Cari penjelmaan z bagi isyarat diskret. Transformasi z songsang

Dalam analisis dan sintesis diskret dan peranti digital apa yang dipanggil z-transform digunakan secara meluas, yang memainkan peranan yang sama berkenaan dengan isyarat diskret seperti transformasi integral Fourier dan Laplace berkenaan dengan isyarat berterusan.

Definisi perubahan-z

biarkan - turutan berangka, terhingga atau tidak terhingga, mengandungi nilai rujukan beberapa isyarat. Kami meletakkannya dalam surat-menyurat satu dengan satu dengan jumlah siri itu berakhir kuasa negatif pembolehubah kompleks z:

Mari kita panggil jumlah ini, jika wujud, transformasi z bagi jujukan . Kesesuaian untuk memperkenalkan objek matematik sedemikian adalah disebabkan oleh fakta bahawa sifat urutan diskret nombor boleh dikaji dengan memeriksa perubahan-z mereka dengan kaedah biasa analisis matematik. Dalam matematik, z-transform juga dipanggil fungsi penjanaan urutan asal.

Berdasarkan formula (1.46), seseorang boleh mencari secara langsung perubahan-z bagi isyarat diskret dengan nombor terhingga bacaan. Jadi, isyarat diskret yang paling mudah dengan sampel tunggal sepadan dengan . Jika, sebagai contoh, maka

Konvergensi Siri

Jika bilangan sebutan dalam siri (1.46) adalah besar tak terhingga, maka perlulah untuk menyiasat penumpuannya. Yang berikut diketahui daripada teori fungsi pembolehubah kompleks. Biarkan pekali siri yang dipertimbangkan memenuhi syarat

bagi apa apa . Di sini dan ialah nombor nyata malar.

Kemudian siri (1.46) menumpu untuk semua nilai z supaya . Dalam rantau penumpuan ini, hasil tambah siri itu ialah fungsi analisis pembolehubah z, yang tidak mempunyai kutub mahupun pada dasarnya titik tunggal.

Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, isyarat diskret yang dibentuk oleh sampel tunggal yang sama dan berfungsi sebagai model fungsi pensuisan biasa. Barisan yang tidak berkesudahan

ialah jumlahnya janjang geometri dan menumpu untuk sebarang z dalam anulus. Merumuskan perkembangan, kita dapat:

Di sempadan domain analisis untuk z = 1 fungsi ini mempunyai satu tiang ringkas. Begitu juga, seseorang memperoleh z-transformasi tak terhingga isyarat diskret, Di mana A- beberapa nombor sebenar. di sini:

Ungkapan ini masuk akal di sesetengah kawasan anulus.

Z-transformasi fungsi berterusan

Dengan mengandaikan bahawa kiraan adalah nilai fungsi berterusan pada titik , sebarang isyarat boleh dikaitkan dengan perubahan znya pada langkah pensampelan yang dipilih:

Contohnya, jika , maka z-transform yang sepadan

ialah fungsi analitik untuk .

Transformasi z songsang

Biarkan p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> menjadi fungsi pembolehubah kompleks analitik z dalam rantau anulus . Sifat luar biasa bagi z-transform ialah fungsi menentukan keseluruhan koleksi sampel yang tidak terhingga. Sesungguhnya, kita mendarab kedua-dua bahagian siri (1.46) dengan faktor :

Kemudian kami mengira kamiran daripada kedua-dua bahagian kesamaan yang diperolehi, mengambil sebagai kontur penyepaduan lengkung tertutup sewenang-wenangnya yang terletak sepenuhnya dalam rantau analitik dan meliputi semua kutub:

Pintasan kontur penyepaduan dilakukan dalam arah positif, lawan jam.

Untuk menyelesaikan persamaan (1.50), kami menggunakan kedudukan asas berikut dari teorem Cauchy:

Jelas sekali, kamiran semua istilah di sebelah kanan ungkapan (1.50) akan hilang, kecuali istilah dengan nombor m, Itulah sebabnya

Formula (1.51) dipanggil songsang z-transformasi.

Contoh

Penjelmaan-z bagi bentuk diberikan. Cari pekali bagi isyarat diskret yang sepadan dengan fungsi ini.

Pertama sekali, kami mentakrifkan bahawa fungsi adalah analitik dalam keseluruhan satah, kecuali untuk titik , jadi ia sememangnya boleh menjadi z-transformasi bagi beberapa isyarat diskret.

Sebelum anda membuat keputusan tugasan ini, ingat dari kursus matematik yang lebih tinggi teknik penyelesaian kamiran lengkung menggunakan teori sisa dan teorem sisa Cauchy. Biarkan titik itu ialah titik tunggal terpencil bagi fungsi itu. Sisa fungsi pada satu titik ialah nombor yang dilambangkan dengan simbol dan ditakrifkan oleh kesamaan:

Sebagai kontur g, kita boleh mengambil bulatan berpusat pada titik jejari yang cukup kecil supaya bulatan tidak melangkaui kawasan analisis fungsi

Dan ia tidak mengandungi fungsi di dalam mata khas lain. Potongan fungsi sama dengan pekali pada tolak darjah pertama dalam pengembangan Laurent di sekitar titik : . Sisa pada titik tunggal boleh tanggal adalah sama dengan sifar.

Jika titik adalah tiang n tertib ke-fungsi , kemudian

Dalam kes tiang ringkas ()

Jika fungsi dalam kejiranan titik boleh diwakili sebagai hasil bagi dua fungsi analitik

dan , i.e. ialah tiang ringkas fungsi , maka

Berbalik kepada formula (1.48), kita dapati itu

untuk sebarang idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Oleh itu, isyarat diskret asal mempunyai bentuk:

Hubungan dengan transformasi Laplace dan Fourier

Mari kita tentukan untuk isyarat bentuk MIP yang ideal:

Mengubahnya mengikut Laplace, kita mendapat imej untuk sebarang pemalar a dan b. Buktikan harta yang diberikan boleh dilakukan dengan menggantikan jumlah ke dalam formula (1.46). ialah urutan nombor yang sebutan sepunya sama dengan:

Konvolusi diskret sedemikian, berbeza dengan lilitan bulat, kadang-kadang dipanggil lilitan linear.

Mari kita hitung perubahan-z bagi lilitan diskret:

Konvolusi dua isyarat diskret sepadan dengan hasil daripada perubahan-z mereka.

Z-transformasi(transformasi Laurent) dipanggil lilitan isyarat asal, ditentukan oleh urutan nombor nyata dalam domain masa, menjadi fungsi analitik bagi frekuensi kompleks. Jika isyarat mewakili tindak balas impuls sistem linear, maka pekali transformasi Z menunjukkan tindak balas sistem kepada eksponen kompleks, iaitu kepada ayunan harmonik dengan frekuensi yang berbeza dan kadar naik/turun.

Cara biasa untuk menganalisis jujukan digital diskret ialah z-transform.

Kelebihan utama z-transforms ialah kesederhanaan operasi matematik dengan polinomial kuasa, yang tidak penting dalam pengiraan penapis digital dan analisis spektrum.

Fungsi selanjar arbitrari s(t), diskret secara seragam dan dipaparkan oleh sampel s k = s(kDt), serta secara langsung fungsi diskret, boleh dikaitkan dengan polinomial kuasa dalam z, yang pekali berturut-turut ialah nilai s k:

s k = s(kDt) Û TZ = s k z k = S(z). (8.3.1)

di mana z = s+jw = r×exp(-jj) ialah pembolehubah kompleks arbitrari. Polinomial S(z) dipanggil imej-z atau imej-z bagi fungsi s(kDt). Penjelmaan itu masuk akal untuk julat nilai z di mana siri S(z) menumpu, i.e. hasil tambah siri ialah fungsi analitik bagi pembolehubah z, yang tidak mempunyai kutub atau titik tunggal.

Maksud nilai z dalam polinomial z ialah ia adalah pengendali kelewatan unit dalam koordinat fungsi. Mendarab imej-z bagi isyarat s(k) dengan nilai z n bermakna kelewatan isyarat dengan n selang: z n S(z) Û s(k-n).

sifat-sifat transformasi Z.

Tanpa mendalami teori, kita boleh menyatakan bahawa semua sifat DFT adalah sah untuk perubahan-z juga. Mari kita perhatikan sebahagian daripada mereka.

Kelinearan: Jika S(k) = a x(k)+b y(k), maka S(z) = aX(z)+bY(z). Sehubungan itu, transformasi-z hanya sah untuk analisis sistem linear dan isyarat yang memenuhi prinsip superposisi.

kelewatan untuk n kitaran: y(k) = x(k-n).

Y(z) = y(k)×z k = x(k-n)×z k =z n x(k-n)×z k - n = z n x(m)×z m = z n X(z).

Sehubungan itu, mendarab imej-z isyarat dengan faktor z n menyebabkan isyarat beralih mengikut n kitaran pensampelan.

Untuk perubahan-z, semua teorem terkenal mengenai spektrum. Khususnya, lilitan dua isyarat dipaparkan dalam domain-z oleh hasil darab imej-z mereka, dan begitu juga sebaliknya:

s(k) * h(k) Û S(z)H(z), s(k) h(k) Û S(z) * H(z).

Untuk z = exp(-jwDt) z-transform ialah bentuk khas perwakilan isyarat diskret, di mana polinomial S(z) boleh dirujuk sebagai fungsi masa (dengan nilai pekali kDt) dan fungsi spektrum frekuensi isyarat (dengan nilai-nilai hujah w).

Paparan Perubahan-Z lakukan pada satah z kompleks dengan Re z dan Im z di sepanjang paksi koordinat (Rajah 8.3.1). Paksi frekuensi spektrum w pada satah z sepadan dengan bulatan jejari:

|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.

Menggantikan nilai beberapa frekuensi w dalam z = exp(-jwDt) dipaparkan sebagai titik pada bulatan. Kekerapan w = 0 sepadan dengan titik Re z = 1 dan Im z = 0 di sebelah kanan paksi-x. Apabila kekerapan meningkat, titik bergerak mengikut arah lawan jam mengelilingi bulatan, dan menduduki kedudukan paling kiri pada frekuensi Nyquist w N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0).

Transformasi Z membenarkan penguraian isyarat dan fungsi, sebagai contoh fungsi pemindahan menapis ke dalam komponen pendek operasi lilitan, yang mana ia cukup untuk menyamakan z-polinomial kepada sifar, mencari puncanya a i , dan menulis semula polinomial sebagai hasil darab binomial:

S(z) = a 0 (z-a 1)(z-a 2)...,

di mana 0 ialah kiraan isyarat terakhir (pekali pada darjah tertinggi z).

Dalam analisis dan sintesis peranti diskret dan digital, apa yang dipanggil z-transform digunakan secara meluas, yang memainkan peranan yang sama berkenaan dengan isyarat diskret sebagaimana transformasi integral Fourier dan Laplace berkenaan dengan isyarat berterusan. Bahagian ini menggariskan asas teori transformasi fungsi ini dan beberapa sifatnya.

Definisi z -penukaran. Biarkan menjadi urutan berangka, terhingga atau tidak terhingga, yang mengandungi nilai rujukan beberapa isyarat. Kami meletakkannya dalam korespondensi satu dengan satu dengan jumlah siri dalam kuasa negatif pembolehubah kompleks z:

Mari kita panggil jumlah ini, jika ia wujud, z-transformasi urutan (X Kepada }. Kesesuaian untuk memperkenalkan objek matematik sedemikian adalah berkaitan dengan fakta bahawa sifat urutan nombor diskret boleh dikaji dengan mengkaji perubahan-z mereka menggunakan kaedah biasa analisis matematik.

Berdasarkan formula (2.113), seseorang boleh mencari secara langsung perubahan-z bagi diskret isyarat dengan bilangan sampel yang terhad. Jadi, isyarat diskret paling mudah dengan perpaduan sesuai dengan bacaan yang tepat.

Jika, sebagai contoh,

Penumpuan siri. Jika bilangan sebutan dalam siri (2.113) adalah besar tidak terhingga, maka adalah perlu untuk menyiasat penumpuannya. Yang berikut diketahui daripada teori fungsi pembolehubah kompleks. Biarkan pekali siri yang dipertimbangkan memenuhi syarat

bagi apa apa . Di sini M > 0 dan R 0 > 0 - nombor nyata malar. Kemudian siri (2.113) menumpu untuk semua nilai z sehingga |z| > R 0 . Dalam rantau penumpuan ini, hasil tambah siri ialah fungsi analitik bagi pembolehubah z, yang tidak mempunyai kutub mahupun titik tunggal.

Pertimbangkan, sebagai contoh, isyarat diskret yang dibentuk oleh sampel tunggal yang sama dan berfungsi sebagai model fungsi pensuisan biasa. Siri tak terhingga ialah jumlah janjang geometri dan menumpu untuk sebarang z dalam gelang.

Merumuskan perkembangan, kita dapat

Pada sempadan domain analitik untuk z= 1, fungsi ini mempunyai satu kutub ringkas.

Begitu juga, transformasi z bagi isyarat diskret tak terhingga diperolehi, di mana A - beberapa nombor nyata. Di sini

Ungkapan ini masuk akal dalam kawasan anulus.

z -penukaran fungsi berterusan. Dengan mengandaikan bahawa bacaan adalah nilai-nilai fungsi berterusan x(t) pada titik , sebarang isyarat x(t) anda boleh memetakannya ke z-transform pada kadar persampelan yang dipilih:

Sebagai contoh, jika , maka z-transformasi yang sepadan

.

ialah fungsi analitik untuk .

terbalikz-penukaran. biarlah X(z) ialah fungsi pembolehubah kompleks z, analitik dalam rantau anulus |z| > R 0 . Satu sifat yang luar biasa bagi z-transform ialah fungsinya X(z) mentakrifkan keseluruhan koleksi sampel tak terhingga .

Sesungguhnya, kita mendarab kedua-dua bahagian siri (2.113) dengan faktor :

. (2.115)

dan kemudian kita mengira kamiran kedua-dua bahagian kesamaan yang terhasil, mengambil sebagai kontur integrasi lengkung tertutup sewenang-wenang yang terletak sepenuhnya dalam domain analitik dan menyelubungi semua kutub fungsi X(z). Dalam kes ini, kami menggunakan kedudukan asas berikut dari teorem Cauchy:

.

Jelas sekali, kamiran semua istilah di sebelah kanan akan hilang, kecuali istilah dengan nombor T, sebab tu

Formula ini dipanggil terbalik z -transformasi .

Sambungan dengan transformasi Laplace dan Fourier . Mari kita tentukan untuk isyarat bentuk MIP yang ideal:

.

Mengubahnya mengikut Laplace, kami mendapat imej

yang pergi terus ke z-transform jika kita melakukan penggantian . Jika kita meletakkan , maka ungkapan

Transformasi Z digunakan terutamanya untuk mengira penapis diskret. radas matematik z-transform memainkan peranan yang sama untuk peranti digital seperti untuk litar analog. Menggunakan z-transform, penapis frekuensi, pembetulan fasa atau transformasi Hilbert mudah dikira untuk pelaksanaannya dalam bentuk digital. Mari segera asingkan konsep penapis diskret dan digital. Dalam penapis diskret, tindak balas impuls adalah diskret dalam masa, tetapi sampel isyarat dan parameter penapis boleh mengambil sebarang nilai. Dalam penapis digital, kedua-dua sampel isyarat dan parameter penapis (contohnya, pekali) diwakili nombor binari tahap tertentu. Contoh penapis diskret ialah penapis kapasitor tersuis.

Apabila mempertimbangkan pensampelan isyarat, kami mendapati bahawa spektrum isyarat analog input, apabila ditukar kepada bentuk diskret, berulang sepanjang paksi frekuensi beberapa kali tidak terhingga. Perkara yang sama berlaku dengan tindak balas kekerapan penapis diskret. Contoh menukar ciri frekuensi amplitud penapis laluan rendah semasa pelaksanaan diskretnya ditunjukkan dalam Rajah 1.

Rajah 1. Contoh tindak balas frekuensi penapis diskret

Dalam contoh yang ditunjukkan, kadar sampel ialah 50 kHz. Oleh itu, dua lagi jalur laluan penapis diskret terbentuk berhampiran frekuensi ini. Untuk operasi yang betul Penapis diskret seperti penapis kapasitor tersuis atau penapis digital akan memerlukan penapis anti-aliasing analog untuk menyekat komponen frekuensi tinggi isyarat input. Tindak balas frekuensi idealnya ditunjukkan dalam warna merah dalam Rajah 1.

Jika terdapat ciri pemindahan penapis analog H(s) dalam bentuk sifar dan kutub penapis, kemudian dalam penapis diskret sifar dan kutub diulang secara berkala dengan tempoh 1/ T, dengan T ialah tempoh persampelan. Dalam erti kata lain, penapis diulang dengan cara ini seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Kedudukan sifar dan kutub pada paksi frekuensi satah-s untuk penapis konvensional dan diskret ditunjukkan dalam Rajah 2.

Rajah 2. Pengulangan berkala sifar dan kutub pada satah-s

Pada penapis diskret, kita melihat bilangan sifar dan kutub yang tidak terhingga, yang tidak begitu mudah untuk pelaksanaannya. Daripada pengulangan sifar dan kutub yang tidak berkesudahan pada paksi frekuensi tak terhingga, anda boleh menukar paksi ini kepada gelang (gunakan bukannya Cartesian sistem kutub koordinat). Transformasi sedemikian ditunjukkan dalam Rajah 3.

Rajah 3. Menukar satah-s kompleks kepada satah-z kompleks

Dalam penjelmaan ini, kekerapan sifar menduduki kedudukan titik +1 pada paksi satah z sebenar, frekuensi sama dengan ∞ ditukar kepada titik −1 pada paksi satah z sebenar, dan paksi frekuensi itu sendiri diubah. ke dalam bulatan jejari unit. Apabila kekerapan meningkat, kita akan bergerak mengikut lawan jam dalam bulatan, dengan itu menyedari pengulangan tak terhingga ciri frekuensi amplitud penapis diskret.

Secara matematik, pemetaan dari satah-s kompleks ke satah-z kompleks dilakukan seperti berikut:

Z = e s T (1)

di mana s = σ + jω

Kemudian penjelmaan Laplace bagi isyarat diskret masuk ke dalam penjelmaan-z:

(2)

Apabila melalui satah-s kompleks ke satah-z kompleks, semua sifar berulang tak terhingga dan kutub penapis diskret dalam satah s dipetakan kepada bilangan sifar dan kutub terhingga dalam satah z. Kemudian ungkapan untuk ciri pemindahan penapis diskret boleh diwakili sebagai borang berikut:

(3)

Mari kita kembali kepada formula transformasi Fourier diskret:

Secara teori sistem diskret Adalah menjadi kebiasaan untuk menggunakan bentuk tatatanda yang sedikit berbeza yang dikaitkan dengan pengenalan transformasi Z. Mari buat penggantian berikut:

.

Kemudian formula di atas sangat dipermudahkan:

.

Fungsi X(z) yang baru diperolehi bagi pembolehubah z dipanggil imej-Z atau imej-Z bagi isyarat diskret x(k).

Transformasi-Z untuk isyarat dan sistem diskret memainkan peranan yang sama seperti transformasi Laplace untuk sistem analog. Oleh itu, mari kita pertimbangkan beberapa contoh penentuan Z - imej beberapa isyarat diskret biasa.

1.Impuls tunggal(Gamb. 9.14) ialah analog diskret bagi impuls δ - dan merupakan laporan tunggal dengan nilai tunggal:

Z - penjelmaan impuls tunggal didapati sebagai

bagi momentum δ - Dirac.

2. Lompat tunggal diskret(Gamb. 9.15) ialah analog lengkap fungsi kemasukan Heaviside:

Z - imej lompatan unit boleh didapati sebagai

Jumlah yang terhasil ialah jumlah sebutan bagi janjang geometri tak terhingga dengan sebutan awal bersamaan dengan 1 dan penyebut.
. Jumlah terma siri itu ialah:

.

3. Eksponen diskret(Gamb. 9.16) ialah isyarat yang ditakrifkan oleh ungkapan:

Pada
eksponen diskret berkurangan (Rajah 9.16), apabila
- meningkat, pada
- berselang-seli.Z - imej bagi eksponen sedemikian

Seperti dalam kes sebelumnya, kami mendapat janjang geometri dengan sebutan sifar, sama dengan satu, tetapi dengan penyebut
. Jumlah tak terhingga bagi sebutan janjang menentukan Z - imej eksponen:

4. Harmonik lembap diskret. Berbeza dengan contoh sebelumnya, kami menulisnya dalam bentuk umum:

G de α – faktor redaman harmonik,

ω ialah frekuensi harmonik,

φ ialah fasa awal ayunan,

- tempoh persampelan.

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Rajah 9.17 menunjukkan graf harmonik terlembap diskret dengan data berikut: a=0.9,
, φ=π/9. Dengan mengambil kira tatatanda yang diterima, ungkapan untuk harmonik terlembap diskret boleh diwakili sebagai:

.

Apabila mendapatkan imej-Z harmonik, fungsi kosinus hendaklah dinyatakan melalui hasil tambah dua eksponen kompleks. Kemudian, setelah melakukan beberapa transformasi algebra dan trigonometri, pada akhirnya, adalah mungkin untuk mendapatkan ungkapan berikut:

.

Daripada contoh di atas, dapat dilihat bahawa Z - imej bagi kebanyakan isyarat diskret ialah fungsi rasional pecahan pembolehubah.
. Asal-usul transformasi Z daripada transformasi Laplace dan Fourier membawa kepada fakta bahawa transformasi Z mempunyai sifat yang serupa.

1. Kelinearan.

Z - penjelmaan adalah linear, jadi jika terdapat dua isyarat , maka jumlah isyarat ini
mempunyai imej Z
.

2. Kelewatan masa isyarat diskret.

Jika isyarat diskret x(k) mempunyai Z ialah imej bagi X(z), tangguhkan dengan m langkah pensampelan
, maka isyarat tertunda y(k)=x(k-m) mempunyai Z - imej
. Ungkapan
boleh dianggap sebagai pengendali kelewatan isyarat dengan satu langkah pensampelan.

3. Konvolusi isyarat diskret.

Dengan analogi dengan lilitan isyarat analog

,

Fourier - imej yang sama dengan produk Fourier - imej isyarat berbelit, belitan dua isyarat diskret ditakrifkan sebagai

.

Z - imej lilitan dua isyarat adalah sama dengan hasil Z - imej isyarat diskret asal

4. Pendaraban dengan eksponen diskret.

Jika isyarat diskret
, mempunyai imej Z
, didarab dengan eksponen
, kemudian Z - imej produk akan mengambil bentuk
.

Sifat-sifat transformasi Z yang dipertimbangkan membolehkan dalam banyak kes mencari imej Z bagi isyarat yang diberikan dengan mudah atau menyelesaikan masalah songsang - menggunakan imej Z yang diketahui bagi isyarat itu untuk mencari perwakilannya dalam masa.