Cari persamaan menggunakan dua titik. Pelbagai Persamaan Garis

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

Selain itu, pemalar A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am bagi garis lurus. Bergantung pada nilai pemalar A, B dan C, kes khas berikut adalah mungkin:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – garis lurus melalui asalan

A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0) - garis lurus selari dengan paksi Lembu

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – garis lurus selari dengan paksi Oy

B = C = 0, A ≠0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Oy

A = C = 0, B ≠0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Lembu

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana keadaan awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, vektor dengan komponen (A, B) berserenjang dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) berserenjang dengan (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari pekali C, kita menggantikan koordinat titik A yang diberikan kepada ungkapan yang terhasil. 3 – 2 + C = 0, oleh itu, C = -1 . Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Biarkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik ini ialah:

Jika mana-mana penyebut sama dengan sifar, pengangka yang sepadan hendaklah sama dengan sifar Pada satah, persamaan garis yang ditulis di atas dipermudahkan:

jika x 1 ≠ x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan = k dipanggil cerun langsung.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus dari titik dan cerun

Jika jumlah Ax + Bu + C = 0, bawa kepada bentuk:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunank.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan takrif garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1, α 2), komponen yang memenuhi syarat A α 1 + B α 2 = 0 dipanggil vektor pengarah garis

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Selaras dengan definisi, pekali mesti memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita peroleh C/ A = -3, i.e. persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan –С, kita dapat: atau

Maksud geometri pekali ialah pekali A ialah koordinat titik persilangan garis dengan paksi Lembu, dan b– koordinat titik persilangan garis lurus dengan paksi Oy.

Contoh. Persamaan am bagi garis x – y + 1 = 0 diberikan. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + By + C = 0 didarab dengan nombor itu yang dipanggil faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan normal garis. Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Persamaan am bagi garis 12x – 5y – 65 = 0 diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan untuk garis ini.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

; cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus selari dengan paksi atau melalui asal koordinat.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada paksi koordinat. Tulis persamaan garis lurus jika luas segi tiga yang dibentuk oleh segmen ini ialah 8 cm 2.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus mempunyai bentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tulis persamaan untuk garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan asalan.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus ialah: , dengan x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Sudut antara garis lurus pada satah

Definisi. Jika dua garis diberi y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang jika k 1 = -1/ k 2.

Teorem. Garisan Ax + Bу + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 adalah selari apabila pekali A 1 = λA, B 1 = λB adalah berkadar. Jika juga C 1 = λC, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu

Definisi. Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis lurus y = kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garisan

Teorem. Jika titik M(x 0, y 0) diberi, maka jarak ke garis Ax + Bу + C = 0 ditentukan sebagai

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M ke garis lurus tertentu. Kemudian jarak antara titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 boleh didapati dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis yang melalui titik tertentu M 0 berserenjang dengan garis tertentu. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antara garisan: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Contoh. Tunjukkan bahawa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 adalah berserenjang.

Penyelesaian. Kita dapati: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, oleh itu, garis-garisnya adalah serenjang.

Contoh. Diberi ialah bucu bagi segi tiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Cari persamaan ketinggian yang dilukis dari bucu C.

Penyelesaian. Kami mencari persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diperlukan mempunyai bentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Kemudian y = . Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dari mana b = 17. Jumlah: .

Jawapan: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Garis yang melalui titik K(x 0 ; y 0) dan selari dengan garis y = kx + a didapati dengan rumus:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Di mana k ialah kecerunan garis.

Formula alternatif:
Garis yang melalui titik M 1 (x 1 ; y 1) dan selari dengan garis Ax+By+C=0 diwakili oleh persamaan

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Contoh No. 1. Tulis persamaan untuk garis lurus yang melalui titik M 0 (-2,1) dan pada masa yang sama:
a) selari dengan garis lurus 2x+3y -7 = 0;
b) berserenjang dengan garis lurus 2x+3y -7 = 0.
Penyelesaian . Mari kita bayangkan persamaan dengan cerun dalam bentuk y = kx + a. Untuk melakukan ini, alihkan semua nilai kecuali y ke sebelah kanan: 3y = -2x + 7 . Kemudian bahagikan bahagian kanan dengan faktor 3. Kami dapat: y = -2/3x + 7/3
Mari cari persamaan NK yang melalui titik K(-2;1), selari dengan garis lurus y = -2 / 3 x + 7 / 3
Menggantikan x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 kita dapat:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
atau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 atau 3y + 2x +1 = 0

Contoh No. 2. Tulis persamaan garis selari dengan garis 2x + 5y = 0 dan bentuk, bersama-sama dengan paksi koordinat, segitiga yang luasnya ialah 5.
Penyelesaian . Oleh kerana garisan adalah selari, persamaan garis yang dikehendaki ialah 2x + 5y + C = 0. Luas segi tiga tepat, dengan a dan b ialah kakinya. Mari cari titik persilangan garis yang dikehendaki dengan paksi koordinat:
;
.
Jadi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Mari kita gantikannya ke dalam formula untuk kawasan: . Kami mendapat dua penyelesaian: 2x + 5y + 10 = 0 dan 2x + 5y – 10 = 0.

Contoh No. 3. Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik (-2; 5) dan selari dengan garis 5x-7y-4=0.
Penyelesaian. Garis lurus ini boleh diwakili oleh persamaan y = 5 / 7 x – 4 / 7 (di sini a = 5 / 7). Persamaan garis yang dikehendaki ialah y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) atau 5x-7y+45=0 .

Contoh No. 4. Setelah menyelesaikan contoh 3 (A=5, B=-7) menggunakan formula (2), kita dapati 5(x+2)-7(y-5)=0.

Contoh No. 5. Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik (-2;5) dan selari dengan garis 7x+10=0.
Penyelesaian. Di sini A=7, B=0. Formula (2) memberikan 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Formula (1) tidak terpakai, kerana persamaan ini tidak boleh diselesaikan berkenaan dengan y (garis lurus ini selari dengan paksi ordinat).

Sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Bilangan garis lurus yang tidak terhingga boleh dilukis melalui mana-mana titik.

Melalui mana-mana dua titik tidak bertepatan satu garis lurus boleh dilukis.

Dua garis mencapah dalam satah sama ada bersilang pada satu titik atau berada

selari (mengikut dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat tiga pilihan untuk kedudukan relatif dua baris:

garis bersilang;

garisan selari;

garis lurus bersilang.

Lurus barisan— lengkung algebra tertib pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesan

diberikan pada satah oleh persamaan darjah pertama (persamaan linear).

Persamaan am garis lurus.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

dan berterusan A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil umum

persamaan garis lurus. Bergantung pada nilai pemalar A, B Dan DENGAN Kes khas berikut adalah mungkin:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui asalan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = C = 0, A ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

. A = C = 0, B ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana yang diberikan

syarat awal.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan, vektor dengan komponen (A, B)

berserenjang dengan garis yang diberikan oleh persamaan

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui suatu titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari pekali C

Mari kita gantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil Kita dapat: 3 - 2 + C = 0, oleh itu

C = -1. Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua mata diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dan M2 (x 2, y 2, z 2), Kemudian persamaan garis,

melalui titik-titik ini:

Jika mana-mana penyebut adalah sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar. hidup

satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k dipanggil cerun langsung.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kecerunan.

Jika persamaan am garis Ax + Wu + C = 0 membawa kepada:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil

persamaan garis lurus dengan kecerunan k.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan tugasan

garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi syarat

Aα 1 + Bα 2 = 0 dipanggil vektor arah garis lurus.

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Mengikut definisi,

pekali mesti memenuhi syarat berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

di x = 1, y = 2 kita dapat C/A = -3, iaitu persamaan yang diperlukan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan -С, kita dapat:

atau di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali a ialah koordinat titik persilangan

lurus dengan paksi Oh, A b- koordinat titik persilangan garis dengan paksi Oh.

Contoh. Persamaan am garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis.

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + Wu + C = 0 bahagi dengan nombor yang dipanggil

faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis.

Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ*C< 0.

r- panjang serenjang jatuh dari asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Oh.

Contoh. Persamaan am garis diberikan 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

Persamaan garis:

cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus,

selari dengan paksi atau melalui asalan.

Sudut antara garis lurus pada satah.

Definisi. Jika dua baris diberi y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini

akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Langsung Ax + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 selari apabila pekali adalah berkadar

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis

didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu.

Definisi. Garisan yang melalui satu titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Teorem. Jika mata diberi M(x 0, y 0), kemudian jarak ke garis lurus Ax + Wu + C = 0 ditakrifkan sebagai:

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1)- tapak serenjang jatuh dari satu titik M untuk diberikan

langsung. Kemudian jarak antara titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan pada 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 secara berserenjang

diberi garis lurus. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem terbukti.

Persamaan garis pada satah.

Seperti yang diketahui, sebarang titik pada satah ditentukan oleh dua koordinat dalam beberapa sistem koordinat. Sistem koordinat boleh berbeza bergantung pada pilihan asas dan asal.

Definisi. Persamaan garis dipanggil hubungan y = f(x) antara koordinat titik-titik yang membentuk garis ini.

Perhatikan bahawa persamaan garis boleh dinyatakan secara parametrik, iaitu, setiap koordinat setiap titik dinyatakan melalui beberapa parameter bebas. t.

Contoh biasa ialah trajektori titik bergerak. Dalam kes ini, peranan parameter dimainkan oleh masa.

Persamaan garis lurus pada satah.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

Selain itu, pemalar A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, i.e. A 2 + B 2  0. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am bagi garis lurus.

Bergantung pada nilai pemalar A, B dan C, kes khas berikut adalah mungkin:

C = 0, A  0, B  0 – garis lurus melalui asalan

A = 0, B  0, C  0 (Oleh + C = 0) - garis lurus selari dengan paksi Lembu

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – garis lurus selari dengan paksi Oy

B = C = 0, A  0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Oy

A = C = 0, B  0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Lembu

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana keadaan awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, vektor dengan komponen (A, B) berserenjang dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari pekali C, kita menggantikan koordinat titik A yang diberi ke dalam ungkapan yang terhasil.

Kami mendapat: 3 – 2 + C = 0, oleh itu C = -1.

Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik ini ialah:

Jika mana-mana penyebut adalah sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar.

Pada satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

jika x 1  x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan
=k dipanggil cerun langsung.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kecerunan.

Jika persamaan am garis lurus Ax + By + C = 0 dikurangkan kepada bentuk:

dan menetapkan
, maka persamaan yang terhasil dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunank.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan takrif garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar ( 1,  2), komponen yang memenuhi syarat A 1 + B 2 = 0 dipanggil vektor arah garis

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Selaras dengan definisi, pekali mesti memenuhi syarat:

1A + (-1)B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C/A = 0.

pada x = 1, y = 2 kita dapat C/A = -3, i.e. persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С 0, maka, membahagikan dengan –С, kita dapat:
atau

, Di mana

Maksud geometri bagi pekali ialah pekali A ialah koordinat titik persilangan garis dengan paksi Lembu, dan b– koordinat titik persilangan garis lurus dengan paksi Oy.

Contoh. Persamaan am bagi garis x – y + 1 = 0 diberi. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Persamaan normal garis.

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + By + C = 0 dibahagi dengan nombor
yang dipanggil faktor menormalkan, maka kita dapat

xcos + ysin - p = 0 –

persamaan normal garis.

Tanda  faktor normalisasi mesti dipilih supaya С< 0.

p ialah panjang serenjang yang dijatuhkan dari asal ke garis lurus, dan  ialah sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Lembu.

Contoh. Persamaan am bagi garis 12x – 5y – 65 = 0 diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan untuk garis ini.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

persamaan normal garis:

;

cos = 12/13; dosa = -5/13; p = 5.

Contoh. Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus selari dengan paksi atau melalui asal koordinat.

Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada paksi koordinat. Tulis persamaan garis lurus jika luas segi tiga yang dibentuk oleh segmen ini ialah 8 cm 2.
Persamaan garis lurus ialah:

, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 tidak sesuai mengikut keadaan masalah.
Jumlah:

Contoh. atau x + y – 4 = 0.

Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada paksi koordinat. Tulis persamaan garis lurus jika luas segi tiga yang dibentuk oleh segmen ini ialah 8 cm 2.
Tulis persamaan untuk garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan asalan.

, dengan x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Definisi. Sudut antara garis lurus pada satah.

Jika dua garis diberi y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis ini akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2.

Teorem. Dua garis adalah berserenjang jika k 1 = -1/k 2 . 1 Garis terus Ax + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 =  = 0 adalah selari apabila pekali A adalah berkadar 1 =  A, B 1 =  B. Jika juga C

C, maka garisan itu bertepatan.

Koordinat titik persilangan dua garis didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu

Definisi. berserenjang dengan garis ini.

Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis lurus y = kx + b diwakili oleh persamaan:

Teorem. Jarak dari titik ke garis. 0 Jika titik M(x) diberi 0 , y

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M ke garis lurus tertentu. Kemudian jarak antara titik M dan M 1:

Koordinat x 1 dan y 1 boleh didapati dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis yang melalui titik tertentu M 0 berserenjang dengan garis tertentu.

Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antara garisan: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;

Contoh. = /4.

Tunjukkan bahawa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 adalah berserenjang.

Contoh. Kita dapati: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, oleh itu, garis-garisnya adalah serenjang.

Diberi ialah bucu bagi segi tiga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Cari persamaan ketinggian yang dilukis dari bucu C.
Kami mencari persamaan sisi AB:

;

4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Persamaan ketinggian yang diperlukan mempunyai bentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b.
k =
. Kemudian y =
.

. Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini:

dari mana b = 17. Jumlah:

Jawapan: 3x + 2y – 34 = 0.

Geometri analitik dalam ruang.

Persamaan garis dalam ruang.

Persamaan garis dalam ruang diberi titik dan vektor arah. Mari kita ambil garis arbitrari dan vektor (m, n, p), selari dengan garis yang diberi. vektor langsung.

dipanggil

vektor panduan

Pada garis lurus kita mengambil dua titik sewenang-wenangnya M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dan M (x, y, z).

z M 1 Mari kita nyatakan vektor jejari titik-titik ini sebagai - =
.

Dan
M 1 , jelas sekali
= Kerana vektor

adalah kolinear, maka hubungannya adalah benar = + t, dengan t ialah beberapa parameter.

Secara keseluruhan, kita boleh menulis: t..

Kerana persamaan ini dipenuhi dengan koordinat mana-mana titik pada garis, maka persamaan yang terhasil ialah

persamaan parametrik garis

Definisi. Persamaan vektor ini boleh diwakili dalam bentuk koordinat: Dengan mengubah sistem ini dan menyamakan nilai parameter t, kita memperoleh persamaan kanonik garis lurus dalam ruang: Kosinus arah

;

.

langsung ialah kosinus arah bagi vektor

, yang boleh dikira menggunakan formula: Dari sini kita dapat: m: n: p = cos : cos : cos. Nombor m, n, p dipanggil pekali sudut

langsung. Kerana

ialah vektor bukan sifar, maka m, n dan p tidak boleh sama dengan sifar pada masa yang sama, tetapi satu atau dua nombor ini boleh sama dengan sifar. Dalam kes ini, dalam persamaan garis, pengangka yang sepadan harus ditetapkan sama dengan sifar.

Jika pada garis lurus dalam ruang kita menandakan dua titik sewenang-wenangnya M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka koordinat titik-titik ini mesti memenuhi persamaan garis lurus. diperolehi di atas:

Di samping itu, untuk titik M 1 kita boleh menulis:

Menyelesaikan persamaan ini bersama-sama, kita dapat:

Ini ialah persamaan garis yang melalui dua titik dalam ruang.

Persamaan am garis lurus dalam ruang.

Persamaan garis lurus boleh dianggap sebagai persamaan garis persilangan dua satah.

Seperti yang dibincangkan di atas, satah dalam bentuk vektor boleh ditentukan oleh persamaan:

+ D = 0, di mana

- pesawat biasa; - jejari ialah vektor titik arbitrari pada satah.

Persamaan kanonik bagi garis dalam ruang ialah persamaan yang mentakrifkan garisan yang melalui titik yang diberi kolinear ke vektor arah.

Biarkan satu titik dan vektor arah diberikan. Titik sewenang-wenangnya terletak pada garis l hanya jika vektor dan adalah kolinear, iaitu, syaratnya dipenuhi untuk mereka:

Persamaan di atas adalah persamaan kanonik bagi garis lurus.

Nombor m , n Dan hlm ialah unjuran vektor arah pada paksi koordinat. Oleh kerana vektor bukan sifar, maka semua nombor m , n Dan hlm tidak boleh serentak sama dengan sifar. Tetapi satu atau dua daripadanya mungkin menjadi sifar. Dalam geometri analitik, sebagai contoh, entri berikut dibenarkan:

yang bermaksud bahawa unjuran vektor pada paksi Oy Dan Oz adalah sama dengan sifar. Oleh itu, kedua-dua vektor dan garis yang ditakrifkan oleh persamaan kanonik adalah berserenjang dengan paksi Oy Dan Oz, iaitu kapal terbang yOz .

Contoh 1. Tulis persamaan untuk garis dalam ruang berserenjang dengan satah dan melalui titik persilangan satah ini dengan paksi Oz .

Penyelesaian. Mari kita cari titik persilangan satah ini dengan paksi Oz. Sejak mana-mana titik terletak pada paksi Oz, mempunyai koordinat , maka, dengan andaian dalam persamaan satah yang diberikan x = y = 0, kita dapat 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh itu, titik persilangan satah ini dengan paksi Oz mempunyai koordinat (0; 0; 2) . Oleh kerana garis yang dikehendaki berserenjang dengan satah, ia adalah selari dengan vektor normalnya. Oleh itu, vektor arah garis lurus boleh menjadi vektor normal kapal terbang yang diberi.

Sekarang mari kita tuliskan persamaan yang diperlukan bagi garis lurus yang melalui titik A= (0; 0; 2) dalam arah vektor:

Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus boleh ditakrifkan oleh dua titik yang terletak di atasnya Dan Dalam kes ini, vektor arah garis lurus boleh menjadi vektor . Kemudian persamaan kanonik garisan itu mengambil bentuk

Persamaan di atas menentukan garis yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2. Tulis persamaan untuk garis dalam ruang yang melalui titik dan .

Penyelesaian. Mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang diperlukan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam rujukan teori:

Oleh kerana , maka garis lurus yang dikehendaki adalah berserenjang dengan paksi Oy .

Lurus sebagai garis persilangan satah

Garis lurus dalam ruang boleh ditakrifkan sebagai garis persilangan dua satah tidak selari dan, iaitu, sebagai satu set titik yang memenuhi sistem dua persamaan linear

Persamaan sistem juga dipanggil persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3. Susun persamaan kanonik bagi garis dalam ruang yang diberikan oleh persamaan am

Penyelesaian. Untuk menulis persamaan kanonik garis atau, apakah perkara yang sama, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, anda perlu mencari koordinat mana-mana dua titik pada garisan. Mereka boleh menjadi titik persilangan garis lurus dengan mana-mana dua satah koordinat, sebagai contoh yOz Dan xOz .

Titik persilangan garis dan satah yOz mempunyai absis x= 0 . Oleh itu, andaikan dalam sistem persamaan ini x= 0, kita mendapat sistem dengan dua pembolehubah:

keputusan dia y = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mentakrifkan satu titik A(0; 2; 6) baris yang dikehendaki. Kemudian andaikan dalam sistem persamaan yang diberikan y= 0, kita mendapat sistem

keputusan dia x = -2 , z= 0 bersama-sama dengan y= 0 mentakrifkan satu titik B(-2; 0; 0) persilangan garis dengan satah xOz .

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis yang melalui titik A(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

atau selepas membahagikan penyebutnya dengan -2: