Rn,
(MATEMATIK DALAM EKONOMI)

Penguraian vektor

Penguraian vektor a menjadi komponen - operasi menggantikan vektor a beberapa vektor lain ab, a2, a3, dsb., yang, apabila ditambah bersama, membentuk vektor awal a; dalam kes ini vektor db a2, a3, dsb. dipanggil komponen vektor a. Dengan kata lain, penguraian mana-mana...
(FIZIK)

Asas dan pangkat sistem vektor

Pertimbangkan sistem vektor (1.18) Subsistem bebas maksimum bagi sistem vektor(1.I8) ialah set separa vektor sistem ini yang memenuhi dua syarat: 1) vektor set ini adalah bebas linear; 2) sebarang vektor sistem (1.18) dinyatakan secara linear dalam sebutan vektor set ini....
(MATEMATIK DALAM EKONOMI)

Perwakilan vektor dalam sistem yang berbeza koordinat.

Pertimbangkan dua sistem koordinat rectilinear ortogon dengan set ort (i, j, k) dan (i j", k") dan mewakili vektor a di dalamnya. Mari kita bersyarat menganggap bahawa vektor primed sepadan dengan sistem baru e koordinat, dan tanpa pukulan - yang lama. Mari kita wakili vektor sebagai pengembangan di sepanjang paksi kedua-dua sistem lama dan baharu...

Penguraian vektor dalam asas ortogon

Pertimbangkan asas ruang Rn, di mana setiap vektor adalah ortogon kepada vektor asas yang lain: Tapak ortogon dikenali dan diwakili dengan baik pada satah dan dalam ruang (Rajah 1.6). Pangkalan jenis ini adalah mudah, pertama sekali, kerana koordinat pengembangan vektor sewenang-wenangnya berazam...
(MATEMATIK DALAM EKONOMI)

Vektor dan perwakilannya dalam sistem koordinat

Konsep vektor dikaitkan dengan tertentu kuantiti fizik, yang dicirikan oleh keamatan (magnitud) dan arah di angkasa. Kuantiti sedemikian adalah, sebagai contoh, daya yang bertindak ke atas badan bahan, kelajuan titik tertentu jasad ini, pecutan zarah material...
(MEKANIK MEDIA BERTERUSAN: TEORI STRES DAN MODEL ASAS)

Perwakilan analitik termudah bagi fungsi elips sewenang-wenangnya

Perwakilan fungsi elips sebagai jumlah unsur asas. Biarkan / (z) ialah fungsi elips bagi susunan s dengan tiang ringkas jjt, $s, terletak dalam segi selari bagi tempoh. Menandakan melalui bk sisa fungsi berkenaan dengan kutub, kita mempunyai 2 ?l = 0 (§ 1» ms 3, teorem ...
(PENGENALAN KEPADA TEORI FUNGSI PEMBOLEH UBAH KOMPLEKS)

L. 2-1 Konsep asas algebra vektor. Operasi linear pada vektor.

Penguraian vektor dari segi asas.

Konsep asas algebra vektor

Vektor ialah set semua segmen terarah yang mempunyai sama panjang dan hala tuju
.

sifat:

Operasi linear pada vektor

1.

Peraturan selari:

Dengan ummah dua vektor dan dipanggil vektor , keluar daripada asal usulnya yang sama dan menjadi pepenjuru bagi segi empat selari yang dibina pada vektor dan seperti di sisi.

Peraturan poligon:

Untuk membina jumlah sebarang bilangan vektor, anda perlu meletakkan permulaan vektor ke-2 pada penghujung sebutan pertama, permulaan yang ke-3 pada penghujung vektor ke-2, dan seterusnya. Vektor yang menutup hasil garis putus, ialah jumlahnya. Permulaannya bertepatan dengan permulaan yang pertama, dan pengakhirannya dengan penghujung yang terakhir.

sifat:

2.

Produk vektor setiap nombor , dipanggil vektor yang memenuhi syarat:
.

sifat:

3.

beza vektor dan vektor panggilan sama dengan jumlah vektor dan vektor yang bertentangan dengan vektor , iaitu
.

- hukum unsur bertentangan (vektor).

Penguraian vektor dari segi asas

Jumlah vektor ditentukan dengan cara yang unik
(sahaja ). Operasi terbalik, penguraian vektor kepada beberapa komponen, adalah samar-samar: Untuk menjadikannya tidak jelas, adalah perlu untuk menunjukkan arah di mana pengembangan vektor yang dipertimbangkan berlaku, atau, seperti yang mereka katakan, adalah perlu untuk menunjukkan asas.

Apabila menentukan asas, keperluan bukan koplanar dan bukan kolinear bagi vektor adalah penting. Untuk memahami maksud keperluan ini, adalah perlu untuk mempertimbangkan konsep pergantungan linear dan kebebasan linear bagi vektor.

Ungkapan sewenang-wenang bentuk: , dipanggil gabungan linear vektor
.

Gabungan linear beberapa vektor dipanggil remeh jika semua pekalinya sama dengan sifar.

vektor
dipanggil bergantung secara linear, jika terdapat gabungan linear bukan remeh bagi vektor ini bersamaan dengan sifar:
(1), dengan syarat
. Jika kesaksamaan (1) berlaku hanya untuk semua
serentak sama dengan sifar, kemudian bukan sifar vektor
kehendak bebas linear.

Mudah untuk dibuktikan: mana-mana dua vektor kolinear adalah bersandar secara linear, dan dua vektor bukan kolinear adalah bersandar secara linear.

Kita mulakan bukti dengan penegasan pertama.

Biarkan vektor dan kolinear. Mari kita tunjukkan bahawa mereka bergantung secara linear. Sesungguhnya, jika mereka adalah kolinear, maka mereka berbeza antara satu sama lain hanya dengan faktor berangka, i.e.
, Akibatnya
. Oleh kerana gabungan linear yang terhasil jelas bukan remeh dan sama dengan "0", maka vektor dan bergantung secara linear.

Pertimbangkan sekarang dua vektor bukan kolinear dan . Mari kita buktikan bahawa mereka bebas secara linear. Kami membina bukti dengan percanggahan.

Kami menganggap bahawa mereka bergantung secara linear. Maka mesti wujud gabungan linear bukan remeh
. Mari kita berpura-pura itu
, kemudian
. Kesamaan yang terhasil bermakna bahawa vektor dan adalah kolinear, bertentangan dengan andaian awal kami.

Begitu juga, seseorang boleh membuktikan: mana-mana tiga vektor koplanar adalah bersandar secara linear, dan dua vektor bukan koplanar adalah tidak bersandar secara linear.

Kembali kepada konsep asas dan kepada masalah mengembangkan vektor dalam asas tertentu, kita boleh mengatakan bahawa asas pada satah dan dalam angkasa terbentuk daripada satu set vektor bebas linear. Konsep asas sedemikian adalah umum, kerana ia boleh digunakan untuk ruang daripada sebarang bilangan dimensi.

Ungkapan seperti:
, dipanggil penguraian vektor oleh vektor ,…,.

Jika kita menganggap asas dalam ruang tiga dimensi, maka penguraian vektor asas
akan jadi
, di mana
-koordinat vektor.

Dalam masalah mengembangkan vektor sewenang-wenang dalam beberapa asas, pernyataan berikut adalah sangat penting: sebarang vektorboleh diuraikan dengan cara yang unik dalam asas yang diberikan
. Dengan kata lain, koordinat
untuk sebarang vektor relatif kepada asas
ditakrifkan dengan jelas.

Pengenalan asas di angkasa dan di atas satah memungkinkan untuk diberikan kepada setiap vektor tertib tiga kali ganda (pasangan) nombor - koordinatnya. Keputusan yang sangat penting ini, yang memungkinkan untuk mewujudkan hubungan antara objek geometri dan nombor, memungkinkan untuk menerangkan dan mengkaji secara analitik kedudukan dan pergerakan objek fizikal.

Gabungan titik dan asas dipanggil sistem koordinat.

Jika vektor yang membentuk asas adalah unit dan berserenjang berpasangan, maka sistem koordinat dipanggil segi empat tepat, dan asas ortonormal.

L. 2-2 Hasil darab vektor

Penguraian vektor dari segi asas

Pertimbangkan vektor
, diberikan oleh koordinatnya:
.

- komponen vektor dalam arah vektor asas
.

Ungkapan bentuk
dipanggil penguraian vektor asas
.

Dengan cara yang sama, seseorang boleh terurai asas
vektor
:

.

Kosinus sudut yang dibentuk oleh vektor yang dipertimbangkan dengan vektor asas
dipanggil kosinus arah

;
;
.

Hasil darab skalar bagi vektor.

Hasil darab skalar dua vektor dan dipanggil nombor yang sama dengan hasil darab modul vektor ini dengan kosinus sudut di antara mereka

Hasil darab skalar dua vektor boleh dianggap sebagai hasil darab modulus salah satu vektor ini dan unjuran ortogon bagi vektor lain ke arah yang pertama.
.

sifat:

Jika koordinat vektor diketahui
dan
, maka, setelah mengembangkan vektor dari segi asas
:
dan
, cari

, kerana
,
, kemudian

.

.

Keadaan serenjang vektor:
.

Keadaan kolineariti untuk rektor:
.

Hasil silang vektor

atau

seni vektor setiap vektor vektor sedemikian dipanggil
, yang memenuhi syarat:

sifat:

Sifat algebra yang dipertimbangkan memungkinkan untuk mencari ungkapan analitikal untuk hasil silang dari segi koordinat vektor juzuk dalam asas ortonormal.

Diberi:
dan
.

kerana ,
,
,
,
,
,
, kemudian

. Formula ini boleh ditulis lebih pendek, dalam bentuk penentu urutan ketiga:

.

Hasil campuran vektor

Hasil campuran tiga vektor ,dan dipanggil nombor yang sama dengan hasil vektor
, didarab secara skalar dengan vektor .

Persamaan berikut adalah benar:
, jadi produk campuran ditulis
.

Seperti berikut dari definisi, hasil produk campuran tiga vektor ialah nombor. Nombor ini mempunyai makna geometri yang jelas:

Modul produk campuran
adalah sama dengan isipadu parallelepiped yang dibina pada dikurangkan kepada permulaan biasa vektor ,dan .

Ciri produk campuran:

Jika vektor ,,diberikan dalam asas ortonormal
koordinat mereka, pengiraan produk campuran dijalankan mengikut formula

.

Sesungguhnya, jika
, kemudian

;
;
, kemudian
.

Jika vektor ,,adalah coplanar, maka hasil vektor
berserenjang dengan vektor . Dan sebaliknya, jika
, maka isipadu parallelepiped adalah sifar, dan ini hanya mungkin jika vektor adalah koplanar (bersandar secara linear).

Oleh itu tiga vektor adalah koplanar jika dan hanya jika hasil campurannya adalah sifar.

Asas ruang memanggil sistem vektor sedemikian di mana semua vektor lain ruang boleh diwakili sebagai gabungan linear vektor yang termasuk dalam asas.
Dalam amalan, ini semua agak mudah. Asas, sebagai peraturan, diperiksa pada satah atau di angkasa, dan untuk ini anda perlu mencari penentu matriks urutan kedua, ketiga, yang terdiri daripada koordinat vektor. Ditulis secara skematik di bawah keadaan di mana vektor menjadi asas

Kepada kembangkan vektor b dari segi vektor asas
e,e...,e[n] adalah perlu untuk mencari pekali x, ..., x[n] yang mana gabungan linear vektor e,e...,e[n] adalah sama dengan vektor itu b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Untuk melakukan ini, persamaan vektor harus ditukar kepada sistem persamaan linear dan mencari penyelesaian. Ia juga agak mudah untuk dilaksanakan.
Pekali yang ditemui x, ..., x[n] dipanggil koordinat bagi vektor b dalam asas e,e...,e[n].
Mari kita beralih ke bahagian praktikal topik.

Penguraian vektor dalam vektor asas

Tugasan 1. Periksa sama ada vektor a1, a2 membentuk asas pada satah

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Penyelesaian: Susun penentu daripada koordinat vektor dan hitungkannya

Penentu tidak sama dengan sifar, Akibatnya vektor adalah bebas secara linear, yang bermaksud ia membentuk asas.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Penyelesaian: Kami mengira penentu yang terdiri daripada vektor

Penentu adalah sama dengan 13 (tidak sama dengan sifar) - dari ini ia mengikuti bahawa vektor a1, a2 adalah asas pada satah.

---=================---

Pertimbangkan contoh tipikal daripada program IAPM dalam disiplin "Higher Mathematics".

Tugasan 2. Tunjukkan bahawa vektor a1, a2, a3 membentuk asas ruang vektor tiga dimensi, dan kembangkan vektor b dalam asas ini (apabila menyelesaikan sistem linear persamaan algebra gunakan kaedah Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Penyelesaian: Pertama, pertimbangkan sistem vektor a1, a2, a3 dan semak penentu matriks A

dibina pada vektor selain sifar. Matriks mengandungi satu elemen sifar, jadi adalah lebih sesuai untuk mengira penentu sebagai jadual untuk lajur pertama atau baris ketiga.

Hasil daripada pengiraan, kami mendapati bahawa penentu adalah berbeza daripada sifar, oleh itu vektor a1, a2, a3 adalah bebas linear.
Mengikut definisi, vektor membentuk asas dalam R3. Mari kita tuliskan jadual vektor b dalam sebutan asas

Vektor adalah sama apabila koordinat yang sepadan adalah sama.
Oleh itu, daripada persamaan vektor kita memperoleh sistem persamaan linear

Selesaikan SLAE kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, kami menulis sistem persamaan dalam bentuk

Penentu utama SLAE sentiasa sama dengan penentu yang terdiri daripada vektor asas

Oleh itu, dalam amalan ia tidak dikira dua kali. Untuk mencari penentu tambahan, kami meletakkan lajur istilah bebas sebagai ganti setiap lajur penentu utama. Penentu dikira mengikut peraturan segi tiga



Gantikan penentu yang ditemui ke dalam formula Cramer



Jadi, pengembangan vektor b dari segi asas mempunyai bentuk b=-4a1+3a2-a3 . Koordinat bagi vektor b dalam asas a1, a2, a3 ialah (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Penyelesaian: Kami menyemak vektor untuk asas - kami menyusun penentu dari koordinat vektor dan mengiranya

Oleh itu, penentu tidak sama dengan sifar vektor membentuk asas dalam ruang. Ia kekal untuk mencari jadual vektor b dari segi asas yang diberikan. Untuk melakukan ini, kami menulis persamaan vektor

dan bertukar kepada sistem persamaan linear

Kami menulis persamaan matriks

Seterusnya, untuk formula Cramer, kita dapati penentu tambahan



Menggunakan Formula Cramer



Jadi vektor yang diberi b mempunyai jadual melalui dua vektor asas b=-2a1+5a3, dan koordinatnya dalam asas ialah b(-2,0, 5).

Kebergantungan linear dan kemerdekaan linear vektor.
Asas vektor. Sistem koordinat Affine

Terdapat troli dengan coklat di khalayak, dan hari ini setiap pelawat akan mendapat pasangan manis - geometri analitik dengan algebra linear. Artikel ini akan merangkumi dua bahagian sekaligus. matematik yang lebih tinggi, dan kita akan melihat cara mereka bergaul dalam satu pembalut. Rehat, makan Twix! ... sial, baik, berdebat bukan-bukan. Walaupun okay, saya tidak akan skor, akhirnya, perlu ada sikap positif untuk belajar.

Kebergantungan linear bagi vektor, kebebasan linear bagi vektor, asas vektor dan istilah lain bukan sahaja mempunyai tafsiran geometri, tetapi, di atas semua, makna algebra. Konsep "vektor" dari sudut pandangan algebra linear adalah jauh daripada selalunya vektor "biasa" yang boleh kita gambarkan pada satah atau di angkasa. Anda tidak perlu melihat jauh untuk mendapatkan bukti, cuba lukis vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca yang saya baru pergi ke Gismeteo untuk: - suhu dan Tekanan atmosfera masing-masing. Contoh, tentu saja, tidak betul dari sudut pandangan sifat ruang vektor, tetapi, bagaimanapun, tiada siapa yang melarang memformalkan parameter ini sebagai vektor. Nafas musim luruh...

Tidak, saya tidak akan memuatkan anda dengan teori, linear ruang vektor, tugasnya ialah faham definisi dan teorem. Istilah baharu (pergantungan linear, kebebasan, gabungan linear, asas, dll.) digunakan untuk semua vektor dari sudut algebra, tetapi contoh akan diberikan geometri. Oleh itu, semuanya mudah, boleh diakses dan visual. Sebagai tambahan kepada masalah geometri analitik, kami juga akan mempertimbangkan beberapa tugas biasa algebra. Untuk menguasai bahan, adalah dinasihatkan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka dan Bagaimana untuk mengira penentu?

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor satah.
Dasar satah dan sistem koordinat affine

Pertimbangkan satah meja komputer anda (hanya meja, meja sisi katil, lantai, siling, apa sahaja yang anda suka). Tugas itu akan terdiri daripada tindakan berikut:

1) Pilih asas satah. Secara kasarnya, permukaan meja mempunyai panjang dan lebar, jadi secara intuitif jelas bahawa dua vektor diperlukan untuk membina asas. Satu vektor jelas tidak mencukupi, tiga vektor terlalu banyak.

2) Berdasarkan asas yang dipilih tetapkan sistem koordinat(grid koordinat) untuk menetapkan koordinat kepada semua item di atas meja.

Jangan terkejut, pada mulanya penjelasan akan di jari. Lebih-lebih lagi, pada anda. Sila letak jari telunjuk tangan kiri di tepi meja supaya dia melihat monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang letak jari kecil tangan kanan di pinggir meja dengan cara yang sama - supaya ia diarahkan pada skrin monitor. Ini akan menjadi vektor. Senyum, awak nampak hebat! Apa yang boleh dikatakan tentang vektor? Vektor Data kolinear, yang bermaksud secara linear diungkapkan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , di manakah nombor bukan sifar.

Anda boleh melihat gambar tindakan ini dalam pelajaran. Vektor untuk boneka , di mana saya menerangkan peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor.

Adakah jari anda akan menetapkan asas pada satah meja komputer? Jelas sekali tidak. Vektor kolinear bergerak ke sana ke mari bersendirian arah, manakala satah mempunyai panjang dan lebar.

Vektor sedemikian dipanggil bergantung secara linear.

Rujukan: Perkataan "linear", "linear" merujuk kepada fakta bahawa dalam persamaan matematik, ungkapan tidak mempunyai segi empat sama, kubus, kuasa lain, logaritma, sinus, dsb. Terdapat hanya ungkapan linear (darjah 1) dan kebergantungan.

Dua vektor satah bergantung secara linear kemudian dan hanya kemudian apabila mereka kolinear.

Silangkan jari anda di atas meja supaya terdapat sebarang sudut di antara mereka kecuali 0 atau 180 darjah. Dua vektor satahsecara linear bukan adalah bergantung jika dan hanya jika ia bukan kolinear. Jadi, asas diterima. Tidak perlu malu bahawa asasnya ternyata "serong" dengan vektor tidak tegak dengan pelbagai panjang. Tidak lama lagi kita akan melihat bahawa bukan sahaja sudut 90 darjah sesuai untuk pembinaannya, dan bukan sahaja vektor unit yang sama panjang

mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara diperluas dari segi asas:
, di mana - nombor nyata. Nombor dipanggil koordinat vektor dalam asas ini.

Mereka juga berkata demikian vektordibentangkan dalam borang gabungan linear vektor asas. Iaitu, ungkapan itu dipanggil penguraian vektorasas atau gabungan linear vektor asas.

Sebagai contoh, seseorang boleh mengatakan bahawa vektor dikembangkan dalam asas ortonormal satah, atau seseorang boleh mengatakan bahawa ia diwakili sebagai gabungan linear vektor.

Jom rumuskan definisi asas secara rasmi: asas kapal terbang ialah sepasang vektor bebas linear (bukan kolinear), , di mana mana-mana vektor satah ialah gabungan linear bagi vektor asas.

Perkara penting dalam definisi ialah fakta bahawa vektor diambil dalam susunan tertentu. pangkalan - ia adalah dua sepenuhnya asas yang berbeza! Seperti yang mereka katakan, jari kelingking tangan kiri tidak boleh digerakkan ke tempat jari kelingking tangan kanan.

Kami mengetahui asasnya, tetapi ia tidak mencukupi untuk menetapkan grid koordinat dan menetapkan koordinat kepada setiap item di meja komputer anda. Kenapa tak cukup? Vektor adalah percuma dan berkeliaran di seluruh pesawat. Jadi bagaimana anda menetapkan koordinat kepada titik-titik kecil meja kotor yang tinggal dari hujung minggu yang liar? Titik permulaan diperlukan. Dan titik rujukan sedemikian adalah titik yang biasa kepada semua orang - asal usul koordinat. Memahami sistem koordinat:

Saya akan mulakan dengan sistem "sekolah". Sudah dalam pelajaran pengenalan Vektor untuk boneka Saya menyerlahkan beberapa perbezaan antara sistem koordinat segi empat tepat dan asas ortonormal. Berikut adalah gambar standard:

Apabila bercakap tentang sistem koordinat segi empat tepat, maka selalunya ia bermaksud asal usul, paksi koordinat dan skala di sepanjang paksi. Cuba taip "sistem koordinat segi empat tepat" dalam enjin carian, dan anda akan melihat bahawa banyak sumber akan memberitahu anda tentang paksi koordinat yang biasa dari gred 5-6 dan cara merancang titik pada satah.

Sebaliknya, nampaknya begitu sistem segi empat tepat koordinat boleh ditentukan dari segi asas ortonormal . Dan ia hampir. Perkataannya seperti ini:

asal usul, dan ortonormal set asas Sistem koordinat Cartesan satah . Iaitu, sistem koordinat segi empat tepat pasti ditakrifkan oleh satu titik dan dua unit vektor ortogon. Itulah sebabnya, anda lihat lukisan yang saya berikan di atas - dalam masalah geometri selalunya (tetapi tidak selalu) lukis kedua-dua vektor dan paksi koordinat.

Saya rasa semua orang faham bahawa dengan bantuan titik (asal) dan asas ortonormal SEBARANG TITIK pesawat dan SEBARANG VEKTOR pesawat koordinat boleh diberikan. Secara kiasan, "segala-galanya di dalam pesawat boleh dinomborkan."

Adakah vektor koordinat mestilah unit? Tidak, mereka boleh mempunyai panjang bukan sifar sewenang-wenangnya. Pertimbangkan satu titik dan dua vektor ortogon dengan panjang bukan sifar arbitrari:

Asas sedemikian dipanggil ortogon. Asal koordinat dengan vektor mentakrifkan grid koordinat, dan mana-mana titik satah, mana-mana vektor mempunyai koordinat sendiri dalam asas yang diberikan. Sebagai contoh, atau. Kesulitan yang jelas ialah vektor koordinat dalam kes am mempunyai panjang yang berbeza selain daripada kesatuan. Jika panjangnya sama dengan satu, maka asas ortonormal biasa diperolehi.

! Nota : dalam asas ortogon, dan juga di bawah dalam asas affine unit satah dan ruang di sepanjang paksi dipertimbangkan BERSYARAT. Sebagai contoh, satu unit pada absis mengandungi 4 cm, satu unit pada ordinat mengandungi 2 cm. Maklumat ini cukup untuk menukar koordinat "tidak standard" kepada "sentimeter biasa kami" jika perlu.

Dan soalan kedua, yang sebenarnya telah dijawab - adakah sudut antara vektor asas semestinya sama dengan 90 darjah? Tidak! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor asas mestilah hanya bukan kolinear. Oleh itu, sudut boleh menjadi apa-apa kecuali 0 dan 180 darjah.

Satu titik di atas kapal terbang dipanggil asal usul, dan bukan kolinear vektor, , set sistem koordinat affine pesawat :

Kadangkala sistem koordinat ini dipanggil serong sistem. Titik dan vektor ditunjukkan sebagai contoh dalam lukisan:

Seperti yang anda fahami, sistem koordinat affine adalah kurang mudah, formula untuk panjang vektor dan segmen, yang kami pertimbangkan dalam bahagian kedua pelajaran, tidak berfungsi di dalamnya. Vektor untuk boneka , banyak formula lazat berkaitan dengan hasil darab skalar bagi vektor . Tetapi peraturan untuk menambah vektor dan mendarabkan vektor dengan nombor adalah sah, formula pembahagian segmen dalam hal ini, serta beberapa jenis tugasan lain yang akan kita lihat sebentar lagi.

Dan kesimpulannya ialah kes tertentu yang paling mudah sistem affine koordinat ialah sistem segi empat tepat Cartesian. Oleh itu, dia, miliknya, paling kerap perlu dilihat. ... Walau bagaimanapun, segala-galanya dalam kehidupan ini adalah relatif - terdapat banyak situasi di mana ia sesuai untuk mempunyai serong (atau yang lain, sebagai contoh, polar) sistem koordinat. Ya, dan humanoid sistem sedemikian mungkin terasa =)

Mari kita beralih ke bahagian praktikal. Semua tugasan pelajaran ini adalah sah untuk sistem koordinat segi empat tepat dan untuk kes afin am. Tidak ada yang rumit di sini, semua bahan tersedia walaupun untuk budak sekolah.

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor satah?

Perkara biasa. Untuk dua vektor satah adalah kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa koordinat masing-masing adalah berkadar.Pada asasnya, ini ialah penghalusan koordinat demi koordinat bagi perhubungan yang jelas .

Contoh 1

a) Periksa sama ada vektor adalah kolinear .
b) Adakah vektor membentuk asas? ?

Keputusan:
a) Ketahui sama ada wujud untuk vektor pekali perkadaran, supaya kesamaan dipenuhi:

Saya pasti akan memberitahu anda tentang versi "foppish" aplikasi peraturan ini, yang berfungsi dengan baik dalam amalan. Ideanya adalah untuk segera membuat perkadaran dan melihat sama ada ia betul:

Mari kita buat perkadaran daripada nisbah koordinat vektor yang sepadan:

Kami memendekkan:
, oleh itu koordinat yang sepadan adalah berkadar, oleh itu,

Hubungan itu boleh dibuat dan sebaliknya, ini adalah pilihan yang setara:

Untuk ujian kendiri, seseorang boleh menggunakan fakta itu vektor kolinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. AT kes ini terdapat persamaan . Kesahihannya boleh disemak dengan mudah melalui operasi asas dengan vektor:

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Kami memeriksa vektor untuk keselarasan . Mari buat sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , daripada persamaan kedua ia mengikuti bahawa , yang bermaksud, sistem tidak konsisten (tiada penyelesaian). Oleh itu, koordinat vektor yang sepadan adalah tidak berkadar.

Pengeluaran: vektor adalah bebas linear dan membentuk asas.

Versi ringkas penyelesaian kelihatan seperti ini:

Susun perkadaran daripada koordinat vektor yang sepadan :
, oleh itu, vektor ini bebas secara linear dan membentuk asas.

Biasanya penyemak tidak menolak pilihan ini, tetapi masalah timbul dalam kes di mana beberapa koordinat bersamaan dengan sifar. seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana untuk bekerja melalui perkadaran di sini? (Sungguh, anda tidak boleh membahagi dengan sifar). Atas sebab inilah saya memanggil penyelesaian yang dipermudahkan "foppish".

Jawapan: a) , b) bentuk.

Kecil contoh kreatif untuk penyelesaian bebas:

Contoh 2

Pada nilai berapa vektor parameter akan menjadi kolinear?

Dalam larutan sampel, parameter ditemui melalui perkadaran.

Terdapat cara algebra yang elegan untuk menyemak vektor untuk keselarasan. Mari kita sistematikkan pengetahuan kita dan hanya menambahnya sebagai titik kelima:

Bagi dua vektor satah, pernyataan berikut adalah setara:

2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan kolinear;

+ 5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah bukan sifar.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut adalah setara:
1) vektor bergantung secara linear;
2) vektor tidak membentuk asas;
3) vektor adalah kolinear;
4) vektor boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
+ 5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah sama dengan sifar.

Saya sangat-sangat berharap bahawa pada masa ini anda sudah memahami semua terma dan kenyataan yang telah ditemui.

Mari kita lihat lebih dekat pada perkara baharu, kelima: dua vektor satah adalah kolinear jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar:. Untuk menggunakan ciri ini, sudah tentu, anda perlu boleh cari penentu .

Kami akan membuat keputusan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Kirakan penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor :
, jadi vektor ini adalah kolinear.

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Mari kita mengira penentu yang terdiri daripada koordinat vektor :
, maka vektor adalah bebas linear dan membentuk asas.

Jawapan: a) , b) bentuk.

Ia kelihatan lebih padat dan lebih cantik daripada penyelesaian dengan perkadaran.

Dengan bantuan bahan yang dipertimbangkan, adalah mungkin untuk menubuhkan bukan sahaja kolinearitas vektor, tetapi juga untuk membuktikan keselarian segmen, garis lurus. Pertimbangkan beberapa masalah dengan bentuk geometri tertentu.

Contoh 3

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa sisi empat ialah segiempat selari.

Bukti: Tidak perlu membina lukisan dalam masalah itu, kerana penyelesaiannya adalah analitikal semata-mata. Ingat takrif segi empat selari:
segi empat selari Segiempat dipanggil, di mana sisi bertentangan adalah selari berpasangan.

Oleh itu, adalah perlu untuk membuktikan:
1) keselarian sisi bertentangan dan;
2) keselarian sisi bertentangan dan .

Kami buktikan:

1) Cari vektor:

2) Cari vektor:

Hasilnya ialah vektor yang sama ("mengikut sekolah" - vektor yang sama). Kolineariti agak jelas, tetapi lebih baik untuk membuat keputusan dengan betul, dengan susunannya. Kirakan penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor:
, jadi vektor ini adalah kolinear, dan .

Pengeluaran: sisi bertentangan segiempat adalah selari berpasangan, jadi ia adalah segi empat selari mengikut definisi. Q.E.D.

Angka yang lebih baik dan berbeza:

Contoh 4

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa sisi empat ialah trapezium.

Untuk rumusan bukti yang lebih ketat, sudah tentu lebih baik untuk mendapatkan definisi trapezoid, tetapi cukup untuk mengingati rupanya.

Ini adalah tugas untuk keputusan bebas. Penyelesaian Lengkap pada akhir pelajaran.

Dan kini tiba masanya untuk perlahan-lahan bergerak dari pesawat ke angkasa:

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor ruang?

Peraturannya sangat serupa. Untuk dua vektor ruang menjadi kolinear, perlu dan mencukupi supaya koordinat masing-masing adalah berkadar.

Contoh 5

Ketahui sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:

a) ;
b)
dalam)

Keputusan:
a) Semak sama ada terdapat pekali perkadaran untuk koordinat vektor yang sepadan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud vektor bukan kolinear.

"Diringkaskan" dibuat dengan menyemak perkadaran. Dalam kes ini:
– koordinat yang sepadan tidak berkadar, yang bermaksud bahawa vektor tidak kolinear.

Jawapan: vektor bukan kolinear.

b-c) Ini adalah mata untuk keputusan bebas. Cubalah dalam dua cara.

Terdapat kaedah untuk menyemak vektor ruang untuk keselarasan dan melalui penentu tertib ketiga, kaedah ini diliputi dalam artikel Hasil silang vektor .

Begitu juga dengan kes satah, alat yang dipertimbangkan boleh digunakan untuk mengkaji keselarian segmen dan garisan ruang.

Selamat datang ke bahagian kedua:

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor ruang tiga dimensi.
Sistem koordinat asas ruang dan affine

Banyak ketetapan yang telah kami pertimbangkan di dalam pesawat juga akan sah untuk ruang angkasa. Saya cuba meminimumkan ringkasan teori, kerana bahagian terbesar maklumat telah dikunyah. Walau bagaimanapun, saya mengesyorkan agar anda membaca dengan teliti bahagian pengenalan, kerana istilah dan konsep baharu akan muncul.

Sekarang, bukannya satah meja komputer, mari kita periksa ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat asasnya. Seseorang kini berada di dalam rumah, seseorang berada di luar rumah, tetapi dalam apa jua keadaan, kita tidak boleh lari daripada tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh itu, tiga vektor spatial diperlukan untuk membina asas. Satu atau dua vektor tidak mencukupi, yang keempat adalah berlebihan.

Dan sekali lagi kami memanaskan pada jari. Sila angkat tangan anda dan bentangkan ke dalam sisi yang berbeza ibu jari, telunjuk dan jari tengah. Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeza, mempunyai panjang yang berbeza dan mempunyai sudut yang berbeza antara mereka. Tahniah, asas ruang tiga dimensi sudah siap! By the way, anda tidak perlu menunjukkan perkara ini kepada guru, tidak kira bagaimana anda memutar jari anda, tetapi anda tidak boleh lari daripada definisi =)

Seterusnya, mari kita bertanya isu penting, sama ada mana-mana tiga vektor membentuk asas ruang tiga dimensi ? Sila tekan tiga jari dengan kuat pada bahagian atas meja komputer. Apa yang berlaku? Tiga vektor terletak dalam satah yang sama, dan, secara kasarnya, kami telah kehilangan salah satu ukuran - ketinggian. Vektor tersebut adalah coplanar dan, agak jelas, asas ruang tiga dimensi tidak dicipta.

Perlu diingatkan bahawa vektor coplanar tidak perlu terletak dalam satah yang sama, mereka boleh masuk satah selari(jangan buat dengan jari, cuma Salvador Dali yang lepas macam tu =)).

Definisi: vektor dipanggil coplanar jika wujud satah yang selari dengannya. Di sini adalah logik untuk menambah bahawa jika satah sedemikian tidak wujud, maka vektor tidak akan menjadi koplanar.

Tiga vektor koplanar sentiasa bergantung secara linear, iaitu, mereka dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. Untuk kesederhanaan, sekali lagi bayangkan bahawa mereka terletak dalam satah yang sama. Pertama, vektor bukan sahaja koplanar, tetapi juga boleh menjadi kolinear, maka sebarang vektor boleh dinyatakan melalui mana-mana vektor. Dalam kes kedua, jika, sebagai contoh, vektor bukan kolinear, maka vektor ketiga dinyatakan melaluinya dengan cara yang unik: (dan mengapa mudah diteka dari bahan bahagian sebelumnya).

Begitu juga sebaliknya: tiga vektor bukan koplanar sentiasa bebas linear, iaitu, mereka sama sekali tidak dinyatakan melalui satu sama lain. Dan, jelas sekali, hanya vektor sedemikian boleh membentuk asas ruang tiga dimensi.

Definisi: Asas ruang tiga dimensi dipanggil tiga kali ganda vektor bebas linear (bukan koplanar), diambil mengikut susunan tertentu, manakala sebarang vektor ruang satu-satunya cara mengembang dalam asas yang diberikan , di manakah koordinat vektor dalam asas yang diberikan

Sebagai peringatan, anda juga boleh mengatakan bahawa vektor diwakili sebagai gabungan linear vektor asas.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang sama seperti untuk kes rata, satu titik dan mana-mana tiga linear vektor bebas:

asal usul, dan bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan tertentu, set sistem koordinat affine bagi ruang tiga dimensi :

Sudah tentu, grid koordinat adalah "serong" dan menyusahkan, tetapi, bagaimanapun, sistem koordinat yang dibina membolehkan kita pasti tentukan koordinat mana-mana vektor dan koordinat mana-mana titik dalam ruang. Sama seperti pesawat, dalam sistem koordinat affine ruang, beberapa formula yang telah saya nyatakan tidak akan berfungsi.

Kes khas yang paling biasa dan mudah untuk sistem koordinat affine, seperti yang semua orang boleh meneka, ialah sistem koordinat ruang segi empat tepat:

titik dalam ruang dipanggil asal usul, dan ortonormal set asas Sistem koordinat Cartesan ruang . gambar biasa:

Sebelum meneruskan tugas praktikal, kami menyusun semula maklumat:

Bagi tiga vektor ruang, pernyataan berikut adalah setara:
1) vektor adalah bebas linear;
2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan coplanar;
4) vektor tidak boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah berbeza daripada sifar.

Kenyataan bertentangan, saya fikir, boleh difahami.

Kebergantungan linear / kebebasan vektor ruang secara tradisional disemak menggunakan penentu (item 5). Baki tugas amali akan mempunyai aksara algebra yang jelas. Sudah tiba masanya untuk menggantung kayu geometri pada paku dan menggunakan kayu besbol algebra linear:

Tiga vektor ruang adalah koplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar: .

Saya menarik perhatian anda kepada nuansa teknikal yang kecil: koordinat vektor boleh ditulis bukan sahaja dalam lajur, tetapi juga dalam baris (nilai penentu tidak akan berubah dari ini - lihat di bawah). sifat-sifat penentu). Tetapi ia lebih baik dalam lajur, kerana ia lebih bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa masalah praktikal.

Bagi pembaca yang terlupa sedikit kaedah untuk mengira penentu, atau mungkin mereka tidak berorientasikan sama sekali, saya mengesyorkan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana untuk mengira penentu?

Contoh 6

Semak sama ada vektor berikut membentuk asas ruang tiga dimensi:

Keputusan: Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian datang kepada pengiraan penentu.

a) Kira penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor (penentu dikembangkan pada baris pertama):

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bebas secara linear (bukan coplanar) dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

Jawab: vektor ini membentuk asas

b) Ini adalah titik untuk keputusan bebas. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

bertemu dan tugasan kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter apakah vektor akan menjadi koplanar?

Keputusan: Vektor adalah coplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar:

Pada asasnya, ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan dengan penentu. Kami terbang ke sifar seperti layang-layang ke jerboas - paling menguntungkan untuk membuka penentu di baris kedua dan segera menyingkirkan tolak:

Kami menjalankan pemudahan selanjutnya dan mengurangkan perkara itu kepada yang paling mudah persamaan linear:

Jawab: pada

Ia adalah mudah untuk menyemak di sini, untuk ini anda perlu menggantikan nilai yang terhasil ke dalam penentu asal dan pastikan bahawa dengan membukanya semula.

Akhirnya, pertimbangkan satu lagi tugas biasa, yang lebih bersifat algebra dan secara tradisinya termasuk dalam perjalanan algebra linear. Ia adalah perkara biasa sehingga ia memerlukan topik yang berasingan:

Buktikan bahawa 3 vektor membentuk asas bagi ruang tiga dimensi
dan cari koordinat bagi vektor ke-4 dalam asas yang diberi

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas ruang tiga dimensi dan cari koordinat vektor dalam asas ini.

Keputusan: Kita uruskan dulu syaratnya. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang anda lihat, mereka sudah mempunyai koordinat dalam beberapa asas. Apa asasnya - kami tidak berminat. Dan perkara berikut adalah menarik: tiga vektor mungkin terbentuk asas baru. Dan langkah pertama adalah sama sekali dengan penyelesaian Contoh 6, adalah perlu untuk memeriksa sama ada vektor benar-benar bebas linear:

Kirakan penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor:

, maka vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

! penting : koordinat vektor semestinya menulis ke dalam lajur penentu, bukan rentetan. Jika tidak, akan berlaku kekeliruan dalam algoritma penyelesaian selanjutnya.