Cari unjuran titik pada satah yang diberikan oleh persamaan. Mencari koordinat unjuran titik pada satah, contoh

Radas unjuran

Radas unjuran (Rajah 1) termasuk tiga satah unjuran:

π 1 - satah unjuran mendatar;

π 2 - satah unjuran hadapan;

π 3– satah profil unjuran .

Satah unjuran adalah saling berserenjang ( π 1^ π 2^ π 3), dan garis persilangan mereka membentuk paksi:

Persimpangan kapal terbang π 1 Dan π 2 membentuk paksi 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Persimpangan kapal terbang π 1 Dan π 3 membentuk paksi 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Persimpangan kapal terbang π 2 Dan π 3 membentuk paksi 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Titik persilangan paksi (ОХ∩OY∩OZ=0) dianggap sebagai titik rujukan (titik 0).

Oleh kerana satah dan paksi saling berserenjang, radas sedemikian adalah serupa Sistem kartesian koordinat.

Satah unjuran membahagikan seluruh ruang kepada lapan oktan (dalam Rajah 1 ia ditunjukkan dengan angka Rom). Satah unjuran dianggap legap, dan penonton sentiasa masuk saya oktana ke.

Unjuran ortogon dengan pusat unjuran S1, S2 Dan S3 masing-masing untuk satah unjuran mendatar, hadapan dan profil.

A.

Dari pusat unjuran S1, S2 Dan S3 memancarkan rasuk keluar l 1, l 2 Dan l 3 A

- A 1 A;

- A 2– unjuran hadapan titik A;

- A 3– unjuran profil titik A.

Titik dalam ruang dicirikan oleh koordinatnya A(x,y,z). mata A x, A y Dan Az masing-masing pada paksi 0X, 0Y Dan 0Z tunjukkan koordinat x, y Dan z mata A. Pada rajah. 1 memberikan semua sebutan yang diperlukan dan menunjukkan hubungan antara titik A ruang, unjuran dan koordinatnya.

rajah titik

Untuk merancang titik A(Rajah 2), dalam radas unjuran (Rajah 1) satah π 1 A 1 0X π 2. Kemudian kapal terbang π 3 dengan unjuran titik A 3, putar lawan jam di sekeliling paksi 0Z, sehingga ia bertepatan dengan kapal terbang π 2. Arah putaran satah π 2 Dan π 3 ditunjukkan dalam rajah. 1 anak panah. Pada masa yang sama, langsung A 1 A x Dan A 2 A x 0X berserenjang A 1 A 2, dan garis lurus A 2 A x Dan A 3 A x akan terletak sama dengan paksi 0Z berserenjang A 2 A 3. Garisan ini akan dirujuk sebagai menegak Dan mendatar talian sambungan.

Perlu diingatkan bahawa semasa peralihan dari radas unjuran ke rajah, objek yang diunjurkan hilang, tetapi semua maklumat tentang bentuknya, dimensi geometri dan tempat kedudukannya di angkasa terpelihara.

A(x A , y A , z Ax A , y A Dan zA dalam urutan berikut (Rajah 2). Urutan ini dipanggil teknik plot titik.

1. Kapak dilukis secara ortogon OX, OY Dan oz.

2. Pada paksi OX x A mata A dan dapatkan kedudukan titik A x.

3. Melalui titik A x berserenjang dengan paksi OX

A x mengikut arah paksi OY nilai berangka koordinat ditangguhkan y A mata A A 1 pada plot.

A x mengikut arah paksi oz nilai berangka koordinat ditangguhkan zA mata A A 2 pada plot.

6. Melalui titik A 2 selari dengan paksi OX satu garisan melintang dilukis. Persilangan garis ini dan paksi oz akan memberikan kedudukan titik A z.

7. Pada garis mendatar dari titik A z mengikut arah paksi OY nilai berangka koordinat ditangguhkan y A mata A dan kedudukan unjuran profil titik ditentukan A 3 pada plot.

Ciri titik

Semua titik ruang dibahagikan kepada titik kedudukan peribadi dan umum.

Mata kedudukan peribadi. Titik kepunyaan radas unjuran dipanggil titik kedudukan tertentu. Ini termasuk titik kepunyaan satah unjuran, paksi, asal dan pusat unjuran. Ciri ciri titik kedudukan peribadi ialah:

Metamatematik - satu, dua atau semua nilai berangka koordinat adalah sama dengan sifar dan (atau) infiniti;

Pada rajah - dua atau semua unjuran titik terletak pada paksi dan (atau) terletak pada infiniti.

mata kedudukan umum. Titik dalam kedudukan umum termasuk mata yang bukan milik radas unjuran. Contohnya, dot A dalam rajah. 1 dan 2.

DALAM kes am nilai berangka koordinat titik mencirikan jaraknya dari satah unjuran: koordinat X dari kapal terbang π 3; menyelaras y dari kapal terbang π 2; menyelaras z dari kapal terbang π 1. Perlu diingatkan bahawa tanda-tanda pada nilai berangka koordinat menunjukkan arah penyingkiran titik dari satah unjuran. Bergantung pada gabungan tanda untuk nilai berangka koordinat titik, ia bergantung pada oktana mana ia terletak.

Kaedah Dua Imej

Dalam amalan, sebagai tambahan kepada kaedah unjuran penuh, kaedah dua imej digunakan. Ia berbeza kerana unjuran ketiga objek dikecualikan dalam kaedah ini. Untuk mendapatkan radas unjuran bagi kaedah dua imej, satah unjuran profil dengan pusat unjurannya dikecualikan daripada radas unjuran penuh (Rajah 3). Di samping itu, pada paksi 0X asal ditetapkan (titik 0 ) dan daripadanya berserenjang dengan paksi 0X dalam satah unjuran π 1 Dan π 2 menghabiskan paksi 0Y Dan 0Z masing-masing.

Dalam radas ini, keseluruhan ruang dibahagikan kepada empat sukuan. Pada rajah. 3 ditandakan dengan angka Rom.

Satah unjuran dianggap legap, dan penonton sentiasa masuk saya kuadran ke.

Pertimbangkan pengendalian peranti menggunakan contoh mengunjurkan titik A.

Dari pusat unjuran S1 Dan S2 memancarkan rasuk keluar l 1 Dan l 2. Sinar ini melalui titik A dan bersilang dengan satah unjuran membentuk unjurannya:

- A 1- unjuran mendatar sesuatu titik A;

- A 2– unjuran hadapan titik A.

Untuk merancang titik A(Rajah 4), dalam radas unjuran (Rajah 3) satah π 1 dengan unjuran titik yang terhasil A 1 berputar mengikut arah jam mengelilingi paksi 0X, sehingga ia bertepatan dengan kapal terbang π 2. Arah putaran satah π 1 ditunjukkan dalam rajah. 3 anak panah. Pada masa yang sama, hanya satu titik kekal pada rajah titik yang diperolehi dengan kaedah dua imej. menegak talian komunikasi A 1 A 2.

Dalam praktiknya, merancang titik A(x A , y A , z A) dijalankan mengikut nilai berangka koordinatnya x A , y A Dan zA dalam urutan berikut (Rajah 4).

1. Satu paksi dilukis OX dan asal ditetapkan (titik 0 ).

2. Pada paksi OX nilai berangka koordinat ditangguhkan x A mata A dan dapatkan kedudukan titik A x.

3. Melalui titik A x berserenjang dengan paksi OX satu garisan menegak dilukis.

4. Pada garis menegak dari titik A x mengikut arah paksi OY nilai berangka koordinat ditangguhkan y A mata A dan kedudukan unjuran mendatar titik ditentukan A 1 OY tidak dilukis, tetapi diandaikan nilai positif terletak di bawah paksi OX, manakala yang negatif lebih tinggi.

5. Pada garis menegak dari titik A x mengikut arah paksi oz nilai berangka koordinat ditangguhkan zA mata A dan kedudukan unjuran hadapan titik ditentukan A 2 pada plot. Perlu diingatkan bahawa pada rajah paksi oz tidak dilukis, tetapi diandaikan bahawa nilai positifnya terletak di atas paksi OX, manakala yang negatif adalah lebih rendah.

Mata bertanding

Titik pada sinar unjuran yang sama dipanggil titik bersaing. Mereka mempunyai unjuran biasa ke arah rasuk unjuran, i.e. unjuran mereka bertepatan sama. ciri ciri mata yang bersaing pada rajah adalah kebetulan yang sama bagi unjuran mereka dengan nama yang sama. Persaingan terletak pada keterlihatan unjuran ini berbanding dengan pemerhati. Dalam erti kata lain, dalam ruang untuk pemerhati, salah satu titik kelihatan, yang lain tidak. Dan, dengan itu, dalam lukisan: salah satu unjuran mata yang bersaing kelihatan, dan unjuran titik lain tidak dapat dilihat.

Pada model unjuran spatial (Rajah 5) daripada dua titik yang bersaing A Dan DALAM titik yang kelihatan A atas dua alasan yang saling melengkapi. Mengikut rantai S 1 →A→B titik A lebih dekat kepada pemerhati daripada satu titik DALAM. Dan, dengan itu, lebih jauh dari satah unjuran π 1(mereka. zA > zA).

nasi. 5 Rajah.6

Jika titik itu sendiri kelihatan A, maka unjurannya juga kelihatan A 1. Berhubung dengan unjuran yang bertepatan dengannya B1. Untuk kejelasan dan, jika perlu, pada rajah, unjuran mata yang tidak kelihatan biasanya disertakan dalam kurungan.

Keluarkan titik pada model A Dan DALAM. Unjuran serentak mereka pada pesawat akan kekal π 1 dan unjuran berasingan - hidup π 2. Kami meninggalkan unjuran hadapan pemerhati (⇩) secara bersyarat, terletak di tengah unjuran S1. Kemudian di sepanjang rangkaian imej ⇩ → A2 → B2 ia akan menjadi mungkin untuk menilai itu zA > zB dan titik itu sendiri boleh dilihat A dan unjurannya A 1.

Begitu juga, pertimbangkan mata yang bersaing DENGAN Dan D nampaknya relatif kepada satah π 2 . Sejak rasuk unjuran biasa bagi mata ini l 2 selari dengan paksi 0Y, maka tanda keterlihatan mata yang bersaing DENGAN Dan D ditentukan oleh ketidaksamaan yC > yD. Oleh itu, intinya D ditutup dengan titik DENGAN dan, dengan itu, unjuran titik D2 akan diliputi oleh unjuran titik Dari 2 di permukaan π 2.

Mari kita pertimbangkan bagaimana keterlihatan mata bersaing ditentukan dalam lukisan kompleks (Rajah 6).

Mengikut unjuran padanan A 1≡DALAM 1 mata itu sendiri A Dan DALAM berada pada rasuk unjuran yang sama selari dengan paksi 0Z. Jadi koordinat perlu dibandingkan zA Dan zB titik-titik ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan satah unjuran hadapan dengan imej titik berasingan. DALAM kes ini zA > zB. Ia berikutan daripada ini bahawa unjuran boleh dilihat A 1.

mata C Dan D dalam lukisan kompleks yang sedang dipertimbangkan (Rajah 6) juga berada pada rasuk unjuran yang sama, tetapi hanya selari dengan paksi 0Y. Oleh itu, daripada perbandingan yC > yD kami membuat kesimpulan bahawa unjuran C 2 boleh dilihat.

Peraturan Am . Keterlihatan untuk unjuran bertepatan mata bersaing ditentukan dengan membandingkan koordinat titik-titik ini ke arah rasuk unjuran biasa. Kelihatan ialah unjuran titik yang koordinat ini lebih besar. Dalam kes ini, perbandingan koordinat dilakukan pada satah unjuran dengan imej mata yang berasingan.

Kajian tentang sifat-sifat rajah di angkasa dan di atas satah adalah mustahil tanpa mengetahui jarak antara titik dan objek geometri seperti garis lurus dan satah. Dalam artikel ini, kami akan menunjukkan cara mencari jarak ini dengan mempertimbangkan unjuran titik pada satah dan pada garis.

Persamaan garis lurus untuk ruang dua dimensi dan tiga dimensi

Pengiraan jarak titik ke garis lurus dan satah dijalankan menggunakan unjurannya ke objek ini. Untuk dapat mencari unjuran ini, seseorang harus mengetahui dalam bentuk apakah persamaan untuk garis dan satah diberikan. Mari kita mulakan dengan yang pertama.

Garis lurus ialah himpunan titik, setiap satunya boleh diperoleh daripada yang sebelumnya dengan memindahkan kepada vektor selari antara satu sama lain. Sebagai contoh, terdapat titik M dan N. Vektor MN¯ yang menghubungkannya memetakan M ke N. Terdapat juga titik ketiga P. Jika vektor MP¯ atau NP¯ selari dengan MN¯, maka ketiga-tiga titik terletak pada baris yang sama dan membentuknya.

Bergantung pada dimensi ruang, persamaan yang mentakrifkan garis lurus boleh mengubah bentuknya. Ya, semua orang tahu pergantungan linear koordinat-y daripada x dalam ruang menerangkan satah yang selari dengan paksi-z ketiga. Dalam hal ini, dalam artikel ini kita hanya akan mempertimbangkan persamaan vektor untuk garis lurus. Ia ada rupa yang sama untuk kapal terbang dan ruang tiga dimensi A.

Dalam ruang, garis lurus boleh ditakrifkan ungkapan berikut:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Di sini, nilai koordinat dengan indeks sifar sepadan dengan beberapa titik kepunyaan garis, u¯(a; b; c) ialah koordinat vektor arah yang terletak pada garisan yang diberikan, α adalah arbitrari. nombor sebenar, menukar yang anda boleh mendapatkan semua mata garisan. Persamaan ini dipanggil vektor.

Selalunya persamaan di atas ditulis dalam bentuk diperluas:

Begitu juga, anda boleh menulis persamaan untuk garis lurus yang berada dalam satah, iaitu, dalam ruang dua dimensi:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Persamaan satah

Untuk dapat mencari jarak dari titik ke satah unjuran, anda perlu mengetahui cara satah ditentukan. Sama seperti garis lurus, ia boleh diwakili dalam beberapa cara. Di sini kita hanya mempertimbangkan satu: persamaan umum.

Katakan bahawa titik M(x 0 ; y 0 ; z 0) kepunyaan satah, dan vektor n¯(A; B; C) adalah berserenjang dengannya, maka untuk semua titik (x; y; z) bagi satah kesamaan akan sah:

A*x + B*y + C*z + D = 0 dengan D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Perlu diingat bahawa dalam persamaan umum satah ini, pekali A, B dan C ialah koordinat vektor normal kepada satah.

Pengiraan jarak mengikut koordinat

Sebelum meneruskan pertimbangan unjuran pada satah titik dan ke garis lurus, perlu diingat bagaimana jarak antara dua titik yang diketahui harus dikira.

Biarkan terdapat dua titik spatial:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) dan A 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)

Kemudian jarak antara mereka dikira dengan formula:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2)

Dengan menggunakan ungkapan ini, panjang vektor A 1 A 2 ¯ juga ditentukan.

Untuk kes pada satah, apabila dua titik diberikan oleh hanya sepasang koordinat, kita boleh menulis kesamaan yang serupa tanpa kehadiran istilah dengan z di dalamnya:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Sekarang kita mempertimbangkan pelbagai kes unjuran pada satah titik ke garis lurus dan ke satah di angkasa.

Titik, garis dan jarak antara mereka

Katakan terdapat beberapa titik dan garis:

P 2 (x 1 ; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Jarak antara objek geometri ini akan sepadan dengan panjang vektor, permulaannya terletak pada titik P 2 , dan penghujungnya terletak pada titik P pada garis yang ditentukan, yang mana vektor P 2 P ¯ adalah serenjang. ke baris ini. Titik P dipanggil unjuran titik P 2 ke atas garis yang sedang dipertimbangkan.

Rajah di bawah menunjukkan titik P 2 , jaraknya d ke garis lurus, serta vektor panduan v 1 ¯. Juga pada baris dipilih titik sewenang-wenangnya P 1 dan daripadanya ke P 2 satu vektor dilukis. Titik P di sini bertepatan dengan tempat di mana garis serenjang bersilang.

Dapat dilihat bahawa anak panah oren dan merah membentuk segi empat selari, sisinya ialah vektor P 1 P 2 ¯ dan v 1 ¯, dan ketinggiannya ialah d. Dari geometri diketahui bahawa untuk mencari ketinggian segi empat tepat, kawasannya harus dibahagikan dengan panjang tapak, di mana serenjang itu diturunkan. Oleh kerana luas segi empat selari dikira sebagai hasil vektor sisinya, kami mendapat formula untuk mengira d:

d = ||/|v 1 ¯|

Semua vektor dan koordinat titik dalam ungkapan ini diketahui, jadi anda boleh menggunakannya tanpa melakukan sebarang transformasi.

Masalah ini boleh diselesaikan secara berbeza. Untuk ini, dua persamaan harus ditulis:

• hasil darab skalar P 2 P ¯ dan v 1 ¯ mestilah sama dengan sifar, kerana vektor-vektor ini saling berserenjang;
• koordinat titik P mesti memenuhi persamaan garis lurus.

Persamaan ini cukup untuk mencari koordinat P dan kemudian panjang d menggunakan formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya.

Mencari jarak antara garis dan titik

Mari tunjukkan kepada anda cara menggunakan data maklumat teori untuk menyelesaikan masalah tertentu. Katakan titik dan garis berikut diketahui:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Ia adalah perlu untuk mencari titik unjuran pada garisan pada satah, serta jarak dari M ke garisan.

Nyatakan unjuran yang ditemui oleh titik M 1 (x 1 ; y 1). Kami menyelesaikan masalah ini dalam dua cara, yang diterangkan dalam perenggan sebelumnya.

Kaedah 1. Vektor arah v 1 ¯ koordinat mempunyai (0; 2). Untuk membina segi empat selari, kami memilih beberapa titik kepunyaan garis. Contohnya, titik dengan koordinat (3; 1). Kemudian vektor sisi kedua segi empat selari akan mempunyai koordinat:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Sekarang anda harus mengira hasil darab vektor yang mentakrifkan sisi selari:

Kami menggantikan nilai ini ke dalam formula, kami mendapat jarak d dari M ke garis lurus:

Kaedah 2. Sekarang mari kita cari dengan cara lain bukan sahaja jarak, tetapi juga koordinat unjuran M ke garis lurus, seperti yang diperlukan oleh keadaan masalah. Seperti yang dinyatakan di atas, untuk menyelesaikan masalah, adalah perlu untuk menyusun sistem persamaan. Ia akan mengambil bentuk:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Mari selesaikan sistem ini:

Unjuran titik asal koordinat mempunyai M 1 (3; -3). Maka jarak yang dikehendaki ialah:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Seperti yang anda lihat, kedua-dua kaedah penyelesaian memberikan hasil yang sama, yang menunjukkan ketepatan yang dilakukan operasi matematik.

Unjuran titik pada satah

Sekarang pertimbangkan apakah unjuran titik yang diberikan di angkasa ke atas satah tertentu. Adalah mudah untuk meneka bahawa unjuran ini juga merupakan titik, yang, bersama-sama dengan yang asal, membentuk vektor berserenjang dengan satah.

Katakan unjuran pada satah titik M mempunyai koordinat berikut:

Satah itu sendiri diterangkan oleh persamaan:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Berdasarkan data ini, kita boleh merumuskan persamaan garis lurus yang bersilang dengan satah pada sudut tegak dan melalui M dan M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Di sini, pembolehubah dengan indeks sifar ialah koordinat bagi titik M. Kedudukan pada satah titik M 1 boleh dikira berdasarkan fakta bahawa koordinatnya mesti memenuhi kedua-dua persamaan bertulis. Jika persamaan ini tidak mencukupi semasa menyelesaikan masalah, maka keadaan selari MM 1 ¯ dan vektor panduan bagi satah tertentu boleh digunakan.

Jelas sekali, unjuran titik kepunyaan satah bertepatan dengan dirinya sendiri, dan jarak yang sepadan adalah sifar.

Masalah dengan titik dan satah

Biarkan titik M(1; -1; 3) dan satah diberi, yang diterangkan oleh yang berikut persamaan am:

Anda harus mengira koordinat unjuran pada satah titik dan mengira jarak antara objek geometri ini.

Sebagai permulaan, kita membina persamaan garis lurus yang melalui M dan berserenjang dengan satah yang ditentukan. Ia kelihatan seperti:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Mari kita nyatakan titik di mana garis ini bersilang dengan satah, M 1 . Kesamaan untuk satah dan garis lurus mesti dipenuhi jika koordinat M 1 digantikan ke dalamnya. Menulis secara eksplisit persamaan garis lurus, kita memperoleh empat kesamaan berikut:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 \u003d -1 + 3 * α;

Daripada kesamaan terakhir kita mendapat parameter α, kemudian kita menggantikannya ke dalam kedua terakhir dan ke dalam ungkapan kedua, kita dapat:

y 1 \u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 \u003d -3 / 2 * z 1 + 3.5;

x 1 \u003d 1 - (3-z 1) / 2 \u003d 1/2 * z 1 - 1/2

Kami menggantikan ungkapan untuk y 1 dan x 1 ke dalam persamaan untuk satah, kami mempunyai:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3.5) -2*z 1 + 4 = 0

Di mana kita dapat:

y 1 \u003d -3 / 2 * 15/7 + 3.5 \u003d 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Kami telah menentukan bahawa unjuran titik M ke kapal terbang yang diberi sepadan dengan koordinat (4/7; 2/7; 15/7).

Sekarang mari kita hitung jarak |MM 1 ¯|. Koordinat vektor yang sepadan ialah:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Jarak yang diperlukan ialah:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1.6

Tiga titik unjuran

Semasa penyediaan lukisan, selalunya perlu untuk mendapatkan unjuran bahagian pada tiga satah yang saling berserenjang. Oleh itu, adalah berguna untuk mempertimbangkan apa unjuran beberapa titik M dengan koordinat (x 0 ; y 0 ; z 0) pada tiga satah koordinat.

Tidak sukar untuk menunjukkan bahawa satah xy diterangkan oleh persamaan z = 0, satah xz sepadan dengan ungkapan y = 0, dan satah yz yang selebihnya dilambangkan dengan x = 0. Adalah mudah untuk meneka bahawa unjuran satu titik pada 3 satah akan sama:

untuk x = 0: (0; y 0 ; z 0);

untuk y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

untuk z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Di manakah penting untuk mengetahui unjuran titik dan jaraknya ke satah?

Menentukan kedudukan unjuran titik pada satah tertentu adalah penting apabila mencari kuantiti seperti luas permukaan dan isipadu untuk prisma condong dan piramid. Sebagai contoh, jarak dari bahagian atas piramid ke satah tapak ialah ketinggian. Yang terakhir termasuk dalam formula untuk jumlah angka ini.

Formula dan kaedah yang dipertimbangkan untuk menentukan unjuran dan jarak dari titik ke garis lurus dan satah agak mudah. Ia hanya penting untuk diingat borang yang sepadan persamaan satah dan garis lurus, dan juga mempunyai kebaikan imaginasi spatial untuk menerapkannya dengan jayanya.

Unjuran titik pada satah adalah kes khas tugas biasa mencari unjuran titik pada permukaan. Oleh kerana kesederhanaan pengiraan unjuran titik pada tangen satah ke permukaan, ia digunakan sebagai anggaran sifar dalam menyelesaikan masalah umum.

Pertimbangkan masalah mengunjurkan titik pada satah yang diberikan oleh vektor jejari

Kami akan menganggap bahawa vektor bukan kolinear. Andaikan bahawa dalam kes umum vektor tidak ortogon dan mempunyai panjang bukan unit. Satah melalui titik di mana parameter adalah sama dengan sifar, dan vektor menentukan arah parametrik. Titik yang diberikan mempunyai unjuran unik pada satah (4.6.1). Mari kita bina unit normal kepada satah

nasi. 4.6.1. Unjuran titik pada satah s(u, v)

Mari kita mengira vektor jejari bagi unjuran titik pada satah sebagai perbezaan antara vektor jejari titik unjuran dan komponen vektor selari dengan normal kepada satah,

(4.6.4)

Pada rajah. 4.6.1 menunjukkan vektor satah, titik permulaan dan unjurannya titik yang diberikan.

Parameter dan panjang unjuran dikaitkan dengan persamaan

di mana kosinus sudut antara vektor ditentukan oleh formula (1.7.13).

Daripada sistem persamaan ini, kita dapati parameter unjuran titik ke atas satah

(4.6.6)

di manakah pekali bagi utama pertama bentuk kuadratik satah (1.7.8), yang juga merupakan komponen kovarian tensor permukaan metrik, adalah komponen kontravarian tensor permukaan metrik. Jika vektor adalah ortogon, maka formula (4.6.6) dan (4.6.7) mengambil bentuk

Jarak dari titik ke unjurannya pada satah biasanya dikira sebagai panjang vektor. Jarak dari titik ke unjuran ke atas satah boleh ditentukan tanpa mengira unjuran titik, tetapi dengan mengira unjuran vektor ke normal ke satah

(4.6.8)

Kes khas.

Unjuran titik pada beberapa permukaan analitik boleh didapati tanpa melibatkan kaedah berangka. Contohnya, untuk mencari unjuran titik pada permukaan silinder bulat, kon, sfera atau torus, anda perlu menterjemahkan titik unjuran ke dalam sistem tempatan koordinat permukaan, di mana ia adalah mudah untuk mencari parameter unjuran. Begitu juga, unjuran pada permukaan penyemperitan dan putaran boleh didapati. Dalam beberapa kes tertentu, kedudukan titik unjuran unjurannya boleh didapati dengan mudah pada permukaan lain juga.

Kes am.

Pertimbangkan masalah mengunjurkan titik ke permukaan dalam kes umum. Biarkan ia diperlukan untuk mencari semua unjuran titik pada permukaan . setiap satu titik yang dikehendaki permukaan memenuhi sistem dua persamaan

Sistem persamaan (4.6.9) mengandungi dua kuantiti yang tidak diketahui - parameter u dan v. Masalah ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti masalah mencari unjuran titik tertentu pada lengkung.

Pada peringkat pertama, kami menentukan anggaran sifar parameter permukaan untuk unjuran titik, dan pada peringkat kedua, kami mencari nilai tepat parameter yang menentukan unjuran titik yang diberikan ke permukaan.

Mari kita pergi ke permukaan dengan langkah-langkah yang dikira oleh formula (4.2.4) dan (4.2.5), yang diterangkan di atas dengan cara bergerak di sepanjang kawasan parametrik. Mari kita nyatakan parameter titik yang akan kita lalui . Pada setiap titik, kita akan mengira hasil skalar bagi vektor

(4.6.10)

Jika penyelesaian yang dikehendaki terletak berhampiran titik dengan parameter , maka kita akan mempunyai tanda yang berbeza, serta dan akan mempunyai tanda yang berbeza. Perubahan tanda produk skalar menunjukkan bahawa penyelesaian yang dikehendaki adalah berhampiran. Untuk penghampiran sifar parameter, kami mengambil nilai Bermula dari anggaran sifar parameter, salah satu kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak linear mencari penyelesaian kepada masalah dengan ketepatan yang diberikan. Sebagai contoh, dalam kaedah Newton, pada lelaran, kenaikan parameter unjuran boleh didapati daripada sistem persamaan linear.

di manakah terbitan separa bagi vektor jejari berkenaan dengan parameter. anggaran seterusnya parameter unjuran titik adalah sama dengan . Proses menapis parameter akan selesai apabila ketaksamaan dipenuhi pada lelaran seterusnya , di mana ralat yang dinyatakan. Dengan cara yang sama, kita dapati semua punca lain bagi sistem persamaan (4.6.9).

Jika anda perlu mencari hanya unjuran terdekat bagi titik tertentu ke permukaan, maka anda boleh melalui titik yang sama pada objek geometri dan pilih satu yang paling hampir dengan titik yang diberikan. Parameter titik terdekat dan harus dipilih sebagai anggaran sifar penyelesaian masalah.

Unjuran titik ke permukaan dalam arah tertentu.

Dalam kes tertentu, masalah timbul untuk menentukan unjuran titik ke permukaan bukan di sepanjang normal, tetapi di sepanjang arah yang diberikan. Biarkan arah unjuran diberikan oleh vektor unit panjang q. Mari kita bina garis lurus

(4.6.12)

melalui titik tertentu dan mempunyai arah vektor yang diberi. Unjuran titik pada permukaan dalam diberi arahan kita takrifkan sebagai titik persilangan permukaan dengan garis (4.6.12) yang melalui titik yang diberikan dalam arah yang diberikan.

Unjuran SATU TITIK PADA DUA SATAH Unjuran

Pembentukan segmen garis lurus AA 1 boleh diwakili sebagai hasil daripada titik A yang bergerak dalam mana-mana satah H (Rajah 84, a), dan pembentukan satah boleh diwakili sebagai anjakan segmen garis lurus AB ( Rajah 84, b).

Titik - utama unsur geometri garisan dan permukaan, maka kajian unjuran segi empat tepat sesuatu objek bermula dengan pembinaan unjuran segi empat tepat bagi sesuatu titik.

ke angkasa lepas sudut dihedral, dibentuk oleh dua satah serenjang - satah hadapan (menegak) unjuran V dan satah mendatar unjuran H, kita letakkan titik A (Rajah 85, a).

Garis persilangan satah unjuran ialah garis lurus, yang dipanggil paksi unjuran dan dilambangkan dengan huruf x.

Satah V ditunjukkan di sini sebagai segi empat tepat, dan satah H sebagai segi empat selari. Sisi condong bagi segi empat selari ini biasanya dilukis pada sudut 45° ke sisi mengufuknya. Panjang sisi condong diambil sama dengan 0.5 daripada panjang sebenar.

Dari titik A, serenjang diturunkan pada satah V dan H. Titik a "dan a persilangan serenjang dengan satah unjuran V dan H ialah unjuran segi empat tepat titik A. Rajah Aaa x a "dalam ruang ialah segi empat tepat. Sisi aa segi empat tepat ini dalam imej visual dikurangkan sebanyak 2 kali ganda.

Mari kita menjajarkan satah H dengan satah V dengan memutarkan V di sekeliling garis persilangan satah x. Hasilnya ialah lukisan kompleks titik A (Rajah 85, b)

Untuk memudahkan lukisan kompleks, sempadan satah unjuran V dan H tidak ditunjukkan (Rajah 85, c).

Serenjang yang dilukis dari titik A ke satah unjuran dipanggil garis unjuran, dan tapak garis unjuran ini - titik a dan a "dipanggil unjuran titik A: a" ialah unjuran hadapan titik A, a ialah unjuran mendatar bagi titik A.

Garis a "a dipanggil garis menegak sambungan unjuran.

Lokasi unjuran titik pada lukisan kompleks bergantung pada kedudukan titik ini dalam ruang.

Jika titik A terletak pada satah unjuran mendatar H (Rajah 86, a), maka unjuran mendatarnya a bertepatan dengan titik yang diberikan, dan unjuran hadapan a " terletak pada paksi. Apabila titik B terletak pada unjuran hadapan satah V, unjuran hadapannya bertepatan dengan titik ini, dan unjuran mendatar terletak pada paksi-x. Unjuran mendatar dan unjuran hadapan titik C yang diberikan terletak pada paksi-x bertepatan dengan titik ini. Lukisan kompleks titik A, B dan C ditunjukkan dalam rajah. 86b.

Unjuran SATU TITIK PADA TIGA SATAH Unjuran

Dalam kes di mana adalah mustahil untuk membayangkan bentuk objek daripada dua unjuran, ia diunjurkan ke tiga satah unjuran. Dalam kes ini, satah profil unjuran W diperkenalkan, berserenjang dengan satah V dan H. Satu perwakilan visual sistem tiga satah unjuran diberikan dalam rajah. 87 a.

Tepi sudut trihedral (persilangan satah unjuran) dipanggil paksi unjuran dan dilambangkan dengan x, y dan z. Persilangan paksi unjuran dipanggil permulaan paksi unjuran dan dilambangkan dengan huruf O. Mari kita lepaskan serenjang dari titik A ke satah unjuran W dan, menandakan pangkal serenjang dengan huruf a, kita dapatkan unjuran profil mata A.

Untuk mendapatkan lukisan kompleks, titik A bagi satah H dan W dijajarkan dengan satah V, memutarkannya mengelilingi paksi Ox dan Oz. Lukisan kompleks titik A ditunjukkan dalam rajah. 87b dan c.

Segmen garis unjuran dari titik A ke satah unjuran dipanggil koordinat titik A dan dilambangkan: x A, y A dan z A.

Sebagai contoh, koordinat z A bagi titik A, sama dengan segmen a "a x (Rajah 88, a dan b), ialah jarak dari titik A ke satah unjuran mendatar H. Koordinat di titik A, sama dengan segmen aa x, ialah jarak dari titik A ke satah hadapan unjuran V. Koordinat x A sama dengan segmen aa y ialah jarak dari titik A ke satah profil unjuran W.

Oleh itu, jarak antara unjuran titik dan paksi unjuran menentukan koordinat titik dan merupakan kunci untuk membaca lukisan kompleksnya. Dengan dua unjuran titik, ketiga-tiga koordinat titik boleh ditentukan.

Jika koordinat titik A diberikan (contohnya, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm dan z A \u003d 25 mm), maka tiga unjuran titik ini boleh dibina.

Untuk melakukan ini, dari asal koordinat O ke arah paksi Oz, koordinat z A diletakkan dan koordinat y A diletakkan. segmen sama dengan koordinat x A. Titik yang terhasil a "dan a - hadapan dan unjuran mendatar mata A.

Menurut dua unjuran a "dan satu titik A, unjuran profilnya boleh dibina dalam tiga cara:

1) dari asalan O, sebuah lengkok tambahan dilukis dengan jejari Oa y sama dengan koordinat (Rajah 87, b dan c), dari titik yang diperolehi a y1 lukis garis lurus selari dengan paksi Oz, dan letakkan a segmen sama dengan z A;

2) dari titik a y, garis lurus tambahan dilukis pada sudut 45 ° ke paksi Oy (Rajah 88, a), titik a y1 diperolehi, dsb.;

3) dari asal O, lukis garis lurus tambahan pada sudut 45 ° ke paksi Oy (Rajah 88, b), dapatkan titik a y1, dsb.