Mencari janjang aritmetik. Janjang aritmetik - urutan nombor

Masalah janjang aritmetik telah wujud sejak zaman purba. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian, kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Jadi, dalam salah satu papirus Mesir Purba, yang mempunyai kandungan matematik - papirus Rhind (abad XIX SM) - mengandungi tugas berikut: bahagikan sepuluh sukat roti kepada sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara setiap daripada mereka adalah satu. kelapan daripada sesuatu ukuran.

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Jadi, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada "Elemen" Euclid, merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik dengan bilangan ahli genap, jumlah ahli separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah ahli 1 dengan kuasa dua 1 / 2 ahli.

Urutan an ditandakan. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Ia difahami sebagai diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan sedemikian dianggap semakin meningkat.

Janjang aritmetik dikatakan terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Dengan bilangan ahli yang sangat ramai, ini sudah menjadi kemajuan yang tidak terhingga.

Sebarang janjang aritmetik diberikan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan, yang sebaliknya, adalah benar: jika urutan diberikan oleh formula yang sama, maka ini betul-betul janjang aritmetik, yang mempunyai sifat:

1. Setiap ahli janjang ialah min aritmetik bagi ahli sebelumnya dan yang seterusnya.
2. Sebaliknya: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan seterusnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan yang diberikan ialah janjang aritmetik. Kesamaan ini pada masa yang sama adalah tanda kemajuan, jadi ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana ahli jujukan, bermula dari ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang itu).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati dengan menggunakan formula berikut:

Sebagai contoh: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan anda menentukan ahli ke-n suatu janjang aritmetik melalui mana-mana ahli ke-knya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah ahli janjang aritmetik (dengan mengandaikan n anggota pertama janjang akhir) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain adalah sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung pada keadaan tugas dan data awal.

Siri semula jadi sebarang nombor seperti 1,2,3,...,n,... ialah contoh paling mudah bagi janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga satu geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Sebelum kita mula membuat keputusan masalah janjang aritmetik, pertimbangkan apa itu jujukan nombor, kerana janjang aritmetik ialah kes khas bagi jujukan nombor.

Urutan berangka ialah set berangka, setiap elemen mempunyai nombor sirinya sendiri. Unsur-unsur set ini dipanggil ahli jujukan. Nombor ordinal unsur jujukan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama urutan;

Unsur kelima jujukan;

- elemen "nth" bagi jujukan, i.e. elemen "berdiri dalam barisan" pada nombor n.

Terdapat pergantungan antara nilai unsur jujukan dan nombor ordinalnya. Oleh itu, kita boleh menganggap jujukan sebagai fungsi yang hujahnya ialah nombor ordinal bagi unsur jujukan. Dalam erti kata lain, seseorang boleh mengatakan bahawa urutan adalah fungsi hujah semula jadi:

Urutan boleh ditentukan dalam tiga cara:

1 . Urutan boleh ditentukan menggunakan jadual. Dalam kes ini, kami hanya menetapkan nilai setiap ahli jujukan.

Sebagai contoh, Seseorang memutuskan untuk melakukan pengurusan masa peribadi, dan untuk memulakan, untuk mengira berapa banyak masa yang dia habiskan di VKontakte sepanjang minggu. Dengan menulis masa dalam jadual, dia akan mendapat urutan yang terdiri daripada tujuh elemen:

Baris pertama jadual mengandungi bilangan hari dalam seminggu, yang kedua - masa dalam minit. Kami melihat bahawa, iaitu, pada hari Isnin Seseorang menghabiskan 125 minit di VKontakte, iaitu, pada hari Khamis - 248 minit, dan, iaitu, pada hari Jumaat, hanya 15 minit.

2 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula ahli ke-n.

Dalam kes ini, pergantungan nilai unsur jujukan pada nombornya dinyatakan secara langsung sebagai formula.

Contohnya, jika , maka

Untuk mencari nilai unsur jujukan dengan nombor tertentu, kami menggantikan nombor unsur ke dalam formula untuk ahli ke-n.

Kita melakukan perkara yang sama jika kita perlu mencari nilai fungsi jika nilai hujah diketahui. Kami menggantikan nilai hujah sebaliknya dalam persamaan fungsi:

Jika, sebagai contoh, , kemudian

Sekali lagi, saya perhatikan bahawa dalam urutan, berbeza dengan fungsi angka arbitrari, hanya nombor asli boleh menjadi hujah.

3 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula yang menyatakan pergantungan nilai ahli jujukan dengan nombor n pada nilai ahli sebelumnya. Dalam kes ini, tidak cukup untuk kita mengetahui bilangan ahli jujukan sahaja untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan ahli pertama atau beberapa ahli pertama jujukan.

Sebagai contoh, pertimbangkan urutan ,

Kita boleh mencari nilai ahli-ahli jujukan dalam urutan, bermula dari yang ketiga:

Iaitu, setiap kali untuk mencari nilai ahli ke-n jujukan, kita kembali kepada dua sebelumnya. Cara penjujukan ini dipanggil berulang, daripada perkataan Latin berulang- kembali.

Sekarang kita boleh menentukan janjang aritmetik. Janjang aritmetik ialah kes khas yang mudah bagi jujukan berangka.

Janjang aritmetik dipanggil urutan berangka, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama.

Nombor dipanggil perbezaan janjang aritmetik. Perbezaan janjang aritmetik boleh positif, negatif atau sifar.

Jika title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} semakin meningkat.

Sebagai contoh, 2; 5; lapan; sebelas;...

Jika , maka setiap sebutan janjang aritmetik adalah kurang daripada yang sebelumnya, dan janjangnya adalah amaran.

Sebagai contoh, 2; -satu; -empat; -7;...

Jika , maka semua ahli janjang adalah sama dengan nombor yang sama, dan janjangnya ialah pegun.

Contohnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama janjang aritmetik:

Jom tengok gambar.

Kita nampak itu

, dan pada masa yang sama

Menambah dua kesamaan ini, kita dapat:

.

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2:

Jadi, setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik dua yang berjiran:

Lebih-lebih lagi, kerana

, dan pada masa yang sama

, kemudian

, dan oleh itu

Setiap ahli janjang aritmetik bermula dengan tajuk="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula ahli ke.

Kami melihat bahawa untuk ahli janjang aritmetik, hubungan berikut berlaku:

dan akhirnya

Kami mendapat rumus sebutan ke-n.

PENTING! Mana-mana ahli janjang aritmetik boleh dinyatakan dalam sebutan dan . Mengetahui sebutan pertama dan perbezaan janjang aritmetik, anda boleh mencari mana-mana ahlinya.

Jumlah n ahli suatu janjang aritmetik.

Dalam janjang aritmetik arbitrari, jumlah sebutan yang sama jaraknya daripada yang melampau adalah sama antara satu sama lain:

Pertimbangkan janjang aritmetik dengan n ahli. Biarkan jumlah n ahli janjang ini sama dengan .

Susun istilah janjang dahulu dalam tertib nombor menaik, dan kemudian dalam tertib menurun:

Mari pasangkannya:

Jumlah dalam setiap kurungan ialah , bilangan pasangan ialah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n ahli janjang aritmetik boleh didapati menggunakan formula:

Pertimbangkan menyelesaikan masalah janjang aritmetik.

1 . Urutan diberikan oleh formula sebutan ke-n: . Buktikan bahawa jujukan ini ialah janjang aritmetik.

Mari kita buktikan bahawa beza antara dua ahli urutan yang bersebelahan adalah sama dengan nombor yang sama.

Kami telah memperoleh bahawa perbezaan dua ahli urutan yang bersebelahan tidak bergantung pada nombor mereka dan adalah pemalar. Oleh itu, mengikut definisi, jujukan ini ialah janjang aritmetik.

2 . Diberi janjang aritmetik -31; -27;...

a) Cari 31 sebutan janjang itu.

b) Tentukan sama ada nombor 41 termasuk dalam janjang ini.

a) Kami melihat bahawa;

Mari kita tulis formula untuk penggal ke-n untuk perkembangan kita.

Secara umum

Dalam kes kita , sebab tu

Seseorang menganggap perkataan "kemajuan" dengan berhati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks daripada bahagian matematik yang lebih tinggi. Sementara itu, janjang aritmetik yang paling mudah ialah kerja kaunter teksi (di mana ia masih kekal). Dan untuk memahami intipati (dan dalam matematik tidak ada yang lebih penting daripada "memahami intipati") bagi urutan aritmetik tidaklah begitu sukar, setelah menganalisis beberapa konsep asas.

Urutan nombor matematik

Adalah lazim untuk memanggil urutan berangka satu siri nombor, yang masing-masing mempunyai nombor sendiri.

dan 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;

dan 2 ialah ahli kedua bagi jujukan;

dan 7 ialah ahli ketujuh bagi jujukan;

dan n ialah ahli ke-n bagi jujukan;

Walau bagaimanapun, tidak ada set angka dan nombor sewenang-wenangnya yang menarik minat kami. Kami akan menumpukan perhatian kami pada urutan berangka di mana nilai ahli ke-n dikaitkan dengan nombor ordinalnya dengan pergantungan yang boleh dirumuskan secara matematik dengan jelas. Dalam erti kata lain: nilai berangka nombor ke-n ialah beberapa fungsi n.

a - nilai ahli urutan berangka;

n ialah nombor sirinya;

f(n) ialah fungsi di mana ordinal dalam jujukan angka n ialah hujah.

Definisi

Janjang aritmetik biasanya dipanggil jujukan berangka di mana setiap sebutan berikutnya adalah lebih besar (kurang) daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama. Formula untuk ahli ke-n bagi jujukan aritmetik adalah seperti berikut:

a n - nilai ahli semasa janjang aritmetik;

a n+1 - formula nombor seterusnya;

d - perbezaan (nombor tertentu).

Adalah mudah untuk menentukan bahawa jika perbezaan adalah positif (d>0), maka setiap ahli berikutnya bagi siri yang sedang dipertimbangkan akan lebih besar daripada yang sebelumnya, dan janjang aritmetik sedemikian akan meningkat.

Dalam graf di bawah, adalah mudah untuk melihat mengapa urutan nombor dipanggil "meningkat".

Dalam kes di mana perbezaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai ahli yang ditentukan

Kadangkala adalah perlu untuk menentukan nilai bagi beberapa sebutan arbitrari bagi suatu janjang aritmetik. Anda boleh melakukan ini dengan mengira secara berturut-turut nilai semua ahli janjang aritmetik, dari yang pertama hingga yang dikehendaki. Walau bagaimanapun, cara ini tidak selalu boleh diterima jika, sebagai contoh, adalah perlu untuk mencari nilai sebutan lima ribu atau lapan juta. Pengiraan tradisional akan mengambil masa yang lama. Walau bagaimanapun, janjang aritmetik tertentu boleh disiasat menggunakan formula tertentu. Terdapat juga formula untuk sebutan ke-n: nilai mana-mana ahli janjang aritmetik boleh ditentukan sebagai jumlah ahli pertama janjang dengan perbezaan janjang itu, didarab dengan nombor anggota yang dikehendaki, tolak satu .

Formula adalah universal untuk meningkatkan dan mengurangkan perkembangan.

Contoh pengiraan nilai ahli yang diberikan

Mari kita selesaikan masalah berikut untuk mencari nilai ahli ke-n suatu janjang aritmetik.

Keadaan: terdapat janjang aritmetik dengan parameter:

Ahli pertama bagi jujukan ialah 3;

Perbezaan dalam siri nombor ialah 1.2.

Tugasan: adalah perlu untuk mencari nilai 214 sebutan

Penyelesaian: untuk menentukan nilai ahli tertentu, kami menggunakan formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Menggantikan data daripada pernyataan masalah ke dalam ungkapan, kami mempunyai:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Jawapan: Ahli ke-214 jujukan adalah bersamaan dengan 258.6.

Kelebihan kaedah pengiraan ini adalah jelas - keseluruhan penyelesaian mengambil masa tidak lebih daripada 2 baris.

Jumlah bilangan ahli tertentu

Selalunya, dalam siri aritmetik tertentu, ia diperlukan untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Ia juga tidak perlu mengira nilai setiap istilah dan kemudian menjumlahkannya. Kaedah ini boleh digunakan jika bilangan istilah yang jumlahnya mesti dijumpai adalah kecil. Dalam kes lain, lebih mudah untuk menggunakan formula berikut.

Jumlah ahli janjang aritmetik dari 1 hingga n adalah sama dengan hasil tambah ahli pertama dan ke-, didarab dengan nombor ahli n dan dibahagikan dengan dua. Jika dalam formula nilai ahli n-th digantikan dengan ungkapan dari perenggan sebelumnya artikel, kita dapat:

Contoh pengiraan

Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah dengan syarat berikut:

Sebutan pertama bagi jujukan ialah sifar;

Perbezaannya ialah 0.5.

Dalam masalah, ia diperlukan untuk menentukan jumlah terma siri dari 56 hingga 101.

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula untuk menentukan jumlah janjang:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 ahli perkembangan dengan menggantikan syarat masalah kami yang diberikan ke dalam formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Jelas sekali, untuk mengetahui jumlah terma janjang dari ke-56 hingga ke-101, adalah perlu untuk menolak S 55 daripada S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Jadi jumlah janjang aritmetik untuk contoh ini ialah:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

Contoh aplikasi amali janjang aritmetik

Pada penghujung artikel, mari kita kembali kepada contoh jujukan aritmetik yang diberikan dalam perenggan pertama - meter teksi (meter kereta teksi). Mari kita pertimbangkan contoh sedemikian.

Masuk ke teksi (termasuk 3 km) berharga 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar pada kadar 22 rubel / km. Jarak perjalanan 30 km. Kira kos perjalanan.

1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya termasuk dalam kos pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Pengiraan selanjutnya tidak lebih daripada menghuraikan siri nombor aritmetik.

Nombor ahli ialah bilangan kilometer yang dilalui (tolak tiga yang pertama).

Nilai ahli ialah jumlah.

Istilah pertama dalam masalah ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Perbezaan kemajuan d = 22 p.

bilangan minat kepada kami - nilai ahli janjang aritmetik (27 + 1) - bacaan meter pada penghujung kilometer ke-27 - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Pengiraan data kalendar untuk tempoh yang panjang sewenang-wenangnya adalah berdasarkan formula yang menerangkan jujukan berangka tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit bergantung secara geometri pada jarak jasad angkasa ke luminary. Selain itu, pelbagai siri berangka berjaya digunakan dalam statistik dan cabang matematik gunaan lain.

Satu lagi jenis urutan nombor ialah geometri

Janjang geometri dicirikan oleh kadar perubahan yang besar, berbanding dengan aritmetik. Bukan kebetulan bahawa dalam politik, sosiologi, perubatan, selalunya, untuk menunjukkan kelajuan tinggi penyebaran fenomena tertentu, sebagai contoh, penyakit semasa wabak, mereka mengatakan bahawa proses itu berkembang secara eksponen.

Ahli ke-N siri nombor geometri berbeza daripada yang sebelumnya kerana ia didarab dengan beberapa nombor tetap - penyebutnya, sebagai contoh, ahli pertama ialah 1, penyebutnya ialah 2, masing-masing, kemudian:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai ahli semasa janjang geometri;

b n+1 - formula ahli janjang geometri seterusnya;

q ialah penyebut janjang geometri (nombor tetap).

Jika graf janjang aritmetik ialah garis lurus, maka graf geometri melukis gambar yang sedikit berbeza:

Seperti dalam kes aritmetik, janjang geometri mempunyai formula untuk nilai ahli arbitrari. Mana-mana sebutan ke-n suatu janjang geometri adalah sama dengan hasil darab sebutan pertama dan penyebut janjang kepada kuasa n dikurangkan dengan satu:

Contoh. Kami mempunyai janjang geometri dengan sebutan pertama sama dengan 3 dan penyebut janjang itu sama dengan 1.5. Cari sebutan ke-5 janjang itu

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Jumlah bilangan ahli tertentu juga dikira menggunakan formula khas. Jumlah n anggota pertama janjang geometri adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab anggota ke-n janjang itu dan penyebutnya dan ahli pertama janjang itu, dibahagikan dengan penyebut dikurangkan dengan satu:

Jika b n digantikan menggunakan formula yang dibincangkan di atas, nilai jumlah n ahli pertama siri nombor yang dipertimbangkan akan diambil dalam bentuk:

Contoh. Janjang geometri bermula dengan sebutan pertama bersamaan dengan 1. Penyebutnya ditetapkan sama dengan 3. Mari kita cari hasil tambah bagi lapan sebutan pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Apakah intipati formula?

Formula ini membolehkan anda mencari mana-mana DENGAN NOMBORNYA" n" .

Sudah tentu, anda perlu tahu istilah pertama a 1 dan perbezaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini, anda tidak boleh menulis perkembangan tertentu.

Tidak cukup untuk menghafal (atau menipu) formula ini. Ia perlu untuk mengasimilasikan intipatinya dan menggunakan formula dalam pelbagai masalah. Ya, dan jangan lupa pada masa yang tepat, ya ...) Bagaimana tidak lupa- Saya tidak tahu. Tetapi bagaimana untuk mengingati Jika perlu, saya akan memberi anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran hingga akhir.)

Jadi, mari kita berurusan dengan formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik.

Apakah formula secara umum - kita bayangkan.) Apakah janjang aritmetik, nombor ahli, perbezaan janjang - dinyatakan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Cuba lihat jika anda belum membacanya. Semuanya mudah di sana. Ia kekal untuk memikirkan apa ahli ke-.

Perkembangan secara umum boleh ditulis sebagai satu siri nombor:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- menandakan sebutan pertama suatu janjang aritmetik, a 3- ahli ketiga a 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita berminat dengan penggal kelima, katakan kita sedang bekerjasama a 5, jika seratus dua puluh - daripada a 120.

Bagaimana untuk menentukan secara umum mana-mana ahli janjang aritmetik, s mana-mana nombor? Sangat ringkas! seperti ini:

a n

Itulah yang berlaku ahli ke-n suatu janjang aritmetik. Di bawah huruf n semua nombor ahli disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apakah rekod sedemikian memberi kita? Cuba fikir, bukannya nombor, mereka menulis surat ...

Tatatanda ini memberi kita alat yang berkuasa untuk bekerja dengan janjang aritmetik. Menggunakan tatatanda a n, kita boleh cari dengan cepat mana-mana ahli mana-mana janjang aritmetik. Dan banyak tugas untuk diselesaikan dalam perkembangan. Anda akan melihat lebih jauh.

Dalam formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- ahli pertama janjang aritmetik;

n- nombor ahli.

Formula memautkan parameter utama sebarang perkembangan: a n ; a 1; d dan n. Di sekeliling parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.

Formula istilah ke-n juga boleh digunakan untuk menulis janjang tertentu. Sebagai contoh, dalam masalah boleh dikatakan bahawa perkembangan diberikan oleh syarat:

a n = 5 + (n-1) 2.

Masalah sedemikian boleh mengelirukan ... Tidak ada siri, tidak ada perbezaan ... Tetapi, membandingkan keadaan dengan formula, mudah untuk mengetahui bahawa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.

Dan ia boleh menjadi lebih marah!) Jika kita mengambil keadaan yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka kurungan dan berikan yang serupa? Kami mendapat formula baharu:

an = 3 + 2n.

ia Hanya bukan umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak perangkapnya. Sesetengah orang berpendapat bahawa penggal pertama adalah tiga. Walaupun pada hakikatnya ahli pertama adalah lima ... Lebih rendah sedikit kita akan bekerja dengan formula yang diubah suai.

Dalam tugas untuk kemajuan, terdapat satu lagi notasi - a n+1. Ini, anda rasa, sebutan "n tambah pertama" bagi janjang itu. Maksudnya mudah dan tidak berbahaya.) Ini adalah ahli janjang, bilangan yang lebih besar daripada nombor n demi satu. Sebagai contoh, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk a n penggal kelima, kemudian a n+1 akan menjadi ahli keenam. Dan lain-lain.

Selalunya sebutan a n+1 berlaku dalam formula rekursif. Jangan takut dengan perkataan yang mengerikan ini!) Ini hanyalah satu cara untuk menyatakan istilah janjang aritmetik melalui yang sebelumnya. Katakan kita diberi janjang aritmetik dalam bentuk ini, menggunakan formula berulang:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - melalui yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana untuk mengira dengan segera, katakan penggal kedua puluh, a 20? Tetapi tidak mungkin!) Walaupun penggal ke-19 tidak diketahui, penggal ke-20 tidak boleh dikira. Ini ialah perbezaan asas antara formula rekursif dan formula sebutan ke-n. Rekursif berfungsi hanya melalui sebelumnya sebutan, dan rumus sebutan ke-n - melalui yang pertama dan membenarkan terus cari mana-mana ahli dengan nombornya. Tidak mengira keseluruhan siri nombor mengikut tertib.

Dalam janjang aritmetik, formula rekursif dengan mudah boleh diubah menjadi formula biasa. Kira sepasang sebutan berturut-turut, hitung bezanya d, cari, jika perlu, istilah pertama a 1, tulis formula dalam bentuk biasa, dan kerjakan dengannya. Dalam GIA, tugas seperti itu sering dijumpai.

Penggunaan formula anggota ke-n suatu janjang aritmetik.

Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung formula. Pada akhir pelajaran sebelumnya terdapat masalah:

Diberi janjang aritmetik (a n). Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Masalah ini boleh diselesaikan tanpa sebarang formula, hanya berdasarkan maksud janjang aritmetik. Tambah, ya tambah ... Satu atau dua jam.)

Dan mengikut formula, penyelesaian akan mengambil masa kurang dari satu minit. Anda boleh masanya.) Kami membuat keputusan.

Syarat menyediakan semua data untuk menggunakan formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ia masih untuk dilihat apa n. Tiada masalah! Kita perlu mencari a 121. Di sini kami menulis:

Sila ambil perhatian! Daripada indeks n nombor tertentu muncul: 121. Yang agak logik.) Kami berminat dengan ahli janjang aritmetik nombor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi kami n. Ia adalah maksud ini n= 121 kita akan menggantikan lebih jauh ke dalam formula, dalam kurungan. Gantikan semua nombor dalam formula dan hitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu sahaja yang ada. Secepat seseorang dapat mencari ahli lima ratus sepuluh, dan seribu tiga, mana-mana. Kami meletakkan sebaliknya n nombor yang dikehendaki dalam indeks huruf " a" dan dalam kurungan, dan kami pertimbangkan.

Biar saya ingatkan anda intipati: formula ini membolehkan anda mencari mana-mana sebutan janjang aritmetik DENGAN NOMBORNYA" n" .

Jom selesaikan masalah dengan lebih bijak. Katakan kita mempunyai masalah berikut:

Cari sebutan pertama janjang aritmetik (a n) jika a 17 =-2; d=-0.5.

Jika anda mempunyai sebarang kesulitan, saya akan mencadangkan langkah pertama. Tuliskan rumus bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik! Ya Ya. Tulis tangan, betul-betul dalam buku nota anda:

a n = a 1 + (n-1)d

Dan sekarang, melihat huruf formula, kami memahami data apa yang kami ada dan apa yang hilang? Tersedia d=-0.5, ada ahli ketujuh belas ... Semuanya? Jika anda fikir itu sahaja, maka anda tidak boleh menyelesaikan masalah, ya ...

Kami juga mempunyai nombor n! Dalam keadaan a 17 =-2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah kedua-dua nilai ahli ketujuh belas (-2) dan nombornya (17). Itu. n=17."Perkara kecil" ini sering tergelincir melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "perkara kecil", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Walaupun ... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita boleh menggantikan data kita dengan bodoh ke dalam formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Oh ya, a 17 kami tahu ia -2. Baiklah, mari kita masukkan:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Itu, pada dasarnya, adalah semua. Ia kekal untuk menyatakan sebutan pertama janjang aritmetik daripada formula, dan mengira. Anda mendapat jawapannya: a 1 = 6.

Teknik sedemikian - menulis formula dan hanya menggantikan data yang diketahui - banyak membantu dalam tugasan mudah. Nah, anda mesti, sudah tentu, dapat menyatakan pembolehubah daripada formula, tetapi apa yang perlu dilakukan!? Tanpa kemahiran ini, matematik tidak boleh dipelajari sama sekali ...

Satu lagi masalah popular:

Cari beza janjang aritmetik (a n) jika a 1 =2; a 15 =12.

Apa yang kita buat? Anda akan terkejut, kami menulis formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Pertimbangkan apa yang kita tahu: a 1 =2; a 15 =12; dan (sorotan istimewa!) n=15. Jangan ragu untuk menggantikan dalam formula:

12=2 + (15-1)d

Mari kita buat aritmetik.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ini adalah jawapan yang betul.

Jadi, tugasan a n , a 1 dan d memutuskan. Ia kekal untuk belajar bagaimana untuk mencari nombor:

Nombor 99 ialah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 =12; d=3. Cari nombor ahli ini.

Kami menggantikan kuantiti yang diketahui ke dalam formula sebutan ke-n:

a n = 12 + (n-1) 3

Pada pandangan pertama, terdapat dua kuantiti yang tidak diketahui di sini: a n dan n. Tetapi a n ialah beberapa ahli janjang dengan nombor itu n... Dan ahli kemajuan ini kami tahu! Ia 99. Kami tidak tahu nombornya. n, jadi nombor ini juga perlu dicari. Gantikan sebutan janjang 99 ke dalam formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami menyatakan dari formula n, kami fikir. Kami mendapat jawapannya: n=30.

Dan kini masalah mengenai topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan sama ada nombor 117 akan menjadi ahli janjang aritmetik (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita tulis semula formulanya. Apa, tiada pilihan? Hm... Kenapa kita perlukan mata?) Adakah kita nampak ahli pertama perkembangan? Kita lihat. Ini ialah -3.6. Anda boleh menulis dengan selamat: a 1 \u003d -3.6. Beza d boleh ditentukan dari siri? Ia mudah jika anda tahu perbezaan janjang aritmetik:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Ya, kami melakukan perkara yang paling mudah. Ia kekal untuk berurusan dengan nombor yang tidak diketahui n dan nombor yang tidak dapat difahami 117. Dalam masalah sebelum ini, sekurang-kurangnya diketahui bahawa ia adalah istilah janjang yang diberikan. Tetapi di sini kita tidak tahu bahawa ... Bagaimana untuk menjadi!? Nah, bagaimana untuk menjadi, bagaimana untuk menjadi... Hidupkan kebolehan kreatif anda!)

Kami andaikan bahawa 117 adalah, selepas semua, ahli kemajuan kita. Dengan nombor yang tidak dikenali n. Dan, sama seperti dalam masalah sebelum ini, mari kita cuba mencari nombor ini. Itu. kami menulis formula (ya-ya!)) dan menggantikan nombor kami:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Sekali lagi kami nyatakan dari formulan, kita mengira dan mendapat:

Aduh! Nombor itu ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan nombor pecahan dalam janjang tidak boleh. Apakah kesimpulan yang kita buat? Ya! Nombor 117 tidak ahli kemajuan kami. Ia berada di antara ahli ke-101 dan ke-102. Jika nombor itu ternyata semula jadi, i.e. integer positif, maka nombor itu akan menjadi ahli janjang dengan nombor yang ditemui. Dan dalam kes kami, jawapan kepada masalah itu ialah: tidak.

Tugas berdasarkan versi sebenar GIA:

Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan:

a n \u003d -4 + 6.8n

Cari sebutan pertama dan sebutan kesepuluh bagi janjang itu.

Di sini perkembangan ditetapkan dengan cara yang luar biasa. Beberapa jenis formula ... Ia berlaku.) Walau bagaimanapun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik! Dia juga membenarkan cari mana-mana ahli janjang itu mengikut nombornya.

Kami sedang mencari ahli pertama. Orang yang berfikir. bahawa sebutan pertama tolak empat, adalah tersilap maut!) Kerana formula dalam masalah diubah suai. Sebutan pertama janjang aritmetik di dalamnya tersembunyi. Tiada apa-apa, kami akan mencarinya sekarang.)

Sama seperti dalam tugas-tugas sebelumnya, kami menggantikan n=1 ke dalam formula ini:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

Di sini! Penggal pertama ialah 2.8, bukan -4!

Begitu juga, kami sedang mencari penggal kesepuluh:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Itu sahaja yang ada.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca sehingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Katakan, dalam situasi pertempuran sukar GIA atau Peperiksaan Negeri Bersatu, anda terlupa formula berguna ahli ke-n bagi janjang aritmetik. Sesuatu terlintas di fikiran, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Sama ada n di sana, atau n+1, atau n-1... Macam mana nak jadi!?

Tenang! Formula ini mudah diperolehi. Tidak terlalu ketat, tetapi sudah pasti cukup untuk keyakinan dan keputusan yang tepat!) Untuk kesimpulannya, cukup untuk mengingati makna asas janjang aritmetik dan mempunyai beberapa minit masa. Anda hanya perlu melukis gambar. Untuk kejelasan.

Kami melukis paksi berangka dan menandakan yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dsb. ahli. Dan perhatikan perbezaannya d antara ahli. seperti ini:

Kami melihat gambar dan berfikir: apakah istilah kedua bersamaan? Kedua satu d:

a 2 =a 1 + 1 d

Apakah penggal ketiga? Ketiga penggal bersamaan penggal pertama tambah dua d.

a 3 =a 1 + 2 d

Adakah anda faham? Saya tidak meletakkan beberapa perkataan dalam huruf tebal secara percuma. Okay, satu langkah lagi.)

Apakah penggal keempat? Keempat penggal bersamaan penggal pertama tambah tiga d.

a 4 =a 1 + 3 d

Sudah tiba masanya untuk menyedari bahawa bilangan jurang, i.e. d, sentiasa kurang satu daripada bilangan ahli yang anda cari n. Iaitu, sehingga bilangannya n, bilangan jurang akan jadi n-1. Jadi, formulanya ialah (tiada pilihan!):

a n = a 1 + (n-1)d

Secara umumnya, gambar visual sangat membantu dalam menyelesaikan banyak masalah dalam matematik. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sukar untuk melukis gambar, maka ... hanya formula!) Di samping itu, formula istilah ke-n membolehkan anda menyambungkan seluruh senjata matematik yang berkuasa kepada penyelesaian - persamaan, ketidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak boleh meletakkan gambar dalam persamaan...

Tugas untuk keputusan bebas.

Untuk memanaskan badan:

1. Dalam janjang aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Cari 3 .

Petunjuk: mengikut gambar, masalah diselesaikan dalam 20 saat ... Mengikut formula, ternyata lebih sukar. Tetapi untuk menguasai formula, ia lebih berguna.) Dalam Bahagian 555, masalah ini diselesaikan dengan gambar dan formula. Rasai kelainannya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam janjang aritmetik (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Cari sebuah 3 .

Apa, keengganan untuk melukis gambar?) Masih! Ia lebih baik dalam formula, ya ...

3. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari sebutan seratus dua puluh lima janjang ini.

Dalam tugasan ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tetapi mengira sehingga penggal ke seratus dua puluh lima... Tidak semua orang boleh melakukan pencapaian seperti itu.) Tetapi formula penggal ke-n adalah dalam kuasa semua orang!

4. Diberi janjang aritmetik (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Cari nombor sebutan positif terkecil bagi janjang itu.

5. Mengikut keadaan tugasan 4, cari jumlah ahli negatif terkecil dan negatif terbesar bagi janjang itu.

6. Hasil darab sebutan kelima dan kedua belas bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat ialah -2.5, dan hasil tambah sebutan ketiga dan kesebelas ialah sifar. Cari 14 .

Bukan tugas yang paling mudah, ya ...) Di sini kaedah "pada jari" tidak akan berfungsi. Anda perlu menulis formula dan menyelesaikan persamaan.

Jawapan (dalam keadaan kucar-kacir):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Terjadi? Bagus!)

Tidak semuanya berjaya? Ia berlaku. Dengan cara ini, dalam tugas terakhir terdapat satu perkara yang halus. Perhatian semasa membaca masalah akan diperlukan. Dan logik.

Penyelesaian kepada semua masalah ini dibincangkan secara terperinci dalam Bahagian 555. Dan elemen fantasi untuk keempat, dan momen halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk menyelesaikan sebarang masalah untuk formula istilah ke-n - semuanya dicat. saya syorkan.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari peringkat rendah hingga agak kukuh.

Pertama, mari kita berurusan dengan maksud dan formula jumlah. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah adalah semudah merendahkan. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua ahlinya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak ... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula menjimatkan.

Formula jumlahnya mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan menjelaskan banyak perkara.

S n ialah hasil tambah suatu janjang aritmetik. Hasil penambahan semua ahli, dengan pertama pada terakhir. Ia penting. Tambah tepat semua ahli dalam satu baris, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan lima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - yang pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir baris. Bukan nama yang sangat biasa, tetapi, apabila digunakan pada jumlahnya, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n ialah nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan ahli yang ditambah.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Pengisian soalan: jenis ahli yang akan terakhir, jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?

Untuk jawapan yang yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan ... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah tertentu yang terhad cuma tak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira jenis kemajuan yang diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: dengan satu siri nombor, atau dengan formula ahli ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya ... Tetapi tiada apa-apa, dalam contoh di bawah kami akan mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan untuk jumlah janjang aritmetik.

Pertama sekali, maklumat berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan untuk jumlah janjang aritmetik ialah penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Pengarang tugasan menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup hanya untuk menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertama.

Syabas. Mudah.) Untuk menentukan jumlah mengikut formula, apa yang kita perlu tahu? Ahli pertama a 1, terma akhir a n, ya nombor penggal terakhir n.

Mana nak dapat nombor ahli terakhir n? Ya, di tempat yang sama, dalam keadaan! Ia mengatakan cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, berapa nombornya terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n kita akan gantikan ke dalam formula a 10, tetapi sebaliknya n- sepuluh. Sekali lagi, bilangan ahli terakhir adalah sama dengan bilangan ahli.

Ia masih perlu ditentukan a 1 dan a 10. Ini mudah dikira dengan formula sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukannya? Lawati pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tiada apa-apa.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Kami mendapati maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Ia kekal untuk menggantikannya, dan mengira:

Itu sahaja yang ada. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 \u003d 2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertama.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai mana-mana ahli dengan nombornya. Kami sedang mencari penggantian mudah:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ia kekal untuk menggantikan semua unsur dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n cuma gantikan formula sebutan ke-n, kita dapat:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapat formula baharu untuk jumlah ahli janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. a n. Dalam sesetengah tugas, formula ini banyak membantu, ya ... Anda boleh ingat formula ini. Dan anda boleh menarik baliknya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n mesti diingat dalam semua cara.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.

Bagaimana! Tiada ahli pertama, tiada terakhir, tiada kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan menarik keluar dari syarat semua elemen hasil tambah janjang aritmetik. Apakah nombor dua digit - kita tahu. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) perkara terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya ...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi sama rata dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya hanya dengan tiga. Jika 2, atau 4, ditambah pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi akan dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik kepada timbunan: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apa yang akan menjadi nombor n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut ... Nombor - mereka sentiasa berturut-turut, dan ahli kami melompat ke atas tiga teratas. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh melukis janjang, keseluruhan siri nombor dan mengira bilangan sebutan dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang bertimbang rasa. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika formula digunakan untuk masalah kita, kita mendapat bahawa 99 adalah ahli ketiga puluh perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk mengira jumlah dari keadaan masalah:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Apa yang tinggal ialah aritmetik asas. Gantikan nombor dalam formula dan hitung:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Janjang aritmetik diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula jumlah dan ... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlahnya dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, tentu saja, melukis keseluruhan perkembangan berturut-turut, dan meletakkan ahli dari 20 hingga 34. Tetapi ... entah bagaimana ia ternyata bodoh dan untuk masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari pecahkan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya kepada jumlah ahli bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahawa untuk mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Adakah kita bermula?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada keadaan tugas:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengiranya mengikut formula sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Tiada apa yang tinggal. Kurangkan jumlah 19 sebutan daripada jumlah 34 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat ciri yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira apa, nampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" sedemikian sering menyelamatkan teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kita telah mengkaji masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah untuk jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula sebutan ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari, ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah bagi 24 sebutan pertama.

Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, teka-teki seperti itu sering dijumpai di GIA.

7. Vasya menyimpan wang untuk Percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling dikasihi (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Luangkan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih pada setiap hari berikutnya daripada pada hari sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah ia sukar?) Formula tambahan daripada tugasan 2 akan membantu.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.