Cari nilai minimum bagi fungsi objektif. Menyelesaikan masalah pengoptimuman kawalan dengan pengaturcaraan linear

Mari kita bina pada satah set penyelesaian sistem yang boleh diterima ketaksamaan linear dan mencari secara geometri nilai minimum Fungsi objektif.

Kami membina dalam sistem koordinat x 1 oh 2 baris

Kami mendapati separuh satah ditentukan oleh sistem. Memandangkan ketaksamaan sistem dipenuhi untuk mana-mana titik dari separuh satah yang sepadan, ia memadai untuk menyemaknya untuk mana-mana satu titik. Kami menggunakan titik (0;0). Marilah kita menggantikan koordinatnya ke dalam ketaksamaan pertama sistem. Kerana , maka ketaksamaan mentakrifkan separuh satah yang tidak mengandungi titik (0;0). Begitu juga, kami mentakrifkan separuh satah yang tinggal. Kami mendapati set penyelesaian yang boleh dilaksanakan sebagai bahagian biasa separuh satah yang diperoleh - ini ialah kawasan berlorek.

Kami membina vektor dan garis tahap sifar berserenjang dengannya.

Dengan menggerakkan garis (5) ke arah vektor, kita melihat bahawa titik maksimum rantau akan berada di titik A persilangan garis (3) dan garis (2). Kami mencari penyelesaian sistem persamaan:

Jadi, kami mendapat titik (13;11) dan.

Dengan menggerakkan garis (5) ke arah vektor, kita melihat bahawa titik minimum rantau akan berada di titik B persimpangan garis (1) dan garis (4). Kami mencari penyelesaian sistem persamaan:

Jadi, kami mendapat mata (6;6) dan.

2. Sebuah syarikat perabot menghasilkan gabungan kabinet dan meja komputer. Pengeluaran mereka dihadkan oleh ketersediaan bahan mentah (papan berkualiti tinggi, kelengkapan) dan masa operasi mesin yang memprosesnya. Setiap kabinet memerlukan 5 m2 papan, untuk meja - 2 m2. Kelengkapan untuk $10 dibelanjakan untuk satu kabinet, dan $8 untuk satu meja. Syarikat boleh menerima daripada pembekalnya sehingga 600 m2 papan setiap bulan dan aksesori untuk $2000. Untuk setiap kabinet, 7 jam kerja mesin diperlukan, untuk meja - 3 jam. Ia adalah mungkin untuk menggunakan hanya 840 jam operasi mesin sebulan.

Berapakah bilangan gabungan kabinet dan meja komputer yang perlu dikeluarkan oleh firma setiap bulan untuk memaksimumkan keuntungan jika satu kabinet membawa masuk $100 dan setiap meja menghasilkan $50?

1. Karang model matematik masalah dan selesaikan menggunakan kaedah simpleks.
2. Susun model matematik bagi masalah dwi, tulis penyelesaiannya berdasarkan penyelesaian yang asal.
3. Tentukan tahap kekurangan sumber yang digunakan dan mewajarkan keuntungan pelan optimum.
4. Terokai kemungkinan untuk meningkatkan lagi output, bergantung pada penggunaan setiap jenis sumber.
5. Menilai kebolehlaksanaan untuk memperkenalkan jenis produk baharu - rak buku, jika 1 m 2 papan dan aksesori untuk $ 5 dibelanjakan untuk pembuatan satu rak, dan 0.25 jam operasi mesin diperlukan dan keuntungan daripada penjualan satu rak ialah $ 20.
1. Mari bina model matematik untuk masalah ini:

Nyatakan dengan x 1 - isipadu pengeluaran kabinet, dan x 2 - isipadu pengeluaran jadual. Mari kita susun sistem kekangan dan fungsi matlamat:

Kami menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simplex. Mari kita tulis dalam bentuk kanonik:

Mari tulis data tugasan dalam bentuk jadual:

Jadual 1

Kerana kini semuanya delta Di atas sifar, maka peningkatan selanjutnya dalam nilai fungsi matlamat f adalah mustahil dan kami telah memperoleh pelan yang optimum.

Jika terdapat hanya satu faktor pengehad (contohnya, mesin yang terhad), penyelesaian boleh didapati menggunakan formula mudah(lihat pautan pada permulaan artikel). Jika terdapat beberapa faktor pengehad, kaedah pengaturcaraan linear digunakan.

Pengaturcaraan linear ialah nama yang diberikan kepada gabungan alat yang digunakan dalam sains pengurusan. Kaedah ini menyelesaikan masalah memperuntukkan sumber yang terhad di kalangan aktiviti bersaing untuk memaksimumkan atau meminimumkan beberapa nilai berangka, seperti keuntungan atau kos marginal. Dalam perniagaan, ia boleh digunakan dalam bidang seperti perancangan pengeluaran untuk memaksimumkan keuntungan, pemilihan komponen untuk meminimumkan kos, pemilihan portfolio pelaburan untuk memaksimumkan keuntungan, pengoptimuman pengangkutan barang untuk mengurangkan jarak, peruntukan kakitangan untuk memaksimumkan kecekapan kerja dan penjadualan kerja dalam pesanan untuk menjimatkan masa.

Muat turun nota dalam , lukisan dalam format

Pengaturcaraan linear melibatkan pembinaan model matematik bagi masalah yang sedang dipertimbangkan. Selepas itu, penyelesaian boleh didapati secara grafik (dibincangkan di bawah), dengan menggunakan Excel(untuk dipertimbangkan secara berasingan) atau program komputer khusus.

Mungkin pembinaan model matematik adalah yang paling banyak bahagian yang sukar pengaturcaraan linear, yang memerlukan terjemahan masalah yang sedang dipertimbangkan ke dalam sistem pembolehubah, persamaan dan ketaksamaan - proses yang akhirnya bergantung pada kemahiran, pengalaman, kebolehan dan gerak hati penyusun model.

Pertimbangkan contoh membina model matematik pengaturcaraan linear

Nikolai Kuznetsov menguruskan kecil loji mekanikal. Bulan depan, dia merancang untuk menghasilkan dua produk (A dan B), yang mana keuntungan marginal tertentu dianggarkan masing-masing 2,500 dan 3,500 rubel.

Pengilangan kedua-dua produk memerlukan kos pemesinan, bahan mentah dan buruh (Rajah 1). Bagi pembuatan setiap unit produk A, 3 jam pemprosesan mesin, 16 unit bahan mentah dan 6 unit buruh diperuntukkan. Keperluan yang sepadan untuk unit B ialah 10, 4, dan 6. Nikolai meramalkan bahawa bulan depan dia boleh menyediakan 330 jam pemesinan, 400 unit bahan mentah, dan 240 unit buruh. Teknologi proses pengeluaran adalah sedemikian rupa sehingga sekurang-kurangnya 12 unit produk B mesti dihasilkan dalam mana-mana bulan tertentu.

nasi. 1. Penggunaan dan penyediaan sumber

Nikolay ingin membina model untuk menentukan bilangan unit produk A dan B yang sepatutnya dihasilkannya pada bulan hadapan untuk memaksimumkan keuntungan marginal.

Model linear boleh dibina dalam empat langkah.

Peringkat 1. Definisi pembolehubah

Terdapat pembolehubah sasaran (mari kita nyatakan Z) yang perlu dioptimumkan, iaitu, dimaksimumkan atau diminimumkan (contohnya, keuntungan, hasil atau perbelanjaan). Nikolay berusaha untuk memaksimumkan keuntungan marginal, oleh itu, pembolehubah sasaran ialah:

Z = jumlah keuntungan marginal (dalam rubel) yang diterima pada bulan berikutnya hasil daripada pengeluaran produk A dan B.

Terdapat beberapa pembolehubah yang tidak diketahui (kami menandakannya x 1, x 2, x 3, dsb.), yang nilainya mesti ditentukan untuk mendapatkan nilai optimum fungsi objektif, yang, dalam kes kami, ialah jumlah keuntungan marginal. Margin sumbangan ini bergantung pada kuantiti produk A dan B yang dihasilkan. Nilai ini perlu dikira dan oleh itu merupakan pembolehubah minat dalam model. Jadi mari kita nyatakan:

x 1 = bilangan unit produk A yang dihasilkan pada bulan berikutnya.

x 2 = bilangan unit produk B yang dihasilkan pada bulan berikutnya.

Adalah sangat penting untuk mentakrifkan semua dengan jelas pembolehubah; Perhatian istimewa beri perhatian kepada unit ukuran dan tempoh masa yang dirujuk oleh pembolehubah.

Pentas. 2. Pembinaan fungsi objektif

Fungsi objektif ialah persamaan linear yang mesti sama ada dimaksimumkan atau diminimumkan. Ia mengandungi pembolehubah sasaran yang dinyatakan dalam sebutan pembolehubah yang dikehendaki, iaitu Z dinyatakan dalam sebutan x 1 , x 2 ... sebagai persamaan linear.

Dalam contoh kami, setiap produk perkilangan A membawa 2500 rubel. keuntungan marginal, dan dalam pembuatan x 1 unit produk A, keuntungan marginal akan menjadi 2500 * x 1. Begitu juga, keuntungan marginal daripada pembuatan x 2 unit produk B ialah 3500 * x 2. Oleh itu, jumlah keuntungan marginal yang diterima pada bulan berikutnya disebabkan oleh pengeluaran x 1 unit produk A dan x 2 unit produk B, iaitu pembolehubah sasaran Z ialah:

Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Nikolay berusaha untuk memaksimumkan penunjuk ini. Oleh itu, fungsi objektif dalam model kami ialah:

Maksimumkan Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Pentas. 3. Definisi sekatan

Kekangan adalah satu sistem persamaan linear dan/atau ketaksamaan yang mengehadkan magnitud pembolehubah yang diperlukan. Mereka secara matematik mencerminkan ketersediaan sumber, faktor teknologi, keadaan pemasaran dan keperluan lain. Kekangan boleh terdiri daripada tiga jenis: "kurang daripada atau sama", "lebih besar daripada atau sama", "sangat sama".

Dalam contoh kami, produk A dan B memerlukan masa pemprosesan, bahan mentah dan buruh untuk dihasilkan, dan ketersediaan sumber ini adalah terhad. Jumlah pengeluaran kedua-dua produk ini (iaitu x 1 daripada 2 nilai) oleh itu akan dihadkan oleh fakta bahawa jumlah sumber yang diperlukan dalam proses pengeluaran tidak boleh melebihi apa yang tersedia. Pertimbangkan keadaan dengan masa pemprosesan mesin. Pengeluaran setiap unit produk A memerlukan tiga jam pemprosesan mesin, dan jika x 1 unit dihasilkan, maka 3 * x 1 jam sumber ini akan dibelanjakan. Pengeluaran setiap unit produk B memerlukan 10 jam dan, oleh itu, jika x 2 produk dihasilkan, maka 10 * x 2 jam akan diperlukan. Oleh itu, jumlah masa mesin yang diperlukan untuk menghasilkan x 1 unit produk A dan x 2 unit produk B ialah 3 * x 1 + 10 * x 2 . ini maksud umum masa mesin tidak boleh melebihi 330 jam. Secara matematik, ini ditulis seperti berikut:

3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330

Pertimbangan yang sama digunakan untuk bahan mentah dan buruh, membenarkan dua lagi sekatan untuk dikurangkan:

16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400

6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240

Akhir sekali, perlu diingatkan bahawa terdapat syarat di mana sekurang-kurangnya 12 unit produk B mesti dikeluarkan:

Peringkat 4. Menulis syarat bukan negatif

Pembolehubah yang dikehendaki tidak boleh menjadi nombor negatif, yang mesti ditulis sebagai ketaksamaan x 1 ≥ 0 dan x 2 ≥ 0. Dalam contoh kami, syarat kedua adalah berlebihan, kerana telah ditentukan di atas bahawa x 2 tidak boleh kurang daripada 12.

Model Pengaturcaraan Linear Lengkap untuk tugas pengeluaran Nicholas boleh ditulis sebagai:

Maksimumkan: Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Dengan syarat: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330

16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400

6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240

Pertimbangkan kaedah grafik untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear.

Kaedah ini hanya sesuai untuk masalah dengan dua pembolehubah yang diperlukan. Model yang dibina di atas akan digunakan untuk menunjukkan kaedah.

Paksi pada graf mewakili dua pembolehubah yang tidak diketahui (Rajah 2). Tidak kira pembolehubah mana yang hendak diplot sepanjang paksi mana. Adalah penting untuk memilih skala yang akhirnya akan membolehkan anda membina gambar rajah visual. Oleh kerana kedua-dua pembolehubah mestilah bukan negatif, hanya kuadran 1 dilukis.

nasi. 2. Paksi Graf Pengaturcaraan Linear

Pertimbangkan, sebagai contoh, kekangan pertama: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330. Ketaksamaan ini menerangkan kawasan di bawah garisan: 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330. Garis ini bersilang dengan paksi-x 1 pada x 2 \u003d 0, iaitu persamaan kelihatan seperti ini: 3 * x 1 + 10 * 0 \u003d 330, dan penyelesaiannya: x 1 \u003d 330 / 3 \u003d 110

Begitu juga, kami mengira titik persilangan dengan paksi x 1 dan x 2 untuk semua keadaan kekangan:

Julat yang boleh diterima	Had nilai yang dibenarkan	Persilangan dengan paksi-x 1	Persilangan dengan paksi-x 2
3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330	3 * x 1 + 10 * x 2 = 330	x 1 = 110; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 33
16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400	16 * x 1 + 4 * x 2 = 400	x 1 = 25; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 100
6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240	6 * x 1 + 6 * x 2 = 240	x 1 = 40; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 40
x 2 ≥ 12	x 2 = 12	tidak menyeberang; berjalan selari dengan paksi-x 1	x 1 = 0; x 2 = 12

Secara grafik, had pertama ditunjukkan dalam Rajah. 3.

nasi. 3. Pembinaan domain penyelesaian yang boleh dilaksanakan untuk kekangan pertama

Mana-mana titik dalam segi tiga yang dipilih atau pada sempadannya akan mematuhi kekangan ini. Titik sedemikian dipanggil sah, dan titik di luar segi tiga dipanggil tidak sah.

Begitu juga, kami mencerminkan sekatan yang lain pada carta (Rajah 4). Nilai x 1 dan x 2 pada atau di dalam kawasan berlorek ABCDE akan mematuhi semua kekangan model. Wilayah sedemikian dipanggil domain penyelesaian yang boleh diterima.

nasi. 4. Kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan untuk model secara keseluruhan

Sekarang, dalam bidang penyelesaian yang boleh dilaksanakan, adalah perlu untuk menentukan nilai x 1 dan x 2 yang memaksimumkan Z. Untuk melakukan ini, dalam persamaan fungsi objektif:

Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

kita bahagikan (atau darab) pekali sebelum x 1 dan x 2 dengan nombor yang sama, supaya nilai yang terhasil jatuh ke dalam julat yang ditunjukkan pada graf; dalam kes kami, julat sedemikian adalah dari 0 hingga 120; jadi pekali boleh dibahagikan dengan 100 (atau 50):

Z = 25x 1 + 35x 2

kemudian tetapkan nilai Z sama dengan produk pekali sebelum x 1 dan x 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25x 1 + 35x 2

dan, akhirnya, cari titik persilangan garis dengan paksi x 1 dan x 2:

Mari kita lukiskan persamaan sasaran ini pada graf dengan cara yang sama seperti kekangan (Rajah 5):

nasi. 5. Penggunaan fungsi objektif (garisan bertitik hitam) pada kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan

Nilai Z adalah malar sepanjang garis fungsi objektif. Untuk mencari nilai x 1 dan x 2 yang memaksimumkan Z, anda perlu memindahkan garis fungsi objektif secara selari ke titik sedemikian dalam sempadan kawasan penyelesaian yang boleh diterima, yang terletak pada maksimum jarak dari garis asal fungsi objektif ke atas dan ke kanan, iaitu, ke titik C (Rajah 6).

nasi. 6. Garis fungsi objektif telah mencapai maksimum dalam kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan (di titik C)

Boleh disimpulkan bahawa penyelesaian yang optimum akan terletak di salah satu titik ekstrem kawasan keputusan. Dalam mana satu, ia akan bergantung pada cerun fungsi objektif dan pada masalah yang kita selesaikan: memaksimumkan atau meminimumkan. Oleh itu, tidak perlu melukis fungsi objektif - yang diperlukan ialah menentukan nilai x 1 dan x 2 pada setiap titik ekstrem dengan membaca dari rajah atau dengan menyelesaikan pasangan persamaan yang sepadan. Nilai x 1 dan x 2 yang ditemui kemudiannya digantikan ke dalam fungsi objektif untuk mengira nilai Z yang sepadan. Penyelesaian optimum ialah penyelesaian di mana nilai maksimum Z diperoleh semasa menyelesaikan masalah pemaksimuman, dan penyelesaian minimum. semasa menyelesaikan masalah pengecilan.

Mari kita tentukan, sebagai contoh, nilai-nilai x 1 dan x 2 pada titik C. Perhatikan bahawa titik C berada di persilangan garis: 3x 1 + 10x 2 = 330 dan 6x 1 + 6x 2 = 240. penyelesaian kepada sistem persamaan ini memberikan: x 1 = 10, x 2 = 30. Keputusan pengiraan untuk semua bucu luas penyelesaian yang boleh dilaksanakan diberikan dalam jadual:

titik	Nilai x 1	Nilai x 2	Z \u003d 2500x 1 + 3500x 2
A	22	12	97 000
DALAM	20	20	120 000
DENGAN	10	30	130 000
D	0	33	115 500
E	0	12	42 000

Oleh itu, Nikolai Kuznetsom mesti merancang pengeluaran 10 item A dan 30 item B untuk bulan depan, yang akan membolehkannya menerima keuntungan kecil sebanyak 130 ribu rubel.

Secara ringkas, intipati kaedah grafik untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear boleh diringkaskan seperti berikut:

Lukis dua paksi pada graf yang mewakili dua parameter keputusan; lukis hanya sukuan pertama.
Tentukan koordinat titik persilangan semua keadaan sempadan dengan paksi, menggantikan nilai x 1 = 0 dan x 2 = 0 ke dalam persamaan keadaan sempadan secara bergilir-gilir.
Lukis garis kekangan model pada carta.
Tentukan kawasan pada graf (dipanggil kawasan keputusan yang dibenarkan) yang memenuhi semua kekangan. Jika tiada rantau sedemikian, maka model itu tidak mempunyai penyelesaian.
Tentukan nilai pembolehubah yang diperlukan dalam titik melampau domain keputusan, dan dalam setiap kes hitung nilai sepadan pembolehubah sasaran Z.
Untuk masalah pemaksimuman, penyelesaiannya ialah titik di mana Z adalah maksimum; untuk masalah pengecilan, penyelesaian ialah titik di mana Z adalah minimum.

TOPIK: PENGATURCARAAN LINEAR

TUGASAN 2.A. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dengan kaedah grafik

Perhatian!

Ini adalah VERSI PENGENALAN kerja No. 2073, harga asal ialah 200 rubel. Dibingkai dalam program Microsoft perkataan.

Bayaran. Kenalan.

Pilihan 7. Cari nilai maksimum dan minimumfungsi linear Ф \u003d 2x 1 - 2 x 2dengan sekatan: x 1 + x 2 ≥ 4;

- x 1 + 2 x 2 ≤ 2;

x 1 + 2 x 2 ≤ 10;

x i ≥ 0, i = 1.2.

Penyelesaian:

Menggantikan tanda-tanda ketaksamaan bersyarat dengan tanda-tanda kesamaan, kita memperoleh sistem persamaan x1 + x2 = 4;

- x1 + 2 x2 = 2;

x1 + 2 x2 = 10.

Kami membina garis lurus mengikut persamaan ini, kemudian, mengikut tanda-tanda ketaksamaan, kami memilih separuh satah dan mendapatkan bahagian biasa mereka - kawasan penyelesaian ODE yang boleh diterima - MNPQ segiempat.

Nilai minimum fungsi

tsii - pada titik M (2; 2)

Ф min = 2 2 - 2 2 = 0.

Nilai maksimum dicapai pada titik N (10; 0),

Ф maks \u003d 2 10 - 2 0 \u003d 20.

Pilihan 8. Cari nilai maksimum dan minimum

fungsi linear Ф \u003d x 1 + x 2

dengan sekatan: x 1 - 4 x 2 - 4 ≤ 0;

3 x 1 - x 2 ≥ 0;

x 1 + x 2 - 4 ≥ 0;

x i ≥ 0, i = 1.2.

Penyelesaian:

Menggantikan tanda-tanda ketaksamaan bersyarat dengan tanda-tanda kesamaan, kita memperoleh sistem persamaan x1 - 4 x2 = 4;

3 x1 - x2 = 0;

Kami membina garis lurus mengikut persamaan ini, kemudian, mengikut tanda-tanda ketaksamaan, kami memilih separuh satah dan mendapatkan bahagian sepunya - kawasan penyelesaian yang boleh diterima ODE - poligon MNPQ yang tidak terhad.

Nilai minimum fungsi

tions - pada garis lurus NP, sebagai contoh

pada titik Р(4; 0)

Ф min = 4 + 0 = 4.

ODE tidak terhad dari atas, oleh itu, Ф max = + ∞.

Pilihan 10. Cari nilai maksimum dan minimum

fungsi linear Ф \u003d 2 x 1 - 3 x 2

dengan sekatan: x 1 + 3 x 2 ≤ 18;

2 x 1 + x 2 ≤ 16;

x 2 ≤ 5;

x i ≥ 0, i = 1.2.

Menggantikan secara bersyarat tanda-tanda ketaksamaan dengan tanda-tanda kesamaan, kita memperoleh sistem persamaan

x 1 + 3 x 2 = 18 (1);

2 x 1 + x 2 = 16 (2);

3 x 1 = 21 (4).

Kami membina vektor Г(2; -3) dan lukis melalui asalan garisan aras- lurus.

Kami menggerakkan garis aras ke arah, manakala nilai F meningkat. Pada titik S(7; 0), fungsi objektif mencapai maksimum Ф max =2·7–3·0= = 14. Kami menggerakkan garis aras ke arah, manakala nilai Ф berkurangan. Nilai minimum fungsi adalah pada titik N(0; 5)

Ф min = 2 0 – 3 5 = –15.

TUGASAN 2.B. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear

kaedah simpleks analitik

Pilihan 7. Minimumkan fungsi objektif Ф \u003d x 1 - x 2 + x 3 + x 4 + x 5 - x 6

di bawah sekatan: x 1 + x 4 +6 x 6 = 9,

3 x 1 + x 2 - 4 x 3 + 2 x 6 \u003d 2,

x 1 + 2 x 3 + x 5 + 2 x 6 = 6.

Penyelesaian:

Bilangan yang tidak diketahui n=6, bilangan persamaan m=3. Oleh itu, r = n-m = 3 yang tidak diketahui boleh diambil sebagai percuma. Mari pilih x 1 , x 3 dan x 6 .

Kami menyatakan pembolehubah asas x 2 , x 4 dan x 5 dalam sebutan yang bebas dan membawa sistem kepada asas unit

x 2 \u003d 2 - 3 x 1 + 4 x 3 - 2 x 6

x 4 \u003d 9 - x 1 - 6 x 6 (*)

x 5 \u003d 6 - x 1 - 2 x 3 - 2 x 6

Fungsi objektif akan kelihatan seperti:

Ф \u003d x 1 - 2 + 3 x 1 - 4 x 3 + 2 x 6 + x 3 + 9 - x 1 - 6 x 6 +6 - x 1 - 2 x 3 - 2 x 6 - x 6 =

13 + 2 x 1 - 5 x 3 - 7 x 6

Mari letakkan x 1 \u003d x 3 \u003d x 6 \u003d 0, manakala pembolehubah asas akan mengambil nilai x 2 \u003d 2; x 4 \u003d 9; x 5 \u003d 6, iaitu, penyelesaian pertama yang boleh dilaksanakan (0; 2; 0; 9; 6; 0), fungsi objektif Ф 1 \u003d 13.

Pembolehubah x 3 dan x 6 termasuk dalam fungsi objektif dengan pekali negatif, oleh itu, dengan peningkatan dalam nilainya, nilai Ф akan berkurangan. Ambil, sebagai contoh, x 6 . Daripada persamaan pertama sistem (*) dapat dilihat bahawa peningkatan dalam nilai x 6 adalah mungkin sehingga x 6 \u003d 1 (selagi x 2 ³ 0). Dalam kes ini, x 1 dan x 3 mengekalkan nilai sama dengan sifar. Sekarang, sebagai pembolehubah asas, kita ambil x 4, x 5, x 6, sebagai percuma - x 1, x 2, x 3. Mari kita nyatakan pembolehubah asas baharu dari segi pembolehubah percuma baharu. Dapatkan

x 6 \u003d 1 - 3/2 x 1 - 1/2 x 2 + 2 x 3

x 4 \u003d 3 + 8 x 1 + 3 x 2 - 12 x 3

x 5 \u003d 4 + 2 x 1 + x 2 - 6 x 3

Ф \u003d 6 + 25/2 x 1 + 7/2 x 2 - 19 x 3

Berikan kepada pembolehubah bebas nilai nol, iaitu, x 1 \u003d x 2 \u003d x 3 \u003d 0, manakala x 6 \u003d 1, x 4 \u003d 3, x 5 \u003d 4, iaitu penyelesaian sah ketiga (0; 0; 0 ; 3; 4; 1). Dalam kes ini, Ф 3 \u003d 6.

Pembolehubah x 3 termasuk dalam fungsi objektif dengan pekali negatif, oleh itu, peningkatan dalam x 3 berbanding sifar akan membawa kepada penurunan dalam F. Daripada persamaan ke-2 dapat dilihat bahawa x 3 boleh meningkat sehingga 1/ 4, daripada persamaan ke-3 - sehingga 2/3 . Persamaan kedua adalah lebih kritikal. Kami menterjemahkan pembolehubah x 3 kepada bilangan yang asas, x 4 kepada bilangan yang percuma.

Sekarang kita ambil x 1 , x 2 dan x 4 sebagai pembolehubah bebas baharu. Mari kita ungkapkan pembolehubah asas baharu x 3 , x 5 , x 6 dalam sebutannya. Jom dapatkan sistem

x 3 \u003d 1/4 + 2/3 x 1 + 1/4 x 2 - 1/12 x 4

x 5 \u003d 5/2 - 2 x 1 - 1/2 x 2 + 1/2 x 4

x 6 \u003d 3/2 - 1/6 x 1 - 1/6 x 4

Fungsi objektif akan mengambil bentuk

Ф \u003d 5/4 - 1/6 x 1 - 5/4 x 2 + 19/12 x 4

Pembolehubah x 1 dan x 2 dimasukkan ke dalam fungsi objektif dengan pekali negatif, oleh itu, dengan peningkatan dalam nilainya, nilai Ф akan berkurangan. Ambil, sebagai contoh, x 2 . Daripada persamaan ke-2 sistem, dapat dilihat bahawa peningkatan dalam nilai x 2 adalah mungkin sehingga x 2 \u003d 5 (selagi x 5 ³ 0). Dalam kes ini, x 1 dan x 4 mengekalkan nilai sifar, nilai pembolehubah lain adalah sama dengan x 3 = 3/2; x 5 \u003d 0, x 6 \u003d 3/2, iaitu penyelesaian sah keempat (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2). Dalam kes ini, Ф 4 \u003d 5/4.

Sekarang kita ambil x 1 , x 4 dan x 5 sebagai pembolehubah bebas baharu. Mari kita ungkapkan pembolehubah asas baharu x 2 , x 3 , x 6 dalam sebutannya. Jom dapatkan sistem

x 2 \u003d 5 - 4 x 1 + x 4 - 2 x 5

x 3 \u003d 3/2 - 1/3 x 1 + 1/6 x 4 - 1/2 x 5

x 6 \u003d 3/2 - 1/6 x 1 - 1/6 x 4

Fungsi objektif akan mengambil bentuk

F \u003d - 5 + 29/6 x 1 + 1/3 x 4 + 5/2 x 5

Pekali untuk kedua-dua pembolehubah dalam ungkapan untuk Ф adalah positif, oleh itu, penurunan selanjutnya dalam nilai Ф adalah mustahil.

Iaitu, nilai minimum Ф min = - 5, penyelesaian terakhir yang boleh dilaksanakan (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) adalah optimum.

Pilihan 8. Maksimumkan fungsi objektif Ф = 4 x 5 + 2 x 6

dengan sekatan: x 1 + x 5 + x 6 = 12;

x 2 + 5 x 5 - x 6 \u003d 30;

x 3 + x 5 - 2 x 6 \u003d 6;

2 x 4 + 3 x 5 - 2 x 6 \u003d 18;

Penyelesaian:

Bilangan persamaan ialah 4, bilangan yang tidak diketahui ialah 6. Oleh itu, r = n - m = 6 - 4 = 2 pembolehubah boleh dipilih sebagai bebas, 4 pembolehubah sebagai asas. Kami memilih x 5 dan x 6 sebagai yang percuma, x 1, x 2, x 3, x 4 sebagai yang asas. Kami menyatakan pembolehubah asas dalam sebutan yang bebas dan mengurangkan sistem persamaan kepada asas unit

x 1 \u003d 12 - x 5 - x 6;

x 2 \u003d 30 - 5 x 5 + x 6;

x 3 \u003d 6 - x 5 + 2 x 6;

x 4 \u003d 9 - 3/2 x 5 + x 6;

Kami menulis fungsi objektif dalam bentuk Ф = 4 x 5 + 2 x 6 . Kami memberikan nilai sifar kepada pembolehubah bebas x 5 = x 6 = 0. Dalam kes ini, pembolehubah asas akan mengambil nilai x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9 , iaitu, kita akan mendapat penyelesaian pertama yang boleh dilaksanakan (12, 30 , 6, 9, 0,) dan Ф 1 = 0.

Kedua-dua pembolehubah bebas memasuki fungsi sasaran dengan pekali positif, iaitu, peningkatan selanjutnya dalam F adalah mungkin. Mari kita terjemahkan, sebagai contoh, x 6 ke dalam bilangan yang asas. Persamaan (1) menunjukkan bahawa x 1 = 0 pada x 5 = 12, dalam (2) ÷ (4) x 6 masuk dengan pekali positif. Mari kita beralih kepada asas baharu: pembolehubah asas - x 6, x 2, x 3, x 4, percuma - x 1, x 5. Mari kita nyatakan pembolehubah asas baharu melalui percuma baharu

x 6 \u003d 12 - x 1 - x 5;

x 2 \u003d 42 - x 1 - 6 x 5;

x 3 \u003d 30 - 2 x 1 - 3 x 5;

x 4 \u003d 21 - x 1 - 5/2 x 5;

Fungsi objektif akan mengambil bentuk Ф = 24 - 2 x 1 + 2 x 5 ;

Kami memberikan nilai sifar kepada pembolehubah bebas x 1 = x 5 = 0. Dalam kes ini, pembolehubah asas akan mengambil nilai x 6 = 12, x 2 = 42, x 3 = 30, x 4 = 21 , iaitu, kita akan memperoleh penyelesaian kedua yang boleh dilaksanakan (0, 42 , 30, 21, 0, 12) dan Ф 2 = 24.

Fungsi sasaran x 5 masuk dengan pekali positif, iaitu, peningkatan selanjutnya dalam F adalah mungkin. Mari kita beralih kepada asas baru: pembolehubah asas - x 6, x 5, x 3, x 4, yang percuma - x 1 , x 2. Mari kita nyatakan pembolehubah asas baharu melalui percuma baharu

x 6 \u003d 5 - 5/6 x 1 + 1/6 x 2;

x 5 \u003d 7 - 1/6 x 1 - 1/6 x 2;

x 3 \u003d 9 - 3/2 x 1 + 1/2 x 2;

x 4 \u003d 7/2 - 7/12 x 1 + 5/12 x 5;

Fungsi objektif akan mengambil bentuk Ф = 38 - 7/2 x 1 - 1/3 x 2;

Berikan nilai sifar x 1 = x 2 = 0 kepada pembolehubah bebas. Dalam kes ini, pembolehubah asas akan mengambil nilai x 6 = 5, x 5 = 7, x 3 = 9, x 4 = 7/ 2, iaitu, kita akan mendapat penyelesaian ketiga yang boleh dilaksanakan X 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) dan Ф 3 = 38.

Kedua-dua pembolehubah memasuki fungsi sasaran dengan pekali negatif, iaitu, peningkatan selanjutnya dalam Ф adalah mustahil.

Oleh itu, penyelesaian terakhir yang boleh dilaksanakan adalah optimum, iaitu, Х opt = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) dan Ф max = 38.

Pilihan 10. Maksimumkan fungsi objektif Ф \u003d x 2 + x 3

di bawah sekatan: x 1 - x 2 + x 3 \u003d 1,

x 2 - 2 x 3 + x 4 \u003d 2.

Penyelesaian:

Sistem persamaan - kekangan adalah konsisten, kerana kedudukan matriks sistem persamaan dan matriks lanjutan adalah sama dan sama dengan 2. Oleh itu, dua pembolehubah boleh diambil sebagai bebas, dua pembolehubah lain - asas - boleh dinyatakan secara linear dalam sebutan dua yang bebas.

Mari kita ambil x 2 dan x 3 sebagai pembolehubah bebas. Kemudian pembolehubah x 1 dan x 2 akan menjadi pembolehubah asas, yang akan kita nyatakan dalam sebutan bebas

x 1 \u003d 1 + x 2 - x 3; (*)

x 4 \u003d 2 - x 2 + 2 x 3;

Fungsi sasaran telah pun dinyatakan dalam sebutan x 2 dan x 3 , iaitu, Ф = x 2 + x 3 .

Pada x 2 \u003d 0 dan x 3 \u003d 0, pembolehubah asas akan sama dengan x 1 \u003d 1, x 4 \u003d 2.

Kami mempunyai penyelesaian pertama yang boleh dilaksanakan X 1 = (1, 0, 0, 2), manakala Ф 1 = 0.

Peningkatan dalam Ф adalah mungkin dengan peningkatan, sebagai contoh, dalam nilai x 3, yang termasuk dalam ungkapan untuk Ф dengan pekali positif (x 2 kekal sama dengan sifar). Dalam persamaan pertama sistem (*), dapat dilihat bahawa x 3 boleh dinaikkan kepada 1 (daripada keadaan x 1 ³0), iaitu, persamaan ini mengenakan sekatan untuk meningkatkan nilai x 3. Persamaan pertama sistem (*) sedang menyelesaikan. Berdasarkan persamaan ini, kita beralih kepada asas baru, menukar x 1 dan x 3 tempat. Sekarang pembolehubah asas ialah x 3 dan x 4, percuma - x 1 dan x 2. Kami kini menyatakan x 3 dan x 4 dalam sebutan x 1 dan x 2.

Kami mendapat: x 3 \u003d 1 - x 1 + x 2; (**)

x 4 \u003d 4 - 2 x 1 + x 2;

Ф \u003d x 2 + 1 - x 1 + x 2 \u003d 1 - x 1 + 2 x 2

Dengan menyamakan pembolehubah bebas kepada sifar, kami memperoleh penyelesaian asas kedua yang boleh diterima X 2 = (0; 0; 1; 4), di mana Ф 2 =1.

Peningkatan dalam F adalah mungkin dengan peningkatan dalam x 2. Pembesaran sama x 2, berdasarkan sistem terkini persamaan (**), tidak terhad. Oleh itu, Ф akan mengambil semua besar nilai-nilai positif, iaitu, Ф max = + ¥.

Jadi, fungsi objektif Ф tidak dibatasi dari atas, jadi tidak ada penyelesaian yang optimum.

TUGASAN 2.D. Tulis dua masalah kepada yang diberikan.

masalah asal.

Pilihan 7. Maksimumkan fungsi objektif Ф = 2× x 1 - x 4

dengan sekatan: x 1 + x 2 \u003d 20,

x 2 + 2× x 4 ≥ 5,

x 1 + x 2 + x 3 ≤ 8,

x i ≥ 0 (i = 1, 2, 3, 4)

Penyelesaian:

Kami membawa sistem kekangan kepada satu, sebagai contoh, bentuk kanonik dengan memasukkan pembolehubah tambahan ke dalam persamaan ke-2 dan ke-3

x 1 + x 2 = 20,

x 2 + 2 × x 4 - x 5 \u003d 5,

- x 1 + x 2 + x 3 + x 6 \u003d 8.

Kami mendapat masalah asimetri jenis ke-2. Masalah dwi akan kelihatan seperti:

Minimumkan fungsi objektif F = 20 × y 1 + 5 × y 2 + 8 × y 3

untuk y 1 — y 3 ≥ 2,

y1 + y2 + y3 ≥ 0,

y 3 ≥ 0,

2× y2 ≥ 1,

Y2 ≥ 0,

y 3 ≥ 0.

Pilihan 8. Maksimumkan fungsi objektif Ф \u003d x 2 - x 4 - 3× x 5

dengan sekatan: x 1 + 2× x 2 - x 4 + x 5 \u003d 1,

— 4 × x 2 + x 3 + 2× x 4 - x 5 = 2,

3 × x 2 + x 5 + x 6 = 5,

x i ≥ 0, (i = 1, 6)

Penyelesaian:

Kami mempunyai masalah pemaksimuman asal dengan sistem kekangan dalam bentuk persamaan, iaitu, sepasang masalah dwi mempunyai bentuk asimetri jenis ke-2, model matematik yang dalam bentuk matriks mempunyai bentuk:

Masalah awal: Masalah dua:

F = S × X maks F = B T × Ymin

di A × X \u003d B pada AT × Y ≥ C T

Dalam masalah asal, baris matriks pekali bagi pembolehubah dalam fungsi objektif mempunyai bentuk С = (0; 1; 0; -1; -3; 0),

matriks lajur bagi sebutan bebas dan matriks pekali bagi pembolehubah dalam sistem kekangan mempunyai bentuk

B \u003d 2, A \u003d 0 - 4 1 2 -1 0

Cari matriks transpos bagi pekali, baris matriks pekali bagi pembolehubah dalam fungsi objektif, dan lajur matriks bagi ahli bebas

0 1 0 0 V T \u003d (1; 2; 5)

A T = -1 2 0 C T = -1

Masalah dwi boleh ditulis dalam bentuk berikut:

cari nilai minimum bagi fungsi objektif F = y 1 + 2 × y 2 + 5 × y 3

di bawah sekatan y 1 ≥ 0,

2× y 1-4 × y 2 + 3 × y 3 ≥ 1,

- y 1 + 2 × y 2 ≥ -1,

y 1 - y 2 + y 3 ≥ -3,

Pilihan 10. Minimumkan fungsi Ф = x 1 + x 2 + x 3

terhad: 3× x 1 + 9× x 2 + 7× x 3 ≥ 2,

6 × x 1 + 4 x 2 + 5× x 3 ≥ 3,

8 × x 1 + 2 x 2 + 4× x 3 ≥ 4,

Penyelesaian:

Kami mempunyai masalah pengecilan asal dengan sistem kekangan dalam bentuk ketaksamaan, iaitu, sepasang masalah dwi mempunyai bentuk simetri jenis ke-3, model matematik yang dalam bentuk matriks mempunyai bentuk:

Masalah asal Masalah berganda

F = S × X min F \u003d B T × Ymax

di A × X ≥ B di A T × Y ≤ C T

X ≥ 0 Y ≥ 0

Dalam masalah asal, baris matriks pekali bagi pembolehubah dalam fungsi objektif, lajur matriks sebutan bebas, dan matriks pekali bagi pembolehubah dalam sistem kekangan mempunyai bentuk

C \u003d (1; 1; 1), B \u003d 3, A \u003d 6 4 5

Mari kita cari matriks bagi masalah dwi

B T = (2; 3; 4) C T = 3 A T = 9 4 2

Masalah dwi dirumuskan sebagai:

Maksimumkan fungsi objektif F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3

di bawah sekatan 3 × y 1 + 6 × y 2 + 8 × y 3 ≤ 1,

9× y 1 + 4 × y 2 + 2 × y 3 ≤ 1,

7× y 1 + 5 × y 2 + 4 × y 3 ≤ 1,

y i ≥ 0 (i = 1, 2, 3)

TUGASAN 2.C. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan jadual simpleks.

Pilihan 7. Maksimumkan fungsi objektif Ф = 2 x 1 - x 2 + 3 x 3 + 2 x 4

di bawah sekatan: 2 x 1 + 3 x 2 - x 3 + 2 x 4 ≤ 4,

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 ≥ 1,

4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 ≤ 8.

Penyelesaian:

Kami mengurangkan sistem kekangan kepada bentuk kanonik

2 x 1 + 3 x 2 - x 3 + 2 x 4 + z 1 = 4, (1)

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 = 1, (2)

4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 + z 3 = 8. (3)

Kami mempunyai sistem 3 persamaan dengan 7 tidak diketahui. Kami memilih x 1 , z 1 , z 3 sebagai pembolehubah asas 3, x 2 , x 3 , x 4 , z 2 sebagai pembolehubah percuma, kami menyatakan pembolehubah asas melaluinya.

Daripada (2) kita ada x 1 = 1 + 2 x 2 - 5 x 3 + 3 x 4 + x 6

Gantikan dalam (1) dan (3), kita dapat

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 \u003d 1,

z 1 + 7 x 2 - 11 x 3 + 8 x 4 + 2 z 2 = 2,

z 3 + 18 x 2 - 17 x 3 + 13 x 4 + 4 z 2 = 4,

Ф - 3 x 2 + 7 x 3 - 8 x 4 - 2 z 2 \u003d 2.

Susun jadual simpleks

I lelaran Jadual 1

asas AC	Kebebasan. AC
x 1	1	1	— 2	5	— 3	0	— 1	0		3/8
z1	2	0	7	-11		1	2	0	1/ 4	1/8
z3	4	0	18	-17	13	0	4	1	4/13	13/8
F	2	0	— 3	7	— 8	0	— 2	0		1

X 1 \u003d (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) F 1 \u003d 2.

II lelaran Jadual 2

x 1	14/8	1	5/8	7/8	0	3/8	-2/8	0	2	— 1
x4	1/ 4	0	7/8	-11/8	1	1/8	2/8	0		11/7
z3	6/8	0	53/8		0	-13/8	6/8	1	6/7	8/7
F	4	0	4	— 4	0	1	0	0		32/7

X 2 \u003d (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 \u003d 4.

III lelaran Jadual 3

x 1	1	1	— 6	0	0		-1	— 1	1/2
x4	10/ 7	0	79/7	0	1	-17/7	10/7	11/7	11/7
x 3	6/7	0	53/7	1	0	-13/7	6/7	8/7	13/14
F	52/7	0	240/7	0	0	-45/7	24/7	32/7	45/14

X 3 \u003d (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) Ф 3 \u003d 52/7.

Lelaran IV Jadual 4

z1	1/ 2	1/2	— 3	0	0	1	-1/2	-1/2
x4	37/ 14	17/14	56/14	0	1	0	3/14	5/14
x 3	25/14	13/14	28/14	1	0	0	-1/14	3/14
F	149/14	45/14	15	0	0	0	3/14	19/14

X 4 \u003d (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) F 4 \u003d 149/14.

Dalam baris indeks meja terakhir Tidak nombor negatif, iaitu, dalam ungkapan untuk fungsi objektif, semua Г i< 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.

Jawapan: Ф maks = 149/14,

penyelesaian optimum (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0)

Pilihan 8. Minimumkan fungsi objektif Ф = 5 x 1 - x 3

di bawah sekatan: x 1 + x 2 + 2 x 3 - x 4 \u003d 3,

x 2 + 2 x 4 \u003d 1,

Penyelesaian:

Bilangan pembolehubah ialah 4, pangkat matriks ialah 2, oleh itu bilangan pembolehubah bebas ialah r \u003d 4 - 2 \u003d 2, bilangan pembolehubah asas juga 2. Kami mengambil x 3, x 4 sebagai pembolehubah bebas, kami akan menyatakan pembolehubah asas x 1, x 2 dalam sebutan percuma dan kami membawa sistem kepada asas unit:

x 2 \u003d 1 - 2 x 4,

x 1 \u003d 3 - x 2 - 2 x 3 + x 4 \u003d 3 - 1 + 2 x 4 - 2 x 3 + x 4 \u003d 2 - 2 x 3 + 3 x 4

Ф \u003d 5 x 1 - x 3 \u003d 5 (2 - 2 x 3 + 3 x 4) - x 3 \u003d 10 - 10 x 3 + 15 x 4 - x 3 \u003d 10 - 11 x 3 + 15 x 4

Kami menulis sistem persamaan dan fungsi objektif dalam bentuk yang sesuai untuk jadual simpleks, iaitu, x 2 + 2 x 4 = 1,

x 1 +2 x 3 - 3 x 4 = 2

Ф + 11 x 3 - 15 x 4 \u003d 10

Jom buat meja

I lelaran Jadual 1

asas AC	Kebebasan. AC
x1	2	1	0		— 3	1/2
x2	1	0	1	0	2
F	10	0	0	11	— 15	— 11/2

X 1 \u003d (2; 1; 0; 0) F 1 \u003d 10.

II lelaran Jadual 2

x3	1	1/2	0	1	-3/2	3/4
x2	1	0	1	0		1/2
F	— 1	— 11/2	0	0	3/2	— 3/4

X 2 \u003d (0; 1; 1; 0) F 2 \u003d -1.

III lelaran Jadual 3

x3	7/4	1/2	3/4	1	0
x4	1/2	0	1/2	0	1
F	— 7/4	— 11/2	— 3/4	0	0

X 3 \u003d (0; 0; 7/4; 1/2) F 3 \u003d -7/4.

Tiada jadual terakhir dalam baris indeks nombor positif, iaitu, dalam ungkapan untuk fungsi objektif, semua Г i > 0. Kami mempunyai kes I, oleh itu, penyelesaian asas terakhir adalah optimum.

Jawapan: Ф min = -7/4, penyelesaian optimum (0; 0; 7/4; 1/2)

********************

Pilihan 10. Minimumkan fungsi objektif Ф \u003d x 1 + x 2,

dengan sekatan: x 1 -2 x 3 + x 4 \u003d 2,

x 2 - x 3 + 2 x 4 \u003d 1,

Penyelesaian:

Bilangan pembolehubah ialah 5, kedudukan matriks ialah 3, oleh itu bilangan pembolehubah bebas ialah r \u003d 6-3 \u003d 2. Kami mengambil x 3 dan x 4 sebagai pembolehubah bebas, x 1, x 2, x 5 sebagai asas. Semua persamaan sistem telah dikurangkan kepada asas tunggal (pembolehubah asas dinyatakan dalam sebutan yang bebas), tetapi ia ditulis dalam bentuk yang tidak sesuai untuk menggunakan jadual simpleks. Kami menulis sistem persamaan dalam bentuk

x 1 - 2 x 3 + x 4 \u003d 2

x 2 - x 3 +2 x 4 \u003d 1

x 5 + x 3 - x 4 . = 5

Kami menyatakan fungsi objektif dari segi pembolehubah bebas dan menulisnya dalam bentuk Ф - 3 x 3 +3 x 4 = 3

Jom buat meja

I lelaran Jadual 1

asas AC	Kebebasan. AC
x 1	2	1	0	-2	1	0	2	-1/2
x 2	1	0	1	-1		0	1/2	1/2
x 5	5	0	0	1	-1	1		1/2
F	3	0	0	-3	3	0		-3/2

X 1 \u003d (2; 3; 0; 0; 5) F 1 \u003d 3.

jadual 2

x 1	3/2	1	-1/2	-3/2	0	0
x 4	1/2	0	1/2	-1/2	1	0
x 5	11/2	0	1/2	1/2	0	1
F	3/2	0	-3/2	-3/2	0	0

X 2 \u003d (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) F 2 \u003d 3/2.

Tiada nombor positif dalam baris indeks jadual terakhir, iaitu, dalam ungkapan untuk fungsi objektif, semua Гi > 0. Kami mempunyai kes 1, oleh itu, penyelesaian asas terakhir adalah optimum.

Jawapan: Ф min = 3/2, penyelesaian optimum ialah (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2).

Penyelesaian: cari nilai maksimum dan minimum bagi fungsi $f (x, y)$ di bawah kekangan berikut $$ f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow maks,min \ \ \begin(kes) 2x+3y\geq 6 \\ 3x-2y\leq 18\\ -x+2y\leq 8\\ x,y\geq0\end(cases) $$
Cara grafik Adalah wajar untuk menggunakan penyelesaian masalah untuk masalah dengan dua pembolehubah yang ditulis dalam bentuk simetri, serta untuk masalah dengan banyak pembolehubah, dengan syarat notasi kanonik mereka mengandungi tidak lebih daripada dua pembolehubah bebas.

DALAM kes ini tugas dengan dua pembolehubah.

Algoritma untuk menyelesaikan masalah "tafsiran geometri masalah pengaturcaraan linear":

1. Mari kita bina domain penyelesaian boleh diterima pada satah xOy.
2. Pilih kawasan penyelesaian bukan negatif.

4. Mari kita bina keluarga fungsi objektif.
5. Cari nilai maksimum (minimum) bagi fungsi objektif.

1. Kami membina domain penyelesaian yang boleh diterima bagi masalah $D$.

Untuk membina kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan:
1) Kami membina garis sempadan:
kita menukar ketaksamaan kepada kesamaan, dan kemudian kepada persamaan garis lurus dalam segmen pada paksi bentuk $\frac(x)(a)+\frac(y)(b) = 1$, kemudian \ (x=a\) ialah segmen yang terputus pada paksi Lembu, $y=b$ - pada paksi Oy $$ \mulakan(kes) 2x+3y = 6 \\ 3x-2y = 18\\ - x+2y = 8 \end(cases) => \begin(cases) \frac(x)(3)+\frac(y)(2) = 1 \\ \frac(x)(8)-\frac( y)(9) = 1 \\ -\frac (x)(6)+ \frac(y)(4) = 1 \end(cases) $$ Untuk setiap baris, ketepikan segmen pada paksi dan sambungkannya. Kami mendapat garis yang betul.

2) Kami mencari separuh satah yang memenuhi ketaksamaan yang diberikan:
Untuk ketaksamaan $2x+3y\geq 6$ ialah separuh satah yang terletak di atas garis $2x+3y = 6$. AC langsung
Untuk ketaksamaan $3x-2y\leq 18 => -3x+2y \geq -18$ ialah separuh satah yang terletak di atas garis $3x-2y = 18$. CB langsung
Untuk ketaksamaan $-x+2y\leq 8$ ialah separuh satah yang terletak di bawah garis $-x+2y = 8$. Langsung AB

Domain penyelesaian yang boleh dilaksanakan ditakrifkan sebagai bahagian biasa tiga satah separuh sepadan dengan ketaksamaan yang diberikan. Kawasan ini ialah segi tiga $ABC$

Rantau $D$ ialah segi tiga $ABC$ lihat rajah.

2. Pilih kawasan penyelesaian bukan negatif.

Kawasan penyelesaian bukan negatif terletak pada suku pertama dan adalah bahagian biasa daripada semua lima satah separuh, tiga daripadanya ialah rantau $D$ yang diperoleh daripada ketaksamaan dan tambahan dua ketaksamaan $x \geq 0$ - satah separuh atas (suku I dan II) dan $y \ geq 0$ - separuh satah kanan (suku I dan IV), yang menyatakan keadaan bukan negatif pembolehubah $x;y$. Mendapatkan kawasan penyelesaian bukan negatif yang dikehendaki $DEBFG$

3.Cari koordinat bucu rantau.
Koordinat empat bucu sudah diketahui (ini adalah titik persilangan garis dengan paksi).
Mari tuliskan koordinat ini:
$D(0;2)$, $E(0;4)$, $F(6;0)$, $G(3;0)$
Cari koordinat titik $B$, sebagai titik persilangan garis $-x+2y = 8$ dan $3x-2y = 18$. Selesaikan sistem persamaan dan cari koordinat titik ini $$\begin(cases) -x+2y = 8\\ 3x-2y = 18\end(cases)=> \begin(cases) 2x = 26\\ 3x -2y = 18 \end(cases)=> \begin(cases) x = 13\\ y =10.5\end(cases)$$
Kami mendapat koordinat titik $B(13;10.5)$

4. Kami membina keluarga fungsi objektif.
Persamaan $f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow max,min$ mentakrifkan pada satah xOy satu keluarga bulatan sepusat berpusat pada titik dengan koordinat \ (Q(4 ;3)\), setiap satunya sepadan nilai tertentu parameter $f$. Seperti yang anda ketahui, untuk persamaan bulatan parameter $f=R^2$.

Marilah kita mewakili dalam sistem koordinat yang sama satu keluarga bulatan sepusat $f$ dan satu keluarga garis. Masalah menentukan titik maksimum (minimum) titik $f$ akan dikurangkan kepada mencari dalam kawasan yang dibenarkan titik di mana bulatan keluarga $f=const$ dilalui, yang bertanggungjawab untuk nilai terbesar (terkecil) parameter $f$.

5. Cari nilai maksimum (minimum) bagi fungsi objektif.

Nilai fungsi objektif minimum: cara peningkatan secara beransur-ansur jejari bulatan, kita mendapat bahawa bucu pertama yang dilalui bulatan ialah titik $G(3;0)$. Fungsi objektif pada ketika ini akan menjadi minimum dan sama dengan $f(3,0)=(3-4)^2 + (0-3)^2 = 10$

Nilai maksimum fungsi objektif: Dengan menambah lagi jejari bulatan, kita telah memperoleh bahawa bucu terakhir yang akan dilalui oleh bulatan ialah titik $B(13;10.5)$. Fungsi objektif pada ketika ini akan menjadi maksimum dan sama dengan $f(13,10.5)=(13-4)^2 + (10.5-3)^2 = 137.25$

Anda boleh mengesahkan ketepatan penyelesaian dengan menggantikan koordinat bucu yang tinggal ke dalam persamaan fungsi objektif:
pada puncak $D(0;2)$ nilai fungsi objektif adalah sama dengan $f(0,2)=(0-4)^2 + (2-3)^2 = 17$
pada puncak $E(0;4)$ nilai fungsi objektif adalah sama dengan $f(0,4)=(0-4)^2 + (4-3)^2 = 17$
pada puncak $F(6;0)$ nilai fungsi objektif ialah $f(6,4)=(6-4)^2 + (0-3)^2 = 13$
Faham

Jawab:
nilai minimum fungsi objektif $f_(min) = 10$
nilai maksimum fungsi objektif $f_(maks) = 137.25$

Cari dengan kaedah grafik maksimum fungsi objektif

F= 2x 1 + 3x 2 ® maks

Dengan sekatan

Penyelesaian dengan menggunakan Jadual Excel

Mari mula-mula bina pada helaian penyelesaian excel sistem ketidaksamaan.

Pertimbangkan ketidaksamaan pertama.

Mari kita bina garis sempadan daripada dua titik. Nyatakan garis dengan (L1) (atau Baris1). Koordinat X 2 kita mengira mengikut formula:

Untuk membina, pilih plot berselerak

Memilih data untuk garis lurus

Tukar nama baris:

Pilih susun atur carta. Tukar nama paksi koordinat:

Garis lurus (L1) pada carta:

Penyelesaian kepada ketidaksamaan yang ketat boleh didapati menggunakan satu titik ujian yang tidak tergolong dalam garisan (L1). Contohnya, menggunakan titik (0; 0)W(L1).

0+3×0< 18 или 0 < 18 .

Ketaksamaan adalah benar, oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan (1) akan menjadi separuh satah di mana titik ujian terletak (dalam rajah di bawah garis L1).

Kemudian kita selesaikan ketaksamaan (2) .

Mari kita bina garis sempadan 2 daripada dua titik. Nyatakan garis dengan (L2).

Garis lurus (L2) pada carta:

Penyelesaian ketaksamaan ketat 2 boleh didapati menggunakan satu-satunya titik ujian yang tidak tergolong dalam garisan (L2). Contohnya, menggunakan titik (0; 0)W(L2).

Menggantikan koordinat titik (0; 0), kita memperoleh ketaksamaan

2×0 + 0< 16 или 0 < 16 .

Ketaksamaan adalah benar, oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan (2) ialah separuh satah di mana titik ujian terletak (dalam rajah di bawah, garis L2).

Kemudian kita selesaikan ketaksamaan (3) .

Mari kita bina garis sempadan daripada dua titik. Nyatakan garis dengan (L3).

Garis lurus (L3) pada carta:

Penyelesaian ketaksamaan ketat 2 boleh didapati menggunakan satu-satunya titik ujian yang tidak tergolong dalam garisan (L3). Contohnya, menggunakan titik (0; 0)W(L3).

Menggantikan koordinat titik (0; 0), kita memperoleh ketaksamaan

Ketaksamaan adalah benar, oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan (3) ialah separuh satah di mana titik ujian terletak (dalam rajah di bawah, garis L3).

Kemudian kita selesaikan ketaksamaan (4) .

Mari kita bina garis sempadan daripada dua titik. Nyatakan garis dengan (L4).

Tambahkan data ke helaian excel

Garis lurus (L4) pada carta:

Penyelesaian Ketaksamaan Tegas 3 X 1 < 21 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L4). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L4).

Menggantikan koordinat titik (0; 0), kita memperoleh ketaksamaan

Ketaksamaan adalah benar, oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan (4) ialah separuh satah di mana titik ujian terletak (di sebelah kiri garisan L4 dalam rajah).

Dengan menyelesaikan dua ketaksamaan (5) dan (6)

ialah suku pertama yang dibatasi oleh garis koordinat dan .

Sistem ketidaksamaan diselesaikan. Dengan menyelesaikan sistem ketaksamaan (1) - (6) dalam contoh ini ialah poligon cembung di sudut kiri bawah rajah, dibatasi oleh garis L1, L2, L3, L4 dan garis koordinat dan . Anda boleh memastikan bahawa poligon dipilih dengan betul dengan menggantikan titik ujian, contohnya (1; 1) ke dalam setiap ketaksamaan sistem asal. Menggantikan titik (1; 1), kita memperoleh bahawa semua ketaksamaan, termasuk kekangan semula jadi, adalah benar.

Pertimbangkan sekarang fungsi objektif

F= 2x 1 + 3x 2 .

Mari bina garis tahap untuk nilai fungsi F=0 Dan F=12 (nilai berangka dipilih sewenang-wenangnya). Tambahkan data ke helaian excel

Garis tahap pada carta:

Mari kita bina vektor arah (atau kecerunan) (2; 3). Koordinat vektor bertepatan dengan pekali fungsi objektif F.