Cari jangkaan tikar bagi pembolehubah rawak. Formula asas untuk jangkaan matematik

Nilai yang dijangkakan dan serakan - ciri berangka yang paling biasa digunakan pembolehubah rawak. Mereka mencirikan ciri pengedaran yang paling penting: kedudukan dan tahap penyebarannya. Dalam banyak masalah amalan, penerangan lengkap dan menyeluruh tentang pembolehubah rawak - hukum pengedaran - sama ada tidak boleh diperolehi sama sekali, atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kes ini, ia terhad kepada penerangan anggaran pembolehubah rawak yang menggunakan ciri berangka.

Jangkaan matematik sering dirujuk sebagai nilai purata pembolehubah rawak. Serakan pembolehubah rawak adalah ciri serakan, serakan pembolehubah rawak di sekeliling jangkaan matematiknya.

Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret

Mari kita mendekati konsep jangkaan matematik, mula-mula meneruskan dari tafsiran mekanikal taburan pembolehubah rawak diskret. Biarkan jisim unit diedarkan di antara titik-titik paksi-x x1 , x 2 , ..., x n, dan setiap titik bahan mempunyai jisim yang sepadan dengannya hlm1 , hlm 2 , ..., hlm n. Ia dikehendaki memilih satu titik pada paksi-x, mencirikan kedudukan keseluruhan sistem mata material, dengan mengambil kira jisim mereka. Adalah wajar untuk mengambil pusat jisim sistem titik bahan sebagai titik sedemikian. Ini ialah purata wajaran pembolehubah rawak X, di mana absis setiap titik xi masuk dengan "berat" sama dengan kebarangkalian yang sepadan. Nilai min pembolehubah rawak yang diperolehi X dipanggil jangkaan matematiknya.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkalian nilai ini:

Contoh 1 Loteri menang-menang telah dianjurkan. Terdapat 1000 kemenangan, 400 daripadanya adalah 10 rubel setiap satu. 300 - 20 rubel setiap satu 200 - 100 rubel setiap satu. dan 100 - 200 rubel setiap satu. Apa saiz purata kemenangan bagi seseorang yang membeli satu tiket?

Penyelesaian. Kami mendapati pulangan purata jika jumlah keseluruhan kemenangan, yang sama dengan 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 rubel, dibahagikan dengan 1000 (jumlah kemenangan). Kemudian kita mendapat 50000/1000 = 50 rubel. Tetapi ungkapan untuk mengira keuntungan purata juga boleh diwakili dalam bentuk berikut:

Sebaliknya, di bawah syarat ini, jumlah kemenangan adalah pembolehubah rawak yang boleh mengambil nilai 10, 20, 100 dan 200 rubel. dengan kebarangkalian sama dengan 0.4, masing-masing; 0.3; 0.2; 0.1. Oleh itu, pulangan purata yang dijangkakan adalah sama dengan jumlah produk saiz kemenangan dengan kebarangkalian untuk mendapatkannya.

Contoh 2 Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baru. Dia akan menjual buku itu dengan harga 280 rubel, di mana 200 akan diberikan kepadanya, 50 ke kedai buku, dan 30 kepada penulis. Jadual memberikan maklumat tentang kos penerbitan buku dan kemungkinan menjual sejumlah salinan buku tersebut.

Cari keuntungan jangkaan penerbit.

Penyelesaian. Pembolehubah rawak "keuntungan" adalah sama dengan perbezaan antara pendapatan daripada jualan dan kos kos. Sebagai contoh, jika 500 salinan buku dijual, maka pendapatan daripada jualan ialah 200 * 500 = 100,000, dan kos penerbitan ialah 225,000 rubel. Oleh itu, penerbit menghadapi kerugian sebanyak 125,000 rubel. Jadual berikut meringkaskan nilai jangkaan pembolehubah rawak - keuntungan:

Nombor	Untung xi	Kebarangkalian hlmi	xi hlm i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Jumlah:		1,00	25000

Oleh itu, kami memperoleh jangkaan matematik keuntungan penerbit:

Contoh 3 Peluang untuk memukul dengan satu pukulan hlm= 0.2. Tentukan penggunaan cengkerang yang memberikan jangkaan matematik bilangan pukulan bersamaan dengan 5.

Penyelesaian. Daripada formula jangkaan yang sama yang telah kami gunakan setakat ini, kami nyatakan x- penggunaan cengkerang:

Contoh 4 Tentukan jangkaan matematik pembolehubah rawak x bilangan pukulan dengan tiga pukulan, jika kebarangkalian pukulan dengan setiap pukulan hlm = 0,4 .

Petunjuk: cari kebarangkalian nilai pembolehubah rawak dengan Formula Bernoulli .

Sifat Jangkaan

Pertimbangkan sifat jangkaan matematik.

Harta 1. Jangkaan matematik bagi nilai pemalar adalah sama dengan pemalar ini:

Harta 2. Faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan:

Hartanah 3. Jangkaan matematik jumlah (perbezaan) pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah (perbezaan) jangkaan matematiknya:

Harta benda 4. Jangkaan matematik hasil darab rawak adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya:

Harta 5. Jika semua nilai pembolehubah rawak X menurun (meningkat) dengan bilangan yang sama DARI, maka jangkaan matematiknya akan berkurangan (meningkat) dengan nombor yang sama:

Apabila anda tidak boleh dihadkan hanya kepada jangkaan matematik

Dalam kebanyakan kes, hanya jangkaan matematik tidak dapat mencirikan pembolehubah rawak dengan secukupnya.

Biarkan pembolehubah rawak X dan Y diberikan oleh undang-undang pengedaran berikut:

Maknanya X	Kebarangkalian
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Maknanya Y	Kebarangkalian
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Jangkaan matematik bagi kuantiti ini adalah sama - sama dengan sifar:

Walau bagaimanapun, pengedaran mereka berbeza. Nilai rawak X hanya boleh mengambil nilai yang sedikit berbeza daripada jangkaan matematik, dan pembolehubah rawak Y boleh mengambil nilai yang menyimpang dengan ketara daripada jangkaan matematik. Contoh yang sama: gaji purata tidak memungkinkan untuk menilai graviti tertentu pekerja bergaji tinggi dan rendah. Dalam erti kata lain, dengan jangkaan matematik seseorang tidak boleh menilai apa penyelewengan daripadanya, sekurang-kurangnya secara purata, mungkin. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari varians pembolehubah rawak.

Serakan pembolehubah rawak diskret

penyebaran pembolehubah rawak diskret X dipanggil jangkaan matematik bagi kuasa dua sisihan daripada jangkaan matematik:

Sisihan piawai pembolehubah rawak X dipanggil nilai aritmetik punca kuasa dua variansnya:

Contoh 5 Kira varians dan sisihan piawai pembolehubah rawak X dan Y, yang undang-undang pengedarannya diberikan dalam jadual di atas.

Penyelesaian. Jangkaan matematik pembolehubah rawak X dan Y, seperti yang terdapat di atas, adalah sama dengan sifar. Mengikut formula serakan untuk E(X)=E(y)=0 kita dapat:

Kemudian sisihan piawai pembolehubah rawak X dan Y membentuk

Oleh itu, dengan jangkaan matematik yang sama, varians pembolehubah rawak X sangat kecil dan rawak Y- ketara. Ini adalah akibat daripada perbezaan dalam pengedaran mereka.

Contoh 6 Pelabur mempunyai 4 projek pelaburan alternatif. Jadual meringkaskan data mengenai jangkaan keuntungan dalam projek ini dengan kebarangkalian yang sepadan.

Projek 1	Projek 2	Projek 3	Projek 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Cari bagi setiap alternatif jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai.

Penyelesaian. Mari kita tunjukkan bagaimana kuantiti ini dikira untuk alternatif ke-3:

Jadual meringkaskan nilai yang ditemui untuk semua alternatif.

Semua alternatif mempunyai jangkaan matematik yang sama. Ini bermakna dalam jangka masa panjang semua orang mempunyai pendapatan yang sama. Sisihan piawai boleh ditafsirkan sebagai ukuran risiko - lebih besar ia, lebih besar risiko pelaburan. Pelabur yang tidak mahu banyak risiko akan memilih projek 1 kerana ia mempunyai sisihan piawai terkecil (0). Jika pelabur lebih suka risiko dan pulangan tinggi dalam tempoh yang singkat, maka dia akan memilih projek yang paling besar sisihan piawai- projek 4.

Sifat Serakan

Marilah kita membentangkan sifat-sifat serakan.

Harta 1. Penyerakan nilai tetap sama dengan sifar:

Harta 2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan dengan mengkuadratkannya:

Hartanah 3. Varians pembolehubah rawak adalah sama dengan jangkaan matematik bagi kuasa dua nilai ini, dari mana kuasa dua jangkaan matematik bagi nilai itu sendiri dikurangkan:

di mana .

Harta benda 4. Varians jumlah (perbezaan) pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah (perbezaan) variansnya:

Contoh 7 Adalah diketahui bahawa pembolehubah rawak diskret X hanya mengambil dua nilai: −3 dan 7. Di samping itu, jangkaan matematik diketahui: E(X) = 4 . Cari varians pembolehubah rawak diskret.

Penyelesaian. Nyatakan dengan hlm kebarangkalian pembolehubah rawak mengambil nilai x1 = −3 . Kemudian kebarangkalian nilai x2 = 7 akan menjadi 1 − hlm. Mari terbitkan persamaan untuk jangkaan matematik:

E(X) = x 1 hlm + x 2 (1 − hlm) = −3hlm + 7(1 − hlm) = 4 ,

di mana kita mendapat kebarangkalian: hlm= 0.3 dan 1 − hlm = 0,7 .

Hukum taburan pembolehubah rawak:

X	−3	7
hlm	0,3	0,7

Kami mengira varians pembolehubah rawak ini menggunakan formula daripada sifat 3 varians:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Cari sendiri jangkaan matematik pembolehubah rawak, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 8 Pembolehubah rawak diskret X hanya mengambil dua nilai. Ia mengambil nilai yang lebih besar iaitu 3 dengan kebarangkalian 0.4. Selain itu, varians pembolehubah rawak diketahui D(X) = 6 . Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak.

Contoh 9 Sebuah guci mengandungi 6 bola putih dan 4 bola hitam. 3 biji bola diambil dari urn. Bilangan bola putih di antara bola yang ditarik ialah pembolehubah rawak diskret X. Cari jangkaan dan varians matematik bagi pembolehubah rawak ini.

Penyelesaian. Nilai rawak X boleh mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Kebarangkalian yang sepadan boleh dikira daripada peraturan pendaraban kebarangkalian. Hukum taburan pembolehubah rawak:

X	0	1	2	3
hlm	1/30	3/10	1/2	1/6

Oleh itu jangkaan matematik pembolehubah rawak ini:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varians pembolehubah rawak yang diberikan ialah:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak berterusan

Untuk pembolehubah rawak berterusan, tafsiran mekanikal jangkaan matematik akan mengekalkan makna yang sama: pusat jisim untuk jisim unit yang diedarkan secara berterusan pada paksi-x dengan ketumpatan. f(x). Berbeza dengan pembolehubah rawak diskret, yang mana hujah fungsi xi berubah secara mendadak, untuk pembolehubah rawak berterusan, hujah berubah secara berterusan. Tetapi jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak berterusan juga berkaitan dengan nilai minnya.

Untuk mencari jangkaan dan varians matematik pembolehubah rawak berterusan, anda perlu mencari kamiran pasti . Jika fungsi ketumpatan pembolehubah rawak selanjar diberikan, maka ia masuk terus ke dalam integrand. Jika fungsi taburan kebarangkalian diberikan, maka dengan membezakannya, anda perlu mencari fungsi ketumpatan.

Purata aritmetik semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan dipanggilnya jangkaan matematik, dilambangkan dengan atau .

Penyelesaian:

6.1.2 Sifat Jangkaan

1. Jangkaan matematik bagi nilai pemalar adalah sama dengan pemalar itu sendiri.

2. Faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan.

3. Jangkaan matematik hasil darab dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya.

Sifat ini sah untuk bilangan pembolehubah rawak yang sewenang-wenangnya.

4. Jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah.

Sifat ini juga benar untuk bilangan pembolehubah rawak yang sewenang-wenangnya.

Contoh: M(X) = 5, M(Y)= 2. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak Z, menggunakan sifat jangkaan matematik, jika diketahui bahawa Z=2X + 3Y.

Penyelesaian: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) jangkaan matematik jumlah adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik

2) faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan

Biarkan n percubaan bebas dilakukan, kebarangkalian berlakunya peristiwa A yang bersamaan dengan p. Kemudian teorem berikut berlaku:

Teorem. Jangkaan matematik M(X) bilangan kejadian A dalam n ujian bebas sama dengan hasil darab bilangan percubaan dan kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam setiap percubaan.

6.1.3 Serakan pembolehubah rawak diskret

Jangkaan matematik tidak dapat dicirikan sepenuhnya proses rawak. Sebagai tambahan kepada jangkaan matematik, adalah perlu untuk memperkenalkan nilai yang mencirikan sisihan nilai pembolehubah rawak daripada jangkaan matematik.

Sisihan ini adalah sama dengan perbezaan antara pembolehubah rawak dan jangkaan matematiknya. Dalam kes ini, jangkaan matematik bagi sisihan adalah sifar. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa beberapa penyimpangan yang mungkin adalah positif, yang lain adalah negatif, dan akibat pembatalan bersama mereka, sifar diperoleh.

Penyerakan (penyebaran) Pembolehubah rawak diskret dipanggil jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya.

Pada latihan cara yang serupa mengira varians adalah menyusahkan, kerana membawa kepada pengiraan yang rumit untuk sejumlah besar nilai pembolehubah rawak.

Oleh itu, kaedah lain digunakan.

Teorem. Varians adalah sama dengan perbezaan antara jangkaan matematik kuasa dua pembolehubah rawak X dan kuasa dua jangkaan matematiknya.

Bukti. Dengan mengambil kira hakikat bahawa jangkaan matematik M (X) dan kuasa dua jangkaan matematik M 2 (X) ialah nilai malar, kita boleh menulis:

Contoh. Cari varians bagi pembolehubah rawak diskret yang diberikan oleh hukum taburan.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Penyelesaian: .

6.1.4 Sifat serakan

1. Serakan nilai malar ialah sifar. .

2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan dengan menduakannya. .

3. Varians jumlah dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan jumlah varians pembolehubah ini. .

4. Varians perbezaan dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan jumlah varians pembolehubah ini. .

Teorem. Varians bilangan kejadian A dalam n percubaan bebas, di mana setiap satu kebarangkalian p kejadian kejadian adalah malar, adalah sama dengan hasil darab bilangan percubaan dan kebarangkalian kejadian dan bukan kejadian. peristiwa dalam setiap percubaan.

Contoh: Cari varians DSV X - bilangan kejadian A dalam 2 percubaan bebas, jika kebarangkalian kejadian dalam percubaan ini adalah sama dan diketahui bahawa M(X) = 1.2.

Kami menggunakan teorem daripada Bahagian 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Cari hlm:

1,2 = 2∙hlm

hlm = 1,2/2

q = 1 – hlm = 1 – 0,6 = 0,4

Mari cari serakan dengan formula:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Purata sisihan piawai pembolehubah rawak diskret

Sisihan piawai pembolehubah rawak X dipanggil punca kuasa dua varians.

(25)

Teorem. Purata sisihan piawai jumlah nombor terhingga pembolehubah rawak saling bebas ialah punca kuasa dua daripada hasil tambah kuasa dua sisihan piawai kuantiti ini.

6.1.6 Mod dan median pembolehubah rawak diskret

Fesyen M o DSV nilai paling berkemungkinan pembolehubah rawak dipanggil (iaitu nilai yang mempunyai kebarangkalian tertinggi)

Median M e DSV ialah nilai pembolehubah rawak yang membahagikan siri taburan kepada separuh. Jika bilangan nilai pembolehubah rawak adalah genap, maka median didapati sebagai min aritmetik bagi kedua-dua nilai min.

Contoh: Mod Cari dan Median DSW X:

X
hlm	0.2	0.3	0.1	0.4

saya = = 5,5

Kemajuan

1. Berkenalan dengan bahagian teori kerja ini (kuliah, buku teks).

2. Selesaikan tugasan mengikut pilihan anda.

3. Menyusun laporan hasil kerja.

4. Lindungi kerja anda.

2. Tujuan kerja.

3. Kemajuan kerja.

4. Keputusan pilihan anda.

6.4 Pilihan pekerjaan untuk kerja bebas

Pilihan nombor 1

1. Cari jangkaan matematik, varians, sisihan piawai, mod dan median DSV X yang diberikan oleh undang-undang taburan.

X
P	0.1	0.6	0.2	0.1

2. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak Z, jika jangkaan matematik X dan Y diketahui: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Cari varians DSV X - bilangan kejadian A dalam dua percubaan bebas, jika kebarangkalian kejadian dalam percubaan ini adalah sama dan diketahui bahawa M (X) = 1.

4. Senarai kemungkinan nilai pembolehubah rawak diskret diberikan X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3

Pilihan nombor 2

X
P	0.3	0.1	0.2	0.4

2. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak Z, jika jangkaan matematik X dan Y diketahui: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Cari varians DSV X - bilangan kejadian A dalam tiga percubaan bebas, jika kebarangkalian kejadian dalam percubaan ini adalah sama dan diketahui bahawa M (X) = 0.9.

x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, dan jangkaan matematik bagi kuantiti ini dan kuasa duanya juga diketahui: , . Cari kebarangkalian , , , sepadan dengan nilai yang mungkin, , dan lukiskan hukum taburan DSW.

Pilihan nombor 3

1. Cari jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai DSV X yang diberikan oleh undang-undang taburan.

X
P	0.5	0.1	0.2	0.3

2. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak Z, jika jangkaan matematik X dan Y diketahui: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Cari varians DSV X - bilangan kejadian A dalam empat percubaan bebas, jika kebarangkalian kejadian dalam percubaan ini adalah sama dan diketahui bahawa M (x) = 1.2.

4. Senarai kemungkinan nilai pembolehubah rawak diskret X diberikan: x 1 = 0, x2 = 1, x 3 = 2, x4= 5, dan jangkaan matematik bagi kuantiti ini dan kuasa duanya juga diketahui: , . Cari kebarangkalian , , , sepadan dengan nilai yang mungkin, , dan lukiskan hukum taburan DSW.

Pilihan nombor 4

1. Cari jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai DSV X yang diberikan oleh undang-undang taburan.

Setiap nilai individu ditentukan sepenuhnya oleh fungsi pengedarannya. Juga, untuk menyelesaikan masalah praktikal, sudah cukup untuk mengetahui beberapa ciri berangka, berkat yang menjadi mungkin untuk membentangkan ciri utama pembolehubah rawak dalam bentuk ringkas.

Kuantiti ini adalah terutamanya nilai yang dijangkakan dan penyebaran .

Nilai yang dijangkakan- nilai purata pembolehubah rawak dalam teori kebarangkalian. Ditetapkan sebagai .

paling banyak dengan cara yang mudah jangkaan matematik pembolehubah rawak X(w), didapati sebagai integralLebesgue berkenaan dengan ukuran kebarangkalian R asal ruang kebarangkalian

Anda juga boleh mencari jangkaan matematik bagi nilai sebagai integral Lebesgue daripada X dengan taburan kebarangkalian R X kuantiti X:

di mana adalah set semua nilai yang mungkin X.

Jangkaan matematik fungsi daripada pembolehubah rawak X adalah melalui pengedaran R X. Sebagai contoh, jika X- pembolehubah rawak dengan nilai dalam dan f(x)- tidak jelas Borelfungsi X , maka:

Sekiranya F(x)- fungsi pengedaran X, maka jangkaan matematik boleh diwakili integralLebesgue - Stieltjes (atau Riemann - Stieltjes):

manakala keterpaduan X dalam erti kata apa ( * ) sepadan dengan keterhinggaan kamiran

Dalam kes tertentu, jika X Ia ada pengedaran diskret dengan nilai yang mungkin x k, k=1, 2, . , dan kebarangkalian , kemudian

jika X mempunyai secara mutlak pengedaran berterusan dengan ketumpatan kebarangkalian p(x), kemudian

dalam kes ini, kewujudan jangkaan matematik adalah bersamaan dengan penumpuan mutlak siri atau kamiran yang sepadan.

Sifat jangkaan matematik pembolehubah rawak.

Jangkaan matematik bagi nilai malar adalah sama dengan nilai ini:

C- malar;

M=C.M[X]

Jangkaan matematik jumlah nilai yang diambil secara rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik mereka:

Jangkaan matematik hasil darab pembolehubah rawak bebas = hasil darab jangkaan matematiknya:

M=M[X]+M[Y]

jika X dan Y bebas.

jika siri itu menumpu:

Algoritma untuk mengira jangkaan matematik.

Sifat pembolehubah rawak diskret: semua nilainya boleh dinomborkan semula nombor asli; samakan setiap nilai dengan kebarangkalian bukan sifar.

1. Darab pasangan mengikut giliran: x i pada pi.

2. Tambahkan hasil darab setiap pasangan x i p i.

Sebagai contoh, untuk n = 4 :

Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret secara berperingkat, ia meningkat secara mendadak pada titik-titik yang kebarangkaliannya mempunyai tanda positif.

Contoh: Cari jangkaan matematik dengan formula.

Konsep jangkaan matematik boleh dipertimbangkan dengan menggunakan contoh membaling dadu. Dengan setiap lontaran, mata yang digugurkan direkodkan. Nilai semula jadi dalam julat 1 - 6 digunakan untuk menyatakannya.

Selepas beberapa lontaran, menggunakan pengiraan mudah, anda boleh mencari min aritmetik bagi mata yang telah jatuh.

Selain menjatuhkan mana-mana nilai julat, nilai ini akan menjadi rawak.

Dan jika anda menambah bilangan lontaran beberapa kali? Pada kuantiti yang besar lontaran, min aritmetik mata akan menghampiri nombor tertentu, yang dalam teori kebarangkalian dipanggil jangkaan matematik.

Jadi, jangkaan matematik difahami sebagai nilai purata pembolehubah rawak. Penunjuk ini juga boleh dibentangkan sebagai jumlah wajaran nilai kemungkinan.

Konsep ini mempunyai beberapa sinonim:

bermakna;
nilai purata;
penunjuk arah aliran pusat;
detik pertama.

Dalam erti kata lain, ia tidak lebih daripada nombor di mana nilai pembolehubah rawak diedarkan.

AT pelbagai bidang Aktiviti manusia pendekatan untuk memahami jangkaan matematik akan agak berbeza.

Ia boleh dilihat sebagai:

faedah purata yang diterima daripada penerimaan keputusan, dalam kes apabila keputusan sedemikian dipertimbangkan dari sudut pandangan teori bilangan besar;
jumlah keuntungan atau kerugian yang mungkin (teori perjudian), dikira secara purata untuk setiap kadar. Dalam slanga, ia berbunyi seperti "kelebihan pemain" (positif untuk pemain) atau "kelebihan kasino" (negatif untuk pemain);
peratusan keuntungan yang diterima daripada kemenangan.

Jangkaan matematik tidak wajib untuk semua pembolehubah rawak. Ia tidak hadir bagi mereka yang mempunyai percanggahan dalam jumlah atau kamiran yang sepadan.

Sifat Jangkaan

Seperti mana-mana parameter statistik, jangkaan matematik mempunyai sifat berikut:

Formula asas untuk jangkaan matematik

Pengiraan jangkaan matematik boleh dilakukan untuk pembolehubah rawak yang dicirikan oleh kedua-dua kesinambungan (formula A) dan diskret (formula B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, dengan xi ialah nilai pembolehubah rawak, pi ialah kebarangkalian:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, dengan f(x) ialah ketumpatan kebarangkalian yang diberikan.

Contoh pengiraan jangkaan matematik

Contoh A.

Adakah mungkin untuk mengetahui ketinggian purata gnome dalam kisah dongeng tentang Snow White. Adalah diketahui bahawa setiap 7 gnome mempunyai ketinggian tertentu: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 dan 0.81 m.

Algoritma pengiraan agak mudah:

cari jumlah semua nilai penunjuk pertumbuhan (pembolehubah rawak):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Jumlah yang terhasil dibahagikan dengan bilangan gnome:
6,31:7=0,90.

Oleh itu, ketinggian purata gnome dalam kisah dongeng ialah 90 cm. Dengan kata lain, ini adalah jangkaan matematik pertumbuhan gnome.

Formula kerja - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

Pelaksanaan praktikal jangkaan matematik

Kepada pengiraan penunjuk statistik jangkaan matematik digunakan dalam pelbagai bidang aktiviti amali. Pertama sekali kita bercakap tentang kawasan komersial. Sesungguhnya, pengenalan penunjuk ini oleh Huygens dikaitkan dengan penentuan peluang yang boleh menguntungkan, atau, sebaliknya, tidak menguntungkan, untuk beberapa peristiwa.

Parameter ini digunakan secara meluas untuk penilaian risiko, terutamanya apabila melibatkan pelaburan kewangan.
Jadi, dalam perniagaan, pengiraan jangkaan matematik bertindak sebagai kaedah untuk menilai risiko semasa mengira harga.

Juga, penunjuk ini boleh digunakan apabila mengira keberkesanan langkah-langkah tertentu, contohnya, mengenai perlindungan buruh. Terima kasih kepadanya, anda boleh mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku.

Satu lagi bidang penggunaan parameter ini ialah pengurusan. Ia juga boleh dikira semasa kawalan kualiti produk. Contohnya, menggunakan tikar. jangkaan boleh dikira nombor yang mungkin pengeluaran bahagian yang rosak.

Jangkaan matematik juga ternyata amat diperlukan semasa menjalankan pemprosesan statistik diterima semasa kajian saintifik keputusan. Ia juga membolehkan anda mengira kebarangkalian hasil yang diingini atau tidak diingini bagi sesuatu eksperimen atau kajian, bergantung pada tahap pencapaian matlamat. Lagipun, pencapaiannya boleh dikaitkan dengan keuntungan dan keuntungan, dan bukan pencapaiannya - sebagai kerugian atau kerugian.

Menggunakan Jangkaan Matematik dalam Forex

Aplikasi praktikal parameter statistik ini adalah mungkin apabila menjalankan urus niaga dalam pasaran pertukaran asing. Ia boleh digunakan untuk menganalisis kejayaan urus niaga perdagangan. Selain itu, peningkatan dalam nilai jangkaan menunjukkan peningkatan dalam kejayaan mereka.

Ia juga penting untuk diingat bahawa jangkaan matematik tidak boleh dianggap sebagai satu-satunya parameter statistik yang digunakan untuk menganalisis prestasi pedagang. Penggunaan beberapa parameter statistik bersama-sama dengan nilai purata meningkatkan ketepatan analisis pada masa-masa tertentu.

Parameter ini telah membuktikan dirinya dengan baik dalam memantau pemerhatian akaun dagangan. Terima kasih kepadanya, penilaian pantas kerja yang dijalankan pada akaun deposit dijalankan. Dalam kes di mana aktiviti peniaga berjaya dan dia mengelakkan kerugian, tidak disyorkan untuk menggunakan hanya pengiraan jangkaan matematik. Dalam kes ini, risiko tidak diambil kira, yang mengurangkan keberkesanan analisis.

Kajian taktik peniaga yang dijalankan menunjukkan bahawa:

yang paling berkesan ialah taktik berdasarkan input rawak;
yang paling kurang berkesan ialah taktik berdasarkan input berstruktur.

Untuk mencapai hasil yang positif, sama pentingnya:

taktik pengurusan wang;
strategi keluar.

Menggunakan penunjuk seperti jangkaan matematik, kita boleh mengandaikan apa yang akan menjadi untung atau rugi apabila melabur 1 dolar. Adalah diketahui bahawa penunjuk ini, dikira untuk semua permainan yang diamalkan di kasino, memihak kepada institusi. Inilah yang membolehkan anda menjana wang. Dalam kes siri permainan yang panjang, kebarangkalian kehilangan wang oleh pelanggan meningkat dengan ketara.

Permainan pemain profesional terhad kepada tempoh masa yang kecil, yang meningkatkan peluang untuk menang dan mengurangkan risiko kalah. Corak yang sama diperhatikan dalam prestasi operasi pelaburan.

Seorang pelabur boleh memperoleh jumlah yang besar dengan jangkaan dan hasil yang positif sebilangan besar transaksi dalam tempoh masa yang singkat.

Jangkaan boleh dianggap sebagai perbezaan antara peratusan keuntungan (PW) kali keuntungan purata (AW) dan kebarangkalian kerugian (PL) kali kerugian purata (AL).

Sebagai contoh, pertimbangkan perkara berikut: kedudukan - 12.5 ribu dolar, portfolio - 100 ribu dolar, risiko setiap deposit - 1%. Keuntungan urus niaga adalah 40% daripada kes dengan purata keuntungan sebanyak 20%. Sekiranya berlaku kerugian, purata kerugian ialah 5%. Mengira jangkaan matematik untuk perdagangan memberikan nilai $625.

Jangkaan matematik ialah nilai purata pembolehubah rawak.

Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkaliannya:

Contoh.

X -4 6 10
p 0.2 0.3 0.5

Penyelesaian: Jangkaan matematik adalah sama dengan jumlah hasil darab semua kemungkinan nilai X dan kebarangkaliannya:

M (X) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6.

Untuk mengira jangkaan matematik, adalah mudah untuk menjalankan pengiraan dalam Excel (terutama apabila terdapat banyak data), kami cadangkan menggunakan templat siap ().

Contoh untuk keputusan bebas(anda boleh menggunakan kalkulator).
Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret X yang diberikan oleh hukum taburan:

X 0.21 0.54 0.61
p 0.1 0.5 0.4

Jangkaan matematik mempunyai sifat berikut.

Harta 1. Jangkaan matematik bagi nilai malar adalah sama dengan pemalar itu sendiri: М(С)=С.

Harta 2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda jangkaan: М(СХ)=СМ(Х).

Harta 3. Jangkaan matematik hasil darab pembolehubah rawak saling bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematik faktor: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)

Harta 4. Jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik istilah: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).

Masalah 189. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak Z jika jangkaan matematik X dan Y diketahui: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Penyelesaian: Menggunakan sifat jangkaan matematik (jangkaan matematik jumlah adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah; faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan), kita dapat M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Dengan menggunakan sifat jangkaan matematik, buktikan bahawa: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) jangkaan matematik bagi sisihan X-M(X) ialah sifar.

191. Pembolehubah rawak diskret X mengambil tiga nilai yang mungkin: x1= 4 Dengan kebarangkalian p1 = 0.5; x3 = 6 Dengan kebarangkalian P2 = 0.3 dan x3 dengan kebarangkalian p3. Cari: x3 dan p3, mengetahui bahawa M(X)=8.

192. Senarai kemungkinan nilai pembolehubah rawak diskret X diberikan: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, jangkaan matematik bagi kuantiti ini dan kuasa duanya juga diketahui: M (X ) \u003d 0.1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Cari kebarangkalian p1, p2, p3 sepadan dengan nilai yang mungkin xi

194. Satu kumpulan 10 bahagian mengandungi tiga bahagian bukan piawai. Dua item dipilih secara rawak. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret X - bilangan bahagian bukan piawai antara dua bahagian yang dipilih.

196. Cari jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret X-nombor balingan lima dadu, di mana setiap satu titik akan muncul pada dua tulang, jika jumlah nombor lontaran sama dengan dua puluh.

Nilai yang dijangkakan taburan binomial adalah sama dengan hasil darab bilangan percubaan dan kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam satu percubaan: