Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi dua pembolehubah dalam kawasan tertutup. Nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ ditakrifkan dan berterusan dalam beberapa domain tertutup berhad $D$. Biarkan fungsi yang diberikan dalam rantau ini mempunyai terbitan separa terhingga tertib pertama (kecuali, mungkin, untuk bilangan mata terhingga). Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi dua pembolehubah dalam kawasan tertutup tertentu, tiga langkah algoritma mudah diperlukan.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.

Cari titik kritikal fungsi $z=f(x,y)$ kepunyaan domain $D$. Kira nilai fungsi pada titik kritikal.
Siasat kelakuan fungsi $z=f(x,y)$ pada sempadan rantau $D$, mencari titik nilai maksimum dan minimum yang mungkin. Kira nilai fungsi pada titik yang diperolehi.
Daripada nilai fungsi yang diperoleh dalam dua perenggan sebelumnya, pilih yang terbesar dan terkecil.

Apakah mata kritikal? tunjukkan\sembunyi

Di bawah titik kritikal menunjukkan titik di mana kedua-dua derivatif separa tertib pertama adalah sama dengan sifar (iaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud.

Selalunya titik di mana derivatif separa tertib pertama adalah sama dengan sifar dipanggil titik pegun. Oleh itu, titik pegun ialah subset titik kritikal.

Contoh No 1

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ dalam kawasan tertutup, terhad oleh garisan$x=3$, $y=0$ dan $y=x+1$.

Kami akan mengikuti perkara di atas, tetapi mula-mula kami akan berurusan dengan lukisan kawasan tertentu, yang akan kami nyatakan dengan huruf $D$. Kami diberi persamaan tiga garis lurus yang mengehadkan kawasan ini. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ selari dengan paksi ordinat (paksi Oy). Garis lurus $y=0$ ialah persamaan paksi absis (paksi lembu). Nah, untuk membina garisan $y=x+1$, kita akan mencari dua titik di mana kita akan melukis garisan ini. Anda boleh, sudah tentu, menggantikan beberapa nilai sewenang-wenangnya dan bukannya $x$. Sebagai contoh, menggantikan $x=10$, kita dapat: $y=x+1=10+1=11$. Kami telah menemui titik $(10;11)$ terletak pada baris $y=x+1$. Walau bagaimanapun, adalah lebih baik untuk mencari titik di mana garis $y=x+1$ bersilang dengan garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa ini lebih baik? Kerana kita akan membunuh beberapa ekor burung dengan satu batu: kita akan mendapat dua mata untuk membina garisan $y=x+1$ dan pada masa yang sama mengetahui pada titik mana garisan ini bersilang garisan lain yang mengehadkan kawasan tertentu. Garis $y=x+1$ bersilang dengan garis $x=3$ pada titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ bersilang pada titik $(-1;0)$. Untuk tidak mengacaukan kemajuan penyelesaian dengan penjelasan tambahan, saya akan meletakkan soalan untuk mendapatkan dua perkara ini dalam nota.

Bagaimanakah mata $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tunjukkan\sembunyi

Mari kita mulakan dari titik persilangan garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang dikehendaki tergolong dalam kedua-dua garis lurus pertama dan kedua, oleh itu, untuk mencari koordinat yang tidak diketahui, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & y=x+1;\\ & x=3. \end(diselaraskan) \kanan. $$

Penyelesaian kepada sistem sedemikian adalah remeh: menggantikan $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mempunyai: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ ialah titik yang dikehendaki persilangan garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik persilangan garis $y=x+1$ dan $y=0$. Mari kita susun semula dan selesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \mulakan(dijajar) & y=x+1;\\ & y=0. \end(diselaraskan) \kanan. $$

Menggantikan $y=0$ ke dalam persamaan pertama, kita dapat: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ ialah titik persilangan yang dikehendaki bagi garis $y=x+1$ dan $y=0$ (paksi-x).

Segala-galanya bersedia untuk membina lukisan yang akan kelihatan seperti ini:

Persoalan nota itu kelihatan jelas, kerana semuanya kelihatan dalam gambar. Walau bagaimanapun, perlu diingat bahawa lukisan tidak boleh berfungsi sebagai bukti. Lukisan adalah untuk tujuan ilustrasi sahaja.

Kawasan kami ditakrifkan menggunakan persamaan garis yang mengikatnya. Jelas sekali, garisan ini mentakrifkan segitiga, bukan? Atau adakah ia tidak jelas sepenuhnya? Atau mungkin kita diberi kawasan yang berbeza, dibatasi oleh garis yang sama:

Sudah tentu, syarat mengatakan bahawa kawasan itu ditutup, jadi gambar yang ditunjukkan adalah tidak betul. Tetapi untuk mengelakkan kekaburan sedemikian, adalah lebih baik untuk menentukan wilayah mengikut ketidaksamaan. Adakah kita berminat dengan bahagian satah yang terletak di bawah garis lurus $y=x+1$? Ok, jadi $y ≤ x+1$. Sekiranya kawasan kita terletak di atas garisan $y=0$? Hebat, ini bermakna $y ≥ 0$. Ngomong-ngomong, dua ketaksamaan terakhir dengan mudah boleh digabungkan menjadi satu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \kiri \( \mula(dijajar) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \akhir(diselaraskan) \kanan. $$

Ketaksamaan ini mentakrifkan rantau $D$, dan mereka mentakrifkannya dengan jelas, tanpa membenarkan sebarang kekaburan. Tetapi bagaimana ini membantu kita dengan soalan yang dinyatakan pada permulaan nota? Ia juga akan membantu :) Kita perlu menyemak sama ada titik $M_1(1;1)$ tergolong dalam rantau $D$. Mari kita gantikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem ketaksamaan yang mentakrifkan rantau ini. Jika kedua-dua ketaksamaan berpuas hati, maka intinya terletak di dalam rantau ini. Jika sekurang-kurangnya satu daripada ketidaksamaan tidak berpuas hati, maka perkara itu bukan milik wilayah itu. Jadi:

$$ \kiri \( \mula(dijajar) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \akhir(dijajar) \kanan. \;\; \kiri \( \mula(dijajar) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Kedua-dua ketidaksamaan adalah sah. Titik $M_1(1;1)$ tergolong dalam wilayah $D$.

Kini tiba masanya untuk mengkaji kelakuan fungsi di sempadan rantau, i.e. jom ke . Mari kita mulakan dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (paksi-x) mengehadkan rantau $D$ di bawah keadaan $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita gantikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Kami menandakan fungsi satu pembolehubah $x$ yang diperoleh hasil daripada penggantian sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada selang $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari cari derivatif fungsi ini dan samakannya dengan sifar:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Nilai $x=2$ tergolong dalam segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, jadi kami juga akan menambah $M_2(2;0)$ pada senarai mata. Di samping itu, mari kita mengira nilai fungsi $z$ di hujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. pada mata $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Dengan cara ini, jika titik $M_2$ tidak tergolong dalam segmen yang sedang dipertimbangkan, maka, sudah tentu, tidak perlu mengira nilai fungsi $z$ di dalamnya.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda boleh, sudah tentu, menggantikan koordinat titik-titik ini ke dalam ungkapan asal $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Sebagai contoh, untuk mata $M_2$ kita dapat:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Walau bagaimanapun, pengiraan boleh dipermudahkan sedikit. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahawa pada segmen $M_3M_4$ kita mempunyai $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menulis ini secara terperinci:

\mulakan(diselaraskan) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligned)

Sudah tentu, biasanya tidak ada keperluan untuk rekod terperinci sedemikian, dan pada masa akan datang kami akan menulis semua pengiraan secara ringkas:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari kita beralih kepada garis lurus $x=3$. Garis lurus ini mengehadkan rantau $D$ di bawah keadaan $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita gantikan $x=3$ ke dalam fungsi yang diberikan $z$. Hasil daripada penggantian ini kita mendapat fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada selang $0 ≤ y ≤ 4$. Mari cari terbitan bagi fungsi ini dan samakannya dengan sifar:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ tergolong dalam segmen $0 ≤ y ≤ 4$, jadi kami juga akan menambah $M_5(3;3)$ pada mata yang ditemui sebelum ini. Di samping itu, anda perlu mengira nilai fungsi $z$ pada titik di hujung segmen $0 ≤ y ≤ 4$, i.e. pada mata $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah pun mengira nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_5$ dan $M_6$. Biar saya ingatkan anda bahawa pada segmen $M_4M_6$ kita mempunyai $z(x,y)=f_2(y)$, oleh itu:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligned)

Dan akhirnya, mari kita pertimbangkan sempadan terakhir kawasan $D$, i.e. garis lurus $y=x+1$. Garis lurus ini mengehadkan rantau $D$ di bawah keadaan $-1 ≤ x ≤ 3$. Menggantikan $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mempunyai:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita mempunyai fungsi satu pembolehubah $x$. Dan sekali lagi kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi ini pada selang $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari cari terbitan bagi fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan sifar:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Nilai $x=1$ tergolong dalam selang $-1 ≤ x ≤ 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambah $M_7(1;2)$ pada senarai mata dan ketahui apakah nilai fungsi $z$ pada ketika ini. Mata di hujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. mata $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ telah dipertimbangkan lebih awal, kami telah menemui nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua penyelesaian selesai. Kami menerima tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari beralih kepada. Memilih nilai terbesar dan terkecil daripada nombor yang diperoleh dalam perenggan ketiga, kita akan mempunyai:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalah selesai, yang tinggal hanyalah menulis jawapan.

Jawab: $z_(min)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh No. 2

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ di rantau $x^2+y^2 ≤ 25$.

Mula-mula, mari kita bina lukisan. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini ialah garis sempadan kawasan tertentu) mentakrifkan bulatan dengan pusat di titik asal (iaitu pada titik $(0;0)$) dan jejari 5. Ketaksamaan $x^2 +y^2 ≤ $25 memenuhi semua titik di dalam dan pada bulatan yang disebut.

Kami akan bertindak mengikut. Mari cari derivatif separa dan cari titik kritikal.

$$ \frac(\sebahagian z)(\sebahagian x)=2x-12; \frac(\sebahagian z)(\sebahagian y)=2y+16. $$

Tiada titik di mana terbitan separa yang ditemui tidak wujud. Mari kita ketahui pada titik apakah kedua-dua derivatif separa serentak bersamaan dengan sifar, i.e. mari cari titik pegun.

$$ \kiri \( \mula(dijajar) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(dijajar) \kanan. \;\; \kiri \( \mula(dijajar) & x =6;\\ & y=-8 \end(aligned) \right $$.

Kami telah memperoleh mata pegun $(6;-8)$. Walau bagaimanapun, titik yang ditemui bukan milik rantau $D$. Ini mudah ditunjukkan tanpa perlu melukis. Mari kita semak sama ada ketaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ berlaku, yang mentakrifkan wilayah kita $D$. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, i.e. ketaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ tidak berlaku. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ tidak tergolong dalam kawasan $D$.

Jadi, tiada titik kritikal di dalam rantau $D$. Mari kita teruskan ke... Kita perlu mengkaji kelakuan sesuatu fungsi pada sempadan rantau tertentu, i.e. pada bulatan $x^2+y^2=25$. Kita boleh, sudah tentu, menyatakan $y$ dalam sebutan $x$, dan kemudian menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam fungsi kami $z$. Daripada persamaan bulatan kita dapat: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Menggantikan, sebagai contoh, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mempunyai:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Penyelesaian selanjutnya akan sama sepenuhnya dengan kajian kelakuan fungsi di sempadan wilayah dalam contoh No. 1 sebelumnya. Walau bagaimanapun, nampaknya saya lebih munasabah untuk menggunakan kaedah Lagrange dalam situasi ini. Kami akan berminat hanya pada bahagian pertama kaedah ini. Selepas menggunakan bahagian pertama kaedah Lagrange, kami akan memperoleh titik di mana kami akan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami mengarang fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami mencari terbitan separa bagi fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sepadan:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \kiri \( \mulakan (diselaraskan) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $

Untuk menyelesaikan sistem ini, mari kita nyatakan bahawa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari cuba gantikan $\lambda=-1$ ke dalam persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Percanggahan yang terhasil $0=6$ menunjukkan bahawa nilai $\lambda=-1$ tidak boleh diterima. Output: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam sebutan $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aligned)

Saya percaya bahawa ia menjadi jelas di sini mengapa kami menetapkan syarat $\lambda\neq -1$ secara khusus. Ini dilakukan untuk menyesuaikan ungkapan $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Iaitu, untuk memastikan bahawa penyebut $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita gantikan ungkapan yang terhasil untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga sistem, i.e. dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \kiri(\frac(6)(1+\lambda) \kanan)^2+\kiri(\frac(-8)(1+\lambda) \kanan)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Daripada kesamarataan yang terhasil, ia berikutan bahawa $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh itu kita mempunyai dua nilai parameter $\lambda$, iaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Sehubungan itu, kami mendapat dua pasangan nilai $x$ dan $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aligned)

Jadi, kami mendapat dua mata yang mungkin ekstrem bersyarat, iaitu $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Mari cari nilai fungsi $z$ pada titik $M_1$ dan $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aligned)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil daripada nilai yang kita perolehi dalam langkah pertama dan kedua. Tetapi dalam dalam kes ini pilihannya kecil :) Kami ada:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Jawab: $z_(min)=-75; \; z_(maks)=$125.

Pelajaran mengenai topik: "Mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 10 dari 1C
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas pembinaan interaktif untuk gred 7-10
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membina di angkasa

Apa yang akan kita kaji:

1. Mencari nilai terbesar dan terkecil daripada graf fungsi.
2. Mencari nilai terbesar dan terkecil menggunakan derivatif.
3. Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi berterusan y=f(x) pada segmen .
4. Terhebat dan nilai terkecil berfungsi pada selang waktu tidak tertutup.
5. Contoh.

Mencari nilai terbesar dan terkecil daripada graf fungsi

Kawan-kawan, kami telah menemui nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi sebelum ini. Kami melihat graf fungsi dan menyimpulkan di mana fungsi mencapai nilai terbesarnya dan di mana ia mencapai nilai terendah.
Mari ulangi:

Daripada graf fungsi kita dapat dilihat bahawa nilai tertinggi dicapai pada titik x= 1, ia bersamaan dengan 2. Nilai terkecil dicapai pada titik x= -1, dan ia bersamaan dengan -2. Kaedah ini agak mudah untuk mencari nilai terbesar dan terkecil, tetapi tidak selalu mungkin untuk merancang fungsi.

Mencari nilai terbesar dan terkecil menggunakan derivatif

Guys, apa pendapat anda, bagaimana anda boleh mencari nilai terbesar dan terkecil menggunakan derivatif?

Jawapannya boleh didapati dalam topik extrema fungsi. Di sana anda dan saya mendapati mata maksimum dan minimum, bukankah istilahnya serupa? Walau bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil tidak boleh dikelirukan dengan maksimum dan minimum fungsi ini adalah konsep yang berbeza.

Jadi mari kita perkenalkan peraturan:
a) Jika fungsi berterusan pada selang, maka ia mencapai nilai maksimum dan minimum pada selang ini.
b) Fungsi boleh mencapai nilai maksimum dan minimum pada kedua-dua hujung segmen dan di dalamnya. Mari kita lihat perkara ini dengan lebih terperinci.

Dalam rajah a, fungsi mencapai nilai maksimum dan minimum pada hujung segmen.
Dalam Rajah b, fungsi mencapai nilai maksimum dan minimum di dalam segmen. Dalam rajah c, titik minimum terletak di dalam segmen, dan titik maksimum berada di hujung segmen, di titik b.
c) Jika nilai maksimum dan minimum dicapai di dalam segmen, maka hanya pada titik pegun atau kritikal.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi selanjar y= f(x) pada suatu segmen

Cari terbitan f"(x).
Cari titik pegun dan kritikal di dalam segmen.
Kira nilai fungsi pada titik pegun dan kritikal, serta pada f(a) dan f(b). Pilih nilai terkecil dan terbesar; ini akan menjadi titik nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi tersebut.

Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada selang terbuka

Lelaki, bagaimana anda mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada selang waktu terbuka? Untuk melakukan ini, kami akan menggunakan teorem penting, yang terbukti dalam kursus matematik yang lebih tinggi.

Teorem. Biarkan fungsi y= f(x) berterusan pada selang x, dan mempunyai titik pegun atau kritikal yang unik x= x0 di dalam selang ini, maka:
a) jika x= x0 ialah titik maksimum, maka y ialah maksimum. = f(x0).
b) jika x= x0 ialah titik minimum, maka y ialah nama. = f(x0).

Contoh

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 pada segmen
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Penyelesaian: Cari terbitan: y"= x 2 + 4x + 4.
Derivatif wujud di seluruh domain definisi, maka kita perlu mencari titik pegun.
y"= 0, pada x= -2.
Kami akan menjalankan pengiraan lanjut untuk segmen yang diperlukan.
a) Cari nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun.
Kemudian y nama. = -122, pada x= -9; y maks. = y = -7$\frac(1)(3)$, dengan x= -1.
b) Cari nilai fungsi di hujung segmen dan di titik pegun. Nilai tertinggi dan terendah dicapai di hujung segmen.
Kemudian y nama. = -8, pada x= -3, y maks. = 34, pada x= 3.
c) Titik pegun tidak jatuh pada segmen kami; mari cari nilai di hujung segmen.
Kemudian y nama. = 34, dengan x= 3, y maks. = 436, pada x= 9.

Contoh

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| pada segmen.
Penyelesaian: Mari kembangkan modul dan ubah fungsi kami:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, untuk x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, untuk x ≥ 1.

Kemudian fungsi kami akan mengambil bentuk:
\begin(persamaan*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Mari kita cari titik kritikal: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(cases) 2,\ quad untuk \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Jadi, kita mempunyai dua titik pegun dan jangan lupa bahawa fungsi kita terdiri daripada dua fungsi untuk berbeza. x.
Mari cari nilai terbesar dan terkecil fungsi; untuk melakukan ini, kami mengira nilai fungsi pada titik pegun dan di hujung segmen:
Jawapan: Fungsi mencapai nilai minimumnya pada titik pegun x= 1, y adalah paling sedikit. = 3. Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada penghujung segmen pada titik x = 4, y maks. = 12.

Contoh

Cari nilai terbesar bagi fungsi y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ pada sinar: , b) , c) [-4;7].
b) Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| pada segmen [-1;5].
c) Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y= $-2x-\frac(1)(2x)$ pada sinar (0;+∞).

Dari sudut praktikal minat terbesar mewakili penggunaan derivatif untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi. Apakah kaitan ini? Memaksimumkan keuntungan, meminimumkan kos, menentukan beban optimum peralatan... Dalam erti kata lain, dalam banyak bidang kehidupan kita perlu menyelesaikan masalah mengoptimumkan beberapa parameter. Dan ini adalah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Perlu diingatkan bahawa nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi biasanya dicari pada selang X tertentu, iaitu sama ada keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripada domain definisi. Selang X itu sendiri boleh menjadi segmen, selang terbuka , selang tak terhingga.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mencari nilai terbesar dan terkecil secara eksplisit fungsi yang diberikan satu pembolehubah y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara ringkas definisi utama.

Nilai terbesar bagi fungsi tersebut itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut y=f(x) pada selang X dipanggil nilai sedemikian itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Takrifan ini adalah intuitif: nilai terbesar (paling kecil) bagi sesuatu fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima pada selang yang dipertimbangkan di abscissa.

Titik pegun– ini adalah nilai hujah di mana terbitan fungsi menjadi sifar.

Mengapakah kita memerlukan titik pegun apabila mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Fermat. Daripada teorem ini, ia mengikuti bahawa jika fungsi boleh dibezakan mempunyai ekstrem ( minimum tempatan atau maksimum tempatan) pada satu ketika, maka titik ini adalah pegun. Oleh itu, fungsi selalunya mengambil nilai terbesar (terkecil) pada selang X pada salah satu titik pegun dari selang ini.

Juga, fungsi selalunya boleh mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana terbitan pertama fungsi ini tidak wujud, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan.

Mari jawab dengan segera salah satu soalan yang paling biasa mengenai topik ini: "Adakah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) fungsi"? Tidak, tidak selalu. Kadangkala sempadan selang X bertepatan dengan sempadan domain takrifan fungsi, atau selang X adalah tak terhingga. Dan beberapa fungsi pada infiniti dan di sempadan domain definisi boleh mengambil kedua-dua nilai infiniti besar dan infiniti kecil. Dalam kes ini, tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi tersebut.

Untuk kejelasan, kami akan memberikan ilustrasi grafik. Lihat gambar dan banyak lagi akan menjadi lebih jelas.

Pada segmen

Dalam rajah pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Pertimbangkan kes yang digambarkan dalam rajah kedua. Jom tukar segmen kepada . Dalam contoh ini, nilai terkecil fungsi dicapai pada titik pegun, dan yang terbesar pada titik dengan absis sepadan dengan sempadan kanan selang.

Dalam Rajah 3, titik sempadan segmen [-3;2] ialah absis bagi titik yang sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Pada selang terbuka

Dalam rajah keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam selang terbuka (-6;6).

Pada selang , tiada kesimpulan boleh dibuat tentang nilai terbesar.

Pada infiniti

Dalam contoh yang dibentangkan dalam rajah ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik pegun dengan abscissa x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada sempadan kanan selang. Pada infiniti tolak, nilai fungsi secara asimptotik menghampiri y=3.

Sepanjang selang itu, fungsi tidak mencapai nilai terkecil mahupun terbesar. Apabila x=2 menghampiri dari kanan, nilai fungsi cenderung kepada tolak infiniti (garisan x=2 ialah asimtot menegak), dan kerana absis cenderung kepada tambah infiniti, nilai fungsi secara asymptotically menghampiri y=3. Ilustrasi grafik contoh ini ditunjukkan dalam Rajah 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen.

Mari kita tulis algoritma yang membolehkan kita mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Kami mencari domain takrifan fungsi dan menyemak sama ada ia mengandungi keseluruhan segmen.
Kami mendapati semua titik di mana terbitan pertama tidak wujud dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik tersebut ditemui dalam fungsi dengan hujah di bawah tanda modulus dan dalam fungsi kuasa dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tiada mata seperti itu, maka teruskan ke titik seterusnya.
Kami menentukan semua titik pegun yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang terhasil dan pilih punca yang sesuai. Jika tiada titik pegun atau tiada satu pun daripadanya jatuh ke dalam segmen, kemudian teruskan ke titik seterusnya.
Kami mengira nilai fungsi pada titik pegun terpilih (jika ada), pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
Daripada nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang diperlukan.

Mari analisa algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Contoh.

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen;
pada segmen [-4;-1] .

Penyelesaian.

Domain fungsi ialah keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar, iaitu . Kedua-dua segmen termasuk dalam domain definisi.

Cari terbitan bagi fungsi berkenaan dengan:

Jelas sekali, terbitan fungsi wujud di semua titik segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik pegun daripada persamaan. Satu-satunya punca sebenar ialah x=2. Titik pegun ini jatuh ke dalam segmen pertama.

Untuk kes pertama, kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun, iaitu, untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh itu, nilai terbesar fungsi dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kes kedua, kami mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen [-4;-1] (kerana ia tidak mengandungi satu titik pegun):

Biarkan fungsi y =f(X) adalah berterusan pada selang [ a, b]. Seperti yang diketahui, fungsi sedemikian mencapai nilai maksimum dan minimum pada segmen ini. Fungsi ini boleh mengambil nilai ini sama ada titik dalaman segmen [ a, b], atau pada sempadan segmen.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen [ a, b] perlu:

1) cari titik genting bagi fungsi dalam selang ( a, b);

2) hitung nilai fungsi pada titik kritikal yang ditemui;

3) hitung nilai fungsi di hujung segmen, iaitu, apabila x=A dan x = b;

4) daripada semua nilai pengiraan fungsi, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen.

Mencari titik kritikal:

Titik ini terletak di dalam segmen; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pada titik x= 3 dan pada titik x= 0.

Kajian fungsi untuk kecembungan dan titik infleksi.

Fungsi y = f (x) dipanggil cembung di antara (a, b) , jika grafnya terletak di bawah tangen yang dilukis pada mana-mana titik dalam selang ini, dan dipanggil cembung ke bawah (cekung), jika grafnya terletak di atas tangen.

Titik di mana kecembungan digantikan oleh kekosongan atau sebaliknya dipanggil titik infleksi.

Algoritma untuk memeriksa kecembungan dan titik infleksi:

1. Cari titik kritikal jenis kedua, iaitu titik di mana terbitan kedua adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.

2. Plot titik kritikal pada garis nombor, bahagikannya kepada selang. Cari tanda terbitan kedua pada setiap selang; jika , maka fungsi itu cembung ke atas, jika, maka fungsi itu cembung ke bawah.

3. Jika, apabila melalui titik kritikal jenis kedua, tanda berubah dan pada ketika ini terbitan kedua adalah sama dengan sifar, maka titik ini adalah absis titik infleksi. Cari ordinatnya.

Asimtot graf fungsi. Kajian fungsi untuk asimtot.

Definisi. Asimtot bagi graf fungsi dipanggil lurus, yang mempunyai sifat bahawa jarak dari mana-mana titik pada graf ke garis ini cenderung kepada sifar apabila titik pada graf bergerak tanpa had dari asalan.

Terdapat tiga jenis asimtot: menegak, mendatar dan condong.

Definisi. Garis lurus dipanggil asimtot menegak grafik fungsi y = f(x), jika sekurang-kurangnya satu daripada had satu sisi bagi fungsi pada ketika ini adalah sama dengan infiniti, iaitu

di manakah titik ketakselanjaran fungsi, iaitu, ia tidak tergolong dalam domain definisi.

Contoh.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – titik putus.

Definisi. Lurus y =A dipanggil asimtot mendatar grafik fungsi y = f(x) pada , jika

Contoh.

x
y

Definisi. Lurus y =kx +b (k≠ 0) dipanggil asimtot serong grafik fungsi y = f(x) di , di mana

Skema umum untuk mengkaji fungsi dan membina graf.

Algoritma Penyelidikan Fungsiy = f(x) :

1. Cari domain bagi fungsi tersebut D (y).

2. Cari (jika boleh) titik persilangan graf dengan paksi koordinat (jika x= 0 dan pada y = 0).

3. Periksa kesamaan dan keganjilan fungsi ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ganjil).

4. Cari asimtot bagi graf fungsi itu.

5. Cari selang kemonotonan fungsi.

6. Cari ekstrem bagi fungsi itu.

7. Cari selang cembung (concavity) dan titik lengkuk graf fungsi.

8. Berdasarkan kajian yang dijalankan, bina graf bagi fungsi tersebut.

Contoh. Terokai fungsi dan bina grafnya.

1) D (y) =

x= 4 – titik putus.

2) Bila x = 0,

(0; ‒ 5) – titik persilangan dengan oh.

Pada y = 0,

3) y(‒ x)= fungsi pandangan umum(tidak genap mahupun ganjil).

4) Kami memeriksa untuk asimtot.

a) menegak

b) mendatar

c) cari asimtot serong di mana

‒persamaan asimtot serong

5) B persamaan yang diberikan tidak perlu mencari selang kemonotonan fungsi.

Titik kritikal ini membahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada selang (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Adalah mudah untuk membentangkan keputusan yang diperoleh dalam bentuk jadual berikut.