Biarkan fungsi z - /(x, y) ditakrifkan dalam beberapa domain D dan biarkan Mo(xo, Vo) menjadi titik pedalaman domain ini. Definisi. Jika terdapat nombor sedemikian sehingga untuk semua syarat yang memenuhi syarat ketaksamaan adalah benar, maka titik Mo(xo, yo) dipanggil titik maksimum tempatan fungsi /(x, y); jika untuk semua Dx, Du, memenuhi syarat | maka titik Mo(xo,yo) dipanggil minimum tempatan nipis. Dalam erti kata lain, titik M0(x0, y0) ialah titik maksimum atau minimum bagi fungsi f(x, y) jika terdapat 6 kejiranan titik A/o(x0, y0) supaya sama sekali titik M(x, y) ini dalam kejiranan, kenaikan fungsi mengekalkan tandanya. Contoh. 1. Untuk titik fungsi - titik minimum (Rajah 17). 2. Untuk fungsi, titik 0(0,0) ialah titik maksimum (Rajah 18). 3. Untuk fungsi, titik 0(0,0) ialah titik maksimum setempat. 4 Malah, terdapat kejiranan titik 0(0, 0), contohnya, bulatan jejari j (lihat Rajah 19), di mana-mana titik yang berbeza daripada titik 0(0,0), nilai fungsi /(x,y) kurang daripada 1 = Kami akan mempertimbangkan hanya titik maksimum dan minimum fungsi yang ketat apabila ketaksamaan ketat atau ketaksamaan ketat dipenuhi untuk semua titik M(x) y) dari beberapa kejiranan 6 yang tertusuk daripada titik Mq. Nilai fungsi pada titik maksimum dipanggil maksimum, dan nilai fungsi pada titik minimum dipanggil minimum fungsi ini. Titik maksimum dan minimum fungsi dipanggil titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minimum fungsi itu sendiri dipanggil ekstremnya. Teorem 11 (syarat yang diperlukan untuk ekstrem). Jika fungsi Extremum ialah fungsi beberapa Konsep Pembolehubah ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah. Perlu dan syarat yang mencukupi melampau Ekstrem bersyarat Nilai Tertinggi dan Terendah mempunyai ekstrem pada titik, maka pada ketika ini setiap terbitan separa u sama ada lenyap atau tidak wujud. Biarkan fungsi z = f(x) y) mempunyai ekstrem pada titik M0(x0, yо). Mari kita berikan pembolehubah y nilai oo. Maka fungsi z = /(x, y) akan menjadi fungsi satu pembolehubah x\ Memandangkan pada x = xo ia mempunyai ekstrem (maksimum atau minimum, Rajah 20), maka terbitannya berkenaan dengan x = “o, | (*o,l>)" Sama dengan sifar atau tidak wujud. Begitu juga, kami yakin bahawa) sama ada sama dengan sifar atau tidak wujud. Titik di mana = 0 dan χ = 0 atau tidak wujud dipanggil kritikal titik bagi fungsi z = Dx, y). 20 derivatif yang lenyap pada Tetapi fungsi ini nipis pada imvat strum Sesungguhnya, fungsi itu adalah sama dengan sifar pada titik 0(0,0) dan mengambil nilai positif pada titik M(x,y), sewenang-wenangnya dekat dengan titik 0(0,0 jadi dan nilai negatif< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstrem bagi fungsi f(x, y) mungkin wujud atau tidak. Dalam kes ini, kajian lanjut diperlukan. m Mari kita hadkan diri kita untuk membuktikan pernyataan 1) dan 2) teorem. Mari kita tulis formula Taylor tertib kedua untuk fungsi /(i, y): di mana. Mengikut syarat, dapat dilihat bahawa tanda kenaikan D/ ditentukan oleh tanda trinomial di sebelah kanan (1), iaitu, tanda pembezaan kedua d2f. Mari kita nyatakan untuk ringkasnya. Kemudian kesamaan (l) boleh ditulis seperti berikut: Biarkan pada titik MQ(jadi, V0) kita ada... Oleh kerana, mengikut syarat, terbitan separa tertib kedua bagi fungsi f(s, y) adalah selanjar, maka ketidaksamaan (3) juga akan berlaku di beberapa kejiranan titik M0(s0,yo). Jika syarat itu dipenuhi (pada titik А/0, dan berdasarkan kesinambungan, derivatif /,z(s,y) akan mengekalkan tandanya dalam kejiranan tertentu titik Af0. Di rantau di mana А Ф 0, kita ada. Jelas daripada ini bahawa jika ЛС - В2 > 0 dalam beberapa kejiranan titik M0(x0) y0), maka tanda trinomial AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 bertepatan dengan tanda A pada titik itu. (jadi, V0) (serta dengan tanda C, kerana untuk AC - B2 > 0 A dan C tidak boleh mempunyai tanda yang berbeza). Oleh kerana tanda jumlah AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 pada titik (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) menentukan tanda perbezaan, kita sampai pada kesimpulan berikut: jika untuk fungsi /(s,y) di keadaan titik pegun (s0, V0), kemudian untuk || yang cukup kecil ketidaksamaan akan berpuas hati. Oleh itu, pada titik (sq, V0) fungsi /(s, y) mempunyai maksimum. Jika keadaan dipenuhi pada titik pegun (s0, y0), maka untuk semua yang cukup kecil |Dr| dan |Du| ketaksamaan adalah benar, yang bermaksud bahawa pada titik (jadi, yo) fungsi /(s, y) mempunyai minimum. Contoh. 1. Menyiasat fungsi untuk ekstrem 4 Menggunakan syarat yang diperlukan untuk ekstrem, kita mencari titik pegun bagi fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, kita mencari derivatif separa u dan menyamakannya dengan sifar. Kami memperoleh sistem persamaan dari mana - titik pegun. Sekarang mari kita gunakan Teorem 12. Kita ada Ini bermakna terdapat ekstrem pada titik Ml. Kerana ini adalah minimum. Jika kita mengubah fungsi r ke dalam bentuk, ia adalah mudah untuk melihatnya sebelah kanan(“) akan menjadi minimum apabila adalah minimum mutlak fungsi ini. 2. Periksa fungsi untuk ekstrem Kita dapati titik pegun bagi fungsi itu, yang mana kita menyusun sistem persamaan, supaya titik itu pegun. Oleh kerana, berdasarkan Teorem 12, tidak ada ekstrem pada titik M. * 3. Menyiasat ekstrem fungsi Cari titik pegun bagi fungsi itu. Daripada sistem persamaan kita memperolehnya, jadi titiknya adalah pegun. Selanjutnya, kita mempunyai Teorem 12 tidak menjawab soalan tentang kehadiran atau ketiadaan ekstrem. Jom buat cara ni. Untuk fungsi tentang semua titik berbeza daripada titik jadi, mengikut takrifan, dan titik A/o(0,0) fungsi r mempunyai minimum mutlak. Dengan pengiraan yang sama kami menetapkan bahawa fungsi mempunyai maksimum pada titik, tetapi fungsi tidak mempunyai ekstrem pada titik. Biarkan fungsi bagi n pembolehubah bebas boleh dibezakan pada satu titik Titik Mo dipanggil titik pegun bagi fungsi jika Teorem 13 (sehingga keadaan yang mencukupi untuk ekstrem). Biarkan fungsi itu ditakrifkan dan mempunyai terbitan separa berterusan tertib kedua dalam beberapa kejiranan denda Mt(xi..., yang merupakan fungsi halus pegun jika bentuk kuadratik (pembezaan kedua fungsi f dalam denda adalah positif pasti (negatif pasti), titik minimum (masing-masing, denda maksimum) bagi fungsi f adalah nipis Jika bentuk kuadratik (4) berselang-seli, maka tiada ekstrem dalam LG0 denda untuk menentukan sama ada terdapat. akan menjadi. bentuk kuadratik (4) pasti positif atau negatif, anda boleh menggunakan, sebagai contoh, kriteria Sylvester untuk kepastian positif (negatif) bagi bentuk kuadratik. 15.2. Extremum bersyarat Sehingga kini, kami telah mencari ekstrem tempatan fungsi di seluruh domain definisinya, apabila hujah fungsi tidak terikat dengan sebarang syarat tambahan. Ekstrema sedemikian dipanggil tanpa syarat. Walau bagaimanapun, selalunya terdapat masalah untuk mencari apa yang dipanggil extrema bersyarat. Biarkan fungsi z = /(x, y) ditakrifkan dalam domain D. Mari kita andaikan bahawa lengkung L diberikan dalam domain ini, dan kita perlu mencari ekstrem bagi fungsi f(x> y) hanya antara yang daripada nilainya yang sepadan dengan titik lengkung L. Ekstrem yang sama dipanggil ekstrem bersyarat bagi fungsi z = f(x) y) pada lengkung L. Definisi Mereka mengatakan bahawa pada titik yang terletak pada lengkung L , fungsi f(x, y) mempunyai maksimum bersyarat (minimum) jika ketaksamaan dipenuhi pada semua titik M (s, y) y) lengkung L, kepunyaan beberapa kejiranan titik M0(x0, V0) dan berbeza dari titik M0 (Jika lengkung L diberikan oleh persamaan, maka masalah mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi r - f(x,y) pada lengkung! boleh dirumuskan seperti berikut: cari ekstrem bagi fungsi x = /(z, y) dalam rantau D, dengan syarat bahawa Oleh itu, apabila mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi z = y), hujah seladang tidak lagi boleh dianggap sebagai pembolehubah bebas: ia berkaitan antara satu sama lain oleh hubungan y) = 0, yang dipanggil persamaan sambungan. Untuk menjelaskan perbezaan antara ekstrem tanpa syarat dan bersyarat, mari kita lihat contoh di mana maksimum tanpa syarat bagi fungsi (Rajah 23) adalah sama dengan satu dan dicapai pada titik (0,0). Ia sepadan dengan titik M - puncak pvvboloid Mari kita tambahkan persamaan sambungan y = j. Maka maksimum bersyarat jelas akan sama dengannya Ia dicapai pada titik (o,|), dan ia sepadan dengan bucu Afj bola, iaitu garis persilangan bola dengan satah y = j. Dalam kes mvximum tanpa syarat, kami mempunyai aplikasi mvximum antara semua vpplicvt permukaan * = 1 - l;2 ~ y1; summvv bersyarat - hanya antara titik vllikvt pvraboloidv, sepadan dengan titik* garis lurus y = j bukan satah xOy. Salah satu kaedah untuk mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi dengan kehadiran dan sambungan adalah seperti berikut. Contoh. Cari extremum fungsi di bawah keadaan Extremum fungsi beberapa pembolehubah Konsep ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi selanjar A Daripada persamaan sambungan (2") kita dapati y = 1-x. Menggantikan nilai ini y kepada (V), kita memperoleh fungsi satu hujah x: Mari kita periksa ia untuk extremum: dari mana x = 1 ialah titik kritikal, jadi ia menyediakan minimum bersyarat bagi fungsi g (Rajah 24). , dipanggil kaedah pengganda Lagrange Biarkan terdapat satu titik ekstrem bersyarat bagi suatu fungsi dengan adanya sambungan Mari kita anggap bahawa persamaan sambungan mentakrifkan fungsi boleh dibezakan secara berterusan dalam kejiranan tertentu titik xx kita memperoleh bahawa terbitan berkenaan dengan x bagi fungsi /(r, ip(x)) pada titik xq mestilah sama dengan sifar atau, yang bersamaan dengan ini, pembezaan bagi mestilah sama dengan sifar , y) pada titik Mo" O) Daripada persamaan sambungan kita mempunyai (5) Mendarab kesamaan terakhir dengan faktor berangka A yang belum ditentukan dan menambah sebutan dengan sebutan dengan kesamaan (4), kita akan mempunyai (kita menganggap bahawa) . Kemudian, disebabkan oleh kesewenang-wenangan dx, kita memperoleh Persamaan (6) dan (7) menyatakan syarat yang diperlukan untuk ekstrem tanpa syarat pada titik fungsi, yang dipanggil fungsi Lagrange. Oleh itu, titik ekstrem bersyarat bagi fungsi /(x, y), jika, semestinya merupakan titik pegun bagi fungsi Lagrange dengan A ialah pekali berangka tertentu. Dari sini kita memperoleh peraturan untuk mencari ekstrem bersyarat: untuk mencari titik yang boleh menjadi titik ekstrem konvensional fungsi dengan kehadiran sambungan, 1) kita menyusun fungsi Lagrange, 2) dengan menyamakan derivatif dan μ daripada fungsi ini kepada sifar dan menambah persamaan sambungan kepada persamaan yang terhasil, kita memperoleh sistem tiga persamaan yang daripadanya kita dapati nilai A dan koordinat x, y bagi titik ekstrem yang mungkin. Persoalan kewujudan dan sifat ekstrem bersyarat diselesaikan berdasarkan kajian tanda pembezaan kedua fungsi Lagrange untuk sistem nilai x0, V0, A yang dipertimbangkan, diperoleh daripada (8) dengan syarat Jika Jika , kemudian pada titik (x0, V0) fungsi /(x, y ) mempunyai maksimum bersyarat; jika d2F > 0 - maka minimum bersyarat. Khususnya, jika pada titik pegun (xo, J/o) penentu D untuk fungsi F(x, y) adalah positif, maka pada titik (®o, V0) terdapat maksimum bersyarat bagi fungsi f( x, y), jika dan minimum bersyarat bagi fungsi /(x, y), jika Contoh. Mari kita beralih semula kepada keadaan contoh sebelumnya: cari ekstrem fungsi dengan syarat x + y = 1. Kami akan menyelesaikan masalah menggunakan kaedah pengganda Lagrange. Fungsi Lagrange dalam dalam kes ini mempunyai bentuk Untuk mencari titik pegun gubah sistem Daripada dua persamaan pertama sistem kita memperoleh bahawa x = y. Kemudian daripada persamaan ketiga sistem (persamaan sambungan) kita dapati bahawa x - y = j ialah koordinat bagi titik ekstrem yang mungkin. Dalam kes ini (ia ditunjukkan bahawa A = -1. Oleh itu, fungsi Lagrange. ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi * = x2 + y2 di bawah syarat Tiada ekstrem tanpa syarat untuk fungsi Lagrange. P(x, y) ) belum lagi bermakna ketiadaan ekstrem bersyarat untuk fungsi /(x, y) dengan adanya sambungan Contoh: Cari ekstrem bagi fungsi di bawah keadaan y 4 Kami menyusun fungsi Lagrange dan menulis sistem untuk menentukan A dan koordinat titik ekstrem yang mungkin: Daripada dua persamaan pertama kita memperoleh x + y = 0 dan kita datang ke sistem dari mana x = y = A = 0. Oleh itu, fungsi Lagrange yang sepadan mempunyai bentuk Pada titik (0,0), fungsi F(x, y; 0) tidak mempunyai ekstrem tanpa syarat, tetapi terdapat ekstrem bersyarat bagi fungsi r = xy apabila y = x Sesungguhnya, dalam kes ini r = x2 di sini adalah jelas bahawa pada titik (0,0) terdapat minimum bersyarat "Kaedah pengganda Lagrange diperluaskan kepada kes fungsi bagi sebarang bilangan hujah. Marilah kita mencari ekstrem bagi fungsi dengan kehadiran persamaan sambungan Mari kita susun fungsi Lagrange di mana A|, Az,..., A„, adalah faktor pemalar tak tentu. Menyamakan kepada sifar semua derivatif separa tertib pertama bagi fungsi F dan menambah persamaan sambungan (9) kepada persamaan yang terhasil, kita memperoleh sistem persamaan n + m, daripada mana kita menentukan Ab A3|..., At dan koordinat x \) x2). » xn daripada kemungkinan titik ekstrem bersyarat. Persoalan sama ada mata yang ditemui menggunakan kaedah Lagrange sememangnya titik ekstrem bersyarat selalunya boleh diselesaikan berdasarkan pertimbangan sifat fizikal atau geometri. 15.3. Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi selanjar Biarlah perlu untuk mencari nilai terbesar (terkecil) bagi fungsi z = /(x, y), berterusan dalam beberapa domain terhad tertutup D. Mengikut Teorem 3, dalam domain ini terdapat ialah titik (xo, V0) di mana fungsi mengambil nilai terbesar (paling kecil). Jika titik (xo, y0) terletak di dalam domain D, maka fungsi / mempunyai maksimum (minimum) di dalamnya, jadi dalam kes ini titik kepentingan kepada kita terkandung di antara titik kritikal fungsi /(x, y). Walau bagaimanapun, fungsi /(x, y) boleh mencapai nilai terbesar (terkecil) di sempadan rantau. Oleh itu, untuk mencari nilai terbesar (terkecil) diambil oleh fungsi z = /(x, y) dalam terhad kawasan tertutup 2), anda perlu mencari semua maksimum (minimum) fungsi yang dicapai di dalam kawasan ini, serta nilai terbesar (terkecil) fungsi pada sempadan kawasan ini. Yang terbesar (terkecil) daripada semua nombor ini akan menjadi nilai terbesar (terkecil) yang dikehendaki bagi fungsi z = /(x,y) di rantau 27. Mari kita tunjukkan bagaimana ini dilakukan dalam kes fungsi boleh beza. Prmmr. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi rantau 4 Cari titik kritikal fungsi di dalam kawasan D. Untuk melakukan ini, kita menyusun sistem persamaan Dari sini kita memperoleh x = y « 0, jadi titik 0 (0,0) ialah titik genting bagi fungsi x. Oleh kerana Mari kita cari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada sempadan Г domain D. Di bahagian sempadan kita mempunyai bahawa y = 0 ialah titik kritikal, dan sejak = kemudian pada titik ini fungsi z = 1 + y2 mempunyai minimum, sama dengan satu. Di hujung segmen Г", pada titik (, ​​kita ada. Menggunakan pertimbangan simetri, kita memperoleh keputusan yang sama untuk bahagian sempadan yang lain. Akhirnya kita memperoleh: nilai terkecil fungsi z = x2+y2 dalam rantau "B adalah sama dengan sifar dan ia dicapai pada titik dalaman 0(0, 0) rantau, dan nilai maksimum fungsi ini, sama dengan dua, dicapai pada empat mata bagi sempadan (Rajah 25) Rajah 25 Latihan Cari domain takrifan fungsi: Bina garis aras fungsi: 9 Cari permukaan aras bagi fungsi tiga pembolehubah bebas: Kira had fungsi: Cari terbitan separa fungsi dan mereka pembezaan penuh: Cari terbitan bagi fungsi kompleks: 3 Cari J. Ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah Konsep ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan 34. Menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks dua pembolehubah, cari dan fungsi: 35. Menggunakan formula untuk terbitan kompleks fungsi dua pembolehubah, cari |J dan fungsi: Cari fungsi jj yang diberi secara tersirat: 40. Cari cerun tangen kepada lengkung pada titik persilangannya dengan garis x = 3. 41. Cari titik di mana tangen kepada lengkung x selari dengan paksi Lembu. . Dalam masalah berikut, cari dan T: Tuliskan persamaan satah tangen dan normal permukaan: 49. Tulis persamaan satah tangen bagi permukaan x2 + 2y2 + 3r2 = 21, selari dengan kapal terbang x + 4y + 6z = 0. Cari tiga atau empat sebutan pertama pengembangan menggunakan formula Taylor: 50. y dalam persekitaran titik (0, 0). Menggunakan takrifan ekstrem bagi suatu fungsi, periksa fungsi berikut untuk ekstrem:). Menggunakan syarat yang mencukupi untuk ekstrem fungsi dua pembolehubah, periksa ekstrem fungsi: 84. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi z = x2 - y2 dalam bulatan tertutup 85. Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi * = x2y(4-x-y) dalam segi tiga yang dibatasi oleh garis lurus x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Tentukan dimensi kolam terbuka segi empat tepat yang mempunyai luas permukaan terkecil, dengan syarat isipadunya sama dengan V. 87. Cari dimensi segi empat selari dengan mas kahwin permukaan penuh 5 kelantangan maksimum. Jawapan 1. dan | Segi empat sama yang dibentuk oleh ruas garis x termasuk sisinya. 3. Keluarga cincin sepusat 2= 0,1,2,... .4. Keseluruhan satah kecuali titik-titik pada garis lurus. Bahagian satah yang terletak di atas parabola y = -x?. 8. Titik bulatan x. Seluruh satah kecuali garis lurus x Ungkapan radikal adalah bukan negatif dalam dua kes j * ^ atau j x ^ ^ yang bersamaan dengan siri ketaksamaan tak terhingga, masing-masing Domain takrifan ialah segi empat sama berlorek (Gamb. 26); l yang bersamaan dengan siri tak terhingga Fungsi ditakrifkan dalam titik.

a) Garis lurus selari dengan garis lurus x b) bulatan sepusat dengan pusat di titik asal. 10. a) parabola y) parabola y a) parabola b) hiperbola | .Pesawat xc. 13. Prim - hiperboloid satu rongga putaran di sekeliling paksi Oz; apabila dan merupakan hiperboloid dua helai putaran di sekeliling paksi Oz, kedua-dua keluarga permukaan dipisahkan oleh kon; Tiada had, b) 0. 18. Mari kita tetapkan y = kxt kemudian z lim z = -2, jadi fungsi yang diberikan pada titik (0,0) tidak mempunyai had. 19. a) Mata (0,0); b) titik (0,0). 20. a) Garis putus - bulatan x2 + y2 = 1; b) garis putus ialah garis lurus y = x. 21. a) Garisan putus - paksi koordinat Oh dan Oh; b) 0 (set kosong). 22. Semua titik (m, n), di mana dan n ialah integer Definisi1 : Suatu fungsi dikatakan mempunyai maksimum setempat pada suatu titik jika terdapat kejiranan titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk mana-mana titik M< 0.

dengan koordinat(x, y) Oh dan Oh; b) 0 (set kosong). 22. Semua titik (m, n), di mana dan n ialah integer Definisi1 : Suatu fungsi dikatakan mempunyai maksimum setempat pada suatu titik jika terdapat kejiranan titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk mana-mana titik ketidaksamaan memegang: . Dalam kes ini, iaitu, kenaikan fungsi

Definisi2: Suatu fungsi dikatakan mempunyai minimum setempat pada suatu titik jika terdapat kejiranan titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk mana-mana titik ketidaksamaan memegang: . Dalam kes ini, iaitu, kenaikan fungsi > 0. Definisi 3 : Titik.

Keterlaluan Bersyarat

Apabila mencari ekstrem fungsi banyak pembolehubah, masalah sering timbul berkaitan dengan apa yang dipanggil ekstrem bersyarat. Konsep ini boleh dijelaskan menggunakan contoh fungsi dua pembolehubah.

Biarkan fungsi dan garis diberikan L dalam kapal terbang 0xy. Tugasnya adalah untuk mendapatkan talian L mencari titik sedemikian P(x, y), di mana nilai fungsi adalah terbesar atau terkecil berbanding dengan nilai fungsi ini pada titik pada garis L, terletak berhampiran titik P. Mata sedemikian P dipanggil titik ekstrem bersyarat berfungsi dalam talian L. Berbeza dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi bukan di semua titik kejiranan, tetapi hanya pada titik yang terletak pada garis L.

Ia benar-benar jelas bahawa titik ekstrem biasa (mereka juga berkata ekstrem tanpa syarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk mana-mana garisan yang melalui titik ini. Sebaliknya, tentu saja, tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem biasa. Biar saya jelaskan apa yang saya katakan contoh biasa. Graf fungsi ialah hemisfera atas (Lampiran 3 (Rajah 3)).

Fungsi ini mempunyai maksimum pada asal; puncak sepadan dengannya Oh dan Oh; b) 0 (set kosong). 22. Semua titik (m, n), di mana dan n ialah integer hemisfera. Jika talian L terdapat garisan yang melalui titik-titik tersebut A Dan DALAM(persamaan dia x+y-1=0), maka jelas secara geometri bahawa untuk titik garis ini nilai terbesar fungsi dicapai pada titik yang terletak di tengah antara titik A Dan DALAM. Ini ialah titik ekstrem bersyarat (maksimum) fungsi pada baris ini; ia sepadan dengan titik M 1 pada hemisfera, dan dari angka itu jelas bahawa tidak boleh bercakap tentang mana-mana ekstrem biasa di sini.

Ambil perhatian bahawa pada bahagian akhir masalah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup, kita perlu mencari nilai ekstrem fungsi pada sempadan rantau ini, i.e. pada beberapa baris, dan dengan itu menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat.

Sekarang mari kita meneruskan pencarian praktikal untuk titik ekstrem bersyarat bagi fungsi Z= f(x, y) dengan syarat pembolehubah x dan y dikaitkan dengan persamaan (x, y) = 0. Kami akan memanggil hubungan ini sebagai persamaan sambungan. Jika daripada persamaan gandingan y boleh dinyatakan secara eksplisit dalam sebutan x: y=(x), kita memperoleh fungsi satu pembolehubah Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Setelah menemui nilai x di mana fungsi ini mencapai ekstrem, dan kemudian ditentukan daripada persamaan sambungan nilai y yang sepadan, kita memperoleh titik yang dikehendaki bagi ekstrem bersyarat.

Jadi, dalam contoh di atas, daripada persamaan hubungan x+y-1=0 kita ada y=1-x. Dari sini

Adalah mudah untuk menyemak bahawa z mencapai maksimum pada x = 0.5; tetapi kemudian daripada persamaan sambungan y = 0.5, dan kita mendapat tepat titik P, didapati daripada pertimbangan geometri.

Masalah ekstrem bersyarat sangat mudah diselesaikan walaupun persamaan sambungan boleh diwakili persamaan parametrik x=x(t), y=y(t). Menggantikan ungkapan bagi x dan y ke dalam fungsi ini, kita sekali lagi datang kepada masalah mencari ekstrem bagi fungsi satu pembolehubah.

Jika persamaan gandingan mempunyai lebih daripada rupa yang kompleks dan kami tidak dapat sama ada menyatakan secara eksplisit satu pembolehubah dalam sebutan yang lain, atau menggantikannya dengan persamaan parametrik, maka tugas mencari ekstrem bersyarat menjadi lebih sukar. Kami akan terus menganggap bahawa dalam ungkapan fungsi z= f(x, y) pembolehubah (x, y) = 0. Jumlah terbitan bagi fungsi z= f(x, y) adalah sama dengan:

Di mana terbitan y` didapati menggunakan peraturan pembezaan fungsi tersirat. Pada titik ekstrem bersyarat, jumlah derivatif yang ditemui mestilah sama dengan sifar; ini memberikan satu persamaan yang mengaitkan x dan y. Oleh kerana mereka juga mesti memenuhi persamaan gandingan, kita mendapat sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui

Mari kita ubah sistem ini kepada yang lebih mudah dengan menulis persamaan pertama dalam bentuk perkadaran dan memperkenalkan alat bantu baharu yang tidak diketahui:

(tanda tolak di hadapan adalah untuk kemudahan). Daripada persamaan ini adalah mudah untuk berpindah ke sistem berikut:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

yang, bersama-sama dengan persamaan sambungan (x, y) = 0, membentuk sistem tiga persamaan dengan x, y dan yang tidak diketahui.

Persamaan ini (*) paling mudah diingat menggunakan peraturan berikut: untuk mencari titik yang boleh menjadi titik ekstrem bersyarat bagi fungsi

Z= f(x, y) dengan persamaan sambungan (x, y) = 0, anda perlu membentuk fungsi tambahan

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Di manakah beberapa pemalar, dan cipta persamaan untuk mencari titik ekstrem fungsi ini.

Sistem persamaan yang ditunjukkan menyediakan, sebagai peraturan, hanya syarat yang diperlukan, i.e. tidak setiap pasangan nilai x dan y yang memenuhi sistem ini semestinya merupakan titik ekstrem bersyarat. Saya tidak akan memberikan syarat yang mencukupi untuk titik ekstrem bersyarat; sangat kerap kandungan tertentu masalah itu sendiri memberitahu anda apakah titik yang ditemui itu. Teknik yang diterangkan untuk menyelesaikan masalah pada ekstrem bersyarat dipanggil kaedah pengganda Lagrange.

Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi dua pembolehubah

1. Biarkan fungsi boleh dibezakan secara berterusan dalam beberapa kejiranan titik dan mempunyai terbitan separa berterusan tertib kedua (tulen dan bercampur).

2. Mari kita nyatakan dengan penentu tertib kedua

fungsi kuliah boleh ubah melampau

Teorem

Jika titik dengan koordinat ialah titik pegun untuk fungsi tersebut, maka:

A) Ia adalah titik ekstrem tempatan dan, pada maksimum tempatan, ia adalah minimum tempatan;

C) pada titik itu bukan titik ekstrem tempatan;

C) jika, mungkin kedua-duanya.

Bukti

Mari kita tulis formula Taylor untuk fungsi itu, mengehadkan diri kita kepada dua istilah:

Oleh kerana, mengikut syarat teorem, titik adalah pegun, derivatif separa tertib kedua adalah sama dengan sifar, i.e. Dan. Kemudian

Mari kita nyatakan

Kemudian kenaikan fungsi akan mengambil bentuk:

Oleh kerana kesinambungan derivatif separa tertib kedua (tulen dan bercampur), mengikut syarat teorem pada satu titik, kita boleh menulis:

Di mana atau; ,

1. Biar dan, i.e. atau.

2. Darabkan kenaikan fungsi dan bahagi dengan, kita dapat:

3. Mari tambahkan ungkapan dalam kurungan kerinting ke persegi penuh jumlah:

4. Ungkapan dalam pendakap kerinting adalah bukan negatif, kerana

5. Oleh itu, jika cara dan, maka dan, oleh itu, mengikut definisi, titik itu ialah titik minimum tempatan.

6. Jika bermakna dan, maka, mengikut definisi, titik dengan koordinat ialah titik maksimum tempatan.

2. Pertimbangkan trinomial kuadratik, diskriminasinya, .

3. Jika, maka terdapat titik sedemikian rupa sehingga polinomial

4. Kami menulis jumlah kenaikan fungsi pada satu titik mengikut ungkapan yang diperolehi dalam I sebagai:

5. Disebabkan kesinambungan derivatif separa tertib kedua, mengikut syarat teorem pada satu titik, kita boleh menulis bahawa

Oleh itu, terdapat kejiranan titik yang, untuk mana-mana titik, trinomial kuadratik adalah lebih besar daripada sifar:

6. Pertimbangkan kejiranan suatu titik.

Mari pilih mana-mana nilai, jadi tempoh. Dengan mengandaikan bahawa dalam formula untuk kenaikan fungsi

Apa yang kita dapat:

7. Sejak itu.

8. Berhujah yang sama untuk akar, kita dapati bahawa dalam mana-mana kejiranan titik terdapat titik yang, oleh itu, dalam kejiranan titik itu tidak mengekalkan tanda, oleh itu tidak ada ekstrem pada titik itu.

Ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah

Apabila mencari ekstrem fungsi dua pembolehubah, masalah sering timbul berkaitan dengan apa yang dipanggil ekstrem bersyarat. Konsep ini boleh dijelaskan menggunakan contoh fungsi dua pembolehubah.

Biarkan fungsi dan garis L diberikan pada satah 0xy. Tugasnya adalah untuk mencari titik P (x, y) pada garis L di mana nilai fungsi adalah terbesar atau terkecil berbanding dengan nilai fungsi ini pada titik pada garis L yang terletak berhampiran titik P. Titik P tersebut dipanggil fungsi titik ekstrem bersyarat pada baris L. Tidak seperti titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi bukan di semua titik kejiranan, tetapi hanya pada titik yang terletak pada baris L.

Jelas sekali bahawa titik ekstrem biasa (mereka juga mengatakan ekstrem tanpa syarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk mana-mana garisan yang melalui titik ini. Sebaliknya, tentu saja, tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem biasa. Mari kita gambarkan ini dengan contoh.

Contoh No. 1. Graf fungsi ialah hemisfera atas (Rajah 2).

nasi. 2.

Fungsi ini mempunyai maksimum pada asal; ia sepadan dengan bucu M hemisfera. Jika garis L ialah garis lurus yang melalui titik A dan B (persamaannya), maka jelas secara geometri bahawa untuk titik garis ini nilai terbesar fungsi dicapai pada titik yang terletak di tengah antara titik A dan B Ini ialah titik fungsi ekstrem bersyarat (maksimum) pada baris ini; ia sepadan dengan titik M 1 pada hemisfera, dan dari angka itu jelas bahawa tidak boleh bercakap tentang mana-mana ekstrem biasa di sini.

Ambil perhatian bahawa pada bahagian akhir masalah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup, kita perlu mencari nilai ekstrem fungsi pada sempadan rantau ini, i.e. pada beberapa baris, dan dengan itu menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat.

Definisi 1. Mereka mengatakan bahawa di mana mempunyai pada titik yang memenuhi persamaan maksimum bersyarat atau relatif (minimum): jika untuk mana-mana titik memenuhi persamaan, ketidaksamaan

Definisi 2. Persamaan bentuk dipanggil persamaan kekangan.

Teorem

Jika fungsi dan boleh dibezakan secara berterusan dalam kejiranan titik, dan terbitan separa, dan titik itu ialah titik ekstrem bersyarat bagi fungsi berkenaan dengan persamaan kekangan, maka penentu tertib kedua adalah sama dengan sifar:

Bukti

1. Oleh kerana, mengikut syarat teorem, terbitan separa dan nilai fungsi, maka dalam segi empat tepat tertentu

fungsi tersirat ditakrifkan

Fungsi kompleks dua pembolehubah pada satu titik akan mempunyai ekstrem tempatan, oleh itu, atau.

2. Sesungguhnya, mengikut sifat invarian formula pembezaan tertib pertama

3. Persamaan sambungan boleh diwakili dalam bentuk ini, yang bermaksud

4. Darab persamaan (2) dengan, dan (3) dengan dan tambahnya

Oleh itu, apabila

sewenang-wenangnya. dll.

Akibat

Pencarian titik ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah dalam amalan dijalankan dengan menyelesaikan sistem persamaan

Jadi, dalam contoh di atas No. 1 dari persamaan sambungan yang kita ada. Dari sini adalah mudah untuk menyemak apa yang mencapai maksimum pada. Tetapi kemudian dari persamaan komunikasi. Kami memperoleh titik P, didapati secara geometri.

Contoh No. 2. Cari titik ekstrem bersyarat bagi fungsi relatif kepada persamaan gandingan.

Mari cari terbitan separa fungsi yang diberikan dan persamaan gandingan:

Mari buat penentu tertib kedua:

Mari kita tulis sistem persamaan untuk mencari titik ekstrem bersyarat:

Ini bermakna terdapat empat titik ekstrem bersyarat bagi fungsi dengan koordinat: .

Contoh No. 3. Cari titik ekstrem bagi fungsi itu.

Menyamakan terbitan separa kepada sifar: , kita dapati satu titik pegun - asalan. Di sini,. Akibatnya, titik (0, 0) bukanlah titik ekstrem. Persamaan ialah persamaan paraboloid hiperbolik (Rajah 3) daripada rajah itu dapat dilihat bahawa titik (0, 0) bukanlah titik ekstrem.

nasi. 3.

Nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup

1. Biarkan fungsi ditakrifkan dan berterusan dalam domain tertutup terhad D.

2. Biarkan fungsi mempunyai terbitan separa terhingga di rantau ini, kecuali untuk titik individu rantau itu.

3. Selaras dengan teorem Weierstrass, di rantau ini terdapat satu titik di mana fungsi mengambil nilai terbesar dan terkecil.

4. Jika titik ini adalah titik dalaman bagi rantau D, maka jelas ia akan mempunyai maksimum atau minimum.

5. Dalam kes ini, perkara yang menarik kepada kita adalah antara perkara yang mencurigakan pada tahap ekstrem.

6. Walau bagaimanapun, fungsi itu juga boleh mengambil nilai terbesar atau terkecil di sempadan wilayah D.

7. Untuk mencari nilai terbesar (terkecil) fungsi di rantau D, anda perlu mencari semua titik dalaman mencurigakan untuk ekstrem, hitung nilai fungsi di dalamnya, kemudian bandingkan dengan nilai fungsi di titik sempadan wilayah, dan yang terbesar daripada semua nilai yang ditemui akan menjadi yang terbesar di wilayah tertutup D.

8. Kaedah mencari maksimum atau minimum tempatan telah dibincangkan sebelum ini dalam bahagian 1.2. dan 1.3.

9. Ia kekal untuk mempertimbangkan kaedah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi di sempadan wilayah.

10. Dalam kes fungsi dua pembolehubah, kawasan biasanya dihadkan oleh lengkung atau beberapa lengkung.

11. Sepanjang lengkung sedemikian (atau beberapa lengkung), pembolehubah dan sama ada bergantung pada satu sama lain, atau kedua-duanya bergantung pada satu parameter.

12. Oleh itu, pada sempadan fungsi ternyata bergantung pada satu pembolehubah.

13. Kaedah carian nilai tertinggi fungsi satu pembolehubah telah dibincangkan sebelum ini.

14. Biarkan sempadan kawasan D diberikan oleh persamaan parametrik:

Kemudian pada lengkung ini fungsi dua pembolehubah akan menjadi fungsi kompleks parameter: . Untuk fungsi sedemikian, nilai terbesar dan terkecil ditentukan menggunakan kaedah untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil untuk fungsi satu pembolehubah.

Ekstrema fungsi beberapa pembolehubah. Keadaan yang perlu untuk ekstrem. Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem. Ekstrem bersyarat. Kaedah pengganda Lagrange. Mencari nilai terbesar dan terkecil.

Kuliah 5.

Definisi 5.1. titik M 0 (x 0, y 0) dipanggil titik maksimum fungsi z = f (x, y), Jika f (x o , y o) > f(x,y) untuk semua mata (x, y) M 0.

Definisi 5.2. titik M 0 (x 0, y 0) dipanggil titik minimum fungsi z = f (x, y), Jika f (x o , y o) < f(x,y) untuk semua mata (x, y) dari beberapa kawasan kejiranan M 0.

Nota 1. Mata maksimum dan minimum dipanggil : Titik fungsi beberapa pembolehubah.

Catatan 2. Titik ekstrem bagi suatu fungsi bagi sebarang bilangan pembolehubah ditentukan dengan cara yang sama.

Teorem 5.1(syarat yang diperlukan untuk ekstrem). Jika M 0 (x 0, y 0)– titik ekstrem fungsi z = f (x, y), maka pada ketika ini derivatif separa tertib pertama bagi fungsi ini adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.

Bukti.

Mari kita betulkan nilai pembolehubah di, mengira y = y 0. Kemudian fungsi f (x, y 0) akan menjadi fungsi satu pembolehubah X, yang mana x = x 0 ialah titik ekstrem. Oleh itu, dengan teorem Fermat, atau tidak wujud. Pernyataan yang sama dibuktikan sama untuk .

Definisi 5.3. Titik kepunyaan domain fungsi beberapa pembolehubah di mana terbitan separa fungsi itu sama dengan sifar atau tidak wujud dipanggil titik pegun fungsi ini.

Komen. Oleh itu, ekstrem hanya boleh dicapai pada titik pegun, tetapi ia tidak semestinya diperhatikan pada setiap titik.

Teorem 5.2(syarat yang mencukupi untuk ekstrem). Biarkan dalam beberapa kejiranan titik M 0 (x 0, y 0), yang merupakan titik pegun bagi fungsi z = f (x, y), fungsi ini mempunyai terbitan separa berterusan sehingga termasuk urutan ke-3. Mari kita nyatakan Kemudian:

1) f(x,y) mempunyai pada titik M 0 maksimum jika AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) mempunyai pada titik M 0 minimum jika AC–B² > 0, A > 0;

3) tidak ada ekstrem pada titik kritikal jika AC–B² < 0;

4) jika AC–B² = 0, kajian lanjut diperlukan.

Bukti.

Mari kita tulis formula Taylor tertib kedua untuk fungsi tersebut f(x,y), mengingati bahawa pada titik pegun derivatif separa tertib pertama adalah sama dengan sifar:

di mana Jika sudut antara ruas M 0 M, Di mana M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ di), dan paksi O X menandakan φ, kemudian Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. Dalam kes ini, formula Taylor akan mengambil bentuk: . Biar Kemudian kita boleh membahagi dan mendarab ungkapan dalam kurungan dengan A. Kami mendapat:

Sekarang mari kita pertimbangkan empat kes yang mungkin:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pada Δρ yang cukup kecil. Oleh itu, di beberapa kawasan kejiranan M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), iaitu M 0– titik maksimum.

2) Biarkan AC–B² > 0, A > 0. Kemudian , Dan M 0– titik minimum.

3) Biarkan AC-B² < 0, A> 0. Pertimbangkan pertambahan argumen di sepanjang sinar φ = 0. Kemudian daripada (5.1) ia mengikuti bahawa , iaitu, apabila bergerak sepanjang sinar ini, fungsi bertambah. Jika kita bergerak sepanjang sinar yang tg φ 0 = -A/B, Itu , oleh itu, apabila bergerak sepanjang sinar ini, fungsi berkurangan. Jadi, tempoh M 0 bukan titik ekstrem.

3`) Bila AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

serupa dengan yang sebelumnya.

3``) Jika AC–B² < 0, A= 0, maka . Pada masa yang sama. Kemudian untuk φ yang cukup kecil ungkapan 2 B cosφ + C sinφ hampir kepada 2 DALAM, iaitu, ia mengekalkan tanda malar, tetapi sinφ menukar tanda di sekitar titik M 0. Ini bermakna bahawa kenaikan fungsi berubah tanda di sekitar titik pegun, yang oleh itu bukan titik ekstrem.

4) Jika AC–B² = 0, dan , , iaitu, tanda kenaikan ditentukan oleh tanda 2α 0. Pada masa yang sama, kajian lanjut diperlukan untuk menjelaskan persoalan kewujudan ekstrem.

Contoh. Mari cari titik ekstrem bagi fungsi tersebut z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Untuk mencari titik pegun, kami menyelesaikan sistem . Jadi, titik pegun ialah (-2,-1). Pada masa yang sama A = 2, DALAM = -2, DENGAN= 4. Kemudian AC–B² = 4 > 0, oleh itu, pada titik pegun, ekstrem dicapai, iaitu minimum (sejak A > 0).

Definisi 5.4. Jika hujah fungsi f (x 1 , x 2 ,…, x n) terikat dengan syarat tambahan dalam bentuk m persamaan ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

di mana fungsi φ i mempunyai terbitan separa berterusan, maka persamaan (5.2) dipanggil persamaan sambungan.

Definisi 5.5. Ekstrem fungsi f (x 1 , x 2 ,…, x n) apabila syarat (5.2) dipenuhi, ia dipanggil ekstrem bersyarat.

Komen. Kami boleh menawarkan tafsiran geometri berikut bagi ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah: biarkan hujah fungsi f(x,y) berkaitan dengan persamaan φ (x,y)= 0, mentakrifkan beberapa lengkung dalam satah O xy. Membina semula serenjang pada satah O dari setiap titik lengkung ini xy sehingga ia bersilang dengan permukaan z = f (x,y), kita memperoleh lengkung spatial yang terletak pada permukaan di atas lengkung φ (x,y)= 0. Tugasnya adalah untuk mencari titik ekstrem lengkung yang terhasil, yang, sudah tentu, kes am tidak bertepatan dengan titik ekstrem tanpa syarat fungsi f(x,y).

Mari kita tentukan syarat yang diperlukan untuk ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah dengan terlebih dahulu memperkenalkan definisi berikut:

Definisi 5.6. Fungsi L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

di mana λ i – ada yang tetap, dipanggil Fungsi Lagrange, dan nombor λi– faktor tidak tentu Lagrange.

Teorem 5.3(syarat yang diperlukan untuk ekstrem bersyarat). Ekstrem bersyarat bagi sesuatu fungsi z = f (x, y) dengan adanya persamaan gandingan φ ( x, y)= 0 hanya boleh dicapai pada titik pegun fungsi Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Bukti. Persamaan gandingan menentukan hubungan tersirat di daripada X, oleh itu kami akan menganggap bahawa di ada fungsi dari X: y = y(x). Kemudian z ada fungsi kompleks daripada X, dan titik kritikalnya ditentukan oleh keadaan: . (5.4) Daripada persamaan gandingan ia mengikuti bahawa . (5.5)

Mari kita darabkan kesamaan (5.5) dengan beberapa nombor λ dan tambahkannya dengan (5.4). Kami mendapat:

, atau .

Kesamaan terakhir mesti dipenuhi pada titik pegun, dari mana ia berikut:

(5.6)

Satu sistem tiga persamaan untuk tiga tidak diketahui diperolehi: x, y dan λ, dan dua persamaan pertama ialah syarat untuk titik pegun bagi fungsi Lagrange. Dengan mengecualikan λ tambahan yang tidak diketahui daripada sistem (5.6), kita dapati koordinat titik di mana fungsi asal boleh mempunyai ekstrem bersyarat.

Catatan 1. Kehadiran ekstrem bersyarat pada titik yang ditemui boleh disemak dengan mengkaji terbitan separa tertib kedua bagi fungsi Lagrange dengan analogi dengan Teorem 5.2.

Catatan 2. Titik di mana ekstrem bersyarat bagi fungsi boleh dicapai f (x 1 , x 2 ,…, x n) apabila syarat (5.2) dipenuhi, boleh ditakrifkan sebagai penyelesaian sistem (5.7)

Contoh. Mari cari ekstrem bersyarat bagi fungsi tersebut z = xy memandangkan itu x + y= 1. Mari kita susun fungsi Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) kelihatan seperti ini:

Di mana -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Pada masa yang sama L(x,y) boleh diwakili dalam bentuk L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, oleh itu pada titik pegun yang ditemui L(x,y) mempunyai maksimum, dan z = xy – maksimum bersyarat.

Pertama, mari kita pertimbangkan kes fungsi dua pembolehubah. Ekstrem bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$ pada titik $M_0(x_0;y_0)$ ialah ekstrem bagi fungsi ini, dicapai di bawah syarat pembolehubah $x$ dan $y$ dalam sekitar titik ini memenuhi persamaan sambungan $\ varphi (x,y)=0$.

Nama ekstrem "bersyarat" adalah disebabkan oleh fakta bahawa syarat tambahan $\varphi(x,y)=0$ dikenakan ke atas pembolehubah. Jika satu pembolehubah boleh dinyatakan daripada persamaan sambungan melalui yang lain, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat dikurangkan kepada masalah menentukan ekstrem biasa fungsi satu pembolehubah. Sebagai contoh, jika persamaan sambungan membayangkan $y=\psi(x)$, kemudian menggantikan $y=\psi(x)$ kepada $z=f(x,y)$, kita memperoleh fungsi satu pembolehubah $z =f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. Walau bagaimanapun, dalam kes umum, kaedah ini tidak banyak digunakan, jadi pengenalan algoritma baru diperlukan.

Kaedah pengganda Lagrange untuk fungsi dua pembolehubah.

Kaedah pengganda Lagrange terdiri daripada membina fungsi Lagrange untuk mencari ekstrem bersyarat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda$ dipanggil pengganda Lagrange). Prasyarat extrema diberikan oleh sistem persamaan dari mana titik pegun ditentukan:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=0;\\ & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.

Keadaan yang mencukupi untuk menentukan sifat ekstrem ialah tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jika pada titik pegun $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ mempunyai minimum bersyarat pada ketika ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.

Terdapat satu lagi cara untuk menentukan sifat ekstrem. Daripada persamaan gandingan kita perolehi: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, oleh itu pada mana-mana titik pegun kita ada:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Faktor kedua (terletak dalam kurungan) boleh diwakili dalam bentuk ini:

Unsur penentu $\left| diserlahkan dengan warna merah. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, iaitu Hessian bagi fungsi Lagrange. Jika $H > 0$, maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, iaitu kita mempunyai minimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$.

Nota mengenai tatatanda penentu $H$. tunjukkan\sembunyi

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Dalam situasi ini, peraturan yang dirumuskan di atas akan berubah seperti berikut: jika $H > 0$, maka fungsi mempunyai minimum bersyarat, dan jika $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritma untuk mengkaji fungsi dua pembolehubah untuk ekstrem bersyarat

1. Karang fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Selesaikan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.$
3. Tentukan sifat ekstrem pada setiap titik pegun yang terdapat dalam perenggan sebelumnya. Untuk melakukan ini, gunakan mana-mana kaedah berikut:
   • Susun penentu $H$ dan ketahui tandanya
   • Dengan mengambil kira persamaan gandingan, hitung tanda $d^2F$

Kaedah pengganda lagrange untuk fungsi n pembolehubah

Katakan kita mempunyai fungsi $n$ pembolehubah $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan $m$ persamaan gandingan ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Menandakan pengganda Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kami menyusun fungsi Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Syarat yang diperlukan untuk kehadiran ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik pegun dan nilai pengganda Lagrange ditemui:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Anda boleh mengetahui sama ada fungsi mempunyai minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemui, seperti sebelum ini, menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik yang ditemui $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut mempunyai minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Penentu matriks $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(n)) \\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_1) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)^(2)) & \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(n))\\ \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(3) \sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)\sebahagian x_(2)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(2)) & \ frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)^(2))\\ \end( tatasusunan) \kanan|$, diserlahkan dengan warna merah dalam matriks $L$, ialah Hessian bagi fungsi Lagrange. Kami menggunakan peraturan berikut:

• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ bertepatan dengan tanda $(-1)^m$, maka titik pegun yang dikaji ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ berselang-seli, dan tanda kecil $H_(2m+1)$ bertepatan dengan tanda nombor $(-1)^(m+1 )$, maka titik pegun ialah titik maksimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Contoh No. 1

Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=x+3y$ di bawah keadaan $x^2+y^2=10$.

Tafsiran geometri masalah ini adalah seperti berikut: ia diperlukan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi aplikasi satah $z=x+3y$ untuk titik persilangannya dengan silinder $x^2+y ^2=10$.

Agak sukar untuk menyatakan satu pembolehubah melalui yang lain daripada persamaan gandingan dan menggantikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan kaedah Lagrange.

Menandakan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kami menyusun fungsi Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\sebahagian x)=1+2\lambda x; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=3+2\lambda y. $$

Mari kita tulis satu sistem persamaan untuk menentukan titik pegun bagi fungsi Lagrange:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \tamat (diselaraskan)\kanan.$$

Jika kita menganggap $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Percanggahan yang terhasil menunjukkan bahawa $\lambda\neq 0$. Di bawah keadaan $\lambda\neq 0$, daripada persamaan pertama dan kedua kita ada: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita dapat:

$$ \kiri(-\frac(1)(2\lambda) \kanan)^2+\kiri(-\frac(3)(2\lambda) \kanan)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(diselaraskan) $$

Jadi, sistem mempunyai dua penyelesaian: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami mengira penentu $H$ pada setiap titik.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \kanan| $$

Pada titik $M_1(1;3)$ kita dapat: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik Fungsi $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=z(1;3)=10$.

Begitu juga, pada titik $M_2(-1,-3)$ kita dapati: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Saya perhatikan bahawa daripada mengira nilai penentu $H$ pada setiap titik, adalah lebih mudah untuk mengembangkannya dalam pandangan umum. Untuk tidak mengacaukan teks dengan butiran, saya akan menyembunyikan kaedah ini di bawah nota.

Menulis penentu $H$ dalam bentuk am. tunjukkan\sembunyi

$$ H=8\cdot\left|\mulakan(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\kanan| =8\cdot\kiri(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\kanan) =-8\lambda\cdot\kiri(y^2+x^2\kanan). $$

Pada dasarnya, sudah jelas tanda yang ada pada $H$. Oleh kerana tiada mata $M_1$ atau $M_2$ bertepatan dengan asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh itu, tanda $H$ adalah bertentangan dengan tanda $\lambda$. Anda boleh melengkapkan pengiraan:

$$ \mulakan(diselaraskan) &H(M_1)=-8\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri(3^2+1^2\kanan)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(diselaraskan) $$

Soalan tentang sifat ekstrem pada titik pegun $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ boleh diselesaikan tanpa menggunakan penentu $H$. Mari kita cari tanda $d^2F$ pada setiap titik pegun:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Biar saya ambil perhatian bahawa notasi $dx^2$ bermakna tepat $dx$ dinaikkan kepada kuasa kedua, i.e. $\kiri(dx \kanan)^2$. Oleh itu kita mempunyai: $dx^2+dy^2>0$, oleh itu, dengan $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita mendapat $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Jawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=10$

Contoh No. 2

Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ di bawah keadaan $x+y=0$.

Kaedah pertama (kaedah pengganda Lagrange)

Menandakan $\varphi(x,y)=x+y$, kami menyusun fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=9y^2-x+\lambda.\\ \kiri \( \mula(dijajar) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(aligned) \right.

Setelah menyelesaikan sistem, kami memperoleh: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Kami mempunyai dua titik pegun: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun menggunakan penentu $H$.

$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, oleh itu pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Kami menyiasat sifat ekstrem pada setiap titik menggunakan kaedah yang berbeza, berdasarkan tanda $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Daripada persamaan sambungan $x+y=0$ kita ada: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Oleh kerana $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Begitu juga, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cara kedua

Daripada persamaan sambungan $x+y=0$ kita dapat: $y=-x$. Menggantikan $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita memperoleh beberapa fungsi pembolehubah $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Oleh itu, kami mengurangkan masalah mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah kepada masalah menentukan ekstrem fungsi satu pembolehubah.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Kami memperoleh mata $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Kajian lanjut diketahui dari kursus tersebut kalkulus pembezaan berfungsi dengan satu pembolehubah. Dengan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik pegun atau menyemak perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik yang ditemui, kami memperoleh kesimpulan yang sama seperti apabila menyelesaikan dengan cara pertama Sebagai contoh, kami akan menyemak tanda $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Oleh kerana $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ ialah titik minimum bagi fungsi $u(x)$, dan $u_(\min)=u(0)=0 $ . Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Nilai fungsi $u(x)$ untuk keadaan sambungan tertentu bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, i.e. extrema yang ditemui bagi fungsi $u(x)$ ialah extrema bersyarat yang dicari bagi fungsi $z(x,y)$.

Jawab: pada titik $(0;0)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Mari kita pertimbangkan contoh lain di mana kita akan menjelaskan sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.

Contoh No. 3

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi $z=5xy-4$ jika pembolehubah $x$ dan $y$ adalah positif dan memenuhi persamaan gandingan $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Mari kita karang fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Mari cari titik pegun bagi fungsi Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; y > 0. \end(aligned) \right.

Semua transformasi selanjutnya dijalankan dengan mengambil kira $x > 0; \; y > 0$ (ini dinyatakan dalam pernyataan masalah). Daripada persamaan kedua kita nyatakan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Menggantikan $x=2y$ ke dalam persamaan ketiga, kita dapat: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Oleh kerana $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Kami menentukan sifat ekstrem pada titik $(2;1)$ berdasarkan tanda $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Oleh kerana $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Pada dasarnya, di sini anda boleh segera menggantikan koordinat titik pegun $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, mendapatkan:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Walau bagaimanapun, dalam masalah lain pada ekstrem bersyarat mungkin terdapat beberapa titik pegun. Dalam kes sedemikian, adalah lebih baik untuk mewakili $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian menggantikan koordinat setiap titik pegun yang ditemui ke dalam ungkapan yang terhasil:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$

Menggantikan $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita dapat:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Oleh kerana $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Jawab: pada titik $(2;1)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=6$.

Dalam bahagian seterusnya kita akan mempertimbangkan penggunaan kaedah Lagrange untuk fungsi lebih pembolehubah.