Mencari dosa cos. Formula asas trigonometri

Salah satu cabang matematik yang mana pelajar sekolah menghadapi kesukaran terbesar ialah trigonometri. Tidak hairanlah: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada ingatan matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk menyimpulkan rantai logik yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Berkenalan dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memikirkan apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.

Dari segi sejarah, objek utama kajian bahagian ini sains matematik ialah segi tiga tepat. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang sedang dipertimbangkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi, dan juga seni.

Peringkat pertama

Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam Kehidupan seharian cabang matematik ini.

Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh pelajar dalam fizik dan menyelesaikan masalah abstrak. persamaan trigonometri, kerja yang bermula di sekolah menengah.

Trigonometri sfera

Kemudian, apabila sains datang ke peringkat seterusnya pembangunan, formula dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan lain digunakan, dan jumlah sudut dalam segi tiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui tentang kewujudannya, sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan berada di dalamnya ruang tiga dimensi"melengkung".

Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Beri perhatian - ia telah memperoleh bentuk arka. Dengan bentuk sedemikian, geometri sfera, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teori dan gunaan lain, berurusan.

Segitiga kanan

Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.

Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Dia paling lama. Kami ingat bahawa, mengikut teorem Pythagoras, nilai berangkanya adalah sama dengan punca jumlah kuasa dua dua sisi yang lain.

Contohnya, jika dua sisi masing-masing adalah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi yang tinggal membentuk sudut tegak dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem segi empat tepat koordinat ialah 180 darjah.

Definisi

Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, kita boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.

Sinus sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih besar daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang. Tidak kira berapa panjang kaki, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar daripada 1 dalam jawapan kepada masalah, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas salah.

Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Keputusan yang sama akan memberikan pembahagian sinus dengan kosinus. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, selepas itu kita bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat nisbah yang sama seperti dalam definisi tangen.

Kotangen, masing-masing, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan unit dengan tangen.

Jadi, kita telah mempertimbangkan takrifan sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh berurusan dengan formula.

Formula paling mudah

Dalam trigonometri, seseorang tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa mereka? Dan inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.

Formula pertama yang perlu anda ketahui apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi menjimatkan masa jika anda ingin mengetahui nilai sudut, bukan sisi.

Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan masalah sekolah: jumlah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut. Lihatlah dengan lebih dekat: lagipun, ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah menjadikan formula trigonometri tidak dapat dikenali sepenuhnya. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan penukaran dan beberapa formula asas pada bila-bila masa anda boleh mengeluarkan lebih banyak yang diperlukan formula kompleks pada sehelai kertas.

Rumus sudut berganda dan penambahan hujah

Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka ditunjukkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.

Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan hujah dalam bentuk sudut berganda. Ia sepenuhnya berasal dari yang sebelumnya - sebagai amalan, cuba dapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut berganda boleh ditukar untuk menurunkan darjah sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorem

Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.

Teorem sinus menyatakan bahawa hasil daripada membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan nilai sudut bertentangan, kita dapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan sama dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.

Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada hasil tambah kuasa dua dua sisi, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut bersebelahan dengannya - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.

Kesilapan kerana kurang perhatian

Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk melakukan kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita berkenalan dengan yang paling popular.

Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan biasa kepada perpuluhan sebelum mendapatkannya keputusan akhir- anda boleh tinggalkan jawapan dalam borang pecahan sepunya melainkan syarat menyatakan sebaliknya. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat masalah akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa yang tidak perlu operasi matematik. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti akar tiga atau dua, kerana ia berlaku dalam tugasan pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".

Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Kalau tersilap lupa tolak produk berganda sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi juga menunjukkan salah faham sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.

Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus 30 darjah adalah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Ia mudah untuk mencampurkannya, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.

Permohonan

Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri, kerana mereka tidak memahami maksud yang digunakan. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep terima kasih yang anda boleh mengira jarak ke bintang yang jauh, meramalkan kejatuhan meteorit, menghantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban di permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.

Akhirnya

Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.

Keseluruhan intipati trigonometri bermuara kepada fakta bahawa parameter yang tidak diketahui mesti dikira daripada parameter segitiga yang diketahui. Terdapat enam pilihan secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan saiz tiga penjuru. Keseluruhan perbezaan dalam tugasan terletak pada fakta bahawa data input yang berbeza diberikan.

Bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang yang diketahui kaki atau hipotenus, anda kini tahu. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama masalah trigonometri ia menjadi mencari punca-punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini anda akan dibantu oleh matematik sekolah biasa.

Identiti trigonometri ialah kesamaan yang mewujudkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut, yang membolehkan anda mencari mana-mana fungsi ini, dengan syarat mana-mana yang lain diketahui.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Identiti ini mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus satu sudut dan kuasa dua kosinus satu sudut adalah sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk mengira sinus satu sudut apabila kosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Apabila menukar ungkapan trigonometri selalunya identiti ini digunakan, yang membolehkan seseorang menggantikan jumlah kuasa dua kosinus dan sinus satu sudut dengan kesatuan dan juga untuk melaksanakan operasi gantian dalam susunan terbalik.

Mencari tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Identiti ini terbentuk daripada definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Lagipun, jika anda melihat, maka mengikut definisi, ordinat bagi y ialah sinus, dan absis bagi x ialah kosinus. Kemudian tangen akan sama dengan nisbah \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), dan nisbah \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- akan menjadi kotangen.

Kami menambah bahawa hanya untuk sudut \alfa sedemikian yang mana fungsi trigonometri dimasukkan ke dalamnya masuk akal, identiti akan berlaku, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Sebagai contoh: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) adalah sah untuk \alpha sudut yang berbeza daripada \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- untuk sudut \alfa selain daripada \pi z , z ialah integer.

Hubungan antara tangen dan kotangen

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Identiti ini hanya sah untuk sudut \alfa yang berbeza daripada \frac(\pi)(2) z. Jika tidak, sama ada kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan perkara di atas, kita dapati itu tg \alfa = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Oleh itu ia mengikutinya tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Oleh itu, tangen dan kotangen bagi satu sudut di mana ia masuk akal adalah nombor timbal balik.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- hasil tambah kuasa dua tangen sudut \alfa dan 1 adalah sama dengan kuasa dua songsang bagi kosinus sudut ini. Identiti ini sah untuk semua \alpha selain \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- hasil tambah 1 dan kuasa dua kotangen sudut \alpha , sama dengan kuasa dua songsang sinus bagi sudut yang diberi. Identiti ini sah untuk mana-mana \alpha selain \pi z .

Contoh penyelesaian kepada masalah menggunakan identiti trigonometri

Contoh 1

Cari \sin \alpha dan tg \alpha jika \cos \alpha=-\frac12 dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Fungsi \sin \alpha dan \cos \alpha dikaitkan dengan formula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Menggantikan ke dalam formula ini \cos \alpha = -\frac12, kita mendapatkan:

\sin^(2)\alfa + \kiri (-\frac12 \kanan)^2 = 1

Persamaan ini mempunyai 2 penyelesaian:

\sin \alfa = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Dengan syarat \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada suku kedua, sinus adalah positif, jadi \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2).

Untuk mencari tg \alpha , kami menggunakan formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Contoh 2

Cari \cos \alpha dan ctg \alpha jika dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Menggantikan ke dalam formula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 nombor bersyarat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kita mendapatkan \kiri (\frac(\sqrt3)(2)\kanan)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Persamaan ini mempunyai dua penyelesaian \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Dengan syarat \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada suku kedua, kosinus adalah negatif, jadi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Untuk mencari ctg \alpha , kami menggunakan formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Kami tahu nilai yang sepadan.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Berurusan dengan konsep mudah: sinus dan kosinus dan pengiraan kosinus kuasa dua dan sinus kuasa dua.

Sinus dan kosinus dipelajari dalam trigonometri (ilmu segi tiga dengan sudut tepat).

Jadi mari kita mulakan dengan konsep asas. segi tiga tepat:

Hipotenus- sisi yang sentiasa terletak bertentangan dengan sudut tepat (sudut 90 darjah). Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi tiga bersudut tegak.

Baki dua sisi dalam segi tiga tepat dipanggil kaki.

Juga ingat bahawa tiga sudut dalam segi tiga sentiasa menambah sehingga 180°.

Sekarang mari kita beralih kepada kosinus dan sinus sudut alfa (∠α)(jadi anda boleh memanggil mana-mana sudut bukan tepat dalam segi tiga atau gunakan sebagai simbol x - "x", yang tidak mengubah intipati).

Sinus sudut alfa (sin ∠α)- ia adalah sikap bertentangan kaki (sisi bertentangan dengan sudut yang sepadan) dengan hipotenus. Jika anda melihat rajah, maka dosa ∠ABC = AC / BC

Kosinus sudut alfa (cos ∠α)- sikap bersebelahan ke sudut kaki ke hipotenus. Melihat semula rajah di atas, maka cos ∠ABC = AB / BC

Dan hanya untuk mengingatkan anda: kosinus dan sinus tidak akan lebih besar daripada satu, kerana mana-mana gulungan lebih pendek daripada hipotenus (dan hipotenus ialah sisi terpanjang bagi mana-mana segi tiga, kerana sisi terpanjang terletak bertentangan dengan hipotenus sudut tinggi dalam segi tiga).

Kosinus kuasa dua, sinus kuasa dua

Sekarang mari kita beralih ke yang utama rumus trigonometri: kira kosinus kuasa dua dan sinus kuasa dua.

Untuk mengiranya, anda harus ingat identiti trigonometri asas:

sin 2 α + cos 2 α = 1(persegi sinus ditambah kuasa dua kosinus satu sudut sentiasa sama dengan satu).

Daripada identiti trigonometri kita membuat kesimpulan tentang sinus:

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α

sinus segi empat sama alfa sama dengan satu tolak kosinus alfa sudut berganda dan bahagikan semuanya dengan dua.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Daripada identiti trigonometri kita membuat kesimpulan tentang kosinus:

cos 2 α \u003d 1 - sin 2 α

atau lebih pilihan yang sukar formula: kosinus segi empat sama alfa adalah sama dengan satu ditambah kosinus alfa sudut berganda dan juga membahagikan semuanya dengan dua.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Dua formula yang lebih kompleks bagi kuasa dua sinus dan kuasa dua kosinus ini juga dipanggil "pengurangan kuasa untuk kuasa dua fungsi trigonometri." Itu. adalah darjah kedua, diturunkan kepada yang pertama dan pengiraan menjadi lebih mudah.

Konsep sinus (), kosinus (), tangen (), kotangen () berkait rapat dengan konsep sudut. Untuk mendapatkan pemahaman yang baik tentang ini, pada pandangan pertama, konsep yang kompleks (yang menyebabkan keadaan seram pada ramai pelajar sekolah), dan untuk memastikan bahawa "syaitan tidak menakutkan seperti yang dilukis", mari kita mulakan dari awal lagi. dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, darjah

Jom tengok gambar. Vektor "berpusing" relatif kepada titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran putaran ini berbanding dengan kedudukan awal adalah sudut.

Apa lagi yang anda perlu tahu tentang konsep sudut? Sudah tentu, unit sudut!

Sudut, baik dalam geometri dan trigonometri, boleh diukur dalam darjah dan radian.

Sudut (satu darjah) dipanggil sudut tengah dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat yang sama dengan bahagian bulatan. Oleh itu, keseluruhan bulatan terdiri daripada "kepingan" lengkok bulat, atau sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama.

Iaitu, rajah di atas menunjukkan sudut yang sama, iaitu sudut ini berdasarkan lengkok bulat sebesar lilitan.

Sudut dalam radian dipanggil sudut pusat dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan. Nah, adakah anda faham? Kalau belum, jom tengok gambar.

Jadi, angka itu menunjukkan sudut yang sama dengan radian, iaitu, sudut ini berdasarkan lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan (panjangnya sama dengan panjang atau jejari sama panjang arka). Oleh itu, panjang lengkok dikira dengan formula:

Di manakah sudut pusat dalam radian.

Nah, mengetahui perkara ini, bolehkah anda menjawab berapa banyak radian yang mengandungi sudut yang diterangkan oleh bulatan? Ya, untuk ini anda perlu mengingati formula untuk lilitan bulatan. Di sana dia:

Nah, sekarang mari kita kaitkan kedua-dua formula ini dan dapatkan bahawa sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama. Iaitu, mengaitkan nilai dalam darjah dan radian, kita dapati itu. Masing-masing, . Seperti yang anda lihat, tidak seperti "darjah", perkataan "radian" ditinggalkan, kerana unit ukuran biasanya jelas daripada konteks.

Berapakah jumlah radian? betul!

faham? Kemudian kencangkan ke hadapan:

Sebarang kesukaran? lepas tu tengok jawapan:

Segitiga kanan: sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut

Jadi, dengan konsep sudut yang difikirkan. Tetapi apakah sinus, kosinus, tangen, kotangen bagi sudut? Mari kita fikirkan. Untuk ini, segi tiga tepat akan membantu kita.

Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan dengan sudut kanan (dalam contoh kita, ini adalah sisi); kaki adalah dua sisi yang tinggal dan (yang bersebelahan dengan sudut tepat), lebih-lebih lagi, jika kita menganggap kaki relatif kepada sudut, maka kaki adalah kaki bersebelahan, dan kaki adalah bertentangan. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?

Sinus sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

dalam segitiga kami.

Kosinus sudut- ini ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.

dalam segitiga kami.

Sudut tangen- ini adalah nisbah kaki yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).

dalam segitiga kami.

Kotangen sudut- ini adalah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

dalam segitiga kami.

Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagi dengan apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:

kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;

Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.

Pertama sekali, perlu diingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen sebagai nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada satu sudut). Jangan percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut. Mengikut definisi, dari segi tiga: , tetapi kita boleh mengira kosinus sudut daripada segi tiga: . Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.

Jika anda memahami definisinya, teruskan dan perbaikinya!

Untuk segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, kita dapati.

Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung perkara yang sama untuk sudut.

Bulatan unit (trigonometri).

Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan. Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia amat berguna dalam kajian trigonometri. Oleh itu, kami membincangkannya dengan lebih terperinci.

Seperti yang anda lihat, bulatan ini terbina dalam Sistem kartesian koordinat. Jejari bulatan adalah sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asal, kedudukan awal vektor jejari ditetapkan di sepanjang arah positif paksi (dalam contoh kita, ini adalah jejari).

Setiap titik bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat sepanjang paksi dan koordinat sepanjang paksi. Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang sedang dibincangkan? Untuk melakukan ini, ingat tentang segi tiga bersudut tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segitiga. Ia adalah segi empat tepat kerana ia berserenjang dengan paksi.

Apakah yang sama dengan dari segi tiga? betul tu. Di samping itu, kita tahu bahawa jejari bulatan unit, dan oleh itu, . Gantikan nilai ini ke dalam formula kosinus kami. Inilah yang berlaku:

Dan apa yang sama dengan dari segi tiga? Sudah tentu, ! Gantikan nilai jejari ke dalam formula ini dan dapatkan:

Jadi, bolehkah anda beritahu saya apakah koordinat titik yang dimiliki oleh bulatan? Nah, tidak mungkin? Dan jika anda sedar itu dan hanya nombor? Apakah koordinat yang sepadan dengannya? Sudah tentu, koordinat! Apakah koordinat yang sepadan dengannya? Betul, selaraskan! Justeru, intinya.

Dan apakah yang sama dan? Betul, mari kita gunakan takrifan tangen dan kotangen yang sesuai dan dapatkannya, a.

Bagaimana jika sudut lebih besar? Di sini, sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:

Apa yang telah berubah dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, kita sekali lagi beralih ke segi tiga bersudut tegak. Pertimbangkan segi tiga tepat: sudut (bersebelahan dengan sudut). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut? Betul, kami mematuhi takrifan fungsi trigonometri yang sepadan:

Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini boleh digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.

Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah di sepanjang arah positif paksi. Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut arah jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut saiz tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif , dan apabila berputar mengikut arah jam - negatif.

Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari di sekeliling bulatan ialah atau. Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari dengan atau mengikut? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, oleh itu, vektor jejari akan membuat satu giliran penuh dan berhenti di atau.

Dalam kes kedua, iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan lengkap dan berhenti pada kedudukan atau.

Oleh itu, daripada contoh di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan atau (di mana terdapat sebarang integer) sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.

Rajah di bawah menunjukkan satu sudut. Imej yang sama sepadan dengan sudut, dan seterusnya. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am atau (di mana terdapat sebarang integer)

Sekarang, mengetahui definisi fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab nilai yang sama dengan:

Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:

Sebarang kesukaran? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:

Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut pada sepadan dengan titik dengan koordinat, oleh itu:

Tidak wujud;

Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut dalam sepadan dengan titik dengan koordinat, masing-masing. Mengetahui ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, kemudian semak jawapan.

Jawapan:

Tidak wujud

Tidak wujud

Tidak wujud

Tidak wujud

Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:

Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:

Tetapi nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan dalam jadual di bawah, mesti diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan salah satu contoh cukup hafalan nilai yang sepadan:

Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut dalam. Mengetahui nilai-nilai ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:

Mengetahui ini, anda boleh memulihkan nilai untuk. Pengangka " " akan sepadan dan penyebut " " akan sepadan. Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami ini dan mengingati rajah dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati keseluruhan nilai dari jadual.

Koordinat titik pada bulatan

Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya?

Sudah tentu anda boleh! Jom bawa keluar formula am untuk mencari koordinat sesuatu titik.

Di sini, sebagai contoh, kita mempunyai bulatan sedemikian:

Kami diberi bahawa titik adalah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan titik mengikut darjah.

Seperti yang dapat dilihat dari rajah, koordinat titik sepadan dengan panjang segmen. Panjang segmen sepadan dengan koordinat pusat bulatan, iaitu, ia sama dengan. Panjang segmen boleh dinyatakan menggunakan takrifan kosinus:

Kemudian kita mempunyai bahawa untuk titik koordinat.

Dengan logik yang sama, kita dapati nilai koordinat y untuk titik itu. Dengan cara ini,

Jadi dalam Pandangan umum koordinat titik ditentukan oleh formula:

Koordinat pusat bulatan,

jejari bulatan,

Sudut putaran vektor jejari.

Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sifar, dan jejari adalah sama dengan satu:

Baiklah, mari cuba formula ini untuk rasa, berlatih mencari mata pada bulatan?

1. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan menghidupkan satu titik.

2. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.

3. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan menghidupkan satu titik.

4. Titik - pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

5. Titik - pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

Menghadapi masalah mencari koordinat titik pada bulatan?

Selesaikan lima contoh ini (atau fahami penyelesaiannya dengan baik) dan anda akan belajar cara mencarinya!

1.

Ia boleh dilihat bahawa. Dan kita tahu apa yang sepadan dengan pusingan penuh titik permulaan. Dengan cara ini, titik yang dikehendaki akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa menghidupkan. Mengetahui ini, kami mencari koordinat titik yang dikehendaki:

2. Bulatan adalah unit dengan pusat pada satu titik, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Ia boleh dilihat bahawa. Kita tahu apa yang sepadan dengan dua putaran lengkap titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa beralih ke. Mengetahui ini, kami mencari koordinat titik yang dikehendaki:

Sinus dan kosinus ialah nilai jadual. Kami mengingati nilai mereka dan mendapat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

3. Bulatan adalah unit dengan pusat pada satu titik, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Ia boleh dilihat bahawa. Mari kita gambarkan contoh yang dipertimbangkan dalam rajah:

Jejari membuat sudut dengan paksi sama dengan dan. Mengetahui bahawa nilai jadual kosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahawa kosinus di sini mengambil makna negatif, dan sinus adalah positif, kita mempunyai:

Lagi contoh yang serupa faham semasa mempelajari formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri dalam topik.

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

4.

Sudut putaran vektor jejari (mengikut keadaan)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang sepadan, kami membina bulatan unit dan sudut:

Seperti yang anda lihat, nilai, iaitu, adalah positif, dan nilai, iaitu, adalah negatif. Mengetahui nilai jadual bagi fungsi trigonometri yang sepadan, kami memperoleh bahawa:

Mari gantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula kami dan cari koordinat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula dalam bentuk umum, di mana

Koordinat pusat bulatan (dalam contoh kami,

Jejari bulatan (mengikut keadaan)

Sudut putaran vektor jejari (mengikut keadaan).

Gantikan semua nilai ke dalam formula dan dapatkan:

dan - nilai jadual. Kami mengingati dan menggantikannya ke dalam formula:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

RUMUSAN DAN FORMULA ASAS

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

Kosinus sudut ialah nisbah kaki (dekat) bersebelahan dengan hipotenus.

Tangen bagi suatu sudut ialah nisbah kaki yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).

Kotangen bagi sudut ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

Contoh:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

Hujah dan nilai

Kosinus sudut akut

Kosinus sudut akut boleh ditentukan menggunakan segi tiga tepat - ia sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Contoh :

1) Biarkan sudut diberikan dan anda perlu menentukan kosinus sudut ini.

2) Mari lengkapkan sebarang segi tiga bersudut tegak di sudut ini.

3) Setelah mengukur sisi yang diperlukan, kita boleh mengira kosinus.

Kosinus bagi suatu nombor

Bulatan nombor membolehkan anda menentukan kosinus sebarang nombor, tetapi biasanya mencari kosinus nombor entah bagaimana berkaitan dengan : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Sebagai contoh, untuk nombor \(\frac(π)(6)\) - kosinus akan sama dengan \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Dan untuk nombor \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ia akan sama dengan \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (kira-kira \ (-0 ,71\)).

Kosinus untuk nombor lain yang sering ditemui dalam amalan, lihat.

Nilai kosinus sentiasa terletak di antara \(-1\) dan \(1\). Dalam kes ini, kosinus boleh dikira untuk sebarang sudut dan nombor.

Kosinus mana-mana sudut

Terima kasih kepada bulatan nombor kosinus boleh ditentukan bukan sahaja sudut akut, tetapi juga bodoh, negatif dan lebih besar daripada \(360°\) (pusingan penuh). Bagaimana untuk melakukannya - lebih mudah untuk melihat sekali daripada mendengar \(100\) kali, jadi lihat gambar.

Sekarang penjelasan: biarlah perlu untuk menentukan kosinus sudut KOA Dengan ukuran darjah dalam \(150°\). Kami menggabungkan titik O dengan pusat bulatan, dan sisi okey- dengan paksi \(x\). Selepas itu, ketepikan \ (150 ° \) lawan jam. Kemudian ordinat titik TAPI akan menunjukkan kepada kita kosinus sudut ini.

Jika kita berminat dengan sudut dengan ukuran darjah, contohnya, dalam \ (-60 ° \) (sudut KOV), kami melakukan perkara yang sama, tetapi \(60°\) ketepikan mengikut arah jam.

Dan akhirnya, sudut lebih besar daripada \(360°\) (sudut KOS) - semuanya serupa dengan tumpul, hanya selepas melepasi pusingan penuh mengikut arah jam, kami pergi ke pusingan kedua dan "mendapat kekurangan darjah". Khususnya, dalam kes kami, sudut \(405°\) diplotkan sebagai \(360° + 45°\).

Adalah mudah untuk meneka bahawa untuk mengetepikan sudut, sebagai contoh, dalam \ (960 ° \), anda perlu membuat dua pusingan (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), dan untuk sudut dalam \ (2640 ° \) - keseluruhan tujuh.

Seperti yang anda boleh gantikan, kedua-dua kosinus nombor dan kosinus sudut arbitrari ditakrifkan dengan cara yang hampir sama. Hanya kaedah mencari titik pada bulatan sahaja yang berubah.

Tanda kosinus di kuarters

Menggunakan paksi kosinus (iaitu, paksi absis, diserlahkan dengan warna merah dalam rajah), mudah untuk menentukan tanda kosinus sepanjang bulatan berangka (trigonometri):

Di mana nilai pada paksi adalah dari \(0\) hingga \(1\), kosinus akan mempunyai tanda tambah (suku I dan IV ialah kawasan hijau),
- di mana nilai pada paksi adalah dari \(0\) hingga \(-1\), kosinus akan mempunyai tanda tolak (kawasan II dan III - kawasan ungu).

Kaitan dengan fungsi trigonometri lain:

- sudut yang sama (atau nombor): asas identiti trigonometri\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- sudut yang sama (atau nombor): dengan formula \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- dan sinus sudut (atau nombor yang sama): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Lihat formula lain yang paling biasa digunakan.

Penyelesaian persamaan \(\cos⁡x=a\)

Penyelesaian persamaan \(\cos⁡x=a\), dengan \(a\) ialah nombor yang tidak lebih besar daripada \(1\) dan tidak kurang daripada \(-1\) i.e. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Jika \(a>1\) atau \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Contoh . Selesaikan persamaan trigonometri \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Penyelesaian:

Selesaikan persamaan menggunakan bulatan nombor. Untuk ini:
1) Mari kita bina paksi.
2) Mari bina bulatan.
3) Pada paksi kosinus (paksi \(y\)) tandakan titik \(\frac(1)(2)\) .
4) Lukiskan serenjang dengan paksi kosinus melalui titik ini.
5) Tandakan titik persilangan serenjang dan bulatan.
6)Mari kita tandatangani nilai mata ini: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Tulis semua nilai yang sepadan dengan titik ini menggunakan formula \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Jawapan: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Fungsi \(y=\cos(x)\)

Jika kita memplot sudut dalam radian di sepanjang paksi \(x\), dan nilai kosinus yang sepadan dengan sudut ini di sepanjang paksi \(y\), kita mendapat graf berikut:

Graf ini dipanggil dan mempunyai sifat berikut:

Domain definisi ialah sebarang nilai x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- julat nilai - daripada \(-1\) hingga \(1\) termasuk: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- genap: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- berkala dengan kala \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- titik persilangan dengan paksi koordinat:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), di mana \(n ϵ Z\)
paksi-y: \((0;1)\)
- selang aksara:
fungsi adalah positif pada selang: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi adalah negatif pada selang: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), di mana \(n ϵ Z\)
- selang peningkatan dan penurunan:
fungsi bertambah pada selang: \((π+2πn;2π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi berkurangan pada selang: \((2πn;π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
- maksima dan minima fungsi:
fungsi mempunyai nilai maksimum \(y=1\) pada titik \(x=2πn\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi mempunyai nilai minimum \(y=-1\) pada titik \(x=π+2πn\), di mana \(n ϵ Z\).