Kaedah contoh pengganda Lagrange. Kaedah pengganda Lagrange
Keputusan. Cari ekstrem bagi fungsi F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 menggunakan fungsi Lagrange:
di mana
ialah fungsi objektif bagi vektor .
- kekangan tersirat (i=1..n)
Sebagai Fungsi objektif, tertakluk kepada pengoptimuman, dalam masalah ini fungsi bertindak:
F(X) = 9 x 1 + x 1 2 +6 x 2 + x 2 2
Mari kita tulis semula kekangan masalah dalam bentuk tersirat:
Kami mengarang fungsi Lagrange tambahan:
= 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 + λ(x 1 +x 2 -150)
Syarat yang perlu untuk ekstrem fungsi Lagrange ialah kesamaan kepada sifar terbitan separa berkenaan dengan pembolehubah x i dan pengganda yang tidak tentu λ.
Mari buat sistem:
∂L/∂x 1 = 2 x 1 +λ+9 = 0
∂L/∂x 2 = λ+2 x 2 +6 = 0
∂F/∂λ = x 1 + x 2 -150= 0
Kami menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss atau menggunakan formula Cramer.
Kami menulis sistem dalam bentuk: 
Untuk kemudahan pengiraan, kami menukar baris: 
Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:
Darab baris ke-2 dengan (2). Darab baris ke-3 dengan (-1). Mari tambah baris ke-3 ke baris ke-2: 
Darab baris ke-2 dengan (-1). Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama: 
Daripada baris pertama kita nyatakan x 3
Daripada baris ke-2 kita nyatakan x 2
Daripada baris ke-3 kita nyatakan x 1
Oleh itu, supaya jumlah kos pengeluaran menjadi minimum, adalah perlu untuk menghasilkan x 1 = 74.25; x2 = 75.75.
Senaman. Mengikut rancangan pengeluaran, perusahaan perlu menghasilkan 50 produk. Produk ini boleh dihasilkan dalam 2 cara teknologi. Dalam pengeluaran x 1 - produk dalam kaedah pertama, kosnya ialah 3x 1 + x 1 2 (tan rubel), dan dalam pembuatan x 2 - produk dengan cara ke-2, mereka akan menjadi 5x 2 + x 2 2 (tan rubel) . Tentukan berapa banyak produk setiap kaedah yang perlu dikeluarkan supaya jumlah kos pengeluaran adalah minimum.
Penyelesaian: karang fungsi objektif dan kekangan:
F(X) = 3x 1 +x 1 2 + 5x 2 +x 2 2 → min
x 1 + x 2 = 50
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)
terdiri daripada menggantikan pemalar arbitrari ck dalam penyelesaian am
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
sepadan persamaan homogen
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
kepada fungsi tambahan ck(t) yang terbitannya memenuhi sistem algebra linear
Penentu sistem (1) ialah Wronskian bagi fungsi z1,z2,...,zn, yang memastikan kebolehlarutannya yang unik berkenaan dengan .
Jika antiderivatif untuk diambil pada nilai tetap pemalar penyepaduan, maka fungsinya
ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan tak homogen linear asal. Integrasi persamaan tak homogen dengan adanya penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan, dengan itu berkurangan kepada kuadratur.
Kaedah Lagrange (kaedah variasi pemalar arbitrari)
Kaedah untuk mendapatkan penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen, mengetahui penyelesaian umum persamaan homogen tanpa mencari penyelesaian tertentu.
Untuk persamaan pembezaan homogen linear bagi susunan ke-n
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
dengan y = y(x) ialah fungsi yang tidak diketahui, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) diketahui, selanjar, benar: 1) terdapat n secara linear persamaan penyelesaian bebas y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) untuk sebarang nilai pemalar c1, c2, ..., cn, fungsi y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ialah a penyelesaian kepada persamaan; 3) untuk mana-mana nilai awal x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 terdapat nilai c*1, c*n, ..., c*n supaya penyelesaian y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) memuaskan untuk x = x0 keadaan awal y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Ungkapan y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) dipanggil penyelesaian biasa persamaan pembezaan homogen linear bagi susunan ke-n.
Set n penyelesaian bebas linear bagi persamaan pembezaan homogen linear bagi tertib ke-n y1(x), y2(x), ..., yn(x) dipanggil sistem asas penyelesaian kepada persamaan itu.
Untuk persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar terdapat algoritma mudah untuk membina sistem asas penyelesaian. Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan dalam bentuk y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, iaitu nombor l ialah punca persamaan ciri ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Bahagian kiri persamaan ciri dipanggil polinomial ciri bagi persamaan pembezaan linear: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Oleh itu, masalah menyelesaikan persamaan homogen linear tertib ke-n dengan pekali malar dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra.
Jika persamaan ciri mempunyai n punca nyata yang berbeza l1№ l2 № ... № ln, maka sistem asas penyelesaian terdiri daripada fungsi y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), dan penyelesaian am bagi persamaan homogen ialah: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).
sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum untuk kes punca sebenar mudah.
Jika mana-mana punca sebenar persamaan ciri diulang r kali (akar lipatan r), maka fungsi r sepadan dengannya dalam sistem asas penyelesaian; jika lk=lk+1 = ... = lk+r-1, maka masuk sistem asas penyelesaian kepada persamaan, terdapat r fungsi: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).
CONTOH 2. Sistem asas penyelesaian dan penyelesaian am untuk kes berbilang punca sebenar.
Jika persamaan ciri mempunyai punca kompleks, maka setiap pasangan punca mudah (kedaraban 1) kompleks lk,k+1=ak ± ibk dalam sistem asas penyelesaian sepadan dengan sepasang fungsi yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).
CONTOH 4. Sistem asas penyelesaian dan penyelesaian am bagi kes punca kompleks ringkas. akar khayalan.
Jika pasangan akar kompleks mempunyai multiplicity r, maka pasangan tersebut lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, dalam sistem asas penyelesaian sepadan dengan fungsi exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
CONTOH 5. Sistem asas penyelesaian dan penyelesaian am untuk kes punca berbilang kompleks.
Oleh itu, untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar, seseorang harus: menulis persamaan ciri; cari semua punca persamaan ciri l1, l2, ... , ln; tuliskan sistem asas penyelesaian y1(x), y2(x), ..., yn(x); tulis ungkapan untuk penyelesaian am y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Untuk menyelesaikan masalah Cauchy, kita perlu menggantikan ungkapan untuk penyelesaian umum ke dalam keadaan awal dan menentukan nilai pemalar c1,..., cn, yang merupakan penyelesaian sistem linear persamaan algebra c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1
Untuk persamaan pembezaan tak homogen linear bagi susunan ke-n
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
dengan y = y(x) ialah fungsi yang tidak diketahui, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) diketahui, selanjar, sah: 1 ) jika y1(x) dan y2(x) ialah dua penyelesaian bagi persamaan tidak homogen, maka fungsi y(x) = y1(x) - y2(x) ialah penyelesaian kepada persamaan homogen yang sepadan; 2) jika y1(x) ialah penyelesaian kepada persamaan tidak homogen, dan y2(x) ialah penyelesaian kepada persamaan homogen sepadan, maka fungsi y(x) = y1(x) + y2(x) ialah penyelesaian kepada persamaan tidak homogen; 3) jika y1(x), y2(x), ..., yn(x) ialah n penyelesaian bebas linear bagi persamaan homogen, dan ych(x) - keputusan sewenang-wenangnya persamaan tidak homogen, maka untuk sebarang nilai awal x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 terdapat nilai c*1, c*n, ..., c*n supaya penyelesaian y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) memuaskan untuk x = x0 keadaan awal y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Ungkapan y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) dipanggil penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tak homogen linear bagi tertib ke-n.
Untuk mencari penyelesaian tertentu bagi tidak homogen persamaan pembezaan dengan pekali malar dengan sisi kanan bentuk: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), dengan Pk(x), Qm(x) ialah polinomial darjah k dan m sewajarnya, terdapat algoritma mudah untuk membina penyelesaian tertentu, dipanggil kaedah pemilihan.
Kaedah pemilihan, atau kaedah pekali tidak pasti, adalah seperti berikut. Penyelesaian persamaan yang dikehendaki ditulis sebagai: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, dengan Pr(x), Qr(x) ialah polinomial darjah r = maks(k, m) dengan pekali tidak diketahui pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktor xs dipanggil faktor resonans. Resonans berlaku dalam kes di mana di antara punca persamaan ciri terdapat punca l = a ± ib kepelbagaian s. Itu. jika di antara punca persamaan ciri persamaan homogen yang sepadan terdapat sedemikian rupa sehingga bahagian nyatanya bertepatan dengan pekali dalam eksponen, dan bahagian khayalan bertepatan dengan pekali dalam hujah fungsi trigonometri di sebelah kanan persamaan, dan kepelbagaian punca ini ialah s, maka dalam penyelesaian tertentu yang dikehendaki terdapat faktor resonans xs. Jika tidak ada kebetulan seperti itu (s=0), maka tidak ada faktor resonans.
Menggantikan ungkapan untuk penyelesaian tertentu di sebelah kiri persamaan, kita memperoleh polinomial umum bentuk yang sama dengan polinomial di sebelah kanan persamaan, yang pekalinya tidak diketahui.
Dua polinomial am adalah sama jika dan hanya jika pekali faktor bentuk xtex(ax)sin(bx), xtex(ax)cos(bx) dengan kuasa yang sama bagi t adalah sama. Dengan menyamakan pekali faktor tersebut, kita memperoleh sistem 2(r+1) persamaan algebra linear dalam 2(r+1) yang tidak diketahui. Ia boleh ditunjukkan bahawa sistem sedemikian adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik.
|
Kaedah Lagrange adalah kaedah untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman bersyarat, di mana kekangan ditulis sebagai fungsi tersirat, digabungkan dengan fungsi objektif dalam bentuk persamaan baru yang dipanggil Lagrangian.
Pertimbangkan kes istimewa tugas biasa bukan pengaturcaraan linear:
Sistem yang diberi persamaan tak linear (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Cari nilai terkecil (atau terbesar) bagi fungsi (2)
(2) f (х1,х2,…,хn),
jika tiada syarat untuk bukan negatif pembolehubah dan f(x1,x2,…,xn) dan gi(x1,x2,…,xn) ialah fungsi yang selanjar bersama derivatif separanya.
Untuk mencari penyelesaian kepada masalah ini, anda boleh memohon kaedah berikut: 1. Satu set pembolehubah λ1, λ2,…, λm, dipanggil pengganda Lagrange, diperkenalkan, dan membentuk fungsi Lagrange (3)
(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .
2. Cari terbitan separa bagi fungsi Lagrange berkenaan dengan pembolehubah xi dan λi dan samakannya dengan sifar.
3. Menyelesaikan sistem persamaan, cari titik di mana fungsi objektif masalah boleh mempunyai ekstrem.
4. Antara titik yang mencurigakan bukan ekstrem, mereka mencari titik di mana ekstrem dicapai, dan mengira nilai fungsi pada titik ini .
4. Bandingkan nilai yang diperolehi bagi fungsi f dan pilih yang terbaik.
Mengikut rancangan pengeluaran, perusahaan perlu menghasilkan 180 produk. Produk ini boleh dihasilkan dalam dua cara teknologi. Dalam pengeluaran produk x1 mengikut kaedah I, kosnya ialah 4 * x1 + x1 ^ 2 rubel, dan dalam pembuatan produk x2 mengikut kaedah II, ia adalah 8 * x2 + x2 ^ 2 rubel. Tentukan berapa banyak produk setiap cara yang perlu dibuat, supaya jumlah kos pengeluaran adalah minimum.
Penyelesaian: Perumusan matematik masalah terdiri dalam menentukan nilai terkecil fungsi dua pembolehubah:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, dengan syarat x1 +x2 = 180.
Mari kita susun fungsi Lagrange:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Kami mengira terbitan separanya berkenaan dengan x1, x2, λ dan menyamakannya dengan 0:
Kami memindahkan dua persamaan pertama λ ke sisi kanan dan menyamakan sisi kirinya, kami mendapat 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, atau x1 - x2 = 2.
Menyelesaikan persamaan terakhir bersama-sama dengan persamaan x1 + x2 = 180, kita dapati x1 = 91, x2 = 89, iaitu, kita mendapat penyelesaian yang memenuhi syarat:
Mari cari nilai fungsi objektif f untuk nilai pembolehubah ini:
F(x1, x2) = 17278
Perkara ini mencurigakan untuk ekstrem. Menggunakan derivatif separa kedua, kita boleh menunjukkan bahawa pada titik (91.89) fungsi f mempunyai minimum.
Mari kita pertimbangkan dahulu kes fungsi dua pembolehubah. Ekstrem bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$ pada titik $M_0(x_0;y_0)$ ialah ekstrem bagi fungsi ini, dicapai di bawah syarat bahawa pembolehubah $x$ dan $y$ dalam sekitar titik ini memenuhi persamaan kekangan $\ varphi(x,y)=0$.
Nama extremum "bersyarat" adalah disebabkan oleh fakta bahawa syarat tambahan $\varphi(x,y)=0$ dikenakan pada pembolehubah. Sekiranya mungkin untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain daripada persamaan sambungan, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat dikurangkan kepada masalah ekstrem biasa fungsi satu pembolehubah. Sebagai contoh, jika $y=\psi(x)$ mengikut daripada persamaan kekangan, kemudian menggantikan $y=\psi(x)$ kepada $z=f(x,y)$, kita mendapat fungsi satu pembolehubah $ z=f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. AT kes am, walau bagaimanapun, kaedah ini tidak banyak digunakan, jadi algoritma baharu diperlukan.
Kaedah pengganda Lagrange untuk fungsi dua pembolehubah.
Kaedah pengganda Lagrange ialah untuk mencari ekstrem bersyarat, fungsi Lagrange terdiri: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda $ dipanggil pengganda Lagrange ). Keadaan ekstrem yang diperlukan diberikan oleh sistem persamaan dari mana titik pegun ditentukan:
$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=0;\\ & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\kanan.$$
Tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Jika pada titik pegun $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ mempunyai minimum bersyarat pada ketika ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.
Terdapat satu lagi cara untuk menentukan sifat ekstrem. Daripada persamaan kekangan kita dapat: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, jadi pada mana-mana titik pegun kita ada:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$
Faktor kedua (terletak dalam kurungan) boleh diwakili dalam bentuk ini:
Elemen $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (tatasusunan) \right|$ yang merupakan Hessian bagi fungsi Lagrange. Jika $H > 0$ maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, i.e. kita mempunyai minimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$.
Nota tentang bentuk penentu $H$. tunjukkan/sembunyikan
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
Dalam keadaan ini, peraturan yang dirumuskan di atas berubah seperti berikut: jika $H > 0$, maka fungsi mempunyai minimum bersyarat, dan untuk $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritma untuk mengkaji fungsi dua pembolehubah untuk ekstrem bersyarat
- Karang fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Selesaikan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- Tentukan sifat ekstrem dalam setiap yang terdapat dalam perenggan sebelumnya titik pegun. Untuk melakukan ini, gunakan mana-mana kaedah berikut:
- Susun penentu $H$ dan ketahui tandanya
- Dengan mengambil kira persamaan kekangan, hitung tanda $d^2F$
Kaedah pengganda lagrange untuk fungsi n pembolehubah
Katakan kita mempunyai fungsi $n$ pembolehubah $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan persamaan kekangan $m$ ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Menandakan pengganda Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kami menyusun fungsi Lagrange:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Syarat yang diperlukan untuk kehadiran ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik pegun dan nilai pengganda Lagrange ditemui:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Adalah mungkin untuk mengetahui sama ada fungsi mempunyai minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemui, seperti sebelum ini, menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik yang ditemui $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut mempunyai minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Penentu matriks $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(n)) \\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_1) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)^(2)) & \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(n))\\ \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(3) \sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)\sebahagian x_(2)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(2)) & \ frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)^(2))\\ \end( tatasusunan) \kanan|$ yang diserlahkan dengan warna merah dalam matriks $L$ ialah Hessian bagi fungsi Lagrange. Kami menggunakan peraturan berikut:
- Jika tanda-tanda sudut bawah umur ialah $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ bertepatan dengan tanda $(-1)^m$, maka titik pegun yang dikaji ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Jika tanda-tanda sudut bawah umur ialah $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ berselang-seli, dan tanda kecil $H_(2m+1)$ bertepatan dengan tanda nombor $(-1)^(m+1 )$, maka titik pegun yang dikaji ialah titik maksimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Contoh #1
Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=x+3y$ di bawah keadaan $x^2+y^2=10$.
Tafsiran geometri masalah ini adalah seperti berikut: diperlukan untuk mencari yang terbesar dan nilai terkecil menggunakan satah $z=x+3y$ untuk titik persilangannya dengan silinder $x^2+y^2=10$.
Agak sukar untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi satu lagi daripada persamaan kekangan dan menggantikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan kaedah Lagrange.
Menandakan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kami menyusun fungsi Lagrange:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\sebahagian x)=1+2\lambda x; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=3+2\lambda y. $$
Mari kita tuliskan sistem persamaan untuk menentukan titik pegun bagi fungsi Lagrange:
$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \tamat (diselaraskan)\kanan.$$
Jika kita menganggap $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Percanggahan yang terhasil mengatakan bahawa $\lambda\neq 0$. Di bawah keadaan $\lambda\neq 0$, daripada persamaan pertama dan kedua kita ada: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita dapat:
$$ \kiri(-\frac(1)(2\lambda) \kanan)^2+\kiri(-\frac(3)(2\lambda) \kanan)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(diselaraskan) $$
Jadi, sistem mempunyai dua penyelesaian: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami mengira penentu $H$ pada setiap titik.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \kanan| $$
Pada titik $M_1(1;3)$ kita dapat: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik $M_1(1;3)$ fungsi $z(x,y)=x+3y$ mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=z(1;3)=10$.
Begitu juga, pada titik $M_2(-1;-3)$ kita dapati: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Saya perhatikan bahawa daripada mengira nilai penentu $H$ pada setiap titik, adalah lebih mudah untuk mengembangkannya dalam Pandangan umum. Untuk tidak mengacaukan teks dengan butiran, saya akan menyembunyikan kaedah ini di bawah nota.
Tatatanda $H$ penentu dalam bentuk umum. tunjukkan/sembunyikan
$$ H=8\cdot\left|\mulakan(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\kanan| =8\cdot\kiri(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\kanan) =-8\lambda\cdot\kiri(y^2+x^2\kanan). $$
Pada dasarnya, sudah jelas tanda yang $H$ ada. Oleh kerana tiada mata $M_1$ atau $M_2$ bertepatan dengan asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh itu, tanda $H$ adalah bertentangan dengan tanda $\lambda$. Anda juga boleh melengkapkan pengiraan:
$$ \mulakan(diselaraskan) &H(M_1)=-8\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri(3^2+1^2\kanan)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(diselaraskan) $$
Soalan tentang sifat ekstrem pada titik pegun $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ boleh diselesaikan tanpa menggunakan penentu $H$. Cari tanda $d^2F$ pada setiap titik pegun:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$
Saya perhatikan bahawa notasi $dx^2$ bermakna tepat $dx$ dinaikkan kepada kuasa kedua, i.e. $\kiri(dx\kanan)^2$. Oleh itu kita ada: $dx^2+dy^2>0$, jadi untuk $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita dapat $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Jawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=10$
Contoh #2
Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ di bawah keadaan $x+y=0$.
Cara pertama (kaedah pengganda Lagrange)
Menandakan $\varphi(x,y)=x+y$ kita karang fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=9y^2-x+\lambda.\\ \kiri \( \mula(dijajar) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\kanan.$$
Menyelesaikan sistem, kita dapat: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Kami mempunyai dua titik pegun: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun menggunakan penentu $H$.
$$ H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, jadi pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Kami menyiasat sifat ekstrem pada setiap titik dengan kaedah yang berbeza, berdasarkan tanda $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Daripada persamaan kekangan $x+y=0$ kita ada: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Oleh kerana $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Begitu juga, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Cara kedua
Daripada persamaan kekangan $x+y=0$ kita dapat: $y=-x$. Menggantikan $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita memperoleh beberapa fungsi pembolehubah $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Oleh itu, kami mengurangkan masalah mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah kepada masalah menentukan ekstrem fungsi satu pembolehubah.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Mendapat mata $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Kajian lanjut diketahui dari kursus tersebut kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah. Memeriksa tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik pegun atau menyemak perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik yang ditemui, kami memperoleh kesimpulan yang sama seperti dalam penyelesaian pertama . Contohnya, tanda semak $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Oleh kerana $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ ialah titik minimum bagi fungsi $u(x)$, manakala $u_(\min)=u(0)=0 $ . Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Nilai fungsi $u(x)$ di bawah keadaan sambungan yang diberikan bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, i.e. extrema yang ditemui bagi fungsi $u(x)$ ialah extrema bersyarat yang dikehendaki bagi fungsi $z(x,y)$.
Jawab: pada titik $(0;0)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh, di mana kita mengetahui sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.
Contoh #3
Cari nilai maksimum dan minimum bagi fungsi $z=5xy-4$ jika pembolehubah $x$ dan $y$ adalah positif dan memenuhi persamaan kekangan $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Karang fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Cari titik pegun bagi fungsi Lagrange:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(diselaraskan) \kanan.$$
Semua transformasi selanjutnya dijalankan dengan mengambil kira $x > 0; \; y > 0$ (ini ditetapkan dalam keadaan masalah). Daripada persamaan kedua, kami menyatakan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Menggantikan $x=2y$ ke dalam persamaan ketiga, kita dapat: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Oleh kerana $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Sifat ekstrem pada titik $(2;1)$ ditentukan daripada tanda $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Oleh kerana $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Pada dasarnya, di sini anda boleh segera menggantikan koordinat titik pegun $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, dengan itu memperoleh:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Walau bagaimanapun, dalam masalah lain untuk ekstrem bersyarat, mungkin terdapat beberapa titik pegun. Dalam kes sedemikian, adalah lebih baik untuk mewakili $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian menggantikan koordinat setiap titik pegun yang ditemui ke dalam ungkapan yang terhasil:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$
Menggantikan $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita dapat:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Oleh kerana $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Jawab: pada titik $(2;1)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=6$.
Dalam bahagian seterusnya, kami mempertimbangkan penggunaan kaedah Lagrange untuk fungsi lebih pembolehubah.
Teori ringkas
Kaedah pengganda Lagrange ialah kaedah klasik untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan matematik(khususnya cembung). Malangnya, pada permohonan praktikal Kaedah ini mungkin menghadapi kesukaran pengiraan yang ketara, menyempitkan skop penggunaannya. Kami menganggap di sini kaedah Lagrange terutamanya kerana ia adalah radas yang digunakan secara aktif untuk menyokong pelbagai moden kaedah berangka digunakan secara meluas dalam amalan. Bagi fungsi Lagrange dan pengganda Lagrange, ia memainkan fungsi bebas dan eksklusif peranan penting dalam teori dan aplikasi bukan sahaja pengaturcaraan matematik.
Pertimbangkan masalah klasik pengoptimuman:
Antara sekatan masalah ini tidak ada ketaksamaan, tidak ada syarat untuk bukan negatif pembolehubah, diskretnya, dan fungsi dan berterusan dan mempunyai terbitan separa sekurang-kurangnya tertib kedua.
Pendekatan klasik untuk menyelesaikan masalah memberikan sistem persamaan ( syarat yang diperlukan), yang mesti dipenuhi oleh titik yang menyediakan fungsi dengan ekstrem tempatan pada set titik yang memenuhi kekangan (untuk masalah pengaturcaraan cembung, titik yang ditemui juga akan menjadi titik ekstrem global).
Mari kita anggap bahawa fungsi (1) mempunyai ekstrem bersyarat tempatan pada titik dan pangkat matriks adalah sama dengan . Kemudian syarat yang diperlukan boleh ditulis sebagai:
ialah fungsi Lagrange; ialah pengganda Lagrange.
Terdapat juga syarat yang mencukupi, di mana penyelesaian sistem persamaan (3) menentukan titik ekstrem fungsi . Soalan ini diselesaikan berdasarkan kajian tanda pembezaan kedua fungsi Lagrange. Walau bagaimanapun, syarat yang mencukupi adalah terutamanya kepentingan teori.
Anda boleh menentukan prosedur berikut untuk menyelesaikan masalah (1), (2) dengan kaedah pengganda Lagrange:
1) mengarang fungsi Lagrange (4);
2) cari terbitan separa bagi fungsi Lagrange berkenaan dengan semua pembolehubah dan samakannya
sifar. Oleh itu, sistem (3) yang terdiri daripada persamaan akan diperolehi. Selesaikan sistem yang terhasil (jika ternyata boleh!) dan dengan itu cari semua titik pegun bagi fungsi Lagrange;
3) dari titik pegun yang diambil tanpa koordinat, pilih titik di mana fungsi mempunyai ekstrem tempatan bersyarat dengan kehadiran kekangan (2). Pilihan ini dibuat, sebagai contoh, menggunakan syarat yang mencukupi ekstrem tempatan. Selalunya kajian dipermudahkan jika keadaan khusus masalah digunakan.
Contoh penyelesaian masalah
Tugas
Firma mengeluarkan dua jenis barang dalam kuantiti dan . Fungsi kos berguna ditakrifkan oleh hubungan . Harga barangan ini di pasaran adalah sama dan masing-masing.
Tentukan pada volum keluaran berapa keuntungan maksimum dicapai dan berapakah ia bersamaan jika jumlah kos tidak melebihi
Menghadapi masalah memahami proses penyelesaian? Tapak ini mempunyai perkhidmatan Menyelesaikan masalah dengan kaedah penyelesaian optimum untuk pesanan
Penyelesaian masalah
Model ekonomi dan matematik masalah
Fungsi keuntungan:
Had kos:
Kami mendapat model ekonomi dan matematik berikut:
Selain itu, mengikut maksud tugasan
Kaedah pengganda Lagrange
Mari kita susun fungsi Lagrange:
Kami mencari terbitan separa bagi tertib pertama:
Kami menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan:
Sejak itu
Keuntungan Maksimum:
Jawab
Oleh itu, adalah perlu untuk menghasilkan unit. barangan jenis dan unit pertama. barangan jenis ke-2. Dalam kes ini, keuntungan akan menjadi maksimum dan akan menjadi 270.
Satu contoh penyelesaian masalah pengaturcaraan cembung kuadratik dengan kaedah grafik diberikan.
Menyelesaikan masalah linear dengan kaedah grafik
Dipertimbangkan kaedah grafik menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear (LPP) dengan dua pembolehubah. Pada contoh tugasan, Penerangan terperinci membina lukisan dan mencari penyelesaian.
Model pengurusan inventori Wilson
Pada contoh penyelesaian masalah, model utama pengurusan inventori (model Wilson) dipertimbangkan. Mengira penunjuk model seperti saiz optimum lot pesanan, kos penyimpanan tahunan, selang penghantaran dan tempat pesanan.
Matriks Nisbah Kos Langsung dan Matriks Input-Output
Pada contoh penyelesaian masalah, model intersectoral Leontiev dipertimbangkan. Pengiraan matriks pekali kos bahan langsung, matriks "input-output", matriks pekali kos tidak langsung, vektor penggunaan akhir dan keluaran kasar ditunjukkan.
Bahasa Rusia yang hebat hidup dan berkembang
Perubahan adalah kehidupan kecil Mengapa perubahan sekolah diperlukan
“Tidak kuat adalah yang terbaik, tetapi jujur