Bahan yang dibentangkan dalam topik ini adalah berdasarkan maklumat yang dibentangkan dalam topik "Pecahan rasional. Penguraian pecahan rasional kepada pecahan asas (mudah)". Saya sangat mengesyorkan anda sekurang-kurangnya membaca topik ini sebelum meneruskan membaca. daripada bahan ini. Di samping itu, kita memerlukan jadual kamiran tak tentu.

Izinkan saya mengingatkan anda tentang beberapa istilah. Mereka telah dibincangkan dalam topik yang sepadan, jadi di sini saya akan menghadkan diri saya kepada rumusan ringkas.

Nisbah dua polinomial $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ dipanggil fungsi rasional atau pecahan rasional. Pecahan rasional dipanggil betul, jika $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется salah.

Pecahan rasional asas (paling mudah) ialah pecahan rasional empat jenis:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Nota (diinginkan untuk pemahaman yang lebih lengkap tentang teks): tunjukkan\sembunyikan

Mengapakah syarat $p^2-4q diperlukan?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Sebagai contoh, untuk ungkapan $x^2+5x+10$ kita dapat: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Sejak $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Ngomong-ngomong, untuk semakan ini sama sekali tidak perlu bahawa pekali $x^2$ bersamaan dengan 1. Contohnya, untuk $5x^2+7x-3=0$ kita dapat: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Oleh kerana $D > 0$, ungkapan $5x^2+7x-3$ boleh difaktorkan.

Contoh pecahan rasional(biasa dan tidak wajar), serta contoh penguraian pecahan rasional kepada pecahan asas boleh didapati. Di sini kita hanya akan berminat dalam persoalan integrasi mereka. Mari kita mulakan dengan menyepadukan pecahan asas. Jadi, setiap empat jenis pecahan asas di atas adalah mudah untuk disepadukan menggunakan formula di bawah. Biar saya ingatkan anda bahawa apabila menyepadukan pecahan jenis (2) dan (4), $n=2,3,4,\ldots$ diandaikan. Formula (3) dan (4) memerlukan pemenuhan syarat $p^2-4q< 0$.

\begin(persamaan) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(persamaan) \begin(persamaan) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(persamaan) \mula(persamaan) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(persamaan)

Untuk $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ penggantian $t=x+\frac(p)(2)$ dibuat, selepas itu selang yang terhasil ialah terbahagi kepada dua. Yang pertama akan dikira dengan memasukkan di bawah tanda pembezaan, dan yang kedua akan mempunyai bentuk $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Kamiran ini diambil menggunakan hubungan ulangan

\mulakan(persamaan) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(persamaan)

Pengiraan kamiran sedemikian dibincangkan dalam contoh No. 7 (lihat bahagian ketiga).

Skim untuk mengira kamiran bagi fungsi rasional (pecahan rasional):

1. Jika kamiran adalah asas, maka gunakan formula (1)-(4).
2. Jika kamiran dan bukan asas, maka nyatakannya sebagai hasil tambah pecahan asas, dan kemudian kami sepadukan menggunakan formula (1)-(4).

Algoritma di atas untuk menyepadukan pecahan rasional mempunyai kelebihan yang tidak dapat dinafikan - ia adalah universal. Itu. menggunakan algoritma ini anda boleh mengintegrasikan mana-mana pecahan rasional. Itulah sebabnya hampir semua perubahan pembolehubah dalam kamiran tak tentu (Euler, Chebyshev, penggantian trigonometri universal) dibuat sedemikian rupa sehingga selepas perubahan ini kita memperoleh pecahan rasional di bawah selang. Dan kemudian gunakan algoritma padanya. Kami akan menganalisis aplikasi langsung algoritma ini menggunakan contoh, selepas membuat nota kecil.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Pada dasarnya, kamiran ini mudah diperoleh tanpa penggunaan formula secara mekanikal. Jika kita mengambil pemalar $7$ daripada tanda kamiran dan mengambil kira bahawa $dx=d(x+9)$, kita mendapat:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Untuk maklumat terperinci, saya cadangkan melihat topik tersebut. Ia menerangkan secara terperinci bagaimana kamiran tersebut diselesaikan. Dengan cara ini, formula itu dibuktikan oleh transformasi yang sama yang digunakan dalam perenggan ini apabila menyelesaikannya "secara manual".

2) Sekali lagi, terdapat dua cara: gunakan formula siap sedia atau lakukan tanpanya. Jika anda menggunakan formula, maka anda harus mengambil kira bahawa pekali di hadapan $x$ (nombor 4) perlu dialih keluar. Untuk melakukan ini, mari kita ambil empat ini daripada kurungan:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\kiri(4\kiri(x+\frac(19)(4)\kanan)\kanan)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\kanan)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\kiri(x+\frac(19)(4)\kanan)^8). $$

Kini tiba masanya untuk menggunakan formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\kiri(x+\frac(19)(4)\kanan)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\kiri(x+\frac(19)(4) \kanan)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\kiri(x+\frac(19)(4) \kanan)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \kiri(x+\frac(19)(4) \kanan )^7)+C. $$

Anda boleh lakukan tanpa menggunakan formula. Dan walaupun tanpa mengambil tetap $4$ daripada kurungan. Jika kita mengambil kira bahawa $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, kita dapat:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Penjelasan terperinci untuk mencari kamiran sedemikian diberikan dalam topik "Penyatuan dengan penggantian (penggantian di bawah tanda pembezaan)".

3) Kita perlu menyepadukan pecahan $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Pecahan ini mempunyai struktur $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, dengan $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Walau bagaimanapun, untuk memastikan bahawa ini benar-benar pecahan asas jenis ketiga, anda perlu menyemak sama ada syarat $p^2-4q dipenuhi< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Mari kita selesaikan contoh yang sama, tetapi tanpa menggunakan formula siap sedia. Mari kita cuba mengasingkan terbitan penyebut dalam pengangka. Apakah maksud ini? Kita tahu bahawa $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Ia adalah ungkapan $2x+10$ yang perlu kita asingkan dalam pengangka. Setakat ini pengangka hanya mengandungi $4x+7$, tetapi ini tidak akan bertahan lama Mari kita gunakan transformasi berikut pada pengangka:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Sekarang ungkapan yang diperlukan $2x+10$ muncul dalam pengangka. Dan kamiran kami boleh ditulis semula seperti berikut:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Mari bahagikan integrand kepada dua. Nah, dan, oleh itu, integral itu sendiri juga "bercabang":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \kanan)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Mari kita bercakap tentang kamiran pertama, i.e. kira-kira $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Oleh kerana $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, maka pengangka bagi integrand mengandungi pembezaan penyebut. Pendek kata, sebaliknya daripada ungkapan $( 2x+10)dx$ kita tulis $d(x^2+10x+34)$.

Sekarang mari kita sebutkan beberapa perkataan tentang kamiran kedua. Mari kita pilih segi empat sama lengkap dalam penyebut: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Di samping itu, kami mengambil kira $dx=d(x+5)$. Sekarang jumlah kamiran yang kita perolehi sebelum ini boleh ditulis semula dalam bentuk yang sedikit berbeza:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Jika kita membuat penggantian $u=x^2+10x+34$ dalam kamiran pertama, maka ia akan mengambil bentuk $\int\frac(du)(u)$ dan boleh diperolehi dengan hanya menggunakan formula kedua daripada . Bagi kamiran kedua, perubahan $u=x+5$ boleh dilaksanakan untuknya, selepas itu ia akan mengambil bentuk $\int\frac(du)(u^2+9)$. ini air tulen formula kesebelas daripada jadual kamiran tak tentu. Jadi, kembali kepada jumlah kamiran, kita ada:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Kami menerima jawapan yang sama seperti semasa menggunakan formula, yang, sebenarnya, tidak menghairankan. Secara umum, formula dibuktikan dengan kaedah yang sama yang kami gunakan untuk mencari kamiran ini. Saya percaya bahawa pembaca yang penuh perhatian mungkin mempunyai satu soalan di sini, jadi saya akan merumuskannya:

Soalan No 1

Jika kita menggunakan formula kedua daripada jadual kamiran tak tentu kepada kamiran $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, maka kita mendapat yang berikut:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Mengapa tiada modul dalam penyelesaian?

Jawapan kepada soalan #1

Soalan itu benar-benar semula jadi. Modul itu hilang hanya kerana ungkapan $x^2+10x+34$ untuk mana-mana $x\in R$ lebih besar daripada sifar. Ini agak mudah untuk ditunjukkan dalam beberapa cara. Contohnya, kerana $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ dan $(x+5)^2 ≥ 0$, maka $(x+5)^2+9 > 0$ . Anda boleh berfikir secara berbeza, tanpa menggunakan penekanan persegi penuh. Sejak $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ untuk mana-mana $x\in R$ (jika rantaian logik ini mengejutkan, saya nasihatkan anda untuk melihat kaedah grafik penyelesaian ketaksamaan kuadratik). Walau apa pun, sejak $x^2+10x+34 > 0$, maka $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. Daripada modul, anda boleh menggunakan kurungan biasa.

Semua titik contoh No 1 telah diselesaikan, yang tinggal hanyalah menulis jawapan.

Jawab:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Contoh No. 2

Cari kamiran $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Pada pandangan pertama, pecahan kamiran dan pecahan $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ sangat serupa dengan pecahan asas jenis ketiga, i.e. oleh $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Nampaknya satu-satunya perbezaan ialah pekali $3$ di hadapan $x^2$, tetapi ia tidak mengambil masa yang lama untuk mengalih keluar pekali (buangnya daripada kurungan). Walau bagaimanapun, persamaan ini jelas. Untuk pecahan $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ syarat $p^2-4q adalah wajib< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Pekali kami sebelum $x^2$ bukan sama dengan satu, oleh itu semak keadaan $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант persamaan kuadratik$x^2+px+q=0$. Jika diskriminasi kurang daripada sifar, maka ungkapan $x^2+px+q$ tidak boleh difaktorkan. Mari kita hitungkan diskriminasi polinomial $3x^2-5x-2$ yang terletak dalam penyebut pecahan kita: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Jadi, $D > 0$, oleh itu ungkapan $3x^2-5x-2$ boleh difaktorkan. Ini bermakna bahawa pecahan $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ bukan pecahan unsur jenis ketiga, dan gunakan $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) kepada formula kamiran 5x-2)dx$ tidak mungkin.

Nah, jika pecahan rasional yang diberikan bukan pecahan asas, maka ia perlu diwakili sebagai jumlah pecahan asas dan kemudian disepadukan. Pendek kata, manfaatkan laluan itu. Cara menguraikan pecahan rasional kepada pecahan asas ditulis secara terperinci. Mari kita mulakan dengan memfaktorkan penyebut:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \mula(diselaraskan) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2). $$

Kami membentangkan pecahan subintercal dalam bentuk ini:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)). $$

Sekarang mari kita uraikan pecahan $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ke dalam pecahan asas:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\kanan))(\left(x+ \frac(1)(3)\kanan)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\kanan). $$

Untuk mencari pekali $A$ dan $B$ terdapat dua cara standard: kaedah pekali tidak pasti dan kaedah penggantian nilai separa. Mari gunakan kaedah penggantian nilai separa, menggantikan $x=2$ dan kemudian $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\kanan).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Oleh kerana pekali telah ditemui, yang tinggal hanyalah menulis pengembangan yang telah selesai:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Pada dasarnya, anda boleh meninggalkan entri ini, tetapi saya suka pilihan yang lebih tepat:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Kembali kepada kamiran asal, kami menggantikan pengembangan yang terhasil ke dalamnya. Kemudian kami membahagikan kamiran kepada dua, dan gunakan formula untuk setiap satu. Saya lebih suka untuk segera meletakkan pemalar di luar tanda kamiran:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\kanan)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\kanan)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\kanan)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\kanan|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Jawab: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\kanan| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Contoh No. 3

Cari kamiran $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Kita perlu menyepadukan pecahan $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Pengangka mengandungi polinomial darjah kedua, dan penyebut mengandungi polinomial darjah ketiga. Oleh kerana darjah polinomial dalam pengangka adalah kurang daripada darjah polinomial dalam penyebut, i.e. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Apa yang perlu kita lakukan ialah bahagikan kamiran yang diberikan kepada tiga dan gunakan formula untuk setiap satu. Saya lebih suka untuk segera meletakkan pemalar di luar tanda kamiran:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \kanan)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Jawab: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Kesinambungan analisis contoh topik ini terletak di bahagian kedua.

"Ahli matematik, sama seperti artis atau penyair, mencipta corak. Dan jika coraknya lebih stabil, ia hanya kerana ia terdiri daripada idea-idea... Corak ahli matematik, sama seperti corak artis atau penyair, mesti cantik; Idea, sama seperti warna atau perkataan, mesti sepadan antara satu sama lain. Kecantikan adalah keperluan pertama: tiada tempat di dunia untuk matematik yang hodoh».

G.H.Hardy

Dalam bab pertama ia telah diperhatikan bahawa terdapat primitif agak fungsi mudah, yang tidak lagi dapat diungkapkan melalui fungsi asas. Dalam hal ini, kelas-kelas fungsi yang boleh kita katakan dengan tepat bahawa antiderivatifnya ialah fungsi asas memperoleh kepentingan praktikal yang sangat besar. Kelas fungsi ini termasuk fungsi rasional, mewakili nisbah dua polinomial algebra. Banyak masalah membawa kepada penyepaduan pecahan rasional. Oleh itu, adalah sangat penting untuk dapat mengintegrasikan fungsi tersebut.

2.1.1. Fungsi rasional pecahan

Pecahan rasional(atau fungsi rasional pecahan) ialah hubungan dua polinomial algebra:

di mana dan adalah polinomial.

Biar kami ingatkan anda itu polinomial (polinomial, keseluruhan fungsi rasional) nijazah ke dipanggil fungsi bentuk

di mana – nombor nyata. Sebagai contoh,

– polinomial darjah pertama;

– polinomial darjah keempat, dsb.

Pecahan rasional (2.1.1) dipanggil betul, jika ijazah lebih rendah daripada ijazah , i.e. n<m, jika tidak pecahan itu dipanggil salah.

Mana-mana pecahan tak wajar boleh diwakili sebagai hasil tambah polinomial (bahagian integer) dan pecahan wajar (bahagian pecahan). Pemisahan keseluruhan dan bahagian pecahan bagi pecahan tak wajar boleh dilakukan mengikut peraturan untuk membahagi polinomial dengan "penjuru".

Contoh 2.1.1. Kenal pasti keseluruhan dan bahagian pecahan bagi pecahan rasional tak wajar berikut:

A) , b) .

Penyelesaian . a) Menggunakan algoritma pembahagian "sudut", kita dapat

Oleh itu, kita mendapat

.

b) Di sini kami juga menggunakan algoritma pembahagian "sudut":

Hasilnya, kita dapat

.

Mari kita ringkaskan. Dalam kes umum, kamiran tak tentu bagi pecahan rasional boleh diwakili sebagai hasil tambah kamiran polinomial dan pecahan rasional wajar. Mencari antiderivatif polinomial tidaklah sukar. Oleh itu, dalam perkara berikut kita akan mempertimbangkan pecahan rasional wajar.

2.1.2. Pecahan rasional termudah dan kamirannya

Antara pecahan rasional wajar, terdapat empat jenis, yang dikelaskan sebagai pecahan rasional (asas) termudah:

3) ,

4) ,

di manakah integer, , iaitu trinomial kuadratik tidak mempunyai akar sebenar.

Mengintegrasikan pecahan mudah jenis 1 dan jenis 2 tidak memberikan banyak kesukaran:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Sekarang mari kita pertimbangkan penyepaduan pecahan mudah jenis ke-3, tetapi kita tidak akan mempertimbangkan pecahan jenis ke-4.

Mari kita mulakan dengan kamiran bentuk

.

Kamiran ini biasanya dikira dengan mengasingkan kuasa dua sempurna penyebut. Hasilnya ialah kamiran jadual bagi bentuk berikut

atau .

Contoh 2.1.2. Cari kamiran:

A) , b) .

Penyelesaian . a) Pilih segi empat sama lengkap daripada trinomial kuadratik:

Dari sini kita dapati

b) Dengan mengasingkan segi empat sama lengkap daripada trinomial kuadratik, kita memperoleh:

Oleh itu,

.

Untuk mencari kamiran

anda boleh mengasingkan terbitan penyebut dalam pengangka dan mengembangkan kamiran ke dalam jumlah dua kamiran: yang pertama daripada mereka dengan penggantian datang kepada penampilan

,

dan yang kedua - kepada yang dibincangkan di atas.

Contoh 2.1.3. Cari kamiran:

.

Penyelesaian . Perhatikan bahawa . Mari kita asingkan terbitan penyebut dalam pengangka:

Kamiran pertama dikira menggunakan penggantian :

Dalam kamiran kedua, kita memilih kuasa dua sempurna dalam penyebut

Akhirnya, kita dapat

2.1.3. Pengembangan pecahan rasional yang betul
bagi hasil tambah pecahan mudah

Mana-mana pecahan rasional wajar boleh diwakili dengan cara yang unik sebagai hasil tambah pecahan mudah. Untuk melakukan ini, penyebut mesti difaktorkan. Daripada algebra yang lebih tinggi diketahui bahawa setiap polinomial dengan pekali nyata

Fungsi rasional ialah pecahan daripada bentuk , pengangka dan penyebutnya ialah polinomial atau hasil darab polinomial.

Contoh 1. Langkah 2.

.

Kami mendarabkan pekali tidak ditentukan dengan polinomial yang bukan dalam pecahan individu ini, tetapi dalam pecahan terhasil yang lain:

Buka kurungan dan samakan pengangka bagi integrasi asal dengan ungkapan yang terhasil:

Dalam kedua-dua belah kesamaan, kita mencari istilah dengan kuasa x yang sama dan menyusun sistem persamaan daripadanya:

.

Kami membatalkan semua x dan mendapatkan sistem persamaan yang setara:

.

Oleh itu, pengembangan terakhir bagi kamiran ke dalam jumlah pecahan mudah ialah:

.

Contoh 2. Langkah 2. Pada langkah 1, kami memperoleh penguraian pecahan asal berikut kepada jumlah pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan dalam pengangka:

.

Sekarang kita mula mencari pekali yang tidak pasti. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pengangka pecahan asal dalam ungkapan fungsi dengan pengangka bagi ungkapan yang diperoleh selepas mengurangkan jumlah pecahan kepada penyebut biasa:

Sekarang anda perlu mencipta dan menyelesaikan sistem persamaan. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pekali pembolehubah dengan darjah yang sepadan dalam pengangka bagi ungkapan asal fungsi dan pekali serupa dalam ungkapan yang diperoleh pada langkah sebelumnya:

Kami menyelesaikan sistem yang terhasil:

Jadi, dari sini

.

Contoh 3. Langkah 2. Pada langkah 1, kami memperoleh penguraian pecahan asal berikut kepada jumlah pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan dalam pengangka:

Kami mula mencari pekali yang tidak pasti. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pengangka pecahan asal dalam ungkapan fungsi dengan pengangka bagi ungkapan yang diperoleh selepas mengurangkan jumlah pecahan kepada penyebut biasa:

Seperti dalam contoh sebelumnya, kami menyusun sistem persamaan:

Kami mengurangkan x dan mendapatkan sistem persamaan yang setara:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

Kami memperoleh penguraian akhir kamiran dan ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 4. Langkah 2. Pada langkah 1, kami memperoleh penguraian pecahan asal berikut kepada jumlah pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan dalam pengangka:

.

Kita sudah tahu daripada contoh sebelumnya bagaimana untuk menyamakan pengangka pecahan asal dengan ungkapan dalam pengangka yang diperolehi selepas mengurai pecahan itu kepada jumlah pecahan mudah dan membawa jumlah ini kepada penyebut biasa. Oleh itu, hanya untuk tujuan kawalan, kami membentangkan sistem persamaan yang terhasil:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

Kami memperoleh penguraian akhir kamiran dan ke dalam jumlah pecahan mudah:

Contoh 5. Langkah 2. Pada langkah 1, kami memperoleh penguraian pecahan asal berikut kepada jumlah pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan dalam pengangka:

.

Kami secara bebas mengurangkan jumlah ini kepada penyebut biasa, menyamakan pengangka ungkapan ini dengan pengangka pecahan asal. Hasilnya mestilah sistem persamaan berikut:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

.

Kami memperoleh penguraian akhir kamiran dan ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 6. Langkah 2. Pada langkah 1, kami memperoleh penguraian pecahan asal berikut kepada jumlah pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan dalam pengangka:

Kami melakukan tindakan yang sama dengan jumlah ini seperti dalam contoh sebelumnya. Hasilnya mestilah sistem persamaan berikut:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

.

Kami memperoleh penguraian akhir kamiran dan ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 7. Langkah 2. Pada langkah 1, kami memperoleh penguraian pecahan asal berikut kepada jumlah pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan dalam pengangka:

.

Selepas tindakan tertentu dengan jumlah yang terhasil, sistem persamaan berikut harus diperoleh:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

Kami memperoleh penguraian akhir kamiran dan ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 8. Langkah 2. Pada langkah 1, kami memperoleh penguraian pecahan asal berikut kepada jumlah pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan dalam pengangka:

.

Mari kita buat beberapa perubahan pada tindakan yang telah dibawa ke automatik untuk mendapatkan sistem persamaan. Terdapat teknik buatan yang dalam beberapa kes membantu mengelakkan pengiraan yang tidak perlu. Membawa jumlah pecahan kepada penyebut biasa, kita memperoleh dan menyamakan pengangka ungkapan ini dengan pengangka pecahan asal, kita perolehi.

Penyepaduan fungsi pecahan-rasional.
Kaedah pekali tidak pasti

Kami terus berusaha untuk menyepadukan pecahan. Kami telah melihat kamiran beberapa jenis pecahan dalam pelajaran, dan pelajaran ini dari segi tertentu boleh dianggap sebagai sambungan. Untuk berjaya memahami bahan, kemahiran integrasi asas diperlukan, jadi jika anda baru mula belajar kamiran, iaitu, anda seorang pemula, maka anda perlu bermula dengan artikel Kamiran tak tentu. Contoh penyelesaian.

Anehnya, sekarang kita tidak akan terlibat dalam mencari kamiran, tetapi... dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam hal ini dengan segera Saya mengesyorkan untuk menghadiri pelajaran iaitu, anda perlu mahir dalam kaedah penggantian (“kaedah sekolah” dan kaedah penambahan (penolakan) penggal demi penggal bagi persamaan sistem).

Apakah fungsi rasional pecahan? Dalam perkataan mudah, fungsi pecahan-rasional ialah pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi polinomial atau hasil darab polinomial. Selain itu, pecahan adalah lebih canggih daripada yang dibincangkan dalam artikel Mengintegrasikan Beberapa Pecahan.

Mengintegrasikan Fungsi Rasional Pecahan Betul

Serta-merta contoh dan algoritma biasa untuk menyelesaikan kamiran fungsi rasional pecahan.

Contoh 1

Langkah 1. Perkara pertama yang SELALU kita lakukan apabila menyelesaikan kamiran bagi fungsi rasional pecahan ialah untuk menjelaskan soalan berikut: adakah pecahan itu betul? Langkah ini dilakukan secara lisan, dan sekarang saya akan menerangkan bagaimana:

Mula-mula kita melihat pengangka dan mengetahui ijazah senior polinomial:

Kuasa utama pengangka ialah dua.

Sekarang kita lihat penyebutnya dan ketahui ijazah senior penyebut. Cara yang jelas ialah membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa, tetapi anda boleh melakukannya dengan lebih mudah, dalam setiap satu cari darjah tertinggi dalam kurungan

dan mendarab secara mental: - dengan itu, darjah tertinggi penyebut adalah bersamaan dengan tiga. Agak jelas bahawa jika kita benar-benar membuka kurungan, kita tidak akan mendapat ijazah lebih daripada tiga.

Kesimpulan: Ijazah utama pengangka TEGAR adalah kurang daripada kuasa tertinggi penyebut, yang bermaksud pecahan adalah wajar.

Jika dalam contoh ini pengangka mengandungi polinomial 3, 4, 5, dsb. darjah, maka pecahannya ialah salah.

Sekarang kita akan mempertimbangkan hanya fungsi rasional pecahan yang betul. Kami akan memeriksa kes apabila darjah pengangka lebih besar daripada atau sama dengan darjah penyebut pada akhir pelajaran.

Langkah 2. Mari kita memfaktorkan penyebutnya. Mari lihat penyebut kami:

Secara umumnya, ini sudah menjadi produk faktor, tetapi, bagaimanapun, kita bertanya kepada diri sendiri: adakah mungkin untuk mengembangkan sesuatu yang lain? Objek penyeksaan sudah pasti akan menjadi trinomial segi empat sama. Menyelesaikan persamaan kuadratik:

Diskriminasi adalah lebih besar daripada sifar, yang bermaksud bahawa trinomial benar-benar boleh difaktorkan:

Peraturan am: SEMUA PERKARA dalam penyebut BOLEH difaktorkan - difaktorkan

Mari kita mula merumuskan penyelesaian:

Langkah 3. Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan mudah (elemen). Kini ia akan menjadi lebih jelas.

Mari kita lihat fungsi integrand kami:

Dan, anda tahu, entah bagaimana pemikiran intuitif muncul bahawa adalah baik untuk menukar pecahan besar kita kepada beberapa pecahan kecil. Sebagai contoh, seperti ini:

Persoalannya timbul, adakah mungkin untuk melakukan ini? Marilah kita menarik nafas lega, teorem analisis matematik yang sepadan menyatakan - BOLEH. Penguraian sedemikian wujud dan unik.

Hanya ada satu tangkapan, kemungkinan besar Selamat tinggal Kami tidak tahu, oleh itu namanya - kaedah pekali tak tentu.

Seperti yang anda rasa, pergerakan badan seterusnya adalah seperti itu, jangan mencebik! akan bertujuan untuk hanya MENGIKTIRAF mereka - untuk mengetahui apa yang mereka setara.

Berhati-hati, saya akan menerangkan secara terperinci sekali sahaja!

Jadi, mari kita mula menari dari:

Di sebelah kiri kami mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa:

Sekarang kita boleh menyingkirkan penyebut dengan selamat (kerana ia adalah sama):

Di sebelah kiri kami membuka kurungan, tetapi jangan sentuh pekali yang tidak diketahui buat masa ini:

Pada masa yang sama, kami mengulangi peraturan sekolah mendarab polinomial. Semasa saya menjadi guru, saya belajar menyebut peraturan ini dengan muka lurus: Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan polinomial yang lain..

Dari sudut pandangan penjelasan yang jelas, adalah lebih baik untuk meletakkan pekali dalam kurungan (walaupun saya secara peribadi tidak pernah melakukan ini untuk menjimatkan masa):

Kami menyusun sistem persamaan linear.
Mula-mula kita mencari ijazah senior:

Dan kami menulis pekali yang sepadan ke dalam persamaan pertama sistem:

Ingat perkara berikut dengan baik. Apakah yang akan berlaku jika tiada s di sebelah kanan sama sekali? Katakan, adakah ia hanya menunjuk-nunjuk tanpa sebarang segi empat sama? Dalam kes ini, dalam persamaan sistem adalah perlu untuk meletakkan sifar di sebelah kanan: . Kenapa sifar? Tetapi kerana di sebelah kanan anda sentiasa boleh menetapkan segi empat sama ini dengan sifar: Jika di sebelah kanan tiada pembolehubah dan/atau istilah bebas, maka kami meletakkan sifar di sebelah kanan persamaan sistem yang sepadan.

Kami menulis pekali yang sepadan ke dalam persamaan kedua sistem:

Dan akhirnya, air mineral, kami memilih ahli percuma.

Eh...aku gurau je. Ketepikan jenaka - matematik adalah sains yang serius. Dalam kumpulan institut kami, tiada siapa yang ketawa apabila penolong profesor berkata bahawa dia akan menghamburkan istilah di sepanjang garis nombor dan memilih yang terbesar. Mari kita serius. Walaupun... sesiapa yang hidup untuk melihat penghujung pelajaran ini akan tetap tersenyum senyap.

Sistem sudah sedia:

Kami menyelesaikan sistem:

(1) Daripada persamaan pertama kita menyatakan dan menggantikannya ke dalam persamaan ke-2 dan ke-3 sistem. Sebenarnya, adalah mungkin untuk menyatakan (atau huruf lain) dari persamaan lain, tetapi dalam kes ini adalah berfaedah untuk menyatakannya dari persamaan pertama, kerana terdapat kemungkinan terkecil.

(2) Kami membentangkan sebutan yang serupa dalam persamaan ke-2 dan ke-3.

(3) Kami menambah sebutan persamaan ke-2 dan ke-3 mengikut sebutan, memperoleh kesamaan , daripadanya ia mengikuti bahawa

(4) Kami menggantikan persamaan kedua (atau ketiga), dari mana kami dapati itu

(5) Gantikan dan ke dalam persamaan pertama, mendapatkan .

Jika anda menghadapi sebarang masalah dengan kaedah penyelesaian sistem, praktikkannya di dalam kelas. Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?

Selepas menyelesaikan sistem, ia sentiasa berguna untuk menyemak - menggantikan nilai yang ditemui setiap persamaan sistem, akibatnya segala-galanya harus "bertumpu".

hampir sampai. Pekali didapati, dan:

Kerja siap sepatutnya kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, kesukaran utama tugas itu adalah untuk mengarang (betul!) dan menyelesaikan (betul!) sistem persamaan linear. Dan pada peringkat akhir, semuanya tidak begitu sukar: kami menggunakan sifat lineariti kamiran tak tentu dan kamiran. Sila ambil perhatian bahawa di bawah setiap satu daripada tiga kamiran kami mempunyai fungsi kompleks "percuma" saya bercakap tentang ciri-ciri penyepaduannya dalam pelajaran Kaedah perubahan pembolehubah dalam kamiran tak tentu.

Semak: Bezakan jawapan:

Fungsi kamiran dan asal telah diperoleh, yang bermaksud kamiran telah ditemui dengan betul.
Semasa pengesahan, kami terpaksa mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa, dan ini bukan kebetulan. Kaedah pekali tak tentu dan mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa adalah tindakan songsang bersama.

Contoh 2

Cari kamiran tak tentu.

Mari kita kembali kepada pecahan dari contoh pertama: . Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam penyebut semua faktor adalah BERBEZA. Timbul persoalan, apa yang perlu dilakukan jika, sebagai contoh, pecahan berikut diberikan: ? Di sini kita mempunyai darjah dalam penyebut, atau, secara matematik, gandaan. Di samping itu, terdapat trinomial kuadratik yang tidak boleh difaktorkan (mudah untuk mengesahkan bahawa pendiskriminasi persamaan adalah negatif, jadi trinomial tidak boleh difaktorkan). Apa yang perlu dilakukan? Pengembangan kepada jumlah pecahan asas akan kelihatan seperti dengan pekali yang tidak diketahui di bahagian atas atau sesuatu yang lain?

Contoh 3

Memperkenalkan fungsi

Langkah 1. Menyemak sama ada kita mempunyai pecahan wajar
Pengangka utama: 2
Darjah tertinggi penyebut: 8
, yang bermaksud pecahan itu betul.

Langkah 2. Adakah mungkin untuk memfaktorkan sesuatu dalam penyebut? Jelas sekali tidak, semuanya sudah diatur. Trinomial segi empat sama tidak boleh dikembangkan menjadi produk atas sebab-sebab yang dinyatakan di atas. Tudung. Kurang kerja.

Langkah 3. Mari kita bayangkan fungsi pecahan-rasional sebagai hasil tambah pecahan asas.
Dalam kes ini, pengembangan mempunyai bentuk berikut:

Mari lihat penyebut kami:
Apabila menguraikan fungsi pecahan-rasional kepada jumlah pecahan asas, tiga titik asas boleh dibezakan:

1) Jika penyebut mengandungi faktor "kesepian" kepada kuasa pertama (dalam kes kami), maka kami meletakkan pekali tak tentu di bahagian atas (dalam kes kami). Contoh No. 1, 2 hanya terdiri daripada faktor "kesepian" sedemikian.

2) Jika penyebutnya mempunyai berbilang pengganda, maka anda perlu menguraikannya seperti ini:
- iaitu, melalui semua darjah "X" secara berurutan dari darjah pertama hingga ke-n. Dalam contoh kami terdapat dua berbilang faktor: dan , lihat sekali lagi pada pengembangan yang saya berikan dan pastikan ia dikembangkan dengan tepat mengikut peraturan ini.

3) Jika penyebut mengandungi polinomial yang tidak boleh terurai darjah kedua (dalam kes kami), maka apabila mengurai dalam pengangka anda perlu menulis fungsi linear dengan pekali tak tentu (dalam kes kami dengan pekali tak tentu dan ).

Malah, terdapat satu lagi kes ke-4, tetapi saya akan berdiam diri mengenainya, kerana dalam praktiknya ia sangat jarang berlaku.

Contoh 4

Memperkenalkan fungsi sebagai jumlah pecahan asas dengan pekali yang tidak diketahui.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Ikuti algoritma dengan ketat!

Jika anda memahami prinsip yang anda perlukan untuk mengembangkan fungsi pecahan-rasional menjadi jumlah, anda boleh mengunyah hampir semua kamiran jenis yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 5

Cari kamiran tak tentu.

Langkah 1. Jelas sekali pecahan itu betul:

Langkah 2. Adakah mungkin untuk memfaktorkan sesuatu dalam penyebut? boleh. Berikut ialah hasil tambah kubus . Faktorkan penyebut menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan

Langkah 3. Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan asas:

Sila ambil perhatian bahawa polinomial tidak boleh difaktorkan (semak bahawa diskriminasi adalah negatif), jadi di bahagian atas kami meletakkan fungsi linear dengan pekali yang tidak diketahui, dan bukan hanya satu huruf.

Kami membawa pecahan kepada penyebut biasa:

Mari kita karang dan selesaikan sistem:

(1) Kami menyatakan daripada persamaan pertama dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua sistem (ini adalah cara yang paling rasional).

(2) Kami membentangkan istilah yang serupa dalam persamaan kedua.

(3) Kami menambah persamaan kedua dan ketiga bagi sebutan sistem mengikut sebutan.

Semua pengiraan selanjutnya adalah, pada dasarnya, lisan, kerana sistemnya mudah.

(1) Kami menulis jumlah pecahan mengikut pekali yang ditemui.

(2) Kami menggunakan sifat lineariti kamiran tak tentu. Apakah yang berlaku dalam kamiran kedua? Anda boleh membiasakan diri dengan kaedah ini dalam perenggan terakhir pelajaran. Mengintegrasikan Beberapa Pecahan.

(3) Sekali lagi kita menggunakan sifat lineariti. Dalam kamiran ketiga kita mula mengasingkan petak lengkap (perenggan terakhir pelajaran Mengintegrasikan Beberapa Pecahan).

(4) Kami mengambil kamiran kedua, dalam ketiga kami memilih petak lengkap.

(5) Ambil kamiran ketiga. sedia.

TOPIK: Integrasi pecahan rasional.

Perhatian! Apabila mengkaji salah satu kaedah asas pengamiran: pengamiran pecahan rasional, adalah perlu untuk mempertimbangkan polinomial dalam domain kompleks untuk menjalankan pembuktian yang ketat. Oleh itu adalah perlu belajar terlebih dahulu beberapa sifat nombor kompleks dan operasi padanya.

Pengamiran pecahan rasional mudah.

Jika P(z) Dan Q(z) adalah polinomial dalam domain kompleks, maka ia adalah pecahan rasional. Ia dipanggil betul, jika ijazah P(z) kurang ijazah Q(z) , Dan salah, jika ijazah R tidak kurang dari ijazah Q.

Mana-mana pecahan tak wajar boleh diwakili sebagai: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinomial yang darjahnya kurang daripada darjah Q(z).

Oleh itu, kamiran pecahan rasional turun kepada kamiran polinomial, iaitu, fungsi kuasa, dan pecahan wajar, kerana ia adalah pecahan wajar.

Definisi 5. Pecahan termudah (atau asas) ialah jenis pecahan berikut:

1) , 2) , 3) , 4) .

Mari kita ketahui cara mereka berintegrasi.

3) (dipelajari lebih awal).

Teorem 5. Setiap pecahan wajar boleh diwakili sebagai hasil tambah pecahan mudah (tanpa bukti).

Akibat 1. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika di antara punca polinomial hanya terdapat punca nyata ringkas, maka dalam penguraian pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan terdapat pecahan mudah jenis pertama:

Contoh 1.

Corollary 2. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika antara punca polinomial hanya terdapat berbilang punca nyata, maka dalam penguraian pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan terdapat pecahan mudah jenis pertama dan kedua. :

Contoh 2.

Corollary 3. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika di antara akar polinomial hanya terdapat akar konjugat kompleks ringkas, maka dalam penguraian pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan terdapat pecahan mudah jenis ke-3:

Contoh 3.

Corollary 4. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika di antara punca polinomial hanya terdapat berbilang punca konjugat kompleks, maka dalam penguraian pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan terdapat pecahan mudah ke-3 dan ke-4. jenis:

Untuk menentukan pekali yang tidak diketahui dalam pengembangan yang diberikan teruskan seperti berikut. Sisi kiri dan kanan pengembangan yang mengandungi pekali yang tidak diketahui didarab dengan Kesamaan dua polinomial diperolehi. Daripadanya, persamaan untuk pekali yang diperlukan diperoleh menggunakan yang berikut:

1. kesamaan adalah benar untuk mana-mana nilai X (kaedah nilai separa). Dalam kes ini, sebarang bilangan persamaan diperolehi, mana-mana m yang membolehkan seseorang mencari pekali yang tidak diketahui.

2. pekali bertepatan untuk darjah X yang sama (kaedah pekali tak tentu). Dalam kes ini, sistem m - persamaan dengan m - tidak diketahui diperolehi, dari mana pekali yang tidak diketahui ditemui.

3. kaedah gabungan.

Contoh 5. Kembangkan pecahan kepada yang paling mudah.

Penyelesaian:

Mari cari pekali A dan B.

Kaedah 1 - kaedah nilai peribadi:

Kaedah 2 – kaedah pekali tidak ditentukan:

Jawapan:

Menggabungkan pecahan rasional.

Teorem 6. Kamiran tak tentu mana-mana pecahan rasional pada mana-mana selang yang penyebutnya tidak sama dengan sifar wujud dan dinyatakan melalui fungsi asas, iaitu pecahan rasional, logaritma dan arctangen.

Bukti.

Mari kita bayangkan pecahan rasional dalam bentuk: . Dalam kes ini, sebutan terakhir ialah pecahan wajar, dan menurut Teorem 5 ia boleh diwakili sebagai gabungan linear pecahan mudah. Oleh itu, kamiran pecahan rasional dikurangkan kepada kamiran polinomial S(x) dan pecahan mudah, antiterbitannya, seperti yang telah ditunjukkan, mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam teorem.

Komen. Kesukaran utama dalam kes ini ialah pemfaktoran penyebut, iaitu, mencari semua akarnya.

Contoh 1. Cari kamiran