24.1. Konsep fungsi pembezaan

Biarkan fungsi y=ƒ(x) mempunyai terbitan bukan sifar pada titik x.

Kemudian, mengikut teorem tentang hubungan antara fungsi, hadnya dan fungsi kecil tak terhingga, kita boleh menulis D у/D x=ƒ"(x)+α, di mana α→0 pada ∆х→0, atau ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Oleh itu, penambahan bagi fungsi ∆у ialah hasil tambah dua sebutan ƒ"(x) ∆x dan ∆x, yang adalah sangat kecil untuk ∆x→0. Selain itu, sebutan pertama ialah fungsi paling kecil dengan susunan yang sama seperti ∆x, sejak dan sebutan kedua ialah fungsi infinitesimal lebih perintah tinggi, daripada ∆х:

Oleh itu, sebutan pertama ƒ"(x) ∆x dipanggil bahagian utama kenaikan fungsi ∆у.

Pembezaan fungsi y=ƒ(x) pada titik x dipanggil bahagian utama kenaikannya, sama dengan produk terbitan fungsi dengan penambahan hujah, dan dilambangkan dengan dу (atau dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆х. (24.1)

Perbezaan dу juga dipanggil pembezaan pesanan pertama. Mari kita cari pembezaan pembolehubah bebas x, iaitu pembezaan fungsi y=x.

Oleh kerana y"=x"=1, maka, mengikut formula (24.1), kita mempunyai dy=dx=∆x, iaitu pembezaan pembolehubah bebas adalah sama dengan kenaikan pembolehubah ini: dx=∆x.

Oleh itu, rumus (24.1) boleh ditulis seperti berikut:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

dengan kata lain, pembezaan fungsi sama dengan produk terbitan fungsi ini dengan pembezaan pembolehubah bebas.

Daripada formula (24.2) ikut kesamaan dy/dx=ƒ"(x). Sekarang notasi

derivatif dy/dx boleh dianggap sebagai nisbah pembezaan dy dan dx.

<< Пример 24.1

Cari kebezaan fungsi ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Penyelesaian: Menggunakan formula dy=ƒ"(x) dx kita dapati

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

Cari pembezaan fungsi

Kira dy untuk x=0, dx=0.1.

Penyelesaian:

Menggantikan x=0 dan dx=0.1, kita dapat

24.2. Makna geometri bagi fungsi pembezaan

Mari kita ketahui makna geometri bagi pembezaan.

Untuk melakukan ini, mari kita lukis tangen MT kepada graf fungsi y=ƒ(x) pada titik M(x; y) dan pertimbangkan ordinat tangen ini untuk titik x+∆x (lihat Rajah 138). Dalam rajah ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Dari segi tiga tepat MAV kita ada:

Tetapi, mengikut makna geometri terbitan, tga=ƒ"(x). Oleh itu, AB=ƒ"(x) ∆x.

Membandingkan hasil yang diperoleh dengan formula (24.1), kita memperoleh dy=AB, iaitu pembezaan fungsi y=ƒ(x) pada titik x adalah sama dengan kenaikan dalam ordinat tangen kepada graf fungsi pada ini titik, apabila x menerima kenaikan ∆x.

Ini ialah makna geometri bagi pembezaan.

24.3 Teorem asas tentang pembezaan

Teorem asas tentang pembezaan boleh diperolehi dengan mudah menggunakan perkaitan antara pembezaan dan terbitan fungsi (dy=f"(x)dx) dan teorem yang sepadan tentang terbitan.

Sebagai contoh, oleh kerana terbitan bagi fungsi y=c adalah sama dengan sifar, maka pembezaan nilai malar adalah sama dengan sifar: dy=с"dx=0 dx=0.

Teorem 24.1. Pembezaan jumlah, hasil darab dan hasil bagi dua fungsi boleh dibezakan ditentukan oleh formula berikut:

Mari kita buktikan, sebagai contoh, formula kedua. Dengan definisi pembezaan kita mempunyai:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teorem 24.2. Pembezaan fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan dan pembezaan hujah perantaraan ini.

Biarkan y=ƒ(u) dan u=φ(x) ialah dua fungsi boleh beza yang membentuk fungsi kompleks y=ƒ(φ(x)). Menggunakan teorem pada terbitan fungsi kompleks, kita boleh menulis

y" x =y" u u" x.

Mendarab kedua-dua belah kesamaan ini dengan dx, kita belajar y" x dx=y" u u" x dx. Tetapi y" x dx=dy dan u" x dx=du. Akibatnya, kesamaan terakhir boleh ditulis semula seperti berikut:

dy=у" u du.

Membandingkan formula dy=y" x dx dan dy=y" u du, kita melihat bahawa pembezaan pertama fungsi y=ƒ(x) ditentukan oleh formula yang sama tanpa mengira sama ada hujahnya ialah pembolehubah bebas atau fungsi hujah lain.

Sifat pembezaan ini dipanggil invarian (ketidakbolehubah) daripada bentuk pembezaan pertama.

Formula dy=y" x dx dalam rupa bertepatan dengan formula dy=y" u du, tetapi terdapat perbezaan asas di antara mereka: dalam formula pertama x ialah pembolehubah bebas, oleh itu dx=∆x, dalam formula kedua terdapat fungsi x , oleh itu, secara amnya, du≠∆u.

Menggunakan definisi pembezaan dan teorem asas tentang pembezaan, adalah mudah untuk menukar jadual terbitan kepada jadual pembezaan.

Contohnya: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Jadual pembezaan

24.5. Menggunakan pembezaan pada pengiraan anggaran

Seperti yang telah diketahui, kenaikan ∆у bagi fungsi у=ƒ(х) pada titik x boleh diwakili sebagai ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, di mana α→0 pada ∆х→0, atau ∆у= dy+α ∆х Membuang α ∆х terhingga tertib yang lebih tinggi daripada ∆х, kita memperoleh kesamaan anggaran.

∆у≈dy, (24.3)

Selain itu, kesamaan ini lebih tepat, lebih kecil ∆х.

Kesamaan ini membolehkan kita mengira kira-kira kenaikan mana-mana fungsi yang boleh dibezakan dengan ketepatan yang tinggi.

Pembezaan biasanya lebih mudah dicari daripada kenaikan fungsi, jadi formula (24.3) digunakan secara meluas dalam amalan pengkomputeran.

<< Пример 24.3

Cari nilai anggaran kenaikan fungsi y=x 3 -2x+1 pada x=2 dan ∆x=0.001.

Penyelesaian: Kami menggunakan formula (24.3): ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

Jadi, ∆у» 0.01.

Mari lihat ralat yang dibuat dengan mengira perbezaan fungsi dan bukannya kenaikannya. Untuk melakukan ini, kami dapati ∆у:

∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

Ralat mutlak penghampiran ialah

|∆у-dy|=|0.010006-0.011=0.000006.

Menggantikan nilai ∆у dan dy kepada kesamaan (24.3), kita perolehi

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Formula (24.4) digunakan untuk mengira nilai anggaran fungsi.

<< Пример 24.4

Kira kira-kira arctan(1.05).

Penyelesaian: Pertimbangkan fungsi ƒ(x)=arctgx. Menurut formula (24.4) kita mempunyai:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

i.e.

Oleh kerana x+∆x=1.05, maka pada x=1 dan ∆x=0.05 kita dapat:

Ia boleh ditunjukkan bahawa ralat mutlak formula (24.4) tidak melebihi nilai M (∆x) 2, di mana M ialah nilai terbesar |ƒ"(x)| pada segmen [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Berapakah jarak yang akan dilalui oleh jasad semasa jatuh bebas di Bulan dalam masa 10.04s dari permulaan musim gugur? Persamaan jatuh bebas suatu jasad

H=g l t 2 /2, g l =1.6 m/s 2.

Penyelesaian: Kita perlu mencari H(10,04). Mari kita gunakan formula anggaran (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Pada t=10 s dan ∆t=dt=0.04 s, H"(t)=g l t, kita dapati

Masalah (untuk penyelesaian bebas). Sebuah jasad berjisim m=20 kg bergerak dengan kelajuan ν=10.02 m/s. Kirakan lebih kurang tenaga kinetik badan

24.6. Pembezaan pesanan lebih tinggi

Biarkan y=ƒ(x) ialah fungsi boleh beza, dan biarkan hujahnya x ialah pembolehubah bebas. Maka pembezaan pertamanya dy=ƒ"(x)dx juga merupakan fungsi bagi x; pembezaan fungsi ini boleh didapati.

Pembezaan pembezaan fungsi y=ƒ(x) dipanggil pembezaan kedua beliau(atau pembezaan tertib kedua) dan dilambangkan dengan d 2 y atau d 2 ƒ(x).

Jadi, mengikut takrifan, d 2 y=d(dy). Mari kita cari ungkapan untuk pembezaan kedua bagi fungsi y=ƒ(x).

Oleh kerana dx=∆х tidak bergantung pada x, maka apabila membezakan kita menganggap pemalar dx:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 iaitu .

d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24.5)

Di sini dx 2 bermaksud (dx) 2.

Pembezaan urutan ketiga ditakrifkan dan didapati sama

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3.

Dan, secara amnya, pembezaan tertib ke-n ialah pembezaan daripada kebezaan tertib ke- (n-1): d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Dari sini kita dapati bahawa, Khususnya, untuk n=1,2,3

sewajarnya kita mendapat:

iaitu, terbitan bagi sesuatu fungsi boleh dianggap sebagai nisbah pembezaannya bagi susunan yang sepadan dengan darjah yang sepadan bagi pembezaan pembolehubah bebas.

Ambil perhatian bahawa semua formula di atas adalah sah hanya jika x ialah pembolehubah bebas. Jika fungsi y=ƒ(x), di mana x ialah fungsi beberapa pembolehubah bebas yang lain, maka pembezaan susunan kedua dan lebih tinggi tidak mempunyai sifat invarian bentuk dan dikira menggunakan formula lain. Mari kita tunjukkan ini menggunakan contoh pembezaan tertib kedua.

Menggunakan formula pembezaan produk (d(uv)=vdu+udv), kita dapat:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , iaitu

d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x.

(24.6)

Membandingkan formula (24.5) dan (24.6), kami yakin bahawa dalam kes fungsi kompleks, formula pembezaan tertib kedua berubah: sebutan kedua ƒ"(x) d 2 x muncul.

Adalah jelas bahawa jika x ialah pembolehubah bebas, maka

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

<< Пример 24.6

dan formula (24.6) masuk ke formula (24.5).

Cari d 2 y jika y = e 3x dan x ialah pembolehubah bebas.

<< Пример 24.7

Penyelesaian: Oleh kerana y"=3e 3x, y"=9e 3x, maka mengikut formula (24.5) kita mempunyai d 2 y=9e 3x dx 2.

Cari d 2 y jika y=x 2 dan x=t 3 +1 dan t ialah pembolehubah bebas.

Penyelesaian: Kami menggunakan formula (24.6): sejak

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 , Itu 2

d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt

Penyelesaian lain: y=x 2, x=t 3 +1. Oleh itu, y=(t 3 +1) 2. ¢¢ Kemudian mengikut formula (24.5)

d 2 y=y

ru

Cari

Perbezaan pesanan yang lebih tinggi.

Biarkan fungsi y = ¦(x) ditakrifkan dalam beberapa selang X (contohnya, selang) dan mempunyai terbitan bagi semua pesanan pada setiap titik dalaman. Kemudian pembezaannya dу=у 1 dх. Kami akan memanggilnya pembezaan pesanan pertama. Pada setiap titik tertentu, pembezaan fungsi ialah nombor. Pada selang ia ialah fungsi x. Oleh itu, kita boleh bercakap tentang pembezaan daripada pembezaan pertama.

Definisi: Pembezaan bagi pembezaan tertib pertama bagi fungsi y = ¦(x) dipanggil pembezaan tertib kedua bagi fungsi ini dan ditulis secara simbolik d(dу)=d 2 y.

Tatatanda d¦(x) , d 2 ¦(x) , d n ¦(x) juga terpakai

Perbezaan susunan yang lebih tinggi daripada yang pertama dipanggil pembezaan susunan yang lebih tinggi.

Apabila mengira pembezaan tertib yang lebih tinggi, ia mesti diambil kira bahawa dx ialah nombor arbitrari, tetapi bebas daripada x, dan apabila membezakan berkenaan dengan x ia mesti dianggap sebagai faktor malar.

Oleh itu dу=у 1 dх, d 2 у= d(dу)= d(у 1 dх)= dх d(y 1)= dх(y 11 dх)=у 11 (dх) 2. Adalah menjadi kebiasaan untuk menulis darjah pembezaan tanpa kurungan (dx) 2 = dx 2.

Oleh itu, d 2 y = y''dx 2, tetapi ini tidak boleh dikelirukan dengan d(x 2) = 2xdx

Begitu juga: d 3 y= d (y 11 dx 2)= dx 2 d (y 11)= dx 2 (y 111 dx)= y 111 dx 3; d 3 y =y 111 dx 3.

Di sini sekali lagi dx 3 = dx dx dx, dan bukan d(x 3) = 3x 2 dx

d n y= y n dx n

Di sini dх n = (dх) n seperti sebelumnya.

Daripada formula umum untuk pembezaan tertib ke-n, khususnya, formula untuk derivatif tertib ke-n berikut.

У (n) = d n у/dх n, i.e. Terbitan bagi susunan ke-n ialah hasil bagi pembezaan ke-n bagi fungsi dan darjah ke-n bagi pembezaan. berdikari berubah.

Kita telah melihat bahawa bentuk pembezaan pertama dу = у 1 dх tidak bergantung pada sama ada x ialah pembolehubah bebas atau x itu sendiri adalah fungsi bagi beberapa pembolehubah t.

Bentuk pembezaan susunan n=2 tidak lagi dikekalkan dalam kes ini; ia tidak mempunyai invarian.

Dalam kes pembolehubah bebas x d 2 y=y 11 dx 2 ialah pembezaan tertib kedua. Biarkan sekarang x=, dу 1 =у 1 dх. Tetapi kini dx bukan lagi pemalar sembarangan, dx = dt, i.e. dx- ialah fungsi t dan oleh itu, apabila mencari d 2 y, kita tidak boleh mengeluarkan dx daripada tanda pembezaan.

d 2 y = d (y 1 dx) = d (y 1) dx + y 1 d (dx) = y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, i.e.

d 2 y = y 11 dx 2 + y 1 d 2 x – bentuk pembezaan telah berubah, sebutan y 1 d 2 x telah ditambah. Selain itu, bentuk d n y tidak dipelihara. Ini bermakna dalam kes di mana x bukan pembolehubah bebas, sebutan y (n) = d p y/ dx p harus difahami sebagai simbol tunggal, dan bukan sebagai hubungan pembezaan.

Terbitan separa bagi fungsi dua pembolehubah.
Konsep dan contoh penyelesaian

Dalam pelajaran ini kita akan meneruskan perkenalan kita dengan fungsi dua pembolehubah dan mungkin mempertimbangkan tugas tematik yang paling biasa - mencari terbitan separa tertib pertama dan kedua, serta jumlah pembezaan fungsi. Pelajar sambilan, sebagai peraturan, menghadapi derivatif separa pada tahun pertama pada semester ke-2. Lebih-lebih lagi, mengikut pemerhatian saya, tugas mencari derivatif separa hampir selalu muncul pada peperiksaan.

Untuk mengkaji bahan di bawah dengan berkesan, anda perlu dapat dengan lebih atau kurang yakin mencari terbitan "biasa" bagi fungsi satu pembolehubah. Anda boleh belajar cara mengendalikan derivatif dengan betul dalam pelajaran Bagaimana untuk mencari derivatif? Dan Terbitan fungsi kompleks. Kami juga memerlukan jadual terbitan fungsi asas dan peraturan pembezaan; ia adalah paling mudah jika ia tersedia dalam bentuk bercetak. Anda boleh mendapatkan bahan rujukan di halaman Formula dan jadual matematik.

Mari kita ulangi konsep fungsi dua pembolehubah dengan cepat, saya akan cuba mengehadkan diri saya kepada minimum. Fungsi dua pembolehubah biasanya ditulis sebagai , dengan pembolehubah dipanggil pembolehubah bebas atau hujah.

Contoh: – fungsi dua pembolehubah.

Kadangkala notasi digunakan. Terdapat juga tugas di mana huruf digunakan sebagai ganti surat.

Dari sudut pandangan geometri, fungsi dua pembolehubah paling kerap mewakili permukaan dalam ruang tiga dimensi (satah, silinder, sfera, paraboloid, hiperboloid, dll.). Tetapi, sebenarnya, ini lebih kepada geometri analitikal, dan dalam agenda kami ialah analisis matematik, yang guru universiti saya tidak pernah membenarkan saya hapuskan dan merupakan "titik kukuh" saya.

Mari kita beralih kepada persoalan mencari derivatif separa bagi susunan pertama dan kedua. Saya mempunyai beberapa berita baik untuk mereka yang telah minum beberapa cawan kopi dan sedang menonton beberapa bahan yang sangat sukar: terbitan separa hampir sama dengan terbitan “biasa” bagi fungsi satu pembolehubah.

Untuk terbitan separa, semua peraturan pembezaan dan jadual derivatif bagi fungsi asas adalah sah. Terdapat hanya beberapa perbezaan kecil, yang akan kita ketahui sekarang:

... ya, dengan cara ini, untuk topik ini saya buat buku pdf kecil, yang akan membolehkan anda "memasukkan gigi anda" dalam beberapa jam sahaja. Tetapi dengan menggunakan tapak, anda pasti akan mendapat hasil yang sama - mungkin sedikit lebih perlahan:

Contoh 1

Cari terbitan separa tertib pertama dan kedua bagi fungsi itu

Mula-mula, mari kita cari derivatif separa tertib pertama. Terdapat dua daripada mereka.

Jawatan:
atau – terbitan separa berkenaan dengan “x”
atau – terbitan separa berkenaan dengan “y”

Mari mulakan dengan . Apabila kita mencari terbitan separa berkenaan dengan "x", pembolehubah dianggap sebagai pemalar (nombor malar).

Ulasan tentang tindakan yang dilakukan:

(1) Perkara pertama yang kita lakukan apabila mencari terbitan separa ialah membuat kesimpulan semua berfungsi dalam kurungan di bawah perdana dengan subskrip.

Perhatian, penting! KAMI TIDAK KEHILANGAN subskrip semasa proses penyelesaian. Dalam kes ini, jika anda melukis "lejang" di suatu tempat tanpa , maka guru, sekurang-kurangnya, boleh meletakkannya di sebelah tugasan (dengan serta-merta menggigit sebahagian daripada titik kerana tidak memberi perhatian).

(2) Kami menggunakan peraturan pembezaan , . Untuk contoh mudah seperti ini, kedua-dua peraturan boleh digunakan dengan mudah dalam satu langkah. Beri perhatian kepada istilah pertama: sejak dianggap pemalar, dan sebarang pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan, kemudian kami meletakkannya daripada kurungan. Iaitu, dalam keadaan ini ia tidak lebih baik daripada nombor biasa. Sekarang mari kita lihat penggal ketiga: di sini, sebaliknya, tiada apa yang perlu diambil. Oleh kerana ia adalah pemalar, ia juga pemalar, dan dalam pengertian ini ia tidak lebih baik daripada istilah terakhir - "tujuh".

(3) Kami menggunakan derivatif jadual dan .

(4) Mari kita permudahkan, atau, seperti yang saya suka katakan, "ubah suai" jawapannya.

Sekarang. Apabila kita mencari terbitan separa berkenaan dengan "y", maka pembolehubahdianggap sebagai pemalar (nombor tetap).

(1) Kami menggunakan peraturan pembezaan yang sama , . Dalam sebutan pertama kita mengeluarkan pemalar daripada tanda terbitan, dalam sebutan kedua kita tidak boleh mengeluarkan apa-apa kerana ia sudah menjadi pemalar.

(2) Kami menggunakan jadual terbitan bagi fungsi asas. Mari kita ubah secara mental semua "X" dalam jadual kepada "Saya". Iaitu, jadual ini sama sah untuk (dan sememangnya untuk hampir mana-mana huruf). Khususnya, formula yang kami gunakan kelihatan seperti ini: dan .

Apakah maksud terbitan separa?

Pada dasarnya, derivatif separa tertib pertama menyerupai terbitan "biasa".:

- Ini fungsi, yang mencirikan kadar perubahan berfungsi mengikut arah dan paksi, masing-masing. Jadi, sebagai contoh, fungsi mencirikan kecuraman "kenaikan" dan "cerun" permukaan dalam arah paksi absis, dan fungsi memberitahu kita tentang "pelepasan" permukaan yang sama ke arah paksi ordinat.

! Nota : di sini kami maksudkan arah itu selari paksi koordinat.

Untuk tujuan pemahaman yang lebih baik, mari kita pertimbangkan titik tertentu pada satah dan hitung nilai fungsi (“ketinggian”) padanya:
– dan sekarang bayangkan anda berada di sini (PADA permukaan).

Mari kita hitung terbitan separa berkenaan dengan "x" pada titik tertentu:

Tanda negatif terbitan "X" memberitahu kita tentang semakin berkurangan berfungsi pada satu titik dalam arah paksi absis. Dalam erti kata lain, jika kita membuat kecil, kecil (tak terhingga) melangkah ke arah hujung paksi (selari dengan paksi ini), maka kita akan menuruni cerun permukaan.

Sekarang kita mengetahui sifat "rupa bumi" ke arah paksi ordinat:

Derivatif berkenaan dengan "y" adalah positif, oleh itu, pada satu titik dalam arah paksi fungsi bertambah. Secara ringkasnya, di sini kita sedang menunggu pendakian yang mendaki.

Di samping itu, terbitan separa pada satu titik mencirikan kadar perubahan berfungsi dalam arah yang sepadan. Semakin besar nilai yang terhasil modulo– semakin curam permukaan, dan sebaliknya, semakin hampir kepada sifar, semakin rata permukaannya. Jadi, dalam contoh kami, "cerun" ke arah paksi absis adalah lebih curam daripada "gunung" ke arah paksi ordinat.

Tetapi itu adalah dua laluan peribadi. Agak jelas bahawa dari sudut kita berada, (dan secara umum dari mana-mana titik pada permukaan tertentu) kita boleh bergerak ke arah lain. Oleh itu, terdapat minat untuk mencipta "peta navigasi" umum yang akan memberitahu kami tentang "landskap" permukaan kalau boleh pada setiap titik domain definisi fungsi ini sepanjang semua laluan yang ada. Saya akan bercakap tentang perkara ini dan perkara menarik lain dalam salah satu pelajaran berikut, tetapi buat masa ini mari kita kembali ke bahagian teknikal isu ini.

Marilah kita sistematikkan peraturan asas yang digunakan:

1) Apabila kita membezakan berkenaan dengan , pembolehubah dianggap sebagai pemalar.

2) Apabila pembezaan dijalankan mengikut, maka dianggap pemalar.

3) Peraturan dan jadual terbitan bagi fungsi asas adalah sah dan terpakai untuk mana-mana pembolehubah (atau mana-mana lain) yang mana pembezaan dijalankan.

Langkah kedua. Kami mencari derivatif separa tertib kedua. Terdapat empat daripadanya.

Jawatan:
atau – terbitan kedua berkenaan dengan “x”
atau – terbitan kedua berkenaan dengan “Y”
atau - bercampur-campur terbitan "x oleh igr"
atau - bercampur-campur terbitan "Y"

Tiada masalah dengan terbitan kedua. Secara ringkasnya, terbitan kedua ialah terbitan terbitan pertama.

Untuk kemudahan, saya akan menulis semula derivatif separa tertib pertama yang telah ditemui:

Mula-mula, mari kita cari derivatif campuran:

Seperti yang anda lihat, semuanya mudah: kami mengambil derivatif separa dan membezakannya semula, tetapi dalam kes ini - kali ini mengikut "Y".

Begitu juga:

Dalam contoh praktikal, anda boleh menumpukan pada kesaksamaan berikut:

Oleh itu, melalui derivatif campuran tertib kedua adalah sangat mudah untuk menyemak sama ada kita telah menemui derivatif separa tertib pertama dengan betul.

Cari terbitan kedua berkenaan dengan “x”.
Tiada ciptaan, mari kita ambil dan bezakannya dengan "x" sekali lagi:

Begitu juga:

Perlu diingatkan bahawa apabila mencari, anda perlu menunjukkan peningkatan perhatian, kerana tiada persamaan ajaib untuk mengesahkannya.

Derivatif kedua juga menemui aplikasi praktikal yang luas, khususnya, ia digunakan dalam masalah mencari ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah. Tetapi semuanya ada masanya:

Contoh 2

Hitung terbitan separa tertib pertama bagi fungsi pada titik itu. Cari derivatif tertib kedua.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (jawapan di akhir pelajaran). Jika anda mengalami kesukaran membezakan akar, kembali ke pelajaran Bagaimana untuk mencari derivatif? Secara umum, tidak lama lagi anda akan belajar untuk mencari derivatif sedemikian "dengan cepat."

Mari menjadi lebih baik dalam contoh yang lebih kompleks:

Contoh 3

Semak itu. Tuliskan jumlah perbezaan tertib pertama.

Penyelesaian: Cari derivatif separa tertib pertama:

Perhatikan subskrip: , di sebelah "X" tidak dilarang untuk menulis dalam kurungan bahawa ia adalah pemalar. Nota ini boleh menjadi sangat berguna untuk pemula untuk menjadikannya lebih mudah untuk menavigasi penyelesaian.

Komen lanjut:

(1) Kami menggerakkan semua pemalar melebihi tanda terbitan. Dalam kes ini, dan , dan, oleh itu, produk mereka dianggap sebagai nombor tetap.

(2) Jangan lupa cara membezakan akar dengan betul.

(1) Kami mengambil semua pemalar daripada tanda terbitan dalam kes ini, pemalar ialah .

(2) Di bawah perdana kita mempunyai hasil darab dua fungsi yang tinggal, oleh itu, kita perlu menggunakan peraturan untuk membezakan produk .

(3) Jangan lupa bahawa ini adalah fungsi yang kompleks (walaupun yang paling mudah daripada yang kompleks). Kami menggunakan peraturan yang sepadan: .

Sekarang kita dapati derivatif campuran bagi urutan kedua:

Ini bermakna semua pengiraan telah dilakukan dengan betul.

Mari kita tuliskan jumlah perbezaan. Dalam konteks tugas yang sedang dipertimbangkan, tidak masuk akal untuk memberitahu jumlah pembezaan fungsi dua pembolehubah. Adalah penting bahawa perbezaan yang sama ini selalunya perlu ditulis dalam masalah praktikal.

Jumlah perbezaan pesanan pertama fungsi dua pembolehubah mempunyai bentuk:

Dalam kes ini:

Iaitu, anda hanya perlu menggantikan derivatif separa tertib pertama secara bodoh ke dalam formula. Dalam situasi ini dan yang serupa, lebih baik menulis tanda pembezaan dalam pengangka:

Dan mengikut permintaan berulang daripada pembaca, pembezaan lengkap pesanan kedua.

Ia kelihatan seperti ini:

Mari kita cari dengan BERHATI-HATI terbitan “satu huruf” bagi tertib ke-2:

dan tuliskan "raksasa", berhati-hati "melekatkan" petak, produk dan tidak lupa untuk menggandakan terbitan campuran:

Tidak mengapa jika sesuatu kelihatan sukar; anda sentiasa boleh kembali ke derivatif kemudian, selepas anda menguasai teknik pembezaan:

Contoh 4

Cari terbitan separa tertib pertama bagi suatu fungsi . Semak itu. Tuliskan jumlah perbezaan tertib pertama.

Mari kita lihat satu siri contoh dengan fungsi yang kompleks:

Contoh 5

Cari terbitan separa tertib pertama bagi fungsi itu.

Penyelesaian:

Contoh 6

Cari terbitan separa tertib pertama bagi suatu fungsi .
Tuliskan jumlah perbezaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (jawab di akhir pelajaran). Saya tidak akan memberikan anda penyelesaian yang lengkap kerana ia agak mudah.

Selalunya, semua peraturan di atas digunakan dalam kombinasi.

Contoh 7

Cari terbitan separa tertib pertama bagi suatu fungsi .

(1) Kami menggunakan peraturan untuk membezakan jumlah

(2) Istilah pertama dalam kes ini dianggap sebagai pemalar, kerana tidak ada dalam ungkapan yang bergantung pada "x" - hanya "y". Anda tahu, ia sentiasa bagus apabila pecahan boleh ditukar menjadi sifar). Untuk penggal kedua kami menggunakan peraturan pembezaan produk. Dengan cara ini, dalam pengertian ini, tiada apa yang akan berubah jika fungsi telah diberikan sebaliknya - yang penting ialah di sini hasil darab dua fungsi, SETIAP satunya bergantung kepada "X", dan oleh itu, anda perlu menggunakan peraturan pembezaan produk. Untuk sebutan ketiga, kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks.

(1) Sebutan pertama dalam kedua-dua pengangka dan penyebut mengandungi "Y", oleh itu, anda perlu menggunakan peraturan untuk membezakan hasil bagi: . Sebutan kedua bergantung HANYA pada "x", yang bermaksud ia dianggap pemalar dan bertukar kepada sifar. Untuk istilah ketiga kita menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks.

Bagi pembaca yang berani menghampiri penghujung pelajaran, saya akan memberitahu anda anekdot Mekhmatov lama untuk bersantai:

Suatu hari, terbitan jahat muncul dalam ruang fungsi dan mula membezakan semua orang. Semua fungsi bertaburan ke semua arah, tiada siapa yang mahu mengubah! Dan hanya satu fungsi yang tidak lari. Derivatif mendekatinya dan bertanya:

- Kenapa awak tidak lari daripada saya?

- Ha. Tetapi saya tidak peduli, kerana saya "e kepada kuasa X", dan anda tidak akan melakukan apa-apa kepada saya!

Yang derivatif jahat dengan senyuman berbahaya membalas:

- Di sinilah anda tersilap, saya akan membezakan anda dengan "Y", jadi anda sepatutnya sifar.

Sesiapa yang memahami jenaka itu telah menguasai derivatif, sekurang-kurangnya ke tahap "C").

Contoh 8

Cari terbitan separa tertib pertama bagi suatu fungsi .

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian lengkap dan contoh masalah ada di akhir pelajaran.

Nah, itu hampir semua. Akhirnya, saya tidak dapat membantu tetapi menggembirakan pencinta matematik dengan satu lagi contoh. Ia bukan tentang amatur, setiap orang mempunyai tahap persediaan matematik yang berbeza - ada orang (dan tidak begitu jarang) yang suka bersaing dengan tugas yang lebih sukar. Walaupun, contoh terakhir dalam pelajaran ini tidaklah begitu rumit kerana ia menyusahkan dari sudut pengiraan.

Biarkan y = f (x) menjadi fungsi boleh beza, dan hujahnya ialah pembolehubah bebas. Maka pembezaan pertamanya = f ′ (x )dx juga merupakan fungsi otx ; anda boleh mencari perbezaan fungsi ini.

Pembezaan pembezaan fungsi y = f (x) dipanggilnya pembezaan kedua(atau pembezaan urutan kedua) dan dilambangkan dengan d 2 y atau d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Di sini dx 2 menandakan (dx )2.

Pembezaan tertib ketiga ditakrifkan dan didapati sama: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

Secara amnya, pembezaan tertib ke-n ialah pembezaan daripada tertib ke-1 (n-1):d n y = d (d n - 1 y) =f (n) (x) (dx)n.

Dari sini kita dapati bahawa f (n) (x) = d n y. Khususnya, untuk n = 1, 2, 3, masing-masing, kita memperoleh: dx n

f ′ (x) =			f ′′ (x) =	d 2 y		f ′′′(x) =	d 3 y	Itu. terbitan bagi sesuatu fungsi boleh dianggap sebagai

nisbah pembezaannya bagi susunan yang sepadan dengan darjah pembezaan yang sepadan bagi pembolehubah bebas.

Ambil perhatian bahawa semua formula di atas adalah sah hanya jika x ialah pembolehubah bebas.

Contoh. Cari d 2 y jika = e 3 x mereka ialah pembolehubah bebas: kerana y ′ = 3e 3 x,y ′′ = 9e 3 x, maka kita mempunyai d 2 y = 9e 3 x dx 2.

Peraturan L'Hopital

Peraturan L'Hopital digunakan untuk mendedahkan ketidakpastian dalam bentuk 0 0 dan ∞ ∞, yang dipanggil asas.

Teorem 3. (Peraturan L'Hopital untuk mendedahkan ketidakpastian bentuk 0 0 ).

Biarkan fungsi f (x) dan g (x) selanjar dan boleh dibezakan di sekitar titik 0 dan

lenyap pada titik ini: f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0. Biarkan g ′ (x )≠ 0 dalam persekitaran titik x 0 . Jika

ada hadnya

f′(x)

L, kemudian

f(x)

f′(x)

g(x)

g′(x)

x→ x0

x→ x0

x→ x0

Contoh. Cari lim1 − cos6 x .

x→ 0

2x2

Penyelesaian: lim

1− cos 6x

hlm.

6sin 6x

hlm.

36 cos 6x

x→ 0

x→ 0

x→ 0

Teorem 4. (Peraturan L'Hopital untuk mendedahkan ketidakpastian bentuk ∞ ∞ ).

Biarkan fungsi f (x) dan g (x) selanjar dan boleh dibezakan di sekitar titik 0 (kecuali
mungkin mata x 0), dalam kejiranan ini limf (x) = limg (x) = ∞,g ′ (x)≠ 0. Jika ada
	f′(x)			f(x)			f′(x)	x→ x0	x→ x0
had lim
	g′(x)			g(x)
x→ x0			x→ x0			x→ x0	g′(x)

tg 3 x

Contoh. Cari lim tg 5 x

x→π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim 3cos

hlm.

hlm.

x→

tg 5 x

x→

x→

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10 x

5 x →

− 6 cos 3x sin 3x

x→

dosa6x

x→

6cos6x

Ketidakpastian bentuk , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], dikurangkan kepada dua cara utama melalui penjelmaan yang sama.

Biarkan f (x)→ 0, dan g (x)→ 0 dalam → x 0. Kemudian transformasi berikut adalah jelas:

lim(f (x) g (x)) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x→x

x→x

x→x

g(x)

g(x)

Cari lim tg

π x

(2 − x ).

x→2

2 − x

0 =lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

hlm.

x→2

x→2

π x

ctg 4

x→2

2 π x

Biarkan f (x)→ ∞, dan g (x)→ ∞ datang → x 0. Kemudian anda boleh melakukan ini:

lim (f (x) −g (x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x→ x0

x→ x0

x→ x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Biarkan f (x)→ 1, dan g (x)→ ∞, atau f (x)→ ∞, dan g (x)→ 0, atau f (x)→ 0, dan g (x)→ 0 pada → x 0.

Untuk mencari had bagi bentuk lim f (x) g (x), ingat semula sifat logaritma itu

x→ x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

Contoh. Cari lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .