Untuk menyelesaikan masalah geometri menggunakan kaedah koordinat, titik persilangan diperlukan, koordinatnya digunakan dalam penyelesaian. Situasi timbul apabila diperlukan untuk mencari koordinat persilangan dua garis pada satah atau untuk menentukan koordinat garis yang sama di angkasa. artikel ini mempertimbangkan kes-kes mencari koordinat titik di mana garis-garis yang diberikan bersilang.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ia adalah perlu untuk menentukan titik persilangan dua garis.

Bahagian pada kedudukan relatif garis pada satah menunjukkan bahawa ia boleh bertepatan, selari, bersilang pada satu titik sepunya, atau bersilang. Dua garis dalam ruang dipanggil bersilang jika ia mempunyai satu titik sepunya.

Takrifan titik persilangan garis berbunyi seperti ini:

Definisi 1

Titik di mana dua garis bersilang dipanggil titik persilangan mereka. Dengan kata lain, titik garis bersilang ialah titik persilangan.

Pertimbangkan rajah di bawah.

Sebelum mencari koordinat titik persilangan dua garis, perlu mempertimbangkan contoh di bawah.

Jika terdapat sistem koordinat O x y pada satah, maka dua garis lurus a dan b diberi. Arahkan sepadan persamaan am daripada bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, untuk garis lurus b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Kemudian M 0 (x 0 , y 0) ialah beberapa titik satah, adalah perlu untuk menentukan sama ada titik M 0 akan menjadi titik persilangan garis-garis ini.

Untuk menyelesaikan masalah, perlu mematuhi definisi. Kemudian garisan mesti bersilang pada satu titik yang koordinatnya ialah penyelesaian bagi persamaan yang diberi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Ini bermakna koordinat titik persilangan digantikan ke dalam semua persamaan yang diberikan. Jika mereka memberikan identiti yang betul semasa menggantikan, maka M 0 (x 0 , y 0) dianggap sebagai titik persilangan mereka.

Contoh 1

Diberi dua garis bersilang 5 x - 2 y - 16 = 0 dan 2 x - 5 y - 19 = 0 . Adakah titik M 0 dengan koordinat (2, - 3) akan menjadi titik persilangan.

Penyelesaian

Untuk persilangan garis menjadi nyata, adalah perlu bahawa koordinat titik M 0 memenuhi persamaan garis. Ini disahkan dengan menggantikannya. Kami dapat itu

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Kedua-dua kesamaan adalah benar, yang bermaksud M 0 (2, - 3) ialah titik persilangan garis yang diberikan.

Mari kita gambarkan keputusan ini pada garis koordinat rajah di bawah.

Jawapan:titik yang diberikan dengan koordinat (2, - 3) akan menjadi titik persilangan garis yang diberikan.

Contoh 2

Adakah garis 5 x + 3 y - 1 = 0 dan 7 x - 2 y + 11 = 0 akan bersilang pada titik M 0 (2 , - 3) ?

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah, adalah perlu untuk menggantikan koordinat titik dalam semua persamaan. Kami dapat itu

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Kesamaan kedua adalah tidak benar, yang bermaksud bahawa titik yang diberikan tidak tergolong dalam garis 7 x - 2 y + 11 = 0 . Oleh itu kita mempunyai bahawa titik M 0 bukanlah titik persilangan garis.

Lukisan jelas menunjukkan bahawa M 0 bukanlah titik persilangan garisan. Mereka mempunyai titik sepunya dengan koordinat (- 1 , 2) .

Jawapan: titik dengan koordinat (2, - 3) bukanlah titik persilangan garis yang diberikan.

Kami beralih kepada mencari koordinat titik persilangan dua garis menggunakan persamaan yang diberikan pada satah.

Dua garis bersilang a dan b diberikan oleh persamaan bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 yang terletak di O x y. Apabila menetapkan titik persilangan M 0, kita mendapat bahawa kita harus meneruskan pencarian koordinat mengikut persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Jelas dari definisi bahawa M 0 adalah titik persilangan garis yang sama. Dalam kes ini, koordinatnya mesti memenuhi persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Dalam erti kata lain, ini ialah penyelesaian sistem terhasil A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Ini bermakna bahawa untuk mencari koordinat titik persilangan, adalah perlu untuk menambah semua persamaan ke sistem dan menyelesaikannya.

Contoh 3

Diberi dua garis x - 9 y + 14 = 0 dan 5 x - 2 y - 16 = 0 pada satah. anda perlu mencari persimpangan mereka.

Penyelesaian

Data mengenai keadaan persamaan mesti dikumpulkan ke dalam sistem, selepas itu kita mendapat x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Untuk menyelesaikannya, persamaan pertama diselesaikan untuk x, ungkapan itu digantikan dengan yang kedua:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Nombor yang terhasil adalah koordinat yang perlu dicari.

Jawapan: M 0 (4 , 2) ialah titik persilangan bagi garis x - 9 y + 14 = 0 dan 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Pencarian koordinat dikurangkan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika, mengikut keadaan, bentuk persamaan lain diberikan, maka ia harus dikurangkan kepada bentuk normal.

Contoh 4

Tentukan koordinat titik persilangan garis x - 5 = y - 4 - 3 dan x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Penyelesaian

Sebagai permulaan, adalah perlu untuk membawa persamaan ke bentuk umum. Kemudian kita dapati bahawa x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R diubah dengan cara ini:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Kemudian kita ambil persamaan bentuk kanonik x - 5 = y - 4 - 3 dan berubah. Kami dapat itu

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Oleh itu kita mempunyai bahawa koordinat adalah titik persilangan

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Mari gunakan kaedah Cramer untuk mencari koordinat:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 2

Jawapan: M 0 (- 5 , 1) .

Terdapat cara lain untuk mencari koordinat titik persilangan garis yang terletak pada satah. Ia terpakai apabila salah satu garis diberikan oleh persamaan parametrik dalam bentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Kemudian x = x 1 + a x λ dan y = y 1 + a y λ digantikan dengan x, di mana kita mendapat λ = λ 0 sepadan dengan titik persilangan yang mempunyai koordinat x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Contoh 5

Tentukan koordinat titik persilangan garis x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R dan x - 5 = y - 4 - 3 .

Penyelesaian

Adalah perlu untuk melakukan penggantian dalam x - 5 \u003d y - 4 - 3 dengan ungkapan x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, maka kita dapat:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Apabila menyelesaikan, kita memperoleh bahawa λ = - 1 . Ini menunjukkan bahawa terdapat titik persilangan antara garis x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R dan x - 5 = y - 4 - 3 . Untuk mengira koordinat, adalah perlu untuk menggantikan ungkapan λ = - 1 ke dalam persamaan parametrik. Kemudian kita dapat bahawa x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Jawapan: M 0 (- 5 , 1) .

Untuk memahami sepenuhnya topik, anda perlu mengetahui beberapa nuansa.

Mula-mula anda perlu memahami lokasi garisan. Apabila mereka bersilang, kita akan mencari koordinat, dalam kes lain tidak akan ada penyelesaian. Untuk mengelakkan semakan ini, kita boleh mengarang sistem bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Jika terdapat penyelesaian, kita membuat kesimpulan bahawa garis-garis bersilang. Sekiranya tidak ada penyelesaian, maka ia adalah selari. Apabila sistem telah set tak terhingga penyelesaian, maka mereka dikatakan sama.

Contoh 6

Diberi garis x 3 + y - 4 = 1 dan y = 4 3 x - 4 . Tentukan sama ada mereka mempunyai titik persamaan.

Penyelesaian

Mempermudahkan persamaan yang diberikan, kita mendapat 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 dan 4 3 x - y - 4 = 0 .

Adalah perlu untuk mengumpul persamaan dalam sistem untuk penyelesaian seterusnya:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Ini menunjukkan bahawa persamaan dinyatakan melalui satu sama lain, maka kita mendapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kemudian persamaan x 3 + y - 4 = 1 dan y = 4 3 x - 4 mentakrifkan garis lurus yang sama. Oleh itu, tiada titik persimpangan.

Jawapan: persamaan yang diberikan mentakrifkan garis lurus yang sama.

Contoh 7

Cari koordinat bagi titik garis bersilang 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 dan 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Penyelesaian

Dengan syarat, ada kemungkinan bahawa garisan tidak akan bersilang. Tulis sistem persamaan dan selesaikan. Untuk penyelesaiannya, perlu menggunakan kaedah Gauss, kerana dengan bantuannya adalah mungkin untuk menyemak persamaan untuk keserasian. Kami mendapat sistem borang:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Kami mendapat kesamarataan yang salah, jadi sistem tidak mempunyai penyelesaian. Kami membuat kesimpulan bahawa garis adalah selari. Tiada titik persimpangan.

Penyelesaian kedua.

Mula-mula anda perlu menentukan kehadiran persilangan garisan.

n 1 → = (2 , 2 - 3) ialah vektor normal bagi garis 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , maka vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - vektor biasa untuk garis lurus 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Ia adalah perlu untuk menyemak kolineariti bagi vektor n 1 → = (2, 2 - 3) dan n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Kami mendapat kesamaan bentuk 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Ia betul kerana 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Ia berikutan bahawa vektor adalah kolinear. Ini bermakna garisan adalah selari dan tidak mempunyai titik persilangan.

Jawapan: tiada titik persilangan, garisnya selari.

Contoh 8

Cari koordinat persilangan bagi garis yang diberi 2 x - 1 = 0 dan y = 5 4 x - 2 .

Penyelesaian

Untuk menyelesaikannya, kami menyusun sistem persamaan. Kita mendapatkan

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Cari penentu bagi matriks utama. Untuk ini, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Oleh kerana ia bukan sifar, sistem mempunyai 1 penyelesaian. Ia berikutan bahawa garisan bersilang. Mari kita selesaikan sistem untuk mencari koordinat titik persilangan:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Kami mendapat bahawa titik persilangan garis yang diberikan mempunyai koordinat M 0 (1 2 , - 11 8) .

Jawapan: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Mencari koordinat titik persilangan dua garis dalam ruang

Dengan cara yang sama, titik persilangan garis ruang ditemui.

Apabila garis a dan b diberikan dalam satah koordinat Kira-kira x y z dengan persamaan satah bersilang, maka terdapat garis lurus a, yang boleh ditentukan menggunakan sistem yang diberikan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 dan garis lurus b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Apabila titik M 0 ialah titik persilangan garis, maka koordinatnya mestilah penyelesaian kedua-dua persamaan. Kami memperoleh persamaan linear dalam sistem:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Mari kita pertimbangkan tugas sedemikian dengan contoh.

Contoh 9

Cari koordinat titik persilangan garis yang diberi x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 dan 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Penyelesaian

Kami menyusun sistem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 dan selesaikannya. Untuk mencari koordinat, adalah perlu untuk menyelesaikan melalui matriks. Kemudian kita mendapat matriks utama bentuk   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 dan matriks lanjutan T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Kami menentukan pangkat matriks mengikut Gauss.

Kami dapat itu

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Ia berikutan bahawa pangkat matriks tambahan ialah 3 . Kemudian sistem persamaan x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 hanya menghasilkan satu penyelesaian.

Asas minor mempunyai penentu 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , maka persamaan terakhir tidak sesuai. Kami mendapat bahawa x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Penyelesaian sistem x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Jadi kita mempunyai bahawa titik persilangan x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 dan 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 mempunyai koordinat (1 , - 3 , 0) .

Jawapan: (1 , - 3 , 0) .

Sistem bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 hanya mempunyai satu penyelesaian. Jadi garis a dan b bersilang.

Dalam kes lain, persamaan tidak mempunyai penyelesaian, iaitu, perkara biasa juga. Iaitu, mustahil untuk mencari titik dengan koordinat, kerana ia tidak wujud.

Oleh itu, sistem berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 diselesaikan dengan kaedah Gauss. Dengan ketidakserasiannya, garisan tidak bersilang. Sekiranya terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, maka ia bertepatan.

Anda boleh membuat keputusan dengan mengira pangkat utama dan lanjutan matriks, dan kemudian gunakan teorem Kronecker-Capelli. Kami mendapat satu, banyak atau ketiadaan lengkap penyelesaian.

Contoh 10

Persamaan garis x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 dan x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 diberi. Cari titik persimpangan.

Penyelesaian

Pertama, mari kita sediakan sistem persamaan. Kami mendapat bahawa x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Kami menyelesaikannya menggunakan kaedah Gauss:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Jelas sekali, sistem tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud bahawa garisan tidak bersilang. Tiada titik persimpangan.

Jawapan: tiada titik persimpangan.

Jika garisan ditakrifkan menggunakan cononic atau persamaan parametrik, anda perlu membawa kepada bentuk persamaan satah bersilang, dan kemudian cari koordinat.

Contoh 11

Diberi dua garis x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R dan x 2 = y - 3 0 = z 5 dalam O x y z . Cari titik persimpangan.

Penyelesaian

Kami menetapkan garis lurus dengan persamaan dua satah bersilang. Kami dapat itu

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Kami mencari koordinat 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , untuk ini kita mengira pangkat matriks. Kedudukan matriks ialah 3 dan bawah umur asas 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0, yang bermaksud bahawa persamaan terakhir mesti dikecualikan daripada sistem. Kami dapat itu

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Mari kita selesaikan sistem dengan kaedah Cramer. Kami mendapat bahawa x = - 2 y = 3 z = - 5 . Dari sini kita dapati bahawa persilangan garis yang diberikan memberikan titik dengan koordinat (- 2 , 3 , - 5) .

Jawapan: (- 2 , 3 , - 5) .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... baik, ia adalah tinny, seolah-olah anda membaca ayat untuk diri sendiri =) Namun, kemudian kelonggaran akan membantu, terutamanya kerana saya membeli aksesori yang sesuai hari ini. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Susunan bersama dua garis lurus

Kes apabila dewan menyanyi bersama dalam korus. Dua baris boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Entri bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik.

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali masing-masing adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" sedemikian sehingga kesamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan karang tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan -1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan kurangkan sebanyak 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah adalah berkadar: , tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, jelas bahawa .

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIDAK ada nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan menyusun sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , oleh itu, sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pada pembolehubah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, skema penyelesaian yang baru dipertimbangkan boleh digunakan. Ngomong-ngomong, ia sangat serupa dengan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep pergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor. Tetapi ada pakej yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Untuk mengetahui susunan bersama langsung:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, jadi vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan penunjuk di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti, terus ke Kashchei the Deathless =)

b) Cari vektor arah garis:

Garis mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau sama. Di sini penentu tidak diperlukan.

Jelas sekali, pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, manakala .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Dengan cara ini,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Faktor perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memuaskan persamaan ini(ia sesuai dengan mana-mana nombor secara umum).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak nampak sebab untuk menawarkan apa-apa keputusan bebas, adalah lebih baik untuk meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Atas kejahilan ini tugas yang paling mudah menghukum berat Nightingale si Perompak.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apakah yang dikatakan syarat mengenainya? Garis itu melalui titik. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor pengarah garisan "ce" juga sesuai untuk membina garisan "te".

Kami mengeluarkan vektor arah dari persamaan:

Jawab:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Pengesahan analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Pengesahan analitik dalam kebanyakan kes mudah dilakukan secara lisan. Lihat dua persamaan dan ramai di antara anda akan dengan cepat mengetahui bagaimana garisan selari tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk menyelesaikan diri hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit kerja dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garisan bertepatan adalah kurang menarik minat, jadi pertimbangkan masalah yang anda ketahui kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Ini untuk anda makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ialah dua garis lurus yang bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Cara grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dalam erti kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian sistem. Malah, kami mempertimbangkan cara grafik untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk membuat lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa baris tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri boleh berada di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan dengan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang berkaitan, lawati pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Pengesahan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh buat sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan masalah kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal bagi kebanyakan orang masalah geometri, dan saya akan memberi tumpuan kepada perkara ini berulang kali.

Penyelesaian Lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran:

Sepasang kasut belum lagi haus, kerana kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garisan

Mari kita mulakan dengan tipikal dan sangat tugas penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang diberikan, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis serenjang yang melalui titik.

Penyelesaian: Adalah diketahui dengan andaian bahawa . Adalah baik untuk mencari vektor arah garis lurus. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kita buka lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Ekstrak vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab titik bagi vektor kita menyimpulkan bahawa garisan itu sememangnya berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Pengesahan, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang, jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh buat sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam tugas itu, jadi mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik.

kami perjalanan yang lucu berterusan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kita adalah jalur lurus sungai dan tugas kita adalah untuk mencapainya dengan cara yang paling singkat. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah pergerakan sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", sebagai contoh: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: semua yang anda perlukan adalah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan melakukan pengiraan:

Jawab:

Mari kita laksanakan lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda membuat lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain mengikut lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik , yang simetri kepada titik berkenaan dengan garis . Saya bercadang untuk melakukan tindakan sendiri, bagaimanapun, saya akan menetapkan algoritma penyelesaian dengan keputusan pertengahan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat tengah segmen cari .

Ia tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahawa jarak juga sama dengan 2.2 unit.

Kesukaran di sini mungkin timbul dalam pengiraan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Telah menasihati banyak kali dan akan mengesyorkan lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk penyelesaian bebas. Sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk diselesaikan. Taklimat di akhir pelajaran, tetapi lebih baik cuba teka sendiri, saya rasa anda berjaya menyuraikan kepintaran anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Walau apa pun sudutnya, maka tiangnya:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut lembayung.

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah "menatal" sudut pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, sebagai contoh, jika .

Mengapa saya berkata ini? Nampaknya anda boleh bertahan dengan konsep sudut biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah hasil negatif dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan untuk sudut negatif, adalah penting untuk menunjukkan orientasinya (mengikut arah jam) dengan anak panah.

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian dan Kaedah satu

Pertimbangkan dua baris diberikan oleh persamaan dalam Pandangan umum:

Jika lurus tidak berserenjang, kemudian berorientasikan sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Paling perhatian rapat beralih kepada penyebut - ini betul-betul produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut formula itu hilang, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketakserenjangan garisan dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, penyelesaiannya diformalkan dengan mudah dalam dua langkah:

1) Kira produk skalar vektor arah garis lurus:
jadi garisan tidak berserenjang.

2) Kami mencari sudut antara garis dengan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan tangen arka (lihat Rajah. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam darjah dan dalam radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, jadi tolak, tidak mengapa. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam keadaan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "berpusing" sudut itu bermula dengan tepat daripadanya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama . Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Persilangan pada paksi-x mesti menyelesaikan persamaan y₁=y₂, iaitu k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Ubah ketaksamaan ini untuk mendapatkan k₁x-k₂x=b₂-b₁. Sekarang ungkapkan x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Dengan cara ini anda akan menemui titik persilangan graf, yang terletak di sepanjang paksi OX. Cari titik persilangan pada paksi-y. Hanya gantikan dalam mana-mana fungsi nilai x yang anda temui sebelum ini.

Pilihan sebelumnya sesuai untuk carta. Jika fungsinya ialah , gunakan arahan berikut. Dengan cara yang sama seperti dengan fungsi linear, cari nilai x. Untuk melakukan ini, selesaikan persamaan kuadratik. Dalam persamaan 2x² + 2x - 4=0 cari (persamaan diberikan sebagai contoh). Untuk melakukan ini, gunakan formula: D= b² - 4ac, dengan b ialah nilai sebelum X dan c ialah nilai berangka.

Menggantikan nilai berangka, dapatkan ungkapan seperti D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Persamaan bergantung pada nilai diskriminasi. Sekarang tambah atau tolak (secara bergilir) punca daripada diskriminasi yang terhasil kepada nilai pembolehubah b dengan tanda "-", dan bahagikan dengan produk berganda pekali a. Oleh itu, anda akan menemui punca-punca persamaan, iaitu koordinat titik persilangan.

Graf fungsi mempunyai ciri: paksi OX akan bersilang dua kali, iaitu, anda akan menemui dua koordinat paksi-x. Jika anda menerima nilai berkala pergantungan X pada Y, maka ketahui bahawa graf itu bersilang pada bilangan titik yang tidak terhingga dengan paksi-x. Semak sama ada anda telah menemui titik persimpangan. Untuk melakukan ini, gantikan nilai X ke dalam persamaan f(x)=0.

Sumber:

• Mencari titik persilangan garis

Jika anda mengetahui nilai a, maka anda boleh mengatakan bahawa anda telah menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana puncanya akan ditemui dengan mudah.

Anda perlu

• -rumus pendiskriminasi persamaan kuadratik;
• -Pengetahuan tentang jadual pendaraban

Arahan

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Diskriminasi persamaan kuadratik boleh positif, negatif, atau sama dengan 0.

Sumber:

• Penyelesaian persamaan kuadratik
• diskriminasi adalah sama rata

Petua 3: Bagaimana untuk mencari koordinat titik persilangan graf fungsi

Graf fungsi y \u003d f (x) ialah set semua titik dalam satah, koordinat x, yang mana ia memenuhi hubungan y \u003d f (x). Graf fungsi secara visual menggambarkan tingkah laku dan sifat sesuatu fungsi. Untuk membina graf, beberapa nilai argumen x biasanya dipilih dan nilai yang sepadan bagi fungsi y=f(x) dikira untuknya. Untuk pembinaan graf yang lebih tepat dan visual, adalah berguna untuk mencari titik persilangannya dengan paksi koordinat.

Arahan

Apabila melintasi paksi-x (paksi-X), nilai fungsi ialah 0, i.e. y=f(x)=0. Untuk mengira x, anda perlu menyelesaikan persamaan f(x)=0. Dalam kes fungsi, kita mendapat persamaan ax+b=0, dan kita dapati x=-b/a.

Oleh itu, paksi-X bersilang pada titik (-b/a,0).

Dalam lebih kes yang sukar, sebagai contoh, dalam kes pergantungan kuadratik y pada x, persamaan f (x) \u003d 0 mempunyai dua punca, oleh itu, paksi-x bersilang dua kali. Dalam kes pergantungan y pada x, contohnya y=sin(x), mempunyai bilangan titik persilangan yang tidak terhingga dengan paksi-x.

Untuk menyemak ketepatan mencari koordinat titik persilangan graf fungsi dengan paksi X, adalah perlu untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi x f (x). Nilai ungkapan untuk mana-mana x yang dikira mestilah sama dengan 0.

Arahan

Pertama, adalah perlu untuk membincangkan pilihan sistem koordinat yang sesuai untuk menyelesaikan masalah. Biasanya, dalam masalah seperti ini, salah satu segitiga diletakkan pada paksi 0X supaya satu titik bertepatan dengan asal. Oleh itu, anda tidak seharusnya menyimpang daripada kanun keputusan yang diterima umum dan melakukan perkara yang sama (lihat Rajah 1). Kaedah menentukan segi tiga itu sendiri tidak memainkan peranan asas, kerana anda sentiasa boleh pergi dari salah satu daripadanya ke (yang anda boleh lihat kemudian).

Biarkan segitiga yang dikehendaki diberikan oleh dua vektor sisinya AC dan AB a(x1, y1) dan b(x2, y2), masing-masing. Selain itu, dengan pembinaan y1=0. Bahagian ketiga BC sepadan dengan c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), mengikut ilustrasi ini. Titik A diletakkan pada asal koordinat, iaitu koordinat A(0, 0). Ia juga mudah untuk melihatnya koordinat B (x2, y2), C (x1, 0). Daripada ini kita boleh menyimpulkan bahawa takrif segitiga oleh dua vektor secara automatik bertepatan dengan takrifannya dengan tiga titik.

Seterusnya, anda perlu melengkapkan segi tiga yang dikehendaki kepada segi empat selari ABDC yang sepadan dengan saiznya. Lebih-lebih lagi, pada titik itu persimpangan pepenjuru segi empat selari, mereka dibahagikan, supaya AQ ialah median bagi segi tiga ABC, menurun dari A ke sisi BC. Vektor pepenjuru s mengandungi yang ini dan, mengikut peraturan selari, jumlah geometri a dan b. Kemudian s = a + b, dan yang koordinat s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sama koordinat juga akan berada di titik D(x1+x2, y2).

Sekarang anda boleh meneruskan untuk menyusun persamaan garis lurus yang mengandungi s, median AQ dan, yang paling penting, titik yang dikehendaki persimpangan median H. Memandangkan vektor s itu sendiri adalah panduan untuk garis ini, dan titik A (0, 0) kepunyaannya juga diketahui, perkara yang paling mudah ialah menggunakan persamaan garis satah dalam bentuk kanonik: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Di sini (x0, y0) koordinat titik sewenang-wenangnya garis lurus (titik А(0, 0)), dan (m, n) – koordinat s (vektor (x1+x2, y2). Maka, baris l1 yang diingini akan kelihatan seperti: x/(x1+x2)=y/ y2.

Cara untuk mencarinya ialah di persimpangan. Oleh itu, satu lagi garis lurus harus dijumpai mengandungi apa yang dipanggil.Untuk ini, dalam rajah. 1 binaan segi empat selari АPBC, yang pepenjuru g=a+c =g(2x1-x2, -y2) mengandungi median kedua CW, diturunkan dari C ke sisi AB. Diagonal ini mengandungi titik C(x1, 0), koordinat yang akan memainkan peranan (x0, y0), dan vektor arah di sini ialah g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Dari sini l2 diberikan oleh persamaan: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

AT Masa dulu Saya gemar grafik komputer, kedua-dua 2D dan 3D, termasuk visualisasi matematik. Apa yang dipanggil hanya untuk keseronokan, sebagai pelajar, saya menulis program yang menggambarkan angka N-dimensi berputar dalam mana-mana dimensi, walaupun dalam praktiknya ia hanya cukup untuk saya menentukan mata untuk hiperkubus 4-D. Tetapi ini hanya petunjuk. Cinta geometri kekal bersama saya sejak itu dan hingga ke hari ini, dan saya masih suka menyelesaikannya tugasan yang menarik cara yang menarik.
Salah satu tugasan ini datang kepada saya pada tahun 2010. Tugas itu sendiri agak remeh: adalah perlu untuk mencari sama ada dua segmen 2-D bersilang, dan jika ia bersilang, cari titik persimpangan mereka. Lebih menarik ialah penyelesaian, yang, saya fikir, ternyata agak elegan, dan yang saya ingin cadangkan kepada pembaca. Saya tidak berpura-pura menjadi asli dalam algoritma (walaupun saya mahu), tetapi saya tidak dapat mencari penyelesaian yang serupa pada rangkaian.

Satu tugas

Dua segmen diberikan, setiap satunya diberikan oleh dua mata: (v11, v12), (v21, v22). Ia adalah perlu untuk menentukan sama ada mereka bersilang, dan jika mereka bersilang, cari titik persimpangan mereka.

Penyelesaian

Mula-mula anda perlu menentukan sama ada segmen bersilang. Perlu dan keadaan yang mencukupi persimpangan yang mesti diperhatikan untuk kedua-dua segmen adalah yang berikut: titik akhir salah satu segmen mesti terletak pada separuh satah yang berbeza, jika satah dibahagikan dengan garis di mana segmen kedua terletak. Mari kita tunjukkan ini dengan lukisan.

Rajah kiri (1) menunjukkan dua segmen, untuk kedua-duanya syarat dipenuhi, dan segmen bersilang. Di sebelah kanan (2) rajah, syarat dipenuhi untuk segmen b, tetapi untuk segmen a ia tidak dipenuhi, masing-masing, segmen tidak bersilang.
Ia mungkin kelihatan bahawa menentukan bahagian garisan mana yang terletak pada titik itu bukanlah tugas yang remeh, tetapi ketakutan mempunyai mata yang besar, dan semuanya tidak begitu sukar. Kita tahu bahawa pendaraban vektor dua vektor memberi kita vektor ketiga, arahnya bergantung pada sama ada sudut antara vektor pertama dan kedua adalah positif atau negatif, masing-masing, operasi sedemikian adalah antikomutatif. Oleh kerana semua vektor terletak pada pesawat X-Y, maka hasil darab vektornya (yang mesti berserenjang dengan vektor darab) hanya akan mempunyai komponen bukan sifar Z, masing-masing, dan perbezaan dalam hasil darab vektor tersebut hanya dalam komponen ini. Lebih-lebih lagi, apabila menukar susunan pendaraban vektor (baca: sudut antara vektor yang didarab), ia akan terdiri semata-mata dalam menukar tanda komponen ini.
Oleh itu, kita boleh mendarabkan vektor-berpasangan vektor bagi segmen pemisah dengan vektor yang diarahkan dari permulaan segmen pemisah ke kedua-dua titik segmen yang ditandakan.

Jika komponen Z kedua-dua produk akan mempunyai tanda berbeza, maka salah satu sudut kurang daripada 0 tetapi lebih besar daripada -180, dan yang kedua lebih besar daripada 0 dan kurang daripada 180, masing-masing, titik terletak di sepanjang sisi yang berbeza daripada garis lurus. Jika komponen Z kedua-dua produk mempunyai tanda yang sama, jadi mereka berbaring di sebelah garisan yang sama.
Jika salah satu komponen Z adalah sifar, maka kita mempunyai kes sempadan apabila titik terletak tepat pada garisan yang diperiksa. Mari serahkan kepada pengguna untuk memutuskan sama ada dia mahu menganggap ini sebagai persimpangan.
Kemudian kita perlu mengulangi operasi untuk segmen lain dan garis lurus, dan pastikan lokasi titik akhirnya juga memenuhi syarat.
Jadi, jika semuanya baik-baik saja dan kedua-dua segmen memenuhi syarat, maka persimpangan itu wujud. Mari cari, dan produk vektor juga akan membantu kami dengan ini.
Oleh kerana dalam produk vektor kita hanya mempunyai komponen bukan sifar Z, modulusnya (panjang vektor) akan sama secara berangka dengan komponen tertentu ini. Mari lihat cara mencari titik persimpangan.

Panjang hasil darab vektor bagi vektor a dan b (seperti yang kita ketahui, secara berangka sama dengan komponen Znya) adalah sama dengan hasil darab modul bagi vektor ini dan sinus sudut di antaranya (|a| |b | dosa(ab)). Sehubungan itu, untuk konfigurasi dalam rajah, kami mempunyai yang berikut: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), dan |AB x AD| = |AB||AD| dosa(β). |AC|sin(α) ialah serenjang dari titik C ke segmen AB, dan |AD|sin(β) ialah serenjang dari titik D ke segmen AB (kaki ADD"). Oleh kerana sudut γ dan δ ialah sudut menegak, maka ia adalah sama, yang bermaksud bahawa segitiga PCC" dan PDD" adalah serupa, dan, oleh itu, panjang semua sisinya adalah sama berkadar.
Diberi Z1 (AB x AC, maka |AB||AC|sin(α)) dan Z2 (AB x AD, oleh itu |AB||AD|sin(β)), kita boleh mengira CC"/DD" ( yang akan sama dengan Z1 / Z2), dan juga mengetahui bahawa CC "/DD" = CP / DP, anda boleh mengira lokasi titik P dengan mudah. ​​Secara peribadi, saya melakukannya seperti ini:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

Itu sahaja. Nampaknya saya ia benar-benar sangat mudah dan elegan. Kesimpulannya, saya ingin memberikan kod fungsi yang melaksanakan algoritma ini. Fungsi ini menggunakan vektor templat buatan sendiri , yang merupakan templat vektor int dimensi dengan komponen nama jenis. Mereka yang ingin dengan mudah boleh menyesuaikan fungsi dengan jenis vektor mereka sendiri.

1 templat bool are_crossing(vector const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *lintas) 3 ( 4 vektor cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 vektor prod1, prod2; 6 7 prod1 = silang(potong1 * (v21-v11)); 8 prod2 = silang(potong1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Trim Edge Cases juga 11 kembali palsu; 12 13 prod1 = silang(potong2 * (v11-v21)); 14 prod2 = silang(potong2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Trim Edge Cases juga 17 kembali palsu; 18 19 if(crossing) ( // Semak sama ada kita perlu menentukan titik persilangan 20 (*crossing)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z ]- prod1[Z]); 21 (*crossing)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 ) 23 24 kembali benar; 25)

Pelajaran dari siri "Algoritma Geometrik"

Hello pembaca yang dikasihi!

Jom terus kenal algoritma geometri. Dalam pelajaran lepas, kami mendapati persamaan garis lurus dalam koordinat dua titik. Kami mempunyai persamaan bentuk:

Hari ini kita akan menulis fungsi yang, menggunakan persamaan dua garis lurus, akan mencari koordinat titik persilangan mereka (jika ada). Untuk menyemak kesamaan nombor nyata, kami akan menggunakan fungsi khas RealEq().

Titik pada satah diterangkan oleh sepasang nombor nyata. Apabila menggunakan jenis sebenar, adalah lebih baik untuk mengatur operasi perbandingan dengan fungsi khas.

Sebabnya diketahui: tidak ada hubungan pesanan pada jenis Real dalam sistem pengaturcaraan Pascal, jadi entri dalam bentuk a = b, di mana a dan b nombor nyata, lebih baik tidak digunakan.
Hari ini kami akan memperkenalkan fungsi RealEq() untuk melaksanakan operasi “=” (sangat sama):

Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulakan RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Satu tugas. Persamaan dua garis lurus diberikan: dan . Cari titik persimpangan mereka.

Penyelesaian. Penyelesaian yang jelas adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan garis: Mari kita tulis semula sistem ini sedikit berbeza:
(1)

Kami memperkenalkan notasi: , , . Di sini D ialah penentu sistem, dan merupakan penentu yang diperoleh dengan menggantikan lajur pekali untuk yang tidak diketahui sepadan dengan lajur sebutan bebas. Jika , maka sistem (1) adalah pasti, iaitu, ia mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini boleh didapati dengan formula berikut: , , yang dipanggil Formula Cramer. Biar saya ingatkan anda bagaimana penentu tertib kedua dikira. Penentu membezakan antara dua pepenjuru: utama dan sekunder. Diagonal utama terdiri daripada elemen yang diambil dalam arah dari sudut kiri atas penentu ke sudut kanan bawah. Diagonal sisi - dari kanan atas ke kiri bawah. Penentu tertib kedua adalah sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utama tolak hasil darab unsur pepenjuru sekunder.

Kod menggunakan fungsi RealEq() untuk menyemak kesamaan. Pengiraan ke atas nombor nyata dibuat dengan ketepatan sehingga _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(ketepatan pengiraan) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulakan RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Kami telah menyusun atur cara yang anda boleh, mengetahui persamaan garis, mencari koordinat titik persilangannya.