Cari jarak dari titik ke vektor garis. Mengira sudut antara dua satah

Koordinat dan vektor. Panduan yang komprehensif (2019)

Dalam artikel ini, anda dan saya akan memulakan perbincangan tentang satu "tongkat ajaib" yang akan membolehkan anda mengurangkan banyak masalah dalam geometri kepada aritmetik mudah. "Tongkat" ini boleh menjadikan hidup anda lebih mudah, terutamanya apabila anda berasa tidak selamat dalam membina angka spatial, bahagian, dll. Semua ini memerlukan imaginasi dan kemahiran praktikal tertentu. Kaedah, yang akan kami pertimbangkan di sini, akan membolehkan anda mengabstraksi hampir sepenuhnya daripada semua jenis pembinaan dan penaakulan geometri. Kaedahnya dipanggil "kaedah koordinat". Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan soalan berikut:

satah koordinat
Titik dan vektor pada satah
Membina vektor dari dua titik
Panjang vektor (jarak antara dua titik).
Koordinat titik tengah
Hasil darab titik bagi vektor
Sudut antara dua vektor

Saya fikir anda sudah meneka mengapa kaedah koordinat dipanggil begitu? Memang benar bahawa ia menerima nama sedemikian, kerana ia beroperasi bukan dengan objek geometri, tetapi dengan mereka ciri berangka(koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang memungkinkan untuk bergerak dari geometri ke algebra, terdiri daripada memperkenalkan sistem koordinat. Jika rajah asal adalah rata, maka koordinat adalah dua dimensi, dan jika rajah adalah tiga dimensi, maka koordinat adalah tiga dimensi. Dalam artikel ini, kami hanya akan mempertimbangkan kes dua dimensi. Dan tujuan utama artikel itu adalah untuk mengajar anda cara menggunakan beberapa teknik asas kaedah koordinat (kadang-kadang ternyata berguna apabila menyelesaikan masalah dalam planimetri di bahagian B Peperiksaan Negeri Bersepadu). Dua bahagian berikut mengenai topik ini ditumpukan kepada perbincangan kaedah untuk menyelesaikan masalah C2 (masalah stereometri).

Di manakah logik untuk mula membincangkan kaedah koordinat? Mungkin dengan konsep sistem koordinat. Ingat ketika pertama kali anda bertemu dengannya. Nampaknya saya pada darjah 7, apabila anda mengetahui tentang kewujudan fungsi linear, sebagai contoh. Biar saya ingatkan anda bahawa anda membinanya titik demi titik. Adakah awak ingat? Anda memilih nombor sewenang-wenangnya, menggantikannya ke dalam formula dan dikira dengan cara ini. Contohnya, jika, kemudian, jika, kemudian, dsb. Apakah yang anda perolehi sebagai hasilnya? Dan anda menerima mata dengan koordinat: dan. Seterusnya, anda melukis "palang" (sistem koordinat), memilih skala padanya (berapa banyak sel yang anda akan ada sebagai satu segmen) dan menandakan mata yang anda terima padanya, yang kemudian anda sambungkan dengan garis lurus, yang terhasil. garis ialah graf bagi fungsi tersebut.

Terdapat beberapa perkara yang perlu dijelaskan kepada anda dengan lebih terperinci:

1. Anda memilih satu segmen atas sebab kemudahan, supaya semuanya sesuai dengan baik dan padat dalam gambar

2. Diandaikan bahawa paksi pergi dari kiri ke kanan, dan paksi pergi dari bawah ke atas

3. Mereka bersilang pada sudut tepat, dan titik persilangan mereka dipanggil asal. Ia ditandakan dengan huruf.

4. Dalam rekod koordinat titik, sebagai contoh, di sebelah kiri dalam kurungan ialah koordinat titik di sepanjang paksi, dan di sebelah kanan, di sepanjang paksi. Khususnya, hanya bermaksud bahawa perkara itu

5. Untuk menetapkan sebarang titik pada paksi koordinat, anda perlu menentukan koordinatnya (2 nombor)

6. Untuk sebarang titik yang terletak pada paksi,

7. Bagi mana-mana titik yang terletak pada paksi,

8. Paksi dipanggil paksi-x

9. Paksi itu dipanggil paksi-y

Sekarang mari kita ambil langkah seterusnya dengan anda: tandakan dua mata. Sambungkan dua titik ini dengan garis. Dan mari kita letakkan anak panah seolah-olah kita melukis segmen dari satu titik ke titik: iaitu, kita akan membuat segmen kita terarah!

Ingat apakah nama lain untuk segmen terarah? Betul, ia dipanggil vektor!

Oleh itu, jika kita menyambungkan titik ke titik, dan permulaan akan menjadi titik A, dan akhirnya akan menjadi titik B, kemudian kita mendapat vektor. Anda juga melakukan pembinaan ini pada darjah 8, ingat?

Ternyata vektor, seperti titik, boleh dilambangkan dengan dua nombor: nombor ini dipanggil koordinat vektor. Soalan: adakah anda fikir cukup untuk kita mengetahui koordinat permulaan dan penghujung vektor untuk mencari koordinatnya? Ternyata ya! Dan ia sangat mudah dilakukan:

Oleh itu, kerana dalam vektor titik adalah permulaan, dan akhir, vektor mempunyai koordinat berikut:

Sebagai contoh, jika, maka koordinat vektor

Sekarang mari kita lakukan sebaliknya, cari koordinat vektor. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, anda perlu menukar permulaan dan akhir: kini permulaan vektor akan berada pada satu titik, dan akhir pada satu titik. Kemudian:

Lihat dengan teliti, apakah perbezaan antara vektor dan? Satu-satunya perbezaan mereka ialah tanda-tanda dalam koordinat. Mereka bertentangan. Fakta ini ditulis seperti ini:

Kadangkala, jika ia tidak dinyatakan secara khusus titik mana yang merupakan permulaan vektor, dan yang mana penghujungnya, maka vektor tidak dilambangkan dengan dua huruf besar, tetapi satu huruf kecil, contohnya: , dsb.

Sekarang sedikit berlatih dan cari koordinat bagi vektor berikut:

Peperiksaan:

Sekarang selesaikan masalah yang sedikit lebih sukar:

torus vektor dengan on-cha-scrap pada satu titik mempunyai co-or-di-on-you. Cari-di-te mata abs-cis-su.

Semua yang sama adalah agak prosaik: Biarkan koordinat titik. Kemudian

Saya menyusun sistem dengan menentukan apakah koordinat vektor. Kemudian titik mempunyai koordinat. Kami berminat dengan abscissa. Kemudian

Jawapan:

Apa lagi yang boleh anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama dengan nombor biasa (kecuali anda tidak boleh membahagikan, tetapi anda boleh mendarab dalam dua cara, salah satunya kita akan bincangkan di sini sedikit kemudian)

Vektor boleh disusun antara satu sama lain
Vektor boleh ditolak antara satu sama lain
Vektor boleh didarab (atau dibahagikan) dengan nombor bukan sifar sembarangan
Vektor boleh didarab antara satu sama lain

Semua operasi ini agak visual perwakilan geometri. Contohnya, peraturan segi tiga (atau segi empat selari) untuk penambahan dan penolakan:

Vektor meregang atau mengecut atau menukar arah apabila didarab atau dibahagikan dengan nombor:

Walau bagaimanapun, di sini kita akan berminat dengan persoalan tentang apa yang berlaku kepada koordinat.

1. Apabila menambah (menolak) dua vektor, kami menambah (tolak) koordinatnya elemen demi elemen. Itu dia:

2. Apabila mendarab (membahagi) vektor dengan nombor, semua koordinatnya didarab (dibahagi) dengan nombor ini:

Sebagai contoh:

· Cari-di-jumlah ko-atau-di-nat abad-ke-ra.

Mari kita cari koordinat bagi setiap vektor dahulu. Kedua-duanya mempunyai asal yang sama - titik asal. Kesudahan mereka berbeza. Kemudian, . Sekarang kita mengira koordinat vektor Kemudian jumlah koordinat vektor yang terhasil adalah sama dengan.

Jawapan:

Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:

· Cari jumlah koordinat vektor

Kami menyemak:

Sekarang mari kita pertimbangkan masalah berikut: kita mempunyai dua perkara satah koordinat. Bagaimana untuk mencari jarak antara mereka? Biarkan titik pertama, dan yang kedua. Mari kita nyatakan jarak antara mereka sebagai . Mari buat lukisan berikut untuk kejelasan:

Apa yang telah saya lakukan? Saya mula-mula menyambung mata dan, a juga melukis garis selari dengan paksi dari titik, dan melukis garis selari dengan paksi dari titik. Adakah mereka bersilang pada satu titik, membentuk sosok yang indah? Kenapa dia hebat? Ya, anda dan saya hampir tahu segala-galanya segi tiga tepat. Nah, teorem Pythagoras, pasti. Segmen yang dikehendaki ialah hipotenus segitiga ini, dan segmen adalah kaki. Apakah koordinat titik tersebut? Ya, ia mudah dicari dari gambar: Oleh kerana segmen selari dengan paksi dan, masing-masing, panjangnya mudah dicari: jika kita menandakan panjang segmen, masing-masing, melalui, maka

Sekarang mari kita gunakan teorem Pythagoras. Kami tahu panjang kaki, kami akan mendapati hipotenus:

Oleh itu, jarak antara dua titik ialah jumlah punca perbezaan kuasa dua daripada koordinat. Atau - jarak antara dua titik ialah panjang segmen yang menghubungkannya. Adalah mudah untuk melihat bahawa jarak antara titik tidak bergantung pada arah. Kemudian:

Dari sini kami membuat tiga kesimpulan:

Mari kita berlatih sedikit untuk mengira jarak antara dua titik:

Sebagai contoh, jika, maka jarak antara dan ialah

Atau mari kita pergi secara berbeza: cari koordinat vektor

Dan cari panjang vektor:

Seperti yang anda lihat, ia adalah sama!

Sekarang berlatih sedikit sendiri:

Tugas: cari jarak antara titik yang diberikan:

Kami menyemak:

Berikut ialah beberapa lagi masalah untuk formula yang sama, walaupun bunyinya agak berbeza:

1. Cari-di-te petak panjang kelopak mata-ke-ra.

2. Nai-di-te segi empat sama kelopak mata panjang-ke-ra

Saya rasa anda boleh mengendalikannya dengan mudah? Kami menyemak:

1. Dan ini untuk perhatian) Kami telah pun menemui koordinat vektor sebelum ini: . Kemudian vektor mempunyai koordinat. Kuadrat panjangnya ialah:

2. Cari koordinat bagi vektor

Maka segi empat sama panjangnya ialah

Tidak ada yang rumit, bukan? Aritmetik mudah, tidak lebih.

Teka-teki berikut tidak boleh diklasifikasikan dengan jelas, ia adalah untuk pengetahuan umum dan keupayaan untuk melukis gambar mudah.

1. Cari-di-sinus sudut pada-clo-on-dari-potong, sambung-satu-ke-ke-titik, dengan paksi absis.

dan

Bagaimana kita akan melakukannya di sini? Anda perlu mencari sinus sudut antara dan paksi. Dan di manakah kita boleh mencari sinus? Betul, dalam segi tiga tepat. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bina segitiga ini!

Oleh kerana koordinat titik dan, maka segmen adalah sama, dan segmen. Kita perlu mencari sinus sudut. Biar saya ingatkan anda bahawa sinus ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus, kemudian

Apa yang perlu kita lakukan? Cari hipotenus. Anda boleh melakukannya dengan dua cara: menggunakan teorem Pythagoras (kaki diketahui!) atau menggunakan formula untuk jarak antara dua titik (sebenarnya sama dengan kaedah pertama!). Saya akan pergi dengan cara kedua:

Jawapan:

Tugas seterusnya akan kelihatan lebih mudah kepada anda. Dia - pada koordinat titik.

Tugasan 2. Dari titik itu, per-pen-di-ku-lar diturunkan ke paksi abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Mari buat lukisan:

Tapak serenjang ialah titik di mana ia bersilang dengan paksi-x (paksi) bagi saya ini adalah titik. Rajah menunjukkan bahawa ia mempunyai koordinat: . Kami berminat dengan abscissa - iaitu komponen "X". Dia sama rata.

Jawapan: .

Tugasan 3. Di bawah keadaan masalah sebelumnya, cari jumlah jarak dari titik ke paksi koordinat.

Tugas ini biasanya asas jika anda tahu berapa jarak dari titik ke paksi. Kamu tahu? Saya berharap, tetapi saya masih mengingatkan anda:

Jadi, dalam lukisan saya, terletak sedikit lebih tinggi, saya telah menggambarkan satu serenjang itu? Apakah paksi itu? kepada paksi. Dan berapakah panjangnya? Dia sama rata. Sekarang lukis sendiri serenjang dengan paksi dan cari panjangnya. Ia akan menjadi sama, bukan? Maka jumlah mereka adalah sama.

Jawapan: .

Tugasan 4. Dalam keadaan masalah 2, cari ordinat titik simetri kepada titik mengenai paksi-x.

Saya fikir anda secara intuitif memahami apa itu simetri? Sangat banyak objek memilikinya: banyak bangunan, meja, pesawat, banyak angka geometri: bola, silinder, segi empat sama, rombus, dsb. Secara kasarnya, simetri boleh difahami seperti berikut: rajah terdiri daripada dua (atau lebih) bahagian yang sama. Simetri ini dipanggil paksi. Apakah itu paksi? Ini betul-betul garis di mana angka itu boleh, secara relatifnya, "dipotong" menjadi bahagian yang sama (dalam gambar ini, paksi simetri adalah lurus):

Sekarang mari kita kembali kepada tugas kita. Kami tahu bahawa kami sedang mencari titik yang simetri tentang paksi. Kemudian paksi ini ialah paksi simetri. Jadi, kita perlu menandakan satu titik supaya paksi memotong segmen kepada dua bahagian yang sama. Cuba tandakan titik sedemikian sendiri. Sekarang bandingkan dengan penyelesaian saya:

Adakah anda melakukan perkara yang sama? Baik! Pada titik yang dijumpai, kami berminat dengan ordinat. Dia sama rata

Jawapan:

Sekarang beritahu saya, selepas berfikir sejenak, apakah absis titik simetri kepada titik A mengenai paksi-y? Apakah jawapan anda? Jawapan yang betul: .

AT kes am Peraturan boleh ditulis seperti ini:

Titik simetri kepada titik mengenai paksi-x mempunyai koordinat:

Titik simetri kepada titik mengenai paksi-y mempunyai koordinat:

Nah, sekarang ia benar-benar menakutkan. sesuatu tugasan: Cari koordinat titik yang simetri kepada titik, berbanding dengan asalan. Anda mula-mula fikir sendiri, dan kemudian lihat lukisan saya!

Jawapan:

Sekarang masalah segi empat selari:

Tugasan 5: Mata adalah ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari-dee-te atau-dee-on-tu mata.

Anda boleh menyelesaikan masalah ini dalam dua cara: logik dan kaedah koordinat. Saya akan menggunakan kaedah koordinat dahulu, dan kemudian saya akan memberitahu anda bagaimana anda boleh membuat keputusan sebaliknya.

Agak jelas bahawa absis titik adalah sama. (ia terletak pada serenjang yang dilukis dari titik ke paksi-x). Kita perlu mencari ordinat. Mari kita ambil kesempatan daripada fakta bahawa angka kita ialah segiempat selari, yang bermaksud itu. Cari panjang segmen menggunakan formula untuk jarak antara dua titik:

Kami menurunkan serenjang yang menghubungkan titik dengan paksi. Titik persimpangan dilambangkan dengan huruf.

Panjang segmen adalah sama. (cari masalah sendiri, di mana kita membincangkan masa ini), maka kita akan mencari panjang segmen menggunakan teorem Pythagoras:

Panjang segmen adalah betul-betul sama dengan ordinatnya.

Jawapan: .

Penyelesaian lain (saya hanya akan memberikan gambar yang menggambarkannya)

Kemajuan penyelesaian:

1. Berbelanja

2. Cari koordinat dan panjang titik

3. Buktikan bahawa.

Yang lagi satu masalah panjang potong:

Matanya ialah-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Cari panjang garis tengahnya, par-ral-lel-noy.

Adakah anda ingat apa itu garisan tengah segi tiga? Kemudian untuk anda tugas ini adalah asas. Jika anda tidak ingat, maka saya akan mengingatkan anda: garis tengah segitiga ialah garis yang menghubungkan titik tengah sisi bertentangan. Ia selari dengan tapak dan sama dengan separuh daripadanya.

Pangkalan adalah segmen. Kami terpaksa mencari panjangnya lebih awal, ia adalah sama. Kemudian panjang garis tengah adalah separuh panjang dan sama.

Jawapan: .

Ulasan: Masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita bincangkan kemudian.

Sementara itu, berikut adalah beberapa tugas untuk anda, berlatih pada mereka, ia agak mudah, tetapi ia membantu untuk "mengisi tangan anda" menggunakan kaedah koordinat!

1. Mata muncul-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Cari panjang garis tengahnya.

2. Mata dan yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari-dee-te atau-dee-on-tu mata.

3. Cari panjang dari potongan, sambungkan titik kedua dan

4. Cari-di-te kawasan untuk-red-shen-noy fi-gu-ry pada pesawat ko-atau-di-nat-noy.

5. Bulatan berpusat di na-cha-le ko-or-di-nat melalui satu titik. Cari-de-te dia ra-di-misai.

6. Nai-di-te ra-di-us bulatan-no-sti, huraikan-san-noy berhampiran sudut kanan-no-ka, bahagian atas-shi-ny sesuatu-ro-go mempunyai co-or - di-na-anda bersama-dari-balas-tetapi

Penyelesaian:

1. Adalah diketahui bahawa garis tengah trapezium adalah sama dengan separuh jumlah tapaknya. Asasnya sama, tetapi asasnya. Kemudian

Jawapan:

2. Cara paling mudah untuk menyelesaikan masalah ini ialah dengan melihat bahawa (peraturan segi empat selari). Kira koordinat vektor dan tidak sukar: . Apabila menambah vektor, koordinat ditambah. Kemudian mempunyai koordinat. Titik mempunyai koordinat yang sama, kerana permulaan vektor adalah titik dengan koordinat. Kami berminat dengan ordinat. Dia sama rata.

Jawapan:

3. Kami bertindak serta-merta mengikut formula untuk jarak antara dua titik:

Jawapan:

4. Lihat gambar dan katakan, di antara dua rajah manakah kawasan berlorek "diperah"? Ia diapit di antara dua petak. Kemudian luas angka yang dikehendaki adalah sama dengan luas segi empat sama besar tolak luas yang kecil. Sisi segi empat sama kecil ialah segmen yang menghubungkan titik dan panjangnya ialah

Maka luas petak kecil itu ialah

Kami melakukan perkara yang sama dengan segi empat sama besar: sisinya ialah segmen yang menghubungkan titik dan panjangnya sama dengan

Maka luas segi empat sama besar ialah

Kawasan angka yang dikehendaki didapati dengan formula:

Jawapan:

5. Jika bulatan mempunyai asalan sebagai pusat dan melalui satu titik, maka jejarinya akan tepat sama panjang segmen (buat lukisan dan anda akan faham mengapa ini jelas). Cari panjang segmen ini:

Jawapan:

6. Adalah diketahui bahawa jejari bulatan yang dihadkan tentang segi empat tepat adalah sama dengan separuh pepenjurunya. Mari kita cari panjang mana-mana dua pepenjuru (lagipun, dalam segi empat tepat ia adalah sama!)

Jawapan:

Nah, adakah anda menguruskan semuanya? Ia tidak begitu sukar untuk memikirkannya, bukan? Terdapat hanya satu peraturan di sini - untuk dapat membuat gambar visual dan hanya "membaca" semua data daripadanya.

Kami mempunyai sedikit lagi yang tinggal. Terdapat dua lagi perkara yang saya ingin bincangkan.

Jom cuba selesaikan masalah mudah ni. Biarkan dua mata dan diberikan. Cari koordinat tengah segmen. Penyelesaian kepada masalah ini adalah seperti berikut: biarkan titik menjadi tengah yang dikehendaki, maka ia mempunyai koordinat:

Itu dia: koordinat tengah segmen = min aritmetik bagi koordinat yang sepadan bagi hujung segmen.

Peraturan ini sangat mudah dan biasanya tidak menyusahkan pelajar. Mari lihat dalam masalah apa dan bagaimana ia digunakan:

1. Cari-di-te atau-di-na-tu se-re-di-us from-cut, sambung-nya-yu-th-th point dan

2. Matanya ialah yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Cari-di-te atau-di-na-tu mata re-se-che-niya dia-go-on-lei beliau.

3. Cari-di-te abs-cis-su pusat bulatan, huraikan-san-noy berhampiran segi empat tepat-no-ka, gasing-shi-kita ada sesuatu-ro-go co-or-di- na-anda bersama-daripada-haiwan-stvenno-tetapi.

Penyelesaian:

1. Tugasan pertama hanyalah klasik. Kami bertindak segera dengan menentukan titik tengah segmen. Dia mempunyai koordinat. ordinat adalah sama.

Jawapan:

2. Adalah mudah untuk melihat bahawa segiempat yang diberikan ialah selari (walaupun rombus!). Anda boleh membuktikannya sendiri dengan mengira panjang sisi dan membandingkannya antara satu sama lain. Apakah yang saya tahu tentang segi empat selari? Diagonalnya dibelah dua oleh titik persilangan! Aha! Jadi titik persilangan pepenjuru ialah apakah? Ini adalah bahagian tengah mana-mana pepenjuru! Saya akan memilih, khususnya, pepenjuru. Kemudian titik mempunyai koordinat.Ordinasi titik adalah sama dengan.

Jawapan:

3. Apakah pusat bulatan yang dihadkan mengenai segi empat tepat itu? Ia bertepatan dengan titik persilangan pepenjurunya. Apakah yang anda tahu tentang pepenjuru segi empat tepat? Mereka adalah sama dan titik persilangan dibahagikan kepada separuh. Tugas telah dikurangkan kepada yang sebelumnya. Ambil, sebagai contoh, pepenjuru. Kemudian jika pusat bulatan yang dikelilingi, maka adalah tengah. Saya sedang mencari koordinat: Abscissa adalah sama.

Jawapan:

Sekarang berlatih sendiri, saya hanya akan memberikan jawapan untuk setiap masalah supaya anda boleh menyemak sendiri.

1. Nai-di-te ra-di-us bulatan-no-sti, huraikan-san-noy berhampiran segitiga-no-ka, bahagian atas seseorang-ro-go mempunyai ko-or-di -no misters

2. Cari-di-te atau-di-na-tu pusat bulatan, huraikan san-noy berhampiran segitiga-no-ka, puncak-shi-kita mempunyai koordinat sesuatu-ro-go

3. Apakah jenis ra-di-y-sa yang patut ada bulatan dengan pusat pada satu titik supaya ia menyentuh paksi abs-ciss?

4. Cari-di-te atau-di-pada-titik itu bagi re-se-che-ing paksi dan dari-potong, sambung-nya-yu-th-titik dan

Jawapan:

Adakah semuanya berjaya? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - tolakan terakhir. Sekarang berhati-hati terutamanya. Bahan yang saya akan terangkan sekarang bukan sahaja berkaitan dengan masalah kaedah koordinat mudah dalam Bahagian B, tetapi juga terdapat di seluruh masalah C2.

Mana satu janji saya yang belum saya tunaikan? Ingat apakah operasi pada vektor yang saya janjikan untuk memperkenalkan dan yang mana yang akhirnya saya perkenalkan? Adakah saya pasti saya tidak terlupa apa-apa? terlupa! Saya terlupa untuk menerangkan maksud pendaraban vektor.

Terdapat dua cara untuk mendarab vektor dengan vektor. Bergantung pada kaedah yang dipilih, kita akan mendapat objek dengan sifat yang berbeza:

Produk vektor agak rumit. Bagaimana untuk melakukannya dan mengapa ia diperlukan, kami akan membincangkan dengan anda dalam artikel seterusnya. Dan dalam ini kita akan memberi tumpuan kepada produk skalar.

Terdapat dua cara yang membolehkan kita mengiranya:

Seperti yang anda fikirkan, hasilnya sepatutnya sama! Jadi mari kita lihat cara pertama dahulu:

Titikkan produk melalui koordinat

Cari: - tatatanda biasa untuk produk titik

Formula untuk pengiraan adalah seperti berikut:

Itu dia produk skalar= jumlah hasil darab koordinat vektor!

Contoh:

Cari-dee-te

Penyelesaian:

Cari koordinat bagi setiap vektor:

Kami mengira hasil skalar dengan formula:

Jawapan:

Anda lihat, tidak ada yang rumit!

Nah, sekarang cuba sendiri:

Cari-di-te skalar-noe pro-dari-ve-de-nie abad ke parit dan

Adakah anda berjaya? Mungkin dia perasan sedikit muslihat? Mari semak:

Koordinat vektor, seperti dalam tugas sebelumnya! Jawapan: .

Sebagai tambahan kepada koordinat, terdapat satu lagi cara untuk mengira hasil skalar, iaitu, melalui panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka:

Menyatakan sudut antara vektor dan.

Iaitu, hasil kali skalar adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka.

Mengapa kita memerlukan formula kedua ini, jika kita mempunyai yang pertama, yang jauh lebih mudah, sekurang-kurangnya tiada kosinus di dalamnya. Dan kita memerlukannya supaya daripada formula pertama dan kedua kita boleh menyimpulkan bagaimana untuk mencari sudut antara vektor!

Biar Kemudian ingat formula untuk panjang vektor!

Kemudian jika saya memasukkan data ini ke dalam formula produk titik, saya mendapat:

Tetapi di sisi lain:

Jadi apa yang kita ada? Kami kini mempunyai formula untuk mengira sudut antara dua vektor! Kadang-kadang, untuk ringkasnya, ia juga ditulis seperti ini:

Iaitu, algoritma untuk mengira sudut antara vektor adalah seperti berikut:

Kami mengira hasil skalar melalui koordinat
Cari panjang vektor dan darabkannya
Bahagikan hasil titik 1 dengan hasil titik 2

Mari berlatih dengan contoh:

1. Cari sudut antara kelopak mata-ke-ra-mi dan. Berikan jawapan anda dalam darjah.

2. Di bawah keadaan masalah sebelumnya, cari kosinus antara vektor

Mari lakukan ini: Saya akan membantu anda menyelesaikan masalah pertama, dan cuba lakukan yang kedua sendiri! Saya setuju? Kemudian mari kita mulakan!

1. Vektor ini adalah kawan lama kita. Kami telah mempertimbangkan produk skalar mereka dan ia adalah sama. Koordinat mereka ialah: , . Kemudian kita dapati panjangnya:

Kemudian kita mencari kosinus antara vektor:

Apakah kosinus sudut itu? Ini adalah sudut.

Jawapan:

Nah, sekarang selesaikan masalah kedua sendiri, dan kemudian bandingkan! Saya hanya akan memberikan penyelesaian yang sangat singkat:

2. mempunyai koordinat, mempunyai koordinat.

Biarkan sudut antara vektor dan, kemudian

Jawapan:

Perlu diingatkan bahawa tugas secara langsung pada vektor dan kaedah koordinat dalam bahagian B kerja peperiksaan agak jarang. Walau bagaimanapun, sebahagian besar masalah C2 boleh diselesaikan dengan mudah dengan memperkenalkan sistem koordinat. Oleh itu, anda boleh menganggap artikel ini sebagai asas, yang berdasarkannya kami akan membuat pembinaan yang agak rumit yang perlu kami selesaikan tugasan yang mencabar.

KOORDINAT DAN VEKTOR. PERINGKAT PERTENGAHAN

Anda dan saya terus mengkaji kaedah koordinat. Pada bahagian terakhir, kami menyimpulkan satu siri formula penting, yang membenarkan:

Cari koordinat vektor
Cari panjang vektor (sebagai alternatif: jarak antara dua titik)
Tambah, tolak vektor. gandakan mereka dengan nombor sebenar
Cari titik tengah segmen
Kira hasil darab titik bagi vektor
Cari sudut antara vektor

Sudah tentu, keseluruhan kaedah koordinat tidak sesuai dengan 6 mata ini. Ia mendasari sains seperti geometri analitik, yang akan anda kenali di universiti. Saya hanya mahu membina asas yang akan membolehkan anda menyelesaikan masalah dalam satu keadaan. peperiksaan. Kami memikirkan tugas bahagian B dalam Kini tiba masanya untuk beralih kepada kualiti tahap baru! Artikel ini akan ditumpukan kepada kaedah untuk menyelesaikan masalah C2 tersebut yang mana wajar untuk beralih kepada kaedah koordinat. Kewajaran ini ditentukan oleh apa yang perlu ditemui dalam masalah, dan angka yang diberikan. Jadi, saya akan menggunakan kaedah koordinat jika soalannya ialah:

Cari sudut antara dua satah
Cari sudut antara garis dan satah
Cari sudut antara dua garis
Cari jarak dari titik ke satah
Cari jarak dari satu titik ke garis
Cari jarak dari garis lurus ke satah
Cari jarak antara dua garisan

Jika angka yang diberikan dalam keadaan masalah adalah badan revolusi (bola, silinder, kon ...)

Angka yang sesuai untuk kaedah koordinat ialah:

kuboid
Piramid (segi tiga, segi empat, heksagon)

Juga dalam pengalaman saya adalah tidak sesuai untuk menggunakan kaedah koordinat untuk:

Mencari kawasan bahagian
Pengiraan isipadu badan

Walau bagaimanapun, ia harus segera diperhatikan bahawa tiga situasi "tidak menguntungkan" untuk kaedah koordinat agak jarang berlaku dalam amalan. Dalam kebanyakan tugas, ia boleh menjadi penyelamat anda, terutamanya jika anda tidak begitu kuat dalam pembinaan tiga dimensi (yang kadangkala agak rumit).

Apakah semua angka yang saya senaraikan di atas? Mereka tidak lagi rata, seperti segi empat sama, segi tiga, bulatan, tetapi besar! Sehubungan itu, kita perlu mempertimbangkan bukan sistem koordinat dua dimensi, tetapi sistem koordinat tiga dimensi. Ia dibina agak mudah: hanya sebagai tambahan kepada absis dan ordinat, kami akan memperkenalkan paksi lain, paksi terpakai. Angka tersebut secara skematik menunjukkan kedudukan relatifnya:

Kesemuanya adalah saling berserenjang, bersilang pada satu titik, yang akan kita panggil asal. Paksi absis, seperti sebelumnya, akan dilambangkan, paksi ordinat - , dan paksi gunaan yang diperkenalkan - .

Jika sebelum ini setiap titik pada satah dicirikan oleh dua nombor - absis dan ordinat, maka setiap titik dalam ruang sudah diterangkan oleh tiga nombor - abscissa, ordinat, applicate. Sebagai contoh:

Oleh itu, absis titik adalah sama, ordinat ialah , dan aplikasinya ialah .

Kadangkala absis suatu titik juga dipanggil unjuran titik pada paksi absis, ordinat ialah unjuran titik pada paksi ordinat, dan aplikasi ialah unjuran titik pada paksi terpakai. Oleh itu, jika titik diberikan maka, titik dengan koordinat:

dipanggil unjuran titik ke atas satah

Persoalan semula jadi timbul: adakah semua formula yang diperolehi untuk kes dua dimensi sah di angkasa? Jawapannya ya, mereka adil dan mempunyai rupa yang sama. Untuk butiran kecil. Saya rasa anda sudah meneka yang mana satu. Dalam semua formula, kita perlu menambah satu lagi istilah yang bertanggungjawab untuk paksi terpakai. Iaitu.

1. Jika dua mata diberikan: , maka:

Koordinat vektor:
Jarak antara dua titik (atau panjang vektor)
Bahagian tengah segmen mempunyai koordinat

2. Jika dua vektor diberikan: dan, maka:

Produk titik mereka ialah:
Kosinus sudut antara vektor ialah:

Walau bagaimanapun, ruang tidak begitu mudah. Seperti yang anda fahami, penambahan satu lagi koordinat memperkenalkan kepelbagaian ketara dalam spektrum angka "hidup" dalam ruang ini. Dan untuk penceritaan lanjut, saya perlu memperkenalkan beberapa, secara kasarnya, "pengertian" garis lurus. "Generalisasi" ini akan menjadi pesawat. Apa yang anda tahu tentang kapal terbang? Cuba jawab soalan, apakah itu kapal terbang? Ia sangat sukar untuk dikatakan. Walau bagaimanapun, kita semua secara intuitif membayangkan rupanya:

Secara kasarnya, ini adalah sejenis "daun" yang tidak berkesudahan yang ditujah ke angkasa. "Infiniti" harus difahami bahawa pesawat itu memanjang ke semua arah, iaitu, luasnya adalah sama dengan infiniti. Walau bagaimanapun, penjelasan "di jari" ini tidak memberikan sedikit pun idea tentang struktur pesawat. Dan kami akan berminat dengannya.

Mari kita ingat salah satu aksiom asas geometri:

dalam dua pelbagai mata garis lurus melepasi satah, lebih-lebih lagi, hanya satu:

Atau analognya dalam ruang:

Sudah tentu, anda masih ingat bagaimana untuk mendapatkan persamaan garis lurus dari dua titik tertentu, ini sama sekali tidak sukar: jika titik pertama mempunyai koordinat: dan yang kedua, maka persamaan garis lurus adalah seperti berikut:

Anda telah melalui ini dalam darjah 7. Dalam ruang, persamaan garis lurus kelihatan seperti ini: mari kita mempunyai dua titik dengan koordinat: , maka persamaan garis lurus yang melaluinya mempunyai bentuk:

Sebagai contoh, garisan melalui titik:

Bagaimana ini harus difahami? Ini harus difahami seperti berikut: titik terletak pada garis jika koordinatnya memenuhi sistem berikut:

Kami tidak akan begitu berminat dengan persamaan garis lurus, tetapi kami perlu memberi perhatian kepada konsep yang sangat penting bagi vektor pengarah garis lurus. - sebarang vektor bukan sifar yang terletak pada garis tertentu atau selari dengannya.

Sebagai contoh, kedua-dua vektor ialah vektor arah bagi garis lurus. Biarkan titik terletak pada garis lurus, dan jadilah vektor pengarahnya. Kemudian persamaan garis lurus boleh ditulis dalam bentuk berikut:

Sekali lagi, saya tidak akan berminat dengan persamaan garis lurus, tetapi saya benar-benar memerlukan anda untuk mengingati apa itu vektor arah! sekali lagi: ia adalah SEBARANG vektor bukan sifar yang terletak pada garisan, atau selari dengannya.

tarik diri persamaan tiga titik satah tidak lagi begitu remeh, dan biasanya isu ini tidak dipertimbangkan dalam kursus sekolah Menengah. Tetapi sia-sia! Teknik ini penting apabila kita menggunakan kaedah koordinat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks. Walau bagaimanapun, saya menganggap bahawa anda penuh keinginan untuk mempelajari sesuatu yang baru? Selain itu, anda akan dapat menarik perhatian guru anda di universiti apabila ternyata anda sudah tahu cara menggunakan teknik yang biasanya dipelajari dalam kursus geometri analitik. Jadi mari kita mulakan.

Persamaan satah tidak terlalu berbeza dengan persamaan garis lurus pada satah, iaitu, ia mempunyai bentuk:

beberapa nombor (tidak semua sama dengan sifar), tetapi pembolehubah, contohnya: dsb. Seperti yang anda lihat, persamaan satah tidak jauh berbeza dengan persamaan garis lurus (fungsi linear). Namun, ingat apa yang kami pertikaikan dengan anda? Kami berkata bahawa jika kami mempunyai tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka persamaan satah itu dipulihkan secara unik daripada mereka. Tetapi bagaimana? Saya akan cuba menerangkan kepada anda.

Oleh kerana persamaan satah ialah:

Dan mata adalah milik satah ini, maka apabila menggantikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan satah, kita harus mendapatkan identiti yang betul:

Oleh itu, terdapat keperluan untuk menyelesaikan tiga persamaan dengan yang tidak diketahui! Dilema! Walau bagaimanapun, kita sentiasa boleh menganggap bahawa (untuk ini kita perlu bahagikan dengan). Oleh itu, kita mendapat tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

Walau bagaimanapun, kami tidak akan menyelesaikan sistem sedemikian, tetapi menulis ungkapan samar yang berikut daripadanya:

Persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu

\[\kiri| (\mulakan(tatasusunan)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Berhenti! apa lagi ni? Beberapa modul yang sangat luar biasa! Walau bagaimanapun, objek yang anda lihat di hadapan anda tiada kaitan dengan modul. Objek ini dipanggil penentu urutan ketiga. Mulai sekarang, apabila anda berurusan dengan kaedah koordinat di atas kapal terbang, anda akan sering menemui penentu ini. Apakah penentu urutan ketiga? Peliknya, ia hanya nombor. Ia masih untuk memahami nombor tertentu yang akan kita bandingkan dengan penentu.

Mari kita tulis penentu tertib ketiga dahulu dalam lebih lanjut Pandangan umum:

Mana ada beberapa nombor. Lebih-lebih lagi, dengan indeks pertama kami maksudkan nombor baris, dan dengan indeks - nombor lajur. Sebagai contoh, bermakna itu nombor yang diberi berdiri di persimpangan baris kedua dan lajur ketiga. Mari letak soalan seterusnya: bagaimana sebenarnya kita akan mengira penentu sedemikian? Iaitu, nombor tertentu yang akan kita bandingkan dengannya? Untuk penentu tertib ketiga dengan tepat, terdapat peraturan segi tiga heuristik (visual), ia kelihatan seperti ini:

Hasil darab unsur-unsur pepenjuru utama (dari kiri atas ke kanan bawah) hasil darab unsur-unsur yang membentuk segi tiga pertama "berserenjang" dengan pepenjuru utama hasil darab unsur-unsur yang membentuk segitiga kedua "berserenjang" dengan utama. pepenjuru
Hasil darab unsur-unsur pepenjuru sekunder (dari sudut kanan atas ke kiri bawah) hasil darab unsur-unsur yang membentuk segitiga pertama "serenjang" pepenjuru sekunder hasil darab unsur-unsur yang membentuk segitiga kedua "serenjang" daripada pepenjuru sekunder
Maka penentu adalah sama dengan perbezaan antara nilai yang diperoleh pada langkah dan

Jika kita menulis semua ini dalam nombor, maka kita mendapat ungkapan berikut:

Walau bagaimanapun, anda tidak perlu menghafal kaedah pengiraan dalam bentuk ini, cukup untuk hanya menyimpan segi tiga di kepala anda dan idea tentang apa yang ditambah kepada apa dan apa yang kemudiannya ditolak daripada apa).

Mari kita gambarkan kaedah segitiga dengan contoh:

1. Kira penentu:

Mari kita fikirkan apa yang kita tambah dan apa yang kita tolak:

Syarat yang disertakan dengan "tambah":

Ini ialah pepenjuru utama: hasil darab unsur ialah

Segitiga pertama, "berserenjang dengan pepenjuru utama: hasil darab unsur ialah

Segitiga kedua, "berserenjang dengan pepenjuru utama: hasil darab unsur ialah

Kami menambah tiga nombor:

Terma yang disertakan dengan "tolak"

Ini ialah pepenjuru sisi: hasil darab unsur ialah

Segitiga pertama, "berserenjang dengan pepenjuru sekunder: hasil darab unsur ialah

Segitiga kedua, "berserenjang dengan pepenjuru sekunder: hasil darab unsur ialah

Kami menambah tiga nombor:

Apa yang perlu dilakukan ialah menolak daripada jumlah sebutan tambah jumlah sebutan tolak:

Dengan cara ini,

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit dan ghaib dalam pengiraan penentu peringkat ketiga. Adalah penting untuk mengingati segi tiga dan tidak membuat kesilapan aritmetik. Sekarang cuba kira sendiri:

Kami menyemak:

Segitiga pertama berserenjang dengan pepenjuru utama:
Segitiga kedua berserenjang dengan pepenjuru utama:
Jumlah terma tambah:
Segitiga pertama berserenjang dengan pepenjuru sisi:
Segitiga kedua, berserenjang dengan pepenjuru sisi:
Jumlah istilah dengan tolak:
Jumlah sebutan tambah tolak jumlah sebutan tolak:

Berikut ialah beberapa lagi penentu untuk anda, hitung nilainya sendiri dan bandingkan dengan jawapan:

Jawapan:

Nah, adakah semuanya sepadan? Hebat, kemudian anda boleh meneruskan! Sekiranya terdapat kesulitan, maka nasihat saya ialah: di Internet terdapat banyak program untuk mengira penentu dalam talian. Apa yang anda perlukan adalah untuk menghasilkan penentu anda sendiri, mengira sendiri, dan kemudian membandingkannya dengan apa yang dikira oleh program. Dan seterusnya sehingga keputusan mula sepadan. Saya pasti detik ini tidak akan lama lagi!

Sekarang mari kita kembali kepada penentu yang saya tulis apabila saya bercakap tentang persamaan satah yang melalui tiga mata yang diberikan:

Apa yang anda perlu lakukan ialah mengira nilainya secara langsung (menggunakan kaedah segitiga) dan tetapkan hasilnya sama dengan sifar. Sememangnya, kerana ia adalah pembolehubah, anda akan mendapat beberapa ungkapan yang bergantung padanya. Ungkapan inilah yang akan menjadi persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus!

Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh mudah:

1. Bina persamaan satah yang melalui titik

Kami menyusun penentu untuk tiga perkara ini:

Memudahkan:

Sekarang kita mengiranya secara langsung mengikut peraturan segitiga:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan| = \kiri((x + 3) \kanan) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \kiri((z + 1) \kanan) + \kiri((y - 2) \kanan) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Oleh itu, persamaan satah yang melalui titik ialah:

Sekarang cuba selesaikan satu masalah sendiri, dan kemudian kami akan membincangkannya:

2. Cari persamaan satah yang melalui titik-titik itu

Baiklah, mari kita bincangkan penyelesaiannya sekarang:

Kami membuat penentu:

Dan hitung nilainya:

Kemudian persamaan satah mempunyai bentuk:

Atau, mengurangkan dengan, kita mendapat:

Sekarang dua tugas untuk mengawal diri:

Bina persamaan satah yang melalui tiga titik:

Jawapan:

Adakah semuanya sepadan? Sekali lagi, jika terdapat kesulitan tertentu, maka nasihat saya adalah ini: ambil tiga mata dari kepala anda (dengan tahap kebarangkalian yang tinggi mereka tidak akan terletak pada satu garis lurus), bina satah di atasnya. Dan kemudian semak diri anda dalam talian. Sebagai contoh, di tapak:

Walau bagaimanapun, dengan bantuan penentu, kita akan membina bukan sahaja persamaan satah. Ingat, saya memberitahu anda bahawa untuk vektor, bukan sahaja produk titik ditentukan. Terdapat juga vektor, serta produk campuran. Dan jika hasil darab skalar dua vektor akan menjadi nombor, maka hasil darab vektor dua vektor akan menjadi vektor, dan vektor ini akan berserenjang dengan yang diberikan:

Dan modulnya akan menjadi sama dengan luas segi empat selari dibina pada vektor dan. vektor ini kita perlu mengira jarak dari satu titik ke garisan. Bagaimanakah kita boleh mengira hasil silang vektor dan jika koordinatnya diberikan? Penentu perintah ketiga sekali lagi datang membantu kami. Walau bagaimanapun, sebelum saya beralih kepada algoritma untuk mengira hasil silang, saya perlu membuat penyimpangan lirik yang kecil.

Penyimpangan ini melibatkan vektor asas.

Secara skematik mereka ditunjukkan dalam rajah:

Mengapa anda fikir ia dipanggil asas? Hakikatnya ialah:

Atau dalam gambar:

Kesahihan formula ini adalah jelas, kerana:

produk vektor

Sekarang saya boleh mula memperkenalkan produk silang:

Hasil darab vektor dua vektor ialah vektor yang dikira mengikut peraturan berikut:

Sekarang mari kita berikan beberapa contoh pengiraan hasil silang:

Contoh 1: Cari hasil silang vektor:

Penyelesaian: Saya membuat penentu:

Dan saya mengiranya:

Sekarang, daripada menulis melalui vektor asas, saya akan kembali kepada notasi vektor biasa:

Dengan cara ini:

Sekarang cuba.

sedia? Kami menyemak:

Dan secara tradisinya dua tugas untuk mengawal:

Cari hasil silang bagi vektor berikut:
Cari hasil silang bagi vektor berikut:

Jawapan:

Hasil campuran tiga vektor

Pembinaan terakhir yang saya perlukan ialah hasil campuran tiga vektor. Ia, seperti skalar, ialah nombor. Terdapat dua cara untuk mengiranya. - melalui penentu, - melalui hasil campuran.

Iaitu, katakan kita mempunyai tiga vektor:

Kemudian hasil campuran tiga vektor, yang dilambangkan dengan boleh dikira sebagai:

1. - iaitu hasil darab campuran ialah hasil darab skalar bagi vektor dan hasil darab vektor dua vektor lain.

Sebagai contoh, hasil campuran tiga vektor ialah:

Cuba kira sendiri menggunakan produk vektor dan pastikan hasilnya sepadan!

Sekali lagi, dua contoh keputusan bebas:

Jawapan:

Pilihan sistem koordinat

Nah, kini kita mempunyai semua asas pengetahuan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah stereometrik yang kompleks dalam geometri. Walau bagaimanapun, sebelum meneruskan terus kepada contoh dan algoritma untuk menyelesaikannya, saya percaya bahawa adalah berguna untuk memikirkan soalan berikut: bagaimana sebenarnya pilih sistem koordinat untuk angka tertentu. Lagipun, pilihan kedudukan relatif sistem koordinat dan angka dalam ruang yang akhirnya akan menentukan betapa rumitnya pengiraan.

Saya mengingatkan anda bahawa dalam bahagian ini kami sedang mempertimbangkan angka berikut:

kuboid
Prisma lurus (segi tiga, heksagon…)
Piramid (segi tiga, segi empat)
Tetrahedron (sama seperti piramid segi tiga)

Untuk kuboid atau kubus, saya mengesyorkan pembinaan berikut:

Iaitu, saya akan meletakkan angka itu "di sudut". Kubus dan kotak adalah angka yang sangat baik. Bagi mereka, anda sentiasa boleh mencari koordinat bucunya dengan mudah. Contohnya, jika (seperti yang ditunjukkan dalam gambar)

maka koordinat puncak adalah:

Sudah tentu, anda tidak perlu mengingati ini, tetapi ingat cara terbaik untuk meletakkan kiub atau kuboid- diingini.

prisma lurus

Prisma adalah angka yang lebih berbahaya. Anda boleh menyusunnya di angkasa dengan cara yang berbeza. Walau bagaimanapun, saya fikir berikut adalah pilihan terbaik:

Prisma segi tiga:

Iaitu, kita meletakkan salah satu sisi segitiga sepenuhnya pada paksi, dan salah satu bucu bertepatan dengan asal.

Prisma heksagon:

Iaitu, salah satu bucu bertepatan dengan asal, dan salah satu sisi terletak pada paksi.

Piramid segi empat dan heksagon:

Situasi yang serupa dengan kubus: kami menggabungkan dua sisi tapak dengan paksi koordinat, kami menggabungkan salah satu bucu dengan asalan. Satu-satunya kesukaran kecil adalah untuk mengira koordinat titik.

Untuk piramid heksagon - sama seperti untuk prisma heksagon. Tugas utama sekali lagi ialah mencari koordinat bucu.

Tetrahedron (piramid segi tiga)

Keadaannya sangat serupa dengan yang saya berikan untuk prisma segi tiga: satu bucu bertepatan dengan asal, satu sisi terletak pada paksi koordinat.

Nah, kini anda dan saya akhirnya hampir mula menyelesaikan masalah. Daripada apa yang saya katakan pada awal artikel, anda boleh membuat kesimpulan berikut: kebanyakan masalah C2 terbahagi kepada 2 kategori: masalah untuk sudut dan masalah untuk jarak. Pertama, kami akan mempertimbangkan masalah untuk mencari sudut. Mereka, seterusnya, dibahagikan kepada kategori berikut (apabila kerumitan meningkat):

Masalah untuk mencari sudut

Mencari sudut antara dua garis
Mencari sudut antara dua satah

Mari kita pertimbangkan masalah ini secara berurutan: mari kita mulakan dengan mencari sudut antara dua garis lurus. Ayuh, ingat, bukankah anda dan saya yang memutuskan contoh yang serupa sebelum ini? Anda ingat, kerana kami sudah mempunyai sesuatu yang serupa ... Kami sedang mencari sudut antara dua vektor. Saya mengingatkan anda, jika dua vektor diberikan: dan, maka sudut di antara mereka ditemui dari hubungan:

Sekarang kita mempunyai matlamat - mencari sudut antara dua garis lurus. Mari beralih kepada "gambar rata":

Berapa banyak sudut yang kita dapat apabila dua garis bersilang? Sudah perkara. Benar, hanya dua daripada mereka tidak sama, manakala yang lain menegak kepada mereka (dan oleh itu bertepatan dengan mereka). Jadi sudut apakah yang harus kita pertimbangkan sudut antara dua garis lurus: atau? Berikut peraturannya: sudut antara dua garis lurus sentiasa tidak lebih daripada darjah. Maksudnya, dari dua sudut, kita akan sentiasa memilih sudut yang paling kecil ukuran darjah. Iaitu, dalam gambar ini, sudut antara dua garis adalah sama. Untuk tidak bersusah payah mencari yang terkecil daripada dua sudut setiap kali, ahli matematik yang licik mencadangkan menggunakan modul tersebut. Oleh itu, sudut antara dua garis lurus ditentukan oleh formula:

Anda, sebagai pembaca yang penuh perhatian, sepatutnya mempunyai soalan: di manakah, sebenarnya, kita mendapat nombor ini yang kita perlukan untuk mengira kosinus sudut? Jawapan: kami akan mengambilnya dari vektor arah garisan! Oleh itu, algoritma untuk mencari sudut antara dua garis adalah seperti berikut:

Kami menggunakan formula 1.

Atau lebih terperinci:

Kami sedang mencari koordinat vektor arah bagi garis lurus pertama
Kami sedang mencari koordinat vektor arah baris kedua
Kira modulus hasil skalarnya
Kami sedang mencari panjang vektor pertama
Kami sedang mencari panjang vektor kedua
Darabkan keputusan mata 4 dengan keputusan mata 5
Kami membahagikan hasil titik 3 dengan hasil titik 6. Kami mendapat kosinus sudut antara garis
Sekiranya hasil yang diberikan membolehkan anda mengira sudut dengan tepat, kami sedang mencarinya
Jika tidak, kami menulis melalui arccosine

Nah, kini tiba masanya untuk meneruskan tugas: Saya akan menunjukkan penyelesaian dua yang pertama secara terperinci, saya akan membentangkan penyelesaian yang lain dalam ringkasan, dan untuk dua masalah terakhir saya hanya akan memberikan jawapan, anda mesti menjalankan semua pengiraan untuk mereka sendiri.

Tugasan:

1. Dalam tet-ra-ed-re yang betul, cari-di-te sudut antara you-so-that tet-ra-ed-ra dan sisi me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Dalam enam arang batu-pi-ra-mi-de-kanan, ratus-ro-na-os-no-va-niya entah bagaimana sama, dan rusuk sisi adalah sama, cari sudut antara lurus garisan dan.

3. Panjang semua tepi empat-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy tangan kanan adalah sama antara satu sama lain. Cari sudut di antara garis lurus dan jika dari-re-zok - anda-jadi-yang diberi pi-ra-mi-dy, titiknya adalah se-re-di-pada rusuk bo-ko-nya

4. Di tepi kubus dari-saya-che-ke titik supaya Cari-di-te sudut antara garis lurus dan

5. Titik - se-re-di-pada tepi kubus Nai-di-te sudut antara garis lurus dan.

Bukan kebetulan saya meletakkan tugas dalam susunan ini. Walaupun anda belum mempunyai masa untuk mula menavigasi kaedah koordinat, saya sendiri akan menganalisis angka yang paling "bermasalah", dan saya akan membiarkan anda berurusan dengan kiub paling mudah! Secara beransur-ansur anda perlu belajar bagaimana untuk bekerja dengan semua angka, saya akan meningkatkan kerumitan tugas dari topik ke topik.

Mari kita mula menyelesaikan masalah:

1. Lukis tetrahedron, letak dalam sistem koordinat seperti yang saya cadangkan tadi. Oleh kerana tetrahedron adalah sekata, maka semua mukanya (termasuk pangkalnya) adalah segi tiga biasa. Oleh kerana kita tidak diberi panjang sisi, saya boleh mengambilnya sama. Saya fikir anda faham bahawa sudut itu tidak akan benar-benar bergantung pada berapa banyak tetrahedron kita akan "diregangkan" ?. Saya juga akan melukis ketinggian dan median dalam tetrahedron. Di sepanjang jalan, saya akan melukis pangkalannya (ia juga berguna untuk kita).

Saya perlu mencari sudut antara dan. Apa yang kita tahu? Kita hanya tahu koordinat titik. Jadi, kita perlu mencari lebih banyak koordinat titik. Sekarang kita fikir: titik ialah titik persilangan ketinggian (atau pembahagi dua atau median) segitiga. Titik ialah titik tinggi. Titik adalah titik tengah segmen. Kemudian akhirnya kita perlu mencari: koordinat titik: .

Mari kita mulakan dengan yang paling mudah: koordinat titik. Lihat rajah: Jelas bahawa penggunaan titik adalah sama dengan sifar (titik itu terletak pada satah). Ordinasinya adalah sama (kerana ia adalah median). Lebih sukar untuk mencari absisnya. Walau bagaimanapun, ini mudah dilakukan berdasarkan teorem Pythagoras: Pertimbangkan segitiga. Hipotenusnya adalah sama, dan satu daripada kakinya adalah sama Kemudian:

Akhirnya kami mempunyai:

Sekarang mari kita cari koordinat titik tersebut. Adalah jelas bahawa penggunaannya sekali lagi sama dengan sifar, dan ordinatnya adalah sama dengan titik, iaitu. Mari cari absisnya. Ini dilakukan agak remeh jika seseorang mengingatinya ketinggian segi tiga sama sisi titik persilangan dibahagikan mengikut bahagian mengira dari atas. Sejak: , maka absis titik yang dikehendaki, sama dengan panjang segmen adalah sama dengan: . Oleh itu, koordinat titik adalah:

Mari cari koordinat titik tersebut. Jelaslah bahawa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik. Dan applique adalah sama dengan panjang segmen. - ini adalah salah satu kaki segitiga. Hipotenus segitiga ialah segmen - kaki. Ia dicari untuk sebab yang saya serlahkan dalam huruf tebal:

Titik adalah titik tengah segmen. Kemudian kita perlu mengingati formula untuk koordinat tengah segmen:

Itu sahaja, sekarang kita boleh mencari koordinat vektor arah:

Nah, semuanya sudah sedia: kami menggantikan semua data ke dalam formula:

Dengan cara ini,

Jawapan:

Anda tidak perlu takut dengan jawapan yang "mengerikan" sedemikian: untuk masalah C2 ini adalah amalan biasa. Saya lebih suka terkejut dengan jawapan "cantik" di bahagian ini. Juga, seperti yang anda nyatakan, saya boleh dikatakan tidak menggunakan apa-apa selain teorem Pythagoras dan sifat ketinggian segi tiga sama sisi. Iaitu, untuk menyelesaikan masalah stereometrik, saya menggunakan stereometri yang paling minimum. Keuntungan dalam ini sebahagiannya "dipadamkan" oleh pengiraan yang agak rumit. Tetapi mereka agak algoritma!

2. Lukiskan piramid heksagon sekata bersama sistem koordinat, serta tapaknya:

Kita perlu mencari sudut antara garisan dan. Oleh itu, tugas kami dikurangkan untuk mencari koordinat titik: . Kami akan mencari koordinat tiga terakhir dari lukisan kecil, dan kami akan mencari koordinat bucu melalui koordinat titik. Banyak kerja, tetapi perlu bermula!

a) Koordinat: jelas bahawa aplikasi dan koordinatnya adalah sifar. Mari cari abscissa. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segi tiga tepat. Malangnya, di dalamnya kita hanya tahu hipotenus, yang sama dengan. Kami akan cuba mencari kaki (kerana jelas bahawa dua kali panjang kaki akan memberi kami absis titik). Bagaimana kita boleh mencarinya? Mari kita ingat apakah jenis angka yang kita ada di dasar piramid? Ini adalah heksagon biasa. Apakah maksudnya? Ini bermakna semua sisi dan semua sudut adalah sama. Kita perlu mencari satu sudut sedemikian. Ada idea? Terdapat banyak idea, tetapi ada formula:

Jumlah sudut n-gon biasa adalah sama dengan .

Oleh itu, jumlah sudut bagi heksagon sekata ialah darjah. Maka setiap sudut adalah sama dengan:

Jom tengok gambar semula. Jelas bahawa ruas adalah pembahagi dua sudut. Kemudian sudut sama dengan darjah. Kemudian:

Kemudian di mana.

Jadi ia mempunyai koordinat

b) Sekarang kita boleh mencari koordinat titik dengan mudah: .

c) Cari koordinat titik itu. Oleh kerana abscissanya bertepatan dengan panjang segmen, ia adalah sama. Mencari ordinat juga tidak begitu sukar: jika kita menyambungkan titik dan dan menandakan titik persilangan garis, katakan untuk. (buat sendiri pembinaan mudah). Maka Oleh itu, ordinat bagi titik B adalah sama dengan jumlah panjang segmen. Mari kita lihat segitiga sekali lagi. Kemudian

Kemudian sejak Kemudian titik mempunyai koordinat

d) Sekarang cari koordinat titik itu. Pertimbangkan segi empat tepat dan buktikan bahawa Oleh itu, koordinat titik ialah:

e) Ia kekal untuk mencari koordinat bucu. Jelaslah bahawa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik. Mari cari aplikasi. Sejak itu. Pertimbangkan segi tiga tepat. Dengan keadaan masalah, tepi sisi. Ini adalah hipotenus segi tiga saya. Kemudian ketinggian piramid ialah kaki.

Kemudian titik mempunyai koordinat:

Itu sahaja, saya mempunyai koordinat semua tempat menarik kepada saya. Saya sedang mencari koordinat vektor arah garis lurus:

Kami sedang mencari sudut antara vektor ini:

Jawapan:

Sekali lagi, semasa menyelesaikan masalah ini, saya tidak menggunakan sebarang helah yang canggih, kecuali formula untuk jumlah sudut n-gon biasa, serta definisi kosinus dan sinus bagi segi tiga tepat.

3. Oleh kerana kita sekali lagi tidak diberikan panjang tepi dalam piramid, saya akan mengiranya sama dengan satu. Oleh itu, oleh kerana SEMUA tepi, dan bukan hanya tepi, adalah sama antara satu sama lain, maka di dasar piramid dan saya terletak segi empat sama, dan muka sebelah ialah segi tiga sekata. Mari kita gambarkan piramid seperti itu, serta pangkalannya pada satah, menandakan semua data yang diberikan dalam teks masalah:

Kami sedang mencari sudut antara dan. Saya akan membuat pengiraan yang sangat ringkas apabila saya mencari koordinat mata. Anda perlu "menyahsulit" mereka:

b) - bahagian tengah segmen. Koordinatnya:

c) Saya akan mencari panjang segmen menggunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga. Saya akan dapati dengan teorem Pythagoras dalam segi tiga.

Koordinat:

d) - bahagian tengah segmen. Koordinatnya ialah

e) Koordinat vektor

f) Koordinat vektor

g) Mencari sudut:

Kiub - angka paling ringkas. Saya pasti anda boleh memikirkannya sendiri. Jawapan kepada masalah 4 dan 5 adalah seperti berikut:

Mencari sudut antara garis dan satah

Nah, masa untuk teka-teki mudah sudah tamat! Sekarang contoh akan menjadi lebih sukar. Untuk mencari sudut antara garis dan satah, kita akan meneruskan seperti berikut:

Menggunakan tiga titik, kita membina persamaan satah
,
menggunakan penentu urutan ketiga.
Dengan dua titik kita sedang mencari koordinat vektor arah garis lurus:
Kami menggunakan formula untuk mengira sudut antara garis lurus dan satah:

Seperti yang anda lihat, formula ini sangat serupa dengan yang kami gunakan untuk mencari sudut antara dua garis. Struktur sebelah kanan adalah sama, dan di sebelah kiri kita kini mencari sinus, dan bukan kosinus, seperti sebelumnya. Nah, satu tindakan jahat telah ditambah - pencarian untuk persamaan pesawat.

Jangan kita simpan contoh penyelesaian:

1. Os-no-va-ni-em straight-hadiah saya-kita-la-et-xia sama-tetapi-miskin-ren-ny segitiga-nick anda-dengan-hadiah-kita sama. Cari sudut antara garis lurus dan satah

2. Dalam pa-ral-le-le-pi-pe-de segi empat tepat dari Nai-di-te Barat sudut antara garis lurus dan satah

3. Dalam prisma enam arang batu tangan kanan, semua tepi adalah sama. Cari sudut antara garis lurus dan satah.

4. Dalam segi tiga kanan pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em dari barat rusuk sudut Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny satah os -no-va-niya dan straight-my, melalui se-re-di-na tulang rusuk dan

5. Panjang semua tepi segi empat tepat pi-ra-mi-dy dengan bahagian atas adalah sama antara satu sama lain. Cari sudut di antara garis lurus dan satah, jika titik se-re-di-di tepi bo-ko-in-th pi-ra-mi-dy.

Sekali lagi, saya akan menyelesaikan dua masalah pertama secara terperinci, yang ketiga - secara ringkas, dan saya meninggalkan dua yang terakhir untuk anda selesaikan sendiri. Di samping itu, anda sudah terpaksa berurusan dengan segi tiga dan piramid segi empat, tetapi dengan prisma - belum lagi.

Penyelesaian:

1. Lukiskan prisma, serta tapaknya. Mari gabungkan dengan sistem koordinat dan tandakan semua data yang diberikan dalam pernyataan masalah:

Saya memohon maaf atas beberapa ketidakpatuhan perkadaran, tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, sebenarnya, ini tidak begitu penting. Pesawat itu hanyalah "dinding belakang" prisma saya. Adalah cukup untuk meneka bahawa persamaan satah sedemikian mempunyai bentuk:

Walau bagaimanapun, ini juga boleh ditunjukkan secara langsung:

Kami memilih tiga mata sewenang-wenangnya pada satah ini: sebagai contoh, .

Mari kita buat persamaan satah:

Latihan untuk anda: hitung sendiri penentu ini. Adakah anda berjaya? Kemudian persamaan satah mempunyai bentuk:

Atau ringkasnya

Dengan cara ini,

Untuk menyelesaikan contoh, saya perlu mencari koordinat vektor arah garis lurus. Oleh kerana titik itu bertepatan dengan asal, koordinat vektor hanya akan bertepatan dengan koordinat titik. Untuk melakukan ini, kita mula-mula mencari koordinat titik.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga. Mari kita lukis ketinggian (ia juga median dan pembahagi dua) dari atas. Oleh kerana, maka ordinat titik adalah sama. Untuk mencari absis titik ini, kita perlu mengira panjang segmen. Dengan teorem Pythagoras kita ada:

Kemudian titik mempunyai koordinat:

Titik ialah "dibangkitkan" pada titik:

Kemudian koordinat vektor:

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang sukar pada asasnya dalam menyelesaikan masalah sedemikian. Sebenarnya, "kelurusan" angka seperti prisma memudahkan prosesnya sedikit lagi. Sekarang mari kita beralih kepada contoh seterusnya:

2. Kami melukis parallelepiped, melukis satah dan garis lurus di dalamnya, dan juga secara berasingan melukis tapak bawahnya:

Pertama, kita dapati persamaan satah: Koordinat bagi tiga titik yang terletak di dalamnya:

(dua koordinat pertama diperoleh dengan cara yang jelas, dan anda boleh mencari koordinat terakhir dengan mudah dari gambar dari titik). Kemudian kita menyusun persamaan satah:

Kami mengira:

Kami sedang mencari koordinat vektor arah: Jelas bahawa koordinatnya bertepatan dengan koordinat titik, bukan? Bagaimana untuk mencari koordinat? Ini ialah koordinat titik, dinaikkan di sepanjang paksi terpakai oleh satu! . Kemudian kami mencari sudut yang dikehendaki:

Jawapan:

3. Lukis piramid heksagon sekata, dan kemudian lukis satah dan garis lurus di dalamnya.

Di sini ia juga bermasalah untuk melukis pesawat, apatah lagi penyelesaian masalah ini, tetapi kaedah koordinat tidak peduli! Ia adalah dalam serba boleh kelebihan utamanya!

Pesawat itu melalui tiga titik: . Kami sedang mencari koordinat mereka:

satu). Paparkan sendiri koordinat untuk dua titik terakhir. Anda perlu menyelesaikan masalah dengan piramid heksagon untuk ini!

2) Kami membina persamaan satah:

Kami sedang mencari koordinat vektor: . (Lihat masalah piramid segi tiga sekali lagi!)

3) Kami sedang mencari sudut:

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, tiada apa-apa yang sukar secara ghaib dalam tugas-tugas ini. Anda hanya perlu berhati-hati dengan akarnya. Untuk dua masalah terakhir, saya hanya akan memberikan jawapan:

Seperti yang anda lihat, teknik untuk menyelesaikan masalah adalah sama di mana-mana: tugas utama ialah mencari koordinat bucu dan menggantikannya ke dalam beberapa formula. Tinggal untuk kita mempertimbangkan satu lagi kelas masalah untuk mengira sudut, iaitu:

Mengira sudut antara dua satah

Algoritma penyelesaian adalah seperti berikut:

Untuk tiga titik kita sedang mencari persamaan satah pertama:
Untuk tiga mata yang lain, kami sedang mencari persamaan satah kedua:
Kami menggunakan formula:

Seperti yang anda lihat, formulanya sangat serupa dengan dua sebelumnya, dengan bantuannya kami mencari sudut antara garis lurus dan antara garis lurus dan satah. Jadi mengingati yang ini tidak akan sukar untuk anda. Mari kita terus ke masalah:

1. Seratus-ro-atas asas prisma segi tiga tepat adalah sama, dan dia-go-nal muka sisi adalah sama. Cari sudut antara satah dan satah tapak hadiah.

2. Dalam pi-ra-mi-de ke hadapan kanan empat-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, semua tepi seseorang adalah sama, cari sinus sudut antara satah dan satah Ko-Stu, melalui titik per-pen-di-ku-lyar-but straight-my.

3. Dalam prisma empat arang biasa, sisi os-no-va-nia adalah sama, dan tepi sisi adalah sama. Di tepi dari-saya-che-ke titik supaya. Cari sudut antara satah dan

4. Dalam prisma segi empat tepat, sisi tapak adalah sama, dan tepi sisi adalah sama. Di tepi dari-saya-che-ke titik supaya Cari sudut antara satah dan.

5. Dalam kubus, cari ko-si-nus sudut antara satah dan

Penyelesaian masalah:

1. Saya lukis yang betul (di pangkalnya ialah segi tiga sama sisi) Prisma segi tiga dan saya menandakan di atasnya pesawat yang muncul dalam keadaan masalah:

Kita perlu mencari persamaan dua satah: Persamaan asas diperolehi secara remeh: anda boleh membuat penentu yang sepadan untuk tiga titik, tetapi saya akan membuat persamaan dengan segera:

Sekarang mari kita cari persamaan Titik mempunyai koordinat Titik - Sejak - median dan ketinggian segi tiga, ia mudah dicari dengan teorem Pythagoras dalam segitiga. Kemudian titik itu mempunyai koordinat: Cari aplikasi titik Untuk melakukan ini, pertimbangkan segi tiga tepat

Kemudian kita mendapat koordinat berikut: Kami menyusun persamaan satah itu.

Kami mengira sudut antara satah:

Jawapan:

2. Membuat lukisan:

Perkara yang paling sukar ialah memahami jenis satah misteri itu, melalui satu titik secara berserenjang. Nah, perkara utama ialah apa itu? Perkara utama ialah perhatian! Sesungguhnya garis itu adalah serenjang. Garisan itu juga berserenjang. Kemudian satah yang melalui dua garis ini akan berserenjang dengan garis, dan, dengan cara itu, akan melalui titik. Pesawat ini juga melalui bahagian atas piramid. Kemudian kapal terbang yang dikehendaki - Dan kapal terbang itu sudah diberikan kepada kami. Kami sedang mencari koordinat titik.

Kami mencari koordinat titik melalui titik. Adalah mudah untuk menyimpulkan daripada lukisan kecil bahawa koordinat titik adalah seperti berikut: Apakah yang perlu dicari sekarang untuk mencari koordinat bahagian atas piramid? Masih perlu mengira ketinggiannya. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem Pythagoras yang sama: pertama, buktikan bahawa (sedikit daripada segi tiga kecil membentuk segi empat sama di tapak). Oleh kerana dengan syarat, kami mempunyai:

Sekarang semuanya sudah sedia: koordinat puncak:

Kami menyusun persamaan satah:

Anda sudah pakar dalam mengira penentu. Dengan mudah anda akan menerima:

Atau sebaliknya (jika kita mendarab kedua-dua bahagian dengan punca dua)

Sekarang mari kita cari persamaan satah itu:

(Anda tidak lupa bagaimana kita mendapat persamaan pesawat itu, bukan? Jika anda tidak faham dari mana tolak satu ini datang, maka kembali kepada definisi persamaan pesawat itu! Selalunya ternyata saya kapal terbang adalah milik asal!)

Kami mengira penentu:

(Anda mungkin perasan bahawa persamaan satah itu bertepatan dengan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik dan! Fikirkan mengapa!)

Sekarang kita mengira sudut:

Kita perlu mencari sinus:

Jawapan:

3. Soalan rumit: apa itu prisma segi empat tepat, bagaimana anda berfikir? Ia hanyalah parallelepiped yang terkenal kepada anda! Melukis segera! Anda juga tidak boleh menggambarkan asas secara berasingan, terdapat sedikit kegunaan daripadanya di sini:

Satah, seperti yang kita nyatakan sebelum ini, ditulis sebagai persamaan:

Sekarang kita buat kapal terbang

Kami segera menyusun persamaan satah:

Mencari sudut

Sekarang jawapan kepada dua masalah terakhir:

Nah, sekarang adalah masa untuk berehat, kerana anda dan saya hebat dan telah melakukan kerja yang hebat!

Koordinat dan vektor. Tahap maju

Dalam artikel ini, kami akan membincangkan dengan anda satu lagi kelas masalah yang boleh diselesaikan menggunakan kaedah koordinat: masalah jarak. Iaitu, kita akan pertimbangkan kes berikut:

Mengira jarak antara garisan condong.

Saya telah mengarahkan tugasan yang diberikan apabila kerumitannya bertambah. Yang paling mudah adalah untuk mencari menunjuk ke jarak satah dan bahagian yang paling sukar ialah mencari jarak antara garis bersilang. Walaupun, sudah tentu, tiada yang mustahil! Jangan berlengah-lengah dan segera meneruskan pertimbangan masalah kelas pertama:

Mengira jarak dari satu titik ke satah

Apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah ini?

1. Koordinat titik

Jadi, sebaik sahaja kami mendapat semua data yang diperlukan, kami menggunakan formula:

Anda sepatutnya sudah tahu bagaimana kita membina persamaan satah dari masalah sebelumnya yang saya analisis di bahagian terakhir. Mari berniaga dengan segera. Skimnya adalah seperti berikut: 1, 2 - Saya membantu anda membuat keputusan, dan secara terperinci, 3, 4 - hanya jawapannya, anda membuat keputusan sendiri dan bandingkan. Bermula!

Tugasan:

1. Diberi kubus. Panjang tepi kubus ialah Cari-di-te jarak dari se-re-di-ny dari potong ke rata

2. Diberi kanan-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe tepi ratus-ro-pada os-no-va-nia adalah sama. Cari-di-jarak tersebut dari titik ke satah di mana - se-re-di-di tepi.

3. Dalam segi tiga kanan pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em, sisi yang satu lagi adalah sama, dan seratus-ro-on os-no-va- niya adalah sama. Cari-di-jarak tersebut dari atas ke kapal terbang.

4. Dalam prisma enam arang batu tangan kanan, semua tepi adalah sama. Cari-di-jarak tersebut dari satu titik ke satah.

Penyelesaian:

1. Lukis kubus dengan tepi tunggal, bina segmen dan satah, nyatakan bahagian tengah segmen dengan huruf

Mula-mula, mari kita mulakan dengan yang mudah: cari koordinat titik. Sejak itu (ingat koordinat tengah segmen!)

Sekarang kita menyusun persamaan satah pada tiga titik

\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \kanan| = 0\]

Sekarang saya boleh mula mencari jarak:

2. Kami mulakan semula dengan lukisan, di mana kami menandakan semua data!

Untuk piramid, adalah berguna untuk melukis asasnya secara berasingan.

Walaupun fakta bahawa saya melukis seperti cakar ayam tidak akan menghalang kita daripada menyelesaikan masalah ini dengan mudah!

Kini mudah untuk mencari koordinat sesuatu titik

Sejak koordinat titik

2. Oleh kerana koordinat titik a ialah tengah segmen, maka

Kita boleh mencari koordinat dua lagi titik pada satah dengan mudah. Kita menyusun persamaan satah dan memudahkannya:

\[\kiri| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \kanan|) \kanan| = 0\]

Oleh kerana titik mempunyai koordinat: , maka kita mengira jarak:

Jawapan (sangat jarang!):

Nah, adakah anda faham? Nampaknya segala-galanya di sini adalah sama teknikal seperti dalam contoh yang kami pertimbangkan dengan anda pada bahagian sebelumnya. Jadi saya yakin jika anda telah menguasai bahan tersebut, maka tidak sukar untuk anda menyelesaikan dua masalah yang tinggal. Saya hanya akan memberi anda jawapan:

Mengira Jarak dari Garisan ke Satah

Sebenarnya, tiada apa yang baru di sini. Bagaimanakah garis dan satah boleh terletak secara relatif antara satu sama lain? Mereka mempunyai semua kemungkinan: untuk bersilang, atau garis lurus selari dengan satah. Pada pendapat anda, apakah jarak dari garisan ke satah yang bersilang dengan garis yang diberi? Nampaknya saya jelas bahawa jarak sedemikian adalah sama dengan sifar. Kes yang tidak menarik.

Kes kedua lebih rumit: di sini jaraknya sudah bukan sifar. Walau bagaimanapun, oleh kerana garis itu selari dengan satah, maka setiap titik garis adalah sama jarak dari satah ini:

Dengan cara ini:

Dan ini bermakna bahawa tugas saya telah dikurangkan kepada yang sebelumnya: kami sedang mencari koordinat mana-mana titik pada garisan, kami sedang mencari persamaan satah, kami mengira jarak dari titik ke satah. Malah, tugas sebegitu dalam peperiksaan amat jarang berlaku. Saya berjaya menemui hanya satu masalah, dan data di dalamnya adalah sedemikian rupa sehingga kaedah koordinat tidak begitu sesuai untuknya!

Sekarang mari kita beralih kepada kelas masalah lain yang lebih penting:

Mengira Jarak Titik ke Garisan

Apa yang kita perlukan?

1. Koordinat titik dari mana kita mencari jarak:

2. Koordinat mana-mana titik yang terletak pada garis lurus

3. Koordinat vektor arah bagi garis lurus

Apakah formula yang kita gunakan?

Apakah maksud penyebut pecahan ini kepada anda dan oleh itu ia harus jelas: ini ialah panjang vektor arah garis lurus. Berikut adalah pengangka yang sangat rumit! Ungkapan bermaksud modul (panjang) produk vektor vektor dan Bagaimana untuk mengira produk vektor, kami telah mengkaji dalam bahagian kerja sebelumnya. Segarkan pengetahuan anda, ia akan sangat berguna kepada kami sekarang!

Oleh itu, algoritma untuk menyelesaikan masalah adalah seperti berikut:

1. Kami sedang mencari koordinat titik dari mana kami mencari jarak:

2. Kami sedang mencari koordinat mana-mana titik pada garisan yang kami cari jaraknya:

3. Membina vektor

4. Kami membina vektor arah garis lurus

5. Kira hasil silang

6. Kami sedang mencari panjang vektor yang terhasil:

7. Kira jarak:

Kami mempunyai banyak kerja, dan contoh-contohnya akan menjadi agak rumit! Jadi sekarang tumpukan semua perhatian anda!

1. Dana ialah pi-ra-mi-da segi tiga tangan kanan dengan bucu. Seratus-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy adalah sama, you-so-ta adalah sama. Cari-di-jarak-jarak itu dari se-re-di-ny tepi bo-ko-th ke garis lurus, di mana titik dan adalah se-re-di-ny rusuk dan bersama dari doktor haiwan. -stven-tetapi.

2. Panjang rusuk dan sudut tegak-no-para-ral-le-le-pi-pe-da adalah sama, masing-masing, dan jarak Cari-di-te dari atas-shi-ny ke lurus-my

3. Dalam prisma enam arang batu kanan, semua tepi kawanan adalah sama cari-di-jarak dari satu titik ke garis lurus

Penyelesaian:

1. Kami membuat lukisan yang kemas, di mana kami menandakan semua data:

Kami mempunyai banyak kerja untuk anda! Saya mula-mula ingin menerangkan dengan perkataan apa yang akan kita cari dan dalam susunan apa:

1. Koordinat mata dan

2. Koordinat titik

3. Koordinat mata dan

4. Koordinat vektor dan

5. Hasil silang mereka

6. Panjang vektor

7. Panjang produk vektor

8. Jarak dari ke

Nah, kami mempunyai banyak kerja untuk dilakukan! Jom singsingkan lengan baju!

1. Untuk mencari koordinat ketinggian piramid, kita perlu mengetahui koordinat titik tersebut.Aplikasinya ialah sifar, dan ordinatnya sama dengan absisnya. Akhirnya, kami mendapat koordinat:

Koordinat titik

2. - tengah segmen

3. - bahagian tengah segmen

titik tengah

4.Koordinat

Koordinat vektor

5. Kira hasil vektor:

6. Panjang vektor: cara paling mudah ialah menggantikan segmen itu ialah garis tengah segi tiga, yang bermaksud ia sama dengan separuh tapak. Jadi itu.

7. Kami menganggap panjang produk vektor:

8. Akhir sekali, cari jarak:

Fuh, itu sahaja! Saya akan memberitahu anda dengan jujur: penyelesaian kepada masalah ini kaedah tradisional(melalui binaan) akan menjadi lebih pantas. Tetapi di sini saya mengurangkan segala-galanya kepada algoritma siap sedia! Saya fikir algoritma penyelesaian adalah jelas kepada anda? Oleh itu, saya akan meminta anda menyelesaikan dua masalah yang tinggal sendiri. Bandingkan jawapan?

Sekali lagi, saya ulangi: lebih mudah (lebih cepat) untuk menyelesaikan masalah ini melalui pembinaan, dan bukannya menggunakan kaedah koordinat. Saya telah menunjukkan penyelesaian ini hanya untuk menunjukkan kepada anda kaedah generik, yang membenarkan "tiada apa-apa untuk diselesaikan".

Akhir sekali, pertimbangkan kelas terakhir tugasan:

Mengira jarak antara garisan condong

Di sini algoritma untuk menyelesaikan masalah akan serupa dengan yang sebelumnya. Apa yang kita ada:

3. Mana-mana vektor yang menghubungkan titik-titik garis pertama dan kedua:

Bagaimanakah kita mencari jarak antara garisan?

Formulanya ialah:

Pengangka ialah modul produk campuran (kami memperkenalkannya pada bahagian sebelumnya), dan penyebutnya adalah sama seperti dalam formula sebelumnya (modul produk vektor vektor pengarah garis, jarak antara kami sedang mencari).

Saya akan mengingatkan anda bahawa

kemudian formula jarak boleh ditulis semula sebagai:

Bahagikan penentu ini dengan penentu! Walaupun, sejujurnya, saya tidak berminat untuk bergurau di sini! Formula ini, sebenarnya, sangat menyusahkan dan membawa kepada pengiraan yang agak rumit. Jika saya jadi awak, saya hanya akan menggunakannya sebagai pilihan terakhir!

Mari cuba selesaikan beberapa masalah menggunakan kaedah di atas:

1. Dalam prisma segi tiga kanan, semua tepi adalah sama, cari jarak antara garis lurus dan.

2. Diberi prisma segi tiga berbentuk kanan di hadapan, semua tepi os-no-va-niya seseorang adalah sama dengan Se-che-tion, yang melalui rusuk yang lain dan rusuk se-re-di-nu adalah yav-la-et-sya square-ra-tom. Cari-di-te dis-sto-I-nie antara straight-we-mi dan

Saya memutuskan yang pertama, dan berdasarkannya, anda memutuskan yang kedua!

1. Saya melukis prisma dan menandakan garisan dan

Koordinat titik C: kemudian

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat titik

Koordinat vektor

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Kami menganggap hasil silang antara vektor dan

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\mula(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\mula(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sekarang kita mempertimbangkan panjangnya:

Jawapan:

Sekarang cuba selesaikan tugas kedua dengan teliti. Jawapannya ialah:.

Koordinat dan vektor. Penerangan ringkas dan formula asas

Vektor ialah segmen terarah. - permulaan vektor, - penghujung vektor.
Vektor dilambangkan dengan atau.

Nilai mutlak vektor - panjang segmen yang mewakili vektor. Ditetapkan sebagai.

Koordinat vektor:

,
di manakah hujung vektor \displaystyle a .

Jumlah vektor: .

Hasil darab vektor:

Hasil darab titik bagi vektor:

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang dari titik ke garis. AT geometri deskriptif ia ditakrifkan secara grafik mengikut algoritma di bawah.

Algoritma

Garis lurus dipindahkan ke kedudukan di mana ia akan selari dengan mana-mana satah unjuran. Untuk melakukan ini, gunakan kaedah transformasi unjuran ortogon.
Lukiskan serenjang dari satu titik ke garis. Pada intinya pembinaan ini ialah teorem unjuran sudut tegak.
Panjang serenjang ditentukan dengan menukar unjurannya atau menggunakan kaedah segi tiga tepat.

Rajah berikut ialah lukisan kompleks titik M dan garis b, diberikan oleh segmen CD. Anda perlu mencari jarak antara mereka.

Menurut algoritma kami, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mengalihkan garisan ke kedudukan selari dengan satah unjuran. Adalah penting untuk memahami bahawa selepas transformasi, jarak sebenar antara titik dan garis tidak sepatutnya berubah. Itulah sebabnya adalah mudah untuk menggunakan kaedah penggantian pesawat di sini, yang tidak melibatkan angka bergerak di angkasa.

Keputusan peringkat pertama pembinaan ditunjukkan di bawah. Rajah menunjukkan bagaimana satah hadapan tambahan P 4 diperkenalkan selari dengan b. AT sistem baru(P 1 , P 4) titik C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 berada pada jarak yang sama dari paksi X 1 dengan C"", D"", M"" dari paksi X.

Melakukan bahagian kedua algoritma, dari M"" 1 kita menurunkan serenjang M"" 1 N"" 1 ke garis lurus b"" 1, kerana sudut tepat MND antara b dan MN diunjurkan ke satah P 4 dalam saiz penuh. Kami menentukan kedudukan titik N" di sepanjang garis komunikasi dan melukis unjuran M"N" segmen MN.

Pada peringkat akhir adalah perlu untuk menentukan nilai segmen MN dengan unjurannya M"N" dan M"" 1 N"" 1 . Untuk melakukan ini, kami membina segitiga bersudut tegak M"" 1 N"" 1 N 0, di mana kaki N"" 1 N 0 adalah sama dengan perbezaan (Y M 1 - Y N 1) penyingkiran titik M " dan N" daripada paksi X 1. Panjang hipotenus M"" 1 N 0 segitiga M"" 1 N"" 1 N 0 sepadan dengan jarak yang dikehendaki dari M ke b.

Cara kedua untuk menyelesaikan

Selari dengan CD kami memperkenalkan satah hadapan baharu П 4 . Ia bersilang P 1 sepanjang paksi X 1, dan X 1 ∥C"D". Selaras dengan kaedah menggantikan satah, kami menentukan unjuran titik C "" 1, D"" 1 dan M"" 1, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
Serenjang dengan C"" 1 D"" 1 kita membina tambahan satah mendatar P 5, di mana garis b diunjurkan ke titik C "2 = b" 2.
Jarak antara titik M dan garis lurus b ditentukan oleh panjang segmen M "2 C" 2 yang ditandakan dengan warna merah.

Tugas berkaitan:

Oh-oh-oh-oh-oh ... baik, ia adalah tinny, seolah-olah anda membaca ayat untuk diri sendiri =) Namun, kemudian kelonggaran akan membantu, terutamanya kerana saya membeli aksesori yang sesuai hari ini. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Susunan bersama dua garis lurus

Kes apabila dewan menyanyi bersama dalam korus. Dua baris boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Entri bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik.

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali masing-masing adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" sedemikian sehingga kesamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan karang tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan -1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan kurangkan sebanyak 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah adalah berkadar: , tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, jelas bahawa .

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIDAK ada nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan menyusun sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , oleh itu, sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pada pembolehubah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, skema penyelesaian yang baru dipertimbangkan boleh digunakan. Ngomong-ngomong, ia sangat serupa dengan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep pergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor. Tetapi ada pakej yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, jadi vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan penunjuk di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti, terus ke Kashchei the Deathless =)

b) Cari vektor arah garis:

Garis mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau sama. Di sini penentu tidak diperlukan.

Jelas sekali, pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, manakala .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Dengan cara ini,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Faktor perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memuaskan persamaan ini(ia sesuai dengan mana-mana nombor secara umum).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak melihat sebab untuk menawarkan sesuatu untuk penyelesaian bebas, lebih baik meletakkan satu bata yang lebih penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Atas kejahilan ini tugas yang paling mudah menghukum berat Nightingale si Perompak.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apakah yang dikatakan syarat mengenainya? Garis itu melalui titik. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor pengarah garisan "ce" juga sesuai untuk membina garisan "de".

Kami mengeluarkan vektor arah dari persamaan:

Jawab:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Pengesahan analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Pengesahan analitik dalam kebanyakan kes mudah dilakukan secara lisan. Lihat dua persamaan dan ramai di antara anda akan dengan cepat mengetahui bagaimana garisan selari tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk menyelesaikan diri hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit kerja dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garisan bertepatan adalah kurang menarik minat, jadi pertimbangkan masalah yang anda ketahui kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Ini untuk anda deria geometri dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui ialah dua garis lurus yang bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Cara grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dalam erti kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian sistem. Malah, kami mempertimbangkan cara grafik untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk membuat lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa baris tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri boleh berada di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persimpangan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang berkaitan, lawati pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Pengesahan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh buat sendiri. Tugas itu boleh dibahagikan dengan mudah kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal bagi kebanyakan orang masalah geometri, dan saya akan memberi tumpuan kepada perkara ini berulang kali.

Penyelesaian Lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran:

Sepasang kasut belum lagi haus, kerana kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garisan

Mari kita mulakan dengan tipikal dan sangat tugas penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang diberikan, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis serenjang yang melalui titik.

Penyelesaian: Adalah diketahui dengan andaian bahawa . Adalah baik untuk mencari vektor arah garis lurus. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kita buka lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Ekstrak vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab titik bagi vektor kita menyimpulkan bahawa garisan itu sememangnya berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Pengesahan, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang, jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh buat sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam tugas itu, jadi mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik.

kami perjalanan yang lucu berterusan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kita adalah jalur lurus sungai dan tugas kita adalah untuk mencapainya dengan cara yang paling singkat. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah pergerakan sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", sebagai contoh: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: semua yang anda perlukan adalah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan melakukan pengiraan:

Jawab:

Mari kita laksanakan lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda membuat lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain mengikut lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik , yang simetri kepada titik berkenaan dengan garis . Saya bercadang untuk melakukan tindakan sendiri, bagaimanapun, saya akan menetapkan algoritma penyelesaian dengan keputusan pertengahan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat tengah segmen cari .

Ia tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahawa jarak juga sama dengan 2.2 unit.

Kesukaran di sini mungkin timbul dalam pengiraan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Telah menasihati banyak kali dan akan mengesyorkan lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk penyelesaian bebas. Sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk diselesaikan. Taklimat di akhir pelajaran, tetapi lebih baik cuba teka sendiri, saya rasa anda berjaya menyuraikan kepintaran anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Walau apa pun sudutnya, maka tiangnya:

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut lembayung.

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah "menatal" sudut pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, sebagai contoh, jika .

Mengapa saya berkata ini? Nampaknya anda boleh bertahan dengan konsep sudut biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah hasil negatif dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Pada lukisan untuk sudut negatif pastikan anda menunjukkan orientasinya (mengikut arah jam) dengan anak panah.

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian dan Kaedah satu

Pertimbangkan dua baris diberikan oleh persamaan secara umum:

Jika lurus tidak berserenjang, kemudian berorientasikan sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Paling perhatian rapat beralih kepada penyebut - ini betul-betul produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut formula itu hilang, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketakserenjangan garisan dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, penyelesaiannya diformalkan dengan mudah dalam dua langkah:

1) Kira hasil skalar bagi vektor arah garis lurus:
jadi garisan tidak berserenjang.

2) Kami mencari sudut antara garis dengan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan tangen arka (lihat Rajah. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam darjah dan dalam radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, jadi tolak, tidak mengapa. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam keadaan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "berpusing" sudut itu bermula dengan tepat daripadanya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garis lurus, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama . Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting kepada anda.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Cari jarak dari titik ke vektor garis. Mengira sudut antara dua satah

Koordinat dan vektor. Panduan yang komprehensif (2019)

KOORDINAT DAN VEKTOR. PERINGKAT PERTENGAHAN

Persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu

produk vektor

Hasil campuran tiga vektor

Pilihan sistem koordinat

prisma lurus

Prisma segi tiga:

Prisma heksagon:

Piramid segi empat dan heksagon:

Tetrahedron (piramid segi tiga)

Mencari sudut antara garis dan satah

Mengira sudut antara dua satah

Koordinat dan vektor. Tahap maju

Mengira jarak dari satu titik ke satah

Mengira Jarak dari Garisan ke Satah

Mengira Jarak Titik ke Garisan

Mengira jarak antara garisan condong

Koordinat dan vektor. Penerangan ringkas dan formula asas

Susunan bersama dua garis lurus

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.Sudut antara garisan

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Jarak dari titik ke garisan

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Sudut antara dua garis

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Pendedahan kepada pihak ketiga

Perlindungan maklumat peribadi

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garisan