Mencari luas bagi rajah bersempadan. Bagaimana untuk mengira luas rajah satah menggunakan kamiran berganda? Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini

Angka yang dibatasi oleh graf fungsi bukan negatif selanjar $f(x)$ pada selang $$ dan garisan $y=0, \ x=a$ dan $x=b$ dipanggil trapezoid lengkung.

Kawasan yang sepadan trapezoid melengkung dikira dengan formula:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Masalah mencari luas trapezium melengkung kami akan membahagikan secara bersyarat kepada jenis $4$. Mari kita pertimbangkan setiap jenis dengan lebih terperinci.

Jenis I: trapezium melengkung diberikan secara eksplisit. Kemudian segera gunakan formula (*).

Sebagai contoh, cari luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=4-(x-2)^(2)$ dan garisan $y=0, \ x=1$ dan $x =3$.

Mari kita lukis trapezoid lengkung ini.

Menggunakan formula (*), kita dapati luas trapezoid curvilinear ini.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\kiri(4-(x-2)^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\kanan|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\kiri((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\kanan)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\kiri((1)^(3)-(-1)^(3)\kanan) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

Jenis II: trapezoid lengkung diberikan secara tersirat. Dalam kes ini, garis lurus $x=a, \ x=b$ biasanya tidak dinyatakan atau sebahagiannya ditentukan. Dalam kes ini, anda perlu mencari titik persilangan bagi fungsi $y=f(x)$ dan $y=0$. Mata ini ialah mata $a$ dan $b$.

Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$.

Mari cari titik persimpangan. Untuk melakukan ini, kami menyamakan bahagian fungsi yang betul.

Jadi $a=-1$ dan $b=1$. Mari kita lukis trapezoid lengkung ini.

Cari luas trapezoid lengkung ini.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\kiri(1^(3)-(-1)^(3)\kanan)=2 – \frac(1)(3) \kiri(1+1\kanan) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

Jenis III: luas rajah yang dibatasi oleh persilangan dua fungsi bukan negatif berterusan. Angka ini tidak akan menjadi trapezoid lengkung, yang bermaksud bahawa menggunakan formula (*) anda tidak boleh mengira luasnya. Bagaimana untuk menjadi? Ternyata luas rajah ini boleh didapati sebagai perbezaan antara kawasan trapezium lengkung yang dibatasi oleh fungsi atas dan $y=0$ ($S_(uf)$) dan fungsi bawah dan $y= 0$ ($S_(lf)$), di mana peranan $x=a, \ x=b$ dimainkan oleh $x$ koordinat titik persilangan fungsi ini, i.e.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Perkara yang paling penting apabila mengira kawasan tersebut adalah untuk tidak "terlepas" dengan pilihan fungsi atas dan bawah.

Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh fungsi $y=x^(2)$ dan $y=x+6$.

Mari cari titik persilangan graf ini:

Menurut teorem Vieta,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Iaitu, $a=-2, \ b=3$. Mari kita lukis angka:

Jadi fungsi atas ialah $y=x+6$ dan yang bawah ialah $y=x^(2)$. Seterusnya, cari $S_(uf)$ dan $S_(lf)$ menggunakan formula (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kiri.\frac(x^(2))(2)\kanan|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (unit $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unit$^(2)$).

Gantikan terdapat dalam (**) dan dapatkan:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unit $^(2)$).

Jenis IV: luas angka, fungsi terhad(-s) yang tidak memenuhi syarat bukan negatif. Untuk mencari luas rajah sedemikian, anda perlu simetri tentang paksi $Ox$ ( Dalam kata lain, letakkan "tolak" di hadapan fungsi) paparkan kawasan dan, menggunakan kaedah yang diterangkan dalam jenis I - III, cari kawasan kawasan yang dipaparkan. Kawasan ini akan menjadi kawasan yang diperlukan. Pertama, anda mungkin perlu mencari titik persilangan graf fungsi.

Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=x^(2)-1$ dan $y=0$.

Mari cari titik persilangan graf fungsi:

mereka. $a=-1$ dan $b=1$. Mari kita lukis kawasan itu.

Mari paparkan kawasan secara simetri:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Anda mendapat trapezoid melengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$. Ini adalah masalah mencari trapezoid lengkung jenis kedua. Kami sudah menyelesaikannya. Jawapannya ialah: $S= 1\frac(1)(3)$ (unit $^(2)$). Jadi, luas trapezoid curvilinear yang dikehendaki adalah sama dengan:

$S=1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

Kami mula mempertimbangkan proses sebenar mengira kamiran berganda dan membiasakan diri dengan makna geometrinya.

Kamiran berganda secara berangka sama dengan luas angka rata(domain integrasi). ia bentuk paling ringkas kamiran berganda apabila fungsi dua pembolehubah adalah sama dengan satu: .

Mari kita pertimbangkan dahulu masalah dalam Pandangan umum. Sekarang anda akan terkejut betapa mudahnya ia sebenarnya! Kira luas angka rata, dibatasi oleh garisan. Untuk kepastian, kami menganggap bahawa pada selang . Luas angka ini secara berangka sama dengan:

Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan:

Mari pilih cara pertama untuk memintas kawasan:

Dengan cara ini:

Dan segera helah teknikal yang penting: kamiran lelaran boleh dipertimbangkan secara berasingan. Pertama kamiran dalam, kemudian kamiran luar. Kaedah ini Sangat mengesyorkan untuk pemula dalam topik teko.

1) Kira kamiran dalaman, manakala kamiran dijalankan ke atas pembolehubah "y":

Kamiran tak tentu di sini adalah yang paling mudah, dan kemudian formula Newton-Leibniz yang cetek digunakan, dengan satu-satunya perbezaan yang had penyepaduan bukan nombor, tetapi fungsi. Pertama digantikan dengan "y" ( fungsi antiderivatif) had atas, kemudian had bawah

2) Hasil yang diperoleh dalam perenggan pertama mesti digantikan ke dalam kamiran luar:

Notasi yang lebih padat untuk keseluruhan penyelesaian kelihatan seperti ini:

Formula yang terhasil - ini betul-betul formula kerja untuk mengira luas angka rata menggunakan kamiran pasti "biasa"! Lihat pelajaran Mengira luas menggunakan kamiran pasti, ada dia di setiap masa!

Itu dia, masalah pengiraan luas menggunakan kamiran berganda sedikit berbeza daripada masalah mencari luas menggunakan kamiran pasti! Malah, mereka adalah satu dan sama!

Sehubungan itu, tiada kesulitan harus timbul! Saya tidak akan mempertimbangkan banyak contoh, kerana anda, sebenarnya, telah berulang kali menghadapi masalah ini.

Contoh 9

Penyelesaian: Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan:

Mari kita pilih urutan pelayaran rantau berikut:

Di sini dan di bawah, saya tidak akan membincangkan cara melintasi kawasan kerana perenggan pertama sangat terperinci.

Dengan cara ini:

Seperti yang telah saya nyatakan, adalah lebih baik bagi pemula untuk mengira kamiran berulang secara berasingan, saya akan mematuhi kaedah yang sama:

1) Pertama, menggunakan formula Newton-Leibniz, kita berurusan dengan kamiran dalaman:

2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama digantikan ke dalam kamiran luar:

Titik 2 sebenarnya mencari luas rajah rata menggunakan kamiran pasti.

Jawapan:

Inilah tugas yang bodoh dan naif.

Contoh yang menarik untuk penyelesaian bebas:

Contoh 10

Dengan menggunakan kamiran berganda, hitung luas rajah satah yang dibatasi oleh garis , ,

Contoh penyelesaian akhir pada akhir pelajaran.

Dalam Contoh 9-10, adalah lebih menguntungkan untuk menggunakan cara pertama untuk memintas kawasan, pembaca yang ingin tahu, dengan cara itu, boleh menukar susunan pintasan dan mengira kawasan dengan cara kedua. Jika anda tidak membuat kesilapan, maka, secara semula jadi, nilai kawasan yang sama diperolehi.

Tetapi dalam beberapa kes, cara kedua untuk memintas kawasan adalah lebih berkesan, dan sebagai kesimpulan kursus nerd muda, mari kita lihat beberapa lagi contoh mengenai topik ini:

Contoh 11

Menggunakan kamiran berganda, hitung luas rajah satah yang dibatasi oleh garis.

Penyelesaian: kami menantikan dua parabola dengan angin yang bertiup di sebelahnya. Tidak perlu tersenyum, perkara yang serupa dalam pelbagai kamiran sering ditemui.

Apakah cara paling mudah untuk membuat lukisan?

Mari kita wakili parabola sebagai dua fungsi:
- cawangan atas dan - cawangan bawah.

Begitu juga, bayangkan parabola sebagai bahagian atas dan bawah cawangan.

Seterusnya, pemacu plot demi titik, menghasilkan angka yang begitu pelik:

Luas rajah dikira menggunakan kamiran berganda mengikut formula:

Apa yang berlaku jika kita memilih cara pertama untuk memintas kawasan itu? Pertama, kawasan ini perlu dibahagikan kepada dua bahagian. Dan kedua, kita akan melihat gambar sedih ini: . Kamiran, sudah tentu, bukan tahap super-kompleks, tetapi ... ada pepatah matematik lama: sesiapa yang mesra dengan akar tidak memerlukan set-off.

Oleh itu, daripada salah faham yang diberikan dalam keadaan, kami menyatakan fungsi songsang:

Fungsi songsang dalam contoh ini mempunyai kelebihan bahawa mereka segera menetapkan seluruh parabola tanpa sebarang daun, acorn, dahan dan akar.

Mengikut kaedah kedua, laluan kawasan adalah seperti berikut:

Dengan cara ini:

Seperti yang mereka katakan, rasai perbezaannya.

1) Kami berurusan dengan kamiran dalaman:

Kami menggantikan hasilnya ke dalam kamiran luar:

Penyepaduan ke atas pembolehubah "y" tidak sepatutnya memalukan, jika terdapat huruf "zyu" - adalah bagus untuk disepadukan di atasnya. Walaupun yang membaca perenggan kedua pelajaran Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi, dia tidak lagi mengalami sedikit rasa malu dengan penyepaduan ke atas "y".

Juga perhatikan langkah pertama: integrand adalah genap, dan segmen integrasi adalah simetri kira-kira sifar. Oleh itu, segmen boleh dibelah dua, dan hasilnya boleh digandakan. Teknik ini diulas secara terperinci dalam pelajaran. Kaedah Berkesan pengiraan kamiran pasti.

Apa yang perlu ditambah…. Semuanya!

Jawapan:

Untuk menguji teknik integrasi anda, anda boleh cuba mengira . Jawapannya sepatutnya sama.

Contoh 12

Menggunakan kamiran berganda, hitung luas rajah satah yang dibatasi oleh garis

Ini adalah contoh buat sendiri. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa jika anda cuba menggunakan cara pertama untuk memintas kawasan itu, maka angka itu tidak lagi akan dibahagikan kepada dua, tetapi kepada tiga bahagian! Dan, dengan itu, kita mendapat tiga pasang kamiran berulang. Kadang-kadang ia berlaku.

Kelas induk telah berakhir, dan tiba masanya untuk beralih ke peringkat grandmaster - Bagaimana untuk mengira kamiran berganda? Contoh penyelesaian. Saya akan cuba untuk tidak menjadi gila dalam artikel kedua =)

Semoga berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2:Penyelesaian: Lukiskan satu kawasan pada lukisan:

Mari kita pilih urutan pelayaran rantau berikut:

Dengan cara ini:
Mari kita beralih ke fungsi songsang:


Dengan cara ini:
Jawapan:

Contoh 4:Penyelesaian: Mari kita beralih ke fungsi langsung:


Mari kita laksanakan lukisan:

Mari kita ubah susunan rentas kawasan:

Jawapan:

Sebenarnya, untuk mencari luas angka, anda tidak memerlukan begitu banyak pengetahuan tentang kamiran tak tentu dan pasti. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, jadi pengetahuan dan kemahiran melukis anda akan menjadi isu yang lebih relevan. Dalam hal ini, adalah berguna untuk membetulkan grafik utama fungsi asas, dan, sekurang-kurangnya, dapat membina garis lurus, dan hiperbola.

Trapezoid melengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh paksi, garis lurus, dan graf bagi fungsi selanjar pada segmen yang tidak berubah tanda pada selang ini. Biarkan angka ini terletak tidak kurang absis:

Kemudian luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu. Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik.

Dari segi geometri, kamiran pasti ialah LUAS.

Itu dia, kamiran pasti (jika wujud) sepadan secara geometri dengan luas beberapa rajah. Sebagai contoh, pertimbangkan kamiran pasti . Kamiran dan mentakrifkan lengkung pada satah yang terletak di atas paksi (mereka yang ingin melengkapkan lukisan), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas biasa. Momen pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.

Apabila membina pelan tindakan, saya mengesyorkan susunan berikut: pertama adalah lebih baik untuk membina semua baris (jika ada) dan sahaja selepas- parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Graf fungsi lebih menguntungkan untuk dibina mengikut arah mata.

Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita buat lukisan (perhatikan bahawa persamaan mentakrifkan paksi):

Pada segmen, graf fungsi terletak atas paksi, itulah sebabnya:

Jawapan:

Selepas tugas selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. AT kes ini"Dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, kira-kira 9 akan ditaip, nampaknya benar. Agak jelas bahawa jika kita mempunyai, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Jika jawapannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.

Contoh 3

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Jika trapezoid melengkung terletak bawah gandar(atau sekurang-kurangnya tidak lebih tinggi paksi yang diberikan), maka luasnya boleh didapati dengan formula:

Dalam kes ini:

Perhatian! Jangan mengelirukan kedua-dua jenis tugas:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah, kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis , .

Penyelesaian: Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan garis. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:

Oleh itu, had bawah penyepaduan, had atas penyepaduan.

Sebaiknya jangan gunakan kaedah ini jika boleh..

Ia adalah lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "dengan sendirinya". Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had integrasi (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.

Kami kembali kepada tugas kami: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan kemudian parabola. Mari buat lukisan:

Dan kini formula kerja: Jika terdapat beberapa fungsi berterusan pada selang lebih besar daripada atau sama beberapa fungsi berterusan, maka luas angka yang dibatasi oleh graf fungsi dan garis lurus ini , , boleh didapati dengan formula:

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, dan, secara kasarnya, penting carta mana yang DI ATAS(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada

Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini:

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Contoh 4

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , , , .

Penyelesaian: Mari buat lukisan dahulu:

Rajah yang kawasannya perlu kita cari dilorekkan dengan warna biru.(berhati-hati melihat keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh kurangnya perhatian, "gangguan" sering berlaku, yang anda perlukan untuk mencari kawasan angka yang berlorek dalam warna hijau!

Contoh ini juga berguna kerana di dalamnya kawasan angka dikira menggunakan dua kamiran pasti.

sungguh:

1) Pada segmen di atas paksi terdapat graf garis lurus;

2) Pada segmen di atas paksi ialah graf hiperbola.

Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:

Contoh1 . Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, dan x = 2

Mari bina angka (lihat Rajah.) Kami membina garis lurus x + 2y - 4 \u003d 0 di sepanjang dua titik A (4; 0) dan B (0; 2). Menyatakan y dalam sebutan x, kita mendapat y \u003d -0.5x + 2. Menurut formula (1), di mana f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, kita cari

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 persegi. unit

Contoh 2 Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 dan y \u003d 0.

Penyelesaian. Mari kita bina angka.

Mari bina garis lurus x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Mari bina garis lurus x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Cari titik persilangan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Untuk mengira kawasan yang diperlukan, kami membahagikan segitiga AMC kepada dua segitiga AMN dan NMC, kerana apabila x berubah dari A ke N, kawasan itu dihadkan oleh garis lurus, dan apabila x berubah dari N ke C, ia adalah garis lurus

Untuk segitiga AMN kita ada: ; y \u003d 0.5x + 2, iaitu f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Untuk segi tiga NMC kita ada: y = - x + 5, iaitu f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Mengira luas setiap segi tiga dan menambah hasilnya, kami dapati:

persegi unit

persegi unit

9 + 4, 5 = 13.5 persegi. unit Semak: = 0.5AC = 0.5 persegi. unit

Contoh 3 Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Dalam kes ini, ia diperlukan untuk mengira luas trapezium melengkung yang dibatasi oleh parabola y = x 2 , garis lurus x \u003d 2 dan x \u003d 3 dan paksi Lembu (lihat Rajah.) Menurut formula (1), kita dapati luas trapezoid lengkung

= = 6kv. unit

Contoh 4 Kira luas angka yang dibatasi oleh garis: y \u003d - x 2 + 4 dan y = 0

Mari kita bina angka. Kawasan yang dikehendaki tertutup di antara parabola y \u003d - x 2 + 4 dan paksi Oh.

Cari titik persilangan parabola dengan paksi-x. Dengan mengandaikan y \u003d 0, kami dapati x \u003d Oleh kerana angka ini simetri tentang paksi Oy, kami mengira luas rajah yang terletak di sebelah kanan paksi Oy, dan menggandakan hasilnya: \u003d + 4x] persegi unit 2 = 2 persegi unit

Contoh 5 Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Di sini diperlukan untuk mengira luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh cabang atas parabola y 2 \u003d x, paksi Ox dan garis lurus x \u003d 1x \u003d 4 (lihat Rajah)

Menurut formula (1), di mana f(x) = a = 1 dan b = 4, kita mempunyai = (= unit persegi

Contoh 6 . Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Kawasan yang dikehendaki dihadkan oleh sinusoid separuh gelombang dan paksi Lembu (lihat Rajah).

Kami ada - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 meter persegi. unit

Contoh 7 Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: y \u003d - 6x, y \u003d 0 dan x \u003d 4.

Angka itu terletak di bawah paksi Lembu (lihat Rajah).

Oleh itu, luasnya didapati dengan formula (3)

= =

Contoh 8 Kira luas angka yang dibatasi oleh garis: y \u003d dan x \u003d 2. Kami akan membina lengkung y \u003d dengan titik (lihat rajah). Oleh itu, kawasan angka itu ditemui oleh formula (4)

Contoh 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Di sini anda perlu mengira luas yang dibatasi oleh bulatan x 2 + y 2 = r 2 , iaitu luas bulatan berjejari r berpusat pada asalan. Mari cari bahagian keempat kawasan ini, mengambil had penyepaduan daripada 0

dor; kami ada: 1 = = [

Akibatnya, 1 =

Contoh 10 Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: y \u003d x 2 dan y = 2x

Angka ini dihadkan oleh parabola y \u003d x 2 dan garis lurus y \u003d 2x (lihat Rajah) Untuk menentukan titik persilangan garisan yang diberikan selesaikan sistem persamaan: x 2 – 2x = 0 x = 0 dan x = 2

Menggunakan formula (5) untuk mencari luas, kita perolehi

= graf fungsi y = x 2 + 2 terletak atas paksiOX, itulah sebabnya:

Jawapan: .

Siapa yang mengalami kesukaran mengira kamiran pasti dan menggunakan formula Newton-Leibniz

,

rujuk kuliah Kamiran pasti. Contoh penyelesaian. Selepas tugas selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, kira-kira 9 akan ditaip, nampaknya benar. Agak jelas bahawa jika kita mempunyai, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Jika jawapannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.

Contoh 2

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis xy = 4, x = 2, x= 4 dan paksi OX.

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian Lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid curvilinear terletak bawah gandarOX?

Contoh 3

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y = e-x, x= 1 dan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Jika trapezoid melengkung sepenuhnya di bawah gandar OX , maka luasnya boleh didapati dengan formula:

Dalam kes ini:

.

Perhatian! Kedua-dua jenis tugas tidak boleh dikelirukan:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah, kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y = 2x – x 2 , y = -x.

Penyelesaian: Mula-mula anda perlu membuat lukisan. Apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Cari titik persilangan parabola y = 2x – x 2 dan lurus y = -x. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:

Jadi had bawah integrasi a= 0, had atas penyepaduan b= 3. Selalunya lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "sendiri". Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had integrasi (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Kami kembali kepada tugas kami: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan kemudian parabola. Mari buat lukisan:

Kami mengulangi bahawa dalam pembinaan yang tepat, had penyepaduan paling kerap didapati "secara automatik".

Dan sekarang formula kerja:

Jika pada segmen [ a; b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama beberapa fungsi berterusan g(x), maka kawasan angka yang sepadan boleh didapati dengan formula:

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi penting carta mana yang DI ATAS(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu dari 2 x – x 2 mesti ditolak - x.

Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini:

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola y = 2x – x 2 atas dan lurus y = -x dari bawah.

Pada segmen 2 x – x 2 ≥ -x. Mengikut formula yang sepadan:

Jawapan: .

Malah, formula sekolah untuk luas trapezium melengkung pada separuh satah bawah (lihat contoh No. 3) ialah kes istimewa formula

.

Sejak paksi OX diberikan oleh persamaan y= 0, dan graf fungsi g(x) terletak di bawah paksi OX, kemudian

.

Dan kini beberapa contoh untuk penyelesaian bebas

Contoh 5

Contoh 6

Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis

Semasa menyelesaikan masalah untuk mengira kawasan menggunakan kamiran tertentu, insiden lucu kadang-kadang berlaku. Lukisan itu dibuat dengan betul, pengiraan adalah betul, tetapi, kerana tidak berhati-hati, ... mendapati luas angka yang salah.

Contoh 7

Mari kita melukis dahulu:

Rajah yang kawasannya perlu kita cari dilorekkan dengan warna biru.(berhati-hati melihat keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh ketidakpedulian, mereka sering memutuskan bahawa mereka perlu mencari kawasan angka yang berlorek dengan warna hijau!

Contoh ini juga berguna kerana di dalamnya kawasan angka dikira menggunakan dua kamiran pasti. sungguh:

1) Pada segmen [-1; 1] di atas gandar OX graf adalah lurus y = x+1;

2) Pada segmen di atas paksi OX graf hiperbola terletak y = (2/x).

Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:

Jawapan:

Contoh 8

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Mari kita membentangkan persamaan dalam bentuk "sekolah".

dan lakukan lukisan garisan:

Ia boleh dilihat dari lukisan bahawa had atas kami adalah "baik": b = 1.

Tetapi apakah had yang lebih rendah? Sudah jelas bahawa ini bukan integer, tetapi apa?

Mungkin, a=(-1/3)? Tetapi di manakah jaminan bahawa lukisan itu dibuat dengan ketepatan yang sempurna, ia mungkin ternyata begitu a=(-1/4). Bagaimana jika kita tidak mendapat graf dengan betul?

Dalam kes sedemikian, seseorang itu perlu menghabiskan masa tambahan dan memperhalusi had penyepaduan secara analitik.

Cari titik persilangan graf

Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan:

.

Akibatnya, a=(-1/3).

Penyelesaian selanjutnya adalah remeh. Perkara utama ialah jangan keliru dalam penggantian dan tanda. Pengiraan di sini bukanlah yang paling mudah. Pada segmen

, ,

mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Sebagai kesimpulan pelajaran, kami akan mempertimbangkan dua tugas yang lebih sukar.

Contoh 9

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Penyelesaian: Lukiskan rajah ini dalam lukisan.

Untuk lukisan titik demi titik, anda perlu tahu penampilan sinusoid. Secara umum, adalah berguna untuk mengetahui graf semua fungsi asas, serta beberapa nilai sinus. Mereka boleh didapati dalam jadual nilai fungsi trigonometri . Dalam sesetengah kes (contohnya, dalam kes ini), ia dibenarkan untuk membina lukisan skematik, di mana graf dan had penyepaduan mesti dipaparkan secara prinsip dengan betul.

Tiada masalah dengan had penyepaduan di sini, mereka mengikut terus dari syarat:

- "x" berubah dari sifar kepada "pi". Kami membuat keputusan selanjutnya:

Pada segmen, graf fungsi y= dosa 3 x terletak di atas paksi OX, itulah sebabnya:

(1) Anda boleh melihat bagaimana sinus dan kosinus disepadukan dalam kuasa ganjil dalam pelajaran Kamiran bagi fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.

(2) Kami menggunakan identiti trigonometri asas dalam bentuk

(3) Mari kita ubah pembolehubah t= cos x, kemudian: terletak di atas paksi , jadi:

.

.

Catatan: perhatikan bagaimana kamiran tangen dalam kubus diambil, di sini akibat daripada yang utama identiti trigonometri

.