Cari kebarangkalian peristiwa yang ditentukan menggunakan formula Bernoulli. Skim Bernoulli

Jangan berfikir tentang yang tinggi untuk masa yang lama - mari kita mulakan segera dengan definisi.

- ini adalah apabila n eksperimen bebas daripada jenis yang sama dilakukan, di mana setiap satu peristiwa A yang menarik minat kita mungkin muncul, dan kebarangkalian peristiwa ini P (A) \u003d p diketahui. Ia diperlukan untuk menentukan kebarangkalian bahawa peristiwa A akan berlaku tepat k kali semasa n percubaan.

Tugasan yang diselesaikan mengikut skema Bernoulli sangat pelbagai: daripada yang mudah (seperti "cari kebarangkalian bahawa penembak mencecah 1 kali daripada 10") kepada yang sangat teruk (contohnya, tugas untuk peratusan atau bermain kad) . Pada hakikatnya, skim ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kawalan kualiti produk dan kebolehpercayaan pelbagai mekanisme, yang semua cirinya mesti diketahui sebelum memulakan kerja.

Mari kita kembali kepada definisi. Oleh kerana kita bercakap tentang percubaan bebas, dan dalam setiap percubaan kebarangkalian peristiwa A adalah sama, hanya dua hasil yang mungkin:

A ialah kejadian peristiwa A dengan kebarangkalian p;
"bukan A" - peristiwa A tidak muncul, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − p.

Keadaan yang paling penting tanpanya skim Bernoulli kehilangan maknanya ialah keteguhan. Tidak kira berapa banyak eksperimen yang kita jalankan, kita berminat dengan peristiwa A yang sama, yang berlaku dengan kebarangkalian p yang sama.

Secara kebetulan, tidak semua masalah dalam teori kebarangkalian boleh dikurangkan kepada keadaan malar. Mana-mana tutor yang cekap dalam matematik yang lebih tinggi akan memberitahu anda tentang perkara ini. Malah sesuatu yang mudah seperti memilih bola berwarna daripada kotak bukanlah percubaan dengan keadaan tetap. Mereka mengeluarkan bola lain - nisbah warna dalam kotak berubah. Oleh itu, kebarangkalian juga telah berubah.

Jika keadaan adalah malar, seseorang boleh menentukan dengan tepat kebarangkalian peristiwa A akan berlaku tepat k kali daripada n yang mungkin. Kami merumuskan fakta ini dalam bentuk teorem:

Biarkan kebarangkalian kejadian A dalam setiap eksperimen adalah malar dan sama dengan p. Maka kebarangkalian bahawa dalam n percubaan bebas peristiwa A akan muncul tepat k kali dikira dengan formula:

dengan C n k ialah bilangan gabungan, q = 1 − p.

Formula ini dipanggil: Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah di bawah diselesaikan sepenuhnya tanpa menggunakan formula ini. Sebagai contoh, anda boleh menggunakan formula penambahan kebarangkalian. Walau bagaimanapun, jumlah pengiraan akan menjadi tidak realistik.

Satu tugas. Kebarangkalian untuk menghasilkan produk yang rosak pada mesin ialah 0.2. Tentukan kebarangkalian bahawa dalam kumpulan sepuluh bahagian yang dihasilkan pada mesin tertentu dengan tepat k akan tanpa kecacatan. Selesaikan masalah untuk k = 0, 1, 10.

Dengan syarat, kami berminat dengan peristiwa A keluaran produk tanpa kecacatan, yang berlaku setiap kali dengan kebarangkalian p = 1 − 0.2 = 0.8. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa peristiwa ini akan berlaku k kali. Acara A menentang acara "bukan A", i.e. pengeluaran produk yang rosak.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 10; p=0.8; q = 0.2.

Jadi, kita dapati kebarangkalian bahawa semua bahagian dalam kumpulan itu rosak (k = 0), bahawa hanya satu bahagian yang rosak (k = 1), dan tiada bahagian yang rosak sama sekali (k = 10):

Satu tugas. Syiling dilambung 6 kali. Kehilangan jata dan ekor adalah sama berkemungkinan. Cari kebarangkalian bahawa:

jata akan jatuh tiga kali;

jata akan jatuh sekali;

jata akan muncul sekurang-kurangnya dua kali.

Jadi, kami tertarik dengan acara A, apabila jata itu jatuh. Kebarangkalian kejadian ini ialah p = 0.5. Peristiwa A dilawan dengan peristiwa “bukan A”, apabila ia muncul ekor, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − 0.5 = 0.5. Ia adalah perlu untuk menentukan kebarangkalian bahawa jata akan gugur k kali.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

Mari kita tentukan kebarangkalian jata itu jatuh tiga kali, i.e. k = 3:

Sekarang mari kita tentukan kebarangkalian bahawa jata itu jatuh sekali sahaja, i.e. k = 1:

Ia kekal untuk menentukan dengan kebarangkalian jata itu akan gugur sekurang-kurangnya dua kali. Halangan utama adalah dalam frasa "tidak kurang". Ternyata mana-mana k, kecuali 0 dan 1, akan sesuai dengan kita, i.e. anda perlu mencari nilai jumlah X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Ambil perhatian bahawa jumlah ini juga sama dengan (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), i.e. daripada semua pilihan yang mungkin, sudah cukup untuk "memotong" mereka apabila jata jatuh 1 kali (k = 1) atau tidak jatuh sama sekali (k = 0). Oleh kerana P 6 (1) kita sudah tahu, ia masih perlu mencari P 6 (0):

Satu tugas. Kebarangkalian bahawa TV mempunyai kecacatan tersembunyi ialah 0.2. Gudang menerima 20 TV. Acara manakah yang lebih berkemungkinan: terdapat dua TV dengan kecacatan tersembunyi dalam kumpulan ini atau tiga?

Peristiwa kepentingan A ialah kehadiran kecacatan terpendam. Jumlah TV n = 20, kebarangkalian kecacatan tersembunyi p = 0.2. Sehubungan itu, kebarangkalian untuk mendapatkan set TV tanpa kecacatan tersembunyi ialah q = 1 − 0.2 = 0.8.

Kami mendapat syarat permulaan untuk skema Bernoulli: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

Mari cari kebarangkalian mendapat dua TV "cacat" (k = 2) dan tiga (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Jelas sekali, P 20 (3) > P 20 (2), i.e. kebarangkalian mendapat tiga TV dengan kecacatan tersembunyi lebih berkemungkinan mendapat hanya dua TV sedemikian. Lebih-lebih lagi, perbezaannya tidak lemah.

Nota kecil tentang faktorial. Ramai orang mengalami rasa tidak selesa yang samar-samar apabila melihat entri "0!" (baca "faktorial sifar"). Jadi, 0! = 1 mengikut takrifan.

P.S. Dan kebarangkalian terbesar dalam tugasan terakhir ialah mendapatkan empat TV dengan kecacatan tersembunyi. Buat matematik dan lihat sendiri.

Lihat juga:

Terima kasih kerana membaca dan berkongsi dengan orang lain

Apabila menyelesaikan masalah kebarangkalian, seseorang sering menghadapi situasi di mana percubaan yang sama diulang berkali-kali dan keputusan setiap percubaan adalah bebas daripada keputusan yang lain. Eksperimen ini juga dipanggil skema ujian bebas berulang atau Skim Bernoulli.

Contoh ujian semula:

1) beberapa pengekstrakan satu bola dari urn, dengan syarat bola yang dikeluarkan selepas pendaftaran warnanya dimasukkan semula ke dalam urn;

2) pengulangan oleh satu penembak pukulan pada sasaran yang sama, dengan syarat kebarangkalian pukulan yang berjaya dengan setiap pukulan dianggap sama (peranan sifar tidak diambil kira).

Jadi, biarkan sebagai hasil ujian mungkin dua hasil: sama ada acara akan muncul TAPI, atau peristiwa sebaliknya. Mari kita laksanakan percubaan Bernoulli. Ini bermakna semua n percubaan adalah bebas; kebarangkalian berlakunya peristiwa $A$ dalam setiap individu atau ujian tunggal adalah malar dan tidak berubah dari ujian ke ujian (iaitu, ujian dijalankan di bawah keadaan yang sama). Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian $A$ dalam satu percubaan dengan huruf $p$, i.e. $p=P(A)$, dan kebarangkalian kejadian yang bertentangan (peristiwa $A$ tidak berlaku) diberikan oleh huruf $q=P(\overline(A))=1-p$.

Kemudian kebarangkalian bahawa peristiwa itu TAPI akan muncul dalam ini n ujian dengan tepat k kali, dinyatakan Formula Bernoulli

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Taburan bilangan kejayaan (kejadian sesuatu peristiwa) dipanggil taburan binomial.

Kalkulator dalam talian untuk formula Bernoulli

Beberapa jenis masalah yang paling popular yang menggunakan formula Bernoulli dianalisis dalam artikel dan disediakan dengan kalkulator dalam talian, anda boleh pergi ke mereka menggunakan pautan:

Contoh penyelesaian kepada masalah pada formula Bernoulli

Contoh. Sebuah guci mengandungi 20 bola putih dan 10 bola hitam. 4 biji bola dikeluarkan, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke dalam urn sebelum bola yang berikutnya ditarik dan bola dalam urn digaul.

Formula Bernoulli. Penyelesaian masalah

Cari kebarangkalian bahawa 2 daripada 4 bola yang dilukis berwarna putih.

Penyelesaian. Peristiwa TAPI- mendapat bola putih. Kemudian kebarangkalian
, .
Menurut formula Bernoulli, kebarangkalian yang diperlukan ialah
.

Contoh. Tentukan kebarangkalian bahawa sebuah keluarga yang mempunyai 5 orang anak akan mempunyai tidak lebih daripada 3 orang perempuan. Kebarangkalian untuk mempunyai anak lelaki dan perempuan diandaikan sama.

Penyelesaian. Kebarangkalian mempunyai anak perempuan
, kemudian .

Mari cari kebarangkalian bahawa tiada kanak-kanak perempuan dalam keluarga, satu, dua atau tiga kanak-kanak perempuan dilahirkan:

, ,

, .

Oleh itu, kebarangkalian yang dikehendaki

Contoh. Antara bahagian yang diproses oleh pekerja, terdapat purata 4% bukan standard. Cari kebarangkalian bahawa dua daripada 30 bahagian yang diambil untuk ujian adalah bukan piawai.

Penyelesaian. Di sini pengalaman terletak pada memeriksa setiap satu daripada 30 bahagian untuk kualiti.

Peristiwa A ialah "kemunculan bahagian bukan piawai", kebarangkaliannya ialah , kemudian . Dari sini, dengan formula Bernoulli, kita dapati
.

Contoh. Bagi setiap tembakan individu daripada pistol, kebarangkalian untuk mengenai sasaran ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa daripada 20 pukulan bilangan pukulan yang berjaya adalah sekurang-kurangnya 16 dan paling banyak 19.

Penyelesaian. Kami mengira dengan formula Bernoulli:

Contoh. Percubaan bebas berterusan sehingga acara TAPI tidak akan berlaku k sekali. Cari kebarangkalian yang akan diambil n percubaan (n ³ k), jika dalam setiap daripadanya .

Penyelesaian. Peristiwa AT- betul-betul n ujian sebelum ini k-kejadian kejadian yang ke- TAPI adalah hasil daripada dua peristiwa berikut:

D-in n ujian ke TAPI berlaku;

C - pertama (n–1) ujian ke TAPI muncul (k-1) sekali.

Teorem pendaraban dan formula Bernoulli memberikan kebarangkalian yang diperlukan:

Perlu diingatkan bahawa penggunaan hukum binomial sering dikaitkan dengan kesukaran pengiraan. Oleh itu, dengan peningkatan nilai n dan m ia menjadi suai manfaat untuk menggunakan formula anggaran (Poisson, Moivre-Laplace), yang akan dibincangkan dalam bahagian berikut.

Tutorial video formula Bernoulli

Bagi mereka yang lebih visual dalam penjelasan video berurutan, video 15 minit:

Formula Kebarangkalian Jumlah: Teori dan Contoh Penyelesaian Masalah

Jumlah formula kebarangkalian dan kebarangkalian bersyarat kejadian

Jumlah Formula Kebarangkalian adalah akibat daripada peraturan asas teori kebarangkalian - peraturan penambahan dan peraturan pendaraban.

Jumlah formula kebarangkalian membolehkan anda mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa A, yang boleh berlaku hanya dengan setiap n peristiwa saling eksklusif yang membentuk sistem lengkap jika kebarangkalian mereka diketahui, dan kebarangkalian bersyarat perkembangan A berkenaan dengan setiap peristiwa sistem adalah sama dengan .

Peristiwa juga dipanggil hipotesis, ia adalah saling eksklusif. Oleh itu, dalam kesusasteraan anda juga boleh mencari sebutan mereka bukan dengan huruf B, tetapi dengan surat H(hipotesis).

Untuk menyelesaikan masalah dengan keadaan sedemikian, adalah perlu untuk mempertimbangkan 3, 4, 5, atau dalam kes umum n kemungkinan sesuatu peristiwa A dengan setiap peristiwa.

Dengan menggunakan teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian, kita memperoleh hasil tambah hasil kebarangkalian setiap kejadian sistem dengan kebarangkalian bersyarat perkembangan A untuk setiap kejadian dalam sistem.

21 Percubaan Bernoulli. Formula Bernoulli

Iaitu, kebarangkalian sesuatu kejadian A boleh dikira dengan formula

atau secara umum

yang dipanggil jumlah formula kebarangkalian .

Jumlah formula kebarangkalian: contoh penyelesaian masalah

Contoh 1 Terdapat tiga tempayan yang kelihatan sama: dalam yang pertama terdapat 2 bola putih dan 3 bola hitam, dalam yang kedua terdapat 4 yang putih dan satu hitam, dalam yang ketiga terdapat tiga bola putih. Seseorang secara rawak menghampiri salah satu guci dan mengeluarkan satu bola daripadanya. Mengambil kesempatan jumlah formula kebarangkalian, cari kebarangkalian bahawa bola itu berwarna putih.

Penyelesaian. Peristiwa A- rupa bola putih. Kami mengemukakan tiga hipotesis:

— guci pertama dipilih;

- guci kedua dipilih;

— guci ketiga dipilih.

Kebarangkalian peristiwa bersyarat A bagi setiap hipotesis:

, , .

Kami menggunakan jumlah formula kebarangkalian, sebagai hasilnya - kebarangkalian yang diperlukan:

Contoh 2 Di loji pertama, daripada setiap 100 mentol lampu, purata 90 mentol standard dihasilkan, pada kedua - 95, pada ketiga - 85, dan pengeluaran kilang ini masing-masing adalah 50%, 30% dan 20% daripada semua mentol elektrik yang dibekalkan ke kedai-kedai di kawasan tertentu. Cari kebarangkalian untuk membeli mentol lampu standard.

Penyelesaian. Mari kita nyatakan kebarangkalian memperoleh mentol lampu standard sebagai A, dan peristiwa mentol lampu yang dibeli telah dihasilkan di kilang pertama, kedua dan ketiga, melalui . Mengikut syarat, kebarangkalian kejadian ini diketahui: , , dan kebarangkalian bersyarat bagi kejadian tersebut A mengenai setiap daripada mereka: , , . Ini adalah kebarangkalian untuk memperoleh mentol lampu standard, dengan syarat ia dihasilkan di kilang pertama, kedua dan ketiga, masing-masing.

Peristiwa A akan berlaku jika sesuatu kejadian berlaku atau K– mentol lampu dibuat di kilang pertama dan adalah standard, atau acara L- mentol lampu dibuat di kilang kedua dan adalah standard, atau acara M- mentol lampu dihasilkan di kilang ketiga dan adalah standard.

Kemungkinan lain untuk berlakunya acara tersebut A tidak. Oleh itu, acara A ialah jumlah peristiwa K, L dan M yang tidak serasi. Menggunakan teorem penambahan kebarangkalian, kami mewakili kebarangkalian sesuatu peristiwa A sebagai

dan dengan teorem pendaraban kebarangkalian yang kita dapat

itu dia, kes khas bagi jumlah formula kebarangkalian.

Menggantikan kebarangkalian ke sebelah kiri formula, kita memperoleh kebarangkalian kejadian itu A:

Tiada masa untuk mendalami penyelesaiannya? Anda boleh memesan kerja!

Contoh 3 Pesawat itu mendarat di lapangan terbang. Jika cuaca membenarkan, juruterbang mendaratkan pesawat, menggunakan, sebagai tambahan kepada instrumen, juga pemerhatian visual. Dalam kes ini, kebarangkalian pendaratan yang berjaya ialah . Jika lapangan terbang mendung dengan awan rendah, maka juruterbang mendaratkan pesawat, mengarahkan dirinya hanya pada instrumen. Dalam kes ini, kebarangkalian pendaratan yang berjaya ialah ; .

Peranti yang menyediakan pendaratan buta mempunyai kebolehpercayaan (kebarangkalian operasi tanpa kegagalan) P. Dengan kehadiran kekeruhan rendah dan instrumen pendaratan buta yang gagal, kebarangkalian pendaratan yang berjaya ialah ; . Statistik menunjukkan bahawa dalam k% daripada pendaratan, lapangan terbang ditutup dengan awan rendah. Cari kebarangkalian penuh peristiwa ituA- selamat mendarat pesawat.

Penyelesaian. Hipotesis:

- tiada awan rendah;

- Terdapat litupan awan yang rendah.

Kebarangkalian hipotesis ini (peristiwa):

;

Kebarangkalian Bersyarat.

Kebarangkalian bersyarat sekali lagi ditemui oleh formula untuk jumlah kebarangkalian dengan hipotesis

- peranti pendaratan buta berfungsi;

- peranti pendaratan buta gagal.

Kebarangkalian hipotesis ini ialah:

Mengikut jumlah formula kebarangkalian

Contoh 4 Peranti boleh beroperasi dalam dua mod: normal dan tidak normal. Mod biasa diperhatikan dalam 80% daripada semua kes operasi peranti, dan tidak normal - dalam 20% kes. Kebarangkalian kegagalan peranti dalam masa tertentu t sama dengan 0.1; dalam abnormal 0.7. Cari kebarangkalian penuh kegagalan peranti dalam masa t.

Penyelesaian. Kami sekali lagi menyatakan kebarangkalian kegagalan peranti sebagai A. Jadi, mengenai pengendalian peranti dalam setiap mod (peristiwa), kebarangkalian diketahui mengikut keadaan: untuk mod biasa ialah 80% (), untuk mod tidak normal - 20% (). Kebarangkalian Peristiwa A(iaitu, kegagalan peranti) bergantung pada peristiwa pertama (mod biasa) ialah 0.1 (); bergantung pada peristiwa kedua (mod tidak normal) - 0.7 ( ). Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah formula kebarangkalian (iaitu, jumlah hasil darab kebarangkalian setiap peristiwa sistem dan kebarangkalian bersyarat kejadian itu A berkenaan dengan setiap peristiwa sistem) dan kami mempunyai hasil yang diperlukan.

Jangan berfikir tentang yang tinggi untuk masa yang lama - mari kita mulakan segera dengan definisi.

Skim Bernoulli ialah apabila n eksperimen bebas daripada jenis yang sama dilakukan, di mana setiap satu peristiwa yang menarik minat kita A mungkin muncul, dan kebarangkalian peristiwa ini diketahui P (A) \u003d p. Ia diperlukan untuk menentukan kebarangkalian bahawa peristiwa A akan berlaku tepat k kali semasa n percubaan.

Mari kita kembali kepada definisi. Oleh kerana kita bercakap tentang percubaan bebas, dan dalam setiap percubaan kebarangkalian peristiwa A adalah sama, hanya dua hasil yang mungkin:

A ialah kejadian peristiwa A dengan kebarangkalian p;
"bukan A" - peristiwa A tidak muncul, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − p.

Jika keadaan adalah malar, seseorang boleh menentukan dengan tepat kebarangkalian peristiwa A akan berlaku tepat k kali daripada n yang mungkin. Kami merumuskan fakta ini dalam bentuk teorem:

Teorem Bernoulli. Biarkan kebarangkalian kejadian A dalam setiap eksperimen adalah malar dan sama dengan p. Maka kebarangkalian bahawa dalam n percubaan bebas peristiwa A akan muncul tepat k kali dikira dengan formula:

dengan C n k ialah bilangan gabungan, q = 1 − p.

Formula ini dipanggil formula Bernoulli. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah di bawah diselesaikan sepenuhnya tanpa menggunakan formula ini. Sebagai contoh, anda boleh menggunakan formula penambahan kebarangkalian. Walau bagaimanapun, jumlah pengiraan akan menjadi tidak realistik.

Satu tugas. Kebarangkalian untuk menghasilkan produk yang rosak pada mesin ialah 0.2. Tentukan kebarangkalian bahawa dalam kumpulan sepuluh bahagian yang dihasilkan pada mesin tertentu dengan tepat k akan tanpa kecacatan. Selesaikan masalah untuk k = 0, 1, 10.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 10; p=0.8; q = 0.2.

Jadi, kita dapati kebarangkalian bahawa semua bahagian dalam kumpulan itu rosak (k = 0), bahawa hanya satu bahagian yang rosak (k = 1), dan tiada bahagian yang rosak sama sekali (k = 10):

Satu tugas. Syiling dilambung 6 kali. Kehilangan jata dan ekor adalah sama berkemungkinan. Cari kebarangkalian bahawa:

jata akan jatuh tiga kali;

jata akan jatuh sekali;

jata akan muncul sekurang-kurangnya dua kali.

Jadi, kami tertarik dengan acara A apabila jata jatuh. Kebarangkalian kejadian ini ialah p = 0.5. Peristiwa A dilawan dengan peristiwa “bukan A”, apabila ia muncul ekor, yang berlaku dengan kebarangkalian q = 1 − 0.5 = 0.5. Ia adalah perlu untuk menentukan kebarangkalian bahawa jata akan gugur k kali.

Oleh itu, kita mempunyai: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

Mari kita tentukan kebarangkalian jata itu jatuh tiga kali, i.e. k = 3:

Sekarang mari kita tentukan kebarangkalian bahawa jata itu jatuh sekali sahaja, i.e. k = 1:

Ia kekal untuk menentukan dengan kebarangkalian jata itu akan gugur sekurang-kurangnya dua kali. Halangan utama adalah dalam frasa "tidak kurang". Ternyata mana-mana k akan sesuai dengan kita, kecuali 0 dan 1, i.e. anda perlu mencari nilai jumlah X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Satu tugas. Kebarangkalian bahawa TV mempunyai kecacatan tersembunyi ialah 0.2. Gudang menerima 20 TV. Acara manakah yang lebih berkemungkinan: terdapat dua TV dengan kecacatan tersembunyi dalam kumpulan ini atau tiga?

Kami mendapat syarat permulaan untuk skema Bernoulli: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

Mari cari kebarangkalian mendapat dua TV "cacat" (k = 2) dan tiga (k = 3):

Jelas sekali, P 20 (3) > P 20 (2), i.e. kebarangkalian mendapat tiga TV dengan kecacatan tersembunyi lebih berkemungkinan mendapat hanya dua TV sedemikian. Lebih-lebih lagi, perbezaannya tidak lemah.

Nota kecil tentang faktorial. Ramai orang mengalami rasa tidak selesa yang samar-samar apabila melihat entri "0!" (baca "faktorial sifar"). Jadi, 0! = 1 mengikut takrifan.

P. S. Dan kebarangkalian terbesar dalam tugas terakhir adalah untuk mendapatkan empat TV dengan kecacatan tersembunyi. Buat matematik dan lihat sendiri.

Sebelum membentangkan soalan ketiga kuliah, guru menunjukkan masalah yang memerlukan pertimbangan teorem mengenai pengulangan eksperimen, sambil menyatakan bahawa dalam perjalanan teori kebarangkalian yang sedang dikaji, hanya teorem tertentu akan dipertimbangkan berkaitan dengan pengulangan. eksperimen bebas, di mana setiap satu peristiwa A muncul dengan kebarangkalian malar.

Kemudian guru menunjukkan bukti teorem ini (terbitan formula Bernoulli).

Untuk menerangkan intipati fizikal teorem yang sedang dipertimbangkan, guru menggunakan projektor atas kepala dan slaid yang disediakan.

Pada akhir kuliah, guru menerangkan mengapa taburan kebarangkalian kejadian A dalam satu siri n percubaan, dalam keadaan di mana ia tidak serasi dan membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap, dipanggil binomial dan menarik perhatian kepada kepentingan mengetahui taburan ini untuk menyelesaikan masalah yang digunakan.

Setakat ini, kami telah mempertimbangkan gabungan bilangan peristiwa yang agak kecil, apabila penggunaan langsung peraturan penambahan dan pendaraban kebarangkalian tidak menyebabkan kesukaran pengiraan yang besar. Walau bagaimanapun, dengan peningkatan dalam bilangan peristiwa atau bilangan percubaan di mana peristiwa yang menarik minat kita mungkin muncul, kaedah pengiraan yang dikaji menjadi sangat rumit.

Dalam kes ini, masalah itu diselesaikan dengan mudah hanya jika eksperimen itu bebas.

Beberapa eksperimen dipanggil bebas, jika kebarangkalian satu atau satu lagi hasil bagi setiap eksperimen tidak bergantung pada hasil eksperimen yang lain.

Dalam amalan, terdapat kes apabila kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku TAPI dalam semua eksperimen bebas boleh sama ada sama atau berubah dari pengalaman ke pengalaman. Sebagai contoh, apabila melaraskan api selepas setiap pukulan, kebarangkalian mengenai sasaran dengan setiap pukulan akan berubah.

Dalam kes apabila dalam eksperimen bebas kebarangkalian berlakunya peristiwa daripada pengalaman kepada pengalaman berubah, teorem umum pengulangan eksperimen digunakan, dan apabila dalam eksperimen bebas kebarangkalian kejadian tidak berubah daripada pengalaman. untuk mengalami, teorem tertentu tentang pengulangan eksperimen digunakan.

Dalam perjalanan teori kebarangkalian yang sedang kita pelajari, kita akan mempertimbangkan hanya istilah tertentu tentang pengulangan eksperimen, apabila perlu untuk menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku. TAPI dalam satu siri n eksperimen bebas, dalam setiap kejadian A berlaku dengan kebarangkalian yang sama.

Sebagai contoh, adalah perlu untuk mengira kebarangkalian bahawa dengan lima tembakan daripada pistol pada tetapan tetap, tepat dua pukulan akan diterima pada sasaran, jika tembakan adalah bebas dan kebarangkalian mengenai sasaran diketahui dan tidak berubah selama setiap pukulan.

Jika kita membuat gabungan kemungkinan berlakunya peristiwa yang menarik minat kita A 1, maka kita mendapat:

Terdapat 10 kemungkinan kombinasi di mana peristiwa A = (dapat 2 hits dengan lima pukulan) akan berlaku.

Menggunakan teorem pada jumlah dan hasil darab peristiwa bebas, kita akan mempunyai:

Peningkatan dalam bilangan peristiwa yang menarik minat kami atau bilangan ujian akan membawa kepada peningkatan yang lebih besar dalam jumlah operasi pengiraan, jadi masalah timbul untuk mencari kaedah pengiraan yang memakan masa yang kurang.

Rumusan masalah:

Biarkan ia diandaikan dalam keadaan yang sama untuk menjalankan n ujian bebas, keputusan setiap satunya mungkin permulaan atau peristiwa TAPI, atau sebaliknya .

Nyatakan dengan TAPI 1 berlakunya sesuatu peristiwa TAPI pada ujian pertama, TAPI 2 - pada ujian kedua, TAPI n- pada ujian terakhir.

Disebabkan oleh keteguhan keadaan ujian:

P(A 1 ) = P(A 2 ) = … P(A n ) = hlm

Kami berminat dengan kebarangkalian bahawa peristiwa A akan berlaku tepat sekali semasa n percubaan, dan tidak akan berlaku dalam baki n-m percubaan (iaitu, peristiwa yang bertentangan dengan peristiwa A akan berlaku - ).

Marilah kita menganggap bahawa peristiwa itu menarik minat kita TAPI berlaku berturut-turut m kali, bermula dari yang pertama, i.e. sesuatu peristiwa berlaku E.

E= A 1 TAPI 2 … TETAPI m -1 TAPI m 
(1)

m n- m

Mengikut keadaan ulangan ujian, peristiwa yang termasuk dalam gabungan ini adalah bebas, manakala kebarangkalian kejadian A 1 , TAPI 2 ,… TETAPI m -1 , TETAPI m sama dan sama p: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= P(A m ) = p, dan kebarangkalian tidak berlakunya peristiwa
adalah sama dan sama q=1-r:.

Menggunakan peraturan pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas kepada ungkapan 1, kita dapat:

P(E) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P(A m -1 ) P(A m ) R(
= hlm m (1-r) n  - m = hlm m q n - m

Disebabkan oleh keteguhan syarat ujian, kami menganggap bahawa peristiwa itu menarik minat kami TAPI berlaku berturut-turut m kali, bermula dari yang pertama. Tetapi peristiwa itu TAPI dalam n ujian boleh datang tepat m kali dalam pelbagai urutan atau gabungan. Pada masa yang sama, kami tidak peduli dalam urutan tertentu peristiwa A muncul dengan tepat m sekali.

Bilangan gabungan tersebut adalah sama dengan bilangan gabungan daripada n unsur oleh m.

Memandangkan gabungan peristiwa ini (seperti gabungan E) tidak serasi dan kami tidak berminat dengan urutan kejadian peristiwa TAPI betul-betul dalam ujian m kali, kemudian menandakan kebarangkalian minat kepada kita melalui R m, kita mendapatkan:

R m =
R m (1-r) n - m =
=

di mana
- bilangan gabungan daripada n unsur oleh m.

Formula ini dinamakan sempena formula Bernoulli.

Formula Bernoulli membolehkan anda mendapatkan jawapan kepada soalan: apakah kebarangkalian bahawa, apabila mengulangi n percubaan bebas, beberapa peristiwa TAPI datang tepat m kali jika dalam setiap percubaan ini kebarangkalian kejadian itu berlaku adalah TAPI tetap dan sama P(A) = p.

Formula Bernoulli di atas adalah sangat penting dalam teori kebarangkalian kerana ia dikaitkan dengan pengulangan ujian di bawah keadaan yang sama, i.e. dengan keadaan sedemikian di mana undang-undang teori kebarangkalian nyata.

Kesimpulan kuliah:

Dalam kuliah, kami mempertimbangkan isu-isu asas teori kebarangkalian berhubung dengan pembolehubah rawak, memperkenalkan radas konseptual asas yang diperlukan untuk kajian lanjut tentang disiplin: definisi pembolehubah rawak, klasifikasinya; konsep hukum taburan dan bentuknya untuk pelbagai jenis pembolehubah rawak.

Sebagai persediaan untuk kuliah dan latihan amali seterusnya, anda harus menambah nota kuliah anda secara bebas dengan kajian mendalam tentang literatur yang disyorkan dan menyelesaikan masalah yang dicadangkan.

Di samping itu, dalam pelajaran seterusnya, kita akan mengkaji teorem dan kebergantungan yang membolehkan kita menentukan kebarangkalian pembolehubah rawak berlaku bilangan kali yang diperlukan atau pada selang waktu tertentu, sebagai contoh, kebarangkalian untuk mencapai sasaran.

Meneroka:

Wentzel E.S. Teori Kebarangkalian. Buku teks. Edisi kelapan, stereotaip. - M .: Sekolah Tinggi, 2002 - 575 p. – ms 67-78, 80-84

Venttsel E.S., Ovcharov L.A. Teori kebarangkalian dan aplikasi kejuruteraannya. Tutorial. Edisi ketiga, disemak dan diperbesarkan. - M .: "Akademi", 2003 - 464 p. – ms 73-93

Gmurman V.E. Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik. Tutorial. Edisi kesepuluh, stereotaip.-M.: Sekolah tinggi, 2004 - 480 p. ms 64-73

Dalam pelajaran ini, kita akan mendapati kebarangkalian kejadian berlaku dalam percubaan bebas apabila percubaan diulang. . Percubaan dipanggil bebas jika kebarangkalian satu atau keputusan lain bagi setiap percubaan tidak bergantung pada hasil ujian lain. . Ujian bebas boleh dijalankan di bawah keadaan yang sama dan di bawah keadaan yang berbeza. Dalam kes pertama, kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam semua percubaan adalah sama; dalam kes kedua, ia berbeza dari satu percubaan ke percubaan.

Contoh Ujian Semula Bebas :

satu daripada nod peranti atau dua atau tiga nod akan gagal, dan kegagalan setiap nod tidak bergantung pada nod yang lain, dan kebarangkalian kegagalan satu nod adalah malar dalam semua ujian;
bahagian yang dihasilkan di bawah keadaan teknologi malar tertentu, atau tiga, empat, lima bahagian, akan menjadi tidak standard, dan satu bahagian mungkin berubah menjadi tidak standard tanpa mengira mana-mana bahagian lain, dan kebarangkalian bahagian itu akan ternyata tidak standard adalah tetap dalam semua ujian;
daripada beberapa pukulan pada sasaran, satu, tiga atau empat pukulan mengenai sasaran tanpa mengira hasil pukulan lain dan kebarangkalian mengenai sasaran adalah tetap dalam semua ujian;
apabila syiling dimasukkan, mesin akan beroperasi dengan betul satu, dua, atau beberapa kali lagi, tidak kira apa sisipan syiling lain telah ada, dan kebarangkalian bahawa mesin akan beroperasi dengan betul adalah malar dalam semua ujian.

Peristiwa ini boleh digambarkan dengan satu skema. Setiap peristiwa berlaku dalam setiap percubaan dengan kebarangkalian yang sama, yang tidak berubah jika keputusan percubaan sebelumnya diketahui. Ujian sedemikian dipanggil bebas, dan skema itu dipanggil Skim Bernoulli . Adalah diandaikan bahawa ujian sedemikian boleh diulang seberapa banyak kali yang dikehendaki.

Jika kebarangkalian hlm peristiwa A adalah malar dalam setiap percubaan, maka kebarangkalian bahawa dalam n acara ujian bebas A akan datang m kali, terletak pada Formula Bernoulli :

(di mana q= 1 – hlm- kebarangkalian bahawa peristiwa itu tidak akan berlaku)

Mari kita tetapkan tugas - untuk mencari kebarangkalian bahawa peristiwa jenis ini masuk n percubaan bebas akan datang m sekali.

Formula Bernoulli: contoh penyelesaian masalah

Contoh 1 Cari kebarangkalian bahawa antara lima bahagian yang dipilih secara rawak dua adalah piawai, jika kebarangkalian setiap bahagian adalah piawai ialah 0.9.

Penyelesaian. Kebarangkalian Peristiwa TAPI, yang terdiri daripada fakta bahawa bahagian yang diambil secara rawak adalah standard, adalah hlm=0.9 , dan kebarangkalian ia bukan piawai ialah q=1–hlm=0.1 . Peristiwa yang ditunjukkan dalam keadaan masalah (kami menandakannya dengan AT) berlaku jika, sebagai contoh, dua bahagian pertama adalah standard, dan tiga seterusnya adalah bukan standard. Tetapi peristiwa itu AT juga berlaku jika bahagian pertama dan ketiga adalah standard dan selebihnya adalah tidak standard, atau jika bahagian kedua dan kelima adalah standard dan selebihnya adalah tidak standard. Terdapat kemungkinan lain untuk peristiwa itu berlaku. AT. Mana-mana daripada mereka dicirikan oleh fakta bahawa daripada lima bahagian yang diambil, dua, menduduki mana-mana tempat daripada lima, akan menjadi standard. Oleh itu, jumlah bilangan kemungkinan yang berbeza untuk berlakunya sesuatu peristiwa AT adalah sama dengan bilangan kemungkinan untuk meletakkan dua bahagian standard di lima tempat, i.e. adalah sama dengan bilangan gabungan lima unsur dengan dua, dan .

Kebarangkalian setiap kemungkinan, mengikut teorem pendaraban kebarangkalian, adalah sama dengan hasil darab lima faktor, di mana dua, sepadan dengan rupa bahagian piawai, adalah sama dengan 0.9, dan baki tiga, sepadan dengan rupa bukan. -bahagian standard, adalah sama dengan 0.1, i.e. kebarangkalian ini ialah . Oleh kerana sepuluh kemungkinan ini adalah peristiwa tidak serasi, dengan teorem penambahan, kebarangkalian sesuatu peristiwa AT, yang kami nyatakan

Contoh 2 Kebarangkalian bahawa mesin akan memerlukan perhatian pekerja dalam masa sejam ialah 0.6. Dengan mengandaikan bahawa kegagalan pada mesin adalah bebas, cari kebarangkalian bahawa dalam sejam perhatian pekerja akan diperlukan oleh mana-mana satu daripada empat mesin yang diservis olehnya.

Penyelesaian. menggunakan Formula Bernoulli di n=4 , m=1 , hlm=0.6 dan q=1–hlm=0.4 , kita dapat

Contoh 3 Untuk operasi biasa depoh kereta, mesti ada sekurang-kurangnya lapan kereta dalam talian, dan terdapat sepuluh daripadanya. Kebarangkalian tidak keluar setiap kereta ke garisan adalah sama dengan 0.1. Cari kebarangkalian operasi normal depoh pada hari berikutnya.

Penyelesaian. Autobase akan berfungsi dengan baik (event F) jika salah satu atau lapan akan memasuki baris (acara TAPI), atau sembilan (acara AT), atau semua acara sepuluh kereta (acara C). Mengikut teorem penambahan kebarangkalian,

Kami dapati setiap istilah mengikut formula Bernoulli. Di sini n=10 , m=8; 10 dan hlm\u003d 1-0.1 \u003d 0.9, sejak hlm bermaksud kebarangkalian kereta memasuki barisan; kemudian q=0.1 . Hasilnya, kita dapat

Contoh 4 Biarkan kebarangkalian pelanggan memerlukan kasut lelaki saiz 41 ialah 0.25. Cari kebarangkalian bahawa daripada enam pembeli sekurang-kurangnya dua memerlukan kasut bersaiz 41.

Biarkan n percubaan dijalankan berkenaan dengan peristiwa A. Mari perkenalkan peristiwa berikut: Аk -- peristiwa А telah direalisasikan semasa ujian ke-k, $ k=1,2,\dots , n$. Kemudian $\bar(A)_(k) $ ialah peristiwa yang bertentangan (peristiwa A tidak berlaku semasa percubaan ke-k, $k=1,2,\dots , n$).

Apakah percubaan rakan sebaya dan bebas

Definisi

Ujian dipanggil daripada jenis yang sama berkenaan dengan peristiwa A jika kebarangkalian bagi peristiwa $A1, A2, \dots , An$ adalah sama: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (iaitu, kebarangkalian kejadian A dalam satu percubaan adalah malar dalam semua percubaan).

Jelas sekali, dalam kes ini, kebarangkalian peristiwa bertentangan juga bertepatan: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(( A) _(n))$.

Definisi

Percubaan dipanggil bebas berkenaan dengan peristiwa A jika peristiwa $A1, A2, \dots , An$ adalah bebas.

Dalam kes ini

Dalam kes ini, kesaksamaan dikekalkan apabila sebarang peristiwa Ak digantikan dengan $\bar(A)_(k) $.

Biarkan satu siri n percubaan bebas yang serupa dijalankan berkenaan dengan peristiwa A. Kami membawa tatatanda: p - kebarangkalian peristiwa A dalam satu ujian; q ialah kebarangkalian bagi kejadian yang bertentangan. Oleh itu P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ bagi sebarang k dan p+q=1.

Kebarangkalian bahawa dalam satu siri n percubaan peristiwa A akan berlaku tepat k kali (0 ≤ k ≤ n) dikira dengan formula:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Kesamaan (1) dipanggil formula Bernoulli.

Kebarangkalian bahawa dalam satu siri n percubaan bebas bagi jenis kejadian A yang sama akan berlaku sekurang-kurangnya k1 kali dan paling banyak k2 kali dikira dengan formula:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\jumlah \had _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Penggunaan formula Bernoulli untuk nilai n yang besar membawa kepada pengiraan yang menyusahkan, jadi dalam kes ini lebih baik menggunakan formula lain - yang asimptotik.

Generalisasi skim Bernoulli

Pertimbangkan generalisasi skema Bernoulli. Jika dalam satu siri n percubaan bebas, setiap satunya mempunyai m berpasangan tidak serasi dan kemungkinan keputusan Ak dengan kebarangkalian sepadan Рk= рk(Аk). Maka formula taburan polinomial adalah sah:

Contoh 1

Kebarangkalian mendapat selesema semasa wabak ialah 0.4. Cari kebarangkalian bahawa daripada 6 pekerja syarikat itu akan jatuh sakit

tepat 4 pekerja;
tidak lebih daripada 4 orang pekerja.

Penyelesaian. 1) Jelas sekali, untuk menyelesaikan masalah ini, formula Bernoulli boleh digunakan, di mana n=6; k=4; p=0.4; q=1-p=0.6. Menggunakan formula (1), kita dapat: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$.

Untuk menyelesaikan masalah ini, formula (2) boleh digunakan, di mana k1=0 dan k2=4. Kami ada:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ lebih kurang 0.959.) \end(array)\]

Perlu diingatkan bahawa tugas ini lebih mudah diselesaikan menggunakan acara yang bertentangan - lebih daripada 4 pekerja jatuh sakit. Kemudian, dengan mengambil kira formula (7) mengenai kebarangkalian kejadian bertentangan, kita memperoleh:

Jawapan: $\ $0.959.

Contoh 2

Sebuah guci mengandungi 20 bola putih dan 10 bola hitam. 4 biji bola dikeluarkan, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke dalam urn sebelum bola yang berikutnya ditarik dan bola dalam urn digaul. Cari kebarangkalian bahawa daripada empat bola yang ditarik akan terdapat 2 bola putih dalam Rajah 1.

Gambar 1.

Penyelesaian. Biarkan peristiwa A itu -- bola putih ditarik. Kemudian kebarangkalian $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Menurut formula Bernoulli, kebarangkalian yang diperlukan ialah $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \kanan)^(2) =\frac(8)(27) $.

Jawapan: $\frac(8)(27) $.

Contoh 3

Tentukan kebarangkalian bahawa sebuah keluarga yang mempunyai 5 orang anak akan mempunyai tidak lebih daripada 3 orang perempuan. Kebarangkalian untuk mempunyai anak lelaki dan perempuan diandaikan sama.

Penyelesaian. Kebarangkalian mempunyai seorang perempuan $\separa =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-kebarangkalian mempunyai seorang lelaki. Tidak ada lebih daripada tiga kanak-kanak perempuan dalam sebuah keluarga, yang bermaksud sama ada satu, atau dua, atau tiga kanak-kanak perempuan dilahirkan, atau semua lelaki dalam keluarga.

Cari kebarangkalian bahawa tiada kanak-kanak perempuan dalam keluarga itu, satu, dua atau tiga kanak-kanak perempuan dilahirkan: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan ialah $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Jawapan: $\frac(13)(16)$.

Contoh 4

Penembak pertama dengan satu pukulan boleh mencapai sepuluh teratas dengan kebarangkalian 0.6, sembilan dengan kebarangkalian 0.3, dan lapan dengan kebarangkalian 0.1. Apakah kebarangkalian bahawa, dengan 10 pukulan, dia akan memukul sepuluh enam kali, sembilan tiga kali, dan lapan lapan kali?