Cari nod dan nod tiga. Anggukan dan nok nombor - pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil beberapa nombor

Mari kita mula mengkaji gandaan sepunya terkecil bagi dua atau lebih nombor. Dalam bahagian ini kita akan mentakrifkan istilah, pertimbangkan teorem yang mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar, dan berikan contoh penyelesaian masalah.

Gandaan sepunya – definisi, contoh

Dalam topik ini, kita hanya akan berminat dalam gandaan sepunya integer selain sifar.

Definisi 1

Gandaan sepunya bagi integer ialah integer yang merupakan gandaan semua nombor yang diberi. Malah, ia adalah sebarang integer yang boleh dibahagikan dengan mana-mana nombor yang diberikan.

Takrif gandaan sepunya merujuk kepada dua, tiga atau lebih integer.

Contoh 1

Mengikut definisi yang diberikan di atas, gandaan sepunya bagi nombor 12 ialah 3 dan 2. Juga, nombor 12 akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor 2, 3 dan 4. Nombor 12 dan -12 ialah gandaan sepunya bagi nombor ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Pada masa yang sama, gandaan sepunya bagi nombor 2 dan 3 ialah nombor 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 dan keseluruhan baris mana-mana yang lain.

Jika kita mengambil nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor pertama pasangan dan tidak boleh dibahagikan dengan kedua, maka nombor tersebut tidak akan menjadi gandaan sepunya. Jadi, untuk nombor 2 dan 3, nombor 16, − 27, 5009, 27001 tidak akan menjadi gandaan sepunya.

0 ialah gandaan sepunya bagi mana-mana set integer selain sifar.

Jika kita mengimbas kembali harta boleh bahagi berkenaan dengan nombor berlawanan, maka ternyata beberapa integer k akan menjadi gandaan sepunya nombor ini, sama seperti nombor - k. Ini bermakna pembahagi biasa boleh sama ada positif atau negatif.

Adakah mungkin untuk mencari LCM untuk semua nombor?

Gandaan sepunya boleh didapati untuk sebarang integer.

Contoh 2

Kiranya kita diberi k integer a 1 , a 2 , … , a k. Nombor yang kita dapat apabila mendarab nombor a 1 · a 2 · … · a k mengikut harta pembahagian, ia akan dibahagikan kepada setiap faktor yang dimasukkan ke dalam produk asal. Ini bermakna hasil darab nombor a 1 , a 2 , … , a k ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Berapakah bilangan gandaan sepunya yang boleh dimiliki oleh integer ini?

Sekumpulan integer boleh mempunyai sejumlah besar gandaan sepunya. Malah, bilangan mereka tidak terhingga.

Contoh 3

Katakan kita mempunyai beberapa nombor k. Kemudian hasil darab nombor k · z, dengan z ialah integer, akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor k dan z. Memandangkan bilangan nombor adalah tak terhingga, bilangan gandaan sepunya adalah tak terhingga.

Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) – Definisi, Notasi dan Contoh

Mari kita ingat konsepnya nombor terkecil daripada set yang diberikan nombor, yang kami lihat dalam bahagian "Membanding Nombor Bulat". Dengan mengambil kira konsep ini, kami merumuskan takrif gandaan sepunya terkecil, yang mempunyai kepentingan praktikal yang paling besar antara semua gandaan sepunya.

Definisi 2

Gandaan sepunya terkecil bagi integer yang diberikan ialah gandaan sepunya positif terkecil bagi nombor ini.

Gandaan sepunya terkecil wujud untuk sebarang bilangan nombor yang diberikan. Singkatan yang paling biasa digunakan untuk konsep dalam kesusasteraan rujukan ialah NOC. Entri ringkas gandaan sepunya terkecil untuk nombor a 1 , a 2 , … , a k akan mempunyai borang LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Contoh 4

Gandaan sepunya terkecil bagi 6 dan 7 ialah 42. Itu. LCM(6, 7) = 42. Gandaan sepunya terkecil daripada empat nombor 2, 12, 15 dan 3 ialah 60. Notasi pendek akan kelihatan seperti LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Gandaan sepunya terkecil tidak jelas untuk semua kumpulan nombor yang diberikan. Selalunya ia perlu dikira.

Hubungan antara NOC dan GCD

Gandaan sepunya terkecil dan terbesar pembahagi biasa bersambung antara satu sama lain. Hubungan antara konsep ditubuhkan oleh teorem.

Teorem 1

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer positif a dan b adalah sama dengan hasil darab a dan b dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar a dan b, iaitu, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Bukti 1

Katakan kita mempunyai beberapa nombor M, iaitu gandaan nombor a dan b. Jika nombor M boleh dibahagi dengan a, terdapat juga beberapa integer z , di mana persamaan itu benar M = a k. Mengikut takrif kebolehbahagi, jika M boleh dibahagi dengan b, maka a · k dibahagikan dengan b.

Jika kita memperkenalkan tatatanda baharu untuk gcd (a, b) sebagai d, maka kita boleh menggunakan persamaan a = a 1 d dan b = b 1 · d. Dalam kes ini, kedua-dua kesamaan akan menjadi nombor perdana secara relatif.

Kami telah pun menetapkan di atas itu a · k dibahagikan dengan b. Sekarang syarat ini boleh ditulis seperti berikut:
a 1 d k dibahagikan dengan b 1 d, yang bersamaan dengan syarat a 1 k dibahagikan dengan b 1 mengikut sifat boleh bahagi.

Mengikut harta bersama nombor perdana, Jika a 1 Dan b 1– nombor koprima, a 1 tidak boleh dibahagikan dengan b 1 walaupun pada hakikatnya a 1 k dibahagikan dengan b 1, Itu b 1 mesti dikongsi k.

Dalam kes ini, adalah wajar untuk menganggap bahawa terdapat nombor t, untuk yang mana k = b 1 t, dan sejak b 1 = b: d, Itu k = b: d t.

Sekarang bukannya k mari kita gantikan kepada kesaksamaan M = a k ungkapan bentuk b: d t. Ini membolehkan kita mencapai kesaksamaan M = a b: d t. Pada t = 1 kita boleh mendapat gandaan sepunya terkecil positif bagi a dan b , sama rata a b: d, dengan syarat nombor a dan b positif.

Jadi kami membuktikan bahawa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Mewujudkan sambungan antara LCM dan GCD membolehkan anda mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar bagi dua atau lebih nombor tertentu.

Definisi 3

Teorem mempunyai dua akibat penting:

gandaan gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor adalah sama dengan gandaan sepunya bagi dua nombor tersebut;
gandaan sepunya terkecil bagi nombor positif saling perdana a dan b adalah sama dengan hasil darabnya.

Tidak sukar untuk membuktikan kedua-dua fakta ini. Sebarang gandaan sepunya M bagi nombor a dan b ditakrifkan oleh kesamaan M = LCM (a, b) · t untuk beberapa nilai integer t. Oleh kerana a dan b adalah secara relatifnya perdana, maka gcd (a, b) = 1, oleh itu, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor, adalah perlu untuk mencari KPK dua nombor secara berurutan.

Teorem 2

Mari kita berpura-pura itu a 1 , a 2 , … , a k- ini adalah beberapa integer nombor positif. Untuk mengira LCM m k nombor ini, kita perlu mengira secara berurutan m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Bukti 2

Konsekuensi pertama daripada teorem pertama yang dibincangkan dalam topik ini akan membantu kita membuktikan kesahihan teorem kedua. Penalaran adalah berdasarkan algoritma berikut:

gandaan sepunya nombor a 1 Dan a 2 bertepatan dengan gandaan LCM mereka, sebenarnya, ia bertepatan dengan gandaan nombor itu m 2;
gandaan sepunya nombor a 1, a 2 Dan a 3 m 2 Dan a 3 m 3;
gandaan sepunya nombor a 1 , a 2 , … , a k bertepatan dengan gandaan sepunya nombor m k - 1 Dan a k, oleh itu, bertepatan dengan gandaan nombor m k;
disebabkan oleh fakta bahawa gandaan positif terkecil nombor m k ialah nombor itu sendiri m k, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu a 1 , a 2 , … , a k ialah m k.

Ini adalah bagaimana kami membuktikan teorem.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Mencari Gandaan Sepunya Terkecil (LCD) dan Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) bagi nombor asli.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang 5 daripada pengembangan nombor kedua. Kami dapat: 2*2*3*5*5=300. Kami mendapati NOC, i.e. jumlah ini = 300. Jangan lupa dimensi dan tulis jawapannya:
Jawapan: Ibu memberi 300 rubel.

Definisi GCD: Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) nombor asli A Dan V panggil nombor asli terbesar c, ke mana a, Dan b dibahagikan tanpa baki. Itu. c ialah nombor asli terkecil yang dan A Dan b ialah gandaan.

Memo: Terdapat dua pendekatan untuk mentakrifkan nombor asli

nombor yang digunakan dalam: menyenaraikan (penomboran) objek (pertama, kedua, ketiga, ...); - di sekolah selalunya begini.
penetapan bilangan item (tiada Pokemon - sifar, satu Pokemon, dua Pokemon, ...).

Nombor negatif dan bukan integer (rasional, nyata, ...) bukan nombor asli. Sesetengah pengarang memasukkan sifar dalam set nombor asli, yang lain tidak. Set semua nombor asli biasanya dilambangkan dengan simbol N

Memo: Pembahagi nombor asli a namakan nombor itu b, ke mana a dibahagikan tanpa baki. Gandaan nombor asli b panggil nombor asli a, yang boleh dibahagikan dengan b tanpa jejak. Jika nombor b- pembahagi nombor a, Itu a gandaan nombor b. Contoh: 2 ialah pembahagi 4, dan 4 ialah gandaan dua. 3 ialah pembahagi 12, dan 12 ialah gandaan bagi 3.
Memo: Nombor asli dipanggil perdana jika ia boleh dibahagikan tanpa baki hanya dengan sendiri dan 1. Nombor perdana bersama ialah nombor yang mempunyai hanya satu pembahagi sepunya bersamaan 1.

Penentuan cara mencari GCD dalam kes am: Untuk mencari GCD (Pembahagi Biasa Terhebat) beberapa nombor asli diperlukan:
1) Sebarkan mereka ke dalam faktor utama. (Jadual Nombor Perdana boleh menjadi sangat berguna untuk ini.)
2) Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu daripadanya.
3) Potong yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor yang tinggal.
4) Darabkan faktor yang diperolehi dalam langkah 3).

Masalah 2 pada (NOK): Untuk Tahun Baru, Kolya Puzatov membeli 48 hamster dan 36 periuk kopi di bandar. Fekla Dormidontova, sebagai gadis paling jujur dalam kelas, telah diberi tugas untuk membahagikan harta ini kepada bilangan set hadiah terbesar yang mungkin untuk guru. Berapa set yang anda dapat? Apakah kandungan set tersebut?

Contoh 2.1. menyelesaikan masalah mencari GCD. Mencari GCD melalui pemilihan.
Penyelesaian: Setiap nombor 48 dan 36 mesti boleh dibahagikan dengan bilangan hadiah.
1) Tuliskan pembahagi 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Tuliskan pembahagi 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Pilih pembahagi sepunya terbesar. Whoa-la-la! Kami mendapati bahawa bilangan set ialah 12 keping.
3) Bahagi 48 dengan 12 untuk mendapatkan 4, bahagikan 36 dengan 12 untuk mendapatkan 3. Jangan lupa dimensi dan tulis jawapannya:
Jawapan: Anda akan mendapat 12 set 4 hamster dan 3 periuk kopi dalam setiap set.

Bahan yang dibentangkan di bawah adalah kesinambungan logik teori daripada artikel bertajuk LCM - gandaan sepunya terkecil, definisi, contoh, hubungan antara LCM dan GCD. Di sini kita akan bercakap tentang mencari gandaan sepunya terkecil (LCM), Dan Perhatian istimewa Mari kita fokus pada penyelesaian contoh. Pertama, kami akan menunjukkan cara LCM dua nombor dikira menggunakan GCD nombor ini. Seterusnya, kita akan melihat mencari gandaan sepunya terkecil dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana. Selepas ini, kami akan memberi tumpuan kepada mencari LCM tiga dan lebih nombor, dan juga memberi perhatian kepada pengiraan LCM nombor negatif.

Navigasi halaman.

Mengira Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) melalui GCD

Satu cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil adalah berdasarkan hubungan antara LCM dan GCD. Sambungan sedia ada antara LCM dan GCD membolehkan kami mengira gandaan sepunya terkecil daripada dua integer positif melalui pembahagi sepunya terbesar yang diketahui. Formula yang sepadan ialah LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Mari lihat contoh mencari LCM menggunakan formula yang diberikan.

Contoh.

Cari gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor 126 dan 70.

Penyelesaian.

Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan sambungan antara LCM dan GCD, yang dinyatakan oleh formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Iaitu, pertama kita perlu mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 70 dan 126, selepas itu kita boleh mengira LCM nombor ini menggunakan formula bertulis.

Mari cari GCD(126, 70) menggunakan algoritma Euclidean: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, oleh itu, GCD(126, 70)=14.

Sekarang kita dapati gandaan sepunya terkecil yang diperlukan: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Jawapan:

LCM(126, 70)=630 .

Contoh.

Apakah LCM(68, 34) bersamaan?

Penyelesaian.

Kerana 68 boleh dibahagi dengan 34, kemudian GCD(68, 34)=34. Sekarang kita mengira gandaan sepunya terkecil: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Jawapan:

LCM(68, 34)=68 .

Ambil perhatian bahawa contoh sebelumnya sesuai dengan peraturan berikut untuk mencari LCM untuk integer positif a dan b: jika nombor a boleh dibahagi dengan b, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah a.

Mencari LCM dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana

Satu lagi cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil adalah berdasarkan pemfaktoran nombor menjadi faktor perdana. Jika anda mengarang produk daripada semua faktor perdana nombor yang diberikan, dan kemudian mengecualikan daripada produk ini semua faktor perdana sepunya yang terdapat dalam penguraian nombor yang diberikan, maka hasil darab yang terhasil akan sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan .

Peraturan yang dinyatakan untuk mencari LCM mengikut daripada kesamaan LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Sesungguhnya, hasil darab nombor a dan b adalah sama dengan hasil darab semua faktor yang terlibat dalam pengembangan nombor a dan b. Seterusnya, gcd(a, b) sama dengan produk semua faktor perdana yang hadir secara serentak dalam pengembangan nombor a dan b (seperti yang diterangkan dalam bahagian mencari GCD menggunakan pengembangan nombor menjadi faktor perdana).

Mari kita beri contoh. Beritahu kami bahawa 75=3·5·5 dan 210=2·3·5·7. Mari kita karang produk daripada semua faktor pengembangan ini: 2·3·3·5·5·5·7 . Sekarang daripada produk ini kami mengecualikan semua faktor yang terdapat dalam kedua-dua pengembangan nombor 75 dan pengembangan nombor 210 (faktor ini ialah 3 dan 5), maka produk akan mengambil bentuk 2·3·5·5·7 . Nilai produk ini adalah sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi 75 dan 210, iaitu, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Contoh.

Faktorkan nombor 441 dan 700 ke dalam faktor perdana dan cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Penyelesaian.

Mari kita faktorkan nombor 441 dan 700 ke dalam faktor perdana:

Kami mendapat 441=3·3·7·7 dan 700=2·2·5·5·7.

Sekarang mari kita cipta produk daripada semua faktor yang terlibat dalam pengembangan nombor ini: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Marilah kita mengecualikan daripada produk ini semua faktor yang hadir secara serentak dalam kedua-dua pengembangan (hanya terdapat satu faktor sedemikian - ini ialah nombor 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Oleh itu, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Jawapan:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Peraturan untuk mencari LCM menggunakan pemfaktoran nombor menjadi faktor perdana boleh dirumuskan sedikit berbeza. Jika faktor yang hilang daripada pengembangan nombor b ditambah kepada faktor dari pengembangan nombor a, maka nilai hasil darab yang terhasil akan sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi nombor a dan b.

Sebagai contoh, mari kita ambil nombor yang sama 75 dan 210, penguraian mereka kepada faktor perdana adalah seperti berikut: 75=3·5·5 dan 210=2·3·5·7. Kepada faktor 3, 5 dan 5 daripada pengembangan nombor 75 kami menambah faktor yang hilang 2 dan 7 daripada pengembangan nombor 210, kami memperoleh hasil darab 2·3·5·5·7, yang nilainya ialah sama dengan LCM(75, 210).

Contoh.

Cari gandaan sepunya terkecil bagi 84 dan 648.

Penyelesaian.

Kami mula-mula mendapatkan penguraian nombor 84 dan 648 menjadi faktor perdana. Mereka kelihatan seperti 84=2·2·3·7 dan 648=2·2·2·3·3·3·3. Kepada faktor 2, 2, 3 dan 7 daripada pengembangan nombor 84 kita menambah faktor yang hilang 2, 3, 3 dan 3 daripada pengembangan nombor 648, kita memperoleh hasil darab 2 2 2 3 3 3 3 7, yang sama dengan 4 536 . Oleh itu, gandaan sepunya terkecil yang dikehendaki bagi 84 dan 648 ialah 4,536.

Jawapan:

LCM(84, 648)=4,536 .

Mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor

Gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor boleh didapati dengan mencari KKM bagi dua nombor secara berurutan. Mari kita ingat teorem yang sepadan, yang memberikan cara untuk mencari KPK bagi tiga atau lebih nombor.

Teorem.

Biarkan nombor integer positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, gandaan sepunya terkecil m k nombor ini ditemui dengan mengira secara berurutan m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Mari kita pertimbangkan aplikasi teorem ini menggunakan contoh mencari gandaan sepunya terkecil bagi empat nombor.

Contoh.

Cari KPK bagi empat nombor 140, 9, 54 dan 250.

Penyelesaian.

Dalam contoh ini, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Mula-mula kita jumpa m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Untuk melakukan ini, menggunakan algoritma Euclidean, kami menentukan GCD(140, 9), kami mempunyai 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, oleh itu, GCD(140, 9)=1 , dari mana GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Iaitu, m 2 =1 260.

Sekarang kita dapati m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Mari kita mengiranya melalui GCD(1 260, 54), yang juga kita tentukan menggunakan algoritma Euclidean: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Kemudian gcd(1,260, 54)=18, dari mana gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Iaitu, m 3 =3 780.

Yang tinggal hanyalah mencari m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Untuk melakukan ini, kami mencari GCD(3,780, 250) menggunakan algoritma Euclidean: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Oleh itu, GCM(3,780, 250)=10, dari mana GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Iaitu, m 4 =94,500.

Jadi gandaan sepunya terkecil daripada empat nombor asal ialah 94,500.

Jawapan:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Dalam banyak kes, adalah mudah untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor menggunakan pemfaktoran perdana bagi nombor yang diberikan. Dalam kes ini, anda harus mematuhi peraturan berikut. Gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor adalah sama dengan hasil darab, yang terdiri seperti berikut: faktor yang hilang daripada pengembangan nombor kedua ditambah kepada semua faktor daripada pengembangan nombor pertama, faktor yang hilang daripada pengembangan nombor nombor ketiga ditambah kepada faktor yang terhasil, dan seterusnya.

Mari kita lihat contoh mencari gandaan sepunya terkecil menggunakan pemfaktoran perdana.

Contoh.

Cari gandaan sepunya terkecil daripada lima nombor 84, 6, 48, 7, 143.

Penyelesaian.

Mula-mula, kita memperoleh penguraian nombor ini kepada faktor perdana: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ialah nombor perdana, ia bertepatan dengan penguraiannya kepada faktor perdana) dan 143=11·13.

Untuk mencari LCM nombor ini, kepada faktor nombor pertama 84 (ia adalah 2, 2, 3 dan 7), anda perlu menambah faktor yang hilang daripada pengembangan nombor kedua 6. Penguraian nombor 6 tidak mengandungi faktor yang hilang, kerana kedua-dua 2 dan 3 sudah ada dalam penguraian nombor pertama 84. Seterusnya, kepada faktor 2, 2, 3 dan 7 kita menambah faktor 2 dan 2 yang hilang daripada pengembangan nombor ketiga 48, kita mendapat satu set faktor 2, 2, 2, 2, 3 dan 7. Tidak perlu menambah pengganda pada set ini dalam langkah seterusnya, kerana 7 sudah terkandung di dalamnya. Akhir sekali, kepada faktor 2, 2, 2, 2, 3 dan 7 kita tambahkan faktor 11 dan 13 yang hilang daripada pengembangan nombor 143. Kami mendapat produk 2·2·2·2·3·7·11·13, iaitu bersamaan dengan 48,048.

Mari lihat tiga cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil.

Mencari dengan pemfaktoran

Kaedah pertama ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan memfaktorkan nombor yang diberikan kepada faktor perdana.

Katakan kita perlu mencari LCM nombor: 99, 30 dan 28. Untuk melakukan ini, mari kita faktorkan setiap nombor ini ke dalam faktor perdana:

Untuk nombor yang diingini boleh dibahagikan dengan 99, 30 dan 28, adalah perlu dan memadai bahawa ia termasuk semua faktor perdana pembahagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor utama nombor ini kepada kuasa yang paling besar dan mendarabnya bersama-sama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Oleh itu, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Tiada nombor lain yang kurang daripada 13,860 boleh dibahagi dengan 99, 30 atau 28.

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan, anda memfaktorkannya ke dalam faktor perdananya, kemudian ambil setiap faktor perdana dengan eksponen terbesar yang tertera di dalamnya, dan darabkan faktor tersebut bersama-sama.

Oleh kerana nombor relatif perdana tidak mempunyai faktor perdana sepunya, gandaan sepunya terkecilnya adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Sebagai contoh, tiga nombor: 20, 49 dan 33 adalah relatif perdana. sebab tu

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Perkara yang sama mesti dilakukan apabila mencari gandaan sepunya terkecil pelbagai nombor perdana. Contohnya, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Mencari melalui pemilihan

Kaedah kedua ialah mencari gandaan sepunya terkecil melalui pemilihan.

Contoh 1. Apabila nombor terbesar yang diberi dibahagikan dengan nombor lain yang diberi, maka KPK nombor ini adalah sama dengan yang terbesar daripadanya. Sebagai contoh, diberi empat nombor: 60, 30, 10 dan 6. Setiap daripada mereka boleh dibahagi dengan 60, oleh itu:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Dalam kes lain, untuk mencari gandaan sepunya terkecil, prosedur berikut digunakan:

Tentukan nombor terbesar daripada nombor yang diberi.
Seterusnya kita dapati nombor yang merupakan gandaan bilangan terbesar, mendarabkannya dengan integer dalam tertib menaik dan menyemak sama ada nombor yang tinggal boleh dibahagikan dengan hasil darab.

Contoh 2. Diberi tiga nombor 24, 3 dan 18. Kami menentukan yang terbesar daripada mereka - ini ialah nombor 24. Seterusnya, kami mencari nombor yang merupakan gandaan 24, memeriksa sama ada setiap daripadanya boleh dibahagi dengan 18 dan 3:

24 · 1 = 24 - boleh dibahagi dengan 3, tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 18.

24 · 2 = 48 - boleh dibahagi dengan 3, tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 18.

24 · 3 = 72 - boleh dibahagi dengan 3 dan 18.

Oleh itu, LCM (24, 3, 18) = 72.

Mencari dengan mencari LCM secara berurutan

Kaedah ketiga ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan mencari LCM secara berurutan.

LCM bagi dua nombor yang diberikan adalah sama dengan hasil darab nombor ini dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar mereka.

Contoh 1. Cari KPK bagi dua nombor yang diberi: 12 dan 8. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: GCD (12, 8) = 4. Darabkan nombor ini:

Kami membahagikan produk dengan gcd mereka:

Oleh itu, LCM (12, 8) = 24.

Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, gunakan prosedur berikut:

Mula-mula, cari LCM bagi mana-mana dua nombor ini.
Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil ditemui dan yang ketiga nombor yang diberi.
Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil yang terhasil dan nombor keempat, dsb.
Oleh itu, pencarian untuk LCM diteruskan selagi ada nombor.

Contoh 2. Cari LCM tiga data nombor: 12, 8 dan 9. Kami telah menemui LCM nombor 12 dan 8 dalam contoh sebelumnya (ini ialah nombor 24). Ia kekal untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 24 dan nombor ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: GCD (24, 9) = 3. Darabkan LCM dengan nombor 9:

Kami membahagikan produk dengan gcd mereka:

Oleh itu, LCM (12, 8, 9) = 72.

GCD ialah pembahagi sepunya terbesar.

Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi beberapa nombor yang anda perlukan:

tentukan faktor sepunya bagi kedua-dua nombor;
cari hasil darab faktor sepunya.

Contoh mencari GCD:

Mari cari gcd nombor 315 dan 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Mari kita tuliskan faktor sepunya bagi kedua-dua nombor:

3. Cari hasil darab faktor sepunya:

GCD(315, 245) = 5 * 7 = 35.

Jawapan: GCD(315, 245) = 35.

Mencari NOC

LCM ialah gandaan sepunya terkecil.

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil beberapa nombor yang anda perlukan:

nombor faktor menjadi faktor perdana;
tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor;
Mari tambahkan kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor kedua;
cari hasil darab faktor yang terhasil.

Contoh mencari LOC:

Mari kita cari LCM bagi nombor 236 dan 328:

1. Mari kita faktorkan nombor menjadi faktor perdana:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Mari kita tuliskan faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor kedua:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Cari hasil darab faktor yang terhasil:

LOC(236, 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Jawapan: LCM(236, 328) = 19352.

Untuk mencari GCD (pembahagi sepunya terhebat) bagi dua nombor, anda perlu:

2. Cari (gariskan) semua faktor perdana sepunya dalam pengembangan yang terhasil.

3. Cari hasil darab faktor perdana sepunya.

Untuk mencari LCM (gandaan sepunya terkecil) bagi dua nombor yang anda perlukan:

1. Bahagikan nombor yang diberi kepada faktor perdana.

2. Pengembangan salah satu daripadanya ditambah dengan faktor-faktor pengembangan nombor lain yang tidak berada dalam pengembangan nombor pertama.

3. Kira hasil darab faktor yang terhasil.