Kaedah Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Penentu tertib ketiga dan sistem persamaan linear Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah Cramer

Pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui

Dengan menggunakan penentu tertib ke-3, penyelesaian kepada sistem sedemikian boleh ditulis dalam bentuk yang sama seperti untuk sistem dua persamaan, i.e.

(2.4)

jika 0. Di sini

Ia di sana Peraturan Cramer menyelesaikan sistem tiga persamaan linear dalam tiga tidak diketahui.

Contoh 2.3. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan peraturan Cramer:

Penyelesaian . Mencari penentu matriks utama sistem

Oleh kerana 0, maka untuk mencari penyelesaian kepada sistem kita boleh menggunakan peraturan Cramer, tetapi mula-mula kita mengira tiga lagi penentu:

Peperiksaan:

Oleh itu, penyelesaiannya didapati dengan betul. 

Peraturan Cramer yang diperolehi untuk sistem linear urutan ke-2 dan ke-3 mencadangkan bahawa peraturan yang sama boleh dirumuskan untuk sistem linear bagi sebarang susunan. Betul-betul berlaku

Teorem Cramer. Sistem kuadratik persamaan linear dengan penentu bukan sifar bagi matriks utama sistem (0) mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian dan penyelesaian ini dikira menggunakan formula

(2.5)

di mana  – penentu matriks utama,  i – penentu matriks, diperoleh daripada yang utama, menggantikanilajur ke lajur syarat percuma.

Ambil perhatian bahawa jika =0, maka peraturan Cramer tidak terpakai. Ini bermakna sistem sama ada tidak mempunyai penyelesaian sama sekali atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Setelah merumuskan teorem Cramer, persoalan secara semula jadi timbul untuk mengira penentu perintah yang lebih tinggi.

2.4. Penentu urutan ke-n

Tambahan bawah umur M ij unsur a ij adalah penentu yang diperoleh daripada yang diberikan dengan memadam i baris ke dan j lajur ke. Pelengkap algebra A ij unsur a ij minor unsur ini yang diambil dengan tanda (–1) dipanggil i + j, iaitu A ij = (–1) i + j M ij .

Sebagai contoh, mari kita cari minor dan pelengkap algebra bagi unsur a 23 dan a 31 kelayakan

Kita mendapatkan



Menggunakan konsep pelengkap algebra kita boleh merumuskan teorem pengembangan penentun-urutan ke-mengikut baris atau lajur.

Teorem 2.1. Penentu matriksAadalah sama dengan jumlah hasil darab semua elemen baris (atau lajur) tertentu dengan pelengkap algebranya:

(2.6)

Teorem ini mendasari salah satu kaedah utama untuk mengira penentu, yang dipanggil. kaedah pengurangan pesanan. Akibat pengembangan penentu n tertib ke atas mana-mana baris atau lajur, kita mendapat n penentu ( n-1) pesanan ke-. Untuk mempunyai lebih sedikit penentu sedemikian, adalah dinasihatkan untuk memilih baris atau lajur yang mempunyai paling banyak sifar. Dalam amalan, formula pengembangan untuk penentu biasanya ditulis sebagai:

mereka. penambahan algebra ditulis secara eksplisit dari segi minor.

Contoh 2.4. Kira penentu dengan terlebih dahulu menyusunnya ke dalam beberapa baris atau lajur. Biasanya, dalam kes sedemikian, pilih lajur atau baris yang mempunyai paling banyak sifar. Baris atau lajur yang dipilih akan ditunjukkan dengan anak panah.



2.5. Sifat asas penentu

Mengembangkan penentu ke atas mana-mana baris atau lajur, kita mendapat n penentu ( n-1) pesanan ke-. Kemudian setiap penentu ini ( n–1) tertib ke- juga boleh diuraikan kepada jumlah penentu ( n-perintah ke-2. Meneruskan proses ini, seseorang boleh mencapai penentu pesanan pertama, i.e. kepada unsur-unsur matriks yang penentunya dikira. Jadi, untuk mengira penentu tertib ke-2, anda perlu mengira jumlah dua sebutan, untuk penentu tertib ketiga - jumlah 6 sebutan, untuk penentu tertib ke-4 - 24 sebutan. Bilangan istilah akan meningkat secara mendadak apabila susunan penentu bertambah. Ini bermakna pengiraan penentu pesanan yang sangat tinggi menjadi tugas yang agak intensif buruh, di luar kemampuan komputer sekalipun. Walau bagaimanapun, penentu boleh dikira dengan cara lain, menggunakan sifat penentu.

Harta 1 . Penentu tidak akan berubah jika baris dan lajur di dalamnya ditukar, i.e. apabila memindahkan matriks:

.

Sifat ini menunjukkan kesamaan baris dan lajur penentu. Dalam erti kata lain, sebarang pernyataan tentang lajur penentu juga benar untuk barisnya dan begitu juga sebaliknya.

Harta 2 . Tanda penentu bertukar apabila dua baris (lajur) ditukar.

Akibat . Jika penentu mempunyai dua baris (lajur) yang sama, maka ia sama dengan sifar.

Hartanah 3 . Faktor sepunya semua elemen dalam mana-mana baris (lajur) boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

Sebagai contoh,

Akibat . Jika semua elemen baris (lajur) tertentu bagi penentu adalah sama dengan sifar, maka penentu itu sendiri adalah sama dengan sifar.

Harta benda 4 . Penentu tidak akan berubah jika unsur-unsur satu baris (lajur) ditambah kepada unsur-unsur baris lain (lajur), didarab dengan sebarang nombor.

Sebagai contoh,

Harta 5 . Penentu hasil darab matriks adalah sama dengan hasil darab penentu matriks:

Kerja praktikal

“Menyelesaikan sistem persamaan linear tertib ketiga menggunakan kaedah Cramer”

Matlamat kerja:

meluaskan pemahaman kaedah untuk menyelesaikan SLE dan membuat algoritma untuk menyelesaikan SLE menggunakan kaedah Kramor;

membangunkan pemikiran logik pelajar, keupayaan untuk mencari penyelesaian yang rasional kepada masalah;

untuk memupuk dalam diri pelajar ketepatan dan budaya ucapan matematik bertulis apabila mereka merumuskan penyelesaian mereka.

Bahan teori asas.

kaedah Cramer. Aplikasi untuk sistem persamaan linear.

Sistem persamaan algebra linear N (SLAE) dengan tidak diketahui diberikan, pekalinya ialah unsur-unsur matriks dan sebutan bebas ialah nombor.

Indeks pertama di sebelah pekali menunjukkan di mana persamaan pekali terletak, dan yang kedua - di mana yang tidak diketahui ia ditemui.

Jika penentu matriks bukan sifar

maka sistem persamaan algebra linear mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ialah satu set nombor tersusun yang mengubah setiap persamaan sistem kepada kesamaan yang betul. Jika sisi kanan semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar, maka sistem persamaan dipanggil homogen. Dalam kes apabila sesetengah daripada mereka berbeza daripada sifar - heterogen Jika sistem persamaan algebra linear mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil serasi, jika tidak ia dipanggil tidak serasi. Jika penyelesaian kepada sistem itu unik, maka sistem persamaan linear dipanggil pasti. Dalam kes di mana penyelesaian kepada sistem gabungan tidak unik, sistem persamaan dipanggil tak tentu. Dua sistem persamaan linear dipanggil setara (atau setara) jika semua penyelesaian satu sistem adalah penyelesaian kedua, dan sebaliknya. Kami memperoleh sistem yang setara (atau setara) menggunakan transformasi yang setara.

Transformasi setara SLAE

1) penyusunan semula persamaan;

2) pendaraban (atau pembahagian) persamaan dengan nombor bukan sifar;

3) menambah persamaan lain pada beberapa persamaan, didarab dengan nombor bukan sifar arbitrari.

Penyelesaian kepada SLAE boleh didapati dengan cara yang berbeza, contohnya, menggunakan formula Cramer (kaedah Cramer)

Teorem Cramer. Jika penentu sistem persamaan algebra linear dengan tidak diketahui adalah bukan sifar, maka sistem ini mempunyai penyelesaian unik, yang didapati menggunakan formula Cramer: - penentu dibentuk dengan menggantikan lajur ke dengan lajur sebutan bebas.

Jika , dan sekurang-kurangnya satu daripadanya berbeza daripada sifar, maka SLAE tidak mempunyai penyelesaian. Jika , maka SLAE mempunyai banyak penyelesaian.

Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer

Penyelesaian.

Mari kita cari penentu bagi matriks pekali bagi yang tidak diketahui

Sejak , maka sistem persamaan yang diberikan adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik. Mari kita hitung penentu:

Menggunakan formula Cramer kita mencari yang tidak diketahui

Jadi satu-satunya penyelesaian kepada sistem.

Satu sistem empat persamaan algebra linear diberikan. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer.

Mari kita cari penentu matriks pekali bagi yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, mari kembangkannya di sepanjang baris pertama.

Mari cari komponen penentu:

Mari kita gantikan nilai yang ditemui ke dalam penentu

Penentu, oleh itu sistem persamaan adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik. Mari kita hitung penentu menggunakan formula Cramer:

Kriteria penilaian:

Kerja digredkan "3" jika: salah satu sistem diselesaikan secara bebas dan lengkap dengan betul.

Kerja digredkan "4" jika: mana-mana dua sistem diselesaikan secara bebas dan lengkap dengan betul.

Kerja digredkan "5" jika: tiga sistem diselesaikan secara bebas dan lengkap dengan betul.

Kaedah Cramer adalah berdasarkan penggunaan penentu dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Ini mempercepatkan proses penyelesaian dengan ketara.

Kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sebanyak mana yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika penentu sistem tidak sama dengan sifar, maka kaedah Cramer boleh digunakan dalam penyelesaian, tetapi jika ia sama dengan sifar, maka ia tidak boleh. Selain itu, kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian unik.

Definisi. Penentu yang terdiri daripada pekali untuk tidak diketahui dipanggil penentu sistem dan dilambangkan (delta).

Penentu

diperoleh dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui yang sepadan dengan istilah bebas:

;

.

Teorem Cramer. Jika penentu sistem adalah bukan sifar, maka sistem persamaan linear mempunyai satu penyelesaian unik, dan yang tidak diketahui adalah sama dengan nisbah penentu. Penyebut mengandungi penentu sistem, dan pengangka mengandungi penentu yang diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui ini dengan sebutan bebas. Teorem ini berlaku untuk sistem persamaan linear bagi sebarang susunan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linear:

mengikut Teorem Cramer kami ada:

Jadi, penyelesaian kepada sistem (2):

kalkulator dalam talian, kaedah penyelesaian Cramer.

Tiga kes apabila menyelesaikan sistem persamaan linear

Seperti yang jelas daripada Teorem Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kes boleh berlaku:

Kes pertama: sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik

(sistem adalah konsisten dan pasti)

Kes kedua: sistem persamaan linear mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

(sistem adalah konsisten dan tidak pasti)

** ,

mereka. pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah berkadar.

Kes ketiga: sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistem m persamaan linear dengan n dipanggil pembolehubah bukan sendi, jika dia tidak mempunyai penyelesaian tunggal, dan sendi, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem persamaan serentak yang hanya mempunyai satu penyelesaian dipanggil pasti, dan lebih daripada satu – tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer

Biar sistem diberikan

.

Berdasarkan teorem Cramer

………….
,

di mana
-

penentu sistem. Kami memperoleh penentu yang tinggal dengan menggantikan lajur dengan pekali pembolehubah yang sepadan (tidak diketahui) dengan istilah bebas:

Contoh 2.

.

Oleh itu, sistem itu pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

Jadi, (1; 0; -1) ialah satu-satunya penyelesaian kepada sistem.

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Jika dalam sistem persamaan linear tiada pembolehubah dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam penentu unsur-unsur yang sepadan adalah sama dengan sifar! Ini adalah contoh seterusnya.

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

.

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Lihat dengan teliti pada sistem persamaan dan pada penentu sistem dan ulangi jawapan kepada soalan di mana satu atau lebih elemen penentu adalah sama dengan sifar. Jadi, penentu tidak sama dengan sifar, oleh itu sistem adalah pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

Jadi, penyelesaian kepada sistem ialah (2; -1; 1).

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Bahagian atas halaman

Kami terus menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer bersama-sama

Seperti yang telah disebutkan, jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, dan penentu yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, sistem itu tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Penentu sistem adalah sama dengan sifar, oleh itu, sistem persamaan linear adalah sama ada tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, iaitu, tidak mempunyai penyelesaian. Untuk menjelaskan, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Penentu yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, oleh itu, sistem tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian.

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Dalam masalah yang melibatkan sistem persamaan linear, terdapat juga yang, sebagai tambahan kepada huruf yang menunjukkan pembolehubah, terdapat juga huruf lain. Huruf ini mewakili nombor, selalunya nyata. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan tersebut ditimbulkan oleh masalah mencari sifat umum bagi sebarang fenomena atau objek. Iaitu, anda telah mencipta beberapa bahan atau peranti baru, dan untuk menerangkan sifatnya, yang biasa tanpa mengira saiz atau kuantiti spesimen, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linear, di mana bukannya beberapa pekali untuk pembolehubah terdapat surat. Anda tidak perlu melihat jauh untuk contoh.

Contoh berikut adalah untuk masalah yang sama, hanya bilangan persamaan, pembolehubah dan huruf yang menunjukkan nombor nyata tertentu meningkat.

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Mencari penentu untuk yang tidak diketahui

Bahagian 3.3 menunjukkan had yang timbul apabila menjejak isyarat frekuensi yang berbeza-beza menggunakan sistem tertib kedua. Sekarang mari kita pertimbangkan kemungkinan untuk mengurangkan beberapa sekatan ini dengan memperkenalkan penyepadu kedua ke dalam sistem. Ternyata proses penangkapan untuk sistem pesanan ketiga kurang stabil daripada sistem pesanan kedua, tetapi dengan bantuan penyepadu kedua adalah mungkin untuk mengembangkan julat penjejakan sistem yang telah ditangkap pada awalnya. seketika. Fungsi pemindahan penapis kini kelihatan seperti

dan daripada (3.1) ia berikut:

Selepas penggantian, ungkapan ini dikurangkan kepada bentuk

Menormalkan dan memperkenalkan notasi yang kami dapat

Kaedah satah fasa biasa tidak boleh digunakan untuk persamaan pembezaan tertib ketiga kerana fakta bahawa dalam kes ini terdapat tiga keadaan awal yang sepadan dengan tiga pembolehubah: fasa, kekerapan dan kadar perubahan frekuensi (dalam sistem mekanikal - anjakan, halaju dan pecutan). Pada dasarnya, trajektori yang ditakrifkan oleh persamaan tertib ketiga boleh diwakili dalam ruang tiga dimensi. Sebarang percubaan untuk menayangkan trajektori ini untuk set J keadaan awal ke atas satah akan membawa kepada rajah yang mengelirukan sehingga mustahil untuk membuat sebarang kesimpulan umum daripadanya.

Sebaliknya, jika kita menghadkan diri kita kepada satu set keadaan awal, kita boleh mendapatkan unjuran trajektori ke atas pesawat. Yang paling penting ialah set keadaan awal berikut: Dalam erti kata lain, sistem pada mulanya dikunci supaya frekuensi dan ralat fasa adalah sifar apabila frekuensi rujukan mula berubah secara linear.

Adalah mudah untuk menukar struktur peranti pengkomputeran analog untuk menampung pengenalan penyepadu kedua.

nasi. 3.19. Unjuran trajektori dalam ruang fasa untuk gelung tertib ketiga

(lihat imbasan)

Dalam Rajah. Rajah 3.19 menunjukkan satu siri trajektori yang diunjurkan ke atas pesawat. Dalam semua kes yang dipertimbangkan, jadi . Dalam hipotesis tiga dimensi "ruang fasa" trajektori bermula pada satu titik dan berakhir pada paksi

Dalam Rajah. 3.19, a menunjukkan kelakuan sistem tertib kedua di bawah keadaan awal yang sama. Nilai fasa akhir, atau keadaan mantap, adalah sama seperti yang ditunjukkan dalam § 3.3. Pengenalan penyepadu kedua membawa kepada penurunan ralat fasa keadaan mantap kepada sifar, lebih cepat, lebih banyak. Apabila ia meningkat, ralat fasa terbesar juga berkurangan, bagaimanapun, disebabkan oleh penurunan dalam pengecilan sistem, yang membawa kepada peningkatan dalam ralat fasa punca-min-kuasa dua (lihat Rajah 3.19, b - 3.19, g). Akhirnya, apabila sistem menjadi tidak stabil.

Penambahbaikan yang diperoleh dengan meningkatkan susunan sistem digambarkan dalam Rajah. 3.20. Di sini seperti dahulu, tetapi... Dalam § 3.3 telah ditunjukkan bahawa pada kelajuan ini atau lebih besar perubahan frekuensi linear, sistem tidak dapat menjalankan penjejakan. nasi. 3.20, tetapi mengesahkan keadaan ini. Sebaliknya, walaupun dengan tahap pengaruh yang paling sedikit bagi penyepadu kedua, ralat fasa keadaan mantap sifar diperoleh. Nilai segera terbesar bagi ketidakpadanan fasa berkurangan apabila pekali meningkat, tetapi apabila pekali meningkat, sistem sekali lagi menjadi tidak stabil.

Ciri-ciri serupa boleh dilihat dalam Rajah. 3.21-3.23, kecuali fakta bahawa apabila nisbah meningkat, nilai pekali yang semakin meningkat diperlukan untuk mengekalkan sistem dalam keadaan tangkapan. Akhirnya, apabila nisbah menghampiri 2 atau pada, adalah perlu bahawa ia kira-kira 1/2. Tetapi daripada Rajah. 3.19, g - 3.23, h adalah jelas bahawa pada nilai ini sistem tidak stabil. Julat nilai pekali di mana sistem kekal dalam keadaan tangkapan, bergantung pada nisbah, ditunjukkan dalam Rajah. 3.24-3.26 dengan nilai masing-masing. Julat nilai pekali yang dibenarkan dilorekkan. Dapat dilihat bahawa dengan perubahan linear dalam kekerapan, pengenalan sistem tertib ketiga memungkinkan untuk mengembangkan julat di mana penjejakan diperoleh, kira-kira

nasi. 3.20. Unjuran trajektori dalam ruang fasa untuk gelung tertib ketiga

(lihat imbasan)

nasi. 3.21. Unjuran trajektori dalam ruang fasa untuk gelung tertib ketiga

(lihat imbasan)

nasi. 3.22. Unjuran trajektori dalam ruang fasa untuk gelung tertib ketiga

(lihat imbasan)

nasi. 3.23. Unjuran trajektori dalam ruang fasa untuk gelung tertib ketiga

(lihat imbasan)

nasi. 3.24. Wilayah negeri tangkap sistem urutan ketiga

nasi. 3.25. Wilayah negeri tangkap sistem urutan ketiga

nasi. 3.26. Wilayah negeri tangkap sistem urutan ketiga

dua kali lebih banyak berbanding sistem tertib kedua pada dan lebih besar pada nilai yang lebih rendah

Adalah mungkin untuk menerangkan secara teori sifat berayun perubahan dalam pekali b apabila nilainya adalah kira-kira atau lebih daripada 1/2. Membezakan persamaan (3.41), kita perolehi

CAWANGAN KOSTROMA UNIVERSITI TENTERA PERLINDUNGAN RCB

Jabatan Automasi Kawalan Pasukan

Untuk guru sahaja

"Saya meluluskan"

Ketua Jabatan No. 9

Kolonel YAKOVLEV A.B.

"____"________________ 2004

Profesor Madya A.I. SMIRNOVA

"KELAYAKAN.

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR"

KULIAH Bil 2/1

Dibincangkan dalam mesyuarat jabatan Bil

"____"___________ 2004

No. Protokol___________

Kostroma, 2004.

pengenalan

1. Penentu tertib kedua dan ketiga.

2. Sifat-sifat penentu. Teorem penguraian.

3. Teorem Cramer.

Kesimpulan

kesusasteraan

1. V.E. Schneider et al., A Short Course in Higher Mathematics, Jilid I, Ch. 2, perenggan 1.

2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, bab 10, perenggan 2.

PENGENALAN

Kuliah membincangkan penentu bagi susunan kedua dan ketiga serta sifatnya. Dan juga teorem Cramer, yang membolehkan anda menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan penentu. Penentu juga digunakan kemudian dalam topik “Algebra Vektor” apabila mengira hasil darab vektor bagi vektor.

soalan kajian pertama PENENTU KEDUA DAN KETIGA

PESANAN

Pertimbangkan jadual empat nombor borang

Nombor dalam jadual ditunjukkan dengan huruf dengan dua indeks. Indeks pertama menunjukkan nombor baris, kedua nombor lajur.

DEFINISI 1.Penentu urutan kedua dipanggilungkapanbaik hati:

(1)

Nombor A 11, …, A 22 dipanggil unsur penentu.

Diagonal dibentuk oleh unsur A 11 ; A 22 dipanggil yang utama, dan pepenjuru dibentuk oleh unsur-unsur A 12 ; A 21 - sebelah menyebelah.

Oleh itu, penentu tertib kedua adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab unsur pepenjuru utama dan sekunder.

Perhatikan bahawa jawapannya ialah nombor.

CONTOH. Kira:

Sekarang pertimbangkan jadual sembilan nombor, ditulis dalam tiga baris dan tiga lajur:

DEFINISI 2. Penentu urutan ketiga dipanggil ungkapan bentuk:

elemen A 11; A 22 ; A 33 – membentuk pepenjuru utama.

Nombor A 13; A 22 ; A 31 – membentuk pepenjuru sisi.

Mari kita gambarkan secara skematik bagaimana istilah tambah dan tolak dibentuk:

" + " " – "

Tambahnya termasuk: hasil darab unsur pada pepenjuru utama, baki dua sebutan ialah hasil darab unsur yang terletak di bucu segi tiga dengan tapak selari dengan pepenjuru utama.

Sebutan tolak dibentuk mengikut skema yang sama berkenaan dengan pepenjuru sekunder.

Peraturan ini untuk mengira penentu tertib ketiga dipanggil

Peraturan T reugolnikov.

CONTOH. Kira menggunakan peraturan segitiga:

KOMEN. Penentu juga dipanggil penentu.

soalan kajian ke-2 SIFAT-SIFAT PENENTU.

TEOREM PENGEMBANGAN

Harta 1. Nilai penentu tidak akan berubah jika barisnya ditukar dengan lajur yang sepadan.

.

Dengan mendedahkan kedua-dua penentu, kami yakin dengan kesahihan kesaksamaan.

Sifat 1 menetapkan kesamaan baris dan lajur penentu. Oleh itu, kami akan merumuskan semua sifat penentu selanjutnya untuk kedua-dua baris dan lajur.

Harta 2. Apabila menyusun semula dua baris (atau lajur), penentu menukar tandanya kepada yang bertentangan, mengekalkan nilai mutlaknya.

.

Hartanah 3. Faktor sepunya elemen baris(atau lajur)boleh diambil sebagai tanda penentu.

.

Harta benda 4. Jika penentu mempunyai dua baris (atau lajur) yang sama, maka ia sama dengan sifar.

Harta ini boleh dibuktikan melalui pengesahan terus, atau anda boleh menggunakan harta 2.

Mari kita nyatakan penentu oleh D. Apabila dua baris pertama dan kedua yang serupa disusun semula, ia tidak akan berubah, tetapi mengikut sifat kedua ia mesti menukar tanda, i.e.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Harta 5. Jika semua elemen rentetan(atau lajur)adalah sama dengan sifar, maka penentunya adalah sama dengan sifar.

Harta ini boleh dianggap sebagai kes khas harta 3 apabila

Harta 6. Jika unsur dua baris(atau lajur)penentu adalah berkadar, maka penentu adalah sama dengan sifar.

.

Boleh dibuktikan dengan pengesahan terus atau menggunakan sifat 3 dan 4.

Harta 7. Nilai penentu tidak akan berubah jika elemen sepadan bagi baris (atau lajur) lain ditambahkan pada elemen baris (atau lajur), didarab dengan nombor yang sama.

.

Dibuktikan dengan pengesahan terus.

Penggunaan sifat-sifat ini dalam beberapa kes dapat memudahkan proses pengiraan penentu, terutamanya bagi urutan ketiga.

Untuk apa yang berikut, kita memerlukan konsep pelengkap minor dan algebra. Mari kita pertimbangkan konsep ini untuk menentukan urutan ketiga.

DEFINISI 3. kecil bagi elemen tertentu penentu tertib ketiga dipanggil penentu tertib kedua yang diperoleh daripada elemen tertentu dengan memotong baris dan lajur di persimpangan di mana elemen yang diberi berdiri.

Elemen kecil Aij dilambangkan dengan Mij. Jadi untuk elemen A 11 bawah umur

Ia diperoleh dengan memotong baris pertama dan lajur pertama dalam penentu urutan ketiga.

DEFINISI 4. Pelengkap algebra bagi unsur penentu mereka menyebutnya kecil didarab dengan(-1)k, Di manak- jumlah nombor baris dan lajur di persimpangan yang mana elemen ini berdiri.

Pelengkap algebra bagi sesuatu unsur Aij dilambangkan dengan Aij.

Oleh itu, Aij =

.

Mari kita tuliskan penambahan algebra bagi unsur-unsur tersebut A 11 dan A 12.

. .

Adalah berguna untuk mengingati peraturan: pelengkap algebra bagi unsur penentu adalah sama dengan minornya yang ditandatangani tambah lagi, jika jumlah nombor baris dan lajur di mana elemen muncul ialah walaupun, dan dengan tanda tolak, jika jumlah ini ganjil.

CONTOH. Cari minor dan pelengkap algebra untuk unsur baris pertama penentu:

Adalah jelas bahawa pelengkap minor dan algebra boleh berbeza hanya dalam tanda.

Mari kita pertimbangkan tanpa bukti satu teorem penting - teorem pengembangan penentu.

TEOREM PENGEMBANGAN

Penentu adalah sama dengan hasil tambah bagi unsur-unsur mana-mana baris atau lajur dan pelengkap algebranya.

Dengan menggunakan teorem ini, kita menulis pengembangan penentu tertib ketiga di sepanjang baris pertama.

.

Dalam bentuk yang diperluaskan:

.

Formula terakhir boleh digunakan sebagai yang utama apabila mengira penentu tertib ketiga.

Teorem pengembangan membolehkan kita mengurangkan pengiraan penentu tertib ketiga kepada pengiraan tiga penentu tertib kedua.

Teorem penguraian menyediakan cara kedua untuk mengira penentu tertib ketiga.

CONTOH. Kirakan penentu menggunakan teorem pengembangan.