Bentuk kuadratik pasti positif

Definisi. Bentuk kuadratik daripada n tidak diketahui dipanggil pasti positif, jika pangkatnya sama dengan indeks inersia positif dan sama dengan bilangan yang tidak diketahui.

Teorem. Bentuk kuadratik adalah pasti positif jika dan hanya jika ia mengambil nilai positif pada mana-mana set bukan sifar nilai pembolehubah.

Bukti. Biarkan bentuk kuadratik menjadi penjelmaan linear tidak merosot bagi yang tidak diketahui

kembali normal

.

Untuk mana-mana set bukan sifar nilai pembolehubah, sekurang-kurangnya satu daripada nombor berbeza daripada sifar, i.e. . Keperluan teorem dibuktikan.

Andaikan bahawa bentuk kuadratik mengambil nilai positif pada mana-mana set pembolehubah bukan sifar, tetapi indeks inersianya adalah positif. Dengan transformasi linear yang tidak merosot bagi yang tidak diketahui

Mari kita kembalikan seperti biasa. Tanpa kehilangan keluasan, kita boleh mengandaikan bahawa dalam bentuk biasa ini kuasa dua pembolehubah terakhir sama ada tidak hadir atau memasukinya dengan tanda tolak, i.e. , di mana atau . Katakan itu adalah set bukan sifar nilai pembolehubah, yang diperolehi hasil daripada menyelesaikan sistem persamaan linear

Dalam sistem ini, bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah dan penentu sistem adalah bukan sifar. Dengan teorem Cramer, sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan ia bukan sifar. Untuk set ini. Percanggahan dengan syarat. Kami tiba pada percanggahan dengan andaian, yang membuktikan kecukupan teorem.

Dengan menggunakan kriteria ini, tidak mungkin untuk menentukan daripada pekali sama ada bentuk kuadratik adalah pasti positif. Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem lain, untuk perumusannya kami memperkenalkan satu lagi konsep. Matriks Pepenjuru Utama Kecil ialah kanak-kanak bawah umur yang terletak di sudut kiri atasnya:

, , , … , .

Teorem.Bentuk kuadratik adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor pepenjuru utamanya adalah positif.

Bukti kami akan menjalankan dengan kaedah induksi matematik lengkap pada nombor n pembolehubah bentuk kuadratik f.

Hipotesis aruhan. Andaikan bahawa untuk bentuk kuadratik dengan pembolehubah yang lebih sedikit n pernyataan itu betul.

Pertimbangkan bentuk kuadratik daripada n pembolehubah. Kumpulkan dalam satu kurungan semua istilah yang mengandungi . Selebihnya membentuk bentuk kuadratik dalam pembolehubah. Dengan hipotesis induksi, pernyataan itu adalah benar untuknya.

Andaikan bahawa bentuk kuadratik adalah pasti positif. Kemudian bentuk kuadratik juga pasti positif. Jika kita menganggap bahawa ini tidak berlaku, maka terdapat set bukan sifar nilai pembolehubah , untuk yang mana dan sepadan, , yang bercanggah dengan fakta bahawa bentuk kuadratik adalah pasti positif. Dengan hipotesis aruhan, semua minor pepenjuru utama bentuk kuadratik adalah positif, i.e. semua anak bawah umur utama pertama dalam bentuk kuadratik f adalah positif. minor utama terakhir bagi bentuk kuadratik – ialah penentu matriksnya. Penentu ini adalah positif, kerana tandanya bertepatan dengan tanda matriks bentuk normalnya, i.e. dengan tanda penentu matriks identiti.

Biarkan semua minor pepenjuru utama bentuk kuadratik adalah positif. Kemudian semua minor pepenjuru utama bentuk kuadratik adalah positif daripada kesamaan . Dengan hipotesis aruhan, bentuk kuadratik adalah pasti positif, jadi terdapat transformasi linear tidak merosot bagi pembolehubah yang mengurangkan bentuk kepada bentuk jumlah kuasa dua pembolehubah baru. Penjelmaan linear ini boleh dilanjutkan kepada penjelmaan linear tidak merosot bagi semua pembolehubah dengan menetapkan . Bentuk kuadratik dikurangkan dengan penjelmaan ini kepada bentuk

Bentuk segi empat sama.
Kepentingan borang. Kriteria Sylvester

Kata sifat "persegi" dengan serta-merta menunjukkan bahawa sesuatu di sini disambungkan dengan segi empat sama (darjah kedua), dan tidak lama lagi kita akan mengetahui "sesuatu" ini dan apakah bentuk itu. Keluar terus :)

Selamat datang ke pelajaran baru saya, dan sebagai pemanasan segera, kita akan melihat bentuk berjalur linear. Bentuk linear pembolehubah dipanggil homogen polinomial darjah 1:

- beberapa nombor tertentu * (kami menganggap bahawa sekurang-kurangnya satu daripadanya berbeza daripada sifar), dan merupakan pembolehubah yang boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya.

* Dalam topik ini, kami hanya akan mempertimbangkan nombor nyata .

Kita telah pun menemui istilah "homogen" dalam pelajaran tentang sistem persamaan linear homogen, dan dalam kes ini ia membayangkan bahawa polinomial tidak mempunyai pemalar tambahan.

Sebagai contoh: – bentuk linear dua pembolehubah

Sekarang bentuknya adalah kuadratik. bentuk kuadratik pembolehubah dipanggil homogen polinomial darjah 2, setiap istilah yang mengandungi sama ada kuasa dua pembolehubah atau berganda hasil darab pembolehubah. Jadi, sebagai contoh, bentuk kuadratik dua pembolehubah mempunyai bentuk berikut:

Perhatian! Ini adalah entri standard, dan anda tidak perlu mengubah apa-apa di dalamnya! Walaupun rupa "mengerikan", semuanya mudah di sini - subskrip berganda pemalar memberi isyarat pembolehubah yang disertakan dalam satu atau istilah lain:
– istilah ini mengandungi produk dan (persegi);
- inilah kerjanya;
- dan inilah kerjanya.

- Saya segera menjangkakan kesilapan besar apabila mereka kehilangan "tolak" pekali, tanpa menyedari bahawa ia merujuk kepada istilah:

Kadang-kadang terdapat versi "sekolah" reka bentuk dalam semangat, tetapi kemudian hanya kadang-kadang. Ngomong-ngomong, ambil perhatian bahawa pemalar di sini tidak memberitahu kami apa-apa sama sekali, dan oleh itu lebih sukar untuk mengingati "notasi mudah". Terutama apabila terdapat lebih banyak pembolehubah.

Dan bentuk kuadratik tiga pembolehubah sudah mengandungi enam istilah:

... mengapa "dua" pengganda dimasukkan ke dalam istilah "campuran"? Ini mudah, dan ia akan menjadi jelas mengapa.

Walau bagaimanapun, kami akan menulis formula umum, adalah mudah untuk mengaturnya dengan "helaian":

- teliti setiap baris - tiada salahnya!

Bentuk kuadratik mengandungi sebutan dengan pembolehubah kuasa dua dan sebutan dengan hasil pasangannya (cm. formula gabungan gabungan) . Tiada apa-apa lagi - tiada "x kesepian" dan tiada pemalar tambahan (maka anda tidak mendapat bentuk kuadratik, tetapi heterogen polinomial darjah 2).

Tatatanda matriks bentuk kuadratik

Bergantung pada nilai, bentuk yang dipertimbangkan boleh mengambil kedua-dua nilai positif dan negatif, dan perkara yang sama berlaku untuk mana-mana bentuk linear - jika sekurang-kurangnya satu daripada pekalinya bukan sifar, maka ia boleh berubah menjadi positif atau negatif (bergantung kepada pada nilai).

Borang ini dipanggil berselang seli. Dan jika semuanya telus dengan bentuk linear, maka perkara lebih menarik dengan bentuk kuadratik:

Agak jelas bahawa borang ini boleh mengambil nilai mana-mana tanda, oleh itu, bentuk kuadratik juga boleh berselang-seli.

Ia mungkin bukan:

– sentiasa, melainkan kedua-duanya sama dengan sifar.

- untuk sesiapa vektor kecuali sifar.

Dan secara umum, jika ada bukan sifar vektor , , maka bentuk kuadratik dipanggil pasti positif; jika - maka pasti negatif.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi kepastian bentuk kuadratik hanya dapat dilihat dalam contoh mudah, dan keterlihatan ini sudah hilang dengan sedikit komplikasi:
– ?

Seseorang mungkin menganggap bahawa bentuk itu ditakrifkan secara positif, tetapi adakah ia benar-benar begitu? Tiba-tiba terdapat nilai di mana ia kurang daripada sifar?

Pada akaun ini, ada teorem: saya jatuh nilai eigen matriks bentuk kuadratik adalah positif * , maka ia ditakrifkan secara positif. Jika semua negatif, maka negatif.

* Dibuktikan dalam teori bahawa semua nilai eigen bagi matriks simetri sebenar sah

Mari kita tulis matriks bentuk di atas:
dan daripada persamaan jom cari dia nilai eigen:

Kami menyelesaikan yang lama yang baik persamaan kuadratik:

, jadi borang ditakrifkan secara positif, i.e. untuk mana-mana nilai bukan sifar, ia lebih besar daripada sifar.

Kaedah yang dipertimbangkan nampaknya berfungsi, tetapi ada satu TETAPI yang besar. Sudah untuk matriks "tiga dengan tiga", mencari nilai eigen adalah tugas yang panjang dan tidak menyenangkan; dengan kebarangkalian tinggi anda mendapat polinomial darjah ke-3 dengan punca tidak rasional.

Bagaimana untuk menjadi? Ada cara yang lebih mudah!

Kriteria Sylvester

Tidak, bukan Sylvester Stallone :) Pertama, izinkan saya mengingatkan anda apa kanak-kanak bawah umur sudut matriks. ini penentu yang "tumbuh" dari sudut kiri atasnya:

dan yang terakhir adalah betul-betul sama dengan penentu matriks.

Sekarang, sebenarnya, kriteria:

1) Bentuk kuadratik ditakrifkan secara positif jika dan hanya jika SEMUA minor sudutnya lebih besar daripada sifar: .

2) Bentuk kuadratik ditakrifkan negatif jika dan hanya jika kecil sudutnya berselang-seli dalam tanda, manakala minor 1 kurang daripada sifar: , , jika genap atau , jika ganjil.

Jika sekurang-kurangnya satu sudut kecil mempunyai tanda yang bertentangan, maka bentuknya berselang seli. Jika kanak-kanak bawah umur bersudut adalah tanda "itu", tetapi terdapat sifar di antara mereka, maka ini adalah kes khas, yang akan saya analisis sedikit kemudian, selepas kita mengklik pada contoh yang lebih biasa.

Marilah kita menganalisis minor sudut matriks :

Dan ini segera memberitahu kita bahawa borang itu tidak ditentukan secara negatif.

Pengeluaran: semua sudut kecil lebih besar daripada sifar, jadi bentuknya ditakrifkan secara positif.

Adakah terdapat perbezaan dengan kaedah nilai eigen? ;)

Kami menulis matriks bentuk daripada Contoh 1:

kecil sudut pertamanya, dan yang kedua , dari mana ia berikutan bahawa borang itu berselang-seli, i.e. bergantung kepada nilai, boleh mengambil kedua-dua nilai positif dan negatif. Walau bagaimanapun, ini sangat jelas.

Ambil borang dan matriksnya daripada Contoh 2:

di sini sama sekali tanpa wawasan untuk tidak memahami. Tetapi dengan kriteria Sylvester, kami tidak peduli:
, maka bentuknya pastinya tidak negatif.

, dan pastinya tidak positif. (kerana semua sudut bawah mesti positif).

Pengeluaran: bentuknya berselang seli.

Contoh memanaskan badan untuk menyelesaikan diri:

Contoh 4

Menyiasat bentuk kuadratik untuk kepastian tanda

a)

Dalam contoh ini, semuanya lancar (lihat akhir pelajaran), tetapi sebenarnya, untuk menyelesaikan tugas sedemikian Kriteria Sylvester mungkin tidak mencukupi.

Maksudnya ialah terdapat kes "sempadan", iaitu: jika ada bukan sifar vektor , maka bentuknya ditentukan bukan negatif, jika - maka tidak positif. Borang-borang ini mempunyai bukan sifar vektor yang .

Di sini anda boleh membawa "butang akordion" seperti itu:

Menyerlahkan persegi penuh, kita segera lihat bukan negatif form: , lebih-lebih lagi, ia sama dengan sifar untuk mana-mana vektor dengan koordinat yang sama, sebagai contoh: .

Contoh "Cermin". tidak positif bentuk tertentu:

dan contoh yang lebih remeh:
– di sini borang adalah sama dengan sifar untuk mana-mana vektor , di mana ialah nombor arbitrari.

Bagaimana untuk mendedahkan bukan negatif atau tidak positif sesuatu borang?

Untuk ini kita memerlukan konsep bawah umur major matriks. Kecil utama ialah minor yang terdiri daripada unsur-unsur yang berada di persimpangan baris dan lajur dengan nombor yang sama. Jadi, matriks mempunyai dua minor utama dari urutan pertama:
(elemen berada di persimpangan baris pertama dan lajur pertama);
(elemen berada di persimpangan baris ke-2 dan lajur ke-2),

dan satu major 2nd order minor:
- terdiri daripada unsur-unsur baris 1, 2 dan 1, 2 lajur.

Matriks "tiga dengan tiga" Terdapat tujuh kanak-kanak bawah umur utama, dan di sini anda sudah perlu melambai bisep anda:
- tiga kanak-kanak bawah umur daripada perintah pertama,
tiga kanak-kanak bawah umur daripada perintah ke-2:
- terdiri daripada unsur-unsur baris ke-1, ke-2 dan ke-1, lajur ke-2;
- terdiri daripada unsur-unsur baris 1, 3 dan 1, 3 lajur;
- terdiri daripada unsur-unsur baris ke-2, ke-3 dan ke-2, lajur ke-3,
dan satu pesanan ketiga kecil:
- terdiri daripada unsur-unsur baris 1, 2, 3 dan 1, 2 dan 3 lajur.
Tugas untuk pemahaman: tulis semua minor utama matriks .
Kami menyemak pada akhir pelajaran dan meneruskan.

Kriteria Schwarzenegger:

1) Bentuk kuadratik bukan sifar* ditakrifkan bukan negatif jika dan hanya jika SEMUA kanak-kanak bawah umur utamanya bukan negatif(lebih besar daripada atau sama dengan sifar).

* Bentuk kuadratik sifar (merosot) mempunyai semua pekali sama dengan sifar.

2) Bentuk kuadratik bukan sifar dengan matriks ditakrifkan tidak positif jika dan hanya jika ia:
– kanak-kanak bawah umur utama perintah pertama tidak positif(kurang daripada atau sama dengan sifar);
adalah kanak-kanak bawah umur utama daripada perintah ke-2 bukan negatif;
– kanak-kanak bawah umur utama daripada perintah ke-3 tidak positif(bergantian telah bermula);
…
– minor major bagi perintah ke- tidak positif, jika ganjil atau bukan negatif, jika genap.

Jika sekurang-kurangnya seorang di bawah umur adalah daripada tanda yang berlawanan, maka borang tersebut adalah berselang-seli.

Mari lihat bagaimana kriteria berfungsi dalam contoh di atas:

Mari kita buat matriks bentuk, dan terutamanya mari kita mengira sudut bawah umur - bagaimana jika ia ditakrifkan secara positif atau negatif?

Nilai yang diperolehi tidak memenuhi kriteria Sylvester, bagaimanapun, minor kedua bukan negatif, dan ini menjadikannya perlu untuk menyemak kriteria ke-2 (dalam kes kriteria ke-2, ia tidak akan dipenuhi secara automatik, iaitu, kesimpulan dibuat dengan serta-merta mengenai penggantian tanda borang).

Kanak-kanak bawah umur utama daripada perintah pertama:
- adalah positif
pesanan ke-2 major minor:
- tidak negatif.

Oleh itu, SEMUA minor major adalah bukan negatif, jadi bentuknya bukan negatif.

Mari kita tulis matriks borang , yang jelas sekali, kriteria Sylvester tidak berpuas hati. Tetapi kami juga tidak menerima tanda yang bertentangan (kerana kedua-dua sudut bawah umur adalah sama dengan sifar). Oleh itu, kami menyemak pemenuhan kriteria bukan negatif / tidak positif. Kanak-kanak bawah umur utama daripada perintah pertama:
- tidak positif
pesanan ke-2 major minor:
- tidak negatif.

Oleh itu, mengikut kriteria Schwarzenegger (titik 2), bentuk ditentukan secara tidak positif.

Kini, bersenjata lengkap, kami akan menganalisis masalah yang lebih menghiburkan:

Contoh 5

Periksa bentuk kuadratik untuk kepastian tanda

Bentuk ini dihiasi dengan susunan "alfa", yang boleh sama dengan mana-mana nombor nyata. Tetapi ia hanya akan menjadi lebih menyeronokkan memutuskan.

Mula-mula, mari kita tuliskan matriks borang, mungkin ramai yang telah menyesuaikan diri untuk melakukannya secara lisan: pada pepenjuru utama kami meletakkan pekali di segi empat sama, dan di tempat simetri - separuh pekali produk "campuran" yang sepadan:

Mari kita hitung minor sudut:

Saya akan mengembangkan penentu ketiga di sepanjang baris ke-3:

Bentuk kuadratik ialah polinomial homogen darjah ke-2 dalam beberapa pembolehubah.

Bentuk kuadratik dalam pembolehubah terdiri daripada sebutan dua jenis: kuasa dua pembolehubah dan hasil berpasangan mereka dengan beberapa pekali. Adalah lazim untuk menulis bentuk kuadratik dalam bentuk skema persegi berikut:

Pasangan sebutan yang serupa ditulis dengan pekali yang sama, supaya setiap satu daripadanya adalah separuh daripada pekali hasil darab yang sepadan bagi pembolehubah. Oleh itu, setiap bentuk kuadratik secara semula jadi dikaitkan dengan matriks pekalinya, iaitu simetri.

Ia juga mudah untuk mewakili bentuk kuadratik dalam tatatanda matriks berikut. Nyatakan dengan X lajur pembolehubah dengan X - satu baris, iaitu, matriks yang ditranspose dengan X. Kemudian

Bentuk kuadratik terdapat dalam banyak cabang matematik dan aplikasinya.

Dalam teori nombor dan kristalografi, bentuk kuadratik dianggap di bawah andaian bahawa pembolehubah hanya mengambil nilai integer. Dalam geometri analitik, bentuk kuadratik adalah sebahagian daripada persamaan lengkung (atau permukaan) susunan. Dalam mekanik dan fizik, bentuk kuadratik nampaknya menyatakan tenaga kinetik sistem dari segi komponen halaju umum, dsb. Tetapi, sebagai tambahan, kajian bentuk kuadratik juga perlu dalam analisis apabila mengkaji fungsi banyak pembolehubah, dalam soalan untuk penyelesaian yang penting untuk mengetahui bagaimana fungsi yang diberikan di sekitar titik yang diberikan menyimpang daripada fungsi linear yang menghampirinya. Contoh masalah jenis ini ialah kajian fungsi untuk maksimum dan minimum.

Pertimbangkan, sebagai contoh, masalah meneroka maksimum dan minimum untuk fungsi dua pembolehubah yang mempunyai terbitan separa berterusan sehingga tertib. Syarat yang diperlukan untuk titik memberikan maksimum atau minimum fungsi ialah kesamaan kepada sifar terbitan separa susunan pada titik tersebut. Mari kita andaikan bahawa syarat ini dipenuhi. Kami memberikan pembolehubah x dan y kenaikan kecil dan k dan mempertimbangkan kenaikan yang sepadan bagi fungsi tersebut. Menurut formula Taylor, kenaikan ini, sehingga tertib yang lebih tinggi kecil, adalah sama dengan bentuk kuadratik di mana nilai kedua derivatif dikira pada titik Jika bentuk kuadratik ini positif untuk semua nilai dan k (kecuali fungsi mempunyai minimum pada satu titik; jika ia negatif, maka ia mempunyai maksimum. Akhirnya, jika bentuk mengambil kedua-dua nilai positif dan negatif, maka tidak akan ada maksimum atau minimum. Fungsi bilangan pembolehubah yang lebih besar dikaji dengan cara yang sama.

Kajian bentuk kuadratik terutamanya terdiri dalam kajian masalah kesetaraan bentuk berkenaan dengan satu atau satu set transformasi linear pembolehubah. Dua bentuk kuadratik dikatakan setara jika satu daripadanya boleh diterjemahkan kepada yang lain melalui salah satu daripada penjelmaan set yang diberikan. Berkait rapat dengan masalah kesetaraan ialah masalah pengurangan bentuk, iaitu. menukarnya kepada beberapa bentuk yang mungkin paling mudah.

Dalam pelbagai soalan yang berkaitan dengan bentuk kuadratik, pelbagai set transformasi boleh diterima pembolehubah juga dipertimbangkan.

Dalam persoalan analisis, sebarang transformasi bukan tunggal bagi pembolehubah digunakan; Untuk tujuan geometri analitik, transformasi ortogon adalah yang paling diminati, iaitu, yang sepadan dengan peralihan daripada satu sistem pembolehubah koordinat Cartesan kepada yang lain. Akhir sekali, dalam teori nombor dan dalam kristalografi, transformasi linear dengan pekali integer dan dengan penentu sama dengan satu dipertimbangkan.

Kami akan mempertimbangkan dua daripada masalah ini: persoalan mengurangkan bentuk kuadratik kepada bentuk termudah melalui sebarang penjelmaan bukan tunggal, dan soalan yang sama untuk penjelmaan ortogon. Pertama sekali, mari kita ketahui bagaimana matriks bentuk kuadratik diubah di bawah transformasi linear pembolehubah.

Katakan , di mana A ialah matriks simetri bagi pekali bentuk, X ialah lajur pembolehubah.

Mari kita buat transformasi linear pembolehubah, menulisnya dalam bentuk singkatan . Di sini C menandakan matriks pekali penjelmaan ini, X ialah lajur pembolehubah baharu. Kemudian dan seterusnya, supaya matriks bentuk kuadratik yang diubah ialah

Matriks secara automatik bertukar menjadi simetri, yang mudah disahkan. Oleh itu, masalah mengurangkan bentuk kuadratik kepada bentuk termudah adalah bersamaan dengan masalah mengurangkan matriks simetri kepada bentuk termudah dengan mendarabnya dari kiri dan kanan dengan matriks saling bertukar.

Bentuk kuadratik

bentuk kuadratik f(x 1, x 2,..., x n) daripada n pembolehubah dipanggil jumlah, setiap sebutan adalah sama ada kuasa dua salah satu pembolehubah, atau hasil darab dua pembolehubah berbeza, diambil dengan pekali tertentu: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matriks A, yang terdiri daripada pekali ini, dipanggil matriks bentuk kuadratik. Ia sentiasa simetri matriks (iaitu, matriks simetri tentang pepenjuru utama, a ij = a ji).

Dalam tatatanda matriks, bentuk kuadratik mempunyai bentuk f(X) = X T AX, di mana

Sesungguhnya

Sebagai contoh, mari kita tulis bentuk kuadratik dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kita mencari matriks bentuk kuadratik. Unsur pepenjurunya adalah sama dengan pekali pada segi empat sama pembolehubah, dan unsur yang selebihnya adalah sama dengan separuh daripada pekali sepadan bentuk kuadratik. sebab tu

Biarkan lajur-matriks bagi pembolehubah X diperoleh dengan penjelmaan linear tidak merosot bagi lajur-matriks Y, i.e. X = CY, dengan C ialah matriks tidak merosot tertib n. Kemudian bentuk kuadratik
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Oleh itu, di bawah penjelmaan linear tidak merosot C, matriks bentuk kuadratik mengambil bentuk: A * = C T AC.

Sebagai contoh, mari kita cari bentuk kuadratik f(y 1, y 2) yang diperoleh daripada bentuk kuadratik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 dengan penjelmaan linear.

Bentuk kuadratik dipanggil berkanun(Ia ada pandangan kanonik) jika semua pekalinya a ij = 0 untuk i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Matriksnya adalah pepenjuru.

Teorem(buktinya tidak diberikan di sini). Mana-mana bentuk kuadratik boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik menggunakan penjelmaan linear tidak merosot.

Sebagai contoh, mari kita kurangkan kepada bentuk kanonik bentuk kuadratik
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, mula-mula pilih petak penuh untuk pembolehubah x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sekarang kita pilih petak penuh untuk pembolehubah x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Kemudian penjelmaan linear tidak merosot y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 dan y 3 \u003d x 3 membawa bentuk kuadratik ini kepada bentuk kanonik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Perhatikan bahawa bentuk kanonik bagi bentuk kuadratik ditakrifkan secara samar-samar (bentuk kuadratik yang sama boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik dengan cara yang berbeza). Walau bagaimanapun, bentuk kanonik yang diperoleh dengan pelbagai kaedah mempunyai beberapa sifat umum. Khususnya, bilangan sebutan dengan pekali positif (negatif) bagi bentuk kuadratik tidak bergantung pada cara bentuk itu dikurangkan kepada bentuk ini (contohnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan sentiasa ada dua pekali negatif dan satu positif). Harta ini dipanggil hukum inersia bagi bentuk kuadratik.

Mari kita sahkan ini dengan mengurangkan bentuk kuadratik yang sama kepada bentuk kanonik dengan cara yang berbeza. Mari kita mulakan transformasi dengan pembolehubah x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, dengan y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 dan y 3 = x 1 . Di sini, pekali positif 2 untuk y 3 dan dua pekali negatif (-3) untuk y 1 dan y 2 (dan menggunakan kaedah lain, kami mendapat pekali positif 2 untuk y 1 dan dua pekali negatif - (-5) untuk y 2 dan (-1 /20) untuk y 3).

Ia juga harus diperhatikan bahawa pangkat matriks bentuk kuadratik, dipanggil pangkat bentuk kuadratik, adalah sama dengan bilangan pekali bukan sifar bentuk kanonik dan tidak berubah di bawah penjelmaan linear.

Bentuk kuadratik f(X) dipanggil secara positif (negatif) pasti, jika untuk semua nilai pembolehubah yang tidak serentak sama dengan sifar, ia adalah positif, i.e. f(X) > 0 (negatif, i.e.
f(X)< 0).

Sebagai contoh, bentuk kuadratik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 ialah pasti positif, kerana ialah hasil tambah kuasa dua, dan bentuk kuadratik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ialah negatif pasti, kerana mewakili ia boleh diwakili sebagai f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Dalam kebanyakan situasi praktikal, agak sukar untuk menetapkan kepastian tanda bagi bentuk kuadratik, jadi salah satu teorem berikut digunakan untuk ini (kami merumuskannya tanpa bukti).

Teorem. Bentuk kuadratik adalah positif (negatif) pasti jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya adalah positif (negatif).

Teorem (kriteria Sylvester). Bentuk kuadratik adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor utama bagi matriks bentuk ini adalah positif.

Major (sudut) kecil Susunan ke-k bagi matriks A bagi susunan ke-n dipanggil penentu matriks, terdiri daripada baris dan lajur k pertama bagi matriks A ().

Ambil perhatian bahawa untuk bentuk kuadratik pasti negatif, tanda-tanda minor utama silih berganti, dan minor urutan pertama mestilah negatif.

Sebagai contoh, kita meneliti bentuk kuadratik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk kepastian tanda.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Oleh itu, bentuk kuadratik adalah pasti positif.

Kaedah 2. Minor utama susunan pertama matriks A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama susunan kedua D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Oleh itu, mengikut kriteria Sylvester, bentuk kuadratik ialah pasti positif.

Kami memeriksa bentuk kuadratik lain untuk kepastian tanda, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Kaedah 1. Mari bina matriks bentuk kuadratik А = . Persamaan ciri akan mempunyai bentuk = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Oleh itu, bentuk kuadratik adalah pasti negatif.

Dalam bahagian ini kita akan menumpukan pada kelas khas tetapi penting bagi bentuk kuadratik positif.

Definisi 3. Bentuk kuadratik nyata dipanggil bukan negatif (bukan positif) jika untuk sebarang nilai sebenar pembolehubah

. (35)

Dalam kes ini, matriks simetri pekali dipanggil semidefinite positif (separa tentu negatif).

Definisi 4. Bentuk kuadratik nyata dipanggil positif-pasti (negatif-pasti) jika bagi mana-mana nilai sebenar pembolehubah yang tidak serentak sama dengan sifar

. (36)

Dalam kes ini, matriks juga dipanggil pasti positif (pasti negatif).

Kelas bentuk positif-pasti (negatif-pasti) adalah sebahagian daripada kelas bentuk bukan negatif (masing-masing, bukan positif).

Biarkan borang bukan negatif diberikan. Kami mewakilinya sebagai jumlah kuasa dua bebas:

. (37)

Dalam perwakilan ini, semua kuasa dua mestilah positif:

. (38)

Sesungguhnya, jika ada, maka ia mungkin untuk memilih nilai-nilai tersebut untuknya

Tetapi kemudian, untuk nilai pembolehubah ini, bentuk itu akan mempunyai nilai negatif, yang mustahil oleh keadaan. Jelas sekali, sebaliknya, daripada (37) dan (38) ia mengikuti bahawa bentuk adalah positif.

Oleh itu, bentuk kuadratik bukan negatif dicirikan oleh kesamaan .

Biarkan sekarang menjadi bentuk pasti yang positif. Kemudian juga bentuk bukan negatif. Oleh itu, ia boleh diwakili dalam bentuk (37), di mana semuanya positif. Ia berikutan daripada kepastian positif bentuk yang . Malah, dalam kes ini adalah mungkin untuk memilih nilai sedemikian yang tidak serentak sama dengan sifar, yang mana semuanya akan hilang. Tetapi kemudian, berdasarkan (37), pada , yang bercanggah dengan syarat (36).

Adalah mudah untuk melihat bahawa, sebaliknya, jika dalam (37) dan semuanya positif, maka adalah bentuk pasti positif.

Dalam erti kata lain, bentuk bukan negatif adalah pasti positif jika dan hanya jika ia tidak tunggal.

Teorem berikut memberikan kriteria untuk kepastian positif bentuk dalam bentuk ketaksamaan yang mesti dipenuhi oleh pekali bentuk. Dalam kes ini, tatatanda yang telah ditemui dalam bahagian sebelumnya untuk minor utama berturut-turut bagi matriks digunakan:

.

Teorem 3. Untuk bentuk kuadratik menjadi pasti positif, adalah perlu dan mencukupi bahawa ketaksamaan

Bukti. Kecukupan syarat (39) mengikuti terus dari formula Jacobi (28). Keperluan syarat (39) ditetapkan seperti berikut. Daripada kepastian positif bentuk mengikuti kepastian positif bentuk "dipotong".

.

Tetapi kemudian semua bentuk ini mestilah bukan tunggal, i.e.

Kini kita berpeluang menggunakan formula Jacobi (28) (untuk ). Oleh kerana di sebelah kanan formula ini semua kuasa dua mestilah positif, maka

Ini membayangkan ketidaksamaan (39). Teorem telah terbukti.

Oleh kerana mana-mana minor utama matriks, dengan pennomboran semula pembolehubah yang betul, boleh diletakkan di sudut kiri atas, kami mempunyai

Akibat. Dalam bentuk kuadratik pasti positif, semua minor utama bagi matriks pekali adalah positif:

Komen. Daripada ketidaknegatifan kanak-kanak bawah umur utama berturut-turut

tidak mengikut bukan negatif bentuk . Memang bentuk

,

di mana , memenuhi syarat , tetapi bukan bukan negatif.

Walau bagaimanapun, terdapat perkara berikut

Teorem 4. Untuk bentuk kuadratik bukan negatif, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua minor utama bagi matriks pekalinya adalah bukan negatif:

Bukti. Marilah kita memperkenalkan bentuk tambahan yang tidak positif, adalah perlu dan mencukupi bahawa ketaksamaan