Kaedah Job Gauss. Kaedah Gauss Songsang

Di sini anda boleh menyelesaikan sistem persamaan linear secara percuma Kaedah Gauss dalam talian saiz besar dalam nombor kompleks dengan penyelesaian yang sangat terperinci. Kalkulator kami boleh menyelesaikan dalam talian kedua-dua sistem persamaan linear pasti dan tak tentu biasa menggunakan kaedah Gaussian, yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, dalam jawapan anda akan menerima pergantungan beberapa pembolehubah melalui yang lain, yang percuma. Anda juga boleh menyemak sistem persamaan untuk keserasian dalam talian menggunakan penyelesaian Gaussian.

Mengenai kaedah

Apabila menyelesaikan sistem persamaan linear dalam talian dengan kaedah Gauss, langkah-langkah berikut dilakukan.

Kami menulis matriks tambahan.
Malah, penyelesaiannya dibahagikan kepada langkah ke hadapan dan ke belakang kaedah Gaussian. Pergerakan langsung kaedah Gauss dipanggil pengurangan matriks kepada bentuk berperingkat. Pergerakan terbalik kaedah Gauss ialah pengurangan matriks kepada bentuk berperingkat khas. Tetapi dalam amalan, adalah lebih mudah untuk segera memusnahkan perkara di atas dan di bawah elemen yang dipersoalkan. Kalkulator kami menggunakan pendekatan ini dengan tepat.
Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa apabila menyelesaikan dengan kaedah Gauss, kehadiran dalam matriks sekurang-kurangnya satu baris sifar dengan sisi kanan bukan sifar (lajur ahli bebas) menunjukkan ketidakkonsistenan sistem. Penyelesaian sistem linear dalam kes ini tidak wujud.

Untuk lebih memahami cara algoritma Gaussian berfungsi dalam talian, masukkan sebarang contoh, pilih "penyelesaian yang sangat terperinci" dan lihat penyelesaiannya dalam talian.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss. Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem daripada n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri dalam pengecualian berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui: pertama, yang x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x2 semua persamaan, bermula dengan yang ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah yang tidak diketahui kekal dalam persamaan terakhir x n. Proses mengubah persamaan sistem untuk penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui dipanggil kaedah Gauss langsung. Selepas selesai langkah ke hadapan kaedah Gauss, dari persamaan terakhir kita dapati x n, menggunakan nilai ini daripada persamaan kedua terakhir dikira xn-1, dan seterusnya, daripada persamaan pertama ditemui x 1. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil kaedah Gauss terbalik.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dari yang kedua. Untuk melakukan ini, tambahkan persamaan pertama didarab dengan persamaan kedua sistem, tambahkan pertama didarab dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, ke ke-n tambahkan persamaan pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a .

Kami akan sampai pada keputusan yang sama jika kami menyatakan x 1 melalui pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan ungkapan yang terhasil telah digantikan ke dalam semua persamaan lain. Jadi pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dengan yang kedua.

Seterusnya, kami bertindak sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang terhasil, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, tambahkan kedua didarab dengan persamaan ketiga sistem, tambah kedua didarab dengan persamaan keempat, dan seterusnya, ke ke-n tambah persamaan kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a . Jadi pembolehubah x2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dengan yang ketiga.

Seterusnya, kami meneruskan ke penghapusan yang tidak diketahui x 3, manakala kita bertindak serupa dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Oleh itu, kami meneruskan kursus terus kaedah Gauss sehingga sistem mengambil bentuk

Dari saat ini, kita memulakan laluan terbalik kaedah Gauss: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n cari xn-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama.

Contoh.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kaedah Gaussian.

Carl Friedrich Gauss, ahli matematik terhebat, teragak-agak untuk masa yang lama, memilih antara falsafah dan matematik. Mungkin pemikiran seperti itu yang membolehkannya "meninggalkan" begitu ketara dalam sains dunia. Khususnya, dengan mencipta "Kaedah Gauss" ...

Selama hampir 4 tahun, artikel laman web ini adalah berkaitan dengan pendidikan sekolah, terutamanya dari sudut pandangan falsafah, prinsip-prinsip (salah)faham yang diperkenalkan ke dalam minda kanak-kanak. Masanya akan datang untuk lebih spesifik, contoh dan kaedah ... Saya percaya bahawa ini adalah pendekatan kepada yang biasa, mengelirukan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil yang terbaik.

Kita manusia sangat tersusun sehingga tidak kira berapa banyak yang anda bercakap pemikiran abstrak, tetapi persefahaman sentiasa berlaku melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka adalah mustahil untuk menangkap prinsip ... Betapa mustahilnya berada di puncak gunung selain daripada melalui seluruh cerunnya dari kaki.

Sama dengan sekolah: buat masa ini kisah hidup tidak cukup kita secara naluri terus menganggapnya sebagai tempat di mana kanak-kanak diajar untuk memahami.

Contohnya, mengajar kaedah Gauss...

Kaedah Gauss dalam gred 5 sekolah

Saya akan membuat tempahan dengan segera: kaedah Gauss mempunyai aplikasi yang lebih luas, contohnya, semasa menyelesaikan sistem persamaan linear. Apa yang kita akan bincangkan berlaku di tingkatan 5. ini mulakan, setelah memahami yang mana, adalah lebih mudah untuk memahami lebih banyak "pilihan lanjutan". Dalam artikel ini kita bercakap tentang kaedah (kaedah) Gauss apabila mencari jumlah siri

Berikut adalah contoh yang dibawa oleh anak bongsu saya dari sekolah, menghadiri gred 5 gimnasium Moscow.

Demonstrasi sekolah kaedah Gauss

Seorang guru matematik menggunakan papan putih interaktif (kaedah pengajaran moden) menunjukkan kepada kanak-kanak persembahan cerita "penciptaan kaedah" oleh Gauss kecil.

Guru sekolah menyebat Carl kecil (kaedah ketinggalan zaman, kini tidak digunakan di sekolah) kerana,

bukannya menambah nombor secara berurutan dari 1 hingga 100 untuk mencari jumlahnya perasan bahawa pasangan nombor yang sama jarak dari tepi janjang aritmetik ditambah kepada nombor yang sama. contohnya, 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah mengira bilangan pasangan tersebut, Gauss kecil hampir serta-merta menyelesaikan masalah yang dicadangkan oleh guru. Yang mana dia telah dikenakan hukuman mati di hadapan orang ramai yang terkejut. Bagi yang lain untuk berfikir adalah tidak hormat.

Apa yang Gauss kecil lakukan dibangunkan rasa nombor? perasan beberapa ciri siri nombor dengan langkah tetap (janjang aritmetik). Dan betul-betul ini menjadikannya seorang saintis yang hebat, dapat perasan, memiliki perasaan, naluri kefahaman.

Ini adalah nilai matematik, yang berkembang kebolehan melihat am khususnya - pemikiran abstrak. Oleh itu, kebanyakan ibu bapa dan majikan secara naluri menganggap matematik sebagai disiplin yang penting ...

“Matematik harus diajar kemudian, supaya ia menyusun fikiran.
M.V. Lomonosov".

Walau bagaimanapun, pengikut mereka yang menyebat genius masa depan mengubah Kaedah menjadi sesuatu yang bertentangan. Seperti yang dikatakan oleh penyelia saya 35 tahun yang lalu: "Mereka mempelajari soalan itu." Atau, seperti yang dikatakan oleh anak bongsu saya semalam mengenai kaedah Gauss: "Mungkin ia tidak berbaloi untuk membuat sains besar daripada ini, ya?"

Akibat kreativiti para "saintis" dapat dilihat pada tahap matematik sekolah semasa, tahap pengajaran dan pemahamannya tentang "Ratu Sains" oleh majoriti.

Namun, mari kita teruskan...

Kaedah untuk menerangkan kaedah Gauss dalam gred 5 sekolah

Seorang guru matematik di gimnasium Moscow, menerangkan kaedah Gauss dengan cara Vilenkin, merumitkan tugas itu.

Bagaimana jika perbezaan (langkah) janjang aritmetik bukan satu, tetapi nombor lain? Contohnya, 20.

Tugas yang dia berikan kepada pelajar tingkatan lima:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Sebelum membiasakan diri dengan kaedah gimnasium, mari lihat Web: bagaimana guru sekolah - tutor matematik melakukannya? ..

Kaedah Gauss: Penjelasan #1

Seorang tutor terkenal di saluran YOUTUBEnya memberikan alasan berikut:

"mari kita tulis nombor dari 1 hingga 100 seperti ini:

pertama satu siri nombor dari 1 hingga 50, dan betul-betul di bawahnya satu siri nombor lain dari 50 hingga 100, tetapi dalam susunan terbalik"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Sila ambil perhatian: jumlah setiap pasangan nombor dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung bilangan pasangan, ia adalah 50 dan darabkan hasil tambah satu pasangan dengan bilangan pasangan! Voila: The jawapan sudah sedia!".

“Kalau tak faham, jangan marah!” ulang guru itu sebanyak tiga kali semasa penerangan. "Anda akan lulus kaedah ini dalam darjah 9!"

Kaedah Gauss: Penjelasan #2

Seorang lagi tutor, kurang dikenali (berdasarkan bilangan tontonan) mengambil pendekatan yang lebih saintifik, menawarkan algoritma penyelesaian 5 mata yang mesti dilengkapkan mengikut urutan.

Bagi yang belum tahu: 5 ialah salah satu nombor Fibonacci yang secara tradisinya dianggap ajaib. Kaedah 5 langkah sentiasa lebih saintifik daripada kaedah 6 langkah, contohnya. ... Dan ini bukan kemalangan, kemungkinan besar, Pengarang adalah penganut tersembunyi teori Fibonacci

Diberi janjang aritmetik: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritma untuk mencari jumlah nombor dalam satu siri menggunakan kaedah Gauss:

Langkah 1: tulis semula urutan nombor yang diberikan secara terbalik, betul-betul di bawah yang pertama.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Langkah 2: hitung jumlah pasangan nombor yang disusun dalam baris menegak: 260.

Langkah 3: kira berapa banyak pasangan tersebut dalam siri nombor. Untuk melakukan ini, tolak minimum daripada bilangan maksimum siri nombor dan bahagikan dengan saiz langkah: (256 - 4) / 6 = 42.

Pada masa yang sama, anda perlu ingat tentang ditambah satu peraturan : satu mesti ditambah kepada hasil bahagi yang terhasil: jika tidak, kita akan mendapat keputusan yang kurang satu daripada bilangan pasangan sebenar: 42 + 1 = 43.

Langkah 4: darab hasil tambah satu pasangan nombor dengan bilangan pasangan: 260 x 43 = 11,180

Langkah 5: kerana kami mengira jumlahnya pasangan nombor, maka jumlah yang diterima hendaklah dibahagikan dengan dua: 11 180 / 2 = 5590.

Ini ialah jumlah yang dikehendaki bagi janjang aritmetik dari 4 hingga 256 dengan perbezaan 6!

Kaedah Gauss: penjelasan dalam gred 5 gimnasium Moscow

Dan inilah cara ia diperlukan untuk menyelesaikan masalah mencari jumlah siri:

20+40+60+ ... +460+480+500

di gred 5 gimnasium Moscow, buku teks Vilenkin (menurut anak saya).

Selepas menunjukkan pembentangan, guru matematik menunjukkan beberapa contoh Gaussian dan memberi kelas tugas mencari jumlah nombor dalam satu siri dengan langkah 20.

Ini memerlukan perkara berikut:

Langkah 1: pastikan anda menulis semua nombor dalam baris dalam buku nota dari 20 hingga 500 (bertambah 20).

Langkah 2: tulis sebutan berturut-turut - pasangan nombor: yang pertama dengan yang terakhir, yang kedua dengan yang kedua dari belakang, dsb. dan mengira jumlah mereka.

Langkah 3: hitung "jumlah jumlah" dan cari jumlah keseluruhan siri.

Seperti yang anda lihat, ini adalah teknik yang lebih padat dan cekap: nombor 3 juga merupakan ahli jujukan Fibonacci

Komen saya tentang kaedah Gauss versi sekolah

Ahli matematik yang hebat itu pasti akan memilih falsafah jika dia telah meramalkan apa yang pengikutnya akan mengubah "kaedah"nya. guru Jerman yang menyebat Karl dengan kayu. Dia akan melihat simbolisme dan lingkaran dialektik dan kebodohan yang tidak pernah mati dari "guru" cuba mengukur keharmonian pemikiran matematik yang hidup dengan algebra salah faham ....

By the way, tahukah anda. bahawa sistem pendidikan kita berakar umbi dari sekolah Jerman pada abad ke-18 dan ke-19?

Tetapi Gauss memilih matematik.

Apakah intipati kaedah beliau?

AT penyederhanaan. AT pemerhatian dan tangkapan pola nombor yang mudah. AT menukar aritmetik sekolah kering kepada aktiviti yang menarik dan menyeronokkan , mengaktifkan keinginan untuk meneruskan dalam otak, dan tidak menghalang aktiviti mental kos tinggi.

Adakah mungkin untuk mengira jumlah nombor janjang aritmetik dengan salah satu daripada "pengubahsuaian kaedah Gauss" di atas serta merta? Menurut "algoritma", Karl kecil akan dijamin untuk mengelakkan pukulan, memupuk keengganan untuk matematik dan menyekat dorongan kreatifnya sejak awal.

Mengapa tutor begitu bersungguh-sungguh menasihati pelajar kelas lima "jangan takut salah faham" tentang kaedah itu, meyakinkan mereka bahawa mereka akan menyelesaikan masalah "sebegitu" sudah di gred ke-9? Tindakan buta huruf secara psikologi. Ia adalah idea yang baik untuk diperhatikan: "Nampak? Awak dah darjah 5 pun boleh selesaikan masalah yang anda akan lalui hanya dalam masa 4 tahun! Alangkah baiknya kamu!"

Untuk menggunakan kaedah Gaussian, tahap 3 kelas adalah mencukupi apabila kanak-kanak biasa sudah tahu menambah, mendarab dan membahagi nombor 2-3 digit. Masalah timbul kerana ketidakupayaan guru dewasa yang "tidak masuk" bagaimana untuk menerangkan perkara yang paling mudah dalam bahasa manusia biasa, bukan sekadar matematik ... Mereka tidak dapat menarik minat matematik dan tidak menggalakkan sepenuhnya walaupun yang "mampu".

Atau, seperti yang diulas oleh anak saya, "buat sains yang besar daripadanya."

Bagaimana (dalam kes umum) untuk mengetahui nombor mana rekod nombor dalam kaedah No. 1 harus "dibuka"?

Apa yang perlu dilakukan jika bilangan ahli siri adalah ganjil?

Mengapa berubah menjadi "Peraturan Ditambah 1" yang boleh dilakukan oleh kanak-kanak mengasimilasikan walaupun dalam gred pertama, jika dia telah membangunkan "rasa nombor", dan tak ingat"kira dalam sepuluh"?

Dan akhirnya: di manakah ZERO hilang, ciptaan cemerlang yang berusia lebih daripada 2,000 tahun dan guru matematik moden yang mengelak digunakan?!

Kaedah Gauss, penjelasan saya

Saya dan isteri saya menjelaskan "kaedah" ini kepada anak kami, nampaknya, sebelum sekolah ...

Kesederhanaan dan bukannya kerumitan atau permainan soalan - jawapan

""Lihat, ini adalah nombor dari 1 hingga 100. Apa yang anda lihat?"

Ia bukan tentang apa yang dilihat oleh kanak-kanak itu. Caranya ialah untuk membuat dia kelihatan.

"Bagaimana anda boleh menggabungkan mereka?" Anak lelaki itu mendapati bahawa soalan sedemikian tidak ditanya "begitu sahaja" dan anda perlu melihat soalan "entah bagaimana berbeza, berbeza daripada yang biasanya dia lakukan"

Tidak mengapa jika anak melihat penyelesaiannya dengan segera, tidak mungkin. Ia adalah penting bahawa dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: "menggerakkan tugas". Ini adalah permulaan jalan untuk memahami

"Mana yang lebih mudah: tambah, sebagai contoh, 5 dan 6 atau 5 dan 95?" Soalan utama... Tetapi selepas semua, apa-apa latihan datang untuk "membimbing" seseorang kepada "jawapan" - dalam apa-apa cara boleh diterima olehnya.

Pada peringkat ini, mungkin sudah ada tekaan tentang cara "simpan" pada pengiraan.

Apa yang telah kami lakukan hanyalah petunjuk: kaedah pengiraan "depan, linear" bukanlah satu-satunya yang mungkin. Jika kanak-kanak itu telah memotong ini, maka dia akan mencipta lebih banyak kaedah seperti itu, sebab menarik!!! Dan dia pasti akan mengelakkan "salah faham" matematik, tidak akan merasa jijik untuk itu. Dia mendapat kemenangan!

Jika bayi ditemui bahawa menambah pasangan nombor yang menambah sehingga seratus adalah tugas yang remeh, maka "janjang aritmetik dengan beza 1"- perkara yang agak suram dan tidak menarik untuk kanak-kanak - tiba-tiba memberikan kehidupan kepadanya . Daripada huru-hara datang perintah, dan ini sentiasa bersemangat: begitulah cara kita!

Soalan cepat: mengapa, selepas wawasan kanak-kanak, mereka perlu sekali lagi didorong ke dalam rangka kerja algoritma kering, yang juga tidak berguna dalam kes ini?!

Mengapa membuat menulis semula bodoh nombor turutan dalam buku nota: supaya mereka yang berkebolehan tidak akan mempunyai peluang untuk memahami? Secara statistik, sudah tentu, tetapi pendidikan massa tertumpu pada "statistik" ...

Ke mana perginya sifar?

Namun, menambah nombor yang menambah sehingga 100 adalah lebih diterima oleh minda daripada memberikan 101 ...

"Kaedah Gauss sekolah" memerlukan ini: melipat tanpa berfikir sama jarak dari pusat janjang sepasang nombor, apa pun yang terjadi.

Bagaimana jika anda melihat?

Namun, sifar adalah ciptaan terbesar manusia, yang berusia lebih daripada 2,000 tahun. Dan guru matematik terus mengabaikannya.

Lebih mudah untuk menukar siri nombor bermula dari 1 kepada siri bermula pada 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda perlu berhenti "berfikir dalam buku teks" dan mula mencari ... Dan untuk melihat bahawa pasangan dengan jumlah 101 boleh digantikan sepenuhnya oleh pasangan dengan jumlah 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Bagaimana untuk menghapuskan "peraturan tambah 1"?

Sejujurnya, saya mula-mula mendengar tentang peraturan sedemikian daripada tutor YouTube itu ...

Apakah yang masih saya lakukan apabila saya perlu menentukan bilangan ahli siri?

Melihat urutan:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

dan apabila benar-benar letih, kemudian pada baris yang lebih mudah:

1, 2, 3, 4, 5

dan saya fikir: jika anda menolak satu daripada 5, anda mendapat 4, tetapi saya agak jelas lihat 5 nombor! Oleh itu, anda perlu menambah satu! Pengertian nombor, yang dibangunkan di sekolah rendah, mencadangkan bahawa walaupun terdapat keseluruhan Google ahli siri (10 hingga kuasa seratus), coraknya akan kekal sama.

Persetan dengan peraturan?..

Supaya dalam beberapa - tiga tahun untuk mengisi semua ruang antara dahi dan belakang kepala dan berhenti berfikir? Bagaimana pula dengan mendapatkan roti dan mentega? Lagipun, kita bergerak dalam kedudukan yang sama ke dalam era ekonomi digital!

Lebih lanjut mengenai kaedah sekolah Gauss: "mengapa membuat sains daripada ini? .."

Tidak sia-sia saya menyiarkan tangkapan skrin dari buku nota anak saya...

"Apa yang ada dalam pelajaran?"

"Nah, saya terus mengira, mengangkat tangan, tetapi dia tidak bertanya. Oleh itu, semasa yang lain mengira, saya mula melakukan DZ dalam bahasa Rusia supaya tidak membuang masa. Kemudian, apabila yang lain selesai menulis (?? ?), dia memanggil saya ke lembaga pengarah. Saya berkata jawapannya."

"Betul, tunjukkan kepada saya bagaimana anda menyelesaikannya," kata guru itu. saya tunjukkan. Dia berkata: "Salah, anda perlu mengira seperti yang saya tunjukkan!"

"Adalah baik saya tidak meletakkan deuce. Dan saya membuat saya menulis "proses keputusan" dengan cara mereka sendiri dalam buku nota. Mengapa membuat sains yang besar daripada ini? .."

Jenayah utama seorang guru matematik

hampir tidak selepas kes itu Carl Gauss mengalami rasa hormat yang tinggi terhadap guru matematik sekolah. Tetapi jika dia tahu bagaimana pengikut guru itu menyelewengkan intipati kaedah... dia akan meraung dengan kemarahan dan, melalui Pertubuhan Harta Intelek Dunia WIPO, mencapai larangan penggunaan nama baiknya dalam buku teks sekolah! ..

Apa kesilapan utama pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, jenayah guru matematik sekolah terhadap kanak-kanak?

Algoritma salah faham

Apakah yang dilakukan oleh ahli metodologi sekolah, sebahagian besar daripada mereka tidak tahu bagaimana untuk berfikir?

Buat kaedah dan algoritma (lihat). ini reaksi defensif yang melindungi guru daripada kritikan ("Semuanya dilakukan mengikut ..."), dan kanak-kanak daripada memahami. Dan dengan itu - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Terbitan kedua "kebijaksanaan" birokrasi, pendekatan saintifik untuk masalah itu). Seseorang yang tidak memahami maksudnya lebih suka menyalahkan salah fahamnya sendiri, dan bukannya kebodohan sistem sekolah.

Apa yang berlaku: ibu bapa menyalahkan anak-anak, dan guru-guru... begitu juga dengan anak-anak yang “tidak faham matematik!..

Adakah anda arif?

Apa yang Carl kecil lakukan?

Benar-benar tidak konvensional mendekati tugas templat. Inilah intipati pendekatan-Nya. ini perkara utama yang harus diajar di sekolah ialah berfikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepala anda. Sudah tentu, terdapat juga komponen instrumental yang boleh digunakan ... untuk mencari kaedah pengiraan yang lebih mudah dan cekap.

Kaedah Gauss mengikut Vilenkin

Di sekolah mereka mengajar bahawa kaedah Gauss adalah untuk

berpasangan cari hasil tambah nombor yang sama jarak dari tepi siri nombor itu, semestinya bermula dari tepi!

cari bilangan pasangan tersebut, dan seterusnya.

apa, jika bilangan elemen dalam baris itu ganjil, seperti dalam tugas yang diberikan kepada anak lelaki? ..

"Helah" ialah dalam kes ini anda harus mencari nombor "tambahan" siri itu dan tambahkannya kepada jumlah pasangan. Dalam contoh kami, nombor ini ialah 260.

Bagaimana untuk menemui? Menulis semula semua pasangan nombor dalam buku nota!(Itulah sebabnya guru membuat anak-anak melakukan kerja bodoh ini, cuba mengajar "kreativiti" menggunakan kaedah Gaussian... Dan itulah sebabnya "kaedah" sedemikian praktikalnya tidak boleh digunakan untuk siri data yang besar, Dan itulah sebabnya ia bukan Gaussian kaedah).

Sedikit kreativiti dalam rutin sekolah...

Anak lelaki bertindak berbeza.

Pada mulanya dia menyatakan bahawa lebih mudah untuk mendarabkan nombor 500, bukan 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Kemudian dia memikirkan: bilangan langkah ternyata ganjil: 500 / 20 = 25.

Kemudian dia menambah SIFAR pada permulaan siri (walaupun mungkin untuk membuang penggal terakhir siri, yang juga akan memastikan pariti) dan menambah nombor, memberikan jumlah 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 langkah ialah 13 pasang "lima ratus": 13 x 500 = 6500 ..

Jika kita membuang ahli terakhir siri ini, maka akan ada 12 pasangan, tetapi kita tidak boleh lupa untuk menambah lima ratus "dibuang" pada hasil pengiraan. Kemudian: (12 x 500) + 500 = 6500!

Mudah, kan?

Tetapi dalam praktiknya ia menjadi lebih mudah, yang membolehkan anda mengukir 2-3 minit untuk penderiaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara selebihnya "mengira". Di samping itu, ia mengekalkan bilangan langkah metodologi: 5, yang tidak membenarkan mengkritik pendekatan itu kerana tidak saintifik.

Jelas sekali pendekatan ini lebih mudah, lebih pantas dan lebih serba boleh, dalam gaya Kaedah. Tapi... cikgu bukan sahaja tidak memuji, malah memaksa saya menulis semula "dengan cara yang betul" (lihat screenshot). Iaitu, dia membuat percubaan terdesak untuk menyekat dorongan kreatif dan keupayaan untuk memahami matematik sejak awal! Nampaknya, untuk kemudian diambil sebagai tutor ... Dia menyerang yang salah ...

Segala-galanya yang telah saya huraikan dengan begitu panjang dan membosankan boleh dijelaskan kepada kanak-kanak biasa dalam masa maksimum setengah jam. Bersama dengan contoh.

Dan supaya dia tidak akan melupakannya.

Dan ia akan langkah ke arah pemahaman... bukan sahaja matematik.

Akui: berapa kali dalam hidup anda telah anda tambah menggunakan kaedah Gauss? Dan saya tidak pernah!

Tetapi naluri kefahaman, yang berkembang (atau padam) dalam proses mempelajari kaedah matematik di sekolah ... Oh! .. Ini benar-benar satu perkara yang tidak boleh ditukar ganti!

Terutama dalam era digitalisasi sejagat, yang kita masuki secara senyap-senyap di bawah bimbingan ketat Parti dan Kerajaan.

Sedikit perkataan untuk membela guru...

Adalah tidak adil dan salah untuk meletakkan semua tanggungjawab untuk gaya pengajaran ini semata-mata kepada guru sekolah. Sistem sedang beroperasi.

Sebahagian guru memahami kemustahilan apa yang berlaku, tetapi apa yang perlu dilakukan? Undang-undang Pendidikan, Piawaian Pendidikan Negeri Persekutuan, kaedah, kad pelajaran... Semuanya harus dilakukan "mengikut dan atas dasar" dan semuanya harus didokumentasikan. Ke tepi - berdiri dalam barisan untuk pemecatan. Jangan jadi hipokrit: gaji guru Moscow sangat baik... Jika mereka dipecat, ke mana mereka harus pergi?..

Oleh itu laman web ini bukan tentang pendidikan. Dia kira-kira pendidikan individu, satu-satunya cara yang mungkin untuk keluar daripada orang ramai Generasi Z ...

Dua sistem persamaan linear dikatakan setara jika set semua penyelesaiannya adalah sama.

Transformasi asas sistem persamaan ialah:

Pemadaman daripada sistem persamaan remeh, i.e. yang mana semua pekali adalah sama dengan sifar;

Mendarab sebarang persamaan dengan nombor bukan sifar;

Penambahan kepada mana-mana persamaan ke-i bagi mana-mana persamaan ke-j, didarab dengan sebarang nombor.

Pembolehubah x i dipanggil bebas jika pembolehubah ini tidak dibenarkan, dan keseluruhan sistem persamaan dibenarkan.

Teorem. Transformasi asas mengubah sistem persamaan menjadi setara.

Maksud kaedah Gauss adalah untuk mengubah sistem persamaan asal dan mendapatkan sistem tidak konsisten yang dibenarkan atau setara.

Jadi, kaedah Gauss terdiri daripada langkah-langkah berikut:

Pertimbangkan persamaan pertama. Kami memilih pekali bukan sifar pertama dan membahagikan keseluruhan persamaan dengannya. Kami memperoleh persamaan di mana beberapa pembolehubah x i masuk dengan pekali 1;
Mari kita tolak persamaan ini daripada semua yang lain, mendarabkannya dengan nombor supaya pekali bagi pembolehubah x i dalam persamaan yang tinggal ditetapkan kepada sifar. Kami mendapat sistem yang diselesaikan berkenaan dengan pembolehubah x i dan bersamaan dengan yang asal;
Jika persamaan remeh timbul (jarang, tetapi ia berlaku; sebagai contoh, 0 = 0), kami memadamkannya daripada sistem. Akibatnya, persamaan menjadi kurang satu;
Kami mengulangi langkah sebelumnya tidak lebih daripada n kali, di mana n ialah bilangan persamaan dalam sistem. Setiap kali kami memilih pembolehubah baharu untuk "pemprosesan". Jika persamaan bercanggah timbul (contohnya, 0 = 8), sistem tidak konsisten.

Akibatnya, selepas beberapa langkah kami memperoleh sama ada sistem yang dibenarkan (mungkin dengan pembolehubah bebas) atau yang tidak konsisten. Sistem yang dibenarkan terbahagi kepada dua kes:

Bilangan pembolehubah adalah sama dengan bilangan persamaan. Jadi sistem ditakrifkan;
Bilangan pembolehubah adalah lebih besar daripada bilangan persamaan. Kami mengumpul semua pembolehubah bebas di sebelah kanan - kami mendapat formula untuk pembolehubah yang dibenarkan. Rumus ini ditulis dalam jawapan.

Itu sahaja! Sistem persamaan linear diselesaikan! Ini adalah algoritma yang agak mudah, dan untuk menguasainya, anda tidak perlu menghubungi tutor dalam matematik. Pertimbangkan contoh:

Satu tugas. Selesaikan sistem persamaan:

Penerangan langkah:

Kami menolak persamaan pertama dari kedua dan ketiga - kami mendapat pembolehubah yang dibenarkan x 1;
Kami mendarabkan persamaan kedua dengan (−1), dan membahagikan persamaan ketiga dengan (−3) - kita mendapat dua persamaan di mana pembolehubah x 2 masuk dengan pekali 1;
Kami menambah persamaan kedua kepada yang pertama, dan tolak daripada yang ketiga. Mari dapatkan pembolehubah yang dibenarkan x 2 ;
Akhir sekali, kita tolak persamaan ketiga daripada yang pertama - kita mendapat pembolehubah yang dibenarkan x 3 ;
Kami telah menerima sistem yang dibenarkan, kami menulis jawapannya.

Penyelesaian umum sistem gabungan persamaan linear ialah sistem baharu, bersamaan dengan yang asal, di mana semua pembolehubah yang dibenarkan dinyatakan dalam sebutan yang bebas.

Bilakah penyelesaian umum diperlukan? Jika anda perlu mengambil lebih sedikit langkah daripada k (k ialah jumlah persamaan). Walau bagaimanapun, sebab mengapa proses itu berakhir pada beberapa langkah l< k , может быть две:

Selepas langkah l -th, kita mendapat sistem yang tidak mengandungi persamaan dengan nombor (l + 1). Sebenarnya, ini bagus, kerana. sistem yang diselesaikan diterima pula - walaupun beberapa langkah lebih awal.
Selepas langkah l -th, persamaan diperoleh di mana semua pekali pembolehubah adalah sama dengan sifar, dan pekali bebas adalah berbeza daripada sifar. Ini adalah persamaan yang tidak konsisten, dan, oleh itu, sistem ini tidak konsisten.

Adalah penting untuk memahami bahawa penampilan persamaan tidak konsisten oleh kaedah Gauss adalah sebab yang mencukupi untuk ketidakkonsistenan. Pada masa yang sama, kami perhatikan bahawa hasil daripada langkah ke-1, persamaan remeh tidak boleh kekal - kesemuanya dipadamkan terus dalam proses.

Penerangan langkah:

Kurangkan persamaan pertama dikali 4 daripada yang kedua. Dan juga tambahkan persamaan pertama kepada yang ketiga - kita mendapat pembolehubah yang dibenarkan x 1;
Kami menolak persamaan ketiga, didarab dengan 2, dari yang kedua - kita mendapat persamaan bercanggah 0 = -5.

Jadi, sistem itu tidak konsisten, kerana persamaan tidak konsisten telah ditemui.

Satu tugas. Siasat keserasian dan cari penyelesaian umum sistem:

Penerangan langkah:

Kami menolak persamaan pertama dari yang kedua (selepas mendarab dengan dua) dan yang ketiga - kami mendapat pembolehubah yang dibenarkan x 1;
Kurangkan persamaan kedua daripada persamaan ketiga. Oleh kerana semua pekali dalam persamaan ini adalah sama, persamaan ketiga menjadi remeh. Pada masa yang sama, kita darabkan persamaan kedua dengan (−1);
Kami menolak persamaan kedua daripada persamaan pertama - kami mendapat pembolehubah yang dibenarkan x 2. Keseluruhan sistem persamaan kini juga diselesaikan;
Oleh kerana pembolehubah x 3 dan x 4 adalah bebas, kami mengalihkannya ke kanan untuk menyatakan pembolehubah yang dibenarkan. Ini jawapannya.

Jadi, sistem itu adalah bersama dan tidak tentu, kerana terdapat dua pembolehubah yang dibenarkan (x 1 dan x 2) dan dua pembolehubah bebas (x 3 dan x 4).