Titik material bergerak secara rectilinear mengikut undang-undang dalam talian. Makna fizikal terbitan

− Cikgu Dumbadze V.A.
dari sekolah 162 daerah Kirovsky St. Petersburg.

Kumpulan VKontakte kami
Aplikasi mudah alih:

(Di mana x t- masa dalam saat, diukur dari permulaan pergerakan). Cari kelajuannya (dalam m/s) pada masa itu t= 9 s.

Pada t= 9 c kita ada:

Mengapa kita tidak mengambil kira nombor 17 daripada persamaan asal?

cari terbitan bagi fungsi asal.

tiada nombor 17 dalam terbitan

Mengapa mencari terbitan?

Halaju ialah terbitan koordinat berkenaan dengan masa.

Masalahnya meminta anda mencari kelajuan

x- jarak dari titik rujukan dalam meter, t- masa dalam saat, diukur dari permulaan pergerakan). Cari kelajuannya dalam (m/s) pada masa t= 6 s.

Mari kita cari hukum perubahan kelajuan:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16 bukan 20

ingat prosedur

Sejak bila tambah lebih baik daripada tolak?

Pendaraban diutamakan daripada penambahan dan penolakan. Ingat kebudak-budakan contoh sekolah: 2 + 2 2. Izinkan saya mengingatkan anda bahawa di sini ternyata bukan 8, seperti yang difikirkan oleh sesetengah orang, tetapi 6.

Anda tidak faham jawapan tetamu itu.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Jadi betul, kira sendiri.

2) pendaraban / pembahagian (bergantung pada susunan dalam persamaan, bahawa yang pertama adalah - maka ia diselesaikan terlebih dahulu);

3) penambahan / penolakan (begitu juga bergantung pada susunan dalam contoh).

Darab = bahagi, tambah = tolak =>

Bukan 54 - (36+2), tetapi 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Pertama, untuk anda - Sergey Batkovich. Kedua, adakah anda sendiri faham apa yang ingin anda sampaikan dan kepada siapa? Saya tidak memahami awak.

Titik bahan bergerak secara rectilinear mengikut undang-undang (di mana x ialah jarak dari titik rujukan dalam meter, t ialah masa dalam saat, diukur dari permulaan pergerakan). Cari kelajuannya dalam (m/s) pada masa c.

Mari kita cari hukum perubahan kelajuan: m/s. Apabila kita mempunyai:

Pelajaran mengenai topik: "Peraturan pembezaan", gred ke-11

Bahagian: Matematik

Jenis pelajaran: generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Objektif Pelajaran:

pendidikan:
- generalisasi, sistematikkan bahan topik dengan mencari terbitan;
- menetapkan peraturan pembezaan;
- politeknik terbuka untuk pelajar, nilai yang digunakan Topik;
membangun:
- mengawal asimilasi pengetahuan dan kemahiran;
- membangun dan meningkatkan keupayaan untuk menggunakan pengetahuan dalam situasi yang berubah;
- membangunkan budaya pertuturan dan keupayaan untuk membuat kesimpulan dan generalisasi;
pendidikan:
- membangunkan proses kognitif;
- menanamkan ketepatan pelajar dalam reka bentuk, tujuan.

peralatan:

projektor atas, skrin;
kad;
komputer;
meja;
tugasan yang dibezakan dalam bentuk persembahan multimedia.

I. Menyemak kerja rumah.

1. Mendengar laporan pelajar tentang contoh penggunaan derivatif.

2. Pertimbangkan contoh penggunaan derivatif dalam fizik, kimia, teknologi dan industri lain yang dicadangkan oleh pelajar.

II. Kemas kini pengetahuan.

cikgu:

Takrifkan terbitan bagi suatu fungsi.
Apakah operasi yang dipanggil pembezaan?
Apakah peraturan pembezaan yang digunakan untuk mengira terbitan? (Pelajar dijemput ke dewan).
- terbitan jumlah;
- terbitan kerja;
- terbitan yang mengandungi faktor malar;
- terbitan hasil bagi;
- terbitan bagi fungsi kompleks;
Beri contoh tugasan yang diaplikasikan, membawa kepada konsep terbitan.

Beberapa masalah tertentu dari pelbagai bidang sains.

Tugas nombor 1. Jasad bergerak dalam garis lurus mengikut hukum x(t). Tuliskan formula untuk mencari kelajuan dan pecutan jasad pada masa t.

Tugas nombor 2. Jejari bulatan R berubah mengikut hukum R = 4 + 2t 2 . Tentukan kadar di mana kawasannya akan berubah. V momen t = 2 s. Jejari bulatan diukur dalam sentimeter. Jawapan: 603 cm 2 / s.

Tugas nombor 3. Titik bahan dengan jisim 5 kg bergerak dalam garis lurus mengikut hukum

S(t) = 2t+ , di mana S- jarak dalam meter t- masa dalam beberapa saat. Cari daya yang bertindak pada titik pada masa ini t = 4 s.

Jawapan: N.

Tugas nombor 4. Roda tenaga yang dipegang oleh brek berpusing ke belakang t s pada sudut 3t - 0.1t 2 (rad). Cari:

a) halaju sudut roda tenaga pada masa t = 7 Dengan;
b) pada titik masa apa roda tenaga akan berhenti.

Jawapan: a) 2.86; b) 150 s.

Contoh penggunaan derivatif juga boleh berfungsi sebagai tugas untuk mencari: haba tentu bahan badan tertentu, ketumpatan linear dan tenaga kinetik badan, dsb.

III. Memenuhi tugas yang berbeza.

Mereka yang ingin menyelesaikan tugas tahap "A" duduk di hadapan komputer dan melakukan ujian dengan jawapan yang diprogramkan. ( Permohonan. )

1. Cari nilai terbitan fungsi pada titik x 0 = 3.

2. Cari nilai terbitan bagi fungsi y \u003d xe x pada titik x 0 \u003d 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Selesaikan persamaan f / (x) \u003d 0 jika f (x) \u003d (3x 2 + 1) (3x 2 - 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Kira f / (1) jika f (x) = (x 2 + 1) (x 3 - x).

5. Cari nilai terbitan bagi fungsi f(t) = (t4 - 3)(t2 + 2) pada titik t0 = 1.

6. Titik bergerak secara rectilinear mengikut hukum: S(t) = t 3 - 3t 2 . Pilih formula yang menyatakan kelajuan pergerakan titik ini pada masa t.

1) t 2 - 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abnckbmcl9fb.xn--p1ai

Penggunaan derivatif dalam fizik, teknologi, biologi, kehidupan

Persembahan untuk pelajaran

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili tahap penuh pembentangan. Jika anda berminat kerja ini sila muat turun versi penuh.

Jenis pelajaran: bersepadu.

Tujuan pelajaran: mengkaji beberapa aspek aplikasi terbitan dalam pelbagai bidang fizik, kimia, biologi.

Tugasan: meluaskan ufuk dan aktiviti kognitif pelajar, pembangunan pemikiran logik dan keupayaan untuk menggunakan pengetahuan mereka.

Sokongan teknikal: papan interaktif; komputer dan cakera.

I. Detik organisasi

II. Menetapkan matlamat pelajaran

- Saya ingin menjalankan pelajaran di bawah moto Alexei Nikolaevich Krylov ahli matematik Soviet dan pembuat kapal: "Teori tanpa amalan adalah mati atau tidak berguna; amalan tanpa teori adalah mustahil atau merosakkan."

Mari kita semak semula konsep asas dan jawab soalan:

Apakah definisi asas bagi derivatif?
– Apakah yang anda tahu tentang terbitan (sifat, teorem)?
– Adakah anda tahu sebarang contoh masalah terbitan dalam fizik, matematik dan biologi?

Pertimbangan definisi asas derivatif dan justifikasinya (jawapan kepada soalan pertama):

Derivatif merupakan salah satu konsep asas matematik. Keupayaan untuk menyelesaikan masalah menggunakan derivatif memerlukan ilmu yang baik bahan teori keupayaan untuk menjalankan penyelidikan dalam pelbagai situasi.

Oleh itu, hari ini dalam pelajaran kita akan menyatukan dan sistematik pengetahuan yang diperoleh, mempertimbangkan dan menilai kerja setiap kumpulan dan, menggunakan contoh beberapa tugas, kita akan menunjukkan cara menggunakan derivatif untuk menyelesaikan masalah lain dan tugas bukan standard menggunakan derivatif.

III. Penjelasan bahan baru

1. Kuasa serta-merta ialah terbitan kerja berkenaan dengan masa:

W = lim ∆A/∆t ∆A – pertukaran kerja.

2. Jika badan berputar mengelilingi paksi, maka sudut putaran adalah fungsi masa t
Kemudian halaju sudut adalah sama dengan:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Kekuatan semasa ialah terbitan Ι = lim Δg/Δt = g′, di mana g- cas elektrik positif dipindahkan melalui keratan rentas konduktor dalam masa Δt.

4. Biarkan ∆Q ialah jumlah haba yang diperlukan untuk menukar suhu Δt masa, kemudian lim ΔQ/Δt = Q′ = C – haba tentu.

5. Masalah kadar tindak balas kimia

m(t) – m(t0) – jumlah bahan yang bertindak balas dari semasa ke semasa t0 sebelum ini t

V= lim ∆m/∆t = m ∆t → 0

6. Biarkan m ialah jisim bahan radioaktif. Kelajuan pereputan radioaktif: V = lim ∆m/∆t = m׳(t) ∆t→0

Dalam bentuk terbeza, hukum pereputan radioaktif mempunyai bentuk: dN/dt = – λN, di mana N ialah bilangan nukleus yang tidak mereput dari semasa ke semasa t.

Mengintegrasikan ungkapan ini, kita dapat: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const di t = 0 bilangan nukleus radioaktif N = N0, maka kami mempunyai: log N0 = const, oleh itu

n N = – λt + ln N0.

Mempotensikan ungkapan ini kita dapat:

ialah undang-undang pereputan radioaktif, di mana N0 ialah bilangan teras pada satu masa t0 = 0, N ialah bilangan nukleus yang tidak mereput dari semasa ke semasa t.

7. Menurut persamaan pemindahan haba Newton, kadar aliran haba dQ/dt adalah berkadar terus dengan luas tingkap S dan perbezaan suhu ΔT antara kaca dalam dan luar dan berkadar songsang dengan ketebalannya d:

dQ/dt =A S/d ∆T

8. Fenomena resapan ialah proses mewujudkan taburan keseimbangan

Dalam fasa penumpuan. Penyebaran pergi ke tepi, menyamakan kepekatan.

m = D ∆c/∆x c – penumpuan
m = D c׳x x - menyelaras, D- pekali resapan

9. Telah diketahui bahawa medan elektrik juga merangsang caj elektrik, atau medan magnet yang mempunyai satu punca - arus elektrik. James Clark Maxwell memperkenalkan satu pindaan kepada undang-undang elektromagnetisme yang ditemui sebelum beliau: medan magnet juga timbul apabila medan elektrik. Kecil pada pandangan pertama, pindaan itu mempunyai akibat yang besar: ia kelihatan, walaupun di hujung pena, ia benar-benar baru. objek fizikal – gelombang elektromagnet. Maxwell yang dimiliki secara mahir, berbeza dengan Faraday, yang nampaknya mungkin kewujudannya, menyimpulkan persamaan untuk medan elektrik:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Perubahan dalam medan elektrik menyebabkan penampilan medan magnet pada mana-mana titik dalam ruang, dengan kata lain, kadar perubahan medan elektrik menentukan magnitud medan magnet. Di bawah yang besar kejutan elektrik- medan magnet yang lebih besar.

IV. Penyatuan yang dikaji

– Kami mengkaji terbitan dan sifatnya. Saya ingin membaca kenyataan falsafah Gilbert: “Setiap orang mempunyai pandangan tertentu. Apabila ufuk ini mengecil kepada yang sangat kecil, ia bertukar menjadi satu titik. Kemudian orang itu mengatakan bahawa ini adalah pandangannya.
Mari kita cuba mengukur sudut pandangan terhadap aplikasi terbitan!

Plot "Daun"(aplikasi terbitan dalam biologi, fizik, kehidupan)

Pertimbangkan kejatuhan sebagai pergerakan tidak sekata bergantung pada masa.

Jadi: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Tinjauan teori: deria mekanikal terbitan).

1. Penyelesaian masalah

Selesaikan masalah sendiri.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Mari kita tulis undang-undang Porton II, dan mengambil kira makna mekanikal derivatif, kita akan menulis semula dalam bentuk: F = mV′ F = mS″

Plot "Wolves, Gophers"

Mari kita kembali kepada persamaan: Pertimbangkan persamaan pembezaan pertumbuhan eksponen dan penurunan: F = ma F = mV' F = mS"
Menyelesaikan banyak masalah fizik, biologi teknikal dan Sains Sosial dikurangkan kepada masalah mencari fungsi f"(x) = kf(x), memenuhi persamaan pembezaan, di mana k = const .

Formula Manusia

Seorang lelaki adalah berkali-kali lebih besar daripada atom kerana dia lebih kecil daripada bintang:

Oleh itu ia mengikutinya
Ini adalah formula yang menentukan tempat manusia di alam semesta. Selaras dengannya, dimensi seseorang mewakili perkadaran purata bintang dan atom.

Saya ingin mengakhiri pelajaran dengan kata-kata Lobachevsky: "Tidak ada satu pun bidang matematik, tidak kira betapa abstraknya, yang suatu hari nanti tidak akan terpakai kepada fenomena dunia nyata."

V. Penyelesaian nombor daripada koleksi:

Penyelesaian masalah bebas di papan tulis, analisis kolektif penyelesaian masalah:

№ 1 Cari kelajuan pergerakan titik material pada penghujung saat ke-3, jika pergerakan titik diberikan oleh persamaan s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Titik bergerak secara rectilinear mengikut hukum s = 6t – t^2. Pada titik manakah kelajuannya akan menjadi sifar?

№ 3 Dua jasad bergerak dalam garis lurus: satu mengikut undang-undang s \u003d t^3 - t^2 - 27t, satu lagi - mengikut undang-undang s \u003d t^2 + 1. Tentukan momen apabila kelajuan ini badan adalah sama.

№ 4 Untuk kereta yang bergerak pada kelajuan 30 m/s, jarak berhenti ditentukan oleh formula s(t) =30t-16t^2, di mana s(t) ialah jarak dalam meter, t ialah masa brek dalam saat . Berapa lama masa yang diambil untuk memecut noktah kereta? yang mana jarak akan berlalu kereta dari mula membrek hingga berhenti sepenuhnya?

№5 Sebuah jasad berjisim 8 kg bergerak dalam garis lurus mengikut hukum s = 2t^2+ 3t - 1. Cari tenaga kinetik badan (mv^2/2) 3 saat selepas permulaan pergerakan.

Penyelesaian: Cari kelajuan badan pada bila-bila masa:
V=ds/dt=4t+3
Kira kelajuan jasad pada masa t = 3:
V t \u003d 3 \u003d 4 * 3 + 3 \u003d 15 (m / s).
Mari kita tentukan tenaga kinetik badan pada masa t = 3:
mv2/2 = 8 - 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Cari tenaga kinetik jasad 4 s selepas permulaan gerakan, jika jisimnya ialah 25 kg, dan hukum gerakan ialah s = 3t^2-1.

№7 Sebuah jasad yang berjisim 30 kg bergerak dalam garis lurus mengikut hukum s = 4t^2 + t. Buktikan bahawa pergerakan badan berlaku di bawah tindakan daya malar.
Penyelesaian: Kami mempunyai s' = 8t + 1, s" = 8. Oleh itu, a(t) = 8 (m/s^2), iaitu, di bawah undang-undang pergerakan yang diberikan, jasad bergerak dengan pecutan berterusan 8 m/s^2. Selanjutnya, kerana jisim badan adalah malar (30 kg), maka, mengikut undang-undang kedua Newton, daya yang bertindak ke atasnya F = ma = 30 * 8 = 240 (H) juga merupakan nilai malar.

№8 Sebuah jasad berjisim 3 kg bergerak dalam garis lurus mengikut hukum s(t) = t^3 - 3t^2 + 2. Cari daya yang bertindak ke atas jasad itu pada masa t = 4s.

№9 Titik material bergerak mengikut hukum s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Cari pecutannya pada penghujung saat ke-3.

VI. Aplikasi terbitan dalam matematik:

Derivatif dalam matematik menunjukkan ungkapan angka tahap perubahan dalam kuantiti yang terletak pada titik yang sama di bawah pengaruh pelbagai keadaan.

Formula terbitan bermula sejak abad ke-15. Ahli matematik Itali yang hebat Tartaglia, mempertimbangkan dan mengembangkan soalan - berapa banyak julat peluru bergantung pada kecenderungan pistol - menggunakannya dalam tulisannya.

Formula terbitan sering dijumpai dalam karya ahli matematik terkenal abad ke-17. Ia digunakan oleh Newton dan Leibniz.

Ahli sains terkenal Galileo Galilei menumpukan keseluruhan risalah mengenai peranan terbitan dalam matematik. Kemudian derivatif dan pelbagai persembahan dengan aplikasinya mula ditemui dalam karya Descartes, ahli matematik Perancis Roberval dan Gregory orang Inggeris. Sumbangan besar kepada kajian derivatif telah dibuat oleh minda seperti Lopital, Bernoulli, Langrange dan lain-lain.

1. Plot dan teroka fungsi:

Penyelesaian kepada masalah ini:

Rehat seketika

VII. Aplikasi terbitan dalam fizik:

Apabila mengkaji proses dan fenomena tertentu, masalah sering timbul untuk menentukan kelajuan proses ini. Penyelesaiannya membawa kepada konsep derivatif, iaitu konsep asas kalkulus pembezaan.

Kaedah kalkulus pembezaan dicipta pada abad ke-17 dan ke-18. Nama dua ahli matematik yang hebat, I. Newton dan G.V. Leibniz.

Newton datang kepada penemuan kalkulus pembezaan apabila menyelesaikan masalah tentang kelajuan titik bahan masuk masa ini masa (kelajuan seketika).

Dalam fizik, derivatif digunakan terutamanya untuk mengira atau terbesar nilai terkecil sebarang kuantiti.

№1 Tenaga keupayaan U medan zarah di mana terdapat zarah lain, betul-betul sama mempunyai bentuk: U = a/r 2 – b/r, Di mana a Dan b adalah pemalar positif, r- jarak antara zarah. Cari: a) nilai r0 sepadan dengan kedudukan keseimbangan zarah; b) mengetahui sama ada keadaan ini stabil; V) Fmaks nilai daya tarikan; d) menggambarkan graf pergantungan anggaran U(r) Dan F(r).

Penyelesaian masalah ini: Untuk menentukan r0 sepadan dengan kedudukan keseimbangan zarah, kita menyiasat f = U(r) secara melampau.

Menggunakan pautan antara tenaga keupayaan padang

U Dan F, Kemudian F = -dU/dr, kita mendapatkan F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; di mana r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Keseimbangan stabil atau tidak stabil ditentukan oleh tanda terbitan kedua:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Pertimbangkan kes apabila pasir tumpah keluar dari platform yang diisi.
Perubahan momentum dalam tempoh masa yang singkat:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Jangka Δ µtu ialah momentum jumlah pasir yang tumpah keluar dari pelantar pada masa Δ t. Kemudian:
Δ p = MΔ u-µtΔ awak- Δ µtΔ u=FΔ t
Bahagikan dengan Δ t dan lulus ke had Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Ataupun a1= du/dt= F/(M – µt)

Jawapan: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Kerja bebas:

Cari derivatif fungsi:

Garis y \u003d 2x adalah tangen kepada fungsi: y \u003d x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Cari absis titik sentuhan.

IX. Merumuskan pelajaran:

- Apakah topik pelajaran?
- Apa yang anda pelajari di dalam kelas?
Apakah fakta teori yang diringkaskan dalam pelajaran?
– Apakah tugas yang paling sukar dipertimbangkan? kenapa?

Bibliografi:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Model matematik dan persamaan pembezaan. – Minsk: Sekolah siswazah, 1982. - 272p.
Amelkin V.V. Persamaan pembezaan dalam aplikasi. M.: Sains. Edisi utama kesusasteraan fizikal dan matematik, 1987. - 160p.
Erugin N.P. Buku untuk dibaca oleh kadar pertukaran umum persamaan pembezaan. - Minsk: Sains dan teknologi, 1979. - 744 p.
.Majalah "Potensi" November 2007 №11
"Algebra dan Permulaan Analisis" Gred 11 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov dan lain-lain.
"Algebra dan Analisis Matematik" N.Ya. Vilenkin dan lain-lain.
"Matematik" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

xn--i1abnckbmcl9fb.xn--p1ai

Makna fizikal terbitan. Tugas!

makna fizikal terbitan. PENGGUNAAN dalam matematik termasuk sekumpulan tugas untuk penyelesaian yang diperlukan pengetahuan dan pemahaman tentang makna fizikal terbitan. Khususnya, terdapat masalah di mana undang-undang gerakan diberikan titik tertentu(objek), dinyatakan oleh persamaan dan ia dikehendaki mencari kelajuannya pada masa tertentu dalam masa pergerakan, atau masa selepas itu objek akan memperoleh kelajuan tertentu. Tugas-tugasnya sangat mudah, ia diselesaikan dalam satu langkah. Jadi:

Biarkan hukum pergerakan bahan titik x (t) sepanjang paksi koordinat, di mana x ialah koordinat bagi titik bergerak, t ialah masa.

Halaju pada titik masa tertentu ialah terbitan koordinat berkenaan dengan masa. Ini adalah makna mekanikal terbitan.

Begitu juga, pecutan ialah terbitan kelajuan berkenaan dengan masa:

Oleh itu, makna fizikal terbitan ialah kelajuan. Ini boleh menjadi kelajuan pergerakan, kelajuan perubahan dalam proses (contohnya, pertumbuhan bakteria), kelajuan kerja (dan sebagainya, terdapat banyak tugas yang digunakan).

Di samping itu, anda perlu mengetahui jadual derivatif (anda perlu mengetahuinya serta jadual pendaraban) dan peraturan pembezaan. Khususnya, untuk menyelesaikan masalah yang dinyatakan, adalah perlu untuk mengetahui enam derivatif pertama (lihat jadual):

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

di mana x ialah jarak dari titik rujukan dalam meter, t ialah masa dalam saat yang diukur dari permulaan pergerakan. Cari kelajuannya (dalam meter sesaat) pada masa t = 5 s.

Maksud fizikal derivatif ialah kelajuan (kelajuan pergerakan, kelajuan perubahan proses, kelajuan kerja, dll.)

Mari kita cari hukum perubahan laju: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Titik bahan bergerak secara rectilinear mengikut hukum x (t) = 6t 2 - 48t + 17, di mana x- jarak dari titik rujukan dalam meter, t- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Cari kelajuannya (dalam meter sesaat) pada masa t = 9 s.

Titik bahan bergerak secara rectilinear mengikut hukum x (t) = 0.5t 3 - 3t 2 + 2t, di mana x- jarak dari titik rujukan dalam meter, t- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Cari kelajuannya (dalam meter sesaat) pada masa t = 6 s.

Titik material bergerak dalam garis lurus mengikut undang-undang

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

di mana x- jarak dari titik rujukan dalam meter, t- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Cari kelajuannya (dalam meter sesaat) pada masa t = 3 s.

Titik material bergerak dalam garis lurus mengikut undang-undang

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

di mana x ialah jarak dari titik rujukan dalam meter, t ialah masa dalam saat yang diukur dari permulaan pergerakan. Pada titik masa (dalam saat) apakah kelajuannya bersamaan dengan 6 m/s?

Mari kita cari hukum perubahan kelajuan:

Untuk mengetahui pada masa yang mana t kelajuan adalah sama dengan 3 m / s, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan:

Titik material bergerak dalam garis lurus mengikut hukum x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, di mana x- jarak dari titik rujukan dalam meter, t- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Pada titik masa (dalam saat) apakah kelajuannya bersamaan dengan 3 m/s?

Titik material bergerak dalam garis lurus mengikut undang-undang

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

di mana x- jarak dari titik rujukan dalam meter, t- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Pada titik masa (dalam saat) apakah kelajuannya bersamaan dengan 2 m/s?

Saya perhatikan bahawa memberi tumpuan hanya pada jenis tugasan ini pada peperiksaan tidak berbaloi. Mereka secara tidak dijangka boleh memperkenalkan tugasan songsang kepada yang dibentangkan. Apabila undang-undang perubahan kelajuan diberikan, persoalan mencari hukum gerakan akan dibangkitkan.

Petunjuk: dalam kes ini, anda perlu mencari integral fungsi kelajuan (ini juga tugas dalam satu tindakan). Jika anda perlu mencari jarak yang dilalui untuk titik masa tertentu, maka anda perlu menggantikan masa dalam persamaan yang terhasil dan mengira jarak. Walau bagaimanapun, kami juga akan menganalisis tugas sedemikian, jangan ketinggalan! Semoga anda berjaya!

matematikalegko.ru

Algebra dan permulaan analisis matematik, Gred 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Nombor muka surat 094.

Buku teks:

Versi OCR halaman daripada tutorial (teks halaman di atas):

Seperti berikut daripada perkara di atas perenggan ini masalah, pernyataan berikut adalah benar:

1. Jika pada gerakan rectilinear laluan s yang dilalui oleh titik ialah fungsi masa t, iaitu s = f(t), maka kelajuan titik ialah terbitan laluan berkenaan dengan masa, iaitu v(t) =

Fakta ini menyatakan makna mekanikal terbitan.

2. Jika pada titik x 0 tangen dilukis pada graf fungsi y \u003d f (jc), maka nombor f "(xo) ialah tangen sudut a antara tangen ini dan arah positif bagi Paksi lembu, iaitu /" (x 0) \u003d

Tga. Sudut ini dipanggil sudut kecondongan tangen.

Fakta ini menyatakan deria geometri terbitan.

CONTOH 3. Mari cari tangen bagi cerun tangen kepada graf fungsi y \u003d 0.5jc 2 - 2x + 4 pada titik dengan abscissa x \u003d 0.

Cari terbitan bagi fungsi f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 pada sebarang titik x menggunakan kesamaan (2):

0.5 2 x - 2 = jc - 2.

Mari kita hitung nilai terbitan ini pada titik x = 0:

Oleh itu, tga = -2. Graf x bagi fungsi y \u003d / (jc) dan tangen kepada grafnya pada titik dengan abscissa jc \u003d 0 ditunjukkan dalam Rajah 95.

4.1 Biarkan titik bergerak secara rectilinear mengikut hukum s = t 2 . Cari:

a) kenaikan masa Д£ pada selang masa dari t x \u003d 1 hingga £ 2 - 2;

b) kenaikan laluan Seperti pada selang masa dari t x = 1 hingga t 2 = 2;

V) kelajuan purata pada selang masa dari t x \u003d 1 hingga t 2 \u003d 2.

4.2 Dalam tugasan 4.1 cari:

b) kelajuan purata sepanjang selang masa dari t ke t + At;

V) kelajuan serta merta pada masa t;

d) kelajuan serta-merta pada masa t = 1.

4.3 Biarkan titik bergerak secara rectilinear mengikut undang-undang:

1) s = 3t + 5; 2) s \u003d t 2 - bt.

a) kenaikan laluan As pada selang masa dari t ke t + At;

Buku teks: Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 11: buku teks. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - ed ke-8 - M.: Pendidikan, 2009. - 464 p.: sakit.

Makna fizikal terbitan. PENGGUNAAN dalam matematik termasuk sekumpulan tugas untuk penyelesaian yang diperlukan pengetahuan dan pemahaman tentang makna fizikal terbitan. Khususnya, terdapat tugas di mana hukum gerakan titik tertentu (objek) diberikan, dinyatakan oleh persamaan, dan ia diperlukan untuk mencari kelajuannya pada saat tertentu dalam masa pergerakan, atau masa selepas objek itu. memperoleh kelajuan tertentu.Tugas-tugasnya sangat mudah, ia diselesaikan dalam satu langkah. Jadi:

Biarkan hukum pergerakan titik bahan x (t) di sepanjang paksi koordinat diberikan, dengan x ialah koordinat bagi titik bergerak, t ialah masa.

Halaju pada titik masa tertentu ialah terbitan koordinat berkenaan dengan masa. Ini adalah makna mekanikal terbitan.

Begitu juga, pecutan ialah terbitan kelajuan berkenaan dengan masa:

Pertimbangkan tugas:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

di mana x t ialah masa dalam saat yang diukur dari permulaan pergerakan. Cari kelajuannya (dalam meter sesaat) pada masa t = 5 s.

Maksud fizikal derivatif ialah kelajuan (kelajuan pergerakan, kelajuan perubahan proses, kelajuan kerja, dll.)

Mari kita cari hukum perubahan laju: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Untuk t = 5 kita ada:

Jawapan: 3

Tentukan sendiri:

Titik bahan bergerak secara rectilinear mengikut hukum x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t, di mana xt- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Cari kelajuannya (dalam meter sesaat) pada masa t = 6 s.

Titik material bergerak dalam garis lurus mengikut undang-undang

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

di mana x- jarak dari titik rujukan dalam meter,t- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Cari kelajuannya (dalam meter sesaat) pada masa t = 3 s.

Titik material bergerak dalam garis lurus mengikut undang-undang

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

di mana x ialah jarak dari titik rujukan dalam meter, t ialah masa dalam saat yang diukur dari permulaan pergerakan. Pada titik masa (dalam saat) apakah kelajuannya bersamaan dengan 6 m/s?

Mari kita cari hukum perubahan kelajuan:

Untuk mengetahui pada masa yang manatkelajuan adalah sama dengan 3 m / s, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan:

Jawapan: 3

Tentukan sendiri:

Titik material bergerak dalam garis lurus mengikut undang-undang

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

di mana x- jarak dari titik rujukan dalam meter, t- masa dalam beberapa saat, diukur dari permulaan pergerakan. Pada titik masa (dalam saat) apakah kelajuannya bersamaan dengan 2 m/s?

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu tentang laman web dalam rangkaian sosial.

Titik bergerak dalam garis lurus mengikut undang-undang S \u003d t 4 +2t (S - dalam meter t- dalam beberapa saat). Cari purata pecutannya antara momen t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, serta pecutan sebenar pada masa ini t 3 = 6 s.

Penyelesaian.

1. Cari kelajuan titik sebagai terbitan bagi laluan S berkenaan dengan masa t, mereka.

2. Menggantikan bukannya t nilainya t 1 \u003d 5 s dan t 2 \u003d 7 s, kita dapati kelajuan:

V 1 \u003d 4 5 3 + 2 \u003d 502 m / s; V 2 \u003d 4 7 3 + 2 \u003d 1374 m / s.

3. Tentukan kenaikan kelajuan ΔV sepanjang masa Δt = 7 - 5 = 2 s:

ΔV \u003d V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Oleh itu, purata pecutan titik akan sama dengan

5. Untuk menentukan nilai sebenar pecutan titik, kita mengambil terbitan kelajuan berkenaan dengan masa:

6. Menggantikan sebaliknya t nilai t 3 \u003d 6 s, kita mendapat pecutan pada masa ini

a cf \u003d 12-6 3 \u003d 432 m / s 2.

pergerakan melengkung. Pada gerakan melengkung kelajuan titik berubah dalam magnitud dan arah.

Bayangkan satu titik M, yang pada masa Δt, bergerak bersama beberapa lintasan curvilinear, telah berpindah ke jawatan M 1(Gamb. 6).

Vektor kenaikan (perubahan) halaju ΔV kehendak

Untuk mencari vektor ΔV kita gerakkan vektor V 1 ke titik M dan bina segitiga laju. Mari kita tentukan vektor pecutan purata:

vektor perkahwinan adalah selari dengan vektor ΔV, sejak membahagikan vektor dengan nilai skalar arah vektor tidak berubah. Vektor pecutan sebenar ialah had yang nisbah vektor halaju kepada selang masa yang sepadan Δt cenderung kepada sifar, i.e.

Had sedemikian dipanggil derivatif vektor.

Oleh itu, pecutan sebenar sesuatu titik semasa gerakan lengkung adalah sama dengan terbitan vektor berkenaan dengan halaju.

Daripada rajah. 6 menunjukkan bahawa vektor pecutan semasa gerakan lengkung sentiasa menghala ke arah lekuk lintasan.

Untuk kemudahan pengiraan, pecutan diuraikan kepada dua komponen kepada trajektori gerakan: secara tangen, dipanggil pecutan tangen (tangensial). A, dan sepanjang normal, dipanggil pecutan normal a n (Rajah 7).

Dalam kes ini, jumlah pecutan adalah

Pecutan tangen bertepatan dalam arah dengan kelajuan titik atau bertentangan dengannya. Ia mencirikan perubahan dalam nilai halaju dan, dengan itu, ditentukan oleh formula

Pecutan normal adalah berserenjang dengan arah halaju titik, dan nilai berangkanya ditentukan oleh formula

di mana r - jejari kelengkungan trajektori pada titik yang dipertimbangkan.

Oleh kerana pecutan tangen dan normal adalah saling berserenjang, oleh itu, magnitud jumlah pecutan ditentukan oleh formula

dan arahnya

Jika , maka vektor pecutan tangen dan halaju diarahkan ke arah yang sama dan pergerakan akan dipercepatkan.

Jika , maka vektor pecutan tangen diarahkan ke arah yang bertentangan dengan vektor halaju, dan pergerakan akan menjadi perlahan.

vektor pecutan biasa sentiasa diarahkan ke arah pusat kelengkungan, oleh itu ia dipanggil sentripetal.