Cari penyelesaian umum kepada sistem persamaan pembezaan biasa. Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan pembezaan menggunakan kaedah operasi? Kaedah am untuk menyelesaikan soda dengan pekali malar

Kami memutuskan untuk menumpukan bahagian ini untuk menyelesaikan sistem persamaan pembezaan bentuk termudah d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, di mana a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - beberapa nombor nyata. Kaedah yang paling berkesan untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut ialah kaedah pengamiran. Kami juga akan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh mengenai topik tersebut.

Penyelesaian kepada sistem persamaan pembezaan ialah sepasang fungsi x (t) dan y (t), yang boleh menukar kedua-dua persamaan sistem menjadi identiti.

Mari kita pertimbangkan kaedah penyepaduan sistem DE d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Mari kita ungkapkan x daripada persamaan ke-2 sistem untuk menghapuskan fungsi x (t) yang tidak diketahui daripada persamaan pertama:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Mari kita bezakan persamaan ke-2 berkenaan dengan t dan selesaikan persamaannya untuk d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Sekarang mari kita gantikan hasil pengiraan sebelumnya ke dalam persamaan pertama sistem:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Jadi kami menghapuskan fungsi yang tidak diketahui x (t) dan memperoleh persamaan pembezaan tak homogen linear bagi tertib ke-2 dengan pekali malar. Mari kita cari penyelesaian kepada persamaan y (t) ini dan gantikannya ke dalam persamaan ke-2 sistem itu. Kami akan mencari x(t). Kami akan menganggap bahawa ini melengkapkan penyelesaian sistem persamaan.

Contoh 1

Cari penyelesaian kepada sistem persamaan pembezaan d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Penyelesaian

Mari kita mulakan dengan persamaan pertama sistem. Mari kita selesaikannya berbanding dengan x:

x = d y d t - 2 y + 3

Sekarang mari kita bezakan persamaan ke-2 sistem, selepas itu kita menyelesaikannya berkenaan dengan d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Kita boleh menggantikan hasil yang diperoleh semasa pengiraan ke dalam persamaan pertama sistem kawalan jauh:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Hasil daripada penjelmaan, kami memperoleh persamaan pembezaan tak homogen linear tertib ke-2 dengan pekali malar d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Jika kita mencari penyelesaian umum, kita mendapat fungsi y(t).

Kita boleh mencari penyelesaian umum bagi LOD y 0 yang sepadan dengan mengira punca-punca persamaan ciri k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Akar yang kami perolehi adalah nyata dan berbeza. Dalam hal ini, penyelesaian am LODE akan mempunyai bentuk y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Sekarang mari kita cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan tak homogen linear y ~:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Bahagian kanan persamaan ialah polinomial darjah sifar. Ini bermakna kita akan mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk y ~ = A, di mana A ialah pekali yang tidak ditentukan.

Kita boleh menentukan pekali tak tentu daripada kesamaan d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Oleh itu, y ~ = 1 dan y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Kami menemui satu fungsi yang tidak diketahui.

Sekarang mari kita gantikan fungsi yang ditemui ke dalam persamaan ke-2 sistem DE dan selesaikan persamaan baharu untuk x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Jadi kami mengira fungsi kedua yang tidak diketahui x (t) = - C 1 · e t + 1.

Jawapan: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Banyak sistem persamaan pembezaan, kedua-dua homogen dan tidak homogen, boleh dikurangkan kepada satu persamaan untuk satu fungsi yang tidak diketahui. Mari tunjukkan kaedah dengan contoh.

Contoh 3.1. Selesaikan sistem

Penyelesaian. 1) Membezakan mengikut t persamaan pertama dan menggunakan persamaan kedua dan ketiga untuk menggantikan Dan , kami dapati

Kami membezakan persamaan yang terhasil berkenaan dengan sekali lagi

1) Kami mencipta sistem

Daripada dua persamaan pertama sistem kita menyatakan pembolehubah Dan melalui
:

Mari kita gantikan ungkapan yang ditemui untuk Dan ke dalam persamaan ketiga sistem

Jadi, untuk mencari fungsi
memperoleh persamaan pembezaan tertib ketiga dengan pekali malar

.

2) Kami mengintegrasikan persamaan terakhir menggunakan kaedah piawai: kami menyusun persamaan ciri
, cari akarnya
dan bina penyelesaian am dalam bentuk gabungan linear eksponen, dengan mengambil kira kepelbagaian salah satu punca:.

3) Seterusnya untuk mencari dua fungsi yang tinggal
Dan
, kita bezakan fungsi yang terhasil dua kali

Menggunakan sambungan (3.1) antara fungsi sistem, kami memulihkan baki yang tidak diketahui

.

Jawab. ,
,.

Mungkin ternyata semua fungsi yang diketahui kecuali satu dikecualikan daripada sistem tertib ketiga walaupun dengan satu pembezaan. Dalam kes ini, susunan persamaan pembezaan untuk mencarinya akan menjadi kurang daripada bilangan fungsi yang tidak diketahui dalam sistem asal.

Contoh 3.2. Mengintegrasikan sistem

(3.2)

Penyelesaian. 1) Membezakan mengikut persamaan pertama, kita dapati

Tidak Termasuk Pembolehubah Dan daripada persamaan

kita akan mempunyai persamaan tertib kedua berkenaan dengan

(3.3)

2) Daripada persamaan pertama sistem (3.2) kita ada

(3.4)

Menggantikan ke dalam persamaan ketiga sistem (3.2) dengan ungkapan yang ditemui (3.3) dan (3.4) untuk Dan , kita memperoleh persamaan pembezaan tertib pertama untuk menentukan fungsi

Mengintegrasikan persamaan tidak homogen ini dengan pekali tertib pertama yang malar, kami dapati
Menggunakan (3.4), kita mencari fungsi

Jawab.
,,
.

Tugasan 3.1. Selesaikan sistem homogen dengan mengurangkannya kepada satu persamaan pembezaan.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Menyelesaikan sistem persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar dengan mencari sistem asas penyelesaian

Penyelesaian umum kepada sistem persamaan pembezaan homogen linear boleh didapati sebagai gabungan linear penyelesaian asas sistem. Dalam kes sistem dengan pekali malar, kaedah algebra linear boleh digunakan untuk mencari penyelesaian asas.

Contoh 3.3. Selesaikan sistem

(3.5)

Penyelesaian. 1) Mari kita tulis semula sistem dalam bentuk matriks

. (3.6)

2) Kami akan mencari penyelesaian asas sistem dalam bentuk vektor
. Menggantikan fungsi
dalam (3.6) dan mengurangkan sebanyak , kita dapat

, (3.7)

itulah nombornya mestilah nilai eigen bagi matriks
, dan vektor vektor eigen yang sepadan.

3) Daripada perjalanan algebra linear diketahui bahawa sistem (3.7) mempunyai penyelesaian bukan remeh jika penentunya sama dengan sifar

,

iaitu . Dari sini kita dapati nilai eigen
.

4) Cari vektor eigen yang sepadan. Menggantikan nilai pertama kepada (3.7)
, kita memperoleh sistem untuk mencari vektor eigen pertama

Dari sini kita mendapat hubungan antara yang tidak diketahui
. Cukuplah kita memilih satu penyelesaian yang tidak remeh. Percaya
, Kemudian
, iaitu vektor ialah eigenof eigenvalue
, dan vektor fungsi
penyelesaian asas bagi sistem persamaan pembezaan tertentu (3.5). Begitu juga, apabila menggantikan akar kedua
dalam (3.7) kita mempunyai persamaan matriks untuk vektor eigen kedua
. Di manakah kita mendapat sambungan antara komponennya?
. Oleh itu, kami mempunyai penyelesaian asas kedua

.

5) Penyelesaian umum sistem (3.5) dibina sebagai gabungan linear daripada dua penyelesaian asas yang diperolehi

atau dalam bentuk koordinat

.

Jawab.

.

Tugasan 3.2. Selesaikan sistem dengan mencari sistem asas penyelesaian.

Perwakilan matriks sistem persamaan pembezaan biasa (SODE) dengan pekali malar

SODE homogen linear dengan pekali malar $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\kanan $,

di mana $y_(1)\kiri(x\kanan),\; y_(2)\kiri(x\kanan),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- fungsi yang diperlukan bagi pembolehubah bebas $x$, pekali $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- kami mewakili nombor nyata yang diberikan dalam tatatanda matriks:

1. matriks fungsi yang diperlukan $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \kiri(x\kanan)) \end(array)\kanan)$;
2. matriks penyelesaian terbitan $\frac(dY)(dx) =\left(\mula(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\kanan)$;
3. Matriks pekali SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\kanan)$.

Kini, berdasarkan peraturan pendaraban matriks, SODE ini boleh ditulis dalam bentuk persamaan matriks $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Kaedah am untuk menyelesaikan SODE dengan pekali malar

Biarkan terdapat matriks beberapa nombor $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alfa _ (n) ) \end(array)\kanan)$.

Penyelesaian kepada SODE ditemui dalam bentuk berikut: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Dalam bentuk matriks: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\kanan)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alfa _(n) ) \end(array)\kanan)$.

Dari sini kita dapat:

Sekarang persamaan matriks SODE ini boleh diberikan bentuk:

Persamaan yang terhasil boleh diwakili seperti berikut:

Kesamaan terakhir menunjukkan bahawa vektor $\alpha $ menggunakan matriks $A$ diubah menjadi vektor selari $k\cdot \alpha $. Ini bermakna bahawa vektor $\alpha $ ialah vektor eigen bagi matriks $A$, sepadan dengan nilai eigen $k$.

Nombor $k$ boleh ditentukan daripada persamaan $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\kanan|=0$.

Persamaan ini dipanggil ciri.

Biarkan semua punca $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ persamaan ciri adalah berbeza. Untuk setiap nilai $k_(i) $ daripada sistem $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\kanan)\cdot \left(\mulakan(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\kanan)=0$ matriks nilai ​​boleh ditakrifkan $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \kanan)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\kiri(i\kanan)) ) \end(array)\kanan)$.

Salah satu nilai dalam matriks ini dipilih secara rawak.

Akhirnya, penyelesaian kepada sistem ini dalam bentuk matriks ditulis seperti berikut:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ kiri(\mulakan(tatasusunan)(cccc) (\alfa _(1)^(\kiri(1\kanan)) ) & (\alfa _(1)^(\kiri(2\kanan)) ) & (\ ldots ) & (\alfa _(2)^(\kiri(n\kanan)) ) \\ (\alfa _(2)^(\kiri(1\kanan)) ) & (\alpha _(2)^ (\kiri(2\kanan)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\kiri(n\kanan)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alfa _(n)^(\kiri(1\kanan)) ) & (\alfa _(2)^(\kiri(2\kanan)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\kanan)$,

di mana $C_(i) $ ialah pemalar arbitrari.

Tugasan

Selesaikan sistem DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\kanan $.

Kami menulis matriks sistem: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

Dalam bentuk matriks, SODE ini ditulis seperti berikut: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\kanan)$.

Kami memperoleh persamaan ciri:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, iaitu $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Punca-punca persamaan ciri ialah: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Mari buat sistem untuk mengira $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ kanan)) ) \end(array)\kanan)$ untuk $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ kiri(\mulakan(tatasusunan)(c) (\alfa _(1)^(\kiri(1\kanan)) ) \\ (\alfa _(2)^(\kiri(1\kanan)) ) \end (tatasusunan)\kanan)=0,\]

iaitu $\kiri(5-1\kanan)\cdot \alpha _(1)^(\kiri(1\kanan)) +4\cdot \alpha _(2)^(\kiri(1\kanan) ) =0$, $4\cdot \alfa _(1)^(\kiri(1\kanan)) +\kiri(5-1\kanan)\cdot \alfa _(2)^(\kiri(1\kanan) ) ) =0$.

Meletakkan $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, kami memperoleh $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Mari buat sistem untuk mengira $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ kanan)) ) \end(array)\right)$ untuk $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ kiri(\mulakan(tatasusunan)(c) (\alfa _(1)^(\kiri(2\kanan)) ) \\ (\alfa _(2)^(\kiri(2\kanan)) ) \end (tatasusunan)\kanan)=0, \]

iaitu $\kiri(5-9\kanan)\cdot \alpha _(1)^(\kiri(2\kanan)) +4\cdot \alpha _(2)^(\kiri(2\kanan) ) =0$, $4\cdot \alfa _(1)^(\kiri(2\kanan)) +\kiri(5-9\kanan)\cdot \alfa _(2)^(\kiri(2\kanan ) ) =0$.

Meletakkan $\alpha _(1)^(\kiri(2\kanan)) =1$, kami memperoleh $\alpha _(2)^(\kiri(2\kanan)) =1$.

Kami memperoleh penyelesaian kepada SODE dalam bentuk matriks:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\kanan).\]

Dalam bentuk biasa, penyelesaian kepada SODE mempunyai bentuk: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) ) \end(array )\kanan.$.

Persamaan.

pengenalan.

Dalam banyak masalah dalam matematik, fizik dan teknologi, adalah perlu untuk menentukan beberapa fungsi yang berkaitan antara satu sama lain dengan beberapa persamaan pembezaan.

Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mempunyai, secara amnya, bilangan persamaan yang sama. Jika setiap persamaan ini adalah pembezaan, iaitu, mempunyai bentuk hubungan yang menghubungkan fungsi yang tidak diketahui dan derivatifnya, maka mereka mengatakan tentang sistem persamaan pembezaan.

1. Sistem normal persamaan pembezaan tertib pertama. Masalah cauchy.

Definisi. Sistem persamaan pembezaan ialah satu set persamaan yang mengandungi beberapa fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya, dan setiap persamaan termasuk sekurang-kurangnya satu derivatif.

Sistem persamaan pembezaan dipanggil linear jika fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya muncul dalam setiap persamaan hanya pada darjah pertama.

Sistem linear dipanggil biasa, jika ia dibenarkan berkenaan dengan semua derivatif

Dalam sistem biasa, bahagian kanan persamaan tidak mengandungi derivatif bagi fungsi yang dicari.

Dengan keputusan sistem persamaan pembezaan dipanggil satu set fungsi https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> dipanggil keadaan awal sistem persamaan pembezaan.

Selalunya syarat awal ditulis dalam bentuk

Penyelesaian umum (integral ) sistem persamaan pembezaan dipanggil set « n» fungsi pembolehubah bebas x Dan « n» pemalar sewenang-wenangnya C1 , C2 , …, Cn:

..……………………..

yang memenuhi semua persamaan sistem ini.

Untuk mendapatkan penyelesaian tertentu sistem yang memenuhi syarat awal yang diberikan https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> akan mengambil nilai yang diberikan .

Masalah Cauchy untuk sistem persamaan pembezaan biasa ditulis seperti berikut:

Teorem kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada masalah Cauchy.

Untuk sistem persamaan pembezaan biasa (1), teorem Cauchy untuk kewujudan dan keunikan penyelesaian dirumuskan seperti berikut:

Teorem. Biarkan sisi kanan persamaan sistem (1), iaitu, fungsi , (i=1,2,…, n) berterusan dalam semua pembolehubah dalam beberapa domain D dan mempunyai derivatif separa berterusan https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24">, kepunyaan rantau ini D, terdapat penyelesaian unik kepada sistem (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Menyelesaikan sistem biasa dengan penyingkiran.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan pembezaan biasa, kaedah menghapuskan yang tidak diketahui atau kaedah Cauchy digunakan.

Biar sistem biasa diberikan

Bezakan mengikut X persamaan pertama sistem

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> ungkapan mereka daripada sistem persamaan (1), kita akan mempunyai

Kami membezakan persamaan yang terhasil dan, meneruskan sama dengan yang sebelumnya, kami dapati

Jadi, kami mendapat sistem itu

(2)

Dari yang pertama n-1 kita mentakrifkan persamaan y2 , y3 , … , yn , meluahkannya melalui

DAN

(3)

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan terakhir (2), kita memperoleh persamaan ke- perintah untuk menentukan y1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Membezakan ungkapan terakhir n-1 sekali, mari kita cari derivatif

sebagai fungsi . Menggantikan fungsi ini ke dalam persamaan (4), kita tentukan y2 , y3 , … , yn .

Jadi, kami telah memperoleh penyelesaian umum kepada sistem (1)

(6)

Untuk mencari penyelesaian tertentu bagi sistem (1) yang memenuhi syarat awal di

adalah perlu untuk mencari daripada persamaan (6) nilai sepadan pemalar arbitrari C1, C2, …, Cn .

Contoh.

Cari penyelesaian umum bagi sistem persamaan:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

untuk fungsi baru yang tidak diketahui.

Kesimpulan.

Sistem persamaan pembezaan ditemui semasa mengkaji proses yang mana satu fungsi tidak mencukupi untuk diterangkan. Sebagai contoh, mencari garis medan vektor memerlukan penyelesaian sistem persamaan pembezaan. Menyelesaikan masalah dinamik gerakan melengkung membawa kepada sistem tiga persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui adalah unjuran titik bergerak pada paksi koordinat, dan pembolehubah bebas ialah masa. Kemudian anda akan mengetahui bahawa menyelesaikan masalah kejuruteraan elektrik untuk dua litar elektrik dalam gandingan elektromagnet memerlukan penyelesaian sistem dua persamaan pembezaan. Bilangan contoh sedemikian boleh ditambah dengan mudah.

Konsep dan definisi asas Masalah paling mudah bagi dinamik titik membawa kepada sistem persamaan pembezaan: daya yang bertindak ke atas titik material diberikan; cari hukum gerakan, iaitu cari fungsi x = x(t), y = y(t), z = z(t), menyatakan kebergantungan koordinat titik bergerak pada masa. Sistem yang terhasil, secara amnya, mempunyai bentuk Di sini x, y, z ialah koordinat bagi titik bergerak, t ialah masa, f, g, h adalah fungsi yang diketahui bagi hujahnya. Sistem jenis (1) dipanggil kanonik. Beralih kepada kes umum sistem persamaan pembezaan m dengan m fungsi yang tidak diketahui bagi hujah t, kita panggil sistem bentuk yang diselesaikan berkenaan dengan terbitan yang lebih tinggi berkanun. Sistem persamaan tertib pertama yang diselesaikan berkenaan dengan derivatif fungsi yang dikehendaki dipanggil normal. Jika kita mengambil fungsi tambahan baru, maka sistem kanonik am (2) boleh digantikan dengan sistem normal setara yang terdiri daripada persamaan. Oleh itu, adalah memadai untuk mempertimbangkan hanya sistem biasa. Sebagai contoh, satu persamaan ialah kes khas sistem kanonik. Meletakkan ^ = y, berdasarkan persamaan asal kita akan mempunyai Akibatnya, kita memperoleh sistem persamaan normal SISTEM PERSAMAAN PEMBEZAAN Kaedah penyepaduan Kaedah penyingkiran Kaedah gabungan boleh bersepadu Sistem persamaan pembezaan linear Matriks asas Kaedah variasi pemalar Sistem persamaan pembezaan linear dengan pekali malar Kaedah matriks setara dengan persamaan asal. Definisi 1. Penyelesaian kepada sistem normal (3) pada selang (a, b) untuk menukar hujah t ialah sebarang sistem bagi n fungsi yang boleh dibezakan pada selang yang menukarkan persamaan sistem (3) kepada identiti berkenaan dengan t pada selang (a, b). Masalah Cauchy untuk sistem (3) dirumuskan seperti berikut: cari penyelesaian (4) bagi sistem yang memenuhi pada t = kepada keadaan awal Teorem 1 (kewujudan dan keunikan penyelesaian itu). dengan tugas Mana). xn. Jika terdapat kejiranan ft di mana fungsi ft adalah selanjar dalam set hujah dan mempunyai terbitan separa terhad berkenaan dengan pembolehubah X\, x2, ..., xn, maka terdapat selang ke - A0 daripada tukar t, di mana terdapat penyelesaian unik bagi sistem normal (3) yang memenuhi syarat awal Definisi 2. Sistem n berfungsi bergantung pada tun pemalar arbitrari dipanggil penyelesaian umum sistem normal (3) dalam beberapa rantau Π kewujudan dan keunikan penyelesaian Masalah Cauchy jika 1) untuk sebarang nilai yang boleh diterima, sistem fungsi (6) menukar persamaan (3) menjadi identiti, 2) dalam domain Π, fungsi (6) menyelesaikan sebarang masalah Cauchy. Penyelesaian yang diperoleh daripada am pada nilai tertentu pemalar dipanggil penyelesaian tertentu. Untuk kejelasan, mari kita beralih kepada sistem normal dua persamaan Kami akan menganggap sistem nilai t> X\, x2 sebagai koordinat Cartesan segi empat tepat bagi satu titik dalam ruang tiga dimensi yang dirujuk kepada sistem koordinat Otx\x2. Penyelesaian sistem (7), yang mengambil nilai pada t - hingga, mentakrifkan dalam ruang garis tertentu yang melalui titik) - Garis ini dipanggil lengkung kamiran sistem normal (7). Masalah Koshi untuk sistem (7) menerima rumusan geometri berikut: dalam ruang pembolehubah t> X\, x2, cari lengkung kamiran yang melalui titik tertentu Mo(kepada, x1, x2) (Rajah 1). Teorem 1 menetapkan kewujudan dan keunikan lengkung tersebut. Sistem normal (7) dan penyelesaiannya juga boleh diberikan tafsiran berikut: kita akan mempertimbangkan pembolehubah bebas t sebagai parameter, dan penyelesaian sistem sebagai persamaan parametrik lengkung pada satah x\Ox2. Satah pembolehubah X\X2 ini dipanggil satah fasa. Dalam satah fasa, penyelesaian (0 sistem (7), mengambil pada t = t0 nilai awal x°(, x2, digambarkan oleh lengkung AB melalui titik). Lengkung ini dipanggil trajektori bagi sistem (trajektori fasa). Trajektori sistem (7) ialah lengkung kamiran unjuran ke satah fasa Dari lengkung kamiran, trajektori fasa ditentukan secara unik, tetapi bukan sebaliknya 2.1. Kaedah penyingkiran Salah satu kaedah penyepaduan ialah kaedah penyingkiran yang diselesaikan berkenaan dengan terbitan tertinggi, Memperkenalkan persamaan fungsi baharu dengan sistem persamaan n berikut: kita menggantikan persamaan tertib ke-n ini adalah bersamaan. kepada sistem normal (1) Seseorang juga boleh menyatakan sebaliknya bahawa, secara amnya, sistem normal bagi n persamaan tertib pertama adalah bersamaan dengan satu persamaan tertib persamaan pembezaan. Ia dilakukan seperti ini. Marilah kita mempunyai sistem persamaan pembezaan biasa Mari kita bezakan persamaan pertama (2) berkenaan dengan t. Kami telah Menggantikan produk di sebelah kanan atau, ringkasnya, Persamaan (3) sekali lagi dibezakan berkenaan dengan t. Dengan mengambil kira sistem (2), kita memperoleh atau Meneruskan proses ini, kita dapati Anggapkan bahawa penentu (Jacobian sistem fungsi adalah bukan sifar untuk nilai yang dipertimbangkan Kemudian sistem persamaan terdiri daripada persamaan pertama sistem ( 2) dan persamaan akan dapat diselesaikan berkenaan dengan yang tidak diketahui akan dinyatakan melalui Memperkenalkan ungkapan yang ditemui dalam persamaan kita memperoleh satu persamaan susunan ke-n Dari kaedah pembinaannya ia mengikuti bahawa jika) terdapat penyelesaian kepada sistem (2), maka fungsi X\(t) akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (5). Sebaliknya, biarkan penyelesaian kepada persamaan (5). Membezakan penyelesaian ini berkenaan dengan t, kami mengira dan menggantikan nilai yang ditemui sebagai fungsi yang diketahui Dengan andaian, sistem ini boleh diselesaikan berkenaan dengan xn sebagai fungsi t. Ia boleh ditunjukkan bahawa sistem fungsi yang dibina dengan cara ini merupakan penyelesaian kepada sistem persamaan pembezaan (2). Contoh. Ia diperlukan untuk menyepadukan sistem Membezakan persamaan pertama sistem, kita mempunyai dari mana, menggunakan persamaan kedua, kita memperoleh persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar dengan satu fungsi yang tidak diketahui. Penyelesaian amnya mempunyai bentuk. Berdasarkan persamaan pertama sistem, kita dapati fungsinya. Fungsi yang ditemui x(t), y(t), seperti yang boleh disahkan dengan mudah, untuk sebarang nilai C| dan C2 memenuhi sistem yang diberikan. Fungsi boleh diwakili dalam bentuk yang boleh dilihat bahawa lengkung kamiran sistem (6) ialah garis heliks dengan langkah dengan paksi sepunya x = y = 0, yang juga merupakan lengkung kamiran (Rajah 3). ). Menghapuskan parameter dalam formula (7), kita memperoleh persamaan supaya trajektori fasa sistem tertentu adalah bulatan dengan pusat pada asal koordinat - unjuran garisan heliks ke atas satah Apabila A = 0, trajektori fasa terdiri daripada satu titik, dipanggil titik rehat sistem. " Ia mungkin ternyata bahawa fungsi tidak boleh dinyatakan melalui Kemudian kita tidak akan memperoleh persamaan tertib ke-n yang setara dengan sistem asal. Berikut adalah contoh mudah. Sistem persamaan tidak boleh digantikan dengan persamaan tertib kedua yang setara untuk x\ atau x2. Sistem ini terdiri daripada sepasang persamaan tertib pertama, setiap satunya disepadukan secara bebas, memberikan Kaedah gabungan boleh sepadu Penyepaduan sistem normal persamaan pembezaan dXi kadangkala dijalankan dengan kaedah gabungan boleh sepadu. Gabungan boleh bersepadu ialah persamaan pembezaan yang merupakan akibat daripada persamaan (8), tetapi sudah boleh disepadukan dengan mudah. Contoh. Mengintegrasikan sistem SISTEM PERSAMAAN PEMBEZAAN Kaedah pengamiran Kaedah penyingkiran Kaedah gabungan boleh integrasi Sistem persamaan pembezaan linear Matriks asas Kaedah variasi pemalar Sistem persamaan pembezaan linear dengan pekali malar Kaedah matriks 4 Dengan menambah persamaan yang diberi sebutan demi sebutan, kita cari satu gabungan boleh integrasi: Menolak sebutan dengan sebutan daripada persamaan pertama sistem yang kedua, kita memperoleh gabungan boleh integrasi kedua: dari mana kita menemui dua persamaan terhingga yang mana penyelesaian umum sistem mudah ditentukan: Satu gabungan boleh bersepadu menjadikannya mungkin untuk mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan pembolehubah bebas t dan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan terhingga sedemikian dipanggil kamiran pertama sistem (8). Jika tidak: kamiran pertama bagi sistem persamaan pembezaan (8) ialah fungsi boleh dibezakan yang tidak tetap sama, tetapi mengekalkan nilai malar pada mana-mana lengkung kamiran sistem ini. Jika n kamiran pertama sistem (8) ditemui dan kesemuanya tidak bersandar, iaitu Jacobian bagi sistem fungsi ialah bukan sifar: Sistem persamaan pembezaan dipanggil linear jika ia adalah linear berkenaan dengan fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya. termasuk dalam persamaan. Sistem n persamaan linear tertib pertama, ditulis dalam bentuk normal, mempunyai bentuk atau, dalam bentuk matriks, Teorem 2. Jika semua fungsi selanjar, maka dalam kejiranan yang cukup kecil bagi setiap titik., xn) , di mana), syarat-syarat teorem kewujudan dipenuhi dan keunikan penyelesaian kepada masalah Causchia, oleh itu, melalui setiap titik tersebut terdapat melepasi lengkung kamiran unik sistem (1). Definisi. Marilah kita mempunyai sistem homogen linear di mana matriks dengan unsur Sistem n penyelesaian kepada sistem homogen linear (6), bebas linear pada selang, dipanggil asas. Teorem 6. Penentu Wronski W(t) bagi sistem penyelesaian asas pada selang kepada sistem homogen linear (6) dengan pekali a-ij(t) berterusan pada selang a b ialah bukan sifar pada semua titik selang (a). , 6). Teorem 7 (mengenai struktur penyelesaian umum sistem homogen linear). Penyelesaian umum dalam bidang sistem homogen linear dengan pekali berterusan pada selang ialah gabungan linear n penyelesaian sistem (6) bebas linear pada selang a: nombor malar arbitrari). Mengintegrasikan hubungan terakhir, kita dapati Menggantikan nilai ini, kita mencari penyelesaian tertentu kepada sistem (2): (di sini simbol difahami sebagai salah satu antiderivatif untuk fungsi §4. Sistem persamaan pembezaan linear dengan pekali malar Pertimbangkan linear sistem persamaan pembezaan di mana semua pekali adalah malar Lebih kerap Secara umumnya, sistem sedemikian disepadukan dengan mengurangkannya kepada satu persamaan yang lebih tinggi, dan persamaan ini juga akan menjadi linear dengan pekali malar Satu lagi kaedah yang berkesan untuk menyepadukan sistem dengan pekali malar ialah kaedah transformasi Laplace Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Euler untuk menyepadukan sistem homogen linear persamaan pembezaan dengan pekali malar Ia terdiri daripada yang berikut: Kaedah Euler Kami akan mencari penyelesaian kepada sistem di mana pemalar (3) persamaan algebra homogen linear dengan n tidak diketahui dan mempunyai penyelesaian bukan remeh adalah perlu dan mencukupi bahawa penentunya adalah sama dengan sifar: Persamaan (4) dipanggil ciri. Di sebelah kirinya terdapat polinomial berkenaan dengan A darjah n Daripada persamaan ini kita tentukan nilai-nilai A yang mana sistem (3) mempunyai penyelesaian bukan remeh a\. adalah berbeza, kemudian dengan menggantikannya secara bergilir-gilir ke dalam sistem ( 3), kita mencari penyelesaian bukan remeh yang sepadan bagi sistem ini dan, oleh itu, kita mencari n penyelesaian kepada sistem asal persamaan pembezaan (1) dalam bentuk di mana indeks kedua menunjukkan bilangan penyelesaian, dan yang pertama menunjukkan bilangan fungsi yang tidak diketahui. Penyelesaian separa n sistem homogen linear (1) yang dibina dengan cara ini membentuk, seperti yang boleh disahkan, sistem asas penyelesaian kepada sistem ini. Akibatnya, penyelesaian umum sistem homogen persamaan pembezaan (1) mempunyai bentuk - pemalar arbitrari. Kami tidak akan mempertimbangkan kes apabila persamaan ciri mempunyai berbilang punca. M Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk Sistem persamaan Ciri (3) untuk menentukan 01.02 kelihatan seperti ini: Menggantikan kita dapat dari mana Akibatnya, Andaikan kita dapati oleh itu penyelesaian Umum sistem ini: SISTEM PERSAMAAN BERBEZA Kaedah penyepaduan Kaedah penyingkiran Kaedah gabungan boleh integrasi Sistem persamaan pembezaan linear Matriks asas Kaedah pemalar variasi Sistem persamaan pembezaan linear dengan pekali malar Kaedah matriks Mari kita kemukakan juga kaedah matriks untuk menyepadukan sistem homogen (1). Mari kita tulis sistem (1) sebagai matriks dengan unsur nyata tetap a,j. Mari kita ingat beberapa konsep daripada algebra linear. Vektor g ФО dipanggil vektor eigen bagi matriks A jika Nombor A dipanggil nilai eigen bagi matriks A sepadan dengan vektor eigen g dan merupakan punca persamaan ciri di mana I ialah matriks identiti. Kami akan menganggap bahawa semua nilai eigen A„ matriks A adalah berbeza. Dalam kes ini, vektor eigen adalah bebas linear dan wujud n x n matriks T yang mengurangkan matriks A kepada bentuk pepenjuru, iaitu, supaya lajur matriks T ialah koordinat bagi vektor eigen Mari kita perkenalkan konsep berikut. Biarkan B(ξ) ialah n × n-matriks, unsur 6,;(0 daripadanya ialah fungsi hujah t yang ditakrifkan pada set. Matriks B(f) dipanggil selanjar pada Π jika semua unsurnya 6,j (f) adalah selanjar pada Q. A matriks B(*) dikatakan boleh dibezakan pada Π jika semua elemen matriks ini boleh dibezakan pada Q. Dalam kes ini, terbitan bagi ^p-matriks B(*) ialah a matriks yang unsur-unsurnya ialah terbitan unsur-unsur yang sepadan bagi vektor lajur matriks B(*). matriks malar, maka kerana ^ ialah matriks nol 9. Jika nilai eigen bagi matriks A adalah berbeza, maka penyelesaian umum sistem (7) mempunyai bentuk di mana - lajur vektor eigen bagi matriks adalah pemalar sewenang-wenangnya. Nombor. Mari kita perkenalkan lajur vektor baru yang tidak diketahui mengikut formula di mana T ialah matriks yang mengurangkan matriks A kepada bentuk pepenjuru mengambil kira bahawa T 1 AT = А, kami tiba di sistem Kami telah memperoleh sistem n persamaan bebas, yang boleh disepadukan dengan mudah: (12) Berikut adalah nombor malar arbitrari. Dengan memperkenalkan vektor lajur unit n-dimensi, penyelesaian boleh diwakili dalam bentuk Oleh kerana lajur matriks T ialah vektor eigen bagi matriks, vektor eigen bagi matriks A. Oleh itu, menggantikan (13) kepada (11), kita dapatkan formula (10): Oleh itu, jika matriks A sistem persamaan pembezaan (7) mempunyai nilai eigen yang berbeza, untuk mendapatkan penyelesaian umum sistem ini: 1) cari nilai eigen „ matriks sebagai punca persamaan algebra 2) cari semua vektor eigen 3) tuliskan penyelesaian umum sistem persamaan pembezaan (7) menggunakan formula (10 ). Contoh 2. Selesaikan sistem Kaedah matriks 4 Matriks A sistem mempunyai bentuk 1) Susun persamaan ciri Punca-punca persamaan ciri. 2) Cari vektor eigen Untuk A = 4 kita memperoleh sistem yang daripadanya = 0|2, supaya begitu juga untuk A = 1 kita dapati I 3) Dengan menggunakan formula (10), kita memperoleh penyelesaian umum kepada sistem persamaan pembezaan. Akar-akar persamaan ciri boleh menjadi nyata dan kompleks. Oleh kerana, dengan andaian, pekali sistem (7) adalah nyata, persamaan ciri akan mempunyai pekali nyata. Oleh itu, bersama-sama dengan punca kompleks A, ia juga akan mempunyai punca \*, konjugat kompleks kepada A. Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa jika g ialah vektor eigen sepadan dengan nilai eigen A, maka A* juga merupakan nilai eigen yang vektor eigen g* sepadan, konjugat kompleks dengan g.