Biarlah perlu untuk mencari persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus. Dengan menandakan vektor jejari mereka dengan dan vektor jejari semasa dengan , kita boleh mendapatkan persamaan yang dikehendaki dalam bentuk vektor dengan mudah. Sesungguhnya, vektor , mestilah coplanar (semuanya terletak pada satah yang dikehendaki). Oleh itu, hasil darab skalar vektor bagi vektor ini mestilah sama dengan sifar:

Ini ialah persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu, dalam bentuk vektor.

Beralih kepada koordinat, kita mendapat persamaan dalam koordinat:

Jika tiga titik yang diberikan terletak pada garis lurus yang sama, maka vektor-vektor itu akan menjadi kolinear. Oleh itu, unsur-unsur sepadan dua baris terakhir penentu dalam persamaan (18) akan berkadar dan penentu akan sama sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan (18) akan menjadi identiti bagi mana-mana nilai x, y, dan z. Secara geometri, ini bermakna bahawa satah melalui setiap titik ruang, di mana tiga titik yang diberikan juga terletak.

Catatan 1. Masalah yang sama boleh diselesaikan tanpa menggunakan vektor.

Menandakan koordinat bagi tiga titik yang diberikan, masing-masing, melalui kita menulis persamaan mana-mana satah yang melalui titik pertama:

Untuk mendapatkan persamaan satah yang dikehendaki, seseorang mesti memerlukan persamaan (17) dipenuhi dengan koordinat dua titik yang lain:

Daripada persamaan (19), adalah perlu untuk menentukan nisbah dua pekali kepada yang ketiga dan memasukkan nilai yang ditemui ke dalam persamaan (17).

Contoh 1. Tulis persamaan untuk satah yang melalui titik.

Persamaan bagi satah yang melalui titik pertama ini ialah:

Syarat untuk satah (17) melalui dua titik lain dan titik pertama ialah:

Menambah persamaan kedua kepada yang pertama, kita dapat:

Menggantikan persamaan kedua, kita dapat:

Menggantikan ke dalam persamaan (17) dan bukannya A, B, C, masing-masing, 1, 5, -4 (nombor yang berkadar dengannya), kita dapat:

Contoh 2. Tulis satu persamaan untuk satah yang melalui titik (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Persamaan mana-mana satah yang melalui titik (0, 0, 0) akan menjadi]

Syarat untuk melepasi satah ini melalui titik (1, 1, 1) dan (2, 2, 2) ialah:

Mengurangkan persamaan kedua dengan 2, kita melihat bahawa untuk menentukan dua yang tidak diketahui, hubungan itu mempunyai satu persamaan dengan

Dari sini kita dapat . Menggantikan sekarang ke dalam persamaan satah dan bukannya nilainya, kita dapati:

Ini adalah persamaan satah yang dikehendaki; ia bergantung kepada sewenang-wenangnya

kuantiti B, C (iaitu, daripada nisbah, iaitu, terdapat bilangan satah tak terhingga yang melalui tiga titik tertentu (tiga titik tertentu terletak pada satu garis lurus).

Catatan 2. Masalah melukis satah melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama mudah diselesaikan dalam bentuk umum jika kita menggunakan penentu. Sesungguhnya, oleh kerana dalam persamaan (17) dan (19) pekali A, B, C tidak boleh serentak sama dengan sifar, maka, dengan mempertimbangkan persamaan ini sebagai sistem homogen dengan tiga A, B, C yang tidak diketahui, kita menulis perlu dan mencukupi. syarat untuk kewujudan penyelesaian sistem ini, selain sifar (bahagian 1, ch. VI, § 6):

Memperluaskan penentu ini dengan unsur-unsur baris pertama, kami memperoleh persamaan darjah pertama berkenaan dengan koordinat semasa , yang akan dipenuhi, khususnya, dengan koordinat tiga titik yang diberikan.

Yang terakhir ini juga boleh disahkan secara langsung jika kita menggantikan koordinat mana-mana titik ini dan bukannya ke dalam persamaan yang ditulis menggunakan penentu. Di sebelah kiri, penentu diperoleh, di mana sama ada unsur-unsur baris pertama adalah sifar, atau terdapat dua baris yang sama. Oleh itu, persamaan yang dirumus mewakili satah yang melalui tiga titik tertentu.

Persamaan satah. Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah?
Susunan kapal terbang bersama. Tugasan

Geometri ruang tidak jauh lebih rumit daripada geometri "rata", dan penerbangan kami ke angkasa lepas bermula dengan artikel ini. Untuk memahami topik, seseorang mesti mempunyai pemahaman yang baik vektor, di samping itu, adalah wajar untuk membiasakan diri dengan geometri pesawat - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, jadi maklumat akan dicerna dengan lebih baik. Dalam satu siri pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan artikel Persamaan garis lurus pada satah. Tetapi kini Batman telah meninggalkan TV skrin rata dan dilancarkan dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulakan dengan lukisan dan simbol. Secara skematik, satah boleh dilukis sebagai segi empat selari, yang memberikan kesan ruang:

Pesawat itu tidak terhingga, tetapi kita mempunyai peluang untuk menggambarkan hanya sekepingnya. Dalam amalan, sebagai tambahan kepada segi empat selari, bujur atau awan juga dilukis. Atas sebab teknikal, adalah lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara ini dan dalam kedudukan ini. Pesawat sebenar, yang akan kami pertimbangkan dalam contoh praktikal, boleh disusun mengikut keinginan anda - ambil lukisan secara mental di tangan anda dan putarkannya di angkasa, memberikan satah apa-apa cerun, mana-mana sudut.

Notasi: adalah kebiasaan untuk menetapkan pesawat dalam huruf Yunani kecil, nampaknya supaya tidak mengelirukan mereka terus di atas kapal terbang atau dengan lurus di angkasa. Saya sudah biasa menggunakan surat itu. Dalam lukisan, ia adalah huruf "sigma", dan bukan lubang sama sekali. Walaupun, pesawat berlubang, ia pastinya sangat lucu.

Dalam sesetengah kes, adalah mudah untuk menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip untuk menetapkan pesawat, contohnya, .

Jelas sekali bahawa pesawat itu ditentukan secara unik oleh tiga titik berbeza yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Oleh itu, sebutan tiga huruf pesawat agak popular - mengikut mata milik mereka, sebagai contoh, dll. Selalunya surat disertakan dalam kurungan: , supaya tidak mengelirukan satah dengan angka geometri yang lain.

Untuk pembaca yang berpengalaman, saya akan berikan menu pintasan:

• Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan dua vektor?
• Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan am satah

Persamaan am satah mempunyai bentuk , di mana pekalinya serentak bukan sifar.

Beberapa pengiraan teori dan masalah praktikal adalah sah untuk asas ortonormal biasa dan untuk asas affine ruang (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor). Untuk kesederhanaan, kita akan menganggap bahawa semua peristiwa berlaku dalam asas ortonormal dan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan.

Dan sekarang mari kita latih sedikit imaginasi spatial. Tidak mengapa jika anda mengalaminya buruk, sekarang kami akan mengembangkannya sedikit. Malah bermain saraf memerlukan latihan.

Dalam kes yang paling umum, apabila nombor tidak sama dengan sifar, satah memotong ketiga-tiga paksi koordinat. Sebagai contoh, seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahawa pesawat itu terus bergerak tanpa had ke semua arah, dan kami mempunyai peluang untuk menggambarkan hanya sebahagian daripadanya.

Pertimbangkan persamaan termudah bagi satah:

Bagaimana untuk memahami persamaan ini? Fikirkanlah: "Z" SELALU, untuk sebarang nilai "X" dan "Y" adalah sama dengan sifar. Ini ialah persamaan satah koordinat "asli". Sesungguhnya, secara rasmi persamaan itu boleh ditulis semula seperti berikut: , dari mana ia jelas kelihatan bahawa kita tidak peduli, apa nilai "x" dan "y", adalah penting bahawa "z" adalah sama dengan sifar.

Begitu juga:
ialah persamaan satah koordinat ;
ialah persamaan satah koordinat.

Mari kita rumitkan masalah sedikit, pertimbangkan satah (di sini dan seterusnya dalam perenggan kita menganggap bahawa pekali berangka tidak sama dengan sifar). Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk: . Bagaimana untuk memahaminya? "X" adalah SENTIASA, untuk sebarang nilai "y" dan "z" adalah sama dengan nombor tertentu. Satah ini selari dengan satah koordinat. Contohnya, satah selari dengan satah dan melalui satu titik.

Begitu juga:
- persamaan satah, yang selari dengan satah koordinat;
- persamaan satah yang selari dengan satah koordinat.

Tambah ahli: . Persamaan boleh ditulis semula seperti ini: , iaitu, "Z" boleh menjadi apa sahaja. Apakah maksudnya? "X" dan "Y" disambungkan dengan nisbah yang melukis garis lurus tertentu dalam satah (anda akan mengenali persamaan garis lurus dalam satah?). Memandangkan Z boleh menjadi apa-apa, baris ini "direplikasi" pada sebarang ketinggian. Oleh itu, persamaan mentakrifkan satah selari dengan paksi koordinat

Begitu juga:
- persamaan satah, yang selari dengan paksi koordinat;
- persamaan satah, yang selari dengan paksi koordinat.

Jika sebutan bebas adalah sifar, maka pesawat akan terus melalui paksi yang sepadan. Contohnya, "perkadaran langsung" klasik:. Lukis garis lurus dalam satah dan darab secara mental ke atas dan ke bawah (kerana “z” ialah sebarang). Kesimpulan: satah yang diberikan oleh persamaan melalui paksi koordinat.

Kami membuat kesimpulan kajian: persamaan satah melalui asal. Nah, di sini agak jelas bahawa titik itu memenuhi persamaan yang diberikan.

Dan, akhirnya, kes yang ditunjukkan dalam lukisan: - pesawat berkawan dengan semua paksi koordinat, sementara ia sentiasa "memotong" segitiga yang boleh terletak di mana-mana lapan oktan.

Ketaksamaan linear dalam ruang

Untuk memahami maklumat, perlu belajar dengan baik ketaksamaan linear dalam satah kerana banyak perkara akan serupa. Perenggan itu akan menjadi gambaran keseluruhan ringkas dengan beberapa contoh, kerana bahan itu agak jarang dalam amalan.

Jika persamaan mentakrifkan satah, maka ketaksamaan
bertanya separuh ruang. Jika ketidaksamaan tidak ketat (dua yang terakhir dalam senarai), maka penyelesaian ketidaksamaan, sebagai tambahan kepada separuh ruang, termasuk satah itu sendiri.

Contoh 5

Cari vektor normal unit bagi satah itu .

Penyelesaian: Vektor unit ialah vektor yang panjangnya ialah satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Agak jelas bahawa vektor adalah kolinear:

Mula-mula, kita keluarkan vektor normal daripada persamaan satah: .

Bagaimana untuk mencari vektor unit? Untuk mencari vektor unit, anda perlukan setiap koordinat vektor dibahagikan dengan panjang vektor.

Mari kita tulis semula vektor biasa dalam bentuk dan cari panjangnya:

Mengikut perkara di atas:

Jawab:

Semak: , yang diperlukan untuk menyemak.

Pembaca yang telah mengkaji dengan teliti perenggan terakhir pelajaran, mungkin menyedarinya koordinat vektor unit adalah betul-betul kosinus arah vektor:

Mari kita menyimpang dari masalah yang dibongkar: apabila anda diberi vektor bukan sifar sewenang-wenangnya, dan mengikut syarat ia diperlukan untuk mencari kosinus arahnya (lihat tugasan terakhir pelajaran Hasil darab titik bagi vektor), maka anda, sebenarnya, juga mencari kolinear vektor unit kepada yang diberikan. Malah, dua tugasan dalam satu botol.

Keperluan untuk mencari vektor normal unit timbul dalam beberapa masalah analisis matematik.

Kami memikirkan memancing vektor biasa, sekarang kami akan menjawab soalan yang bertentangan:

Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan vektor normal?

Pembinaan tegar vektor biasa dan titik ini terkenal dengan sasaran dart. Sila hulurkan tangan anda ke hadapan dan pilih titik sewenang-wenangnya dalam ruang, contohnya, kucing kecil di papan sisi. Jelas sekali, melalui titik ini, anda boleh melukis satu satah berserenjang dengan tangan anda.

Persamaan satah yang melalui titik berserenjang dengan vektor dinyatakan dengan formula:

Dalam rangka bahan ini, kita akan menganalisis cara mencari persamaan satah jika kita mengetahui koordinat tiga titik berbeza yang tidak terletak pada satu garis lurus. Untuk melakukan ini, kita perlu ingat apakah sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang tiga dimensi. Pertama, kami memperkenalkan prinsip asas persamaan ini dan menunjukkan cara menggunakannya dalam menyelesaikan masalah tertentu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sebagai permulaan, kita perlu mengingati satu aksiom, yang berbunyi seperti ini:

Definisi 1

Jika tiga titik tidak bertepatan antara satu sama lain dan tidak terletak pada satu garis lurus, maka dalam ruang tiga dimensi hanya satu satah melaluinya.

Dengan kata lain, jika kita mempunyai tiga titik berbeza yang koordinatnya tidak bertepatan dan yang tidak boleh disambungkan dengan garis lurus, maka kita boleh menentukan satah yang melaluinya.

Katakan kita mempunyai sistem koordinat segi empat tepat. Mari kita nyatakan ia O x y z . Ia mengandungi tiga titik M dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) yang tidak boleh disambung secara lurus barisan. Berdasarkan syarat ini, kita boleh menulis persamaan satah yang kita perlukan. Terdapat dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

1. Pendekatan pertama menggunakan persamaan am satah. Dalam bentuk literal, ia ditulis sebagai A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Dengan itu, anda boleh menetapkan dalam sistem koordinat segi empat tepat alfa satah tertentu, yang melalui titik pertama yang diberikan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Ternyata vektor satah biasa α akan mempunyai koordinat A , B , C .

Definisi N

Mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat titik yang dilalui satah, kita boleh menulis persamaan am satah ini.

Daripada ini kita akan meneruskan lebih jauh.

Oleh itu, mengikut keadaan masalah, kami mempunyai koordinat titik yang diingini (walaupun tiga), di mana pesawat itu melepasi. Untuk mencari persamaan, anda perlu mengira koordinat vektor normalnya. Nyatakan ia n → .

Ingat peraturan: mana-mana vektor bukan sifar bagi satah tertentu adalah berserenjang dengan vektor normal satah yang sama. Maka kita mempunyai bahawa n → akan berserenjang dengan vektor yang terdiri daripada titik awal M 1 M 2 → dan M 1 M 3 → . Kemudian kita boleh menandakan n → sebagai hasil vektor dalam bentuk M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Oleh kerana M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dan M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (bukti kesamaan ini diberikan dalam artikel yang dikhaskan untuk mengira koordinat vektor dari koordinat titik), maka ternyata:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z satu

Jika kita mengira penentu, kita akan mendapat koordinat bagi vektor normal n → yang kita perlukan. Sekarang kita boleh menulis persamaan yang kita perlukan untuk satah yang melalui tiga titik tertentu.

2. Pendekatan kedua untuk mencari persamaan yang melalui M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) ialah berdasarkan konsep seperti persamaan vektor.

Jika kita mempunyai satu set titik M (x, y, z) , maka dalam sistem koordinat segi empat tepat mereka mentakrifkan satah untuk titik yang diberikan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2, y). 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) hanya jika vektor M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) dan M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) akan menjadi koplanar.

Pada rajah ia akan kelihatan seperti ini:

Ini bermakna hasil campuran vektor M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → akan sama dengan sifar: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , kerana ini ialah syarat utama untuk persamaan: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) dan M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Kami menulis persamaan yang terhasil dalam bentuk koordinat:

Selepas kita mengira penentu, kita boleh mendapatkan persamaan satah yang kita perlukan untuk tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Daripada persamaan yang terhasil, anda boleh pergi ke persamaan satah dalam segmen atau kepada persamaan normal satah, jika diperlukan oleh keadaan masalah.

Dalam perenggan seterusnya, kami akan memberikan contoh bagaimana pendekatan yang kami nyatakan dilaksanakan dalam amalan.

Contoh tugas untuk menyusun persamaan satah yang melalui 3 mata

Sebelum ini, kami mengenal pasti dua pendekatan yang boleh digunakan untuk mencari persamaan yang dikehendaki. Mari lihat bagaimana ia digunakan dalam penyelesaian masalah dan bila untuk memilih setiap satu.

Contoh 1

Terdapat tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, dengan koordinat M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Tulis persamaan untuk satah yang melaluinya.

Penyelesaian

Kami menggunakan kedua-dua kaedah secara bergilir-gilir.

1. Cari koordinat bagi dua vektor yang kita perlukan M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Sekarang kita mengira produk vektor mereka. Dalam kes ini, kami tidak akan menerangkan pengiraan penentu:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Kami mempunyai vektor normal satah yang melalui tiga titik yang diperlukan: n → = (- 5 , 30 , 2) . Seterusnya, kita perlu mengambil salah satu titik, sebagai contoh, M 1 (- 3 , 2 , - 1) , dan tulis persamaan untuk satah dengan vektor n → = (- 5 , 30 , 2) . Kami mendapat bahawa: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ini adalah persamaan satah yang kita perlukan, yang melalui tiga titik.

2. Kami menggunakan pendekatan yang berbeza. Kami menulis persamaan untuk satah dengan tiga titik M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) dalam borang berikut:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Di sini anda boleh menggantikan data daripada keadaan masalah. Oleh kerana x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, hasilnya kita akan dapat:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Kami mendapat persamaan yang kami perlukan.

Jawapan:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Tetapi bagaimana jika mata yang diberikan masih terletak pada garis lurus yang sama dan kita perlu menyusun persamaan satah untuk mereka? Di sini mesti dikatakan dengan segera bahawa keadaan ini tidak akan betul sepenuhnya. Tidak terhingga banyak pesawat boleh melalui titik sedemikian, jadi mustahil untuk mengira satu jawapan. Mari kita pertimbangkan masalah sedemikian untuk membuktikan ketidaktepatan rumusan soalan tersebut.

Contoh 2

Kami mempunyai sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang 3D yang mengandungi tiga titik dengan koordinat M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Ia adalah perlu untuk menulis persamaan untuk satah yang melaluinya.

Penyelesaian

Kami menggunakan kaedah pertama dan mulakan dengan mengira koordinat dua vektor M 1 M 2 → dan M 1 M 3 → . Mari kita hitung koordinatnya: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Produk vektor akan sama dengan:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Oleh kerana M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , maka vektor kami akan menjadi kolinear (baca semula artikel tentang mereka jika anda terlupa definisi konsep ini). Oleh itu, titik awal M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2, 0) , M 3 (- 1 , 1, 1) berada pada garis lurus yang sama, dan masalah kita mempunyai tak terhingga banyak pilihan respons.

Jika kita menggunakan kaedah kedua, kita dapat:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Daripada kesamaan yang terhasil ia juga mengikuti bahawa mata yang diberikan M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2, 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) berada pada garis yang sama.

Jika anda ingin mencari sekurang-kurangnya satu jawapan kepada masalah ini daripada bilangan pilihannya yang tidak terhingga, maka anda perlu mengikuti langkah berikut:

1. Tulis persamaan garis lurus M 1 M 2, M 1 M 3 atau M 2 M 3 (jika perlu, lihat bahan tentang tindakan ini).

2. Ambil satu titik M 4 (x 4 , y 4 , z 4) yang tidak terletak pada garis M 1 M 2 .

3. Tuliskan persamaan satah yang melalui tiga titik berbeza M 1 , M 2 dan M 4 yang tidak terletak pada satu garis lurus.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Ia boleh ditentukan dengan cara yang berbeza (satu titik dan vektor, dua titik dan vektor, tiga titik, dll.). Dengan ini, persamaan satah boleh mempunyai bentuk yang berbeza. Juga, dalam keadaan tertentu, satah boleh selari, berserenjang, bersilang, dsb. Kami akan membincangkan perkara ini dalam artikel ini. Kita akan belajar cara menulis persamaan am satah dan bukan sahaja.

Bentuk normal persamaan

Katakan terdapat ruang R 3 yang mempunyai sistem koordinat segi empat tepat XYZ. Kami menetapkan vektor α, yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui penghujung vektor α kami melukis satah P, yang akan berserenjang dengannya.

Nyatakan dengan P titik arbitrari Q=(x, y, z). Kami akan menandatangani vektor jejari titik Q dengan huruf p. Panjang vektor α ialah p=IαI dan Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ini ialah vektor unit yang menghala ke sisi, sama seperti vektor α. α, β dan γ ialah sudut yang terbentuk di antara vektor Ʋ dan arah positif paksi ruang x, y, z, masing-masing. Unjuran beberapa titik QϵП pada vektor Ʋ ialah nilai malar bersamaan dengan р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Persamaan ini masuk akal apabila p=0. Satu-satunya perkara ialah satah P dalam kes ini akan bersilang dengan titik O (α=0), yang merupakan asalan, dan vektor unit Ʋ yang dilepaskan dari titik O akan berserenjang dengan P, tanpa mengira arahnya, yang bermaksud bahawa vektor Ʋ ditentukan daripada tanda-tepat. Persamaan sebelumnya ialah persamaan satah P kami, dinyatakan dalam bentuk vektor. Tetapi dalam koordinat ia akan kelihatan seperti ini:

P di sini lebih besar daripada atau sama dengan 0. Kami telah menemui persamaan satah di angkasa dalam bentuk normalnya.

Persamaan Am

Jika kita mendarabkan persamaan dalam koordinat dengan sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar, kita mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan, yang menentukan satah yang sama. Ia akan kelihatan seperti ini:

Di sini A, B, C ialah nombor yang berbeza secara serentak daripada sifar. Persamaan ini dirujuk sebagai persamaan satah am.

Persamaan satah. Kes khas

Persamaan dalam bentuk umum boleh diubah suai dengan adanya syarat tambahan. Mari kita pertimbangkan sebahagian daripada mereka.

Andaikan pekali A ialah 0. Ini bermakna satah yang diberi adalah selari dengan paksi Ox yang diberi. Dalam kes ini, bentuk persamaan akan berubah: Ву+Cz+D=0.

Begitu juga, bentuk persamaan akan berubah di bawah keadaan berikut:

• Pertama, jika B = 0, maka persamaan akan berubah kepada Ax + Cz + D = 0, yang akan menunjukkan keselarian dengan paksi Oy.
• Kedua, jika С=0, maka persamaan diubah menjadi Ах+Ву+D=0, yang akan menunjukkan selari dengan paksi yang diberikan Oz.
• Ketiga, jika D=0, persamaan akan kelihatan seperti Ax+By+Cz=0, yang bermaksud bahawa satah bersilang O (asalan).
• Keempat, jika A=B=0, maka persamaan akan berubah kepada Cz+D=0, yang akan membuktikan selari dengan Oksi.
• Kelima, jika B=C=0, maka persamaan menjadi Ax+D=0, yang bermaksud bahawa satah ke Oyz adalah selari.
• Keenam, jika A=C=0, maka persamaan akan mengambil bentuk Ву+D=0, iaitu, ia akan melaporkan keselarian kepada Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Dalam kes apabila nombor A, B, C, D bukan sifar, bentuk persamaan (0) boleh seperti berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

di mana a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Kami mendapat hasilnya Perlu diingat bahawa satah ini akan bersilang dengan paksi Ox pada satu titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c) .

Dengan mengambil kira persamaan x/a + y/b + z/c = 1, adalah mudah untuk mewakili secara visual penempatan satah berbanding sistem koordinat yang diberikan.

Koordinat vektor biasa

Vektor normal n kepada satah P mempunyai koordinat yang merupakan pekali bagi persamaan am bagi satah yang diberi, iaitu, n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat bagi n normal, adalah memadai untuk mengetahui persamaan am bagi satah tertentu.

Apabila menggunakan persamaan dalam segmen, yang mempunyai bentuk x/a + y/b + z/c = 1, serta apabila menggunakan persamaan am, seseorang boleh menulis koordinat mana-mana vektor normal bagi satah tertentu: (1 /a + 1/b + 1/ Dengan).

Perlu diingatkan bahawa vektor biasa membantu menyelesaikan pelbagai masalah. Yang paling biasa adalah tugas yang terdiri dalam membuktikan keserenjangan atau keselarian satah, masalah dalam mencari sudut antara satah atau sudut antara satah dan garis.

Pandangan persamaan satah mengikut koordinat titik dan vektor normal

Vektor bukan sifar n berserenjang dengan satah tertentu dipanggil normal (normal) untuk satah tertentu.

Katakan bahawa dalam ruang koordinat (sistem koordinat segi empat tepat) Oxyz diberikan:

• titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektor sifar n=A*i+B*j+C*k.

Ia adalah perlu untuk mengarang persamaan untuk satah yang akan melalui titik Mₒ berserenjang dengan n normal.

Dalam ruang, kita memilih mana-mana titik sewenang-wenangnya dan menandakannya dengan M (x y, z). Biarkan vektor jejari mana-mana titik M (x, y, z) ialah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jejari bagi titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan tergolong dalam satah yang diberi jika vektor MₒM berserenjang dengan vektor n. Kami menulis keadaan ortogonal menggunakan hasil skalar:

[MₒM, n] = 0.

Oleh kerana MₒM \u003d r-rₒ, persamaan vektor satah akan kelihatan seperti ini:

Persamaan ini boleh mengambil bentuk lain. Untuk melakukan ini, sifat produk skalar digunakan, dan bahagian kiri persamaan diubah. = - . Jika dilambangkan sebagai c, maka persamaan berikut akan diperolehi: - c \u003d 0 atau \u003d c, yang menyatakan ketekalan unjuran ke vektor normal vektor jejari bagi titik-titik tertentu yang dimiliki oleh satah.

Kini anda boleh mendapatkan bentuk koordinat untuk menulis persamaan vektor bagi satah kami = 0. Oleh kerana r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B *j+C*k, kita ada:

Ternyata kita mempunyai persamaan untuk satah yang melalui titik berserenjang dengan n normal:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pandangan persamaan satah mengikut koordinat dua titik dan kolinear vektor kepada satah

Kami mentakrifkan dua titik arbitrari M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita boleh menyusun persamaan untuk satah tertentu, yang akan melalui titik M′ dan M″ yang tersedia, serta mana-mana titik M dengan koordinat (x, y, z) selari dengan vektor a.

Dalam kes ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) mestilah sejajar dengan vektor a=(a′,a″,a‴), yang bermaksud bahawa (M′M, M″M, a)=0.

Jadi, persamaan satah kita di angkasa akan kelihatan seperti ini:

Jenis persamaan satah yang bersilang tiga titik

Katakan kita mempunyai tiga titik: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak tergolong dalam garis lurus yang sama. Ia adalah perlu untuk menulis persamaan satah yang melalui tiga titik yang diberikan. Teori geometri mendakwa bahawa satah jenis ini benar-benar wujud, hanya ia satu-satunya dan tidak dapat ditiru. Oleh kerana satah ini bersilang dengan titik (x′, y′, z′), bentuk persamaannya adalah seperti berikut:

Di sini A, B, C berbeza daripada sifar pada masa yang sama. Juga, satah yang diberikan bersilang dua lagi titik: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, syarat-syarat berikut mesti dipenuhi:

Sekarang kita boleh menyusun sistem homogen dengan u, v, w yang tidak diketahui:

Dalam kes kami, x, y atau z ialah titik arbitrari yang memenuhi persamaan (1). Dengan mengambil kira persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan yang ditunjukkan dalam rajah di atas memenuhi vektor N (A, B, C), yang bukan remeh. Itulah sebabnya penentu sistem ini sama dengan sifar.

Persamaan (1), yang telah kita perolehi, ialah persamaan satah. Ia melepasi tepat melalui 3 mata, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu mengembangkan penentu kita ke atas elemen dalam baris pertama. Ia berikutan daripada sifat sedia ada penentu bahawa satah kita secara serentak bersilang tiga titik yang diberi pada mulanya (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Iaitu, kami telah menyelesaikan tugas yang ditetapkan sebelum kami.

Sudut dihedral antara satah

Sudut dihedral ialah rajah geometri spatial yang dibentuk oleh dua satah separuh yang terpancar dari satu garis lurus. Dalam erti kata lain, ini adalah bahagian ruang yang dihadkan oleh separuh pesawat ini.

Katakan kita mempunyai dua satah dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahawa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) adalah berserenjang mengikut satah yang diberikan. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ adalah sama dengan sudut (dihedral), iaitu antara satah ini. Hasil kali skalar mempunyai bentuk:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tepat kerana

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Memadai untuk mengambil kira bahawa 0≤φ≤π.

Malah, dua satah yang bersilang membentuk dua sudut (dihedral): φ 1 dan φ 2 . Jumlahnya adalah sama dengan π (φ 1 + φ 2 = π). Bagi kosinus mereka, nilai mutlaknya adalah sama, tetapi mereka berbeza dalam tanda, iaitu, cos φ 1 =-cos φ 2. Jika dalam persamaan (0) kita gantikan A, B dan C dengan nombor -A, -B dan -C, masing-masing, maka persamaan yang kita dapat akan menentukan satah yang sama, satu-satunya sudut φ dalam persamaan cos φ= NN 1 // N||N 1 | akan digantikan dengan π-φ.

Persamaan satah serenjang

Satah dipanggil berserenjang jika sudut di antaranya ialah 90 darjah. Menggunakan bahan yang digariskan di atas, kita boleh mencari persamaan satah berserenjang dengan yang lain. Katakan kita mempunyai dua satah: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Kita boleh menyatakan bahawa ia akan berserenjang jika cosφ=0. Ini bermakna NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan satah selari

Selari ialah dua satah yang tidak mengandungi titik sepunya.

Keadaan (persamaan mereka adalah sama seperti dalam perenggan sebelumnya) ialah vektor N dan N¹, yang berserenjang dengan mereka, adalah kolinear. Ini bermakna syarat perkadaran berikut dipenuhi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika syarat perkadaran dilanjutkan - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahawa pesawat ini bertepatan. Ini bermakna persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menerangkan satu satah.

Jarak ke satah dari titik

Katakan kita mempunyai satah P, yang diberikan oleh persamaan (0). Ia adalah perlu untuk mencari jarak kepadanya dari titik dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, anda perlu membawa persamaan satah P ke dalam bentuk normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

Dalam kes ini, ρ(x,y,z) ialah vektor jejari titik Q kita yang terletak pada P, p ialah panjang serenjang dengan P yang dilepaskan dari titik sifar, v ialah vektor unit yang terletak di arah a.

Perbezaan ρ-ρº vektor jejari beberapa titik Q \u003d (x, y, z) kepunyaan P, serta vektor jejari titik Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) adalah seperti vektor, nilai mutlak unjuran yang pada v adalah sama dengan jarak d, yang mesti ditemui dari Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tetapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Oleh itu, kita akan mencari nilai mutlak ungkapan yang terhasil, iaitu, d yang dikehendaki.

Menggunakan bahasa parameter, kami mendapat yang jelas:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Jika titik Q 0 yang diberikan berada di sisi lain satah P, serta asalan, maka antara vektor ρ-ρ 0 dan v oleh itu ialah:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Dalam kes apabila titik Q 0, bersama-sama dengan asalan, terletak pada sisi yang sama P, maka sudut yang dicipta adalah akut, iaitu:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Akibatnya, ternyata dalam kes pertama (ρ 0 ,v)> р, dalam kes kedua (ρ 0 ,v)<р.

Satah tangen dan persamaannya

Satah tangen ke permukaan pada titik sentuhan Mº ialah satah yang mengandungi semua tangen yang mungkin kepada lengkung yang dilukis melalui titik ini di permukaan.

Dengan bentuk persamaan permukaan F (x, y, z) \u003d 0, persamaan satah tangen pada titik tangen Mº (xº, yº, zº) akan kelihatan seperti ini:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Jika anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x, y), maka satah tangen akan diterangkan oleh persamaan:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Persilangan dua satah

Dalam sistem koordinat (segi empat tepat) Oxyz terletak, dua satah П′ dan П″ diberikan, yang bersilang dan tidak bertepatan. Oleh kerana mana-mana satah yang terletak dalam sistem koordinat segi empat tepat ditentukan oleh persamaan am, kita akan menganggap bahawa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ С″z+D″=0. Dalam kes ini, kita mempunyai n' (A′, B′, C′) biasa bagi satah P′ dan n normal ″ (A″, B″, C″) bagi satah P″. Memandangkan pesawat kita tidak selari dan tidak bertepatan, vektor ini bukan kolinear. Dengan menggunakan bahasa matematik, kita boleh menulis keadaan ini seperti berikut: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Biarkan garis yang terletak pada persilangan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam kes ini a = P′ ∩ P″.

a ialah garis lurus yang terdiri daripada set semua titik satah (sepunya) П′ dan П″. Ini bermakna bahawa koordinat mana-mana titik kepunyaan garis a mesti pada masa yang sama memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″= 0. Ini bermakna bahawa koordinat titik akan menjadi penyelesaian tertentu bagi sistem persamaan berikut:

Akibatnya, ternyata penyelesaian (umum) sistem persamaan ini akan menentukan koordinat setiap titik garis lurus, yang akan bertindak sebagai titik persilangan П′ dan П″, dan menentukan lurus garis a dalam sistem koordinat Oxyz (segi empat tepat) dalam ruang.