Mencari selang keyakinan untuk jangkaan matematik. Contoh tugasan untuk mencari selang keyakinan

Dan lain-lain. Kesemuanya adalah anggaran rakan teori mereka, yang boleh diperolehi jika tidak ada sampel, tetapi populasi umum. Tetapi malangnya, populasi umum sangat mahal dan selalunya tidak tersedia.

Konsep anggaran selang

Sebarang anggaran sampel mempunyai beberapa taburan, kerana ialah pembolehubah rawak bergantung kepada nilai dalam sampel tertentu. Oleh itu, untuk kesimpulan statistik yang lebih dipercayai, seseorang harus tahu bukan sahaja anggaran mata, tetapi juga selang, yang dengan kebarangkalian yang tinggi γ (gamma) meliputi penunjuk anggaran θ (theta).

Secara rasmi, ini adalah dua nilai tersebut (statistik) T1(X) dan T2(X), apa T1< T 2 , yang pada tahap kebarangkalian tertentu γ syarat dipenuhi:

Pendek kata, kemungkinan besar γ atau lebih nilai sebenar adalah antara mata T1(X) dan T2(X), yang dipanggil sempadan bawah dan atas selang keyakinan.

Salah satu syarat untuk membina selang keyakinan ialah kesempitan maksimumnya, i.e. ia sepatutnya sesingkat mungkin. Keinginan agak semula jadi, kerana. penyelidik cuba menyetempatkan penemuan parameter yang dikehendaki dengan lebih tepat.

Ia berikutan bahawa selang keyakinan harus meliputi kebarangkalian maksimum taburan. dan markah itu sendiri berada di tengah.

Iaitu, kebarangkalian sisihan (penunjuk sebenar dari anggaran) ke atas adalah sama dengan kebarangkalian sisihan ke bawah. Ia juga harus diperhatikan bahawa untuk taburan condong, selang di sebelah kanan tidak sama dengan selang ditinggalkan.

Angka di atas jelas menunjukkan bahawa lebih tinggi tahap keyakinan, lebih luas selang - hubungan langsung.

Ini adalah pengenalan kecil kepada teori anggaran selang parameter yang tidak diketahui. Mari kita teruskan untuk mencari had keyakinan untuk jangkaan matematik.

Selang keyakinan untuk jangkaan matematik

Jika data asal diedarkan melebihi , maka purata akan menjadi nilai normal. Ini berikutan daripada peraturan bahawa gabungan linear nilai normal juga mempunyai taburan normal. Oleh itu, untuk mengira kebarangkalian, kita boleh gunakan radas matematik undang-undang taburan normal.

Walau bagaimanapun, ini memerlukan pengetahuan tentang dua parameter - nilai yang dijangkakan dan varians, yang biasanya tidak diketahui. Anda boleh, sudah tentu, menggunakan anggaran dan bukannya parameter (min aritmetik dan ), tetapi kemudian taburan min tidak akan menjadi agak normal, ia akan diratakan sedikit. Warganegara William Gosset dari Ireland dengan bijak mencatat fakta ini apabila dia menerbitkan penemuannya dalam edisi Mac 1908 Biometrika. Untuk tujuan kerahsiaan, Gosset menandatangani dengan Pelajar. Ini adalah bagaimana taburan-t Pelajar muncul.

Walau bagaimanapun, taburan normal data yang digunakan oleh K. Gauss dalam analisis ralat pemerhatian astronomi, sangat jarang berlaku dalam kehidupan duniawi dan agak sukar untuk menetapkan ini (untuk ketepatan tinggi kira-kira 2,000 pemerhatian diperlukan). Oleh itu, adalah lebih baik untuk menggugurkan andaian normal dan menggunakan kaedah yang tidak bergantung kepada taburan data asal.

Timbul persoalan: apakah taburan min aritmetik jika ia dikira daripada data taburan yang tidak diketahui? Jawapannya diberikan oleh teori kebarangkalian yang terkenal Pusat teorem had (CPT). Dalam matematik, terdapat beberapa versi (rumusan telah diperhalusi selama bertahun-tahun), tetapi kesemuanya, secara kasarnya, turun kepada pernyataan bahawa jumlah sebilangan besar pembolehubah rawak bebas mematuhi hukum taburan normal.

Apabila mengira min aritmetik, jumlah pembolehubah rawak digunakan. Daripada ini ternyata min aritmetik mempunyai taburan normal, di mana nilai jangkaan adalah nilai jangkaan data awal, dan variansnya ialah .

Orang pintar tahu bagaimana untuk membuktikan CLT, tetapi kami akan mengesahkannya dengan bantuan percubaan yang dijalankan dalam Excel. Mari kita simulasi sampel 50 pembolehubah rawak teragih seragam (menggunakan Fungsi Excel RANDOMANTWEEN). Kemudian kita akan membuat 1000 sampel tersebut dan mengira min aritmetik bagi setiap satu. Mari kita lihat pengedaran mereka.

Dapat dilihat bahawa taburan purata adalah hampir dengan hukum biasa. Jika jumlah sampel dan bilangannya dibuat lebih besar, maka persamaan akan menjadi lebih baik.

Sekarang kita telah melihat sendiri kesahan CLT, kita boleh, menggunakan , mengira selang keyakinan untuk min aritmetik, yang meliputi min sebenar atau jangkaan matematik dengan kebarangkalian yang diberikan.

Untuk menetapkan sempadan atas dan bawah, anda perlu mengetahui parameter taburan normal. Sebagai peraturan, mereka tidak, oleh itu, anggaran digunakan: min aritmetik dan varians sampel . Sekali lagi, kaedah ini memberikan anggaran yang baik hanya untuk sampel yang besar. Apabila sampel kecil, selalunya disyorkan untuk menggunakan pengedaran Pelajar. jangan percaya! Taburan pelajar untuk min hanya berlaku apabila data asal mempunyai taburan normal, iaitu hampir tidak pernah. Oleh itu, adalah lebih baik untuk segera menetapkan bar minimum untuk jumlah data yang diperlukan dan menggunakan kaedah asymptotically betul. Mereka mengatakan 30 pemerhatian sudah memadai. Ambil 50 - anda tidak boleh salah.

T 1.2 ialah sempadan bawah dan atas selang keyakinan

– contoh aritmetik min

s0– sisihan piawai sampel (tidak berat sebelah)

n - saiz sampel

γ – tahap keyakinan (biasanya sama dengan 0.9, 0.95 atau 0.99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – maksud terbalik fungsi taburan normal piawai. Secara ringkas, ini ialah bilangan ralat piawai dari min aritmetik ke sempadan bawah atau atas (tiga kebarangkalian yang ditunjukkan sepadan dengan nilai 1.64, 1.96 dan 2.58).

Intipati formula adalah bahawa min aritmetik diambil dan kemudian jumlah tertentu diketepikan daripadanya ( dengan γ) ralat piawai ( s 0 /√n). Semuanya diketahui, ambil dan hitung.

Sebelum penggunaan besar-besaran PC, untuk mendapatkan nilai-nilai fungsi taburan normal dan songsangnya, mereka menggunakan . Mereka masih digunakan, tetapi lebih cekap untuk beralih kepada siap Formula Excel. Semua elemen daripada formula di atas ( , dan ) boleh dikira dengan mudah dalam Excel. Tetapi terdapat juga formula sedia untuk mengira selang keyakinan - NORMA KEYAKINAN. Sintaksnya adalah seperti berikut.

NORM KEYAKINAN(alfa, standard_dev, saiz)

alfa– aras keertian atau tahap keyakinan, yang dalam tatatanda di atas adalah sama dengan 1- γ, i.e. kebarangkalian bahawa matematikjangkaan akan berada di luar selang keyakinan. Dengan tahap keyakinan 0.95, alfa ialah 0.05, dan seterusnya.

standard_off ialah sisihan piawai bagi data sampel. Anda tidak perlu mengira ralat standard, Excel akan membahagikan dengan punca n.

saiz– saiz sampel (n).

Hasil daripada fungsi CONFIDENCE.NORM ialah sebutan kedua daripada formula untuk mengira selang keyakinan, i.e. separuh selang. Sehubungan itu, titik bawah dan atas adalah purata ± nilai yang diperolehi.

Oleh itu, adalah mungkin untuk membina algoritma sejagat untuk mengira selang keyakinan untuk min aritmetik, yang tidak bergantung pada taburan data awal. Harga untuk kesejagatan adalah sifat asimptotiknya, i.e. keperluan untuk menggunakan sampel yang agak besar. Walau bagaimanapun, dalam abad teknologi moden mengumpul jumlah yang betul data biasanya tidak sukar.

Menguji Hipotesis Statistik Menggunakan Selang Keyakinan

(modul 111)

Salah satu masalah utama yang diselesaikan dalam statistik ialah. Secara ringkasnya, intipatinya adalah ini. Ia adalah hipotesis, sebagai contoh, bahawa jangkaan penduduk adalah sama dengan beberapa nilai. Kemudian taburan cara sampel dibina, yang boleh diperhatikan dengan jangkaan yang diberikan. Seterusnya, kita melihat di mana dalam taburan bersyarat ini terletak purata sebenar. Jika ia melampaui had yang dibenarkan, maka penampilan purata sedemikian adalah sangat tidak mungkin, dan dengan satu pengulangan eksperimen hampir mustahil, yang bercanggah dengan hipotesis yang dikemukakan, yang berjaya ditolak. Jika min tidak melebihi tahap kritikal, maka hipotesis tidak ditolak (tetapi tidak dibuktikan!).

Jadi, dengan bantuan selang keyakinan, dalam kes kami untuk jangkaan, anda juga boleh menguji beberapa hipotesis. Ia sangat mudah untuk dilakukan. Katakan min aritmetik untuk sampel tertentu ialah 100. Hipotesis sedang diuji bahawa jangkaan adalah, katakan, 90. Iaitu, jika kita meletakkan soalan secara primitif, maka ia berbunyi seperti ini: bolehkah apabila maksud sebenar purata sama dengan 90, purata yang diperhatikan adalah sama dengan 100?

Untuk menjawab soalan ini, maklumat tambahan secara purata sisihan piawai dan saiz sampel. Katakan sisihan piawai ialah 30 dan bilangan cerapan ialah 64 (untuk mengekstrak akar dengan mudah). Maka ralat piawai bagi min ialah 30/8 atau 3.75. Untuk mengira selang keyakinan 95%, adalah perlu untuk menangguhkan kedua-dua belah purata sebanyak dua ralat piawai(lebih tepat lagi, sebanyak 1.96). Selang keyakinan ialah kira-kira 100 ± 7.5, atau dari 92.5 hingga 107.5.

Alasan selanjutnya adalah seperti berikut. Jika nilai yang diuji jatuh dalam selang keyakinan, maka ia tidak bercanggah dengan hipotesis, kerana sesuai dalam had turun naik rawak (dengan kebarangkalian 95%). Jika titik yang diuji berada di luar selang keyakinan, maka kebarangkalian kejadian sedemikian adalah sangat kecil, dalam apa jua keadaan di bawah tahap yang boleh diterima. Oleh itu, hipotesis ditolak kerana bercanggah dengan data yang diperhatikan. Dalam kes kami, hipotesis jangkaan berada di luar selang keyakinan (nilai 90 yang diuji tidak termasuk dalam selang 100±7.5), jadi ia harus ditolak. Menjawab soalan primitif di atas, seseorang harus berkata: tidak, ia tidak boleh, dalam apa jua keadaan, ini jarang berlaku. Selalunya, ini menunjukkan kebarangkalian khusus penolakan yang salah terhadap hipotesis (peringkat-p), dan bukan tahap tertentu, mengikut mana selang keyakinan dibina, tetapi lebih banyak lagi pada masa lain.

Seperti yang anda lihat, tidak sukar untuk membina selang keyakinan untuk min (atau jangkaan matematik). Perkara utama adalah untuk menangkap intipati, dan kemudian perkara akan pergi. Dalam amalan, kebanyakan menggunakan selang keyakinan 95%, iaitu kira-kira dua ralat standard lebar pada kedua-dua belah min.

Itu sahaja buat masa ini. Semua yang terbaik!

Selang keyakinan– had nilai statistik, yang dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan γ akan berada dalam selang ini dengan saiz sampel yang lebih besar. Ditandakan sebagai P(θ - ε . Dalam amalan, pilih tahap keyakinanγ daripada nilai γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99 cukup hampir kepada perpaduan.

Tugasan perkhidmatan. Perkhidmatan ini mentakrifkan:

• selang keyakinan untuk min am, selang keyakinan untuk varians;
• selang keyakinan untuk sisihan piawai, selang keyakinan untuk pecahan am;

Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam fail Word (lihat contoh). Di bawah ialah arahan video tentang cara mengisi data awal.

Contoh #1. Di ladang kolektif, daripada sejumlah 1,000 ekor biri-biri, 100 ekor biri-biri telah dikenakan pemotongan kawalan terpilih. Hasilnya, ricih purata bulu sebanyak 4.2 kg setiap ekor biri-biri telah ditubuhkan. Tentukan dengan kebarangkalian 0.99 ralat piawai sampel dalam menentukan purata ricih bulu bagi setiap biri-biri dan had di mana nilai ricih terletak jika varians ialah 2.5. Sampel tidak berulang.
Contoh #2. Dari kumpulan produk yang diimport di pos Kastam Utara Moscow telah diambil secara rawak pensampelan semula 20 sampel produk "A". Hasil daripada semakan, kandungan lembapan purata produk "A" dalam sampel telah ditubuhkan, yang ternyata 6% dengan purata sisihan piawai 1 %.
Tentukan dengan kebarangkalian 0.683 had purata kandungan lembapan produk dalam keseluruhan kumpulan produk import.
Contoh #3. Tinjauan terhadap 36 pelajar menunjukkan bahawa purata bilangan buku teks yang mereka baca tahun akademik, ternyata bersamaan dengan 6. Dengan mengandaikan bahawa bilangan buku teks yang dibaca oleh pelajar setiap semester telah undang-undang biasa taburan dengan sisihan piawai sama dengan 6, cari: A) dengan kebolehpercayaan 0.99 anggaran selang untuk jangkaan matematik ini pembolehubah rawak; B) dengan apakah kebarangkalian boleh dikatakan bahawa purata bilangan buku teks yang dibaca oleh pelajar setiap semester, yang dikira untuk sampel ini, akan menyimpang daripada jangkaan matematik oleh nilai mutlak tidak lebih daripada 2.

Klasifikasi selang keyakinan

Mengikut jenis parameter yang dinilai:

Mengikut jenis sampel:

1. Selang keyakinan untuk persampelan tak terhingga;
2. Selang keyakinan untuk sampel akhir;

Persampelan dipanggil pensampelan semula, jika objek yang dipilih dikembalikan kepada populasi umum sebelum memilih yang seterusnya. Sampel dipanggil tidak berulang. jika objek yang dipilih tidak dikembalikan kepada populasi umum. Dalam amalan, seseorang biasanya berurusan dengan sampel tidak berulang.

Pengiraan ralat pensampelan min untuk pemilihan rawak

Percanggahan antara nilai penunjuk yang diperoleh daripada sampel dan parameter yang sepadan bagi populasi umum dipanggil kesilapan perwakilan.
Penetapan parameter utama populasi umum dan sampel.

Contoh Formula Ralat Min
pemilihan semula		pemilihan tidak berulang
untuk pertengahan	untuk perkongsian	untuk pertengahan	untuk perkongsian

Nisbah antara had ralat pensampelan (Δ) dijamin dengan beberapa kebarangkalian P(t), dan ralat purata sampel mempunyai bentuk: atau Δ = t μ, di mana t– pekali keyakinan, ditentukan bergantung pada tahap kebarangkalian P(t) mengikut jadual fungsi Laplace kamiran.

Formula untuk mengira saiz sampel dengan kaedah pemilihan rawak yang betul

Biarkan sampel dibuat daripada populasi umum yang tertakluk kepada undang-undang biasa pengedaran XN( m;  ). Andaian asas statistik matematik ini adalah berdasarkan teorem had pusat. Biarkan sisihan piawai am diketahui  , tetapi jangkaan matematik taburan teori tidak diketahui m(min).

Dalam kes ini, purata sampel , yang diperoleh semasa eksperimen (bahagian 3.4.2), juga akan menjadi pembolehubah rawak m;
). Kemudian sisihan "dinormalkan".
N(0;1) ialah pembolehubah rawak normal piawai.

Masalahnya ialah untuk mencari anggaran selang untuk m. Mari kita bina selang keyakinan dua belah untuk m supaya jangkaan matematik yang sebenar adalah miliknya dengan kebarangkalian (kebolehpercayaan) yang diberikan  .

Tetapkan selang sedemikian untuk nilai
bermakna untuk mencari nilai maksimum kuantiti ini
dan minimum
, yang merupakan sempadan kawasan kritikal:
.

Kerana kebarangkalian ini adalah
, maka punca persamaan ini
boleh didapati menggunakan jadual fungsi Laplace (Jadual 3, Lampiran 1).

Kemudian dengan kebarangkalian  boleh dikatakan bahawa pembolehubah rawak
, iaitu min am yang dikehendaki tergolong dalam selang
. (3.13)

nilai
(3.14)

dipanggil ketepatan anggaran.

Nombor
– kuantil taburan normal - boleh didapati sebagai hujah bagi fungsi Laplace (Jadual 3, Lampiran 1), memandangkan nisbah 2Ф( u)=, iaitu F( u)=
.

kembali, oleh tetapkan nilai penyelewengan  adalah mungkin untuk mencari dengan kebarangkalian apakah min am yang tidak diketahui tergolong dalam selang itu
. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira

. (3.15)

Biarkan sampel rawak diambil daripada populasi umum dengan kaedah pemilihan semula. Daripada persamaan
boleh ditemui minimum volum pensampelan semula n diperlukan untuk memastikan bahawa selang keyakinan dengan kebolehpercayaan yang diberikan tidak melebihi nilai pratetap  . Saiz sampel yang diperlukan dianggarkan menggunakan formula:

. (3.16)

Meneroka ketepatan anggaran
:

1) Dengan peningkatan saiz sampel n magnitud  berkurangan, dan seterusnya ketepatan anggaran bertambah.

2) C meningkat kebolehpercayaan anggaran nilai hujah ditambah u(kerana F(u) meningkat secara monotoni) dan oleh itu bertambah  . Dalam kes ini, peningkatan kebolehpercayaan mengurangkan ketepatan penilaiannya  .

Anggaran
(3.17)

dipanggil klasik(di mana t adalah parameter yang bergantung pada dan n), kerana ia mencirikan undang-undang pengedaran yang paling kerap ditemui.

3.5.3 Selang keyakinan untuk menganggar jangkaan taburan normal dengan sisihan piawai yang tidak diketahui 

Perlu diketahui bahawa populasi umum tertakluk kepada undang-undang taburan normal XN( m; ), di mana nilai punca purata kuasa dua penyelewengan tidak diketahui.

Untuk membina selang keyakinan untuk menganggar min umum, dalam kes ini, statistik digunakan
, yang mempunyai taburan Pelajar dengan k= n–1 darjah kebebasan. Ini berikutan daripada fakta bahawa N(0;1) (lihat item 3.5.2), dan
(lihat fasal 3.5.3) dan daripada takrifan taburan Pelajar (bahagian 1.fasal 2.11.2).

Mari kita cari ketepatan anggaran klasik taburan Pelajar: i.e. cari t daripada formula (3.17). Biarkan kebarangkalian memenuhi ketidaksamaan
diberikan oleh kebolehpercayaan  :

. (3.18)

Kerana ia TSt( n-1), jelas sekali t bergantung kepada  dan n, jadi kami biasanya menulis
.

(3.19)

di mana
ialah fungsi taburan Pelajar dengan n-1 darjah kebebasan.

Menyelesaikan persamaan ini untuk m, kita mendapat selang
yang dengan kebolehpercayaan  meliputi parameter yang tidak diketahui m.

Nilai t  , n-1 , digunakan untuk menentukan selang keyakinan pembolehubah rawak T(n-1), diedarkan oleh Pelajar dengan n-1 darjah kebebasan dipanggil Pekali pelajar. Ia harus dijumpai dengan nilai yang diberikan n dan  daripada jadual " Mata kritikal Agihan pelajar. (Jadual 6, Lampiran 1), yang merupakan penyelesaian persamaan (3.19).

Akibatnya, kami mendapat ungkapan berikut ketepatan selang keyakinan untuk menganggar jangkaan matematik (min am), jika varians tidak diketahui:

(3.20)

Oleh itu, terdapat formula umum untuk membina selang keyakinan untuk jangkaan matematik populasi umum:

di manakah ketepatan selang keyakinan  bergantung kepada varians yang diketahui atau tidak diketahui didapati mengikut formula masing-masing 3.16. dan 3.20.

Tugasan 10. Beberapa ujian telah dijalankan, keputusannya disenaraikan dalam jadual:

x i

Adalah diketahui bahawa mereka mematuhi undang-undang taburan normal dengan
. Cari anggaran m* untuk jangkaan matematik m, bina selang keyakinan 90% untuknya.

Penyelesaian:

Jadi, m(2.53;5.47).

Tugasan 11. Kedalaman laut diukur dengan alat yang ralat sistematiknya ialah 0, dan ralat rawak diedarkan mengikut hukum biasa, dengan sisihan piawai.  =15m. Berapa banyak ukuran bebas yang perlu dibuat untuk menentukan kedalaman dengan ralat tidak lebih daripada 5 m dengan tahap keyakinan 90%?

Penyelesaian:

Dengan keadaan masalah, kita ada XN( m;  ), di mana  =15m,  =5m,  =0.9. Mari cari volumnya n.

1) Dengan kebolehpercayaan yang diberikan = 0.9, kita dapati daripada jadual 3 (Lampiran 1) hujah fungsi Laplace u  = 1.65.

2) Mengetahui ketepatan anggaran yang diberikan  =u  =5, cari
. Kami ada

. Oleh itu, bilangan percubaan n25.

Tugasan 12. Pensampelan suhu t untuk 6 hari pertama bulan Januari dibentangkan dalam jadual:

Cari Selang Keyakinan untuk Jangkaan m populasi umum dengan kebarangkalian keyakinan
dan menilai umum sisihan piawai s.

Penyelesaian:

dan
.

2) Anggaran yang tidak berat sebelah cari dengan formula
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Oleh kerana varians am tidak diketahui, tetapi anggarannya diketahui, maka untuk menganggarkan jangkaan matematik m kami menggunakan taburan Pelajar (Jadual 6, Lampiran 1) dan formula (3.20).

Kerana n 1 =n 2 =6, maka ,
, s 1 =6.85 kita ada:
, oleh itu -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Oleh itu -33.3<m 1 <-25.1.

Begitu juga, kita ada
, s 2 = 4.8, jadi

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) dan m 2 (-34.9;-29.1).

Dalam sains gunaan, contohnya, dalam disiplin pembinaan, jadual selang keyakinan digunakan untuk menilai ketepatan objek, yang diberikan dalam literatur rujukan yang berkaitan.

Anda boleh menggunakan borang carian ini untuk mencari tugasan yang betul. Masukkan perkataan, frasa daripada tugasan atau nombornya jika anda mengetahuinya.

Cari hanya dalam bahagian ini

Selang Keyakinan: Senarai Penyelesaian Masalah

Selang keyakinan: teori dan masalah

Memahami Selang Keyakinan

Mari kita perkenalkan secara ringkas konsep selang keyakinan, yang
1) menganggar beberapa parameter sampel berangka terus daripada data sampel itu sendiri,
2) meliputi nilai parameter ini dengan kebarangkalian γ.

Selang keyakinan untuk parameter X(dengan kebarangkalian γ) dipanggil selang bentuk , supaya , dan nilai dikira dalam beberapa cara daripada sampel .

Biasanya, dalam masalah yang digunakan, kebarangkalian keyakinan diambil sama dengan γ = 0.9; 0.95; 0.99.

Pertimbangkan beberapa sampel saiz n, dibuat daripada populasi umum, diedarkan mungkin mengikut undang-undang taburan normal. Mari kita tunjukkan dengan formula apa yang ditemui selang keyakinan untuk parameter pengedaran- jangkaan dan serakan matematik (sisihan piawai).

Selang keyakinan untuk jangkaan matematik

Kes 1 Varians taburan diketahui dan sama dengan . Kemudian selang keyakinan untuk parameter a kelihatan seperti:
t ditentukan daripada jadual taburan Laplace dengan nisbah

Kes 2 Varian pengedaran tidak diketahui; anggaran titik varians dikira daripada sampel. Kemudian selang keyakinan untuk parameter a kelihatan seperti:
, di manakah min sampel dikira daripada sampel, parameter t ditentukan daripada jadual agihan Pelajar

Contoh. Berdasarkan data 7 ukuran nilai tertentu, purata keputusan pengukuran didapati sama dengan 30 dan varians sampel sama dengan 36. Cari sempadan di mana nilai sebenar nilai diukur terkandung dengan kebolehpercayaan 0.99 .

Penyelesaian. Jom cari . Kemudian had keyakinan untuk selang yang mengandungi nilai sebenar nilai yang diukur boleh didapati dengan formula:
, di mana min sampel, ialah varians sampel. Memasukkan semua nilai, kami mendapat:

Selang keyakinan untuk varians

Kami percaya bahawa, secara amnya, jangkaan matematik tidak diketahui, dan hanya satu anggaran tidak berat sebelah bagi varians diketahui. Kemudian selang keyakinan kelihatan seperti:
, di mana - kuantiti taburan ditentukan daripada jadual.

Contoh. Berdasarkan data 7 ujian, nilai anggaran bagi sisihan piawai didapati s=12. Cari dengan kebarangkalian 0.9 lebar selang keyakinan yang dibina untuk menganggar varians.

Penyelesaian. Selang keyakinan untuk varians populasi yang tidak diketahui boleh didapati menggunakan formula:

Gantikan dan dapatkan:


Maka lebar selang keyakinan ialah 465.589-71.708=393.881.

Selang keyakinan untuk kebarangkalian (peratusan)

Kes 1 Biarkan saiz sampel dan pecahan sampel (kekerapan relatif) diketahui dalam masalah. Maka selang keyakinan bagi pecahan am (kebarangkalian benar) ialah:
, di mana parameter t ditentukan daripada jadual taburan Laplace dengan nisbah .

Kes 2 Jika masalah juga mengetahui jumlah saiz populasi dari mana sampel diambil, selang keyakinan untuk pecahan am (kebarangkalian benar) boleh didapati menggunakan formula terlaras:
.

Contoh. Adalah diketahui bahawa Cari sempadan di mana bahagian am disimpulkan dengan kebarangkalian.

Penyelesaian. Kami menggunakan formula:

Mari cari parameter dari syarat , kita mendapat Pengganti dalam formula:

Anda boleh mencari contoh masalah lain dalam statistik matematik pada halaman

Biarkan pembolehubah rawak X populasi umum bertaburan normal, memandangkan varians dan sisihan piawai s bagi taburan ini diketahui. Ia diperlukan untuk menganggar jangkaan matematik yang tidak diketahui daripada min sampel. Dalam kes ini, masalah dikurangkan kepada mencari selang keyakinan untuk jangkaan matematik dengan kebolehpercayaan b. Jika kita menetapkan nilai kebarangkalian keyakinan (kebolehpercayaan) b, maka kita boleh mencari kebarangkalian jatuh ke dalam selang untuk jangkaan matematik yang tidak diketahui menggunakan formula (6.9a):

dengan Ф(t) ialah fungsi Laplace (5.17a).

Hasilnya, kita boleh merumuskan algoritma untuk mencari sempadan selang keyakinan bagi jangkaan matematik jika varians D = s 2 diketahui:

1. Tetapkan nilai kebolehpercayaan kepada b .
2. Daripada (6.14) nyatakan Ф(t) = 0.5× b. Pilih nilai t daripada jadual untuk fungsi Laplace dengan nilai Ф(t) (lihat Lampiran 1).
3. Kira sisihan e menggunakan formula (6.10).
4. Tulis selang keyakinan mengikut formula (6.12) supaya dengan kebarangkalian b ketaksamaan berikut adalah benar:

.

Contoh 5.

Pembolehubah rawak X mempunyai taburan normal. Cari selang keyakinan untuk anggaran dengan kebolehpercayaan b = 0.96 daripada min a yang tidak diketahui, jika diberi:

1) sisihan piawai am s = 5;

2) min sampel;

3) saiz sampel n = 49.

Dalam formula (6.15) anggaran selang jangkaan matematik a dengan kebolehpercayaan b, semua kuantiti kecuali t diketahui. Nilai t boleh didapati menggunakan (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

Mengikut jadual Lampiran 1 untuk fungsi Laplace Ф(t) = 0.48, cari nilai yang sepadan t = 2.06. Akibatnya, . Menggantikan nilai terkira e ke dalam formula (6.12), kita boleh mendapatkan selang keyakinan: 30-1.47< a < 30+1,47.

Selang keyakinan yang diingini untuk anggaran dengan kebolehpercayaan b = 0.96 daripada jangkaan matematik yang tidak diketahui ialah: 28.53< a < 31,47.