Cari penyelesaian persamaan dengan kaedah variasi pemalar arbitrari. Kaedah Variasi Pemalar Arbitrari

Pertimbangkan sekarang persamaan tak homogen linear
. (2)
Biarkan y 1 ,y 2 ,.., y n - sistem asas keputusan, dan keputusan bersama relevan persamaan homogen L(y)=0 . Begitu juga dengan kes persamaan tertib pertama, kita akan mencari penyelesaian kepada Persamaan (2) dalam bentuk
. (3)
Mari kita sahkan bahawa penyelesaian dalam bentuk ini wujud. Untuk melakukan ini, kami menggantikan fungsi ke dalam persamaan. Untuk menggantikan fungsi ini ke dalam persamaan, kita mencari derivatifnya. Derivatif pertama ialah
. (4)
Apabila mengira terbitan kedua, empat sebutan muncul di sebelah kanan (4), apabila mengira terbitan ketiga, lapan sebutan muncul, dan seterusnya. Oleh itu, untuk kemudahan pengiraan selanjutnya, sebutan pertama dalam (4) diandaikan sama dengan sifar. Dengan ini, terbitan kedua adalah sama dengan
. (5)
Atas sebab yang sama seperti sebelumnya, dalam (5) kami juga menetapkan sebutan pertama bersamaan dengan sifar. Akhirnya, terbitan ke-n adalah sama dengan
. (6)
Menggantikan nilai derivatif yang diperoleh ke dalam persamaan asal, kita ada
. (7)
Sebutan kedua dalam (7) adalah sama dengan sifar, kerana fungsi y j , j=1,2,..,n, ialah penyelesaian persamaan homogen sepadan L(y)=0. Menggabungkan dengan yang sebelumnya, kami mendapat sistem persamaan algebra untuk mencari fungsi C" j (x)
(8)
Penentu sistem ini ialah penentu Wronsky bagi sistem asas penyelesaian y 1 ,y 2 ,..,y n bagi persamaan homogen sepadan L(y)=0 dan oleh itu tidak sama dengan sifar. Oleh itu, terdapat penyelesaian unik untuk sistem (8). Setelah menemuinya, kita memperoleh fungsi C "j (x), j=1,2,…,n, dan, akibatnya, C j (x), j=1,2,…,n Menggantikan nilai ini ke dalam (3), kita memperoleh penyelesaian persamaan tak homogen linear.
Kaedah yang diterangkan dipanggil kaedah variasi pemalar arbitrari atau kaedah Lagrange.

Ijazah Terbitan Maksimum 2 3 4 5 6

Contoh #1. Cari penyelesaian am bagi persamaan y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Pertimbangkan persamaan homogen yang sepadan y "" + 4y" + 3y = 0. Punca-puncanya persamaan ciri r 2 + 4r + 3 = 0 ialah -1 dan -3. Oleh itu, sistem asas penyelesaian bagi persamaan homogen terdiri daripada fungsi y 1 = e - x dan y 2 = e -3 x. Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan tidak homogen dalam bentuk y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Untuk mencari derivatif C " 1 , C" 2 kita menyusun sistem persamaan (8)

menyelesaikan yang, kita dapati , Mengintegrasikan fungsi yang diperolehi, kita ada
Akhirnya kita dapat

Contoh #2. menyelesaikan linear persamaan pembezaan pesanan kedua dengan pekali malar dengan kaedah variasi pemalar arbitrari:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Keputusan:
Persamaan pembezaan ini tergolong dalam persamaan pembezaan linear dengan pekali malar.
Kami akan mencari penyelesaian persamaan dalam bentuk y = e rx . Untuk melakukan ini, kami menyusun persamaan ciri persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Punca-punca persamaan ciri: r 1 = 4, r 2 = 2
Oleh itu, sistem asas penyelesaian ialah fungsi:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk:

Cari penyelesaian tertentu dengan kaedah variasi pemalar arbitrari.
Untuk mencari terbitan C "i, kita menyusun sistem persamaan:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Ungkapkan C" 1 daripada persamaan pertama:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
dan gantikan pada yang kedua. Hasilnya, kami mendapat:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Kami menyepadukan fungsi yang diperolehi C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Kerana ia , kemudian kami menulis ungkapan yang terhasil dalam bentuk:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Oleh itu, penyelesaian umum persamaan pembezaan mempunyai bentuk:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
atau
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Kami mencari penyelesaian tertentu di bawah syarat:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Menggantikan x = 0 ke dalam persamaan yang ditemui, kita dapat:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Kami mencari terbitan pertama bagi penyelesaian umum yang diperoleh:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Menggantikan x = 0, kita dapat:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Kami mendapat sistem dua persamaan:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
atau
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
atau
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
di mana:
C1=0, C*2=2
Penyelesaian tertentu akan ditulis sebagai:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Minimum teori

Dalam teori persamaan pembezaan, terdapat kaedah yang mendakwa mempunyai darjah kesejagatan yang cukup tinggi untuk teori ini.
Kita bercakap tentang kaedah variasi pemalar arbitrari, terpakai untuk penyelesaian pelbagai kelas persamaan pembezaan dan mereka
sistem. Ini betul-betul berlaku apabila teori - jika anda mengambil bukti kenyataan daripada kurungan - adalah minimum, tetapi membolehkan anda mencapai
keputusan yang ketara, jadi tumpuan utama adalah pada contoh.

Idea umum kaedah ini agak mudah untuk dirumuskan. biarlah persamaan yang diberikan(sistem persamaan) sukar untuk diselesaikan atau tidak jelas sama sekali,
bagaimana untuk menyelesaikannya. Walau bagaimanapun, dapat dilihat bahawa apabila beberapa istilah dikecualikan daripada persamaan, ia diselesaikan. Kemudian mereka menyelesaikan hanya seperti dipermudahkan
persamaan (sistem), dapatkan penyelesaian yang mengandungi bilangan pemalar arbitrari tertentu - bergantung pada susunan persamaan (nombor
persamaan dalam sistem). Kemudian diandaikan bahawa pemalar dalam penyelesaian yang ditemui bukanlah pemalar yang sebenarnya, penyelesaian yang ditemui
digantikan ke dalam persamaan (sistem) asal, persamaan pembezaan (atau sistem persamaan) diperoleh untuk menentukan "pemalar".
Terdapat kekhususan tertentu dalam menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari kepada tugas yang berbeza, tetapi ini sudah menjadi butiran yang akan
ditunjukkan dengan contoh.

Pertimbangkan secara berasingan penyelesaian linear persamaan tak homogen pesanan yang lebih tinggi, i.e. persamaan bentuk
.
Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear ialah hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen sepadan dan penyelesaian tertentu.
persamaan yang diberikan. Mari kita anggap bahawa penyelesaian umum persamaan homogen telah dijumpai, iaitu, sistem asas penyelesaian (FSR) telah dibina.
. Maka penyelesaian umum persamaan homogen ialah .
Adalah perlu untuk mencari penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen. Untuk ini, pemalar dianggap bergantung kepada pembolehubah.
Seterusnya, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan
.
Teori ini menjamin bahawa sistem persamaan algebra ini berkenaan dengan terbitan fungsi mempunyai penyelesaian yang unik.
Apabila mencari fungsi itu sendiri, pemalar penyepaduan tidak muncul: selepas semua, mana-mana penyelesaian dicari.

Dalam kes menyelesaikan sistem persamaan tak homogen linear tertib pertama bentuk

algoritma kekal hampir tidak berubah. Mula-mula anda perlu mencari FSR bagi sistem persamaan homogen yang sepadan, susun matriks asas
system , yang lajurnya adalah elemen FSR. Seterusnya, persamaan
.
Menyelesaikan sistem, kami menentukan fungsi , dengan itu mencari penyelesaian tertentu kepada sistem asal
(matriks asas didarab dengan lajur ciri yang ditemui).
Kami menambahnya kepada penyelesaian umum sistem persamaan homogen yang sepadan, yang dibina berdasarkan FSR yang telah dijumpai.
Penyelesaian umum sistem asal diperolehi.

Contoh.

Contoh 1 Persamaan tak homogen linear tertib pertama.

Mari kita pertimbangkan persamaan homogen yang sepadan (kita nyatakan fungsi yang diperlukan oleh ):
.
Persamaan ini mudah diselesaikan dengan pemisahan pembolehubah:

.
Sekarang kita mewakili penyelesaian persamaan asal dalam bentuk , di mana fungsi itu masih belum ditemui.
Kami menggantikan jenis penyelesaian ini ke dalam persamaan asal:
.
Seperti yang anda lihat, istilah kedua dan ketiga di sebelah kiri membatalkan satu sama lain - ini ciri kaedah variasi pemalar arbitrari.

Di sini sudah - sememangnya, pemalar sewenang-wenangnya. Dengan cara ini,
.

Contoh 2 Persamaan Bernoulli.

Kami bertindak serupa dengan contoh pertama - kami menyelesaikan persamaan

kaedah pengasingan pembolehubah. Ia akan menjadi , jadi kami sedang mencari penyelesaian persamaan asal dalam bentuk
.
Gantikan fungsi ini ke dalam persamaan asal:
.
Dan sekali lagi terdapat potongan:
.
Di sini anda perlu ingat untuk memastikan bahawa apabila membahagi dengan, penyelesaiannya tidak hilang. Dan kes itu sepadan dengan penyelesaian asal
persamaan. Mari kita ingat dia. Jadi,
.
Mari menulis .
Ini adalah penyelesaiannya. Semasa menulis jawapan, anda juga harus menunjukkan penyelesaian yang ditemui lebih awal, kerana ia tidak sepadan dengan sebarang nilai akhir
pemalar .

Contoh 3 Persamaan tak homogen linear bagi susunan yang lebih tinggi.

Kami segera ambil perhatian bahawa persamaan ini boleh diselesaikan dengan lebih mudah, tetapi ia adalah mudah untuk menunjukkan kaedah di atasnya. Walaupun beberapa kelebihan
kaedah variasi pemalar arbitrari juga ada dalam contoh ini.
Jadi, anda perlu bermula dengan FSR bagi persamaan homogen yang sepadan. Ingat bahawa untuk mencari FSR, ciri
persamaan
.
Oleh itu, penyelesaian umum persamaan homogen
.
Pemalar yang disertakan di sini hendaklah diubah. Menyusun sistem

Kaedah variasi pemalar arbitrari, atau kaedah Lagrange, adalah cara lain untuk menyelesaikan persamaan pembezaan linear orde pertama dan persamaan Bernoulli.

Persamaan pembezaan linear tertib pertama ialah persamaan bentuk y’+p(x)y=q(x). Jika sebelah kanan ialah sifar: y’+p(x)y=0, maka ini adalah linear homogen Persamaan tertib pertama. Oleh itu, persamaan dengan bukan sifar sebelah kanan, y'+p(x)y=q(x), — heterogen persamaan linear pesanan pertama.

Kaedah variasi malar arbitrari (kaedah Lagrange) terdiri daripada yang berikut:

1) Kami sedang mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Dalam penyelesaian am, C dianggap bukan pemalar, tetapi fungsi x: C=C(x). Kami mencari terbitan bagi penyelesaian am (y*)' dan menggantikan ungkapan yang terhasil untuk y* dan (y*)' ke dalam keadaan awal. Daripada persamaan yang terhasil, kita dapati fungsi С(x).

3) Dalam penyelesaian umum persamaan homogen, bukannya C, kita menggantikan ungkapan yang ditemui C (x).

Pertimbangkan contoh tentang kaedah variasi pemalar arbitrari. Mari kita lakukan tugas yang sama seperti dalam , bandingkan perjalanan penyelesaian dan pastikan jawapan yang diterima adalah sama.

1) y'=3x-y/x

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk piawai (berbeza dengan kaedah Bernoulli, di mana kita memerlukan tatatanda hanya untuk melihat bahawa persamaan adalah linear).

y'+y/x=3x (I). Sekarang kami pergi mengikut rancangan.

1) Kami menyelesaikan persamaan homogen y’+y/x=0. Ini ialah persamaan pembolehubah boleh dipisahkan. Wakilkan y’=dy/dx, gantikan: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Kami mendarab kedua-dua bahagian persamaan dengan dx dan membahagi dengan xy≠0: dy/y=-dx/x. Kami menyepadukan:

2) Dalam penyelesaian umum persamaan homogen yang diperolehi, kita akan menganggap С bukan pemalar, tetapi fungsi x: С=С(x). Dari sini

Ungkapan yang terhasil digantikan ke dalam keadaan (I):

Kami menyepadukan kedua-dua bahagian persamaan:

di sini C sudah ada pemalar baharu.

3) Dalam penyelesaian umum persamaan homogen y \u003d C / x, di mana kami menganggap C \u003d C (x), iaitu, y \u003d C (x) / x, bukannya C (x) kami menggantikan dijumpai ungkapan x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x atau y=x²+C/x. Kami mendapat jawapan yang sama seperti semasa menyelesaikan dengan kaedah Bernoulli.

Jawapan: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Di sini persamaan sudah ditulis dalam bentuk standard, tidak perlu menukar.

1) Kami menyelesaikan persamaan linear homogen y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Kami menyepadukan:

Untuk mendapatkan notasi yang lebih mudah, kami akan membawa eksponen kepada kuasa C sebagai C baharu:

Transformasi ini dilakukan untuk menjadikannya lebih mudah untuk mencari derivatif.

2) Dalam penyelesaian umum persamaan homogen linear yang diperolehi, kami menganggap С bukan pemalar, tetapi fungsi x: С=С(x). Di bawah keadaan ini

Ungkapan y dan y' yang terhasil digantikan ke dalam keadaan:

Darab kedua-dua belah persamaan dengan

Kami menyepadukan kedua-dua bahagian persamaan menggunakan formula penyepaduan demi bahagian, kami dapat:

Di sini C bukan lagi fungsi, tetapi pemalar biasa.

3) Ke dalam penyelesaian umum persamaan homogen

kita menggantikan fungsi yang ditemui С(x):

Kami mendapat jawapan yang sama seperti semasa menyelesaikan dengan kaedah Bernoulli.

Kaedah variasi pemalar arbitrari juga boleh digunakan untuk menyelesaikan .

y’x+y=-xy².

Kami membawa persamaan ke pandangan standard: y'+y/x=-y² (II).

1) Kami menyelesaikan persamaan homogen y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Darab kedua-dua belah persamaan dengan dx dan bahagi dengan y: dy/y=-dx/x. Sekarang mari kita integrasikan:

Kami menggantikan ungkapan yang diperoleh ke dalam keadaan (II):

Memudahkan:

Kami mendapat persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan untuk C dan x:

Di sini C sudah menjadi pemalar biasa. Dalam proses penyepaduan, bukannya C(x), kami hanya menulis C, supaya tidak membebankan notasi. Dan pada akhirnya kami kembali ke C(x) supaya tidak mengelirukan C(x) dengan C baru.

3) Kami menggantikan fungsi yang ditemui С(x) ke dalam penyelesaian umum persamaan homogen y=C(x)/x:

Kami mendapat jawapan yang sama seperti semasa menyelesaikan dengan kaedah Bernoulli.

Contoh untuk ujian kendiri:

1. Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk piawai: y'-2y=x.

1) Kami menyelesaikan persamaan homogen y'-2y=0. y’=dy/dx, justeru dy/dx=2y, darab kedua-dua belah persamaan dengan dx, bahagi dengan y dan integrasikan:

Dari sini kita dapati y:

Kami menggantikan ungkapan untuk y dan y’ ke dalam keadaan (untuk ringkasnya, kami akan memberi makan C bukannya C (x) dan C’ bukannya C "(x)):

Untuk mencari kamiran di sebelah kanan, kami menggunakan formula penyepaduan demi bahagian:

Sekarang kita menggantikan u, du dan v ke dalam formula:

Di sini C = const.

3) Sekarang kita menggantikan ke dalam larutan homogen

Pertimbangkan persamaan pembezaan tak homogen linear dengan pekali malar bagi tertib n arbitrary:
(1) .
Kaedah variasi malar, yang kami pertimbangkan untuk persamaan tertib pertama, juga boleh digunakan untuk persamaan tertib lebih tinggi.

Penyelesaian dijalankan dalam dua peringkat. Pada peringkat pertama, kami membuang bahagian kanan dan menyelesaikan persamaan homogen. Akibatnya, kita memperoleh penyelesaian yang mengandungi n pemalar arbitrari. Dalam langkah kedua, kami mengubah pemalar. Iaitu, kami menganggap bahawa pemalar ini adalah fungsi pembolehubah bebas x dan mencari bentuk fungsi ini.

Walaupun kita sedang mempertimbangkan persamaan dengan pekali malar di sini, tetapi kaedah Lagrange juga boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan tak homogen linear. Walau bagaimanapun, untuk ini, sistem asas penyelesaian persamaan homogen mesti diketahui.

Langkah 1. Penyelesaian persamaan homogen

Seperti dalam kes persamaan tertib pertama, kita mula-mula mencari penyelesaian umum persamaan homogen, menyamakan bahagian tak homogen yang betul kepada sifar:
(2) .
Penyelesaian umum persamaan sedemikian mempunyai bentuk:
(3) .
Berikut adalah pemalar sewenang-wenangnya; - n penyelesaian bebas linear bagi persamaan homogen (2), yang membentuk sistem asas penyelesaian persamaan ini.

Langkah 2. Variasi Pemalar - Menggantikan Pemalar dengan Fungsi

Dalam langkah kedua, kita akan berurusan dengan variasi pemalar. Dalam erti kata lain, kita akan menggantikan pemalar dengan fungsi pembolehubah bebas x :
.
Iaitu, kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal (1) dalam bentuk berikut:
(4) .

Jika kita menggantikan (4) kepada (1), kita mendapat satu persamaan pembezaan untuk n fungsi. Dalam kes ini, kita boleh menyambungkan fungsi ini dengan persamaan tambahan. Kemudian anda mendapat n persamaan, dari mana anda boleh menentukan n fungsi. Persamaan tambahan boleh dibuat cara yang berbeza. Tetapi kami akan melakukannya dengan cara yang penyelesaiannya mempunyai bentuk yang paling mudah. Untuk melakukan ini, apabila membezakan, anda perlu menyamakan dengan istilah sifar yang mengandungi derivatif fungsi. Mari kita tunjukkan ini.

Untuk menggantikan penyelesaian yang dicadangkan (4) ke dalam persamaan asal (1), kita perlu mencari terbitan bagi n susunan pertama fungsi yang ditulis dalam bentuk (4). Bezakan (4) dengan memohon peraturan pembezaan jumlah dan berfungsi:
.
Jom kumpulkan ahli. Mula-mula, kita menulis istilah dengan terbitan , dan kemudian istilah dengan terbitan :

.
Kami mengenakan syarat pertama pada fungsi:
(5.1) .
Kemudian ungkapan untuk terbitan pertama berkenaan dengan akan mempunyai bentuk yang lebih mudah:
(6.1) .

Dengan cara yang sama, kita dapati derivatif kedua:

.
Kami mengenakan syarat kedua pada fungsi:
(5.2) .
Kemudian
(6.2) .
Dan sebagainya. Di bawah syarat tambahan, kami menyamakan istilah yang mengandungi derivatif fungsi kepada sifar.

Oleh itu, jika kita memilih persamaan tambahan berikut untuk fungsi:
(5.k) ,
maka terbitan pertama berkenaan dengan akan mempunyai bentuk termudah:
(6.k) .
Di sini.

Kami mencari derivatif ke-n:
(6.n)
.

Kami menggantikan ke dalam persamaan asal (1):
(1) ;






.
Kami mengambil kira bahawa semua fungsi memenuhi persamaan (2):
.
Kemudian jumlah istilah yang mengandungi memberikan sifar. Hasilnya, kami mendapat:
(7) .

Hasilnya, kami mendapat sistem persamaan linear untuk derivatif:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Menyelesaikan sistem ini, kita mencari ungkapan untuk derivatif sebagai fungsi x . Mengintegrasikan, kami mendapat:
.
Di sini, adalah pemalar yang tidak lagi bergantung pada x. Menggantikan kepada (4), kita memperoleh penyelesaian am bagi persamaan asal.

Ambil perhatian bahawa kami tidak pernah menggunakan fakta bahawa pekali a i adalah malar untuk menentukan nilai derivatif. Oleh itu kaedah Lagrange boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan tak homogen linear, jika sistem asas penyelesaian bagi persamaan homogen (2) diketahui.

Contoh

Selesaikan persamaan dengan kaedah variasi pemalar (Lagrange).

Mari kita beralih kepada pertimbangan persamaan pembezaan tak homogen linear bagi bentuk tersebut

di mana - fungsi hujah yang dikehendaki , dan fungsi



diberikan dan berterusan pada beberapa selang waktu
.

Mari kita perkenalkan kepada pertimbangan persamaan homogen linear, bahagian kirinya bertepatan dengan bahagian kiri persamaan tidak homogen (2.31),

Persamaan bentuk (2.32) dipanggil persamaan homogen sepadan dengan persamaan tidak homogen (2.31).

Teorem berikut mengenai struktur penyelesaian am bagi persamaan linear tak homogen (2.31) berlaku.

Teorem 2.6. Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear (2.31) dalam domain

ialah hasil tambah mana-mana penyelesaian tertentu dan penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan (2.32) dalam domain (2.33), i.e.

di mana - penyelesaian tertentu persamaan (2.31),
ialah sistem asas penyelesaian bagi persamaan homogen (2.32), dan
adalah pemalar arbitrari.

Bukti teorem ini boleh didapati dalam .

Menggunakan contoh persamaan pembezaan tertib kedua, kami membentangkan kaedah yang mana seseorang boleh mencari penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen linear. Kaedah ini dipanggil Variasi kaedah Lagrange bagi pemalar arbitrari.

Jadi, biarlah diberikan persamaan linear tak homogen

(2.35)

di mana pekali
dan sebelah kanan
berterusan dalam beberapa selang
.

Nyatakan dengan
dan
sistem asas penyelesaian bagi persamaan homogen

(2.36)

Kemudian penyelesaian amnya mempunyai bentuk

(2.37)

di mana dan adalah pemalar arbitrari.

Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan (2.35) dalam bentuk yang sama , serta penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan, menggantikan pemalar arbitrari dengan beberapa fungsi yang boleh dibezakan (kami mengubah pemalar sewenang-wenangnya), mereka.

di mana
dan
adalah beberapa fungsi yang boleh dibezakan daripada , yang masih tidak diketahui dan yang akan kita cuba tentukan supaya fungsi (2.38) akan menjadi penyelesaian kepada persamaan tidak homogen (2.35). Membezakan kedua-dua belah kesamaan (2.38), kita perolehi

Supaya apabila mengira tiada terbitan tertib kedua bagi
dan
, kami memerlukannya di mana-mana sahaja
syarat itu

Kemudian untuk pasti akan

Hitung terbitan kedua

Menggantikan ungkapan untuk ,,daripada (2.38), (2.40), (2.41) ke dalam persamaan (2.35), kita perolehi

Ungkapan dalam dalam kurungan, adalah sama dengan sifar di mana-mana sahaja
, sebagai dan - penyelesaian tertentu persamaan (2.36). Dalam kes ini, (2.42) mengambil bentuk Menggabungkan keadaan ini dengan keadaan (2.39), kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan
dan

(2.43)

Sistem yang terakhir ialah sistem dua persamaan linear algebra tidak homogen berkenaan dengan
dan
. Penentu sistem ini ialah penentu Wronsky untuk sistem asas penyelesaian ,dan oleh itu berbeza daripada sifar di mana-mana sahaja
. Ini bermakna sistem (2.43) mempunyai penyelesaian yang unik. Setelah menyelesaikannya dalam apa jua cara mengenai
,
cari

di mana
dan
adalah fungsi yang terkenal.

Melakukan integrasi dan mengambil kira bahawa sebagai
,
seseorang harus mengambil mana-mana satu pasangan fungsi, kami menetapkan pemalar penyepaduan sama dengan sifar. Dapatkan

Menggantikan ungkapan (2.44) ke dalam hubungan (2.38), kita boleh menulis penyelesaian yang dikehendaki bagi persamaan tak homogen (2.35) dalam bentuk

Kaedah ini boleh digeneralisasikan untuk mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen linear -perintah ke-.

Contoh 2.6. selesaikan persamaan
di
jika fungsi

membentuk sistem asas penyelesaian bagi persamaan homogen yang sepadan.

Mari kita cari penyelesaian tertentu bagi persamaan ini. Untuk melakukan ini, mengikut kaedah Lagrange, seseorang harus terlebih dahulu menyelesaikan sistem (2.43), yang dalam kes kami mempunyai bentuk
Mengurangkan kedua-dua belah setiap persamaan dengan kita mendapatkan

Menolak sebutan persamaan pertama dengan sebutan daripada persamaan kedua, kita dapati
dan kemudian daripada persamaan pertama ia mengikuti
Melakukan penyepaduan dan menetapkan pemalar penyepaduan sama dengan sifar, kita ada

Penyelesaian tertentu kepada persamaan ini boleh diwakili sebagai

Penyelesaian umum persamaan ini kemudiannya mempunyai bentuk

di mana dan adalah pemalar arbitrari.

Akhirnya, kami perhatikan satu sifat yang luar biasa, yang sering dipanggil prinsip pengenaan penyelesaian dan diterangkan oleh teorem berikut.

Teorem 2.7. Jika di antara
fungsi
- penyelesaian tertentu bagi persamaan fungsi
penyelesaian tertentu persamaan pada selang yang sama, fungsi
adalah penyelesaian khusus kepada persamaan