah unsur, sudah tentu, ialah 21. Kita bahagikannya dengan 7, mendapat 3. Sekarang kita tolak 3 daripada setiap nombor dalam urutan asal, kuasa duakan setiap nilai, dan tambah hasilnya bersama-sama . Ternyata 12. Sekarang tinggal untuk kita membahagikan nombor dengan bilangan elemen, dan, nampaknya, itu sahaja. Tetapi ada tangkapan! Mari kita bincangkannya.

Pergantungan kepada bilangan eksperimen

Ternyata apabila mengira varians, penyebut boleh menjadi salah satu daripada dua nombor: sama ada N atau N-1. Di sini N ialah bilangan eksperimen yang dilakukan atau bilangan unsur dalam jujukan (yang pada asasnya adalah perkara yang sama). Bergantung pada apa?

Jika bilangan ujian diukur dalam ratusan, maka kita mesti meletakkan N dalam penyebut. Jika dalam unit, maka N-1. Para saintis memutuskan untuk melukis sempadan secara simbolik: hari ini ia berjalan sepanjang nombor 30. Jika kita menjalankan kurang daripada 30 eksperimen, maka kita akan membahagikan jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.

Tugasan

Mari kita kembali kepada contoh menyelesaikan masalah varians dan jangkaan. Kami mendapat nombor perantaraan 12, yang perlu dibahagikan dengan N atau N-1. Memandangkan kami menjalankan 21 eksperimen, iaitu kurang daripada 30, kami akan memilih pilihan kedua. Jadi jawapannya ialah: varians ialah 12/2 = 2.

Nilai yang dijangkakan

Mari kita beralih kepada konsep kedua, yang mesti kita pertimbangkan dalam artikel ini. Jangkaan matematik adalah hasil daripada menambah semua hasil yang mungkin didarab dengan kebarangkalian yang sepadan. Adalah penting untuk memahami bahawa nilai yang terhasil, serta hasil pengiraan varians, diperolehi sekali sahaja untuk keseluruhan tugasan, tidak kira berapa banyak hasil yang dianggapnya.

Formula jangkaan matematik agak mudah: kami mengambil hasilnya, darab dengan kebarangkaliannya, menambah yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dsb. Semua yang berkaitan dengan konsep ini mudah dikira. Sebagai contoh, jumlah jangkaan matematik adalah sama dengan jangkaan matematik jumlah itu. Perkara yang sama berlaku untuk kerja. Tidak setiap kuantiti dalam teori kebarangkalian membenarkan operasi mudah sedemikian dilakukan. Mari kita ambil tugas dan hitung nilai dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Di samping itu, kami terganggu oleh teori - sudah tiba masanya untuk berlatih.

Satu lagi contoh

Kami menjalankan 50 percubaan dan mendapat 10 jenis hasil - nombor 0 hingga 9 - muncul dalam peratusan yang berbeza-beza. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingat bahawa untuk mendapatkan kebarangkalian, anda perlu membahagikan nilai peratusan dengan 100. Oleh itu, kita mendapat 0.02; 0.1 dsb. Mari kita kemukakan contoh penyelesaian masalah bagi varians pembolehubah rawak dan jangkaan matematik.

Kami mengira min aritmetik menggunakan formula yang kami ingat dari sekolah rendah: 50/10 = 5.

Sekarang mari kita terjemahkan kebarangkalian kepada bilangan hasil "sebahagian" untuk menjadikannya lebih mudah untuk dikira. Kami mendapat 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Tolak min aritmetik daripada setiap nilai yang diperoleh, selepas itu kita kuasa duakan setiap keputusan yang diperolehi. Lihat cara melakukan ini dengan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Selanjutnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lain, lakukan sendiri operasi ini. Jika anda melakukan segala-galanya dengan betul, maka selepas menambah semua anda mendapat 90.

Mari kita teruskan mengira varians dan min dengan membahagikan 90 dengan N. Mengapa kita memilih N dan bukan N-1? Betul, kerana bilangan eksperimen yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kami mendapat penyebaran. Jika anda mendapat nombor yang berbeza, jangan putus asa. Kemungkinan besar, anda membuat kesilapan cetek dalam pengiraan. Semak semula apa yang anda tulis, dan pasti semuanya akan sesuai.

Akhir sekali, mari kita ingat semula formula jangkaan matematik. Kami tidak akan memberikan semua pengiraan, kami hanya akan menulis jawapan yang boleh anda semak selepas menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Nilai yang dijangkakan ialah 5.48. Kami hanya ingat bagaimana untuk menjalankan operasi, menggunakan contoh elemen pertama: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... dan seterusnya. Seperti yang anda lihat, kami hanya mendarabkan nilai hasil dengan kebarangkaliannya.

penyelewengan

Konsep lain yang berkait rapat dengan serakan dan jangkaan matematik ialah sisihan piawai. Ia dilambangkan sama ada dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan bagaimana, secara purata, nilai menyimpang daripada ciri pusat. Untuk mencari nilainya, anda perlu mengira punca kuasa dua varians.

Jika anda merancang taburan normal dan ingin melihat sisihan kuasa dua terus padanya, ini boleh dilakukan dalam beberapa langkah. Ambil separuh daripada imej ke kiri atau kanan mod (nilai pusat), lukiskan serenjang dengan paksi mendatar supaya kawasan angka yang terhasil adalah sama. Nilai segmen antara tengah taburan dan unjuran yang terhasil pada paksi mendatar akan menjadi sisihan piawai.

Perisian

Seperti yang dapat dilihat daripada huraian formula dan contoh yang dikemukakan, mengira varians dan jangkaan matematik bukanlah prosedur yang paling mudah dari sudut aritmetik. Untuk tidak membuang masa, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan dalam pendidikan tinggi - ia dipanggil "R". Ia mempunyai fungsi yang membolehkan anda mengira nilai untuk banyak konsep daripada statistik dan teori kebarangkalian.

Sebagai contoh, anda mentakrifkan vektor nilai. Ini dilakukan seperti berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Akhirnya

Serakan dan jangkaan matematik adalah sukar untuk mengira apa-apa pada masa hadapan. Dalam kursus utama kuliah di universiti, mereka dianggap sudah dalam bulan pertama mempelajari subjek tersebut. Justru kerana kurangnya pemahaman tentang konsep mudah ini dan ketidakupayaan untuk mengiranya menyebabkan ramai pelajar serta-merta mula ketinggalan dalam program dan kemudiannya menerima gred yang lemah pada akhir sesi, yang menyebabkan mereka tidak mendapat biasiswa.

Berlatih sekurang-kurangnya satu minggu selama setengah jam sehari, menyelesaikan tugas yang serupa dengan yang dibentangkan dalam artikel ini. Kemudian, pada mana-mana ujian teori kebarangkalian, anda akan menghadapi contoh tanpa petua dan helaian curang.

Seperti yang telah diketahui, undang-undang taburan sepenuhnya mencirikan pembolehubah rawak. Walau bagaimanapun, undang-undang pengedaran selalunya tidak diketahui dan seseorang itu perlu menghadkan diri kepada maklumat yang lebih kecil. Kadangkala adalah lebih menguntungkan untuk menggunakan nombor yang menggambarkan pembolehubah rawak secara keseluruhan; nombor sedemikian dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak. Jangkaan matematik adalah salah satu ciri berangka yang penting.

Jangkaan matematik, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, adalah lebih kurang sama dengan nilai purata pembolehubah rawak. Untuk menyelesaikan banyak masalah, sudah cukup untuk mengetahui jangkaan matematik. Sebagai contoh, jika diketahui bahawa jangkaan matematik bilangan mata yang dijaringkan oleh penembak pertama adalah lebih besar daripada yang kedua, maka penembak pertama, secara purata, mengetuk lebih banyak mata daripada yang kedua, dan oleh itu menembak lebih baik daripada yang kedua. Walaupun jangkaan matematik memberikan maklumat yang lebih sedikit tentang pembolehubah rawak daripada hukum taburannya, tetapi untuk menyelesaikan masalah seperti yang diberikan dan banyak lagi, pengetahuan tentang jangkaan matematik adalah mencukupi.

§ 2. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret

jangkaan matematik Pembolehubah rawak diskret dipanggil hasil tambah semua nilai yang mungkin dan kebarangkaliannya.

Biarkan pembolehubah rawak X hanya boleh mengambil nilai X 1 , X 2 , ..., X P , yang kebarangkaliannya adalah sama R 1 , R 2 , . . ., R P . Kemudian jangkaan matematik M(X) pembolehubah rawak X ditakrifkan oleh persamaan

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n hlm n .

Jika pembolehubah rawak diskret X mengambil set boleh dikira nilai yang mungkin, kemudian

M(X)=

lebih-lebih lagi, jangkaan matematik wujud jika siri di sebelah kanan kesamaan menumpu secara mutlak.

Komen. Ia berikutan daripada definisi bahawa jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret ialah pembolehubah bukan rawak (malar). Kami mengesyorkan agar anda mengingati pernyataan ini, kerana ia digunakan berulang kali kemudian. Kemudian akan ditunjukkan bahawa jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak berterusan juga merupakan nilai malar.

Contoh 1 Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak X, mengetahui hukum pembahagiannya:

Penyelesaian. Jangkaan matematik yang dikehendaki adalah sama dengan jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkaliannya:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Contoh 2 Cari jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa A dalam satu percubaan, jika kebarangkalian sesuatu peristiwa A adalah sama dengan R.

Penyelesaian. Nilai rawak X - bilangan kejadian acara A dalam satu ujian - boleh mengambil hanya dua nilai: X 1 = 1 (acara A berlaku) dengan kebarangkalian R Dan X 2 = 0 (acara A tidak berlaku) dengan kebarangkalian q= 1 -R. Jangkaan matematik yang dikehendaki

M(X)= 1* hlm+ 0* q= hlm

Jadi, jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam satu percubaan adalah sama dengan kebarangkalian kejadian ini. Keputusan ini akan digunakan di bawah.

§ 3. Maksud kebarangkalian jangkaan matematik

Biar dihasilkan P ujian di mana pembolehubah rawak X diterima T 1 nilai kali X 1 , T 2 nilai kali X 2 ,...,m k nilai kali x k , dan T 1 + T 2 + …+t Kepada = hlm. Kemudian jumlah semua nilai yang diambil X, adalah sama dengan

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Kepada T Kepada .

Cari min aritmetik daripada semua nilai yang diterima sebagai pembolehubah rawak, yang mana kami membahagikan jumlah yang dijumpai dengan jumlah bilangan percubaan:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Kepada T Kepada)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X Kepada (T Kepada /P). (*)

Menyedari bahawa hubungan itu m 1 / n- frekuensi relatif W 1 nilai X 1 , m 2 / n - frekuensi relatif W 2 nilai X 2 dan lain-lain, kami menulis hubungan (*) seperti berikut:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X Kepada W k . (**)

Mari kita anggap bahawa bilangan percubaan adalah cukup besar. Kemudian kekerapan relatif adalah lebih kurang sama dengan kebarangkalian kejadian (ini akan dibuktikan dalam Bab IX, § 6):

W 1 hlm 1 , W 2 hlm 2 , …, W k hlm k .

Menggantikan frekuensi relatif dalam hubungan (**) dengan kebarangkalian yang sepadan, kita perolehi

x 1 hlm 1 + X 2 R 2 + … + X Kepada R Kepada .

Bahagian kanan kesaksamaan anggaran ini ialah M(X). Jadi,

M(X).

Maksud kebarangkalian keputusan yang diperolehi adalah seperti berikut: jangkaan matematik adalah lebih kurang sama dengan(lebih tepat lebih banyak bilangan percubaan) min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak.

Catatan 1. Adalah mudah untuk melihat bahawa jangkaan matematik adalah lebih besar daripada nilai terkecil dan kurang daripada nilai terbesar yang mungkin. Dalam erti kata lain, pada paksi nombor, nilai yang mungkin terletak di sebelah kiri dan kanan nilai yang dijangkakan. Dalam pengertian ini, jangkaan mencirikan lokasi pengedaran dan oleh itu sering dirujuk sebagai Pusat pengagihan.

Istilah ini dipinjam daripada mekanik: jika jisim R 1 , R 2 , ..., R P terletak pada titik dengan absis x 1 , X 2 , ..., X n, dan
kemudian absis pusat graviti

x c =
.

Memandangkan itu
= M (X) Dan
kita mendapatkan M(X)= x Dengan .

Jadi, jangkaan matematik ialah absis pusat graviti sistem titik material, abscissas yang sama dengan nilai kemungkinan pembolehubah rawak, dan jisimnya sama dengan kebarangkalian mereka.

Catatan 2. Asal usul istilah "jangkaan" dikaitkan dengan tempoh awal kemunculan teori kebarangkalian (abad XVI-XVII), apabila skopnya terhad kepada perjudian. Pemain berminat dengan nilai purata bayaran yang dijangkakan, atau, dengan kata lain, jangkaan matematik hasil.

Pembolehubah rawak, sebagai tambahan kepada undang-undang pengedaran, juga boleh diterangkan ciri berangka .

jangkaan matematik M (x) pembolehubah rawak dipanggil nilai puratanya.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret dikira dengan formula

di mana – nilai pembolehubah rawak, p saya- kebarangkalian mereka.

Pertimbangkan sifat jangkaan matematik:

1. Jangkaan matematik bagi pemalar adalah sama dengan pemalar itu sendiri

2. Jika pembolehubah rawak didarab dengan nombor k tertentu, maka jangkaan matematik akan didarab dengan nombor yang sama

M (kx) = kM (x)

3. Jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematiknya

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Untuk pembolehubah rawak bebas x 1 , x 2 , … x n jangkaan matematik hasil darab adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Mari kita hitung jangkaan matematik untuk pembolehubah rawak dari Contoh 11.

M(x) == .

Contoh 12. Biarkan pembolehubah rawak x 1 , x 2 diberikan oleh hukum taburan, masing-masing:

x 1 Jadual 2

x 2 Jadual 3

Kira M (x 1) dan M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 \u003d 0

Jangkaan matematik kedua-dua pembolehubah rawak adalah sama - ia sama dengan sifar. Walau bagaimanapun, pengedaran mereka berbeza. Jika nilai x 1 berbeza sedikit daripada jangkaan matematiknya, maka nilai x 2 berbeza secara besar-besaran daripada jangkaan matematiknya, dan kebarangkalian penyelewengan tersebut tidaklah kecil. Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa adalah mustahil untuk menentukan daripada nilai purata apa sisihan daripadanya berlaku kedua-dua naik dan turun. Oleh itu, dengan purata hujan tahunan yang sama di dua lokaliti, tidak boleh dikatakan bahawa lokaliti ini sama-sama sesuai untuk kerja pertanian. Begitu juga, dengan penunjuk gaji purata, adalah tidak mungkin untuk menilai bahagian pekerja bergaji tinggi dan rendah. Oleh itu, ciri berangka diperkenalkan - penyebaran D(x) , yang mencirikan tahap sisihan pembolehubah rawak daripada nilai minnya:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Serakan ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematik. Untuk pembolehubah rawak diskret, varians dikira dengan formula:

D(x)= = (3)

Ia mengikuti daripada takrif varians bahawa D (x) 0.

Sifat serakan:

1. Serakan pemalar ialah sifar

2. Jika pembolehubah rawak didarab dengan beberapa nombor k, maka varians didarab dengan kuasa dua nombor ini

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Untuk pembolehubah rawak bebas berpasangan x 1 , x 2 , … x n varians hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah varians.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Mari kita hitung varians untuk pembolehubah rawak dari Contoh 11.

Jangkaan matematik M (x) = 1. Oleh itu, mengikut formula (3) kita ada:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Ambil perhatian bahawa lebih mudah untuk mengira varians jika kita menggunakan sifat 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Mari kita hitung varians untuk pembolehubah rawak x 1 , x 2 daripada Contoh 12 menggunakan formula ini. Jangkaan matematik kedua-dua pembolehubah rawak adalah sama dengan sifar.

D (x 1) \u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.0001 0.002d 0.003d

D (x 2) \u003d (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Semakin hampir nilai serakan kepada sifar, semakin kecil sebaran pembolehubah rawak berbanding nilai min.

Nilai itu dipanggil sisihan piawai. Fesyen rawak x jenis diskret Md ialah nilai pembolehubah rawak, yang sepadan dengan kebarangkalian tertinggi.

Fesyen rawak x jenis berterusan Md, ialah nombor nyata yang ditakrifkan sebagai titik maksimum ketumpatan taburan kebarangkalian f(x).

Median pembolehubah rawak x jenis berterusan Mn ialah nombor nyata yang memenuhi persamaan