Kaedah transformasi asas untuk mencari pangkat. Teorem berdasarkan minor dan pangkat matriks

Untuk bekerja dengan konsep kedudukan matriks, kami memerlukan maklumat daripada topik "Pelengkap algebra dan pelengkap kecil. Jenis pelengkap minor dan pelengkap algebra." Pertama sekali, ini berkaitan dengan istilah "matriks kecil", kerana kami akan menentukan pangkat matriks dengan tepat melalui kanak-kanak bawah umur.

Kedudukan matriks ialah susunan maksimum kanak-kanak di bawah umur, antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar.

Matriks setara- matriks yang pangkatnya sama antara satu sama lain.

Mari kita terangkan dengan lebih terperinci. Katakan di kalangan bawah umur peringkat kedua terdapat sekurang-kurangnya satu yang berbeza daripada sifar. Dan semua kanak-kanak bawah umur yang tertibnya lebih tinggi daripada dua adalah sama dengan sifar. Kesimpulan: pangkat matriks ialah 2 Atau, sebagai contoh, di kalangan anak bawah umur dari urutan kesepuluh terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar. Dan semua kanak-kanak bawah umur yang tertibnya lebih tinggi daripada 10 adalah sama dengan sifar. Kesimpulan: pangkat matriks ialah 10.

Kedudukan matriks $A$ dilambangkan seperti berikut: $\rang A$ atau $r(A)$. Kedudukan matriks sifar $O$ diandaikan sifar, $\rang O=0$. Biar saya ingatkan anda bahawa untuk membentuk matriks minor anda perlu memotong baris dan lajur, tetapi adalah mustahil untuk memotong lebih banyak baris dan lajur daripada matriks itu sendiri. Sebagai contoh, jika matriks $F$ mempunyai saiz $5\kali 4$ (iaitu mengandungi 5 baris dan 4 lajur), maka susunan maksimum bawahnya ialah empat. Ia tidak lagi mungkin untuk membentuk anak bawah umur daripada susunan kelima, kerana mereka memerlukan 5 lajur (dan kami hanya mempunyai 4 lajur). Ini bermakna pangkat matriks $F$ tidak boleh lebih daripada empat, i.e. $\rang F≤4$.

Dalam lebih bentuk umum di atas bermakna jika matriks mengandungi $m$ baris dan $n$ lajur, maka kedudukannya tidak boleh melebihi yang terkecil daripada $m$ dan $n$, i.e. $\rang A≤\min(m,n)$.

Pada dasarnya, dari definisi pangkat mengikut kaedah untuk mencarinya. Proses mencari pangkat matriks, mengikut definisi, boleh digambarkan secara skematik seperti berikut:

Biar saya terangkan gambar rajah ini dengan lebih terperinci. Mari kita mulakan penaakulan dari awal lagi, i.e. daripada urutan pertama bawah umur beberapa matriks $A$.

1. Jika semua peringkat bawah umur pertama (iaitu, elemen matriks $A$) adalah sama dengan sifar, maka $\rang A=0$. Jika dalam kalangan bawah umur peringkat pertama terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, maka $\rang A≥ 1$. Mari kita teruskan untuk memeriksa kanak-kanak bawah umur pesanan kedua.
2. Jika semua bawah umur urutan kedua adalah sama dengan sifar, maka $\rang A=1$. Jika di kalangan bawah umur peringkat kedua terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, maka $\rang A≥ 2$. Mari kita teruskan untuk memeriksa kanak-kanak bawah umur pesanan ketiga.
3. Jika semua bawah umur urutan ketiga adalah sama dengan sifar, maka $\rang A=2$. Jika di kalangan bawah umur peringkat ketiga terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, maka $\rang A≥ 3$. Mari kita teruskan untuk memeriksa kanak-kanak bawah umur urutan keempat.
4. Jika semua bawah umur urutan keempat adalah sama dengan sifar, maka $\rang A=3$. Jika di kalangan bawah umur peringkat keempat terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, maka $\rang A≥ 4$. Kami beralih kepada memeriksa bawah umur urutan kelima dan seterusnya.

Apa yang menanti kita pada akhir prosedur ini? Ada kemungkinan bahawa antara bawah perintah ke-k akan terdapat sekurang-kurangnya satu yang berbeza daripada sifar, dan semua bawah umur pesanan (k+1) akan sama dengan sifar. Ini bermakna k ialah susunan maksimum kanak-kanak bawah umur, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, i.e. pangkat akan sama dengan k. Mungkin terdapat situasi yang berbeza: antara urutan ke-k bawah umur akan ada sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, tetapi tidak lagi boleh membentuk (k+1) perintah bawah umur. Dalam kes ini, pangkat matriks juga sama dengan k. Pendek kata, susunan minor bukan sifar yang terakhir digubah akan sama dengan pangkat matriks.

Mari kita beralih kepada contoh di mana proses mencari pangkat matriks, mengikut definisi, akan digambarkan dengan jelas. Izinkan saya menekankan sekali lagi bahawa dalam contoh topik ini kita akan mula mencari pangkat matriks hanya menggunakan definisi pangkat. Kaedah lain (mengira pangkat matriks menggunakan kaedah sempadan bawah umur, mengira pangkat matriks menggunakan kaedah transformasi asas) dibincangkan dalam topik berikut.

Ngomong-ngomong, sama sekali tidak perlu memulakan prosedur untuk mencari pangkat dengan orang bawah umur dari susunan terkecil, seperti yang dilakukan dalam contoh No. 1 dan No. 2. Anda boleh terus beralih ke bawah umur yang lebih tinggi (lihat contoh No. 3).

Contoh No 1

Cari pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Matriks ini mempunyai saiz $3\kali 5$, i.e. mengandungi tiga baris dan lima lajur. Daripada nombor 3 dan 5, minimum ialah 3, oleh itu pangkat matriks $A$ adalah tidak lebih daripada 3, i.e. $\rang A≤ 3$. Dan ketidaksamaan ini adalah jelas, kerana kita tidak lagi dapat membentuk anak bawah umur urutan keempat - mereka memerlukan 4 baris, dan kita hanya mempunyai 3. Mari kita teruskan ke proses mencari pangkat matriks tertentu.

Antara bawah umur urutan pertama (iaitu antara elemen matriks $A$) terdapat bukan sifar. Contohnya, 5, -3, 2, 7. Secara umum, kami tidak berminat jumlah kuantiti unsur bukan sifar. Terdapat sekurang-kurangnya satu elemen bukan sifar - dan itu sudah cukup. Memandangkan dalam kalangan bawah umur peringkat pertama terdapat sekurang-kurangnya satu bukan sifar, kami menyimpulkan bahawa $\rang A≥ 1$ dan meneruskan untuk menyemak bawah umur urutan kedua.

Mari kita mula meneroka kanak-kanak bawah umur pesanan kedua. Sebagai contoh, di persimpangan baris No. 1, No. 2 dan lajur No. 1, No. 4 terdapat unsur-unsur kecil berikut: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|. Untuk penentu ini, semua elemen lajur kedua adalah sama dengan sifar, oleh itu penentu itu sendiri adalah sama dengan sifar, i.e. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (lihat sifat No. 3 dalam topik sifat penentu). Atau anda boleh mengira penentu ini menggunakan formula No. 1 dari bahagian pengiraan penentu tertib kedua dan ketiga:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Bawah bawah perintah kedua pertama yang kami uji ternyata sama dengan sifar. Apakah maksud ini? Mengenai keperluan untuk memeriksa lanjut bawah umur pesanan kedua. Sama ada mereka semua akan menjadi sifar (dan kemudian pangkatnya akan sama dengan 1), atau di antara mereka akan terdapat sekurang-kurangnya seorang bawah umur yang berbeza daripada sifar. Mari cuba buat pilihan yang lebih baik dengan menulis minor pesanan kedua, yang unsur-unsurnya terletak di persimpangan baris No. 1, No. 2 dan lajur No. 1 dan No. 5: $\left|\begin( tatasusunan)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(susunan) \kanan|$. Mari cari nilai minor pesanan kedua ini:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bawah umur ini tidak sama dengan sifar. Kesimpulan: di kalangan bawah umur peringkat kedua terdapat sekurang-kurangnya satu yang berbeza daripada sifar. Oleh itu $\rang A≥ 2$. Kita perlu beralih kepada kajian kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga.

Jika kita memilih lajur No. 2 atau lajur No. 4 untuk membentuk bawahan peringkat ketiga, maka bawah umur tersebut akan sama dengan sifar (kerana mereka akan mengandungi lajur sifar). Ia tetap untuk memeriksa hanya satu minor pesanan ketiga, yang unsur-unsurnya terletak di persimpangan lajur No. 1, No. 3, No. 5 dan baris No. 1, No. 2, No. 3. Mari tuliskan minor ini dan cari nilainya:

$$ \kiri|\mulakan(tatasusunan)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \akhir(tatasusunan) \kanan|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Jadi, semua peringkat bawah umur ketiga adalah sama dengan sifar. Anak kecil bukan sifar terakhir yang kami susun ialah tertib kedua. Kesimpulan: susunan maksimum kanak-kanak bawah umur, antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu bukan sifar, ialah 2. Oleh itu, $\rang A=2$.

Jawab: $\rang A=2$.

Contoh No. 2

Cari kedudukan matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Kami mempunyai matriks segi empat sama tertib keempat. Marilah kita segera ambil perhatian bahawa pangkat matriks ini tidak melebihi 4, i.e. $\rang A≤ 4$. Mari kita mula mencari pangkat matriks.

Antara bawah umur urutan pertama (iaitu, antara elemen matriks $A$) terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, oleh itu $\rang A≥ 1$. Mari kita teruskan untuk memeriksa kanak-kanak bawah umur pesanan kedua. Sebagai contoh, di persimpangan baris No. 2, No. 3 dan lajur No. 1 dan No. 2, kami memperoleh minor urutan kedua berikut: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Mari kita mengiranya:

$$\kiri| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Antara bawah umur peringkat kedua terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, jadi $\rang A≥ 2$.

Mari kita beralih kepada kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga. Mari cari, sebagai contoh, kanak-kanak bawah umur yang elemennya terletak di persimpangan baris No. 1, No. 3, No. 4 dan lajur No. 1, No. 2, No. 4:

$$\kiri | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Memandangkan bawah umur urutan ketiga ini ternyata sama dengan sifar, adalah perlu untuk menyiasat satu lagi bawah umur urutan ketiga. Sama ada kesemuanya akan bersamaan dengan sifar (kemudian pangkatnya akan sama dengan 2), atau di antara mereka akan ada sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar (maka kita akan mula mempelajari bawah umur peringkat keempat). Mari kita pertimbangkan minor pesanan ketiga, unsur-unsurnya terletak di persimpangan baris No. 2, No. 3, No. 4 dan lajur No. 2, No. 3, No. 4:

$$\kiri| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Antara bawah umur peringkat ketiga terdapat sekurang-kurangnya satu bukan sifar, jadi $\rang A≥ 3$. Mari kita teruskan untuk memeriksa kanak-kanak bawah umur urutan keempat.

Mana-mana minor urutan keempat terletak di persimpangan empat baris dan empat lajur matriks $A$. Dalam erti kata lain, minor urutan keempat ialah penentu matriks $A$, kerana matriks yang diberikan hanya mengandungi 4 baris dan 4 lajur. Penentu matriks ini dikira dalam contoh No. 2 topik "Mengurangkan susunan penentu dalam satu baris (lajur)", jadi mari kita ambil keputusan selesai.

$$\kiri| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (susun)\kanan|=86. $$

Jadi minor pesanan keempat tidak sama dengan sifar. Kami tidak lagi boleh membentuk kanak-kanak bawah umur daripada perintah kelima. Kesimpulan: perintah tertinggi bawah umur, antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu bukan sifar, bersamaan dengan 4. Keputusan: $\rang A=4$.

Jawab: $\rang A=4$.

Contoh No. 3

Cari pangkat bagi matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array) \right)$.

Mari segera ambil perhatian bahawa matriks ini mengandungi 3 baris dan 4 lajur, jadi $\rang A≤ 3$. Dalam contoh sebelumnya, kami memulakan proses mencari pangkat dengan mempertimbangkan bawah umur daripada susunan terkecil (pertama). Di sini kami akan cuba menyemak dengan serta-merta kanak-kanak bawah umur dari urutan tertinggi yang mungkin. Untuk matriks $A$ ini adalah urutan ketiga bawah umur. Mari kita pertimbangkan minor urutan ketiga, unsur-unsurnya terletak di persimpangan baris No. 1, No. 2, No. 3 dan lajur No. 2, No. 3, No. 4:

$$\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Jadi, susunan tertinggi bagi kanak-kanak di bawah umur, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar, ialah 3. Oleh itu, pangkat matriks ialah 3, i.e. $\rang A=3$.

Jawab: $\rang A=3$.

Secara umum, mencari pangkat matriks mengikut definisi adalah dalam kes am tugas itu agak intensif buruh. Sebagai contoh, matriks yang agak kecil bersaiz $5\kali 4$ mempunyai 60 anak bawah umur tertib kedua. Dan walaupun 59 daripadanya bersamaan dengan sifar, maka yang ke-60 di bawah umur mungkin berubah menjadi bukan sifar. Kemudian anda perlu mengkaji kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga, yang mana matriks ini mempunyai 40 keping. Biasanya mereka cuba menggunakan kaedah yang kurang menyusahkan, seperti kaedah menyempadankan kanak-kanak di bawah umur atau kaedah transformasi yang setara.

Nombor r dipanggil pangkat matriks A jika:
1) dalam matriks A terdapat minor bagi susunan r, berbeza daripada sifar;
2) semua bawah perintah (r+1) dan lebih tinggi, jika wujud, adalah sama dengan sifar.
Jika tidak, pangkat sesuatu matriks ialah susunan kecil tertinggi selain daripada sifar.
Jawatan: rangA, r A atau r.
Daripada takrifan ia mengikuti bahawa r ialah integer nombor positif. Untuk matriks nol, pangkat dianggap sebagai sifar.

Tujuan perkhidmatan. Kalkulator dalam talian direka untuk mencari pangkat matriks. Dalam kes ini, penyelesaian disimpan dalam format Word dan Excel. lihat contoh penyelesaian.

Arahan. Pilih dimensi matriks, klik Seterusnya.

Pilih dimensi matriks 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Definisi . Biarkan matriks pangkat r diberikan. Mana-mana minor matriks yang berbeza daripada sifar dan mempunyai susunan r dipanggil asas, dan baris dan lajur komponennya dipanggil baris dan lajur asas.
Menurut definisi ini, matriks A boleh mempunyai beberapa asas minor.

pangkat matriks identiti E bersamaan dengan n (bilangan baris).

Contoh 1. Diberi dua matriks, dan anak di bawah umur mereka , . Manakah antara mereka yang boleh diambil sebagai asas?
Penyelesaian. Minor M 1 =0, jadi ia tidak boleh menjadi asas untuk mana-mana matriks. Minor M 2 =-9≠0 dan mempunyai urutan 2, yang bermaksud ia boleh diambil sebagai asas matriks A atau / dan B, dengan syarat mereka mempunyai pangkat sama dengan 2. Oleh kerana detB=0 (sebagai penentu dengan dua lajur berkadar), maka rangB=2 dan M 2 boleh diambil sebagai asas minor bagi matriks B. Kedudukan matriks A ialah 3, disebabkan fakta bahawa detA=-27≠ 0 dan, oleh itu, susunan asas minor bagi matriks ini mestilah sama dengan 3, iaitu, M 2 bukan asas untuk matriks A. Perhatikan bahawa matriks A mempunyai asas minor tunggal, sama dengan penentu matriks A.

Teorem (kira-kira bawah umur asas). Mana-mana baris (lajur) matriks ialah gabungan linear baris asasnya (lajur).
Akibat daripada teorem.

1. Setiap (r+1) lajur (baris) matriks pangkat r adalah bersandar secara linear.
2. Jika pangkat matriks kurang bilangan barisnya (lajur), maka barisnya (lajur) bergantung secara linear. Jika pangkatA sama dengan nombor barisnya (lajur), maka baris (lajur) adalah bebas secara linear.
3. Penentu bagi matriks A adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika barisnya (lajur) bersandar secara linear.
4. Jika anda menambah satu lagi baris (lajur) pada baris (lajur) matriks, didarab dengan sebarang nombor selain sifar, maka pangkat matriks itu tidak akan berubah.
5. Jika anda memotong baris (lajur) dalam matriks, yang merupakan gabungan linear baris lain (lajur), maka pangkat matriks tidak akan berubah.
6. Kedudukan matriks adalah sama dengan bilangan maksimum baris bebas linearnya (lajur).
7. Bilangan maksimum baris bebas linear adalah sama dengan bilangan maksimum lajur bebas linear.

Contoh 2. Cari pangkat matriks .
Penyelesaian. Berdasarkan definisi kedudukan matriks, kita akan mencari minor susunan tertinggi, berbeza daripada sifar. Mula-mula kita menukar matriks kepada lebih banyak pandangan ringkas. Untuk melakukan ini, darabkan baris pertama matriks dengan (-2) dan tambahkannya pada yang kedua, kemudian darabkannya dengan (-1) dan tambahkannya kepada yang ketiga.

Kedudukan matriks adalah penting ciri berangka. Masalah paling tipikal yang memerlukan mencari pangkat matriks ialah menyemak ketekalan sistem persamaan algebra linear. Dalam artikel ini kami akan memberikan konsep kedudukan matriks dan mempertimbangkan kaedah untuk mencarinya. Untuk lebih memahami bahan, kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian kepada beberapa contoh.

Navigasi halaman.

Penentuan pangkat sesuatu matriks dan konsep tambahan yang diperlukan.

Sebelum menyuarakan definisi pangkat matriks, anda harus mempunyai pemahaman yang baik tentang konsep minor, dan mencari minor matriks membayangkan keupayaan untuk mengira penentu. Jadi, jika perlu, kami mengesyorkan agar anda mengingat kembali teori artikel, kaedah untuk mencari penentu matriks, dan sifat penentu.

Mari kita ambil matriks A mengikut urutan. Biarkan k sedikit nombor asli, tidak melebihi nombor terkecil m dan n, iaitu, .

Definisi.

Pesanan kth kecil matriks A dipanggil penentu matriks segi empat sama tertib, terdiri daripada unsur matriks A, yang terletak dalam baris k dan lajur k yang telah dipilih, dan lokasi unsur matriks A dikekalkan.

Dalam erti kata lain, jika dalam matriks A kita memadam (p–k) baris dan (n–k) lajur, dan daripada unsur-unsur yang tinggal kita mencipta matriks, mengekalkan susunan unsur-unsur matriks A, maka penentu bagi matriks yang terhasil ialah minor bagi susunan k bagi matriks A.

Mari kita lihat definisi matriks minor menggunakan contoh.

Pertimbangkan matriks .

Mari kita tulis beberapa kanak-kanak bawah umur urutan pertama matriks ini. Sebagai contoh, jika kita memilih baris ketiga dan lajur kedua matriks A, maka pilihan kita sepadan dengan minor pesanan pertama . Dalam erti kata lain, untuk mendapatkan minor ini, kami memotong baris pertama dan kedua, serta lajur pertama, ketiga dan keempat daripada matriks A, dan membentuk penentu daripada elemen yang tinggal. Jika kita memilih baris pertama dan lajur ketiga matriks A, maka kita mendapat minor .

Mari kita gambarkan prosedur untuk mendapatkan kanak-kanak bawah umur peringkat pertama yang dianggap
Dan .

Oleh itu, minor orde pertama bagi matriks ialah elemen matriks itu sendiri.

Mari tunjukkan beberapa kanak-kanak bawah umur pesanan kedua. Pilih dua baris dan dua lajur. Sebagai contoh, ambil baris pertama dan kedua serta lajur ketiga dan keempat. Dengan pilihan ini kami mempunyai pesanan bawah umur kedua . Kecil ini juga boleh dibuat dengan memadamkan baris ketiga, lajur pertama dan kedua daripada matriks A.

Satu lagi minor urutan kedua bagi matriks A ialah .

Mari kita gambarkan pembinaan kanak-kanak bawah umur peringkat kedua ini
Dan .

Begitu juga, minor orde ketiga bagi matriks A boleh ditemui. Oleh kerana terdapat hanya tiga baris dalam matriks A, kami memilih kesemuanya. Jika kami memilih tiga lajur pertama baris ini, kami memperoleh minor pesanan ketiga

Ia juga boleh dibina dengan memotong lajur terakhir matriks A.

Satu lagi pesanan bawah umur ketiga ialah

diperoleh dengan memadamkan lajur ketiga matriks A.

Berikut adalah gambar yang menunjukkan pembinaan kanak-kanak bawah umur pesanan ketiga ini
Dan .

Untuk matriks A tertentu tidak ada tertib kecil yang lebih tinggi daripada ketiga, kerana .

Berapakah bilangan kanak-kanak bawah umur bagi susunan ke-1 yang terdapat pada matriks A bagi susunan ?

Bilangan bawah umur bagi perintah k boleh dikira sebagai , di mana Dan - bilangan gabungan dari p kepada k dan dari n kepada k, masing-masing.

Bagaimana untuk membina semua minor bagi susunan k bagi matriks A bagi susunan p oleh n?

Kami memerlukan banyak nombor baris matriks dan banyak nombor lajur. Kami menulis segala-galanya gabungan unsur p oleh k(mereka akan sepadan dengan baris matriks A yang dipilih apabila membina minor susunan k). Pada setiap gabungan nombor baris kami menambah semua gabungan n elemen nombor lajur k secara berurutan. Set gabungan nombor baris dan nombor lajur matriks A ini akan membantu untuk menyusun semua nombor bawah bagi susunan k.

Mari kita lihat dengan contoh.

Contoh.

Cari semua minor urutan kedua bagi matriks.

Penyelesaian.

Oleh kerana susunan matriks asal ialah 3 kali 3, maka jumlah minor bagi susunan kedua ialah .

Mari kita tuliskan semua kombinasi 3 hingga 2 nombor baris matriks A: 1, 2; 1, 3 dan 2, 3. Semua gabungan 3 hingga 2 nombor lajur ialah 1, 2; 1, 3 dan 2, 3.

Mari kita ambil baris pertama dan kedua matriks A. Dengan memilih lajur pertama dan kedua, lajur pertama dan ketiga, lajur kedua dan ketiga untuk baris ini, kami memperoleh lajur bawah umur, masing-masing

Untuk baris pertama dan ketiga, dengan pilihan lajur yang serupa, kami ada

Ia kekal untuk menambah lajur pertama dan kedua, pertama dan ketiga, kedua dan ketiga pada baris kedua dan ketiga:

Jadi, kesemua sembilan kanak-kanak bawah umur urutan kedua bagi matriks A telah ditemui.

Sekarang kita boleh meneruskan untuk menentukan pangkat matriks.

Definisi.

Kedudukan matriks ialah susunan tertinggi bukan sifar minor matriks.

Kedudukan matriks A dilambangkan sebagai Kedudukan(A) . Anda juga boleh mencari sebutan Rg(A) atau Rang(A) .

Daripada definisi kedudukan matriks dan matriks kecil, kita boleh membuat kesimpulan bahawa pangkat matriks sifar adalah sama dengan sifar, dan pangkat matriks bukan sifar adalah tidak kurang daripada satu.

Mencari pangkat matriks mengikut takrifan.

Jadi, kaedah pertama untuk mencari pangkat matriks ialah kaedah menghitung kanak-kanak bawah umur. Kaedah ini adalah berdasarkan penentuan pangkat matriks.

Marilah kita mencari pangkat matriks A mengikut tertib.

Mari kita huraikan secara ringkas algoritma menyelesaikan masalah ini dengan menyenaraikan kanak-kanak bawah umur.

Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu elemen matriks yang berbeza daripada sifar, maka pangkat matriks adalah sekurang-kurangnya sama dengan satu(memandangkan terdapat minor pesanan pertama yang tidak sama dengan sifar).

Seterusnya kita melihat kepada bawah umur perintah kedua. Jika semua bawah umur urutan kedua adalah sama dengan sifar, maka pangkat matriks adalah sama dengan satu. Jika terdapat sekurang-kurangnya satu bukan sifar kecil bagi susunan kedua, maka kita teruskan untuk menghitung anak bawah umur bagi urutan ketiga, dan pangkat matriks sekurang-kurangnya sama dengan dua.

Begitu juga, jika semua peringkat bawah umur ketiga adalah sifar, maka pangkat matriks adalah dua. Jika terdapat sekurang-kurangnya satu minor urutan ketiga selain daripada sifar, maka pangkat matriks adalah sekurang-kurangnya tiga, dan kita teruskan untuk menghitung minor urutan keempat.

Perhatikan bahawa pangkat matriks tidak boleh melebihi nombor terkecil p dan n.

Contoh.

Cari pangkat matriks itu .

Penyelesaian.

Oleh kerana matriks bukan sifar, pangkatnya tidak kurang daripada satu.

Kecil daripada perintah kedua adalah berbeza daripada sifar, oleh itu, pangkat matriks A ialah sekurang-kurangnya dua. Kami beralih kepada menyenaraikan kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga. Jumlah mereka benda.

Semua bawah umur pesanan ketiga adalah sama dengan sifar. Oleh itu, pangkat matriks adalah dua.

Jawapan:

Kedudukan(A) = 2 .

Mencari pangkat matriks menggunakan kaedah sempadan bawah umur.

Terdapat kaedah lain untuk mencari pangkat matriks yang membolehkan anda memperoleh hasil dengan kerja pengiraan yang kurang.

Salah satu kaedah tersebut ialah kaedah kecil tepi.

Mari kita berurusan dengan konsep tepi minor.

Dikatakan bahawa M ok kecil bagi susunan ke (k+1) matriks A bersempadan dengan M kecil bagi susunan k bagi matriks A jika matriks yang sepadan dengan M ok kecil "mengandungi" matriks yang sepadan dengan minor. M .

Dalam erti kata lain, matriks yang sepadan dengan minor sempadan M diperoleh daripada matriks sepadan dengan minor sempadan M ok dengan memadamkan unsur-unsur satu baris dan satu lajur.

Sebagai contoh, pertimbangkan matriks dan mengambil pesanan kedua kecil. Mari kita catatkan semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan:

Kaedah bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur dibenarkan oleh teorem berikut (kami membentangkan rumusannya tanpa bukti).

Teorem.

Jika semua minor yang bersempadan dengan urutan ke-k bagi matriks A bagi susunan p dengan n adalah sama dengan sifar, maka semua minor bagi susunan (k+1) bagi matriks A adalah sama dengan sifar.

Oleh itu, untuk mencari pangkat matriks tidak perlu melalui semua kanak-kanak bawah umur yang cukup sempadan. Bilangan kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dengan minor bagi susunan ke-k bagi suatu matriks A bagi tertib , ditemui oleh formula . Ambil perhatian bahawa tidak ada lagi anak bawah umur yang bersempadan dengan kecil tertib ke-k matriks A daripada bilangan bawahan tertib (k + 1) bagi matriks A. Oleh itu, dalam kebanyakan kes, menggunakan kaedah menyempadankan kanak-kanak bawah umur adalah lebih menguntungkan daripada hanya menyenaraikan semua kanak-kanak bawah umur.

Mari kita teruskan untuk mencari pangkat matriks menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Mari kita huraikan secara ringkas algoritma kaedah ini.

Jika matriks A adalah bukan sifar, maka sebagai minor orde pertama kita mengambil mana-mana elemen matriks A yang berbeza daripada sifar. Mari kita lihat kanak-kanak bawah umur yang bersempadan. Jika semuanya sama dengan sifar, maka pangkat matriks adalah sama dengan satu. Jika terdapat sekurang-kurangnya satu kanak-kanak kecil bersempadan bukan sifar (urutannya ialah dua), maka kami meneruskan untuk mempertimbangkan kanak-kanak bawah umur yang bersempadan. Jika kesemuanya sifar, maka Pangkat(A) = 2. Jika sekurang-kurangnya satu kanak-kanak yang bersempadan adalah bukan sifar (tertibnya ialah tiga), maka kami menganggapnya di bawah umur yang bersempadan. Dan seterusnya. Akibatnya, Kedudukan(A) = k jika semua minor bersempadan bagi susunan ke- (k + 1) matriks A adalah sama dengan sifar, atau Kedudukan(A) = min(p, n) jika terdapat bukan- sifar kecil bersempadan dengan perintah kecil (min( p, n) – 1) .

Mari kita lihat kaedah sempadan bawah umur untuk mencari pangkat matriks menggunakan contoh.

Contoh.

Cari pangkat matriks itu dengan kaedah bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur.

Penyelesaian.

Memandangkan unsur a 1 1 matriks A adalah bukan sifar, kami menganggapnya sebagai minor tertib pertama. Mari mulakan mencari kanak-kanak bawah umur bersempadan yang berbeza daripada sifar:

Tepi kecil tertib kedua, berbeza daripada sifar, ditemui. Mari kita lihat kanak-kanak bawah umur yang bersempadan (mereka perkara):

Semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dengan minor peringkat kedua adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks A adalah bersamaan dengan dua.

Jawapan:

Kedudukan(A) = 2 .

Contoh.

Cari pangkat matriks itu menggunakan kanak-kanak bawah umur yang bersempadan.

Penyelesaian.

Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 1 daripada matriks A. Anak kecil di sekeliling perintah kedua tidak sama dengan sifar. Bawah umur ini bersempadan dengan bawah umur peringkat ketiga
. Oleh kerana ia tidak bersamaan dengan sifar dan tidak ada satu minor bersempadan untuknya, pangkat matriks A adalah bersamaan dengan tiga.

Jawapan:

Kedudukan(A) = 3 .

Mencari pangkat menggunakan transformasi matriks asas (kaedah Gauss).

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mencari pangkat matriks.

Penjelmaan matriks berikut dipanggil asas:

• menyusun semula baris (atau lajur) matriks;
• mendarab semua elemen mana-mana baris (lajur) matriks dengan nombor arbitrari k, berbeza daripada sifar;
• menambah kepada elemen baris (lajur) unsur sepadan baris lain (lajur) matriks, didarab dengan nombor arbitrari k.

Matriks B dipanggil setara dengan matriks A, jika B diperoleh daripada A menggunakan nombor terhingga transformasi asas. Kesetaraan matriks dilambangkan dengan simbol "~", iaitu, ditulis A ~ B.

Mencari pangkat matriks menggunakan penjelmaan matriks asas adalah berdasarkan pernyataan: jika matriks B diperoleh daripada matriks A menggunakan nombor terhingga penjelmaan asas, maka Pangkat(A) = Pangkat(B) .

Kesahan pernyataan ini berikutan daripada sifat-sifat penentu matriks:

• Apabila menyusun semula baris (atau lajur) matriks, tanda penentunya berubah. Jika ia sama dengan sifar, maka apabila baris (lajur) disusun semula, ia kekal sama dengan sifar.
• Apabila mendarab semua elemen mana-mana baris (lajur) matriks dengan nombor arbitrari k selain sifar, penentu matriks yang terhasil adalah sama dengan penentu matriks asal didarab dengan k. Jika penentu matriks asal adalah sama dengan sifar, maka selepas mendarab semua elemen mana-mana baris atau lajur dengan nombor k, penentu matriks yang terhasil juga akan sama dengan sifar.
• Menambah pada elemen baris tertentu (lajur) matriks unsur sepadan baris lain (lajur) matriks, didarab dengan nombor k tertentu, tidak mengubah penentunya.

Intipati kaedah transformasi asas terdiri daripada mengurangkan matriks yang kedudukannya perlu kita cari kepada satu trapezoid (dalam kes tertentu, kepada satu segi tiga atas) menggunakan transformasi asas.

Mengapa ini dilakukan? Kedudukan matriks jenis ini sangat mudah dicari. Ia sama dengan bilangan baris yang mengandungi sekurang-kurangnya satu unsur bukan sifar. Dan oleh kerana pangkat matriks tidak berubah apabila menjalankan transformasi asas, nilai yang terhasil akan menjadi pangkat matriks asal.

Kami memberikan ilustrasi matriks, salah satunya harus diperoleh selepas transformasi. Penampilan mereka bergantung pada susunan matriks.

Ilustrasi ini adalah templat yang mana kami akan mengubah matriks A.

Mari kita huraikan algoritma kaedah.

Marilah kita perlu mencari pangkat bagi matriks bukan sifar A bagi tertib (p boleh sama dengan n).

Jadi, . Mari kita darab semua unsur baris pertama matriks A dengan . Dalam kes ini, kita memperoleh matriks setara, menandakannya A (1):

Kepada unsur-unsur baris kedua matriks A (1) yang terhasil kita tambahkan unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama, didarab dengan . Pada elemen baris ketiga kami menambah elemen sepadan baris pertama, didarab dengan . Dan seterusnya sehingga baris ke-p. Mari dapatkan matriks setara, nyatakan ia A (2):

Jika semua elemen matriks yang terhasil terletak dalam baris dari kedua ke p-th adalah sama dengan sifar, maka pangkat matriks ini adalah sama dengan satu, dan, akibatnya, pangkat matriks asal adalah sama. kepada satu.

Jika dalam baris dari kedua ke p-th terdapat sekurang-kurangnya satu elemen bukan sifar, maka kami terus melakukan transformasi. Selain itu, kami bertindak dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bahagian matriks A (2) yang ditandakan dalam rajah.

Jika , maka kita susun semula baris dan (atau) lajur matriks A (2) supaya elemen "baru" menjadi bukan sifar.

peringkat rendah Penjelmaan matriks berikut dipanggil:

1) pilih atur mana-mana dua baris (atau lajur),

2) mendarab baris (atau lajur) dengan nombor bukan sifar,

3) menambah pada satu baris (atau lajur) baris lain (atau lajur), didarab dengan nombor tertentu.

Dua matriks dipanggil setara, jika salah satu daripadanya diperoleh daripada yang lain menggunakan set terhingga penjelmaan asas.

Matriks setara tidak, secara umum, sama, tetapi pangkatnya adalah sama. Jika matriks A dan B adalah setara, maka ia ditulis seperti berikut: A ~ B.

Kanonik Matriks ialah matriks di mana pada permulaan pepenjuru utama terdapat beberapa yang berturut-turut (bilangan yang boleh menjadi sifar), dan semua elemen lain adalah sama dengan sifar, sebagai contoh,

Menggunakan transformasi asas bagi baris dan lajur, sebarang matriks boleh dikurangkan kepada kanonik. Kedudukan matriks kanonik adalah sama dengan bilangan matriks pada pepenjuru utamanya.

Contoh 2 Cari pangkat matriks

A=

dan membawanya ke bentuk kanonik.

Penyelesaian. Daripada baris kedua, tolak yang pertama dan susun semula baris ini:

.

Sekarang dari baris kedua dan ketiga kita tolak yang pertama, didarab dengan 2 dan 5, masing-masing:

;

tolak yang pertama dari baris ketiga; kita dapat matriks

B = ,

yang bersamaan dengan matriks A, kerana ia diperoleh daripadanya menggunakan set terhingga penjelmaan asas. Jelas sekali, pangkat matriks B ialah 2, dan oleh itu r(A)=2. Matriks B dengan mudah boleh dikurangkan kepada kanonik. Dengan menolak lajur pertama, didarab dengan nombor yang sesuai, daripada semua yang berikutnya, kita beralih kepada sifar semua elemen baris pertama, kecuali yang pertama, dan unsur-unsur baris yang tinggal tidak berubah.

.

Kemudian, dengan menolak lajur kedua, didarab dengan nombor yang sesuai, daripada semua yang berikutnya, kita beralih kepada sifar semua elemen baris kedua, kecuali yang kedua, dan dapatkan matriks kanonik: Kronecker - teorem Capelli

- kriteria keserasian untuk sistem persamaan algebra linear: Untuk sistem linear

adalah serasi, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks lanjutan sistem ini adalah sama dengan pangkat matriks utamanya.

Bukti (syarat keserasian sistem)

Keperluan biarlah sistem sendi Kemudian ada

nombornya seperti ini

biarlah . Mari kita ambil beberapa asas minor dalam matriks. Oleh kerana, maka ia juga akan menjadi asas minor bagi matriks. Kemudian, mengikut teorem asas

bawah umur

, lajur terakhir matriks akan menjadi gabungan linear lajur asas, iaitu lajur matriks. Oleh itu, lajur sebutan bebas sistem ialah gabungan linear lajur matriks. Akibat

Bilangan pembolehubah utama biarlah sistem

sama dengan pangkat sistem.

sendi15 . 2 akan ditakrifkan (penyelesaiannya adalah unik) jika pangkat sistem adalah sama dengan bilangan semua pembolehubahnya.

Sistem persamaan homogen

Tawaran Sistem persamaan homogen

sentiasa bersama.

sendi15 . 3 Bukti

Tawaran. Untuk sistem ini, set nombor , , , ialah penyelesaian.

Dalam bahagian ini kita akan menggunakan notasi matriks sistem: .

Jumlah penyelesaian kepada sistem persamaan linear homogen ialah penyelesaian kepada sistem ini. Penyelesaian yang didarab dengan nombor juga merupakan penyelesaian.

Dalam bahagian ini kita akan menggunakan notasi matriks sistem: .

.15 . 1 Biarkan mereka bertindak sebagai penyelesaian kepada sistem. Kemudian dan. biarlah . Kemudian

Sejak, kemudian - penyelesaian.

Biarlah nombor sewenang-wenangnya, .15 . 5 Kemudian Akibat Jika sistem homogen persamaan linear mempunyai penyelesaian bukan sifar, maka ia mempunyai banyak penyelesaian berbeza yang tak terhingga. Sesungguhnya, mendarabkan penyelesaian bukan sifar dengan pelbagai nombor, kita akan memperoleh penyelesaian yang berbeza.

Definisi

Kami akan mengatakan bahawa penyelesaian

bentuk sistem sistem asas penyelesaian, jika lajur

bentuk secara linear

1. sistem bebas dan sebarang penyelesaian kepada sistem adalah gabungan linear lajur ini. Untuk mengira pangkat matriks, anda boleh menggunakan kaedah sempadan bawah umur atau kaedah Gaussian.
2. Mari kita pertimbangkan kaedah Gaussian atau kaedah transformasi asas. Kedudukan matriks ialah susunan maksimum anak di bawah umur, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu yang tidak sama dengan sifar. Kedudukan sistem baris (lajur) dipanggil kuantiti maksimum baris bebas linear (lajur) sistem ini. kuantiti maksimum Algoritma untuk mencari pangkat matriks menggunakan kaedah sempadan bawah umur: kuantiti maksimum kecil M k-itu pesanan bukan sifar.

Jika bersempadan dengan bawah umur untuk bawah umur M (k+1) ke tertib, adalah mustahil untuk mengarang (iaitu matriks mengandungi k. Jika terdapat minor order pertama (elemen matriks) yang tidak sama dengan sifar M 1 ≠ 0, kemudian pangkat pangkatA ≥ 1.

M 1. Sekiranya terdapat kanak-kanak di bawah umur sedemikian, maka mereka akan menjadi bawah umur daripada perintah kedua. Jika semua kanak-kanak di bawah umur bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur M 1 adalah sama dengan sifar, maka pangkatA = 1. Jika terdapat sekurang-kurangnya satu minor daripada susunan kedua tidak sama dengan sifar M2 ≠ 0, kemudian pangkat pangkatA ≥ 2.

Mari kita semak jika terdapat kanak-kanak di bawah umur yang bersempadan untuk kanak-kanak di bawah umur M 2. Sekiranya terdapat kanak-kanak di bawah umur sedemikian, maka mereka akan menjadi bawah umur daripada perintah ketiga. Jika semua kanak-kanak di bawah umur bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur M 2 adalah sama dengan sifar, maka pangkatA = 2. Jika terdapat sekurang-kurangnya satu minor daripada urutan ketiga tidak sama dengan sifar M 3 ≠ 0, kemudian pangkat pangkatA ≥ 3.

Mari kita semak jika terdapat kanak-kanak di bawah umur yang bersempadan untuk kanak-kanak di bawah umur M 3. Sekiranya terdapat kanak-kanak di bawah umur sedemikian, maka mereka akan menjadi bawah umur daripada perintah keempat. Jika semua kanak-kanak di bawah umur bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur M 3 adalah sama dengan sifar, maka pangkatA = 3. Jika terdapat sekurang-kurangnya satu minor daripada susunan keempat tidak sama dengan sifar M4 ≠ 0, kemudian pangkat pangkatA ≥ 4.

Menyemak sama ada terdapat kanak-kanak bawah umur yang bersempadan untuk kanak-kanak itu M 4, dan seterusnya. Algoritma berhenti jika pada beberapa peringkat minor sempadan adalah sama dengan sifar atau minor sempadan tidak boleh diperolehi (matriks "kehabisan" baris atau lajur). Susunan bukan sifar minor yang dicipta akan menjadi pangkat matriks.

Contoh

Mari kita pertimbangkan kaedah ini dengan contoh. Diberi matriks 4x5:

Matriks ini tidak boleh mempunyai pangkat lebih besar daripada 4. Selain itu, matriks ini mempunyai unsur bukan sifar (kecil dari susunan pertama), yang bermaksud pangkat matriks ialah ≥ 1.

Mari kita mengarang kanak-kanak di bawah umur ke-2 pesanan. Mari kita mulakan dari sudut.

Jadi penentu adalah sama dengan sifar, mari kita buat minor lain.

Jom cari penentu anak bawah umur ni.

Takrifkan minor yang diberikan sama dengan -2 . Jadi pangkat matriks ≥ 2 .

Jika bawah umur ini bersamaan dengan 0, maka kanak-kanak bawah umur lain akan terbentuk. Sehingga akhirnya mereka akan membentuk semua kanak-kanak di bawah umur pada baris pertama dan kedua. Kemudian baris 1 dan 3, baris 2 dan 3, baris 2 dan 4, sehingga anda menemui minor tidak sama dengan 0, sebagai contoh:

Jika semua bawah umur peringkat kedua ialah 0, maka pangkat matriks itu ialah 1. Penyelesaian boleh dihentikan.

ke-3 pesanan.

Anak di bawah umur ternyata bukan sifar. bermaksud pangkat matriks ≥ 3 .

Jika bawah umur ini adalah sifar, maka kanak-kanak bawah umur lain perlu digubah. Contohnya:

Jika semua peringkat bawah umur ketiga ialah 0, maka pangkat matriks ialah 2. Penyelesaian boleh dihentikan.

Jom sambung cari pangkat matriks. Mari kita mengarang kanak-kanak di bawah umur ke-4 pesanan.

Jom cari penentu anak bawah umur ni.

Penentu bawah umur ternyata sama dengan 0 . Mari kita bina seorang lagi di bawah umur.

Jom cari penentu anak bawah umur ni.

Yang di bawah umur ternyata sama 0 .

Bina kecil ke-5 pesanan tidak akan berfungsi, tiada baris untuk ini dalam matriks ini. Anak bawah umur terakhir tidak sama dengan sifar ke-3 perintah, yang bermaksud pangkat matriks adalah sama dengan 3 .