Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Pertimbangkan sistem persamaan linear dalam bentuk berikut:

$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(array)\kanan .$.

Nombor $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ ialah pekali sistem, nombor $b_(i) (i=1..n)$ ialah sebutan bebas.

Definisi 1

Dalam kes apabila semua istilah bebas adalah sama dengan sifar, sistem dipanggil homogen, jika tidak, ia dipanggil tidak homogen.

Setiap SLAE boleh dikaitkan dengan beberapa matriks dan sistem boleh ditulis dalam bentuk matriks yang dipanggil.

Definisi 2

Matriks pekali sistem dipanggil matriks sistem dan biasanya dilambangkan dengan huruf $A$.

Lajur sebutan bebas membentuk vektor lajur, yang biasanya dilambangkan dengan huruf $B$ dan dipanggil matriks sebutan bebas.

Pembolehubah yang tidak diketahui membentuk vektor lajur, yang biasanya dilambangkan dengan huruf $X$ dan dipanggil matriks yang tidak diketahui.

Matriks yang diterangkan di atas mempunyai bentuk:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\kanan),B=\left(\mula(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\kanan),X=\left(\mula(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(array)\kanan).$

Menggunakan matriks, SLAE boleh ditulis semula sebagai $A\cdot X=B$. Notasi ini sering dipanggil persamaan matriks.

Secara umumnya, mana-mana SLAE boleh ditulis dalam bentuk matriks.

Contoh penyelesaian sistem menggunakan matriks songsang

Contoh 1

SLAE yang diberikan: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2 ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\kanan $ bentuk matriks.

Penyelesaian:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\kanan),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\kanan),X=\left(\mula(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ end(array)\kanan).$

$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ betul)$

Dalam kes apabila matriks sistem adalah segi empat sama, SLAE boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks.

Mempunyai persamaan matriks $A\cdot X=B$, kita boleh menyatakan $X$ daripadanya dengan cara berikut:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (sifat produk matriks)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (sifat produk matriks)

$X=A^(-1) \cdot B$

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra menggunakan matriks songsang:

• tulis sistem dalam bentuk matriks;
• kirakan penentu matriks sistem;
• jika penentu matriks sistem adalah berbeza daripada sifar, maka kita dapati matriks songsang;
• Kami mengira penyelesaian sistem menggunakan formula $X=A^(-1) \cdot B$.

Jika matriks sesuatu sistem mempunyai penentu yang tidak sama dengan sifar, maka sistem ini mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati menggunakan kaedah matriks.

Jika matriks sesuatu sistem mempunyai penentu sama dengan sifar, maka sistem ini tidak boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks.

Contoh 2

SLAE yang diberikan: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right $.Selesaikan SLAE menggunakan kaedah matriks songsang, jika boleh.

Penyelesaian:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\left (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\kanan). $

Mencari penentu matriks sistem:

$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\kanan|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$ Oleh kerana penentu tidak sama dengan sifar, matriks sistem mempunyai matriks songsang dan, oleh itu, sistem persamaan boleh diselesaikan dengan kaedah matriks songsang. Penyelesaian yang terhasil akan menjadi unik.

Mari kita selesaikan sistem persamaan menggunakan matriks songsang:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\mulakan(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\mula(array)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(array) \kanan|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\kanan|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\mulakan(tatasusunan)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ kanan|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \kanan|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\mula(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ kanan|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\mulakan(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \kanan|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\mula(array)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(array) \kanan|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\mulakan(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\kanan|=2-0=2$

Matriks songsang yang diperlukan:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\mula(array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(array)\kanan )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\kanan).$

Mari cari penyelesaian kepada sistem:

$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\end(array)\kanan )=\left(\ begin(array)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(array)\kanan)=\left (\begin(array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ ialah penyelesaian yang dikehendaki kepada sistem persamaan.

Mari kita pertimbangkan sistem persamaan algebra linear(SLAU) secara relatifnya n tidak diketahui x 1 , x 2 , ..., x n :

Sistem ini dalam bentuk "runtuh" ​​boleh ditulis seperti berikut:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Selaras dengan peraturan pendaraban matriks, sistem persamaan linear yang dipertimbangkan boleh ditulis dalam bentuk matriks Ax=b, Di mana

Matriks A, lajur yang merupakan pekali untuk yang tidak diketahui yang sepadan, dan baris adalah pekali untuk yang tidak diketahui dalam persamaan yang sepadan dipanggil matriks sistem. Matriks lajur b, unsur-unsur yang merupakan sisi kanan persamaan sistem, dipanggil matriks sebelah kanan atau ringkasnya sebelah kanan sistem. Matriks lajur x , yang unsur-unsurnya adalah tidak diketahui, dipanggil penyelesaian sistem.

Sistem persamaan algebra linear yang ditulis dalam bentuk Ax=b, ialah persamaan matriks.

Jika matriks sistem tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang dan kemudian penyelesaian kepada sistem ialah Ax=b diberikan oleh formula:

x=A -1 b.

Contoh Selesaikan sistem kaedah matriks.

Penyelesaian mari kita cari matriks songsang bagi matriks pekali sistem

Mari kita hitung penentu dengan mengembangkan sepanjang baris pertama:

Kerana Δ ≠ 0 , Itu A -1 wujud.

Matriks songsang ditemui dengan betul.

Mari cari penyelesaian kepada sistem

Oleh itu, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Peperiksaan:

7. Teorem Kronecker-Capelli mengenai keserasian sistem persamaan algebra linear.

Sistem persamaan linear mempunyai bentuk:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j ialah nombor nyata yang tidak diketahui. Menggunakan konsep hasil darab matriks, kita boleh menulis semula sistem (5.1) dalam bentuk:

di mana A = (a i j) ialah matriks yang terdiri daripada pekali untuk sistem yang tidak diketahui (5.1), yang dipanggil matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ialah vektor lajur yang masing-masing terdiri daripada x j yang tidak diketahui dan sebutan bebas b i .

Koleksi yang dipesan n nombor nyata (c 1, c 2,..., c n) dipanggil penyelesaian sistem(5.1), jika hasil daripada menggantikan nombor ini dan bukannya pembolehubah sepadan x 1, x 2,..., x n, setiap persamaan sistem bertukar menjadi identiti aritmetik; dengan kata lain, jika terdapat vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sedemikian sehingga AC  B.

Sistem (5.1) dipanggil sendi, atau boleh diselesaikan, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem itu dipanggil tidak serasi, atau tidak dapat diselesaikan, jika ia tidak mempunyai penyelesaian.

,

dibentuk dengan memberikan lajur sebutan bebas kepada matriks A di sebelah kanan dipanggil matriks lanjutan sistem.

Persoalan keserasian sistem (5.1) diselesaikan dengan teorem berikut.

Teorem Kronecker-Capelli . Sistem persamaan linear adalah tekal jika dan hanya jika kedudukan matriks A danA bertepatan, i.e. r(A) = r(A) = r.

Untuk set M penyelesaian sistem (5.1) terdapat tiga kemungkinan:

1) M =  (dalam kes ini sistem tidak konsisten);

2) M terdiri daripada satu unsur, iaitu. sistem mempunyai penyelesaian yang unik (dalam kes ini sistem dipanggil pasti);

3) M terdiri daripada lebih daripada satu elemen (kemudian sistem dipanggil tidak pasti). Dalam kes ketiga, sistem (5.1) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Sistem ini mempunyai penyelesaian unik hanya jika r(A) = n. Dalam kes ini, bilangan persamaan tidak kurang daripada bilangan yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n adalah akibat daripada yang lain. Jika 0

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sewenang-wenangnya, anda perlu dapat menyelesaikan sistem di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui - yang dipanggil Sistem jenis cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sistem (5.3) diselesaikan dalam salah satu cara berikut: 1) kaedah Gauss, atau kaedah menghapuskan yang tidak diketahui; 2) mengikut formula Cramer; 3) kaedah matriks.

Contoh 2.12. Terokai sistem persamaan dan selesaikan jika ia konsisten:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Penyelesaian. Kami menulis matriks lanjutan sistem:

 .

Mari kita hitung pangkat matriks utama sistem. Adalah jelas bahawa, sebagai contoh, minor urutan kedua di sudut kiri atas = 7  0; bawah umur peringkat ketiga yang mengandunginya adalah sama dengan sifar:

Akibatnya, pangkat matriks utama sistem ialah 2, i.e. r(A) = 2. Untuk mengira pangkat matriks lanjutan A, pertimbangkan minor bersempadan

ini bermakna pangkat bagi matriks lanjutan r(A) = 3. Oleh kerana r(A)  r(A), sistem itu tidak konsisten.

Kalkulator dalam talian ini menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah matriks. Penyelesaian yang sangat terperinci diberikan. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, pilih bilangan pembolehubah. Pilih kaedah untuk mengira matriks songsang. Kemudian masukkan data dalam sel dan klik pada butang "Kira".

×

Amaran

Kosongkan semua sel?

Tutup Kosong

Arahan kemasukan data. Nombor dimasukkan sebagai integer (contoh: 487, 5, -7623, dsb.), perpuluhan (cth. 67., 102.54, dsb.) atau pecahan. Pecahan mesti dimasukkan dalam bentuk a/b, di mana a dan b ialah integer atau perpuluhan. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dsb.

Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Pertimbangkan sistem persamaan linear berikut:

Memandangkan takrifan matriks songsang, kita ada A −1 A=E, Di mana E- matriks identiti. Oleh itu (4) boleh ditulis seperti berikut:

Oleh itu, untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (1) (atau (2)), cukup untuk mendarab songsangan bagi A matriks setiap vektor kekangan b.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah matriks

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan kaedah matriks:

Mari cari songsangan matriks A menggunakan kaedah Jordan-Gauss. Di sebelah kanan matriks A Mari kita tulis matriks identiti:

Mari kita mengecualikan unsur-unsur lajur pertama matriks di bawah pepenjuru utama. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, masing-masing didarab dengan -1/3, -1/3:

Mari kita mengecualikan unsur-unsur lajur ke-2 matriks di bawah pepenjuru utama. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 3 dengan baris 2 didarab dengan -24/51:

Mari kita mengecualikan elemen lajur ke-2 matriks di atas pepenjuru utama. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 1 dengan baris 2 didarab dengan -3/17:

Pisahkan bahagian kanan matriks. Matriks yang terhasil ialah matriks songsang bagi A :

Bentuk matriks untuk menulis sistem persamaan linear: Ax=b, Di mana

Mari kita hitung semua pelengkap algebra bagi matriks A:

,

,

,

,

,

di mana A ij − pelengkap algebra bagi unsur matriks A, terletak di persimpangan i-baris ke- dan j lajur ke-, dan Δ ialah penentu matriks A.

Menggunakan formula matriks songsang, kita dapat:

Tujuan perkhidmatan. Menggunakan kalkulator dalam talian ini, tidak diketahui (x 1, x 2, ..., x n) dikira dalam sistem persamaan. Keputusan dijalankan kaedah matriks songsang. Dalam kes ini:

• penentu matriks A dikira;
• melalui penambahan algebra matriks songsang A -1 ditemui;
• templat penyelesaian dibuat dalam Excel;

Keputusan dijalankan terus di laman web (dalam talian) dan adalah percuma. Keputusan pengiraan dibentangkan dalam laporan dalam format Word.

Arahan. Untuk mendapatkan penyelesaian menggunakan kaedah matriks songsang, anda perlu menentukan dimensi matriks. Seterusnya, dalam kotak dialog baharu, isikan matriks A dan vektor hasil B.

Ingat bahawa penyelesaian kepada sistem persamaan linear ialah sebarang set nombor (x 1, x 2, ..., x n), penggantian yang mana ke dalam sistem ini dan bukannya yang tidak diketahui sepadan menjadikan setiap persamaan sistem menjadi identiti. .
Sistem persamaan algebra linear biasanya ditulis sebagai (untuk 3 pembolehubah): Lihat juga Menyelesaikan persamaan matriks.

Algoritma penyelesaian

1. Penentu matriks A dikira. Jika penentunya adalah sifar, maka penyelesaiannya sudah tamat. Sistem ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
2. Apabila penentu berbeza daripada sifar, matriks songsang A -1 ditemui melalui penambahan algebra.
3. Vektor penyelesaian X =(x 1, x 2, ..., x n) diperoleh dengan mendarab matriks songsang dengan vektor hasil B.

Contoh No. 1. Cari penyelesaian kepada sistem menggunakan kaedah matriks. Mari kita tulis matriks dalam bentuk:

Penambahan algebra.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3.2 = (-1) 3+2

2 1 3 2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Peperiksaan:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Contoh No. 2. Selesaikan SLAE menggunakan kaedah matriks songsang.
2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2
5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3
4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Mari kita tulis matriks dalam bentuk:

Vektor B:
B T = (1,2,3,4)
Penentu utama
Kecil untuk (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Kecil untuk (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Kecil untuk (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Kecil untuk (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Penentu kecil
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Contoh No. 4. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan matriks songsang.
Penyelesaian:xls

Contoh No. 5. Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Diperlukan: 1) cari penyelesaiannya menggunakan formula Cramer; 2) tulis sistem dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan kalkulus matriks.
Cadangan kaedah. Selepas menyelesaikan dengan kaedah Cramer, cari butang "Penyelesaian dengan kaedah matriks songsang untuk data sumber". Anda akan menerima penyelesaian yang sesuai. Oleh itu, anda tidak perlu mengisi data lagi.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan dengan A matriks pekali untuk yang tidak diketahui; X - matriks-lajur yang tidak diketahui; B - matriks-lajur ahli percuma:

-1 3 0 3 -2 1 2 1 -1

Vektor B:
B T =(4,-3,-3)
Dengan mengambil kira tatatanda ini, sistem persamaan ini mengambil bentuk matriks berikut: A*X = B.
Jika matriks A tidak merosot (penentunya bukan sifar, maka ia mempunyai matriks songsang A -1. Mendarab kedua-dua belah persamaan dengan A -1, kita dapat: A -1 *A*X = A - 1 *B, A -1 * A=E.
Persamaan ini dipanggil tatatanda matriks bagi penyelesaian kepada sistem persamaan linear. Untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan, adalah perlu untuk mengira matriks songsang A -1.
Sistem akan mempunyai penyelesaian jika penentu matriks A ialah bukan sifar.
Mari cari penentu utama.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Jadi, penentunya ialah 14 ≠ 0, jadi kita teruskan penyelesaiannya. Untuk melakukan ini, kita mencari matriks songsang melalui penambahan algebra.
Mari kita mempunyai matriks bukan tunggal A:
Kami mengira pelengkap algebra.

A 1,1 =(-1) 1+1

-2 1 1 -1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 =(-1) 1+2

3 1 0 -1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1.3 =(-1) 1+3

3 -2 0 1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2,1 =(-1) 2+1

3 2 1 -1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 =(-1) 2+2

-1 2 0 -1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 =(-1) 2+3

-1 3 0 1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3.1 =(-1) 3+1

3 2 -2 1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

4

-3

-3

X=1/14

-3))

Penentu utama
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Matriks terpindah
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 =(-1) 1+2

1 3 -1 1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1.3 =(-1) 1+3

1 0 -1 -2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2,1 =(-1) 2+1

2 0 -2 1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 =(-1) 2+2

4 0 -1 1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 =(-1) 2+3

4 2 -1 -2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3.1 =(-1) 3+1

2 0 0 3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3.2 =(-1) 3+2

4 0 1 3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3.3 =(-1) 3+3

1/16

6 -4 -2 -2 4 6 6 -12 -2

E=A*A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16 0 0 0 16 0 0 0 16

A*A -1 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Contoh No. 7. Menyelesaikan persamaan matriks.
Mari kita nyatakan:

A=

3 0 5 2 1 4 -1 3 0

Penambahan algebra

A 1,1 = (-1) 1+1

1 3 4 0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1) 1+2

0 3 5 0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1.3 = (-1) 1+3

0 1 5 4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2,1 = (-1) 2+1

2 -1 4 0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

3 -1 5 0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1) 2+3

3 2 5 4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

2 -1 1 3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
· 1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(4.05,6.13,7.54)
x 1 = 158 / 39 =4.05
x 2 = 239 / 39 =6.13
x 3 = 294 / 39 =7.54
Peperiksaan.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Contoh No. 9. Mari kita nyatakan dengan A matriks pekali untuk yang tidak diketahui; X - matriks-lajur yang tidak diketahui; B - matriks-lajur ahli percuma:

-2 1 6 1 -1 2 2 4 -3

Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(5.21,4.51,6.15)
x 1 = 276 / 53 =5.21
x 2 = 239 / 53 =4.51
x 3 = 326 / 53 =6.15
Peperiksaan.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Contoh No. 10. Menyelesaikan persamaan matriks.
Mari kita nyatakan:

Penambahan algebra
A 11 = (-1) 1+1 ·-3 = -3; A 12 = (-1) 1+2 ·3 = -3; A 21 = (-1) 2+1 ·1 = -1; A 22 = (-1) 2+2 ·2 = 2;
Matriks songsang A -1 .
· 1/-9

-3	-3
-1	2

=

1	-2
1	1

Jawapan:

X =

1 -2 1 1

6.4. Beberapa aplikasi produk titik

11. Ungkapan hasil darab skalar vektor melalui koordinat faktor. Teorem.

12. Panjang vektor, panjang segmen, sudut antara vektor, keadaan tegak lurus vektor.

13. Hasil darab vektor bagi vektor, sifatnya. Luas segi empat selari.

14. Hasil campuran vektor, sifatnya. Syarat untuk persamaan vektor. Isipadu paip selari. Isipadu piramid.

15. Kaedah untuk menentukan garis lurus pada satah.

16. Persamaan normal garis pada satah (terbitan). Makna geometri pekali.

17. Persamaan garis lurus pada satah dalam segmen (terbitan).

Mengurangkan persamaan am satah kepada persamaan satah dalam segmen.

18. Persamaan garis lurus pada satah dengan pekali sudut (terbitan).

19. Persamaan garis lurus pada satah yang melalui dua titik (terbitan).

20. Sudut antara garis lurus pada satah (output).

21. Jarak dari titik ke garis lurus pada satah (output).

22. Keadaan selari dan keserenjang garis pada satah (terbitan).

23. Persamaan satah. Persamaan satah biasa (derivasi). Makna geometri pekali.

24. Persamaan satah dalam segmen (terbitan).

25. Persamaan satah yang melalui tiga titik (terbitan).

26. Sudut antara satah (output).

27. Jarak dari satu titik ke satah (output).

28. Syarat untuk keselarian dan keserenjangan satah (kesimpulan).

29. Persamaan garis dalam r3. Persamaan garis yang melalui dua titik tetap (terbitan).

30. Persamaan kanonik bagi garis lurus dalam ruang (terbitan).

Melukis persamaan kanonik bagi garis lurus dalam ruang.

Kes khas persamaan kanonik bagi garis lurus dalam ruang.

Persamaan kanonik bagi garis yang melalui dua titik tertentu dalam ruang.

Peralihan daripada persamaan kanonik garis dalam ruang kepada jenis persamaan garis yang lain.

31. Sudut antara garis lurus (output).

32. Jarak dari titik ke garis lurus pada satah (output).

Jarak dari titik ke garis lurus pada satah - teori, contoh, penyelesaian.

Cara pertama untuk mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus tertentu pada satah.

Kaedah kedua membolehkan anda mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus yang diberikan pada satah.

Menyelesaikan masalah mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus tertentu pada satah.

Jarak dari titik ke garisan dalam ruang - teori, contoh, penyelesaian.

Cara pertama untuk mencari jarak dari titik ke garisan dalam ruang.

Kaedah kedua membolehkan anda mencari jarak dari titik ke garisan dalam ruang.

33. Syarat untuk keselarian dan keserenjangan garisan dalam ruang.

34. Kedudukan relatif garisan dalam ruang dan garisan dengan satah.

35. Persamaan elips klasik (derivasi) dan pembinaannya. Persamaan kanonik elips mempunyai bentuk di mana nombor nyata positif, dan Bagaimana untuk membina elips?

36. Persamaan hiperbola klasik (derivasi) dan pembinaannya. Asimtot.

37. Persamaan parabola kanonik (terbitan) dan pembinaan.

38. Fungsi. Definisi asas. Graf fungsi asas asas.

39. Urutan nombor. Had urutan nombor.

40. kuantiti tak terhingga kecil dan kuantiti tak terhingga besar. Teorem tentang hubungan antara mereka, sifat.

41. Teorem tentang tindakan ke atas pembolehubah yang mempunyai had terhingga.

42. Nombor e.

kandungan

Kaedah penentuan

Hartanah

cerita

Anggaran

43. Penentuan had sesuatu fungsi. Membongkar ketidakpastian.

44. Had yang luar biasa, kesimpulan mereka. Kuantiti infinitesimal setara.

kandungan

Had indah pertama

Had indah kedua

45. Had berat sebelah. Kesinambungan dan ketakselanjaran fungsi. Had berat sebelah

Had kiri dan kanan sesuatu fungsi

Titik ketakselanjaran jenis pertama

Titik ketakselanjaran jenis kedua

Titik putus boleh tanggal

46. ​​Takrif derivatif. Makna geometri, makna mekanikal terbitan. Persamaan tangen dan normal untuk lengkung dan titik.

47. Teorem tentang terbitan songsang, fungsi kompleks.

48. Terbitan bagi fungsi asas termudah.

49. Pembezaan fungsi parametrik, tersirat dan eksponen kuasa.

21. Pembezaan fungsi tersirat dan ditentukan secara parametrik

21.1. Fungsi tersirat

21.2. Fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

50. Derivatif peringkat tinggi. Formula Taylor.

51. Pembezaan. Penggunaan pembezaan kepada pengiraan anggaran.

52. Teorem Rolle, Lagrange, Cauchy. Peraturan L'Hopital.

53. Teorem mengenai syarat-syarat yang perlu dan mencukupi untuk kemonotonan sesuatu fungsi.

54. Penentuan maksimum dan minimum fungsi. Teorem tentang syarat yang perlu dan mencukupi untuk kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi.

Teorem (syarat yang diperlukan untuk ekstrem)

55. Cembung dan lekuk lengkung. Titik infleksi. Teorem mengenai syarat yang perlu dan mencukupi untuk kewujudan titik infleksi.

Bukti

57. Penentu susunan ke-n, sifat-sifatnya.

58. Matriks dan tindakan ke atasnya. Kedudukan matriks.

Definisi

Takrifan berkaitan

Hartanah

Penjelmaan linear dan kedudukan matriks

59. Matriks songsang. Teorem tentang kewujudan matriks songsang.

60. Sistem persamaan linear. Penyelesaian matriks sistem persamaan linear. Peraturan Cramer. Kaedah Gauss. Teorem Kronecker-Capelli.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, kaedah penyelesaian, contoh.

Definisi, konsep, sebutan.

Menyelesaikan sistem asas persamaan algebra linear.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Teorem Kronecker–Capelli.

Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Menulis penyelesaian umum kepada sistem algebra linear homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem asas penyelesaian.

Menyelesaikan sistem persamaan yang berkurang kepada slough.

Contoh masalah yang mengurangkan kepada penyelesaian sistem persamaan algebra linear.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks , di mana matriks A mempunyai dimensi n pada n dan penentunya ialah bukan sifar.

Sejak , maka matriks A– boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua belah kesamaan ke kiri, kita memperoleh formula untuk mencari lajur matriks pembolehubah yang tidak diketahui. Ini adalah bagaimana kami memperoleh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks.

kaedah matriks.

Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Kerana maka SLAE boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks. Menggunakan matriks songsang, penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai .

Mari bina matriks songsang menggunakan matriks daripada pelengkap algebra bagi unsur matriks A(jika perlu, lihat kaedah artikel untuk mencari matriks songsang):

Ia kekal untuk mengira matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang kepada lajur matriks ahli bebas (jika perlu, lihat operasi artikel pada matriks):

atau dalam jawatan lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Masalah utama apabila mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks kuasa dua tertib lebih tinggi daripada ketiga.

Untuk penerangan yang lebih terperinci tentang teori dan contoh tambahan, lihat kaedah matriks artikel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Bahagian atas halaman

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss.

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem daripada n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri daripada menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan: pertama menghapuskan x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dari yang kedua, dikecualikan lagi x 2 daripada semua persamaan, bermula dengan yang ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah yang tidak diketahui kekal dalam persamaan terakhir x n. Proses mengubah persamaan sistem untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas melengkapkan janjang hadapan kaedah Gaussian, daripada persamaan terakhir kita dapati x n, menggunakan nilai ini daripada persamaan kedua terakhir yang kita kira x n-1, dan seterusnya, daripada persamaan pertama yang kita dapati x 1 . Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil songsang kaedah Gaussian.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menukar persamaan sistem. Hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dari yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan, ke persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan, dan seterusnya, kepada ke- kepada persamaan kita menambah yang pertama didarab dengan. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk di mana dan .

Kami akan sampai pada keputusan yang sama jika kami menyatakan x 1 melalui pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan ungkapan yang terhasil telah digantikan ke dalam semua persamaan lain. Jadi pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.

Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang dihasilkan, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan, ke persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan, dan seterusnya, kepada ke- kepada persamaan kita menambah kedua, didarab dengan. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk di mana dan . Jadi pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan bermula dari yang ketiga.

Seterusnya kita meneruskan untuk menghapuskan yang tidak diketahui x 3 , dalam kes ini kita bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk

Dari saat ini kita memulakan kebalikan kaedah Gaussian: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai, menggunakan nilai yang diperolehi x n kita jumpa x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama.

Menyelesaikan sistem persamaan linear Kaedah Gauss.

Hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua belah persamaan kedua dan ketiga kita menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, didarab dengan dan masing-masing:

Sekarang mari kita mengecualikan daripada persamaan ketiga x 2 , menambah pada sisi kiri dan kanannya sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan:

Ini melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gauss kita memulakan lejang terbalik.

Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil kita dapati x 3 :

Daripada persamaan kedua kita dapat .

Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang tinggal dan dengan itu melengkapkan kebalikan kaedah Gauss.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Untuk maklumat yang lebih terperinci dan contoh tambahan, lihat bahagian penyelesaian sistem asas persamaan algebra linear menggunakan kaedah Gauss.

Bahagian atas halaman