Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tak tentu. Kaedah Gauss untuk Dummies: Contoh Penyelesaian

Biarkan sistem linear persamaan algebra, yang perlu diselesaikan (cari nilai seperti хi yang tidak diketahui yang menjadikan setiap persamaan sistem menjadi kesamaan).

Kita tahu bahawa sistem persamaan algebra linear boleh:

1) Tiada penyelesaian (jadi tidak serasi).
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Mempunyai penyelesaian yang unik.

Seperti yang kita ingat, peraturan Cramer dan kaedah matriks tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Kaedah Gauss – alat yang paling berkuasa dan serba boleh untuk mencari penyelesaian kepada mana-mana sistem persamaan linear , yang dalam setiap kes membawa kami kepada jawapan! Algoritma kaedah itu sendiri dalam semua tiga kes berfungsi dengan cara yang sama. Jika kaedah Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang penentu, maka untuk menggunakan kaedah Gauss, pengetahuan hanya diperlukan. operasi aritmetik yang menjadikannya boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah rendah.

Transformasi matriks lanjutan ( ini ialah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri daripada pekali yang tidak diketahui, ditambah lajur sebutan bebas) sistem persamaan algebra linear dalam kaedah Gauss:

1) dengan troky matriks boleh susun semula tempat.

2) jika matriks mempunyai (atau mempunyai) berkadar (sebagai kes istimewa adalah sama) rentetan, kemudian ia mengikuti padam daripada matriks, semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga mengikuti padam.

4) baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor selain sifar.

5) ke baris matriks, anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar.

Dalam kaedah Gauss, transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan.

Kaedah Gauss terdiri daripada dua peringkat:

"Pergerakan terus" - menggunakan transformasi asas, bawa matriks lanjutan sistem persamaan algebra linear kepada "segi tiga" pandangan melangkah: unsur-unsur matriks berkembang yang terletak di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar (pergerakan atas-bawah). Sebagai contoh, untuk jenis ini:

Untuk melakukan ini, lakukan langkah berikut:

1) Mari kita pertimbangkan persamaan pertama bagi sistem persamaan algebra linear dan pekali pada x 1 adalah sama dengan K. Kedua, ketiga, dsb. kita ubah persamaan seperti berikut: kita bahagikan setiap persamaan (pekali untuk yang tidak diketahui, termasuk sebutan bebas) dengan pekali untuk x 1 yang tidak diketahui, yang terdapat dalam setiap persamaan, dan darab dengan K. Selepas itu, tolak yang pertama daripada persamaan kedua ( pekali untuk istilah yang tidak diketahui dan bebas). Kita dapat pada x 1 dalam persamaan kedua pekali 0. Daripada persamaan transformasi ketiga kita tolak persamaan pertama, jadi sehingga semua persamaan kecuali yang pertama, dengan x 1 tidak diketahui, tidak akan mempunyai pekali 0.

2) Beralih ke persamaan seterusnya. Biarkan ini menjadi persamaan kedua dan pekali pada x 2 adalah sama dengan M. Dengan semua persamaan "subordinat", kita meneruskan seperti yang diterangkan di atas. Oleh itu, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui dalam semua persamaan akan menjadi sifar.

3) Kami meneruskan ke persamaan seterusnya dan seterusnya sehingga satu istilah bebas yang tidak diketahui dan diubah kekal kekal.

« terbalik» kaedah Gauss - mendapatkan penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear (menjadi "bawah ke atas"). Daripada persamaan "rendah" terakhir kita mendapat satu penyelesaian pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk ini kami memutuskan persamaan asas A * x n \u003d B. Dalam contoh di atas, x 3 \u003d 4. Kami menggantikan nilai yang ditemui dalam persamaan "atas" seterusnya dan menyelesaikannya untuk yang tidak diketahui seterusnya. Sebagai contoh, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. Dan seterusnya sehingga kita menemui semua yang tidak diketahui.

Contoh.

Kami menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, seperti yang dinasihatkan oleh beberapa penulis:

Kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, membawanya ke bentuk langkah:

Kami melihat "langkah" di sebelah kiri atas. Di sana kita sepatutnya mempunyai satu unit. Masalahnya ialah tidak ada sama sekali dalam lajur pertama, jadi tiada apa yang boleh diselesaikan dengan menyusun semula baris. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Mari buat seperti ini:
1 langkah . Pada baris pertama kita tambah baris kedua, didarab dengan -1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.

Sekarang di bahagian atas sebelah kiri "tolak satu", yang sesuai dengan kita dengan sempurna. Sesiapa yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan tindakan tambahan: darab baris pertama dengan -1 (tukar tandanya).

2 langkah . Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah ke baris kedua. Baris pertama didarab dengan 3 ditambah kepada baris ketiga.

3 langkah . Baris pertama didarab dengan -1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan dipindahkan ke tempat kedua, oleh itu, pada "langkah kedua, kami mempunyai unit yang dikehendaki.

4 langkah . Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, didarab dengan 2.

5 langkah . Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

Tanda yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (kurang kerap kesilapan menaip) ialah garis bawah yang "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti (0 0 11 | 23) di bawah, dan, oleh itu, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa kesilapan telah dibuat semasa asas transformasi.

Kami melakukan langkah terbalik, dalam reka bentuk contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis semula, dan persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan". Langkah terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi "dari bawah ke atas." AT contoh ini menerima hadiah:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, oleh itu x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Jawab:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang dicadangkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bahagikan persamaan kedua dengan 5 dan yang ketiga dengan 3. Kita dapat:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Darabkan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita dapat:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangkan persamaan pertama daripada persamaan kedua dan ketiga, kita mempunyai:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bahagikan persamaan ketiga dengan 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Darabkan persamaan ketiga dengan 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Kurangkan persamaan kedua daripada persamaan ketiga, kita mendapat matriks tambahan "berlangkah":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Oleh itu, kerana ralat terkumpul dalam proses pengiraan, kami mendapat x 3 \u003d 0.96, atau kira-kira 1.

x 2 \u003d 3 dan x 1 \u003d -1.

Menyelesaikan dengan cara ini, anda tidak akan pernah keliru dalam pengiraan dan, walaupun terdapat ralat pengiraan, anda akan mendapat hasilnya.

Kaedah menyelesaikan sistem persamaan algebra linear ini mudah diprogramkan dan tidak mengambil kira ciri khusus pekali untuk yang tidak diketahui, kerana dalam amalan (dalam pengiraan ekonomi dan teknikal) seseorang perlu berurusan dengan pekali bukan integer.

Semoga berjaya! Jumpa anda di dalam kelas! Tutor.

blog.site, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Dalam artikel ini, kaedah ini dianggap sebagai cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SLAE). Kaedah ini adalah analitikal, iaitu, ia membolehkan anda menulis algoritma penyelesaian Pandangan umum, dan kemudian gantikan nilai daripada contoh khusus di sana. Tidak seperti kaedah matriks atau formula Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, anda juga boleh bekerja dengan penyelesaian yang mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.

Apakah maksud Gauss?

Mula-mula anda perlu menulis sistem persamaan kami dalam Ia kelihatan seperti ini. Sistem diambil:

Pekali ditulis dalam bentuk jadual, dan di sebelah kanan dalam lajur berasingan - ahli bebas. Lajur dengan ahli bebas diasingkan untuk kemudahan. Matriks yang merangkumi lajur ini dipanggil lanjutan.

Selanjutnya, matriks utama dengan pekali mesti dikurangkan kepada bentuk segi tiga atas. Ini adalah perkara utama untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah Gauss. Ringkasnya, selepas manipulasi tertentu, matriks sepatutnya kelihatan seperti ini, supaya hanya ada sifar di bahagian kiri bawahnya:

Kemudian, jika anda menulis semula matriks baharu sebagai sistem persamaan, anda akan perasan bahawa baris terakhir sudah mengandungi nilai salah satu punca, yang kemudiannya digantikan dengan persamaan di atas, punca lain ditemui, dan seterusnya.

Penerangan penyelesaian ini dengan kaedah Gauss paling banyak secara umum. Dan apa yang berlaku jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai penyelesaian? Atau adakah bilangan mereka yang tidak terhingga? Untuk menjawab ini dan banyak lagi soalan, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan semua elemen yang digunakan dalam penyelesaian dengan kaedah Gauss.

Matriks, sifatnya

tiada maksud tersembunyi bukan dalam matriks. Ini hanyalah cara yang mudah untuk merekod data untuk operasi kemudian. Malah pelajar sekolah tidak perlu takut kepada mereka.

Matriks sentiasa segi empat tepat, kerana ia lebih mudah. Malah dalam kaedah Gauss, di mana segala-galanya adalah untuk membina matriks segi tiga, segi empat tepat muncul dalam entri, hanya dengan sifar di tempat yang tiada nombor. Sifar boleh ditinggalkan, tetapi ia tersirat.

Matriks mempunyai saiz. "Lebar"nya ialah bilangan baris (m), "panjang"nya ialah bilangan lajur (n). Kemudian saiz matriks A (kapital biasanya digunakan untuk menandakannya) surat) akan dilambangkan sebagai A m×n . Jika m=n, maka matriks ini adalah segi empat sama, dan m=n ialah susunannya. Sehubungan itu, sebarang unsur matriks A boleh dilambangkan dengan bilangan baris dan lajurnya: a xy ; x - nombor baris, perubahan , y - nombor lajur, perubahan .

B bukan titik utama penyelesaian. Pada dasarnya, semua operasi boleh dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasi akan menjadi lebih rumit, dan akan lebih mudah untuk keliru di dalamnya.

Penentu

Matriks juga mempunyai penentu. Ini sangat ciri penting. Mengetahui maknanya sekarang tidak berbaloi, anda hanya boleh menunjukkan cara ia dikira, dan kemudian memberitahu sifat matriks yang ditentukannya. Cara paling mudah untuk mencari penentu adalah melalui pepenjuru. pepenjuru khayalan dilukis dalam matriks; unsur-unsur yang terletak pada setiap daripada mereka didarabkan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambah: pepenjuru dengan cerun ke kanan - dengan tanda "tambah", dengan cerun ke kiri - dengan tanda "tolak".

Adalah amat penting untuk diperhatikan bahawa penentu hanya boleh dikira untuk matriks segi empat sama. Untuk matriks segi empat tepat anda boleh melakukan perkara berikut: daripada bilangan baris dan bilangan lajur, pilih yang terkecil (biarlah k), dan kemudian tandakan k lajur dan k baris secara rawak dalam matriks. Elemen yang terletak di persimpangan lajur dan baris yang dipilih akan membentuk elemen baharu matriks segi empat sama. Jika penentu matriks sedemikian ialah nombor selain sifar, maka ia dipanggil minor asas bagi matriks segi empat tepat asal.

Sebelum meneruskan penyelesaian sistem persamaan dengan kaedah Gauss, tidak ada salahnya untuk mengira penentu. Jika ternyata sifar, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa matriks mempunyai sama ada bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, atau tidak ada sama sekali. Dalam kes yang menyedihkan, anda perlu pergi lebih jauh dan mengetahui tentang pangkat matriks.

Pengelasan sistem

Terdapat perkara seperti pangkat matriks. Ini ialah susunan maksimum penentu bukan sifarnya (mengingat tentang bawah umur asas, kita boleh mengatakan bahawa pangkat matriks adalah susunan asas minor).

Mengikut keadaan kedudukan, SLAE boleh dibahagikan kepada:

sendi. Pada sistem sambungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri daripada pekali) bertepatan dengan pangkat yang dilanjutkan (dengan lajur istilah bebas). Sistem sedemikian mempunyai penyelesaian, tetapi tidak semestinya satu, jadi sebagai tambahan sistem sendi dibahagikan kepada:
- pasti- mempunyai penyelesaian yang unik. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan bilangan yang tidak diketahui (atau bilangan lajur, yang merupakan perkara yang sama) adalah sama;
- tidak pasti - dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kedudukan matriks untuk sistem sedemikian adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
Tidak serasi. Pada sistem sedemikian, jajaran matriks utama dan lanjutan tidak bertepatan. Sistem yang tidak serasi tidak mempunyai penyelesaian.

Kaedah Gauss adalah baik kerana ia membolehkan seseorang memperoleh sama ada bukti yang jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa mengira penentu matriks besar) atau penyelesaian umum untuk sistem dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga semasa penyelesaian.

Transformasi asas

Sebelum meneruskan terus ke penyelesaian sistem, adalah mungkin untuk menjadikannya kurang rumit dan lebih mudah untuk pengiraan. Ini dicapai melalui transformasi asas - supaya pelaksanaannya tidak mengubah jawapan akhir dalam apa jua cara. Perlu diingatkan bahawa beberapa transformasi asas di atas hanya sah untuk matriks, yang mana sumbernya adalah tepat SLAE. Berikut ialah senarai transformasi ini:

Pilih atur rentetan. Adalah jelas bahawa jika kita mengubah susunan persamaan dalam rekod sistem, maka ini tidak akan menjejaskan penyelesaian dalam apa cara sekalipun. Akibatnya, ia juga mungkin untuk menukar baris dalam matriks sistem ini, tidak lupa, tentu saja, tentang lajur ahli percuma.
Mendarab semua elemen rentetan dengan beberapa faktor. Sangat berguna! Ia boleh digunakan untuk memendekkan nombor besar dalam matriks atau keluarkan sifar. Set penyelesaian, seperti biasa, tidak akan berubah, dan ia akan menjadi lebih mudah untuk melaksanakan operasi selanjutnya. Perkara utama ialah pekali tidak sama dengan sifar.
Padamkan baris dengan pekali berkadar. Ini sebahagiannya mengikuti perenggan sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks mempunyai pekali berkadar, maka apabila mendarab / membahagi salah satu baris dengan pekali perkadaran, dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang sama sekali diperolehi, dan anda boleh mengalih keluar yang tambahan, hanya meninggalkan satu.
Mengalih keluar baris nol. Jika dalam proses transformasi rentetan diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk ahli bebas, adalah sifar, maka rentetan sedemikian boleh dipanggil sifar dan dibuang keluar dari matriks.
Menambah pada elemen satu baris elemen yang lain (dalam lajur yang sepadan), didarab dengan pekali tertentu. Transformasi yang paling kabur dan paling penting dari semuanya. Ia bernilai memikirkannya dengan lebih terperinci.

Menambah rentetan didarab dengan faktor

Untuk memudahkan pemahaman, proses ini patut dibongkar langkah demi langkah. Dua baris diambil daripada matriks:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Katakan anda perlu menambah yang pertama kepada yang kedua, didarab dengan pekali "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Kemudian dalam matriks baris kedua digantikan dengan yang baru, dan yang pertama tetap tidak berubah.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Perlu diingatkan bahawa faktor pendaraban boleh dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil daripada penambahan dua rentetan, salah satu elemen rentetan baru adalah sama dengan sifar. Oleh itu, adalah mungkin untuk mendapatkan persamaan dalam sistem, di mana akan ada satu yang kurang diketahui. Dan jika anda mendapat dua persamaan sedemikian, maka operasi boleh dilakukan semula dan mendapatkan persamaan yang sudah mengandungi dua kurang tidak diketahui. Dan jika setiap kali kita bertukar kepada sifar satu pekali untuk semua baris yang lebih rendah daripada yang asal, maka kita boleh, seperti langkah, turun ke bahagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini dipanggil menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian.

Secara umum

Biar ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n punca yang tidak diketahui. Anda boleh menulisnya seperti ini:

Matriks utama disusun daripada pekali sistem. Lajur ahli percuma ditambah pada matriks lanjutan dan dipisahkan oleh bar untuk kemudahan.

baris pertama matriks didarab dengan pekali k = (-a 21 / a 11);
baris pertama diubah suai dan baris kedua matriks ditambah;
bukannya baris kedua, hasil penambahan daripada perenggan sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
kini pekali pertama dalam detik baru garis ialah 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Kini siri transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Sehubungan itu, dalam setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan dengan 31 . Kemudian semuanya diulang untuk 41 , ... a m1 . Hasilnya ialah matriks di mana elemen pertama dalam baris adalah sama dengan sifar. Sekarang kita perlu melupakan baris nombor satu dan melaksanakan algoritma yang sama bermula dari baris kedua:

pekali k \u003d (-a 32 / a 22);
baris kedua yang diubah suai ditambah pada baris "semasa";
hasil penambahan digantikan dalam baris ketiga, keempat, dan seterusnya, manakala yang pertama dan kedua kekal tidak berubah;
dalam baris matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan sifar.

Algoritma mesti diulang sehingga pekali k = (-a m,m-1 /a mm) muncul. Ini bermakna bahawa algoritma terakhir dijalankan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Kini matriks kelihatan seperti segi tiga, atau mempunyai bentuk bertingkat. Garis bawah mengandungi kesamaan a mn × x n = b m . Pekali dan sebutan bebas diketahui, dan puncanya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Punca yang terhasil digantikan ke baris atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Dan seterusnya dengan analogi: setiap baris seterusnya mengandungi akar baru, dan, setelah mencapai "bahagian atas" sistem, seseorang boleh mencari banyak penyelesaian . Ia akan menjadi satu-satunya.

Apabila tiada penyelesaian

Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen, kecuali untuk istilah bebas, adalah sama dengan sifar, maka persamaan yang sepadan dengan baris ini kelihatan seperti 0 = b. Ia tidak mempunyai penyelesaian. Dan kerana persamaan sedemikian dimasukkan ke dalam sistem, maka set penyelesaian keseluruhan sistem adalah kosong, iaitu, ia merosot.

Apabila terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

Ia mungkin ternyata dalam yang diberikan matriks segi tiga tiada baris dengan satu elemen-pekali persamaan, dan satu - ahli bebas. Terdapat hanya rentetan yang, apabila ditulis semula, akan kelihatan seperti persamaan dengan dua atau lebih pembolehubah. Ini bermakna sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, jawapan boleh diberikan dalam bentuk penyelesaian umum. Bagaimana hendak melakukannya?

Semua pembolehubah dalam matriks dibahagikan kepada asas dan bebas. Yang asas ialah yang berdiri "di tepi" garisan masuk matriks berlangkah. Selebihnya percuma. Dalam penyelesaian umum, pembolehubah asas ditulis dalam sebutan yang bebas.

Untuk kemudahan, matriks pertama kali ditulis semula ke dalam sistem persamaan. Kemudian pada yang terakhir daripada mereka, di mana hanya satu pembolehubah asas kekal, ia kekal di satu pihak, dan semua yang lain dipindahkan ke yang lain. Ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu pembolehubah asas. Kemudian, dalam persamaan yang lain, jika boleh, bukannya pembolehubah asas, ungkapan yang diperoleh untuknya digantikan. Jika, akibatnya, ungkapan sekali lagi muncul yang mengandungi hanya satu pembolehubah asas, ia sekali lagi dinyatakan dari sana, dan seterusnya, sehingga setiap pembolehubah asas ditulis sebagai ungkapan dengan pembolehubah bebas. Itulah yang berlaku keputusan bersama SLAU.

Anda juga boleh mencari penyelesaian asas sistem - berikan pembolehubah bebas sebarang nilai, dan kemudian untuk kes khusus ini hitung nilai pembolehubah asas. Terdapat banyak penyelesaian tertentu yang tidak terhingga.

Penyelesaian dengan contoh khusus

Berikut adalah sistem persamaan.

Untuk kemudahan, lebih baik untuk segera membuat matriksnya

Adalah diketahui bahawa apabila menyelesaikan dengan kaedah Gauss, persamaan yang sepadan dengan baris pertama akan kekal tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh itu, ia akan menjadi lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama baris yang tinggal selepas operasi akan bertukar kepada sifar. Ini bermakna bahawa dalam matriks yang disusun adalah berfaedah untuk meletakkan yang kedua di tempat baris pertama.

baris kedua: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Sekarang, untuk tidak keliru, perlu menulis matriks dengan keputusan pertengahan transformasi.

Adalah jelas bahawa matriks sedemikian boleh dibuat lebih mudah untuk persepsi dengan bantuan beberapa operasi. Sebagai contoh, anda boleh mengalih keluar semua "tolak" daripada baris kedua dengan mendarab setiap elemen dengan "-1".

Ia juga perlu diperhatikan bahawa dalam baris ketiga semua elemen adalah gandaan tiga. Kemudian anda boleh memendekkan rentetan dengan nombor ini, mendarabkan setiap elemen dengan "-1/3" (tolak - pada masa yang sama, untuk mengalih keluar nilai negatif).

Nampak lebih cantik. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama sahaja dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya ialah menambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan faktor sedemikian sehingga unsur a 32 menjadi sama dengan sifar.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 pecahan sepunya, dan hanya selepas itu, apabila jawapan diterima, tentukan sama ada untuk membulatkan dan menterjemah ke dalam bentuk rekod lain)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matriks ditulis semula dengan nilai baru.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Seperti yang anda lihat, matriks yang terhasil sudah mempunyai bentuk berperingkat. Oleh itu, transformasi lanjut sistem dengan kaedah Gauss tidak diperlukan. Apa yang boleh dilakukan di sini ialah mengeluarkan dari baris ketiga nisbah keseluruhan "-1/7".

Sekarang semuanya cantik. Intinya kecil - tulis semula matriks dalam bentuk sistem persamaan dan kira puncanya

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritma yang mana akar kini akan ditemui dipanggil langkah terbalik dalam kaedah Gauss. Persamaan (3) mengandungi nilai z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dan persamaan pertama membolehkan anda mencari x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Kami mempunyai hak untuk memanggil gabungan sistem sedemikian, dan juga pasti, iaitu, mempunyai penyelesaian yang unik. Jawapan ditulis dalam bentuk berikut:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Contoh sistem tak tentu

Penyelesaian sistem tertentu telah dianalisis dengan kaedah Gaussian, kini adalah perlu untuk mempertimbangkan kes jika sistem itu tidak pasti, iaitu, banyak penyelesaian yang tidak terhingga boleh didapati untuknya.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Penampilan sistem sudah membimbangkan, kerana bilangan yang tidak diketahui ialah n = 5, dan pangkat matriks sistem sudah betul-betul kurang daripada nombor ini, kerana bilangan baris adalah m = 4, iaitu perintah terhebat penentu kuasa dua - 4. Oleh itu, penyelesaian wujud set tak terhingga, dan adalah perlu untuk mencari bentuk amnya. Kaedah Gauss untuk persamaan linear memungkinkan untuk melakukan ini.

Pertama, seperti biasa, matriks tambahan disusun.

Baris kedua: pekali k = (-a 21 / a 11) = -3. Dalam baris ketiga, elemen pertama adalah sebelum transformasi, jadi anda tidak perlu menyentuh apa-apa, anda perlu membiarkannya seperti sedia ada. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mendarabkan elemen baris pertama dengan setiap pekalinya secara bergilir-gilir dan menambahnya pada baris yang dikehendaki, kita mendapat matriks jenis berikut:

Seperti yang anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri daripada elemen yang berkadar antara satu sama lain. Yang kedua dan keempat secara amnya sama, jadi salah satu daripadanya boleh dikeluarkan serta-merta, dan selebihnya didarab dengan pekali "-1" dan dapatkan nombor baris 3. Dan sekali lagi, tinggalkan satu daripada dua baris yang sama.

Ternyata matriks sedemikian. Sistem ini belum lagi ditulis, adalah perlu di sini untuk menentukan pembolehubah asas - berdiri pada pekali 11 \u003d 1 dan 22 \u003d 1, dan percuma - semua yang lain.

Persamaan kedua hanya mempunyai satu pembolehubah asas - x 2 . Oleh itu, ia boleh dinyatakan dari sana, menulis melalui pembolehubah x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.

Kami menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan pertama.

Ternyata persamaan di mana satu-satunya pembolehubah asas ialah x 1. Mari kita lakukan perkara yang sama dengannya seperti dengan x 2 .

Semua pembolehubah asas, yang mana terdapat dua, dinyatakan dalam bentuk tiga pembolehubah percuma, kini anda boleh menulis jawapan dalam bentuk umum.

Anda juga boleh menentukan salah satu daripada penyelesaian tertentu sistem. Untuk kes sedemikian, sebagai peraturan, sifar dipilih sebagai nilai untuk pembolehubah bebas. Maka jawapannya ialah:

16, 23, 0, 0, 0.

Contoh sistem yang tidak serasi

Penyelesaian sistem persamaan yang tidak konsisten dengan kaedah Gauss adalah yang terpantas. Ia berakhir sebaik sahaja pada salah satu peringkat diperoleh persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Iaitu, peringkat dengan pengiraan akar, yang agak panjang dan suram, hilang. Sistem berikut dipertimbangkan:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Seperti biasa, matriks disusun:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Dan ia dikurangkan kepada bentuk berperingkat:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Selepas penjelmaan pertama, baris ketiga mengandungi persamaan bentuk

tidak mempunyai penyelesaian. Oleh itu, sistem itu tidak konsisten, dan jawapannya adalah set kosong.

Kebaikan dan keburukan kaedah

Jika anda memilih kaedah mana untuk menyelesaikan SLAE di atas kertas dengan pen, maka kaedah yang dipertimbangkan dalam artikel ini kelihatan paling menarik. Dalam transformasi asas, adalah lebih sukar untuk dikelirukan daripada yang berlaku jika anda perlu mencari secara manual penentu atau beberapa matriks songsang yang rumit. Walau bagaimanapun, jika anda menggunakan atur cara untuk bekerja dengan data jenis ini, contohnya, hamparan, ternyata program sedemikian sudah mengandungi algoritma untuk mengira parameter utama matriks - penentu, minor, songsang, dan sebagainya. Dan jika anda pasti bahawa mesin akan mengira nilai-nilai ini sendiri dan tidak akan membuat kesilapan, lebih baik menggunakan kaedah matriks atau formula Cramer, kerana aplikasinya bermula dan berakhir dengan pengiraan penentu dan matriks songsang.

Permohonan

Oleh kerana penyelesaian Gaussian ialah algoritma, dan matriks, sebenarnya, tatasusunan dua dimensi, ia boleh digunakan dalam pengaturcaraan. Tetapi memandangkan artikel itu meletakkan dirinya sebagai panduan "untuk dummies", harus dikatakan bahawa tempat paling mudah untuk meletakkan kaedah adalah hamparan, contohnya, Excel. Sekali lagi, mana-mana SLAE yang dimasukkan dalam jadual dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai tatasusunan dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka, terdapat banyak arahan yang bagus: penambahan (anda hanya boleh menambah matriks saiz yang sama!), Pendaraban dengan nombor, pendaraban matriks (juga dengan sekatan tertentu), mencari matriks songsang dan transpos dan, yang paling penting. , mengira penentu. Jika tugas yang memakan masa ini digantikan dengan satu arahan, adalah lebih cepat untuk menentukan pangkat sesuatu matriks dan, oleh itu, untuk mewujudkan keserasian atau ketidakkonsistenannya.

Sejak awal abad ke-16-18, ahli matematik mula mengkaji secara intensif fungsi, terima kasih yang banyak berubah dalam kehidupan kita. Teknologi komputer tanpa pengetahuan ini tidak akan wujud. Untuk penyelesaian tugasan yang mencabar, persamaan dan fungsi linear telah dicipta pelbagai konsep, teorem dan kaedah penyelesaian. Salah satu kaedah dan teknik universal dan rasional untuk menyelesaikan persamaan linear dan sistemnya ialah kaedah Gauss. Matriks, pangkat mereka, penentu - semuanya boleh dikira tanpa menggunakan operasi yang kompleks.

Apa itu SLAU

Dalam matematik, terdapat konsep SLAE - sistem persamaan algebra linear. Apa yang dia wakili? Ini ialah satu set persamaan m dengan n yang diperlukan tidak diketahui, biasanya dilambangkan sebagai x, y, z, atau x 1 , x 2 ... x n, atau simbol lain. Selesaikan dengan kaedah Gauss sistem ini- bermaksud untuk mencari semua yang tidak diketahui yang diperlukan. Jika sistem mempunyai nombor yang sama tidak diketahui dan persamaan, maka ia dipanggil sistem tertib ke-n.

Kaedah yang paling popular untuk menyelesaikan SLAE

AT institusi pendidikan pendidikan menengah sedang mengkaji pelbagai teknik untuk menyelesaikan sistem tersebut. Selalunya ini persamaan mudah, terdiri daripada dua yang tidak diketahui, jadi mana-mana kaedah sedia ada ia tidak akan mengambil masa yang lama untuk mencari jawapan kepada mereka. Ia boleh menjadi seperti kaedah penggantian, apabila persamaan lain diperoleh daripada satu persamaan dan digantikan dengan yang asal. Atau istilah dengan istilah penolakan dan penambahan. Tetapi kaedah Gauss dianggap paling mudah dan paling universal. Ia memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan dengan sebarang bilangan yang tidak diketahui. Mengapa teknik ini dianggap rasional? Semuanya mudah. Kaedah matriks Perkara yang baik ialah di sini tidak perlu menulis semula aksara yang tidak perlu beberapa kali dalam bentuk yang tidak diketahui, sudah cukup untuk melakukan operasi aritmetik pada pekali - dan anda akan mendapat hasil yang boleh dipercayai.

Di manakah SLAE digunakan dalam amalan?

Penyelesaian SLAE ialah titik persilangan garis pada graf fungsi. Dalam zaman komputer berteknologi tinggi kita, orang yang terlibat rapat dalam pembangunan permainan dan program lain perlu tahu cara menyelesaikan sistem sedemikian, perkara yang mereka wakili dan cara menyemak ketepatan keputusan yang terhasil. Selalunya, pengaturcara membangunkan kalkulator algebra linear khas, ini termasuk sistem persamaan linear. Kaedah Gauss membolehkan anda mengira semua penyelesaian sedia ada. Formula dan teknik mudah lain juga digunakan.

Kriteria keserasian SLAE

Sistem sedemikian hanya boleh diselesaikan jika ia serasi. Untuk kejelasan, kami membentangkan SLAE dalam bentuk Ax=b. Ia mempunyai penyelesaian jika rang(A) sama dengan rang(A,b). Dalam kes ini, (A,b) ialah matriks bentuk lanjutan yang boleh diperoleh daripada matriks A dengan menulis semula dengan sebutan bebas. Ternyata menyelesaikan persamaan linear menggunakan kaedah Gaussian agak mudah.

Mungkin beberapa notasi tidak sepenuhnya jelas, jadi perlu mempertimbangkan segala-galanya dengan contoh. Katakan terdapat sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Ia hanya terdiri daripada dua persamaan di mana terdapat 2 yang tidak diketahui. Sistem akan mempunyai penyelesaian hanya jika pangkat matriksnya sama dengan pangkat matriks tambahan. Apakah pangkat? Ini ialah bilangan baris bebas sistem. Dalam kes kami, pangkat matriks ialah 2. Matriks A akan terdiri daripada pekali yang terletak berhampiran yang tidak diketahui, dan pekali di belakang tanda “=” juga akan dimuatkan ke dalam matriks yang diperluaskan.

Mengapa SLAE boleh diwakili dalam bentuk matriks

Berdasarkan kriteria keserasian mengikut teorem Kronecker-Capelli yang telah terbukti, sistem persamaan algebra linear boleh diwakili dalam bentuk matriks. Menggunakan kaedah lata Gaussian, anda boleh menyelesaikan matriks dan mendapatkan satu-satunya jawapan yang boleh dipercayai untuk keseluruhan sistem. Jika pangkat matriks biasa adalah sama dengan pangkat matriks lanjutannya, tetapi kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, maka sistem mempunyai bilangan jawapan yang tidak terhingga.

Transformasi matriks

Sebelum meneruskan ke menyelesaikan matriks, adalah perlu untuk mengetahui tindakan yang boleh dilakukan pada unsur-unsurnya. Terdapat beberapa transformasi asas:

Menulis semula sistem ke pandangan matriks dan menyedari penyelesaiannya, adalah mungkin untuk mendarab semua unsur siri dengan pekali yang sama.
Untuk menukar matriks kepada bentuk kanonik, dua baris selari boleh ditukar. Bentuk kanonik membayangkan bahawa semua elemen matriks yang terletak di sepanjang pepenjuru utama menjadi satu, dan yang selebihnya menjadi sifar.
Unsur-unsur yang sepadan bagi baris selari matriks boleh ditambah satu kepada yang lain.

Kaedah Jordan-Gauss

Intipati sistem penyelesaian linear homogen dan persamaan tak homogen Kaedah Gaussian adalah untuk menghapuskan yang tidak diketahui secara beransur-ansur. Katakan kita mempunyai sistem dua persamaan di mana terdapat dua yang tidak diketahui. Untuk mencarinya, anda perlu menyemak sistem untuk keserasian. Persamaan Gaussian diselesaikan dengan sangat mudah. Ia adalah perlu untuk menulis pekali yang terletak berhampiran setiap yang tidak diketahui dalam bentuk matriks. Untuk menyelesaikan sistem, anda perlu menulis matriks tambahan. Jika salah satu persamaan mengandungi bilangan tidak diketahui yang lebih kecil, maka "0" mesti diletakkan di tempat elemen yang hilang. Semua kaedah transformasi yang diketahui digunakan pada matriks: pendaraban, pembahagian dengan nombor, menambah unsur baris yang sepadan antara satu sama lain, dan lain-lain. Ternyata dalam setiap baris adalah perlu untuk meninggalkan satu pembolehubah dengan nilai "1", selebihnya membawa kepada fikiran sifar. Untuk pemahaman yang lebih tepat, adalah perlu untuk mempertimbangkan kaedah Gauss dengan contoh.

Contoh mudah untuk menyelesaikan sistem 2x2

Sebagai permulaan, mari kita ambil sistem persamaan algebra yang mudah, di mana terdapat 2 yang tidak diketahui.

Mari kita tulis semula dalam matriks tambahan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, hanya dua operasi diperlukan. Kita perlu membawa matriks ke bentuk kanonik supaya terdapat unit di sepanjang pepenjuru utama. Jadi, menterjemah dari bentuk matriks kembali ke dalam sistem, kita mendapat persamaan: 1x+0y=b1 dan 0x+1y=b2, di mana b1 dan b2 ialah jawapan yang diperolehi dalam proses penyelesaian.

Langkah pertama dalam menyelesaikan matriks tambahan adalah seperti berikut: baris pertama mesti didarab dengan -7 dan elemen yang sepadan ditambah pada baris kedua, masing-masing, untuk menyingkirkan satu yang tidak diketahui dalam persamaan kedua.
Memandangkan penyelesaian persamaan dengan kaedah Gauss membayangkan membawa matriks kepada bentuk kanonik, maka adalah perlu untuk melakukan operasi yang sama dengan persamaan pertama dan mengeluarkan pembolehubah kedua. Untuk melakukan ini, kami menolak baris kedua dari yang pertama dan dapatkan jawapan yang diperlukan - penyelesaian SLAE. Atau, seperti yang ditunjukkan dalam rajah, kami mendarabkan baris kedua dengan faktor -1 dan menambah elemen baris kedua ke baris pertama. Ini pun sama.

Seperti yang anda lihat, sistem kami diselesaikan dengan kaedah Jordan-Gauss. Kami menulis semula dalam bentuk yang diperlukan: x=-5, y=7.

Contoh penyelesaian SLAE 3x3

Katakan kita mempunyai sistem persamaan linear yang lebih kompleks. Kaedah Gauss memungkinkan untuk mengira jawapan walaupun untuk sistem yang paling mengelirukan. Oleh itu, untuk mendalami metodologi pengiraan, anda boleh beralih kepada lebih banyak lagi contoh yang kompleks dengan tiga yang tidak diketahui.

Seperti dalam contoh sebelumnya, kami menulis semula sistem dalam bentuk matriks yang diperluas dan mula membawanya ke bentuk kanonik.

Untuk menyelesaikan sistem ini, anda perlu melakukan lebih banyak tindakan daripada contoh sebelumnya.

Mula-mula anda perlu membuat dalam lajur pertama satu elemen tunggal dan selebihnya sifar. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan pertama dengan -1 dan tambahkan persamaan kedua kepadanya. Adalah penting untuk diingat bahawa kita menulis semula baris pertama dalam bentuk asalnya, dan yang kedua - sudah dalam bentuk yang diubah suai.
Seterusnya, kami mengeluarkan yang tidak diketahui pertama yang sama daripada persamaan ketiga. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan elemen baris pertama dengan -2 dan menambahnya ke baris ketiga. Sekarang baris pertama dan kedua ditulis semula dalam bentuk asalnya, dan yang ketiga - sudah ada perubahan. Seperti yang anda lihat daripada hasilnya, kami mendapat yang pertama pada permulaan pepenjuru utama matriks dan selebihnya adalah sifar. Beberapa tindakan lagi, dan sistem persamaan dengan kaedah Gauss akan diselesaikan dengan pasti.
Kini anda perlu melakukan operasi pada elemen lain baris. Langkah ketiga dan keempat boleh digabungkan menjadi satu. Kita perlu membahagikan baris kedua dan ketiga dengan -1 untuk menyingkirkan yang negatif pada pepenjuru. Kami telah membawa baris ketiga ke borang yang diperlukan.
Seterusnya, kami mengkanonikal baris kedua. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan elemen baris ketiga dengan -3 dan menambahnya ke baris kedua matriks. Ia boleh dilihat daripada keputusan bahawa baris kedua juga dikurangkan kepada bentuk yang kita perlukan. Ia kekal untuk melakukan beberapa operasi lagi dan mengalih keluar pekali yang tidak diketahui dari baris pertama.
Untuk membuat 0 daripada elemen kedua baris, anda perlu mendarab baris ketiga dengan -3 dan menambahnya pada baris pertama.
Langkah penentu seterusnya ialah menambah elemen yang diperlukan pada baris kedua ke baris pertama. Jadi kita mendapat bentuk kanonik matriks, dan, dengan itu, jawapannya.

Seperti yang anda lihat, penyelesaian persamaan dengan kaedah Gauss agak mudah.

Contoh penyelesaian sistem persamaan 4x4

Sedikit lagi sistem yang kompleks persamaan boleh diselesaikan dengan kaedah Gaussian dengan cara program komputer. Ia adalah perlu untuk memacu pekali untuk yang tidak diketahui ke dalam sel kosong sedia ada, dan program akan mengira hasil yang diperlukan langkah demi langkah, menerangkan setiap tindakan secara terperinci.

Terangkan di bawah arahan langkah demi langkah penyelesaian kepada contoh ini.

Dalam langkah pertama, pekali percuma dan nombor untuk yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam sel kosong. Oleh itu, kita mendapat matriks tambahan yang sama yang kita tulis dengan tangan.

Dan semua operasi aritmetik yang diperlukan dilakukan untuk membawa matriks lanjutan kepada bentuk kanonik. Perlu difahami bahawa jawapan kepada sistem persamaan tidak selalunya integer. Kadangkala penyelesaiannya boleh daripada nombor pecahan.

Menyemak ketepatan penyelesaian

Kaedah Jordan-Gauss menyediakan untuk menyemak ketepatan keputusan. Untuk mengetahui sama ada pekali dikira dengan betul, anda hanya perlu menggantikan hasilnya ke dalam sistem persamaan asal. Sebelah kiri daripada persamaan mesti sepadan dengan bahagian kanan, yang berada di belakang tanda sama. Jika jawapan tidak sepadan, maka anda perlu mengira semula sistem atau cuba menggunakan kaedah lain untuk menyelesaikan SLAE yang anda ketahui, seperti penggantian atau penolakan dan penambahan istilah demi sebutan. Lagipun, matematik adalah sains yang mempunyai jumlah yang besar pelbagai teknik penyelesaian. Tetapi ingat: keputusan harus sentiasa sama, tidak kira kaedah penyelesaian yang anda gunakan.

Kaedah Gauss: ralat yang paling biasa dalam menyelesaikan SLAE

Semasa penyelesaian sistem persamaan linear, ralat paling kerap berlaku, seperti pemindahan pekali yang salah kepada bentuk matriks. Terdapat sistem di mana beberapa yang tidak diketahui hilang dalam salah satu persamaan, kemudian, memindahkan data ke matriks yang diperluas, mereka boleh hilang. Akibatnya, apabila menyelesaikan sistem ini, hasilnya mungkin tidak sepadan dengan yang sebenar.

Satu lagi kesilapan utama boleh menjadi salah menulis keputusan akhir. Ia mesti difahami dengan jelas bahawa pekali pertama akan sesuai dengan yang pertama tidak diketahui dari sistem, yang kedua - kepada yang kedua, dan seterusnya.

Kaedah Gauss menerangkan secara terperinci penyelesaian persamaan linear. Terima kasih kepadanya, mudah untuk melakukan operasi yang diperlukan dan mencari hasil yang betul. Di samping itu, ini ubat universal untuk mencari jawapan yang boleh dipercayai kepada persamaan apa-apa kerumitan. Mungkin itulah sebabnya ia sering digunakan dalam menyelesaikan SLAE.

1. Sistem persamaan algebra linear

1.1 Konsep sistem persamaan algebra linear

Sistem persamaan ialah keadaan yang terdiri daripada pelaksanaan serentak beberapa persamaan dalam beberapa pembolehubah. Sistem persamaan algebra linear (selepas ini dirujuk sebagai SLAE) yang mengandungi m persamaan dan n tidak diketahui ialah sistem dalam bentuk:

di mana nombor a ij dipanggil pekali sistem, nombor b i adalah ahli bebas, aij dan b i(i=1,…, m; b=1,…, n) adalah beberapa nombor yang diketahui, dan x 1 ,…, x n- tidak diketahui. Dalam tatatanda pekali aij indeks pertama i menandakan nombor persamaan, dan indeks kedua j ialah nombor yang tidak diketahui di mana pekali ini berdiri. Tertakluk kepada mencari nombor x n . Adalah mudah untuk menulis sistem sedemikian dalam bentuk matriks padat: AX=B. Di sini A ialah matriks pekali sistem, dipanggil matriks utama;

ialah vektor lajur xj yang tidak diketahui.
ialah vektor lajur ahli percuma bi.

Hasil darab matriks A * X ditakrifkan, kerana terdapat sama banyak lajur dalam matriks A berbanding baris dalam matriks X (n keping).

Matriks lanjutan sistem ialah matriks A sistem, ditambah dengan lajur ahli bebas

1.2 Penyelesaian sistem persamaan algebra linear

Penyelesaian sistem persamaan ialah set nombor tersusun (nilai pembolehubah), apabila menggantikannya dan bukannya pembolehubah, setiap persamaan sistem bertukar menjadi kesamaan sebenar.

Penyelesaian sistem ialah n nilai x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, menggantikan semua persamaan sistem menjadi kesamaan sebenar. Sebarang penyelesaian sistem boleh ditulis sebagai lajur matriks

Sistem persamaan dipanggil konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, dan tidak konsisten jika ia tidak mempunyai penyelesaian.

Sistem gabungan dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak tentu jika ia mempunyai lebih daripada satu penyelesaian. AT kes terakhir setiap penyelesaiannya dipanggil penyelesaian tertentu sistem. Set semua penyelesaian tertentu dipanggil penyelesaian umum.

Untuk menyelesaikan sistem bermaksud untuk mengetahui sama ada ia konsisten atau tidak konsisten. Jika sistem itu serasi, cari penyelesaian amnya.

Dua sistem dipanggil setara (setara) jika mereka mempunyai penyelesaian umum yang sama. Dalam erti kata lain, sistem adalah setara jika setiap penyelesaian kepada salah satu daripada mereka adalah penyelesaian kepada yang lain, dan sebaliknya.

Satu transformasi, aplikasi yang mengubah sistem menjadi sistem baru, bersamaan dengan yang asal, dipanggil transformasi setara atau setara. Contoh transformasi yang setara penjelmaan berikut boleh berfungsi: menukar dua persamaan sistem, menukar dua yang tidak diketahui bersama dengan pekali semua persamaan, mendarab kedua-dua bahagian mana-mana persamaan sistem dengan nombor bukan sifar.

Sistem persamaan linear dipanggil homogen jika semua sebutan bebas sama dengan sifar:

Sistem homogen sentiasa konsisten, kerana x1=x2=x3=…=xn=0 ialah penyelesaian kepada sistem. Penyelesaian ini dipanggil batal atau remeh.

2. Kaedah penghapusan Gaussian

2.1 Intipati kaedah penghapusan Gaussian

Kaedah klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear ialah kaedah pengecualian berurutan tidak diketahui - Kaedah Gauss(Ia juga dipanggil kaedah penghapusan Gaussian). Ini adalah kaedah penghapusan pembolehubah berturut-turut, apabila, dengan bantuan transformasi asas, sistem persamaan dikurangkan kepada sistem yang setara bentuk stepwise (atau segi tiga), dari mana semua pembolehubah lain ditemui secara berurutan, bermula dengan pembolehubah terakhir (mengikut nombor).

Proses penyelesaian Gaussian terdiri daripada dua peringkat: pergerakan ke hadapan dan ke belakang.

1. Pergerakan langsung.

Pada peringkat pertama, apa yang dipanggil gerakan langsung dijalankan, apabila, melalui transformasi asas ke atas baris, sistem dibawa ke bentuk berperingkat atau segi tiga, atau didapati bahawa sistem itu tidak konsisten. Iaitu, antara elemen lajur pertama matriks, satu bukan sifar dipilih, ia dipindahkan ke kedudukan paling atas dengan mengubah suai baris, dan baris pertama yang diperoleh selepas pilih atur ditolak daripada baris yang tinggal, mendarabkannya dengan nilai yang sama dengan nisbah elemen pertama bagi setiap baris ini kepada elemen pertama baris pertama, dengan itu mensifarkan lajur di bawahnya.

Selepas penjelmaan yang ditunjukkan telah dibuat, baris pertama dan lajur pertama dicoret secara mental dan diteruskan sehingga matriks saiz sifar kekal. Jika pada beberapa lelaran antara elemen lajur pertama tidak dijumpai bukan sifar, kemudian pergi ke lajur seterusnya dan lakukan operasi yang serupa.

Pada peringkat pertama (lari ke hadapan), sistem dikurangkan kepada bentuk berperingkat (khususnya, segi tiga).

Sistem di bawah adalah secara berperingkat:

Koefisien aii dipanggil elemen utama (terutama) sistem.

(jika a11=0, susun semula baris matriks supaya a 11 tidak sama dengan 0. Ini sentiasa mungkin, kerana jika tidak matriks mengandungi lajur sifar, penentunya adalah sama dengan sifar dan sistem tidak konsisten).

Kami mengubah sistem dengan menghapuskan x1 yang tidak diketahui dalam semua persamaan kecuali yang pertama (menggunakan transformasi asas sistem). Untuk melakukan ini, darabkan kedua-dua belah persamaan pertama dengan

dan tambah sebutan dengan sebutan dengan persamaan kedua sistem (atau daripada persamaan kedua kita tolak sebutan dengan sebutan yang pertama didarab dengan ). Kemudian kita darabkan kedua-dua bahagian persamaan pertama dengan dan tambahkannya pada persamaan ketiga sistem (atau tolak yang pertama didarab dengan sebutan ketiga dengan sebutan). Oleh itu, kita berturut-turut mendarab baris pertama dengan nombor dan menambah kepada i-baris ke-, untuk i= 2, 3, …,n.

Meneruskan proses ini, kami mendapat sistem yang setara:

– nilai baru pekali untuk istilah yang tidak diketahui dan bebas dalam persamaan m-1 terakhir sistem, yang ditentukan oleh formula:

Oleh itu, pada langkah pertama, semua pekali di bawah elemen utama pertama a 11 dimusnahkan

0, langkah kedua memusnahkan elemen di bawah elemen pendahulu kedua a 22 (1) (jika a 22 (1) 0), dan seterusnya. Meneruskan proses ini lagi, kami akhirnya akan mengurangkan sistem asal kepada sistem segi tiga pada langkah (m-1).

Jika, dalam proses mengurangkan sistem kepada bentuk berperingkat, persamaan sifar muncul, i.e. kesamaan bentuk 0=0, ia dibuang. Jika terdapat persamaan bentuk

Ini menunjukkan ketidakserasian sistem.

Ini melengkapkan kursus langsung kaedah Gauss.

2. Pergerakan songsang.

Pada peringkat kedua, apa yang dipanggil langkah terbalik dijalankan, intipatinya adalah untuk menyatakan semua pembolehubah asas yang terhasil dari segi bukan asas dan membina sistem asas penyelesaian, atau, jika semua pembolehubah adalah asas, maka ungkapkan dalam bentuk berangka satu-satunya penyelesaian sistem persamaan linear.

Prosedur ini bermula dengan persamaan terakhir, dari mana pembolehubah asas yang sepadan dinyatakan (hanya satu di dalamnya) dan digantikan dengan persamaan sebelumnya, dan seterusnya, naik "langkah" ke atas.

Setiap baris sepadan dengan tepat satu pembolehubah asas, jadi pada setiap langkah, kecuali untuk yang terakhir (paling atas), keadaan betul-betul mengulangi kes baris terakhir.

Nota: dalam amalan, adalah lebih mudah untuk bekerja bukan dengan sistem, tetapi dengan matriks lanjutannya, melakukan semua transformasi asas pada barisnya. Adalah mudah bahawa pekali a11 adalah sama dengan 1 (susun semula persamaan, atau bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a11).

2.2 Contoh penyelesaian SLAE dengan kaedah Gauss

AT bahagian ini tiga pelbagai contoh Mari kita tunjukkan bagaimana SLAE boleh diselesaikan dengan kaedah Gauss.

Contoh 1. Selesaikan SLAE daripada tertib ke-3.

Tetapkan pekali kepada sifar pada

dalam baris kedua dan ketiga. Untuk melakukan ini, darabkannya dengan 2/3 dan 1, masing-masing, dan tambahkannya ke baris pertama:

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan, yang mesti diselesaikan (cari nilai yang tidak diketahui хi yang menjadikan setiap persamaan sistem menjadi kesamaan).

Kita tahu bahawa sistem persamaan algebra linear boleh:

1) Tiada penyelesaian (jadi tidak serasi).
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Mempunyai penyelesaian yang unik.

Seperti yang kita ingat, peraturan Cramer dan kaedah matriks tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Kaedah Gauss – alat yang paling berkuasa dan serba boleh untuk mencari penyelesaian kepada mana-mana sistem persamaan linear, yang dalam setiap kes membawa kami kepada jawapan! Algoritma kaedah dalam ketiga-tiga kes berfungsi dengan cara yang sama. Jika kaedah Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang penentu, maka aplikasi kaedah Gauss memerlukan pengetahuan hanya operasi aritmetik, yang menjadikannya boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah rendah.

1) dengan troky matriks boleh susun semula tempat.

2) jika terdapat (atau ada) baris berkadar (sebagai kes khas - serupa) dalam matriks, maka ia mengikuti padam daripada matriks, semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga mengikuti padam.

4) baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor selain sifar.

5) ke baris matriks, anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar.

Dalam kaedah Gauss, transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan.

Kaedah Gauss terdiri daripada dua peringkat:

"Pergerakan langsung" - menggunakan transformasi asas, bawa matriks lanjutan sistem persamaan algebra linear ke bentuk langkah "segi tiga": unsur-unsur matriks lanjutan yang terletak di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar (gerakan atas-bawah ). Sebagai contoh, untuk jenis ini:

Untuk melakukan ini, lakukan langkah berikut:

3) Kami meneruskan ke persamaan seterusnya dan seterusnya sehingga satu istilah bebas yang tidak diketahui dan diubah kekal kekal.

"Langkah terbalik" kaedah Gauss adalah untuk mendapatkan penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear (langkah "bawah-atas"). Daripada persamaan "rendah" terakhir kita mendapat satu penyelesaian pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan asas A * x n \u003d B. Dalam contoh di atas, x 3 \u003d 4. Kami menggantikan nilai yang ditemui dalam persamaan seterusnya "atas" dan menyelesaikannya berkenaan dengan yang tidak diketahui seterusnya. Sebagai contoh, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. Dan seterusnya sehingga kita menemui semua yang tidak diketahui.

Contoh.

Kami menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, seperti yang dinasihatkan oleh beberapa penulis:

Kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, membawanya ke bentuk langkah:

2 langkah . Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah ke baris kedua. Baris pertama didarab dengan 3 ditambah kepada baris ketiga.

4 langkah . Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, didarab dengan 2.

5 langkah . Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, oleh itu x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Jawab:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang dicadangkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bahagikan persamaan kedua dengan 5 dan yang ketiga dengan 3. Kita dapat:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Darabkan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita dapat:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangkan persamaan pertama daripada persamaan kedua dan ketiga, kita mempunyai:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bahagikan persamaan ketiga dengan 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Darabkan persamaan ketiga dengan 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Kurangkan persamaan kedua daripada persamaan ketiga, kita mendapat matriks tambahan "berlangkah":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Oleh itu, kerana ralat terkumpul dalam proses pengiraan, kami mendapat x 3 \u003d 0.96, atau kira-kira 1.

x 2 \u003d 3 dan x 1 \u003d -1.

Menyelesaikan dengan cara ini, anda tidak akan pernah keliru dalam pengiraan dan, walaupun terdapat ralat pengiraan, anda akan mendapat hasilnya.

Semoga berjaya! Jumpa anda di dalam kelas! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.